北师大版 高中数学必修1知识点总结-最新高中数学家教信息网
人民教育出版社
高中数学必修五
第一章 解三角形
1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习(P4)
1、(1)
a?14
,
b?19
,
B?105?
;
(2)
a?18
cm,
b?15
cm,
C?75?
. 2、(1)
A?65?
,
C?85?
,
c?22
;或<
br>A?115?
,
C?35?
,
c?13
;
(2)
B?41?
,
A?24?
,
a?24
.
练习(P8)
1、(1)
A?39.6?,B?58.2?,c?4.2
cm
; (2)
B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm
.
2、(1)
A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?
;
(2)
A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?
.
习题
A组(P10)
1、(1)
a?38cm,b?39cm,B?80?
;
(2)
a?38cm,b?56cm,C?90?
2、(1)
A?114?
,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm
(2)
B?35?,C?85?,c?17cm
;
(3)
A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm
;
3、(1)
A?49?,B?24?,c?62cm
;
(2)
A?59?,C?55?,b?62cm
;
(3)
B?36?,C?38?,a?62cm
;
4、(1)
A?36?,B?40?,C?104?
;
(2)
A?48?,B?93?,C?39?
;
习题 A组(P10)
1、证明:如图1,设
?ABC
的外接圆的半径是
R
,
①当
?ABC
时直角三角形时,
?C?90?
时,
?AB
C
的外接圆的圆心
O
在
Rt?ABC
的斜边
AB
上
.
BCAC
在
Rt?ABC
中,
?sinA
,
?
sinB
ABAB
ab
即
?sinA
,
?sinB
2R2R
所以
a?2RsinA
,
b?2RsinB
又
c?2R?2R?sin90??2RsinC
(第1题图1)
所以
a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC
②当<
br>?ABC
时锐角三角形时,它的外接圆的圆心
O
在三角形内(图2),
作过
O、B
的直径
A
1
B
,连接
A
1<
br>C
,
则
?A
1
BC
直角三角形,
?ACB
.
?90?
,
?BAC??BAC
11
在
Rt?A
1
BC
中,
即
BC
?sin?BAC
1
,
A
1
B
a
?sin?BAC?sinA
,
1
2R
所以
a?2RsinA
,
同理:
b?2RsinB
,
c?2RsinC
③当
?ABC
时钝角三角形时,不妨假设
?A
为钝角,
它的外接圆的圆心
O
在
?ABC
外(图3)
(第1题图2)
作过
O、B
的直径
A
1<
br>B
,连接
A
1
C
.
则
?A
1BC
直角三角形,且
?ACB?90?
,
?BAC?180???BAC
11
在
Rt?A
1
BC
中,
BC?2R
sin?BAC
1
,
即
a?2Rsin(180???BAC)
即
a?2RsinA
同理:
b?2RsinB
,
c?2RsinC
综上,对任意三角形
?ABC
,如果它的外接圆半径等于
R
,
则
a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC
2、因为
acosA?bcosB
,
所以
sinAcosA?si
nBcosB
,即
sin2A?sin2B
因为
0?2A,2B?2
?
,
(第1题图3)
所以
2A
?2B
,或
2A?
?
?2B
,或
2A?
?
?2
?
?2B
.
即
A?B
或
A?B?
所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形.
在得到
sin2A?sin2B
后,也可以化为
sin2A?sin2B?0
所以
cos(A?B)sin(A?B)?0
A?B?
?
2
.
?
2
,或
A?B?0
即
A?B?
?
2
,或
A?B
,得到问题的结论.
1.2应用举例
练习(P13)
1、在
?ABS
中,
AB?32.2?0.5?16.1
n
mile,
?ABS?115?
,
ASAB
?
根据正弦定理, <
br>sin?ABSsin(65??20?)
得
AS?
sin(65??20?)
?AB?sin?ABS?2?16.1?sin115??2
∴
S
到直线
AB
的距离是
d?AS?sin20??16.1?sin115??2?s
in20??7.06
(cm).
∴这艘船可以继续沿正北方向航行.
2、顶杆约长 m.
练习(P15)
1、在
?ABP
中,
?ABP?180??
?
?
?
,
?BPA?180??(?
?
?
)??ABP?180??(
?
?
?
)
?(180??
?
?
?
)?
?
?
?
在
?ABP
中,根据正弦定理,
APAB
?
sin?ABPsin?APB
APa
?
sin(18
0??
?
?
?
)sin(
?
?
?
)
a?sin(
?
?
?
)
AP?
sin(
?
?
?
)
所以,山高为
h?APsin
?
?
asin
?
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?
?
)
2、在
?ABC
中,<
br>AC?65.3
m,
?BAC?
?
?
?
?25?25
?
?17?38
?
?7?47
?
?ABC?90
??
?
?90??25?25
?
?64?35
?
ACBC
根据正弦定理,
?
sin?ABCsin?BAC
AC?sin?BAC65.3?sin7?47
?
BC???9.8
m
sin?ABCsin64?35
?
井架的高约.
200?sin38?sin29?
3、山的高度为
?382
m
sin9?
练习(P16)
1、约
63.77?
.
练习(P18)
1、(1)约
168.52 cm
2
;
(2)约
121.75 cm
2
; (3)约
425.39
cm
2
.
2、约
4476.40 m
2
a2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
3、右边
?bcosC?ccosB?b?
?c?
2ab2ac
a
2
?b
2
?c
2
a
2?c
2
?b
2
2a
2
????a?
左边 【类似可以证明另外两个等式】
2a2a2a
习题
A组(P19)
1、在
?ABC
中,
BC?35?0.5?17.5
n
mile,
?ABC?148??126??22?
?ACB?78??(180??148?)?110?
,
?BAC?180??11
0??22??48?
ACBC
?
sin?ABCsin?BA
C
BC?sin?ABC17.5?sin22?
AC???8.82
n mile
sin?BACsin48?
货轮到达
C
点时与灯塔的距离是约 n mile.
2、70 n mile. <
br>3、在
?BCD
中,
?BCD?30??10??40?
,
?
BDC?180???ADB?180??45??10??125?
1
CD?30??10
n mile
3
CDBD
根据正弦定理,
?
sin?CBDsin?BCD
10BD
?
sin?(180??40??125?)sin40?
根据正弦定理,
10?sin40?
sin15?
在
?ABD中,
?ADB?45??10??55?
,
?BAD?180??60??10?
?110?
?ABD?180??110??55??15?
ADBDABADBDAB
根据正弦定理,,即
????
sin?
ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?
BD?
10?sin40?
?sin15?
BD?sin15
?10?sin40?
sin15?
???6.84
n mile
AD?
sin110?sin110?sin70?
BD?sin55?10?sin
40??sin55?
??21.65
n mile
sin110?sin15??sin70?
如果一切正常,此船从
C
开始到
B
所需要的时间为:
AD?AB6.84?21.65
20??60?10?30??60?86.98
min
3030
即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达
B
岛.
4、约 m
5、在
?ABD
中,
AB?700
km
,
?ACB?180??21??35??124?
700ACBC
根据正弦定理,
??
sin124?sin35?
sin21?
700?sin35?700?sin21?
AC?
,
BC?
sin124?sin124?
700?sin35?700?sin21?
AC?BC???786.89 km
sin124?sin124?
所以路程比原来远了约 km.
6、飞机离
A
处探照灯的距离是
m,飞机离
B
处探照灯的距离是 m,飞机的高度是约 m.
150
7、飞机在150秒内飞行的距离是
d?1000?1000? m
3600
dx
?
根据正弦定理,
sin(81??18.5?)sin18.5?
这里
x
是飞机看到山顶的俯角为
81?
时飞机与山顶的距离.
d?sin18.5?
?tan81??14721.64 m
飞机与山顶的海拔的差是:
x?tan81??
sin(81??18.5?)
山顶的海拔是
20250?14721.64?5528 m
8、在
?AB
T
中,
?ATB?21.4??18.6??2.8?
,
?ABT?90??
18.6?
,
AB?15 m
ABAT15?cos18.6?
根据正弦定理,,即
AT?
?
sin2.8?cos18.6?sin2.8?
15?cos18.6?
塔的高度为
AT?sin21.4???sin21.4??106.19 m
sin2.8?
326?18
9、
AE??97.8 km
60
在
?ACD
中,根据余弦定理:
AB?
AC?AD
2
?CD
2
?2?AD?CD?cos66?
?57
2
?110
2
?2?57?110
?cos66??101.235
根据正弦定理,
(第9题)
ADAC
?
sin?ACDsin?ADC
AD?sin?ADC57?sin66?
sin?ACD???0.5144
AC101.235
?ACD?30.96?
?ACB?133??30.96??102.04?
