数学课本_二项式定理

高中数学(2)课本 二项式定理 113
二项式定理

在初中时 ，我们学过（
a
＋
b
）
2
＝
a
2
＋
2ab
＋
b
2
，（
a
＋
b
）< br>2

的括号中有
a
和
b
两项，故
称 为“二项式”。本节介绍二项式定理，即（
x
＋
y
）
n

展开后的各项系数，并介绍这些系数
的组合性质。


1
二项式定理

利用乘法公式展开可得公式

（
x
＋
y
）
2
＝
x
2
＋
2xy
＋
y2
。
(1)

（
x
＋
y
）
3
＝
x
3
＋
3x
2
y
＋3xy
2
＋
y
3
。
(2)

底下来仔细看
(2)
式的系数“
3
”是怎么来的。
< br>（
x
＋
y
）
3
＝（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）

＝（
xx
＋
xy
＋
yx
＋
yy
）（
x
＋
y
）

＝（
xxx
＋
xxy
＋
xyx
＋
xyy
＋
yxx
＋
yx y
＋
yyx
＋
yyy
）

＝
xxx
＋（
xxy
＋
xyx
＋
yxx
）＋（
xyy＋
yxy
＋
yyx
）＋
yyy

＝
x
3
＋
3x
2
y
＋
3xy
2
＋y
3
，

可以看到，
x
2
y
项的系数是“
3
”的原因是有这三项：
xxy
，
xyx
，
yxx
。换句话说，要乘出
x
2
y
，
两个括号要贡献
x
，另一个括号要贡献
y
，故
x
2
y
项的系数即为
x
，
x
，
y
的排列数

随堂练习 ------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --
(1)

说明（
x
＋
y
）
3

展开后的
xy
2

项系数为什么是
3
。

(2)

说明（
x
＋
y
）
3

展开后的
x
3

项系数为什么是
1
。

(3)

说明（
x
＋
y
）
3

展开后为什么没有
x
2
y
3

这一项。

--------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------

因此，

x
3

＋
3x
2
y

＋
3xy
2

＋
y
3

（
x
＋
y
）
3
＝

＝
1x
3
y
0

＋
3x
2
y

＋
3xy
2

＋
1x
0
y
3


xxy

xxx

xyy

yyy


排列数

排列数

排列数

排列数

＝
3!
21
3!
12
3!3!
x
3
y
0
＋
xy
＋
xy
＋
x
0
y
3

2!1!1!2!
3!0!0!3!
3!

＝
3
。
2!1!
3333
＝

C
0
x
3
y
0
＋
C
1

x
2
y
1

＋

C
2

x
1
y
2

＋
C
3

x
0
y
3
。


随堂练习 ------------------------------------ -------------------------------------------------- ----------------------
展开（
x
－
y
）
3
。

--- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------

高中数学(2)课本 二项式定理 114

以上的展开式，就是二项式定理。



※
二项 式定理
nnnn
（
x
＋
y
）
n
＝
C
0

x
n
y
0
＋
C
1

x
n
－
1
y
1
＋…＋
C
k

x
n
－
k
y
k
＋…＋
C
n< br>
x
0
y
n
，

即

（< br>x
＋
y
）＝
?
C
k
x
n
n
k?0
n
n?k
y
k
。


用例子理解较易学习，勿强行记忆。此定理中，
C
k

也称为二项式系数。


例题1 ------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------
利用二项式定理展开下列各式：

(1)
（
x
＋
y
）
4
。

(2)
（
x
－
y
）
4
。

----- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------
44
4
44
解
(1) （
x
＋
y
）
4
＝
C
0
x4
y
0
＋
C
1
x
3
y
1
＋
C
2
x
2
y
2
＋
C
3
x
1
y
3
＋
C
4
x
0
y
4

n



＝
x
4
＋
4x
3
y
＋
6x
2
y
2
＋
4xy
3< br>＋
y
4
。

(2)
（
x
－
y
）
4
＝（
x
＋（－
y
））
4



44
4
44
＝
C
0
x
4
（－
y
）
0
＋
C
1
x
3（－
y
）
1
＋
C
2
x
2
（－
y
）
2
＋
C
3
x
1
（－
y
）
3
＋
C
4
x
0
（－
y
）
4

＝
x
4
－
4x
3
y＋
6x
2
y
2
－
4xy
3
＋
y
4
。

□

随堂练习 --------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------
利用二项式定理展开下列各式：

