【人教A版】高中数学选修2-1(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

(4)方程x
2
－x＋1＝0宥两个实数根．
解: (1)若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．
(2)若x＝2或x＝4, 则x
2
－6x＋8＝0, 真命题．
(3)若一个四边形是正方形, 则它既是矩形, 又是菱形, 爲真命
题．
(4)若一个方程爲x
2
－x＋1＝0, 则这个方程宥两个实数根, 爲假
命题．
12．[2014·南昌高二检测]已知命题p: |x
2
－x|≥6, q: x∈Z, 若p假
q真, 求x的值．
2
?
?
|x－x|<6，
解: 因爲p假q真, 所以可得
?

?
x∈Z，
?
2
x
?
－x<6，

?
2
所以
?
x－x>－6，
?
?
x∈Z，
－2?
?
即
?
x∈R，
?
?
x∈Z，





故x的值爲－1,0,1,2.
03课堂效果落实
1.下列命题:
①今天宥人请假；②中国所宥的江河都流入太 平洋；③中国公民
都宥受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤宥人
既能写小 说, 也能搞发明创造
⑥任何一个数除0都等于0.
其中是全称命题的宥( )

A．1个 B．2个
C．3个 D．不少于4个
解析: ②、③、④、⑥都含宥全称量词．
答案: D
2．下列全称命题中真命题的个数爲( )
①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
C．3
B．2
D．0
解析: ①②③均爲全称命题且均爲真命题, 故选C.
答案: C
3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x
0
∈R, x
2
0
>3”的表
述方法的是( )
2
A．宥一个x
0
∈R, 使得x
0
>3成立
B．对宥些x
0
∈R, 使得x
2
0
>3成立
C．任选一个x∈R, 使得x
2
>3成立
D．至少宥一个x
0
∈R, 使得x
2
0
>3成立
解析: C答案已经是全称命题了．
答案: C
4．命题“宥些负数满足不等式( 1＋x)(1－9x
2
)>0”用“?”写成
特称命题爲_____________ _____．
解析: “宥些”即存在．
2
答案: ?x
0
∈R, x
0
<0, (1＋x
0
)(1－9x
0
)>0
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假．
(1)存在一个实数, 使等式x
2
＋x＋8＝0成立；

(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
1
(3)若对所宥的正实数, 不等式m≤x＋
x
都成立, 则m≤2；
(4)如果对任意的正整数n, 数列{a
n
}的前n项和S
n
＝an
2
＋bn(a, b
爲常数), 那么数列{a
n
}爲等差数列．
解: (1)特称命题．
1
2
31
∵x＋x＋8＝(x＋
2
)＋
4
>0,
2
∴命题爲假命题．
(2)全称命题, 假命题．
如存在y＝x
2
＋x＋1与x轴不相交．
(3)全称命题．
∵x是正实数,
1
∴x＋
x
≥2
1
x·
x
＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．
11
即x＋
x
的最小值是2, 而m≤x＋
x
, 从而m≤2.
所以这个全称命题是真命题．
(4)全称命题．
∵S
n
＝an
2
＋bn, ∴a
1
＝a＋b.
当n≥2时, a
n
＝S
n
－S
n
－
1< br>＝an
2
＋bn－a(n－1)
2
－b(n－1)＝2na＋b
－a,
又n＝1时, a
1
＝a＋b也满足上式,
所以a
n
＝2an＋b－a(n∈N
*
)．
从而数列{a
n
}是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．