在
?ABC<
br>中,根据余弦定理:
AB?AC
2
?BC
2
?2?AC?BC
?cos?ACB
?101.235
2
?204
2
?2?101.235?204?c
os102.04??245.93
AB
2
?AC
2
?B
C
2
245.93
2
?101.235
2
?204
2
cos?BAC???0.5847
2?AB?AC2?245.93?101.235
?BAC?54.21?
在
?ACE
中,根据余弦定理:<
br>CE?AC
2
?AE
2
?2?AC?AE?cos?EAC
?101.235
2
?97.8
2
?2?101.235?97.8?0.5487?90.75
AE
2
?EC
2
?AC
2
97.8
2
?90.75
2
?101.235
2
cos?AEC???0.4254
2?AE?EC2?97.8?90.75
?AEC?64.82?
180???AEC?(180??75?)?75??64.82??10.18?
所以,飞机应该以南偏西
10.18?
的方向飞行,飞行距离约
90.75
km
.
10、
如图,在
?ABC
中,根据余弦定理:
(第10题)
<
br>AC?BC
2
?AB
2
?2?AB?BC?cos39?54
?
?(6400?35800)
2
?64002
?2?(6400?35800)?6400?cos39?54
?
?42200
2
?6400
2
?2?42200?6400?cos
39?54
?
?37515.44 km
AB
2
?AC<
br>2
?BC
2
6400
2
?37515.44
2
?42200
2
?BAC????0.6924
2?AB?AC2?6400?37515.44
?BAC?133.82?
,
?BAC?90??43.82?
所以,仰角为
43.82?
11
11、(1)
S?acsinB??28?33?sin45??326.68
cm
2
22
aca36
(2)根据正弦定理:,
c???sinC??sin66.5?
sinAsinCsinAsin32.8?
11sin66.5?
S?acsinB??36
2
??sin(32.8??66.5?)?1082.5
8 cm
2
22sin32.8?
(3)约为
cm
2
12
?
12、
nR
2
sin
.
2na
2
?c
2
?b
2
13、根据余弦定理:
co
sB?
2ac
aa
2
所以
m
a
?
()
2
?c
2
?2??c?cosB
22
a22
a
2
?c
2
?b
2
?()?c?a?c?
22ac
(第13题)
11
?()
2
[a
2<
br>?4c
2
?2(a
2
?c
2
?b
2
)]?()
2
[2(b
2
?c
2
)?a
2
]
22
111
所以
m
a
?2(b
2
?c
2
)?a
2
,同理
m
b
?2(c<
br>2
?a
2
)?b
2
,
m
c
?2(a
2
?b
2
)?c
2
222
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b<
br>2
14、根据余弦定理的推论,
cosA?
,
cosB?
2bc2ca
所以,左边
?c(acosB?bcosA)
c
2
?a
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
?c(a??b?)
2ca2bc
c
2
?a
2
?b
2
b
2<
br>?c
2
?a
2
1
?c(?)?(2a
2
?2b
2
)?
右边
2c2c2
习题 B组(P20)
abasinB
1、根据正弦定理:,所以
b?
?
sinAsinBsinA
11asinB1sinBsinC
代入三角形面积公式得
S?absinC?a?
?sinC?a
2
22sinA2sinA
a
2
?b
2
?c
2
2、(
1)根据余弦定理的推论:
cosC?
2ab
a
2
?b<
br>2
?c
2
2
)
由同角三角函数之间的关系,
sinC?1?cosC?1?(
2ab
2
1
代入
S?absinC
,得
2
1a
2
?b
2?c
2
2
)
S?ab1?(22ab
1
(2ab)
2
?(a
2
?b
2?c
2
)
2
4
1
?(2ab?a
2
?b
2
?c
2
)(2ab?a<
br>2
?b
2
?c
2
)
4
1
?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b)
4
111
1
记
p?(a?b?c)
,则可得到
(b?c?a)?p?a
,(c?a?b)?p?b
,
(a?b?c)?p?c
2222
代入可证得公式
1
(2)三角形的面积
S
与三角形内切圆半径
r
之间有关系式
S??2p?r?pr
2
?
S(p?a)(p?b)(p?c)
1
其中
p?(a?b?c)
,所以
r??
pp
2
1
(3)根据三角形面积公式
S??a?h
a
2
2S22
所以,
h
a
??p(p?a)(p?a)(p?a)
,即
h
a
?p(p?a)(p?a)(p?a)
aaa
同理
h
b
?
22
p(p?a)(p?a)(p?a)
,h
c
?p(p?a)(p?a)(p?a)
bc
第一章
复习参考题
A组(P24)
?
c?8.69 cm
;
1、(1)
B?21?9
?
,C?38?51,
?
c?11.4 c
m
;或
B?138?11,
?
C?11?49
?
,c?2.
46 cm
(2)
B?41?49
?
,C?108?11,
(3)
A?11?2
?
,B?38?58
?
,c?28.02
cm
;
(4)
B?20?30
?
,C?14?30
?
,a?22.92
cm
;
(5)
A?16?20
?
,C?11?40
?
,b?53.41
cm
; (6)
A?28?57
?
,B?46?34
?
,C?104?29
?
;
2、解法1:设海轮在
B
处望见小岛在北
偏东
75?
,在
C
处望
见小岛在北偏东
60?
,
从小岛
A
向海轮的航线
BD
作垂
线,垂线段
AD
的长度为
x
n
mile,
CD
为
y
n mile.
?
x
?<
br>x
?
y
?tan30?
?
tan30?
?y
xx
??
?
?
???8
则
?
?
x?tan15?
?
x
?y?8
tan30?tan15?
?tan15?
?
?
?
y?8
(第2题)
8tan15?tan30?
?4
tan30??tan15?
所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.
3、根据余弦定理:
AB
2
?a
2
?b
2
?2ab
cos
?
x?
所以
AB?a
2
?b
2
?2abcos
?
a
2
?AB
2
?b
2
cosB?
2?a?AB
?
a
2
?a
2
?b
2
?2abcos
?
?b<
br>2
2?a?a?b?2abcos
?
22
?
a?bcos
?
a?b?2abcos
?
22
从
?B
的余弦值可以确定它的大小.
类似地,可以得到下面的值,从而确定
?A
的大小.
cosA?
b?aco
s
?
a
2
?b
2
?2abcos
?
4、如图,
C,D
是两个观测点,
C
到
D
的距离是d
,航船在时刻
t
1
在
A
处,以从
A
到
B
的航向航行,在此时测出
?ACD
和
?CDA
.
在时刻
t
2
,航船航行到
B
处,此时,测出
?CDB
和
?BCD
. 根
(第4题)
据正弦定理,在
?BCD
中,可以计算出
BC
的长,在
?ACD
中,
可以计算出
AC
的长.
在
?ACB
中,解
?ACD
,
AC
、
BC
已经算出,
?ACB??ACD??BCD
,
求出
AB
的长,即航
船航行的距离,算出
?CAB
,这样就可以算出航船的航向和速度.
hsin(
?
?
?
)
5、河流宽度是.
6、 m.
sin
?
sin
?
7、如图,
A,B
是已知的两个小岛,航船在时刻
t
1
在
C
处,以从
C
(第7题)
到
D
的航向航行,测出
?ACD<
br>和
?BCD
. 在时刻
t
2
,航船航行
到
D
处,根据时间和航船的速度,可以计算出
C
到
D
的距离是
d
,在
D
处测出
?CDB
和
?CDA
. 根据正
弦定理,在
?BCD
中,可以计算出
BD
的长,在
?ACD
中,可以计算出
AD
的长. 在
?ABD
中,
AD
、
BD
已经算出,
?ADB??CDB??CDA
,根据余弦定理,就可
以求出
AB
的长,即两个海岛
A,B
的距离.
第一章
复习参考题
B组(P25)
1、如图,
A,B
是两个底部不可到达的建筑物
的尖顶,在地面某点
E
处,测出图中
?AEF
,
?AFE
的大小,以及
EF
的距离. 利用正弦
定理,解
?AEF
,算出
AE
.
在
?BEF
中,测出
?BEF
和
?BFE
,
利用正弦定理,算出
BE
.
在
?AEB
中,测出
?AEB
,利用余弦定
理,算出
AB
的长. 本题有其他的测量方法.
2、关于三角形的面积公式,有以下的一些公式:
111
(1)已知一边和这边上
的高:
S?ah
a
,S?bh
b
,S?ch
c
;
222
111
(2)已知两边及其夹角:
S?absinC,S?bcsinA,S?casinB
;
222
a?b?c
(3)已知三边:
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
,这里
p?
;
2
(第1题)
b
2
sinCsinAc
2
sin
AsinBa
2
sinBsinC
,S?,S?
