数学课本_线性规划

高中数学课本 线性规划 114
线性规划

数学老师计算学期成绩的方法是平时成绩（
x
）占
30 %
，段考成绩（
y
）占
70 %
。已知
小亦平时成绩加上段考成绩不超过
150
分，那么学期成绩最多 可能有几分？类似这样的问题
（在某些条件下求某个量的最大值或最小值）是日常生活中常常碰到的。< br>
0
≤
y
≤
100
，
x
＋
y
≤
150
的条件下求
0.3x
在这个例子中，我们要在
0
≤
x
≤
100
，
＋
0.7y
的最大值，正是本节要介绍的“线性规划”的例子。


1
二元一次不等式

对上段中的
0
≤
x
≤
100
，
0
≤
y
≤
100
，
x
＋
y
≤
150
都是“不等式”。

一般来说，若
a
，
b
，
c
为实数，且
a
，
b
不全为
0
，则形如

ax
＋
by
＋c
＞
0
，
ax
＋
by
＋
c
＜
0
，
ax
＋
by
＋
c
≥
0
，
ax
＋
by
＋
c
≤
0
的式子，称为二元一次不
等式。满足不等式的实数对（
x
，
y
）称为 该不等式的解。

下面我们来讨论二元一次不等式的解在坐标平面上的图形。我们用
x
＋
y
＞
2
当例子，如
图
22
所示。


图 22

已知
x
＋
y
＝
2
的图形是平面上的一条直线，意思是说，这条在线的每 一个点（
x
，
y
）都
满足
x
＋
y
＝
2
。直觉上，
x
＋
y
＝
2
把平面分成两半，有一半应该是使得
x
＋
y
＞
2
那些点，另

高中数学课本 线性规划 115
一半是
x
＋
y
＜
2
那些点，这个直觉是对的。说明如下：


设直线
L
：
x
＋
y
＝
2
，则坐标平面可分为直线
L
及
E
1
，
E
2

两个半平面，如图
23
所示：

图 23

设
P
（
x
0
，
y
0
）为半平面
E
1

内的任一点，过
P
点作
x
轴的垂线交直线
L
于一点
Q
，
则
Q 点的坐标为（
x
0
，
2
－
x
0
）。< br>
因为
P
点在
Q
点的上方，所以
y
0
＞
2
－
x
0
，即
x
0＋
y
0
＞
2
，因此，半平面
E
1

内的每一
个点（
x
，
y
）都满足
x
＋
y
＞
2
；亦可反推得，若
P
（
x< br>0
，
y
0
）为坐标平面上一点，且满足
x
0
＋
y
0
＞
2
，则
P
点在半平面
E
1

内。

由上面的讨论可知：
x
＋
y
＞
2
的图形就是半平面
E
1
，同理，
x
＋
y
＜
2
的图形就是半平面

E
2
，如图
24
。

高中数学课本 线性规划 116

图 24
如果将半平面
E
1

与直线
L
合起来，就是
x
＋
y
≥
2
的图形；将半平面
E
2

与
L
合起
来，就是
x
＋
y
≤
2
的图形。

当不等式含等号时，图形就包含界线
L
，此时直线
L
以实线表示；当不等式不含等号时，
图形不包含界线
L
，此时直线
L
以虚线表示。如图
25
所示：


图 25

实际画图时，怎么决定是取哪一个半平面呢？以
x
＋
y
＜
2
为例，先画出
x
＋
y
＝
2
的直线，
然后 任取一点（通常取原点（
0
，
0
）），发现
0
＋
0
＜
2
，意思是（
0
，
0
）在
x
＋
y
＜
2
的半平
面上。也就是说，包含（
0< br>，
0
）的那个半平面就是
x
＋
y
＜
2 < br>的图形。若直线通过原点，则可
取点（
1
，
0
）或（
0
，
1
）来验算。

高中数学课本 线性规划 117
例题
1

------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------
试在坐标平面上，画出二元一次不等式
2x
－
y
＋
2
≥
0
的图形。