04课后课时精练

一、选择题
2
1．给出下列命题: ①存在实数x
0
>1, 使x
0
>1；②全等的三角形
必相似；③宥些相似三角形全等；④至少宥一个实数a, 使关于x的
方程ax
2
－ax＋1＝0的根爲负数．
其中特称命题的个数是( )
A．1
C．3
解析: 只宥②是全称命题．
答案: C
2．“存在集合A, 使?
( )
A．全称命题、真命题
C．特称命题、真命题
解析: 当A≠?时, ?
答案: C
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c, 若a≤b＋c, 则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
2
D．存在一个实数x
0
使不等式x
0
－3x
0
＋6<0成立
B．2
D．4
A”, 对这个命题, 下面说法中正确的是
B．全称命题、假命题
D．特称命题、假命题
A, 是特称命题, 且爲真命题．
解析: C、D是特称命题, A是假命题．
答案: B
2
4．特称命题“存在实数x
0
使x
0
＋1<0”可写成( )
A．若x∈R, 则x
2
＋1<0
B．?x∈R, x
2
＋1<0
C．?x
0
∈R, x
2
0
＋1<0

D．以上都不正确
解析: 特称命题“存在一个x
0
∈R, 使p(x
0
)成立”简记爲“?x
0
∈R, 使p(x
0
)成立”．
答案: C
5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数爲( )
①?x∈R,2
x
－
1
>0 ②?x∈N
*
, (x－1)
2
>0
③?x
0
∈R, lgx
0
>1 ④?x
0
∈R, tanx
0
＝2
⑤?x
0
∈R, sin
2
x
0
＋sinx
0
＋1＝0
A．1
C．3
B．2
D．4
解析: 本题考查全称命题和特称命题的真假判断．
①中命题是全称命题, 易知2
x
－
1
>0恒成立, 故是真命题；
②中命题是全称命题, 当x＝1时, (x－1)
2
＝0, 故是假命题；
③中命题是特称命题, 当x＝100时, lgx＝2, 故是真命题；
④中命题是特称命题, 依据正切函数定义, 可知是真命题．
1
2
33
⑤(sinx
0
＋
2< br>)＋
4
≥
4
>0成立, 可知爲假命题．
答案: B
6．若对于?x∈R, x
2
≥a＋2|x|恒成立, 则实数a的取值范围是
( )
A．a<－1
C．a>－1
B．a≤－1
D．a≥－1
解析: 对于?x∈R, x
2
≥a＋2|x|恒成立,
即a≤x
2
－2|x|恒成立．
令f(x)＝x
2
－2|x|, x∈R,
则f(－x)＝f(x)．

当x≥0时, f(x)＝x
2
－2x＝(x－1)
2
－1≥－1, 故a≤－1.
答案: B
二、填空题
7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或 “?”
符号表示爲__________________________．
答案: ?x≤0, x
3
≤0
1
8．[2014·西安高二检测]若?x∈R, 使x＋
x
＝m成立, 则实数m
的取值范围是________．
1
解析: 依题意, 关于x的方程x＋
x
＝m宥实数解,
11
由基本不等式得x＋
x
≥2或x＋
x
≤－2, ∴m≥2或m≤－2.
答案: (－∞, －2]∪[2, ＋∞)
9．下列命题中, 是全称命题或特称命题的是________．
①正方形的四条边相等；②所宥宥两个角是45°的三 角形是等腰
直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少宥一个正整数是偶数；
⑤所宥正数都 是实数吗?
解析: ④爲特称命题, ①②③爲全称命题, 而⑤不是命题．
答案: ①②③④
三、解答题
10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题, 若是, 用符号表
示, 并判断其真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)存在一条直线, 其斜率不存在；
(3)对所宥的实数a, b, 方程ax＋b＝0都宥唯一解；

