初高中数学衔接教材(人教版)

初高中数学衔接教材
1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
1．填空：
（1）若
x?5< br>，则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（ 2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1 ?c?2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是（ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
， 则
a?b
（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
； （2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
． （2）
(a?2)(a?2)(a?4a?16)



222
例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．


例3计算：（1）
(4?m)(16?4m?m)



1．填空：
2
22
33223
33223
2222
2233
2233
22222
42
（2）
(m?
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)

225104
1
2
1
2
11
22
； （2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
11
2
1
2
1
2
2
（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于（ ）
41623
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b ?2a?4b?8
的值（ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式 ．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例

1

2
如
3a?a?b?2b
，
a?b
等是无 理式，而
2x?
222
2
x?1
，
x
2
? 2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了 进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概
念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不 含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例
如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x< br>，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b
与
a x?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母 中的根号的过程；而分子有理化则是分母
和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 < br>在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
ab ?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二
次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． ?
a,a?0,
2
2
2．二次根式
a
的意义
a ?a?
?

?a,a?0.
?
例1


例2 计算：
3?(3?3)
．


．

例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）



例4 化简：
(3?2)



2004
6
2
将下列式子化为最简二次根式：（1）
12b
； （2）
ab(a?0)
； （3）
4xy(x?0)
．
2
和
22－6
.
6?4
?(3?2)
2005
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x?



例6 化简下列各式：
(1)



例 7 已知
x?

．
2
1
?2(0?x?1)
．
2
x
(3?2)
2
?(3?1)
2
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

3?23?2
22
,y?
，求
3x?5xy?3y
的值 ．
3?23?2

2

1．填空：（1）
1?3
2
＝__ ___；（2） 若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
1?3
x?1?x?1x??1?x1
5
??
_ __．，则
2
x?1?x?1x1??x1?
424?654?396?2150?
____；（3）（4）若
x?
４．分式
1．分式的意义
形如< br>AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具 有下列性质：
BBB
AA?MAA?M
； ． 上述性质被称为分式的基本性质．
??
BB?MBB?M

例1 若


5x?4AB
，求常数
A,B
的值．
??
x(x?2)xx?2
111
111
（其中n是正整数）；（2）计算：；
??
??
?
?
n(n?1)nn?1
1?22?3 9?10
1111
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
??
?
??
．
2?33?4n(n?1)2
例2 （1）试证：



例3 设
e?



c
，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a
1
11
)；
?
(
?
n(n? 2)
nn?2
2x?y2
x
546
2．选择题：若
?
，则＝ （ ） （A）１ （B） （C） （D）
x?y3
y
455
1．填空题：对任意的正整数n，


5、 分解因式
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变 形．在分式运算、解方程及各种恒等
变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分 解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公
式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
十字相乘法（借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．） < br>必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能 否
用十字相乘法分解．

1．
x?(p?q)x?pq
型的因式分 解。这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

3
2

x
2
?(p?q)x?pq?x
2
?px?qx?pq? x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)

因此，
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
【例1】把下列各式因式分解：
(1)
x?7x?6

2
2








(2)
x?13x?36

2
【例2】把下列各式因式分解：
(1)
x?5x?24

2
(2)
x?2x?15

2
【例３】把下列各式因式分解：





(1)
x?xy?6y


22
(2)
(x?x)?8(x?x)?12

222
2．一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解


【例４】把下列各式因式分解：




2．提取公因式法与分组分解法
例５ 分解因式：
（1）
x?9?3x?3x
； （2）
2x?xy?y?4x?5y?6
．




1．选择题：多项式
2x?xy?15y
的一个因式为（ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）
x?4xy?4y
（3）（1）5x
2
－3x-2；

（4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
． （5）x
2
＋4x－12； （6）
x?(a?b)xy?aby
；


4
22
22
22
2
(1)
12x?5x?2

2
(2)
5x?6xy?8y

22
32
22

（7）
xy?1?x?y
． （8）8a
3
－b
3
； （9）
3x
2
?5x?8


6、 一元二次方程 ----根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
2?b?b
2
?4ac
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此 ，原方程有两个不相等的实数根x
1
，
2
＝；
2a
b（2）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x
1
＝x
2
＝－；
2a
b
2
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?)
一定 大于或等于零，因此，原方
2a
程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，我们把b2
－4ac叫做一元二
次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判 别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b
2
?4ac
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x
1
，
2
＝；
2a
b
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．


7、一元二次方程---- 根与系数的关系（韦达定理）













若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
2
如果ax
2
＋bx ＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋ x
2
＝
?
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q， 即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x2
，
例：若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求x
1
x
2