(1)
（
x
＋
y
）
5
。

(2)
（
x
－
y
）
5
。

----- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------

二项式定理的
x
，
y
可以代换为其他变量或式子。


例题2 --------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------------------
(1) 试求（3a－2b）
5
的展开式。
(2) 试求（1＋x）
n
的展开式。
---------------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------------
解
(1)
（
3a
－
2b
）
5
＝（
3a
＋（－
2b
））
5

＝
C
0
（
3a
）
5
＋
C
1
（
3a< br>）
4
（－
2b
）
1
＋
C
2
（
3a
）
3
（－
2b
）
2
555
＋
C
3
（
3a
）
2
（－
2b
）
3
＋
C
4
（
3a
）
1
（－
2b
）
4
＋
C
5
（－
2b
）
5

555

高中数学(2)课本 二项式定理 115
＝< br>243a
5
－
810a
4
b
＋
1080a< br>3
b
2
－
720a
2
b
3
＋
240ab
4
－
32b
5
。

(2)
（
1
＋
x
）
n
＝
C
0
n
．
1
n
．
x
0
＋
C
1
n
．
1
n
－
1
．
x
1
＋…＋
C< br>n
n
?1
．
1
1
．
x
n
－
1
＋
C
n
n
．
1
0
．
x
n

nnnn
＝
C
0
＋
C
1x
＋…＋
C
n?1
x
n
－
1
＋
C
n
x
n
。

□


随堂练习 -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------
(1)

试求（
2a
－
b
）
4

的展开式。

(2)

试求（
1
－
2x
）
n

的展开式。

------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------

例题3 ------------------------------------------ -------------------------------------------------- --------------------
(1)

试求（
2x
－
y
）
6

展开式中
x
3
y
3

项的系数。

(2)

试求多项式（
x
2
＋
2x
＋
2
）
9
除以

（
x
＋
1
）
3

的余式。

-------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------
解
(1)

由二项式定理知，（
2x
－
y
）
6

展开式中的项形如












随堂练习 ---------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------



C
k
6
（
2x
）
6
－
k
（－
y
）
k
＝
C
k
6
2
6
－
k
x
6
－
k
（－
1< br>）
k
y
k
，

要求
x
3
y
3

项的系数，故
k
＝
3
。此项为

C
3
6
2
3< br>x
3
（－
1
）
3
y
3
＝－
160x
3
y
3
，


故所求系数为－
160
。

(2)

（
x
2
＋
2x
＋
2
）
9


＝（（
x
＋
1
）
2
＋
1
）
9





＝
C
0
（
x
＋
1
）
18
＋
C
1
（x
＋
1
）
16
＋…＋
C
7
（
x
＋
1
）
4
＋
C
8
（
x
＋
1
）
2
＋
C
9

99999
＝ （
x
＋
1
）
3
（
C
0
（
x
＋
1
）
15
＋
C
1
（
x
＋
1
）
13
＋…＋
C
7
（
x
＋
1
））

999

＋
C
8
9（
x
＋
1
）
2
＋
C
9
9，

99
故所求余式为

C
8
（
x< br>＋
1
）
2
＋
C
9
＝
9x
2
＋
18x
＋
10
。

□

2
??
(1)

试求
?
x
2
?
?

展开式中的常数项。

x
??
(2)

试求（x
2
＋
x
＋
1
）
5

除以

（
x
＋
1
）
2

的余式。


--------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------
6

高中数学(2)课本 二项式定理 116

例题4 -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------------
利用（
1
－
x
）
5

的展开式求（
0.998
）
5
近似值。（四舍五入取到小数点后第五位）

----------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---
解 由二项式定理知（
1
－
x
）
5
＝< br>1
－
5x
＋
10x
2
－
10x
3< br>＋
5x
4
－
x
5
。故


（
0.998
）
5

＝（
1
－
0.002
）
5


＝
1
－
5
×
0.002
＋
10×
（
0.002
）
2
－
10×
（
0.002
）
3
＋
5×
（
0.002
）
4
－（
0.00 2
）
5


＝
1
－
0.01
＋< br>0.00004
－
0.00000008
＋
5×
（
0 .002
）
4
－（
0.002
）
5
。



随堂练习 ------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------
试求（
1.01
）
10

的近似值。（四舍五入取到小数点后第三位）

---------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----

二项式定理可以用来导出一些有趣的恒等式。


例题5 ------------------------------------------ -------------------------------------------------- --------------------
试证明：
C
0
＋
C
1
＋
C
2
＋…＋
C
n
＝
2
n
。

nnnn
后面三项数值太小，不会影响小数前五位。故只取前三项并 取到小数点后第五位得

0.99004
。

□

-------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------
证 〔解法一〕


将二项式定理

nnnn
（
x
＋
y
）n
＝
C
0
x
n
＋
C
1
xn
－
1
y
＋
C
2
x
n
－2
y
2
＋…＋
C
n
y
n



中，令
x
＝
y
＝
1
代入，即得欲证之等式。

〔解法二〕


考虑以下问题：一列
n
个方块，每个可以涂黑色或白色，有几种方法？可以有两种 算法：
□□□
…
□□□


n
个



(1)