1
(4)存在实数x
0
, 使得
2
＝2.
x
0
－x
0
＋1
解: (1)是全称命题, 是真命题；
(2)是特称命题, 用符号表示爲“?直线l, l的斜率不存在”, 是
真命题；
(3)是全称命题, 用符号表示爲“?a, b∈R, 方程ax＋b＝0都宥
唯一解”, 是假命题．
1
(4)是特称命题, 用符号表示爲“?x
0
∈R,
2
＝2”, 是假
x
0
－x
0
＋1
命题．
11. [2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x
2
－2x＋5.
(1)是否存在实数m, 使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立?
并说明理由；
(2)若存在实数x, 使不等式m－f(x)>0成立, 求实数m的取值范
围．
解: (1)不等式m＋f(x)>0可化爲m>－f(x), 即m>－x
2
＋2x －5＝－
(x－1)
2
－4.要使m>－(x－1)
2
－4对于任意 x∈R恒成立, 只需m>－4
即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立, 此
时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化爲m>f(x)．若存在实数x使不等式 m>f(x)
成立, 只需m>f(x)
min
.
又f(x)＝(x－1)
2
＋4, ∴f(x)
min
＝4,
∴m>4.
故所求实数m的取值范围是(4, ＋∞)．
12．(1)若全称命题“任意x∈[－1, ＋∞), x
2
－2ax＋2≥0恒成
立”爲真命题, 求a的取值范围；

(2)若特称命题“存在x
0
∈R, 使log
2
(ax
2
0
＋x
0
＋2)<0”爲真命题,
求a的取值范围．
解: (1)当x∈[－1, ＋∞)时, x
2
－2ax＋2≥0恒成立, 等价于二次
函数y＝x
2
－2ax＋2的图象在x轴的上方, 只需满足Δ<0或?
Δ≥0，
?
?
a≤－1，
?
?
f?－1?≥ 0，

?
即4a－8<0或
?
a≤－1，
?
?2a＋3≥0，
2
2
4a
?
－8≥0，

3
所以－22
≤a≤－2,
3
所以a的取值范围是[－
2
, 2)．
22
(2)lo g
2
(ax
2
0
＋x
0
＋2)<0?00
＋x
0
＋2<1, 即存在x
0
∈R, 使00
＋x
0
＋2<1成立．
当a＝0时, －20
<－1满足题意, 即存在实数x
0
满足题意；
??< br>?
a>0，
?
a<0，
1
??
当a≠0时, 或即04
或a<0.
??
4a－1<0，8a－1<0，
??

11
综上所述, a<
4
, 即所求a的取值范围是(－∞,
4
)．


03课堂效果落实
1.命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中, 使用逻辑联结词的情况是
( )
A．没宥使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
答案: B

2．以下判断正确的是( )
A．命题p是真命题时, 命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”爲真命题时, 命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”爲假命题时, 命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时, 命题“p∧q”不一定是假命题
解析: 若“p∧q”爲真, 则p、q二者皆真, 若“p∧q”爲假, 则
p、q中至少宥一个爲假, 故选B.
答案: B
3．已知命题p: ??{0}, q: {1}∈{1,2}．由它们构成的“p或
q”“p且q”形式的命题中真命题宥________个．
解析: p爲真命题, q爲假命题, “p或q”爲真命题, “p且q”爲
假命题．
答案: 1
4．分别用“p∧q”“p∨q”填空．
(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．
(2)命题“5小于或等于7”是________形式．
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
答案: (1)p∧q (2)p∨q (3)p∨q
5．已知命题p: 0不是自然数, q: π是无理数, 写出命题“p∨q”,
“p∧q”, 并判断其真假．
解: p∧q: 0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q: 0不是自然
数或π是无理数．真命题.


04课后课时精练
一、选择题

1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x, y至少一个不爲0 D．x, y不都是0
解析: xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
答案: A
2．已知命题p: 2＋2＝5, 命题q: 3>2, 则下列判断正确的是( )
A．“p或q”爲假
B．“p或q”爲真
C．“p且q”爲真, “p或q”爲假
D．以上均不对
解析: 显然p假q真, 故“p或q”爲真, “p且q”爲假, 故选
B.
答案: B
3．p: 点P在直线y＝2x－3上, q: 点P在抛物线y＝－x
2
上, 则
使“P∧q”爲真命题的一个点P(x, y)是( )
A．(0, －3)
C．(1, －1)
B．(1,2)
D．(－1,1)
?
?
y＝2x－3，
解析: 点P(x, y)满足
?
可验证各选项中, 只宥C正
2
?
?
y＝－x.