-------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
解 先画出直线
L
：
2x
－
y
＋
2＝
0
，如图
26
所示，

则直线
L
将坐标平面分成含原点与不含原点

的两个半平面。

将（
0
，
0
）代入
2x
－
y
＋
2
得
0
－
0
＋
2
＝
2
＞
0
，

故不等式
2x
－
y
＋
2
≥
0
的图形为含原点的

半平面与直线
L
。


图 26
随堂练习 ------------------------------- -------------------------------------------------- ------------------------
(1) 试在下方的坐标平面上，画出二元一次不等式的图形：
①
3x
＋
y
≤

－
2
。

②
x
≥
3
。

③
y
＜－
1
。

高中数学课本 线性规划 118
(2) 考虑坐标平面上的直线 L：2x－y＋2＝0 与三个点 A（0，0），B（2，1），
C（0，4）。请问这三个点之中，有哪两个位于 L 的同侧？
--------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------

由上可知二元一次不等式的 图形是一半平面或一半平面与一直线。若同时要满足两个（以
上）二元一次不等式，图形就取共同的部分 。如下例所示：


例题
2

----------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------------
?
x?2y?2?0,
试在坐标平面上，画出二元一次联立不等式
?
的图形 。
x?y??1,
?
--------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------
解
(1)
先画
L
1
：
x
＋
2y
－
2
≥
0
的图形：

画出直线
L
1
：
x
＋
2y
－
2
＝
0
，

因为
0
＋
2
?
0
－
2
＝－
2
＜
0
，

所以
x
＋
2y
－
2
≥
0
的图形

为不含原点的半平面与
L
1
，

如图
27(a)
所示。



(2)
再画
L
2
：
x
－
y
＜－
1
的图形：

画出直线
L
2
：
x
－
y
＝－
1
，

因为
0
－
0
＝
0
＞－
1
，

所以
x
－
y
＜－
1
的图形

为不含原点的半平面，

图 27(b)
图 27(a)

高中数学课本 线性规划 119
如图
27(b)
所示。



(3) 上述(1)、(2)两图形的共同部分，
?
x?2y?2?0
即联立不等式
?
的图形，
?
x?y??1
如图 27(c) 所示。




随堂练习 ----------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------
图 27(c)
?
2x?y?2? 0
试在下方的坐标平面上，画出二元一次联立不等式
?
的图形。
?
x?3y?3

------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------------

例题
3

----------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------

坐标平面上，设直线
L
的斜率为
m
，
y
截距为
3
。若两点
A
（
1
，
2
），
B
（－
2
，
1
）

在
L
的
异侧，则
m
之最大可能范围为何？

------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------
解
由已知条件可知直线
L
的方程式为
y
＝
mx
＋
3
，

即
mx
－
y
＋
3
＝
0
，如图
28
所示。

图 28

高中数学课本 线性规划 120
直线
L
将坐标平面分成两个半平面
E
1
，
E
2
，

因为
A
，
B
两点在
L
的异侧，

则
A
，
B
两点有一个在
mx
－
y
＋
3
＞
0
的图形内，

一个在
mx
－
y
＋
3
＜
0
的图形内。因此，得

（
m
?
1
－
2＋
3
）（
m
?
（－
2
）－
1
＋
3
）＜
0
，

即（
m
＋
1）（－
2m
＋
2
）＜
0
，

两边同除 以－
2
，得（
m
＋
1
）（
m
－
1
）＞
0
，

故得
m
＜－
1
或
m
＞
1
。

随堂练习 --------- -------------------------------------------------- ----------------------------------------------
已知两点
A
（
1
，
2
），
B
（ －
2
，
1
）及直线
L
：
2x
＋
y
＝
k
，若点
A
，
B
在
L
的同侧，则
k
之
最大可能范围为何？