(4)已知两角及两角的共同边:
S?
;
2sin(C?A)2sin(A?B)2sin(B?C)
abc
.
4R
3、设三角形三边长分别是
n?1,n,n?1
,三个角分别是
?
,
?
?3
?
,2
?
.
n?1
n?1n?1
由正弦定理,,所以
cos
?
?
.
?
2(n?1)
sin
?
sin2
?
(5)已知
三边和外接圆半径
R
:
S?
由余弦定理,
(n?1)
2?(n?1)
2
?n
2
?2?(n?1)?n?cos
?
.
即
(n?1)
2
?(n?1)
2
?n
2?2?(n?1)?n?
n?1
,化简,得
n
2
?5n?0
2(n?1)
所以,
n?0
或
n?5
.
n?0
不合题意,舍去. 故
n?5
所以,三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.
另解:先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数.
(1)三边的长不可能是1,2,3.
这是因为
1?2?3
,而三角形任何两边之和大于第三边.
(2)如果三边分别是
a?2,b?3,c?4
.
b
2
?c
2
?a
2
3
2
?4
2
?2
2
7
因为
cosA???
2bc2?3?48
717
cos2A?2cos
2
A?1?2?()
2
?1?
832
a
2
?b
2
?c
2
2
2
?3
2
?4
2
1
cosC????
2ab2?2?34
在此三角形中,
A
是最小角,
C
是最大角,但是
cos2A?cosC
,
所以
2A?C
,边长为2,3,4的三角形不满足条件.
(3)如果三边分别
是
a?3,b?4,c?5
,此三角形是直角三角形,最大角是
90?
,最小
角
不等于
45?
. 此三角形不满足条件.
(4)如果三边分别是
a?4,b?5,c?6
.
b
2
?c
2
?a
2
5
2
?6
2
?4
2
3
此时,
cosA???
2bc2?5?64
31
cos2A?2cos
2
A?1?2?()
2
?1?
48
a
2
?b
2
?c
2
4
2
?5
2
?6
2
1
cosC???
2ab2?4?58
此时,
cos2A
?cosC
,而
0?2A,C?
?
,所以
2A?C
所以,边长为4,5,6的三角形满足条件.
(5)当
n?4
,三角形的三边是
a?n,b?n?1,c?n?2
时,
三角形的最小角是
A
,最大角是
C
.
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
2bc
(n?1)
2
?(n?2)
2
?n
2
?
2(n?1)(n?2)
n
2
?6n?5
?
2(n?1)(n?2)
n?5
2(n?2)
13
??
22(n?2)
?
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
n
2
?(n?1)
2
?(n?2)
2
?
2n(n?1)
n
2
?2n?3
?
2n(n?1)
n?3
2n
13
??
22n
cosA
随
n
的
增大而减小,
A
随之增大,
cosC
随
n
的增大而增大,<
br>C
随之变小.
由于
n?4
时有
C?2A
,所以,
n?4
,不可能
C?2A
.
综上可知,只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.
第二章 数列
2.1数列的概念与简单表示法
练习(P31)
?
n
1 2 … 5 … 12 …
n
1、
a
n
21 33 … 69 … 153
…
3(3?4n)
2、前5项分别是:
1,0,?1,0,?1
.
?
1
?(
n?2m,m?N
*
)
*
?
?
?
2(n?2m,m
?N)
?
n
3、例1(1)
a
n
?
?
;
(2)
a
n
?
?
*
1
0(n?2m?1
,m?N)
?
?
(n?2m?1,m?N
*
)
?
?
?
n
说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举
出其他可
能的通项公式表达形式不唯一的例子.
1
(?1)
n
1<
br>?
4、(1)
a
n
?
(n?Z
?
)
; (3)
a
n
?
n?1
(n?Z
?
)
(n?Z)
;
(2)
a
n
?
2n
2n?1
2
2
习题
A组(P33)
1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19;
(2)
2,6,22,3,10,23,14,15,4,32
;
(3)1,,,,…;
2,,,,…,.
1111
2、(1)
1,,,,
;
(2)
2,?5,10,?17,26
.
491625
3、(1)(1),
?4
,9,(
?16
),25,(
?36
),49;
a
n
?(?1)
n?1
n
2
;
(2
)1,
2
,(
3
),2,
5
,(
6
),<
br>7
;
a
n
?n
.
1141
4、(1)
,3,13,53,213
;
(2)
?,5,,?,5
.
2454
a
n
?n
2
?2n
. 5、对应的答案分
别是:(1)16,21;(2)10,13;(3)24,35;
a
n
?5n?4<
br>;
a
n
?3n?2
;
6、15,21,28;
a
n
?a
n?1
?n
.
习题 B组(P34)
1、前5项是1,9,73,585,4681.
8
n
?1
该数
列的递推公式是:
a
n?1
?1?8a
n
,a
1
?
1
.通项公式是:
a
n
?
.
7
)
2
?10.144518
;
)?10.072
;
a
2
?10?(1?0.72﹪<
br>2、
a
1
?10?(1?0.72﹪
)
3
?10.2
17559
;
a
n
?10?(1?0.72﹪)
n
.
a
3
?10?(1?0.72﹪
35813
3、(1)1,2,3,
5,8; (2)
2,,,,
.
2358
2.2等差数列
练习(P39)
1、表格第一行依次应填:,,;表格第二行依次应填:15,
?1
1
,
?24
.
2、
a
n
?15?
2(n?1)?2n?13
,
a
10
?33
.
3、
c
n
?4n
4、(1)是,首项是
a
m?1
?a
1
?md
,公差不变,仍为
d
;
(2)
是,首项是
a
1
,公差
2d
;(3)仍然是等差数列;首项是
a
7
?a
1
?6d
;公差为
7d
.
5
、(1)因为
a
5
?a
3
?a
7
?a
5<
br>,所以
2a
5
?a
3
?a
7
.
同理有
2a
5
?a
1
?a
9
也成立;
(2)
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)<
br>成立;
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n?
k?0)
也成立.
习题 A组(P40)
1、(1)
a
n
?29
; (2)
n?10
;
(3)
d?3
; (4)
a
1
?10
.
2、略.
3、
60?
.
4、
2℃
;
?11℃
;
?37℃
.
5、(1)
s?9.8t
; (2)588 cm,5 s.
习题
B组(P40)
1、(1)从表中的数据看,基本上是一个等差数列,公差约为2000,
a
2010
?a
2002
?8d?0.26?10
5
再加上原有的沙化面积
9?10
5
,答案为
9.26?10
5;
(2)2021年底,沙化面积开始小于
8?10
5
hm
2
. 2、略.
2.3等差数列的前
n
项和
练习(P45)
1、(1)
?88
; (2).
?
59
,n?1
?
?
12
2、
a
n
?
?
3、元素个数是30,元素和为900.
?
6n?5
,n?1
?
?
12
习题
A组(P46)
1、(1)
n(n?1)
;
(2)
n
2
; (3)180个,和为98550;
(4)900个,和为494550.
n(a
1
?a
n
)
,并解得
n?27
;
2
17
将
a
1
?20,a
n
?54,n?27
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
,并解得
d?
.
13
1n(a
1
?a
n
)
(2)将
d?,n?37,S
n
?629
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
,
S
n
?
,
32
2、(1)将
a
1
?20,a
n
?54,S<
br>n
?999
代入
S
n
?
?
a
n?a
1
?12
?
得
?
37(a
1
?a
n
)
;解这个方程组,得
a
1
?11,a
n
?23
.
?629
?
2
?
51n(n?1)
(
3)将
a
1
?,d??,S
n
??5
代入
S
n
?na
1
?d
,并解得
n?15
;
662<
br>513
将
a
1
?,d??,n?15
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
,得
a
n
??
.
66
2
(4)将
d?2,n?15,a
n
??10
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
,并解得
a
1
??38
;
将
a
1
??38,an
??10,n?15
代入
S
n
?
3、
4.5
5?10
4
m. 4、4.
n(a
1
?a
n<
br>)
,得
S
n
??360
.
2
5、这些数的通项公式:
7(n?1)?2
,项数是14,和为665.
6、1472.
习题 B组(P46)
1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代
入等差数列前
n
项和公式,求出5年内的总
共的维修费,即再加上购买费,除以天数即
可. 答案:292元.
2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐.
现提供2个证明方法供参考.
(1)由
S
6
?6a
1<
br>?15d
,
S
12
?12a
1
?66d
,<
br>S
18
?18a
1
?153d
可得S
6
?(S
18
?S
12
)?2(S
12?S
6
)
.