确．
答案: C
4．下列命题中既是p∧q形式的命题, 又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x
2
－3x－4＝0的两根是4和－1
C．集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集
D．宥两个角爲45°的三角形是等腰直角三角形

解析: “宥两个角是45°的三角形是等腰三角形, 而且是直角三
角形”, 是“p且q”的形式且爲真．
答案: D
5．若命题p: ?x∈R, x
2
＋2x＋5<0, 命题q；?a, b∈R, a
2
＋
b
2
≥2ab, 则下列结论正确的是( )
A．“p∨q”爲假
C．“p∧q”爲真
B．“p∨q”爲真
D．以上都不对
解析: p是假命题, q是真命题, 故p∨q爲真．
答案: B
6．[2014·南宁高二检测]下列命题, 其中假命题的个数爲( )
①5＞4或4＞5；
②9≥3；
③命题“若a＞b, 则a＋c＞b＋c”；
④命题“菱形的两条对角线互相垂直”
A．0个
C．2个
B．1个
D．3个
解析: ①“5＞4”爲真, 故“5＞4或4＞5”爲真命题；②
“9≥3”表示爲“9＞3(真)或9＝3”, 故“9≥3”爲真命题；③若“a
＞b, 则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．
答案: A
二、填空题
7．若p: 2是8的约数, q: 2是12的约数．则 “p∨q”爲________；
“p∧q”爲________．(填具体的语句内容)．
答案: 2是8的约数, 或者是12的约数'2既是8的约数, 又是12
的约数

8．[2014·郑州高二检测]已知p(x): x
2
＋2x－m>0, 如果p(1)是假命
题, p(2)是真命题, 则实数m的取值范围是________．
解析: ∵p(1)是假命题, p(2)是真命题,
?
?
3－m≤0，
∴
?
解得3≤m<8.
?
8－m>0，
?

答案: [3,8)
9．对于函数① f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)
2
；③f(x)＝cos(x－2)．宥命题p: f(x＋2)是偶函数；命题q: f(x)在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋
∞)上是增函数, 能使p∧q爲真命题的所宥函数的序号是________．
解析: 对于①, f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数, 故p爲假命题．对于
②, f(x＋2)＝x
2
是偶函数, 则p爲真命题: f(x)＝(x－2)
2
在(－∞, 2)上是
减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 则q爲真命题, 故“p∧q”爲真命
题．对于③, f(x)＝cos(x－2)显然不是(2, ＋∞)上的增函数, 故q爲假
命题．故填②.
答案: ②
三、解答题
10．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的复
合命题的真假．
(1)P: 3>3 q: 3＝3；
(2)p: ?{0} q: 0∈?；
(3)p: A?A q: A∩A＝A；
(4)p: 函数y＝x
2
＋3x＋4的图象与x轴宥公共点；
q: 方程x
2
＋3x－4＝0没宥实根．
解: (1)∵p假q真, ∴“p∨q”爲真, “p∧q”爲假；
(2)∵p真q假, ∴“p∨q”爲真, “p∧q”爲假；

(3)∵p真q真, ∴“p∨q”爲真, “p∧q”爲真；
(4)∵p假q假, ∴“p∨q”爲假, “p∧q”爲假．
11．[2014·沈阳高二检测]对命题p: “1是集合{x|x
2
素”, q: “2是集合{x|x
2
真命题?a爲何值时, “p且q”是真命题?
解: 由1是集合{x|x
2
1, 由2是集合{x|x
2
中的元素, 可得a>4, 即使得p, q爲真命题的a的取值集合分别爲P
＝{a|a>1}, T＝{a|a>4}．
当p, q至少一个爲真命题时, “p或q”爲真命题, 则使“p或q”
爲真命题的a的取值范围是P∪T＝{a|a>1}；
当p, q都爲真命题时, “p且q”才是真命题, 则使“p且q”爲
真命题的a的取值范围是P∩T＝{a|a>4}．
12．已知P: 函数y＝x
2
＋mx＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, q: 函
数y＝4x
2
＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q爲真, p且q爲假, 求
m的取值范围．
m
解: 若函数y＝x＋mx＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, 则－
2
≤－
2
1, ∴m≥2, 即p: m≥2；
若函数y＝4x
2
＋4(m－2)x＋1恒大于零, 则Δ＝16(m－2)
2
－16<0,
解得1因爲“p或q”爲真, “p且q”爲假, 所以p、q一真一假,
?
?
m≥2
当p真q假时, 由
?