---------------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------------

2
线性规划

许多日常生活中所产生的现实问题都和二元一 次联立不等式有关。例如商人如何在有限
资源限制下，寻找资源最佳分配的生产方法，以获得最大利润的 问题；这样的问题，是可以
利用数学方法处理的。如何找出一组符合限制条件的最佳解是本单元所要讨论 的重点。我们
先来看一个例子：

?
y?4
?
已知实数对（ x，y）满足
?
x?2y?6
那么，要如何求 x＋y 的最大值或最小值呢？
?
x?y?2
?
首先，我们把满足联立不等式的数对（
x
，
y
）称为可行解，所有可行解在平面上所成的

高中数学课本 线性规划 121
区域称为可行解区域，如图
29
中的△
ABC
内部及边界区域。


图

29


在这个问题中，我们要求
x
＋
y
的最大值或最小值，
x
＋
y
称为本问题的目标函数，产生
最大值或最小值的点（
x
，
y
）叫做最佳解。

当目标函数的值为某一常数
k
时，即
x
＋
y
＝
k
，这是一条斜率为－
1
的直线，且其
x
截

距为
k
。因此，当这一条直线平行移动时，越往右上方，
k
值越大；越往左下方，
k
值越小。
如图
30
所示，当直线
x
＋
y
＝
k
通过可行解区域时，此直线上的所有可行解均使
x
＋
y
的值为
k
，例如：直线
x
＋
y
＝
7
上的可行解，均使
x
＋
y
的值为
7
。通过可行解区域最右上
方
C
（
6
，
4
）的直线为
x
＋
y
＝
10
，故目标函数

x
＋
y
的最大值为
10
；通过可行解区域最左上方
A
（－
2
，
4
）的直线为

x
＋
y
＝
2
，故目标函数
x
＋
y
的最小值为
2
。

高中数学课本 线性规划 122

图

30

例题
4

----------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------

?
x? 0
?
y?0
?
在
?
的可行解区域中，试求目标函数 x＋3y 的最大值及最小值。
x?2y?6
?
?
?
2x?y?6
---------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------

解 先依题意画出可行解区域的图形，如图
31
所示。


图

31


将直线
x
＋
3y
＝
0
平行移动通过上述可行解区域，如图
32
。

高中数学课本 线性规划 123

图

32


可知目标函数
x
＋
3y
的最大值发生在点
C
（
0
，
3
）处，最小值发生 在点
O
（
0
，
0
）处，
故最大值为
9
，最小值为
0
。


随堂练习 --------- -------------------------------------------------- ----------------------------------------------
?
y?10
?
在
?
x?y?10
的可行解区域中，试求目标函数 2x＋y 的最大值及最小值。
?
x?y?0
?
-------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------


本节的目标函数均为一次函数（线性函数），且可行解区域的边界均为直线，解决这类问题的方法称为线性规划。


例题
5 ------------ -------------------------------------------------- --------------------------------------------
大禹锻冶工厂使用矿砂为主要原料，生产两种成分不同的合金，其中
A
合金每公斤使用红色
矿砂
50
公克、黄色矿砂
40
公克；
B
合金每公斤使用红色矿砂
20
公克、黄色矿砂
40
公
克。已知每售出一公斤的
A
合金，工厂可赚
50
元；每售出一公斤的
B
合金，工厂可赚
30
元。现在工厂进了
900
公克的红色矿砂及
1200
公克的黄色矿砂。若将这些矿砂用来生产这

高中数学课本 线性规划 124
两种合金，试问售出成品后工厂最多可赚多少元？

---------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------
解 设工厂共生产了
x
公斤的
A
合金、
y
公斤的
B
合金，