(2)
S
12
?S
6<
br>?(a
1
?a
2
?L?a
12
)?(a
1<
br>?a
2
?L?a
6
)
?a
7
?a
8
?L?a
12
?(a
1
?6d)?(a
2
?6d)?L?(a
6
?6d)
?(a
1
?a
2
?L?a
6
)?36d
?S
6
?36d
同样可得:<
br>S
18
?S
12
?S
6
?72d
,因此S
6
?(S
18
?S
12
)?2(S
12?S
6
)
.
3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间4时20分;
所以到下午6时,最后一辆车行驶了1小时40分.
(2)先求出15辆车总共的行驶时
间,第一辆车共行驶4小时,以后车辆行驶时间依次
递减,最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶
时间呈等差数列分布,代入前
n
项和公式,
4?1
这个车队所有车的行驶时间
为
S?
2
3
?15?
85
h.
22
乘以车速
60
kmh,得行驶总路程为2550 km.
4、数列
?
?
1
?
111
??
?
的通项公式为
a
n
?
n(n?1)
n(n?1)nn?1
??
111111111n
所以
S
n
?(?)?(?)?(?)?
L
?(?
)?1??
122334nn?1n?1n?1
1111
?(?)
的数列的前
n
项和. 类似地,我们可以求出通项公式为
a
n
?
n(
n?k)knn?k
2.4等比数列
练习(P52)
a
1
a
3
a
5
a
7
q
1、
2
50
4
2
8
16
2
或
?2
2、由题意可知,每一轮被感染的
计算机台数构成一个首项为
a
1
?80
,公比为
q?20
的
等比
数列,则第5轮被感染的计算机台数
a
5
为
a
5<
br>?a
1
q
4
?80?20
4
?1.28?10
7
.
3、(1)将数列
?
a
n
?
中的前
k
项去掉,剩余的数列为
a
k?1
,a
k?2
,
L
. 令
b?a
k?i
,
i?
1,2,
L
,则数
列
a
k?1
,a
k?2
,
L
可视为
b
1
,b
2
,L
.
因为
b
i?1
a
k?i?1
??q(i≥1)
,所以,
?
b
n
?
是等比数列,即
a
k?1
,a
k?2
,L
是等比数列.
b
i
a
k?i
a
3
a
5
a
??L?
2k?1
?L?q
2
(k≥1)<
br>.
a
1
a
3
a
2k?1
(2)
?
a
n
?
中的所有奇数列是
a
1
,a
3
,a
5
,L
,则
所以,数列
a
1
,
a
3
,a
5
,L
是以
a
1
为首项,
q
2
为公比的等比数列.
(3)
?
a
n
?
中每隔10项取出一项组成的数列是
a
1
,a
12
,a23
,L
,
则
a
12
a
23
a??L?
11k?1
?L?q
11
(k≥1)
a
1
a
12
a
11k?10
所以,数列
a
1
,a
12
,a
23
,L
是以
a1
为首项,
q
11
为公比的等比数列.
猜想:在数列
?
a
n
?
中每隔
m
(
m
是一个正整数)取
出一项,组成一个新的数列,这个数列
是以
a
1
为首项,
q
m?1
为公比的等比数列.
2
?(a
1
q
4
)<
br>2
?a
1
2
q
8
,而
a
3
?a
7
?a
1
q
2
?a
1
q
6<
br>?a
1
2
q
8
4、(1)设
?
a
n
?
的公比为
q
,则
a
5
22
?a
3
?a
7
,同理
a
5
?a
1
?a
9
所以
a
5
2
?a
n?1
?a
n
?1
(n?1)
. 由此得出,
a
n
是
a
n?1<
br>和
a
n?1
的等比中项. (2)用上面的方法不难证明
a
n
2
?a
n?k
?a
n?k
(n?k?0)
.
由此得出,
a
n
是
a
n?k
和
a
n?k<
br>的等比中项
(n?k?0)
.
同理:可证明,
a
n
)
n
. 5、(1)设
n
年后
这辆车的价值为
a
n
,则
a
n
?13.5(1?10﹪)
4
?88573
(元). 用满4年后卖掉这辆车,能得到约88573元.
(2)
a
4
?13.5(1?10﹪
习题 A组(P53)
1、(1)可由
a
4
?a
1
q
3
,得a
1
??1
,
a
7
?a
1
q
6
?(?1)?(?3)
6
??729
.
也可由
a
7
?a
1
q
6
,
a
4
?a<
br>1
q
3
,得
a
7
?a
4
q
3
?27?(?3)
3
??729
?
a
1
?27
?
a
1
??27
aq?18
?
?
?
?
1
(2)由
?
3
,解得
?
,或<
br>?
2
2
q?
q??
aq?8
?
?
?
?
1
3
3
?
?
4
?
3
?
a
1
q?4
(3)由
?
6
,解得
q
2
?
,
2
?
?
a
1
q?6
3
a
9
?a
1
q
8
?a
1
q
6?q
2
?a
7
q
2
?6??9
2
2
a
7
6
2
还可由
a
5
,a
7
,a
9
也成等比数列,即
a?a
5
a
9
,得
a
9
???9
.
a
5
4
2
7
4
?
?
a
1
q?a
1?15
LL
①
(4)由
?
3
?
?
a
1
q?a
1
q?6
LL
②
q
2
?15
1
?
,由此解得
q?
或
q?2
.
①的两边分别除以②的两边,得
q2
2
当
q?
1
时,
a
1
??16
.
此时
a
3
?a
1
q
2
??4
.
当
q?2
时,
a
1
?1
.
此时
a
3
?a
1
q
2
?4
.
2
2、设
n
年后,需退耕
a
n
,则
?
an
?
是一个等比数列,其中
a
1
?8(1?10﹪),q?0.
1
.
)
5
?13
(万公顷) 那么2005年需退耕
a
5
?a
1
(1?q)
5
?8(1?10﹪
3、若<
br>?
a
n
?
是各项均为正数的等比数列,则首项
a
1<
br>和公比
q
都是正数.
由
a
n
?a
1<
br>q
n?1
,得
a
n
?a
1
q
n?1
?a
1
q
1
2
n?1
2
?a
1<
br>(q)
1
2
(n?1)
.
那么数列
?
a
n
?
是以
a
1
为首项,
q
为公比的等比
数列.
4、这张报纸的厚度为 mm,对折一次后厚度为×2
mm,再对折后厚度为×
2
2
mm,再对折后
厚度为×
2
3
mm. 设
a
0
?
0.05
,对折
n
次后报纸的厚度为
a
n
,则
?<
br>a
n
?
是一个等比数列,公比
q?2
.
对折50次后,报纸的厚度为
a
50
?
a
0
q
50
?0.05?2
50
?5.63?10
13
mm?5.63?10
10
m
这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约
3.84?10
8
m
),所以能够在地球和月
球之间建一座桥.
5、设年平均增长率为
q,a
1
?105
,
n
年后空气质量为良的天数为
a
n<
br>,则
?
a
n
?
是一个等比数列.
由
a
3
?240
,得
a
3
?a
1
(1?q)
2
?105(1?q)
2
?240
,解得
q?<
br>240
?1?0.51
105
a?ba?b?2ab(a?b)2
a?b
6、由已知条件知,
A?
?ab??≥0
,G?ab
,且
A?G?
222
2
所以有
A≥G
,等号成立的条件是
a?b
.
而
a,b
是互异正数,所以一定有
A>G
.
7、(1)
?2
;
(2)
?ab(a
2
?b
2
)
.
8、(1)27,81; (2)80,40,20,10.
习题 B组(P54)
1、证明:由等比数列通项公式,得
a
m
?a
1
q
m?1<
br>,
a
n
?a
1
q
n?1
,其中
a<
br>1
,q?0
a
m
a
1
q
m?1
??q
m?n
所以
n?1
a
n
a
1
q
2、(1)设生物体死
亡时,体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位,年衰变率为
q
,
n
年
后的残留量为
a
n
,则
?
a
n
?
是一个等
比数列. 由碳14的半衰期为5730
则
a
n
?a
1
q
5730
?q
5730
1
1
5730
1
?0.999879
?
,解得
q?()
2
2
(2)设动物约在距今
n
年前死亡,由
a
n
?0.6
,得
a
n
?
a
1
q?0.999879
n
?0.6
.
解得
n?4221
,所以动物约在距今4221年前死亡.
3、在等差数列1,2,3,…中,
有
a
7
?a
1
0
?17?a
8
?a
9
,
a
10
?a40
?50?a
20
?a
30
由此可以猜想,在等差数列
?
a
n
?
中
若
k?s?p?q(k,s,p,q?N
*
)
,则
a
k
?a<
br>s
?a
p
?a
q
.
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个
akas
问题:由等差数列
?
a
n
?
的图象,可以看出
k
?
,
s
?<
br>
a
p
pa
q
q
(第3题)
根据等
式的性质,有
a
k
?a
s
k?s
?