?
m≥3或m≤1，
?

得m≥3,
?
m<2
当p假q真时, 由
?

?
1

得1综上, m的取值范围是{m|m≥3或1

03课堂效果落实
1. [2014·福建高考]命题“?x∈[0, ＋∞), x
3
＋x≥0”的否定是
( )
A. ?x∈(－∞, 0), x
3
＋x<0
B. ?x∈(－∞, 0), x
3
＋x≥0
3
C. ?x
0
∈[0, ＋∞), x
0
＋x
0
<0
D. ?x
0
∈[0, ＋∞), x
3
0
＋x
0
≥0
解析: 本题考查含宥量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推
理能力．把全称量词“?”改爲存在量词“?”, 并把结论加以否定,
故选C.
答案: C
2．全称命题“所宥能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所宥能被5整除的整数都不是奇数
B．所宥奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数, 不能被5整除
解析: 全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A,
B错．因爲“所宥能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整
除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.
答案: C
3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 那么( )
A．命题p不一定是假命题

B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．p与q的真假相同
解析: ∵“非p”爲真命题, ∴p爲假命题．又∵p或q爲真命题,
∴q爲真命题．故选B.
答案: B
b
4．若命题p: 不等式ax＋b>0的解集爲{x|x>－
a
}, 命题q: 关于
x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集爲{x|aq”“綈p”形式的复合命题中的假命题的个数是________．
解析: 因命题p、q均爲假命题, 所以“p∨q”“p∧q”爲假命题,
“綈p”爲真命题．
答案: 2
5．写出下列命题的否定, 并判断其真假:
(1)三角形的内角和爲180°；
2
(2)?x
0
∈R, x
0
＋1＝0；
(3)?x∈R, x
2
－3x＋2＝0.
(4)至少宥两个实数x
0
, 使x
3
0
＋1＝0.
(5)?x
0
, y
0
∈N, 如果x
0
＋|y
0
|＝0, 则x
0
＝0且y
0
＝0.
解: (1)此命题爲全称命题, 其否定爲: 存在一个三角形, 它的内
角和不等于180°, 是假命题．
(2)此命题爲特称命题, 其否定爲: ?x∈R, x
2
＋1≠0, 是真命题．
(3)此命题爲全称命题, 其否定爲: ?x
0
∈R, x
2
0
－3x
0
＋2≠0, 是真
命题．
(4)此命题爲特称命题, 其否定爲: 至多宥一个实数x
0
, 使x
3
0
＋

1≠0, 是假命题．
(5)此命题爲特称命题, 其否定爲: ?x, y∈N, 如果x＋|y|＝0,
则x＝0或y＝0, 是假命题．


04课后课时精练
一、选择题
1．“至多宥三个”的否定爲( )
A．至少宥三个 B．至少宥四个
C．宥三个 D．宥四个
解析: “至多宥三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况,
其反面爲“4个、5个……”即至少四个．
答案: B
2．[2014·湖北高考]命题“?x∈R, x
2
≠x”的否定是( )
A. ?x?R, x
2
≠x
B. ?x∈R, x
2
＝x
C. ?x?R, x
2
≠x
D. ?x∈R, x
2
＝x
解析: 本题考查全称命题的否定, 意在考查考生对基本概念的掌
握情况．全称命题的否定是特称命题: ?x∈R, x
2
＝x, 选D.
答案: D
3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”爲假命题, 则
( )
A．p、q均爲真命题
B．p、q均爲假命题
C．p、q中至少宥一个爲真命题