， x
1
＋
x
2
，
的值； （2）求
x
1
?x
2
，

| x
1
－x
2
| 的值； （3）求

22
b c
，x
1
·x
2
＝．这一关系也被称为韦达定理．
aa
11
?
的值
x
1
2
x
2< br>2
?b?b
2
?4ac
设x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则，
x
2
?
，
2a
2

5

b
2
?4ac??b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4a c
?
∴| x
1
－x
2
|＝
?
．
??
|a|a||
2a2a2a
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例2 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．




1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和 为－2，两根之积为－7；②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
3
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个（B）2个 （C）3个（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2< br>＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3 ．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实
数根？没有实数根？



4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．
y
2
y＝x
2

y＝2x


8、二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax
2
(a≠0) 的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得
到．在二次函数y＝ax
2
(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标
系中的开口的大 小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间
的关系．同学们可以作出函 数y＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2－2
所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x
2
的图象向左平移一
个单位，再向 上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这
两个函数图象之 间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
， y＝－3(x－1)
2
＋1的图象，研究
它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋ k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及
－1
方向；h决定了二次函数图象的左 右平移，而且“h正左移，h负右移”；k
决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移 ”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的 图象

6
O

y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

y
x
O

x

的方法：
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平 移、上下平移得到的，于是，二次函
数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质 ：
b
2
b
2
bb
2
由于y＝ax＋bx＋c＝a (x＋
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac

?a(x?
，
)?
2a4a
22
b4ac?b
2
b
（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
(?
；
,)
，对称轴为直线x＝－
2a4a
2a
bbb
当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，函数取最小值y
2a2a2a
4ac?b
2
＝． < br>4a
b4ac?b
2
b
2
,)
，对称轴为直线x＝－ （2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
；
2a4 a
2a
bbb
当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y
2a2a2a< br>4ac?b
2
＝．
4a
2
上述二次函数的性质可以分别 通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题
时，可以借助于函数 图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何
值 时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．




例3 把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单 位，得到函数y＝x
2
的图像，求b，
c的值．




1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象
的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝
时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下 列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取
最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

7

9、 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次 函数y
＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y< br>＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解 的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过 来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴
有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物 线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋
bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点， 则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴没
有交点，则 Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两
根，所以
x
1
＋x
2
＝
?
= a[ x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
] ＝a(x－x
1
) (x－x
2
)． 由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c (a≠0)与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系 式可以表示为
y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
bc
b
c
，x
1
x
2
＝，即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
a
aaa
所以，y＝ax
2
＋bx＋c＝a(
x?
2
bc
x?
)
aa
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据 题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达
形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1 ），求二次函数
的解析式．


例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．




1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是（ ）（A）0个（B）1个 （C）2个 （D）无法确定

8

1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是（ ）（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2)（D）(－1，－2)
2

2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0) 和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．


10、 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，< br>因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．






2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行 对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样
来研究二次函数的图象平移？
我们不难 发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函
数图 象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后所
y
x＝－1
得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．


x
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
A(1,－1)


三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得

的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三 边与原三角形的三边对应成比例.
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比 例（等于该角的
两边之比）.
1．如图3.1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
11 相似形
O

9

A．


ADCEADBCCEADAFBE
B． C． D.
====
DFBCBEAFDFBCDFCE
图3.1-6
2．如图3.1 -7，
DEBC,EFAB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,
求
BF< br>.


3．如图，在
VABC
中，AD是角BAC的平分线 ，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,
求BD的长.


4．如图，在
VABC
中，
?BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的延长线于点
D
，求
证：
ABBD
.
=
ACDC

5．如图，在
VABC
的边AB、AC上分别 取D、E两点，使BD=CE，DE延长
线交BC的延长线于F.求证：







3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的判定 方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相
似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，
?BAC
为直角，
A D?BC
于D.
求证：（1）
AB=BD BC
，
AC=CD CB
；（2）
AD=BD CD

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
1．如图3.1 -15，D是
VABC
的边AB上的一点，过D点作DEBC交AC于E.已知AD：DB=2 ：3，则
S
VADE
等于（ ）A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21


2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是< br>3:2
，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：
VA BC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
VA'B'C'
的最大边长是15，求< br>222
DFAC
.
=
EFAB
:S
四边形BCDE
?A'B'C'
的面积
S
VA'B'C'
.




12、三角形的“四心”

10

外心 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆 ，圆心O为三角形的外心.三
角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
内心 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三
边的距离相等.

垂心 三角 形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，
直角 三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角
形的重心在三角形 的内部，恰好是每条中线的三等分点.
13 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形
ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
在直角三角形ABC中，
?A
为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边
BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为
b+c-a

2
（其中
a,b,c
分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC+AB=BC
.
正三角形三条 边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，
该点称为正三角形的中心.



222

11