,所以
a
k
?a
s
?a
p
?a
q
.
a
p
?a
q
p?q
猜想对于等比数列
?
a
n
?
,类似的性质为:若
k?s?p?q(k,s,p,q?N
*
)<
br>,则
a
k
?a
s
?a
p
?a
q.
2.5等比数列的前
n
项和
练习(P58)
1、(1)
S
6
?
a?aq
a
1
(1?q)3(1?2)??189
. (2)
S
n
?
1n
?
1?
q1?21?q
66
?2.7?
11
(?)
903
??91
.
1
45
1?(?)
3
2、设这个等比数列的公
比为
q
所以
S
10
?(a
1
?a
2
?L?a
5
)?(a
6
?a
7?L?a
10
)
?S
5
?q
5
S
5<
br>?(1?q
5
)S
5
?50
同理
S
15
?S
10
?q
10
S
5
.
因为
S
5
?10
,所以由①得
q
5
?
S
10
?1?4?q
10
?16
S
5
代入②,得
S
15
?S
10
?q
10
S<
br>5
?50?16?10?210
.
3、该市近10年每年的国内生产总值构成
一个等比数列,首项
a
1
?2000
,公比
q?1.1
2000(1?1.1
10
)
设近10年的国内生产总值是
S
10
,则
S
10
??31874.8
(亿元)
1?1.1
习题 A组(P61)
1、(1)由
q
3
?
a?aq?1?64?(?4)
a
4
64
?51
.
???64
,解得
q??4
,所以
S
4
?
14<
br>?
a
1
?1
1?q1?(?4)
(2)因为
S<
br>3
?a
1
?a
2
?a
3
?a
3(q
?2
?q
?1
?1)
,所以
q
?2
?q
?1
?1?3
,即
2q
2
?q?1?0
131
解这个方程,得
q?1
或
q??
.
当
q?1
时,
a
1
?
;当
q??
时,a
1
?6
.
222
2、这5年的产值是一个以
a1
?138?1.1?151.8
为首项,
q?1.1
为公比的等比数列
a
1
(1?q
5
)151.8?(1?1.1
5
)
??926.754
(万元) 所以
S
5
?
1?q1
?1.1
3、(1)第1个正方形的面积为4
cm
2
,第2个正方形的面积为
2
cm
2
,…,
1
这是一个以
a
1
?4
为首项,
q?
为公比的等比数列
2
1
所以第10个正方形
的面积为
a
10
?a
1
q
9
?4?()
9
?2
?7
(
cm
2
)
2
(2)这1
0个正方形的面积和为
S
10
?
a
1
?a
10q
?
1?q
4?2
?7
?
1?
1
2<
br>1
2
?8?2
?7
(
cm
2
)
4
、(1)当
a?1
时,
(a?1)?(a
2
?2)?L?(a
n
?n)??1?2?L?(n?1)??
(n?1)n
2
当
a?1
时,
(a?1)?(a
2
?2)?L?(a
n?n)?(a?a
2
?L?a
n
)?(1?2?L?n)
a(1?a
n
)n(n?1)
??
1?a2
(2)
(2?3?5
?1
)?(4?3?5
?2
)?(n?3?5<
br>?n
)?2(1?2?L?n)?3(5
?1
?5
?2
?L?
5
?n
)
n(n?1)5
?1
(1?5
?n
)3
2??3??n(n?1)?(1?5
?n
)
?1
21?54
(3)设
S
n
?1?2x?3x2
?L?nx
n?1
……①
则
xS<
br>n
?x?2x
2
?L?(n?1)x
n?1
?nx
n
……②
①-②得,
(1?x)S
n
?1?x?x
2
?L?x
n?1
?nx
n
……③
1?x
n
nx
n
n(n?1)
?
当
x?1
时,
S
n
?1?2?3?L?n?
;当
x?1
时,由③得,
S
n
?
(1?x)
2
1?x2
5、(1)第10次着地时,经过的路程为
100?2(50?25?L?100?2<
br>?9
)
?100?2?100(2
?1
?2
?2<
br>?
L
?2
?9
)
2
?1
(1?2
?9
)
?100?200??299.61
(m)
1?2
?1
(2)设第
n
次着地时,经过的路程为 m,
2
?1
(1?2
?(n?1)
)
则
100?2?1
00(2?2?
L
?2)?100?200??293.75
1?2
?1
所以
300?200?2
1?n
?293.75
,解得
2
1?n
?0.03125
,所以
1?n??5
,则
n?
6
?1?2?(n?1)
6、证明:因为
S
3
,S
9
,S
6
成等差数列,所以公比
q?1
,且
2S
9
?S
3
?S
6
a
1
(1?q
9
)a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6<
br>)
??
即,
2?
1?q1?q1?q
于是,
2q
9
?q
3
?q
6
,即
2q
6
?1?q
3
上式两边同乘以
a
1
q
,得
2a
1
q
7
?a
1
q?a
1
q
4
即,
2a
8
?a
2
?a
5,故
a
2
,a
8
,a
5
成等差数列
习题 B组(P62)
b
1?()
n?1
bb
n
a
n?1
?b
n?1
nn?1nnn
a
?
1、证
明:
a?ab?
L
?b?a(1??
L
?())?a
b
aaa?b
1?
a
2、证明:因为
S
14
?
S
7
?a
8
?a
9
?L?a
14
?q7
(a
1
?a
2
?L?a
7
)?q
7
S
7
S
21
?S<
br>14
?a
15
?a
16
?L?a
21
?q<
br>14
(a
1
?a
2
?L?a
7
)?q
14
S
7
所以
S
7
,S<
br>14?7
,S
21?14
成等比数列
3、(1)环保部门每
年对废旧物资的回收量构成一个等比数列,首项为
a
1
?100
,公比为q?1.2
.
所以,2010年能回收的废旧物资为
a
9<
br>?100?1.2
8
?430
(t)
a
1
(1?q
9
)100(1?1.2
9
)
??2080
(t)
(2)从2002年到2010年底,能回收的废旧物资为
S
9
?
1?q1?1.2
可节约的土地为
1650?4?8320
(
m
2
)
4、(
1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每
(a?na)n<
br>月固定存入
a
元,连续存
n
个月,计算利息的公式为
?
月利率.
2
因为整存整取定期储蓄存款年利率为
2.52﹪
,月利率为
0.21﹪
(50?50?36)?36
故到期3年时一次可支取本息共
?0.21﹪?1800?1869.93
(元)
2
若连续存6年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略.
(2)略.
(3)每月存50元,连续存3年
按照“零存整取”的方式,年利率为1.89﹪
,且需支付
20﹪
的利息税
所以到期3年时一次可支取本息
共
1841.96
元,比教育储蓄的方式少收益
27.97
元.
36(x?36x)
(4)设每月应存入
x
元,由教育储蓄的计算公式得
?0.21﹪?36x?10000
2
解得
x?267.39
(元),即每月应存入
267.39
(元)
(5)(6)(7)(8)略
)
7
,2005年初存5、设每年应存入
x<
br>万元,则2004年初存入的钱到2010年底利和为
x(1?2﹪
)
6
,……,2010年初存入的钱到2010年底利和为
x(1?2﹪
入的钱到2010年底利
和为
x(1?2﹪
)
.
)
7
?x(1?2﹪)
6
?L?x(1?2﹪)?40
根
据题意,
x(1?2﹪
x(1?2
﹪
)(1?1.02
7
)
根据等比数列前
n
项和公式,得
?40
,解得
x?5249
8
(元)
1?1.02
故,每年大约应存入52498元
第二章
复习参考题
A组(P67)
1、(1)
B
;
(2)
B
; (3)
B
; (4)
A
.
(?
1)
n?1
(2n?1)
2n?1
2、(1)
a
n
?
n
; (2)
a
n
?1?
;
2
(2n)
2
7
(3)
a
n
?(10
n
?1)
; (4)
a<
br>n
?1?(?1)
n
或
a
n
?1?cosn
?
.
9
3、
<
br>4、如果
a,b,c
成等差数列,则
b?5
;如果
a,b,c
成等比数列,则
b?1
,或
?1
.
5、
a
n
按顺序输出的值为:12,36,108,324,972.
sum?86093436
.
)
8
?1396.3
(万)
6、
1381.9?(1?0.13﹪
7、从12月20日到次年的1月1日,共13天.
每天领取的奖品价值呈等差数列分布.
n(n?1)13?12
d
得
:
S
13
?100?13??10?2080?2000
.
22
所以第二种领奖方式获奖者受益更多.
d?10,a
1
?100
. 由
S
n
?a
1
n?