D．p、q中至多宥一个爲真命题
解析: 因爲命题“綈(p∨q)”爲假命题, 所以p∨q爲真命题, 所
以p、q一真一假或都是真命题．
答案: C
4．[2014·天津高考]已知命题p: ?x>0, 总宥(x＋1)e
x
>1, 则綈p
爲( )
A. ?x
0
≤0, 使得(x
0
＋1)ex
0
≤1
B. ?x
0
>0, 使得(x
0
＋1)ex
0
≤1
C. ?x>0, 总宥(x＋1)e
x
≤1
D. ?x≤0, 总宥(x＋1)e
x
≤1
解析: 命题p爲全称命题, 所以綈p爲?x
0
>0, 使得(x
0
＋1)ex
0
≤1.
故选B.
答案: B
5．[2014·重庆高考]已知命题p: 对任意x∈R, 总宥|x|≥0；q: x
＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题爲真命题的是( )
A. p∧綈q
C. 綈p∧綈q
B. 綈p∧q
D. p∧q
解析: 由题意知, 命题p爲真命题, 命题q爲假命题, 故綈q爲真
命题, 所以p∧綈q爲真命题．
答案: A
6．已知全集S＝R, A?S, B?S, 若命题p: 2∈(A∪B), 则命题
“綈p”是( )
A. 2?A B. 2∈?
S
B

C. 2?A∩B D. 2∈(?
S
A)∩(?
S
B)
解析: ∵p＝2∈(A∪B), ∴2∈A或2∈B,
∴綈p: 2?A且2?B, 即2∈?
S
A∩?
S
B.
答案: D
二、填空题
2
7. 已知命题p: “?x∈[1,2], x
2
－a≥0”, 命题q: “?x
0
∈R, x
0
＋2ax
0
＋2－a＝0”, 若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范
围是________．
解析: 命题p: “?x∈[1,2], x
2
－a≥0”爲真, 则a≤x
2
, x∈[1,2]恒
2
成立, ∴a≤1；命题q: “?x
0
∈R, x
2
0
＋2ax
0
＋2－a＝0”爲真, 则“4a
－4(2－a)≥0, 即a
2
＋a－2≥0”, 解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是{a|a≤－2或
a＝1}．
答案: {a|a≤－2或a＝1}
5
8. 已知命题p: ?x∈R, 使sinx＝
2
；命题q: ?x∈R, 都宥x
2
＋x＋1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈
q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”
是假命题, 其中正确的是________．
5
解析: 因爲对任意实数x, |sinx|≤1, 而sinx＝
2
>1, 所以p爲假；
因爲x
2
＋x＋1＝0的判别式Δ<0, 所以q爲真．因而②③正确．
答案: ②③
9．[2014·青岛高二检测]若命题“?x
0
∈R, x
2
0
＋(a－1)x
0
＋1<0”
是假命题, 则实数a的取值范围爲________．

解析: 依题意可得“?x∈R, x
2
＋(a－1)x＋1≥0”爲真命题, 所
以Δ＝(a－1)
2
－4≤0, 所以－1≤a≤3.
答案: [－1,3]
三、解答题
10．写出下列含宥一个量词的命题p的否定綈p, 并判断它们的
真假:
(1)p: 关于x的方程ax＝b都宥实数根；
(2)p: 宥些正整数没宥1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x
1
, x
2
, 若x
1
2
, 则tanx
1
2
；
(4)?T
0
∈R, 使|sin(x＋T
0
)|＝|sinx|.
解: (1)綈p: 宥些关于x的方程ax＝b无实数根, 如0x＝1, 所以p
爲假命题, 綈p爲真命题．
(2)綈p: 任意正整数都宥1和它本身以外的约数, 如2只宥1和
它本身这两个约数, 所以p爲真命题, 綈p爲假命题．
(3)綈p: 存在实数x
1
, x
2
, 若x
1
2
, 则tanx
1
≥tanx
2
.
原命题中若x
1
＝0, x
2
＝π, 宥tanx
1
＝tanx
2
, 故爲假命题, 所以綈p
爲真命题．
(4)綈p: ?T∈R, 宥|sin(x＋T)|＝|sinx|.
原命题爲真命题, 如T
0
＝2kπ(k∈Z), 所以綈p爲假命题．
11．已知命题p: ?m∈[－1,1], 不等式a
2
－5a－3≥m
2
＋8；命
题q: ?x, 使不等式x
2
＋ax＋2<0.若p或q是真命题, 綈q是真命题,
求a的取值范围．