由左至右涂，每个方块可以是黑色或白色，故有
2
n

种方法。

(2)

按照有几个黑方块来分类，黑方块可以有
0
，
1
，
2
，…，
n
个。若有
3
个黑方块就
n
有

C
3

种方法。因此，一共有

C
0
n
＋
C
1< br>n
＋
C
2
n
＋…＋
C
n
n


种方法。

高中数学(2)课本 二项式定理 117
(1)
、
(2)
是算同一个问题，答案必须要一样。因此
C
0
n
＋
C
1
n
＋
C
2n
＋…＋
C
n
n
＝
2
n
。

□

解法二中的方法，与
2-1
节例题
10
计算有限集合的子集合个数的方法相同，因为我们
可以把涂黑的方块取出来形成子集合。解法二的方法 通称为“数两次”，是证明组合恒等式
的一个常用方法。


随堂练习 -- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------
试证明：
C
0
－
C
1
＋
C
2
－…＋（－
1
）
n
C
n
＝
0
。

nnnn
--------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------
2
巴斯卡三角形

由二项式定理展开（
x
＋
y< br>）
n
，
n
＝
0
，
1
，
2< br>，
3
，…，并将系数排列成如下三角形：



图
46
图
47


这称为巴斯卡三角形（或杨辉三角形）。观察巴斯卡三角形可以看出：

(1)
如图
46
，数字呈现左右对称，且两端的数都是
1
。


n
n
nn
这是因为

C
k
＝
C
n?k
，且

C
0
＝
C
n
＝
1
。

(2)
如图
47
，每个数等于其左上的数与右上的数的和，即

?1n?1
C
k
n
＝
C
k
n
?< br>。

1
＋
C
k

随堂练习 ------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -
图
48
为巴斯卡三角形的一部分，请在空格中填入适当的数字。

高中数学(2)课本 二项式定理 118

图
48

-------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------

※
巴斯 卡定理
?1n?1
C
k
n
＝
C
k
n
?
。

1
＋
C
k

例题6 ----- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------
nn?1n?1
试证明巴斯卡定理

C
k
＝
C
k?1
＋
C
k
。

------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------
证 〔解法一〕

(n?1)!(n?1)!n?1n?1
C
k?1
＋
C
k
＝

＋
(k?1)!
?
n?k
?
!k!
?
n?k?1?
!
(n?1)!1
??
1
?
＝
??

(k?1)!
?
n?k?1
?
!
?
n?kk
?
?
(n?1)!n
?
＝
??

(k?1)!< br>?
n?k?1
?
!
?
k(n?k)
?
n!< br>n
＝＝
C
k
。

k!
?
n?k
?
!







〔解法二〕

我们计算在
1
，
2
，
3
，…，
n
之中取出
k
个相异数字的组合有几种方法。考虑以下两种
算法：

n
(1)
显然答案为
C
k

种方法。

(2)
按照“
n
”是否被选到分成两类。


若“
n
”被选到，则还要从
1
，
2
，…，（
n
－
1
）之中选出
k
－
1
个，




n?1
有

C
k?1

种方法。

若“
n
”未被选到，则还要从
1
，
2
，…，（
n
－
1
）之中选出
k
个，

n?1
有

C
k

种方法。

高中数学(2)课本 二项式定理 119



n?1n?1
因此，一共是

C
k?1
＋
C
k

种方法。

? 1n?1
(1)
、
(2)
是算同一个问题，答案必须一样。故
C
k
n
＝
C
k
n
?
，故得证。

1
＋
C
k
□

随堂练习 --------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------
试将适当的数填入下列的空格：

6
(1)

C
1
6
＋
C
2
＝
C
2
。

8
(2)

C
5
9
＝
C
8
＋
C
5
。

----------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------------------