8、因为
a
2
?a
8
?a
3
?a
7
?a
4
?a
6
?2a
5
5
所以
a
3
?a
4
?a
5
??a
6
?a
7
?450?(a
2
?a
8
)
,则
a
2
?a
8
?180
.
2
10?10n
9、容易得到
a
n
?10n,S
n
??10
?1200
,得
n?15
.
2
10、
S
2
?a
n?1
?a
n?2
?L?a
2n
?(a
1<
br>?nd)?(a
2
?nd)?L?(a
n
?nd)
?(a
1
?a
2
?L?a
n
)?n?nd?S1
?n
2
d
S
3
?a2n?1
?a
2n?2
?L?a
3n
?(a
1
?2nd)?(a
2
?2nd)?L?(a
n
?2nd)
?(a
1
?a
2
?L?a
n
)?n?2nd?S<
br>1
?2n
2
d
容易验证
2S
2
?S
1
?S
3
. 所以,
S
1
,S
2
,S
3
也是等差数列,公差为
n
2
d
.
11、
a
1
?f(x?1)?(x?1)
2
?4(x?1)?2?x
2
?2x?1
a<
br>3
?f(x?1)?(x?1)
2
?4(x?1)?2?x
2
?6x?7
因为
?
a
n
?
是等差数列,
所以
a
1
,a
2
,a
3
也是等差数列.
所以,
2a
2
?a
1
?a
3
.
即,
0?2x
2
?8x?6
.
解得
x?1
或
x?3
.
当
x?1
时,a
1
??2,a
2
?0,a
3
?2
.
由此可求出
a
n
?2n?4
.
当
x?3
时
,
a
1
?2,a
2
?0,a
3
??2
.
由此可求出
a
n
?4?2n
.
第二章
复习参考题
B组(P68)
1、(1)
B
;
(2)
D
.
2、(1)不成等差数列. 可以从图象上解释.
a,b,c
成等差,则通项公式为
y?pn?q
的形式,
1
111111
且
a,b,c
位于同一直线上,而
,,
的通项公式却是
y?
的形式,
,,
不可能在同一直
pn?q
abcabc
线上,因此肯
定不是等差数列.
(2)成等比数列.
因为
a,b,c
成等比,有
b
2
?ac
.
又由于
a,b,c
非零,两边同时取倒数,则有
111
所以,
,,
也成等比数列.
abc
)
6
?0.126,质量分数:
0.05?(1?25﹪)
6
?0.191
.
3、体积分数:
0.033?(1?25﹪
1111
???
.
b<
br>2
acac
4、设工作时间为
n
,三种付费方式的前<
br>n
项和分别为
A
n
,B
n
,C
n
.
第一种付费方式为常数列;
第二种付费方式为首项是4,公差也为4的等差数列;第三种付费方式为首项
是,公比为2的
0.4(1?2
n
)
n(n?1)
2
等比数
列. 则
A
n
?38n
,
B
n
?4n?
?
0.4(2
n
?1)
.
?4?2n?2n
,
C
n
?
1?2
2
下面考察
A
n
,B
n
,C
n
看出
n?10
时,
38n?0.4(2
n
?1)
.
因此,当工作时间小于10天时,选用第一种付费方式.
n
≥10
时,
A
n
≤C
n
,B
n
≤C
n
因此,当工作时间大于10天时,选用第三种付费方式.
5、第一星期选择<
br>A
种菜的人数为
n
,即
a
1
?n
,选择B
种菜的人数为
500?a
.
所以有以下关系式:
a
2
?a
1
?80﹪
?b
1
?30﹪
a
3
?a
2
?80﹪?b
2
?30﹪
……
a
n
?a
n?1
?80﹪?b
b?1
?
30﹪
a
n
?b
n
?500
11
所以<
br>a
n
?150?a
n?1
,
b
n
?500?
a
n
?350?a
n?1
22
如果
a
1
?300
,则
a
2
?300
,
a
3
?300
,…,
a
10
?300
6、解:由
a
n
?2a
n?1
?3a
n?2
得
a<
br>n
?a
n?1
?3(a
n?1
?a
n?2
)
以及
a
n
?3a
n?1
??(a
n?1
?
3a
n?2
)
所以
a
n
?a
n?1?3
n?2
(a
2
?a
1
)?3
n?2
?7
,
a
n
?3a
n?1
?(?1)
n?2(a
2
?3a
1
)?(?1)
n?2
?13
.
由以上两式得,
4a
n
?3
n?1
?7?(?1)
n?1
?13
1
n?1n?1
所以,数列的通项公式是
a
n
?
?
3?7?(?1)?13
?
?
4
?
7、设这家牛奶厂每年应扣除
x
万元消费基金
2002年底剩余资金是
1000(1?50﹪)?x
)?x](1?50﹪)?x
?1000(1?50﹪)
2
?(1?50﹪)x?x
2003年底剩余资金是
[1000(1?50﹪
……
)
5
?(1?50﹪)
4
x?(1?50﹪)
3x?(1?50﹪)
2
x?(1?50﹪)x?2000
5年后达到资金
1000(1?50﹪
解得
x?459
(万元)
第三章 不等式
3.1不等关系与不等式
练习(P74)
1、(1)
a?b≥0
;
(2)
h≤4
;
(3)
?
?
(L?10)(W?10)?350
.
L?4W
?
2、这给两位数是57. 3、(1)
?
;
(2)
?
; (3)
?
; (4)
?
;
习题 A组(P75)
1、略.
2、(1)
2?
3
7?4
;
(2)
7?10?3?14
.
x
2
x
2
3、证明
:因为
x?0,?0
,所以
?x?1?x?1?0
44
xx
因为
(1?)
2
?(1?x)
2
?0
,所以
1??1?x
22
?
x?
0
?
x?5?0
?
?
?
4x?48
4、设
A
型号帐篷有
x
个,则
B
型号帐篷有
(x?5)
个
,
?
0?5x?48?5
?
?
3(x?5)?48
?
?
?
4(x?4)≥48
5、设方案的期限为
n
年时,
方案
B
的投入不少于方案
A
的投入.
n(n?1)
所以,
5n??10≥500
即,
n
2
≥100
.
2
习题 B组(P75)
1、(1)因为
2x
2
?5x?9?(x
2
?5x?6)?x2
?3?0
,所以
2x
2
?5x?9?x
2
?
5x?6
(2)因为
(x?3)
2
?(x?2)(x?4)?
(x
2
?6x?9)?(x
2
?6x?8)?1?0
所以
(x?3)
2
?(x?2)(x?4)
(3)因
为
x
3
?(x
2
?x?1)?(x?1)(x
2
?
1)?0
,所以
x
3
?x
2
?x?1
(4)因为
x
2
?y
2
?1?2(x?y?1)?x
2?y
2
?1?2x?2y?2?(x?1)
2
?(y?1)
2<
br>?1?0
所以
x
2
?y
2
?1?2(x?y?1)
2、证明:因为
a?b?0,c?d?0
,所以
ac?bd?0
1
又因为
cd?0
,所以
?0
cd
于是
ab
ab
?
??0
,所以
dc
dc
3、设安排甲种货箱
x
节,乙种货箱
y
节,总运费为
z
.
?
35x?25y≥1530
?
所以
?
15x?35y≥1150
所以
x≥28
,且
x≤30
?
x?y?50
?
所以
?
?
x?28?
x?30
?
x?29
,或
?
,或
?
y?22y?20
y?21
??
?
所以共有三种方案,方案一安排
甲种货箱28节,乙种货箱22节;方案二安排甲种货箱29
节,乙种货箱21节;方案三安排甲种货箱
30节,乙种货箱20节.
当
?
?
x?30
时,总运费
z?0.5?30?0.8?20?31
(万元),此时运费较少.
y?20
?
3.2一元二次不等式及其解法
练习(P80)
1、
(1)
?
x?1≤x≤
?
?
?
??
10
?
1
?
?
; (2)R;
(3)
?
xx?2
?
;
(4)
?
xx?
?
;
3
?
2
??
3
?
2
?
?
?
5
4
4
?
3
?
?
?
5
3
?
?
(5)
?
xx??1,或x?
?
;
(6)
?
xx?,或x?
?
;
(7)
?
x??x?0
?
.
?
33
?
?
?
2、(1)使
y?3x
2
?6x?2
的值等于0的
x的集合是
?
1?,1?
?
;
33
??
??<
br>?
33
?
??
,或x?1?
使
y?3
x
2
?6x?2
的值大于0的
x
的集合为
?
xx?
1?
?
;
33
??
??
?
33
?
??
?x?1?
使
y?3x?6x?2
的值小于0的
x
的集合是
?
x1?
?
.
33
??
?
?
2
(2)使
y?25?x
2
的值等于0的
x
的集
合
?
?5,5
?