依题意列式得

?
x?0,y?0,
?
?
50x?20y?900,

?
40x?40y?1200,
?
依此绘出可行解区域，如图
33
所示，


图 33

目标函数

P
＝
50x
＋
30y
。

本题即求可行解区域内的点（
x
，
y
），使
P
的值为最大。


(1)
当
P
为任一常数
k
时，

5
k
k＝50x＋30y 均为斜率－ 的直线，且 x 截距为 。
3
50
5
(2) 将斜率为－ 的直线逐渐向右上方移动，
3

高中数学课本 线性规划 125
最后通过可行解区域中的点为（
10
，
20
）。

此时的直线为
50x
＋
30y
＝
1100
，得
P
的最大值为
1100
。

故工厂需生产
10
公斤的
A
合金、
20
公斤的
B
合金，最多可赚
1100
元。


随堂练习 --- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --
一农夫有
2
甲田，若种植水稻，每甲每期产量为
8000
斤；若种植花生，每甲每期产
量为
2000
斤。但种植水稻每甲每期需成本
24000
元，而种植花生只要
8000
元；且
稻米每斤可卖
6
元，花生每斤可卖
10
元。现在农夫有
40000
元，若只种水稻或花
生，试问水稻与花生应各种几甲，才能得到最大利润？

（提示：利润＝总收入－总成本）

--------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------

由例题
5
的求解过程可知，线性规划问题所求之极值，必发生在可 行解区域的顶点（或
边界）。所以只要将所有顶点代入目标函数，即可求出极值。


例题
6

---------------------------- -------------------------------------------------- ----------------------------

有甲、乙两工厂生产
A
，
B
两种不同产品，甲厂每天可生产
A
、
B
各
4
、
2
公吨，乙厂每天
可生产
A
、
B
各
2
、
7
公吨，今有一订单需求
A
、
B
各
16
、
20
公吨，假设甲厂运转一天成
本
10000
元，乙厂运转一天成本
20000
元，试问甲、乙厂各开厂几天会使得开销最低并达
成需求？

-------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------

解 设甲厂开厂
x
天、乙厂开厂
y
天，

高中数学课本 线性规划 126
依题意列式得

?
x?0,y?0,
?
?
4x?2y?16,

?
2x?7y?20,
?
即

?
x?0,y? 0,
?
?
2x?y?8,
画出可行解区域，如图 34 所示，
?
2x?7y?20,
?

图 34

目标函数

P
＝
10000x
＋
20000y
。


本题可行解区域的顶点

有（
0
，
8
），（< br>3
，
2
），（
10
，
0
），其对应的目标函 数值如下：
（
x
，
y
）

10000x
＋
20000y
（
0
，
8
）

160000
（
3
，
2
）

70000
（
10
，
0
）

100000
故当 （
x
，
y
）＝（
3
，
2
）时，
P
有最小值
70000
，

即甲厂开厂
3
天、乙厂开厂
2
天可使开销最低并达成需求。


随堂练习 ---------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------
设有甲、乙两种食物，甲每份售价
20
元，乙每份售价
15
元。甲每份含
A
营养素
15
单位，

高中数学课本 线性规划 127
B
营养素
10
单位；乙每份含
A
营养素
10
单位，
B
营养素
20
单位。若每人一天至少需
要
A
营养素
70
单位，
B
营养素
60
单位，在费用最少的原则下，应如何安排甲、乙两种
食物的份量，以获得足够的营养？

--------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------

例题
7

--------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------

某木材工厂要将甲、乙两种大小不同的木材截成
A
，
B
两种规格，每张木板可同时截得
A
，
B
两种规格的小木板的块数，如下表所示：


甲

乙

A
2
1
B
1
3
已知厂房中现有甲、乙两种木板的数量分别为
5
张与
10
张，市场需要
A
，
B
两种规格的
木板成品数分别为
15
块和
27
块，试 问工厂需截甲、乙两种木板各多少张才能满足市场需
求，且所截的木板总数为最少？

-------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------
解
设需截甲
、
乙两种木板的张数分别为
x
、
y
张，