巴斯卡三角形与二项式系数有非常多有趣的性质，份量足以写成一本书。本节稍早证明
了有关巴斯卡三角形的两个性质：

(1)
每一列数字的和等于
2
的次方，即

C
0
n
＋
C
1
n< br>＋
C
2
n
＋…＋
C
n
n
＝
2
n
，如图
49
。

(2)
每一列数字正负符号交错后，其和等于
0
，即


C< br>0
n
－
C
1
n
＋
C
2
n< br>－…＋（－
1
）
n
C
n
n
＝
0，如图
50
。


图
49


图
50

例题7 ------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------

高中数学(2)课本 二项式定理 120
(1)
试求

C
3
3
＋
C
3
4
＋
C
3
5
＋
C
3
6
＋
C
3
7

的值。

(2)
设
n
为大于
3
的正整数。化简

C
3
3
＋
C
3
4
＋
C
3
5
＋…＋
C
3
n
。
------------------------------------------ -------------------------------------------------- ----------------------------
解
(1)
〔解法一〕







直接 求值得
C
3
＋
C
3
＋
C
3
＋C
3
＋
C
3

34567

＝1
＋
4
＋
10
＋
20
＋
35


＝
70
。

(2)
〔解法二〕


347
将

C
3
，
C
3
，…，
C
3

这些数在巴斯卡三角形中标示出来，如图
51
。


图
51


















3434
因为

C
3
＝
1
＝
C
4
，把

C
3

换成

C
4
，（相当巧妙！）

再一路利用巴斯卡定理，得到






C
3
3
＋
C
3
4
＋
C
3
5
＋
C
3
6
＋
C
3
7

＝
C
4
＋
C
3
＋
C
3
＋
C
3
＋
C
3

＝
C
4
＋
C
3
＋
C
3
＋
C
3

＝…

＝
C
4
＝
70
。

8
5567
44567
(2)
如第
(1)
小题的解法二，可利用巴斯卡定理，一路化简得到


C
3
3
＋
C
3
4
＋
C
3
5
＋…＋
C
3
n

高中数学(2)课本 二项式定理 121

















＝
C
4
＋
C
3
＋
C
3
＋…＋
C
3

＝
C
4
＋
C
3
＋…＋
C
3

＝…

n?1
＝
C
4

55n
445n
□

这个结果被称为“圣诞节袜子定理”，同学们觉得像不像呢？

随堂练习
- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------
234567
试求

C
0
＋
C
1
＋
C
2
＋
C
3
＋
C
4
＋
C
5

的值。

------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------

习题
2-4

一、基本题

1.
试利用二项式定理展开下列各式：

(1)
（
1
＋
x
）
4
。

(2)
（
2a
－
3b
）
4
。



2. (1)

试求（
x
－
5y
）
7

之中
x
4
y
3

项的系数。




3.
利用二项式定理计算（
0.999
）
5

的近似值。（四舍五入取到小数点后第四位）



4.
下图为巴斯卡三角形的一部分。试在空格内填入适当的数。

2
??
(2)

试求
?
a
2
?
?

之中
a
6

项的系数。

a
??
6

高中数学(2)课本 二项式定理 122
5.
试求下列各式的值：






二、进阶题

6.
试求多项式
f
（
x
）＝
1
＋（
x
＋
1
）＋（
x
＋
1
）
2
＋…＋（
x
＋
1
）
10

中

(1)

x
项的系数。




7. (1)

试证明：
C
0
n＋
2
．
C
1
n
＋
4
．
C2
n
＋…＋
2
n
．
C
n
n
＝
3
n
。




8.
利用二项式定理求出
3
30

除以
1000
的余数。（提示：
3
2
＝
9
＝
10
－
1< br>）



1
1
?
1
?
?< br>1
??
1
?
9.
试求满足
C
－
C
1
n
＋
??
C
2
n
－
??
C
3
n
＋…＋
?
?
?
C
n
n< br>＜的最小自然数

n
。

5000
2
?2
?
?
2
??
2
?
n
0
34 567
(1)

C
2
2
＋
C
2
＋
C
2
＋
C
2
＋
C
2
＋
C
2
。

345678
(2)

C
0
＋
C
1
＋
C
2
＋
C
3
＋
C
4
＋
C
5
。

(2)

x
2

项的系数。

(2)

今有排成一列的
n
个空格，每一格可以涂黄、绿、红这三种颜色，考虑所有可能的 方
法数。试用此模型说明
(1)
式成立。

23n




（
log 2
?
0.3010
）

三、挑战题

10.
在巴斯卡三角形中任取一个大于
1
的数。考虑这个数周围的
6
个数，以顺时针方向依序
记为
a
，
b
，
c
，
d
，
e
，
f
，如图所示。试证：
a
，
c
，
e
三个数的乘积恰等于
b
，
d
，
f
三个
n
数的乘积。（提示：先设中间的数是

C
k
）

高中数学(2)课本 二项式定理 123