;
使
y?25?x
2
的值大于0的
x
的集合为
?
x?5?x?5
?
;
使
y?25?x
2
的值小于0的
x
的集
合是
?
xx??5,或x?5
?
.
(3)因为抛物线
y?
x
2
+6x?10
的开口方向向上,且与
x
轴无交点
所以使
y?x
2
+6x?10
的等于0的集合为
?
;
使
y?x
2
+6x?10
的小于0的集合为
?
;
使
y?x
2
+6x?10
的大于0的集合为R.
(4)使y??3x
2
?12x?12
的值等于0的
x
的集合为
?
2
?
;
使
y??3x
2
?12
x?12
的值大于0的
x
的集合为
?
;
使
y??3x
2
?12x?12
的值小于0的
x
的集合为<
br>?
xx?2
?
.
习题 A组(P80)
?
13
13
?
?
35
?
??
?x?
1、(1)
?
xx??,或x?
?
;
(2)
?
x?
?
;
22
22
??
??<
br>??
(3)
?
xx??2,或x?5
?
;
(4)
?
x0?x?9
?
.
2、(1)解
x
2<
br>?4x?9≥0
,因为
???20?0
,方程
x
2
?
4x?9=0
无实数根
所以不等式的解集是R,所以
y?x
2
?4x?9
的定义域是R.
(2)解
?2x
2
?12x?18≥0
,即
(x?3)
2<
br>≤0
,所以
x?3
所以
y??2x
2
?12x?18
的定义域是
?
xx?3
?
3、
mm??3?22,或m??3?22
; 4、R.
5、设能够在抛出点2 m以上的位置最多停留t秒.
1
依题意,
v<
br>0
t?gt
2
?2
,即
12t?4.9t
2
?2
. 这里
t?0
. 所以t最大为2(精确到秒)
2
答:能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2秒.
6、设每盏台灯售价
x
元,则<
br>?
x?
?
x15≤x?20
?
?
x≥15
. 即
15≤x?20
.所以售价
?
x
[30?2(x?15)]?400
??
习题 B组(P81)
?
5?5
2
?
?
1
?
?
5?52
?
?x?
1、(1)
?
x
?
;
(2)
?
x3?x?7
?
; (3)
?
;
(4)
?
x?x?1
?
.
22
?
?
3<
br>?
?
??
2、由
??(1?m)
2
?4m
2
?0
,整理,得
3m
2
?2m?1?0
,因为方程
3m
2
?2m?1?0
有两个实数
11
?
1
?根
?1
和,所以
m
1
??1
,或
m
2
?
,
m
的取值范围是
?
mm??1,或m?
?.
3
?
33
?
?
4242
?
13<
br>??
,或x?3?
3、使函数
f(x)?x
2
?3x?
的值大于0的解集为
?
xx?3?
?
.
22
?
24
??
?
4、设风暴中心坐标为
(a,b)
,则
a?30
02
,所以
(3002)
2
?b
2
?450
,即<
br>?150?b?150
而
300
3002?15015
,
?15
.
?(22?1)?13.7
(h)
202
20
所以,经过约小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15小时.
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
练习(P86)
1、
B
.
2、
D
.
3、
B
.
4、分析:把已知条件用下表表示:
工序所需时间分钟
打磨 着色 上漆
桌子
A
10 6 6
桌子
B
5 12 9
工作最长时间 450 480 450
解:设家具厂每天生产
A
类桌子
x
张,
B
类桌子
y
张.
收益元
40
30
对于
A
类桌子,
x
张桌子需要打磨
10x
min,着色
6x<
br>min,上漆
6x
min
对于
B
类桌子,<
br>y
张桌子需要打磨
5y
min,着色
12y
min,上漆9y
min
而打磨工人每天最长工作时间是
450
mi
n,所以有
10x?5y≤450
.
类似地,
6x?12y≤480
,
6x?9y≤450
在实际问题中,
x≥0,y≥0
;
?
10x?5y≤450
?6x?12y≤480
?
?
所以,题目中包含的限制条件为
?
6x?9y≤450
?
x≥0
?
?
?
y≥0
练习(P91)
1、(1)目标函数为
z?2x?y
,可行域如图所示,作出直线
y??2x?z,可知
z
要取最大值,
即直线经过点
C
时,解方程组
?
?
x?y?1
得
C(2,?1)
,所以,
z<
br>max
?2x?y?2?2?(?1)?3
.
y??1
?
y
x
(1)
(第1题)
(2)
(2)目标函数为
z?3x?5y
,可行域如图所示,作出直线
z?3x?5y
可知,直线经过点
B
时,
Z
取得最大值.
直线经过点
A
时,
Z
取得最小值.
解方程组
?
?
y?x?1
?
y?x?1
,和
?
5x?3y?15
x?5y?3
?
?
可得点
A(?2,?1)
和点
B(1.5,2.5)
.
所以
z
max
?3?1.5?5?2.5?17
,
z
min
?3?(?2)?5?(?1)??11
2、设每月生产甲产品
x
件,生产乙产品
y
件,每月收入为
z元,目标函数为
z?3000x?2000y
,
?
x?2y≤400?
2x?y≤500
?
需要满足的条件是
?
,作直线
z?3000x?2000y
,
?
x≥0?
?
y≥0
当直线经过点
A
时,
z
取得最大值
.
解方程组
?
?
x?2y?400
2x?y?500
?
(第2题)
可得点
A(200,100)
,
z
的最大值为800000元.
习题 A组(P93)
1、画图求解二元一次不等式:
(1)
x?y≤2
; (2)
2x?y?2
;
(3)
y≤?2
; (4)
x≥3
(1)
2、
(2) (3) (4)
(第2题)
3、分析:将所给信息下表表示:
每次播放时间分
连续剧甲 80
连续剧乙 40
播放最长时间 320
最少广告时间
广告时间分
1
1
6
收视观众万
60
20
解:设每周播放连续剧甲
x
次,播放连续剧乙
y次,收视率为
z
.
目标函数为
z?60x?20y
,
?
80x?40y≤320
?
x?y≥6
?
所以,题目中包含的限制条件为
?
?
x≥0
?
?
y≥0
可行域如图.
解方程组
?
?
80x?40y
=
320
x?y
=
6
?
(第3题)
得点
M的坐标为
(2,4)
,所以
z
max
?60x?20y?200
(万)
答:电视台每周应播放连续剧甲2次,播放连续剧乙4次,才能获得最高的收视率.
4、设每周生产空
调器
x
台,彩电
y
台,则生产冰箱
120?x?y
台,产值
为
z
.
则,目标函数为
z?4x?3y?2(120?x?y)?2x?y?240
所以,题目中包含的限制条件为
11
?
1
x?y?(120?x?y)≤4
0
?
3x?y≤120
?
234
?
x?y≤100
?
?
120?x?y≥20
?
即,
?
?
x≥0
?
x≥0
?
?
?
?
y≥0
y≥0<
br>?
?
可行域如图,解方程组
?
?
3x?y
=
120
x?y
=
100
?
得点
M
的坐标
为
(10,90)
,所以
z
max
?2x?y?240?350(千元)
答:每周应生产空调器10台,彩电90台,冰箱20台,才能使产值最高,最高产值是
350
千元.
习题 B组(P93)
?
2x?3y≤1
2
?
2x?3y??6
?
1、画出二元一次不等式组
?
,
?
x≥0
?
?
y≥0
所表示的区域如右图
2、画出
(x?2y?1)(x?y?3)?0
表示的区域.
(第1题)
(第2题)
3、设甲粮库要向
A
镇运送大
米
x
吨、向
B
镇运送大米
y
吨,总运费为
z
. 则乙粮库要向
A
镇
运送大米
(70?x)
吨、向
B<
br>镇运送大米
(110?y)
吨,目标函数(总运费)为
z?12
?20?x?25?10?y?15?12?(70?x)?20?8?(110?y)?60x?90y?30
200
.
?
x?y≤100
?
(70?x)?(110?y)≤8
0
?
所以,题目中包含的限制条件为
?
.
?
0≤x≤70
?
?
y≥0
所以当
x?70,y?30
时,总运费最省
z
min
?37100
(元)
所以当
x?0,y?100
时,总运费最不合理
z
max
?39200
(元)
使国家造成不该有的损失2100元.
答:甲粮库要向
A
镇运送大米70吨,向B
镇运送大米30吨,乙粮库要向
A
镇运送大米0
吨,向
B镇运送大米80吨,此时总运费最省,为37100元. 最不合理的调运方案是要向
A
镇
运送大米0吨,向
B
镇运送大米100吨,乙粮库要向
A
镇运送大米
70吨,向
B
镇运送大米10
吨,此时总运费为39200元,使国家
造成损失2100元.
a?b
3.4基本不等式
ab≤
2
练习(P100)
11
1、因为
x?0
,所以
x?≥2x??2
x
x
11
时,即
x?1
时取等号,所以当
x?1
时,即
x?