依题意列式得
?
0?x?5,
?
0?y?10,
?
x，y 为整数，
?
2x?y?15,
?
?
?
x?3y?27,
画出可行解区域，如图
35
所示，

目标函数

P
＝
x
＋
y
。

高中数学课本 线性规划 128
当
x
＝
3
时，可行解区域内有（
3
，
9
），（
3
，
10
）
2
个格子点；

当
x
＝
4 < br>时，可行解区域内有（
4
，
8
），（
4
，
9
），（
4
，
10
）
3
个格子点；

当
x
＝
5
时，可行解区域内有（
5
，
8
），（
5
，
9
），（
5
，
10
）
3
个格子点；

此题的可行解区域中只包含
2
＋
3
＋
3
＝
8
个格子点。

当（
x
，
y
）＝（
3
，
9
）或（
4
，
8
）时，
P
有最小值，

故需截甲、乙两种木板各
3
、
9
或
4
、
8
张才能满足市场需求且所截的木板总数最少。


图 35
随堂练习 ------------------------------- -------------------------------------------------- ------------------------
某家货运公司有载重
3
吨的小货车
8
辆，载重
5
吨的大货车
5
辆，公司有
9
名司机。现
在受托每天至少要运送
30
吨的货物，而小货车运送一趟的成本为
500
元，大货车为
800
元，试问此公司应如何派遣货车，才能最节省成本？

------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------


习题
2-2
一、基本题

高中数学课本 线性规划 129
1.
试在下方的坐标平面上，画出二元一次不等式
3x
－
y
≤
6
的图形。




?
2x?y?4,
2. 试在下方的坐标平面上，画出二元一次联立不等式
?
的图形。
x?3y?6,
?

3.
如下图，试问蓝色阴影区域是哪一组二元一次不等式的图形？




4.
假设
A
（
2
，
t
），
B
（
t
，－
3
）两点在直线
L
：
3x
－
4y
＋
6
＝
0
的同侧，则实数
t
的最大可
能范围为何？

高中数学课本 线性规划 130
?
?2?2x?y?5
5. 在联立不等式
?
所决定的可行解区域中，试求目标函数 x－y 的最大值与
?1?x?3y?6
?
最小值。



二、进阶题

6. 令△ABC 为直线 L
1
：y－5＝
13
（x－3），L
2
：y－6＝－（x－7），
42
L
3
：y－9＝2（x－5）所围成的三角形，试问：
(1) △ABC 内部有多少个 x，y 坐标都是整数的点？
(2) △ABC 的边界上有多少个 x，y 坐标都是整数的点？


7.
用一吨原料
A
和一吨原料
B
分别可提炼精油
25
公斤和
12
公斤，但生产过程之中会产
生废弃物，每吨原料
A
和原料
B
分别会产生
75
公斤和
25
公斤的废弃物。已知原料
A
和原料
B
每吨的成本分别为
15
万元和
12
万元，今若希望成本不超过
240
万元，而废
弃物不超过
750
公斤，试问最多可提炼多少公斤的精油？



8.
在本节一开始的介绍中，数学老师计算学期成绩的方法是平时成绩（
x
）占
30 %
，段考成
绩（
y
）占
70 %
，已知小亦平时成绩加上段考成绩不超过
150
分，试问小亦的学期成绩
最多可能是几分？



9.
某家建商要在面积
7200
平方公尺的建筑用地上盖房子，经费上限为
9600
万元，预计兴

高中数学课本 线性规划 131
建双车库别墅及庭院别墅两种，双车库别墅每户占地
240
平方公尺，造价
400
万元；庭
院别墅每户占地
320
平方公尺，造价
240
万元。试问应该各兴建几户，可使总户数最多？



三、挑战题

10.
如下图，设直线
L
1
、
L
2
、
L
3

的方程式分别为
L
1
：
x
＋
b
1
y
＋
c
1
＝
0
、
L
2
：
x
＋
b
2
y
＋
c
2
＝
0
、

L
3
：
x
＋
b
3
y
＋
c
3
＝
0
。请写出区域
A
所代表的二元一次联立不等式。