的值最小,最小值是2.
x
x
2、设两条直角边的长分别为
a,b
,
a?0,
且
b?0
,因为直角三角形的面积等于50.
1
即
ab?50
,所以
a?b≥2ab?2100?20
,当且仅当
a?b?10
时取等号.
2
答:当两条直角边的长均为10时,两条直角边的和最小,最小值是20.
3、设矩形的长与宽分别为
a
cm,
b
cm.
a?0
,
b?0
因为周长等于20,所以
a?b?10
a?b
2
10
2
所以
S?ab≤()?()?25
,当且仅当
a?b?5
时取等号.
22
答:当矩形的长与宽均为5时,面积最大.
4、设底面的长与宽分别为
a
m,
b
m.
a?0
,
b?0
因为体积等于32
m
3<
br>,高2
m
,所以底面积为16
m
2
,即
ab?16<
br>
当且仅当
x?
所以用纸面积是
S?2ab?2bc?2ac?32?4(a?b)≥32?42ab?32?32?64
当且仅当
a?b?4
时取等号
答:当底面的长与宽均为4米时,用纸最少.
习题 A组(P100)
1、(1)设两个
正数为
a,b
,则
a?0,b?0
,且
ab?36
所以
a?b≥2ab?236?12
,当且仅当
a?b?6
时取等号.
答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.
(2)设两个正数为
a,b
,依题
意
a?0,b?0
,且
a?b?18
a?b
2
18
2
所以
ab≤()?()?81
,当且仅当
a?b?9
时取等号.
22
答:当这两个正数均为9时,它们的积最大.
2、设矩形的长为
x
m,宽为
y
m,菜园的面积为
S
m
2
.
则
x?2y?30
,
S?x?y
11x?2y
2
1900225
由基本不等式与不等式的性质,可得
S??x?2y≤(
.
)???
222242
15225
2
当
x?2y,即
x?15,y?
时,菜园的面积最大,最大面积是
m
.
2
2
3、设矩形的长和宽分别为
x
和
y
,圆柱的侧面积为
z<
br>,因为
2(x?y)?36
,即
x?y?18
.
所以
z?2
?
?x?y≤2
?
?(
x?y
2
)
?162
?
,
2
当
x?y
时,即长和宽均为9时,圆柱的侧面积最大.
<
br>4、设房屋底面长为
x
m,宽为
y
m,总造价为
z
元
,则
xy?12
,
y?
z?3y?1200?6x?800?5800?
当且仅当
12
x
12?3600
?4800x?5800≥23600?12?4800?5800?34
600
x
12?3600
?4800x
时,即
x?3时,
z
有最小值,最低总造价为34600元.
x
习题
B组(P101)
1、设矩形的长
AB
为
x
,由矩形
AB
CD(AB?AD)
的周长为24,可知,宽
AB?12?x
.
设
PC?a
,则
DP?x?a
12x?72
x
2
?12x?72
所以
(12?x)
?(x?a)?a
,可得
a?
,
DP?x?a?
.
x
x
112x?72?x
2
?18x?7272
所以
?ADP
的面积
S?(12?x)?6??6?[?(x?)?18]
2xxx
222
由基本不等式与不等式的性质
S≤6?[?272?18]?6?(18?122)?108?722
72
,即
x?62
m时,
?ADP
的面积最大,最大面积是
(108?
722)
m
2
.
x
2、过点
C
作
CD?
AB
,交
AB
延长线于点
D
.
当
x?
设
?BCD?
?
,
?ACB?
?
,
CD?x
.
b?ca?c
.
在
?ACD
中,
tan(
?
?
?
)?
xx
tan(
?
?
?
)?tan
?
则
tan
?
?tan[(
?
?
?
)?
?<
br>]?
1?tan(
?
?
?
)?tan
?
在
?BCD
中,
tan
?
?
a?cb?c
?
a?b
xx
?
?
a?cb?c(a?c)(b?c)
1??x?
xxx
a?ba?b
?
(a?c)(b?c)2(a?c)(b?c)
2x?
x
(a?c
)(b?c)
当且仅当
x?
,即
x?(a?c)(b?c)
时
,
tan
?
取得最大,从而视角也最大.
x
≤
第三章 复习参考题
A组(P103)
1、
5112
???
.
12537
2、化简得
A
?
?
x?2?x?3
?
,
B?
?
xx??4,或x
?2
?
,所以
AIB?
?
x2?x?3
?
3
3、当
k?0
时,一元二次不等式
2kx
2
?kx??
0
对一切实数
x
都成立,
8
3
即二次函数
y?2
kx
2
?kx?
在
x
轴下方,
8
3
??k
2
?4(2k)(?)?0
,解之得:
?3?k?0
.
8
3
当
k?0
时,二次函数
y?2kx
2<
br>?kx?
开口朝上
8
3
一元二次不等式
2kx
2<
br>?kx??0
不可能对一切实数
x
都成立,
8
所以,
?3?k?0
.
?
4x?3y?8?0
?
4、不等式组
?
x?0
表示的平面区域的整点坐标是
(?1,?1
)
.
?
y?0
?
5、设每天派出
A
型车
x
辆,
B
型车
y
辆,成本为
z
.
?
0≤x≤7
?
0≤y≤4
?
所以
?
,目标函数为
z?160x?252y
?
x?y≤9
?
?
48x?60y≥360
把
z
?160x?252y
变形为
y??
401401
x?z
,得到斜率
为
?
,在
y
轴上的截距为
z
,随
63252632
52
z
变化的一族平行直线.
在可行域的整点中,点
M(5,2)
使得
z
取得最小值. 所以每天派出A
型
车5辆,
B
型车2辆,成本最小,最低成本为1304元.
1
6、设扇形的半径是
x
,扇形的弧长为
y
,因为
S?xy
2
扇形的周长为
Z?2x?y≥22xy?4S
当
2x?y
,即
x?
S
,
y?2S
时,
Z
可以取得最小值,最小值为
4S
.
7、设扇形的半径是
x
,扇形的弧长为
y
,因为
P?
2x?y
1112x?y
2
P
2
扇形的面积为
Z
?xy?(2x)y≤(
)?
244216
PPP
P
2
当
2x?y,即
x?
,
y?
时,
Z
可以取得最大值,半径为时扇形
面积最大值为.
16
42
4
ssa
8、设汽车的运输成本为
y
,
y?(bv
2
?a)??sbv?
vv
当
sbv?
aa
sa
≤c
时,
y
有最小值. 时
,即
v?
且
b
b
v
sasa
≥2sbv??2sa
b
,最小值为
2sab
.
vv
y?sbv?
当
a
sasa
>
c
时,由函数<
br>y?sbv?
的单调性可知,
v?c
时
y
有最小值,最小值为
sbc?
.
b
vc
第三章
复习参考题
B组(P103)
1、
D
2、(1)
?
xx??2或?2?x?或x?6
?
(2)
?
xx≤?1或≤x?或x?3
?
????
?3
4
??
2
3
3
4
?
3、
m
?1
4、设生产裤子
x
条,裙子
y
条,收益为
z
.
?
x?y≤10
?
2x?y≤10
?
?
则目标函数
为
z?20x?40y
,所以约束条件为
?
x?y≤6
?
x≥0
?
?
?
y≥0
(第4题)
5、因为
x?y
是区域内的点到原点的距离的平方
所以,当
?
?
x?2y?4?0
3x?y?3?0
?
22
即
x
A
?2,y
A
?3
时,x
2
?y
2
的最大值为13.
4
?
x??
?
5
时,
x
2
?y
2
最小,最小值
是
4
. 当
?
5
?
y?
2
?
5<
br>?
(第5题)
6、按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为
p
1
,购
n
kg,第二次购物时的价格为
p
2
,
仍购<
br>n
kg,按这种策略购物时两次购物的平均价格为
若按第二种策略购物,第一次花
m
元钱,能购
物品,两次购物的平均价格为
2m2
?
m
m11
??
p
1
p
2
p
1
p
2<
br>p
1
n?p
2
np
1
?p
2
. <
br>?
2n2
mm
kg物品,第二次仍花
m
元钱,能购kg
p
1
p
2
比较两次购物的平均价格:
p
1
?p
2
2p
1
?p
2
2p
1
p
2(p
1
?p
2
)
2
?4p
1
p
2
(p
1
?p
2
)
2
?????≥0
11
22p?p2(p?p)2(p?p)
121212
?
p
1
p
2
所以,第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而,用第二种策
略比较经济.
一般地,如果是
n
次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.
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