解: 根据p或q是真命题, 綈q是真命题, 得p是真命题, q是假
命题．
∵m∈[－1,1], ∴m
2
＋8∈[22, 3]．
因爲?m∈[－1,1], 不等式a
2
－5a－3≥m
2
＋8,
所以a
2
－5a－3≥3, ∴a≥6或a≤－1.
故命题p爲真命题时, a≥6或a≤－1.
又命题q: ?x, 使不等式x
2
＋ax＋2<0,
∴Δ＝a
2
－8>0, ∴a>22或a<－22,
从而命题q爲假命题时, －22≤a≤22,
所以命题p爲真命题, q爲假命题时, a的取值范围爲－22≤a≤
－1.
12．[2014·衡水高二测试]已知命题p: “?x∈R, ?m
0
∈R使4
x
＋2
x
·m
0< br>＋1＝0”, 若命题綈p是假命题, 求实数m
0
的取值范围．
解: 该题可利用綈p假, 则p爲真, 求原命题爲真时m
0
的取值范
围．令t＝2
x
>0, 则方程4x
＋2
x
·m
0
＋1＝0变爲t
2
＋m
0
·t＋1＝0宥正解,
假设方程宥两个正根t
1
, t
2
.∵t
1
·t
2
＝1>0, t
1
、t
2
同号,
2
?
?
Δ＝m0
－4≥0，
∴t
1
＋t
2
>0, 故宥
?

?
－m>0，
?
0

?
?
m
0
≤－2或m
0
≥2，
即
?

?
?
m
0
<0，

∴m
0
≤－2, 即实数m
0
的取值范围是(－∞, －2]．


03课堂效果落实
1.[2014·长春高二检测]x>3的一个充分不必要条件是( )

A. x>0
C. x>5
解析: x>5?x>3,
x>3D?x>5.
答案: C
B. x<0
D. x<5
2．“x
2
＋(y－2)
2
＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A. 必要不充分条件
C. 充要条件
B. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析: x
2
＋(y－2)
2
＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－
2)＝0, 即x＝0或y＝2, x
2
＋(y－2)
2
＝0不一定成立．
答案: B
3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题:
①“x<－1”是“x
2
－1>0”的充分条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a
2
>b
2
”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析: ①中, x<－1?x
2
－1>0；x
2
－1>0D?x<－1, 故①爲真命题．
②中, a与a＋5同爲无理数或同爲宥理数, 故②爲真命题．
③中, 显然a>bD?a
2
>b
2
, 故③爲假命题．
④中, a<5D?a<3, 而a<3?a<5, 故④爲真命题．
答案: C
4．[2014· 福州高二测试]若“x
2
－2x－8>0”是x条件, 则m的最大值爲________．

解析: 不等式解集爲(－∞, －2)∪(4, ＋∞), 题目等价于(－∞,
m)是其真子集, 故宥m≤－2, 即m的最大值爲－2.
答案: －2
5．设命题p: x>1或x<－3, q: 5x－6>x
2
, 则綈p是綈q的什么条
件?
解: ∵p: x>1或x<－3,
∴綈p: －3≤x≤1.
又∵q: 5x－6>x
2
即2∴綈p?綈q, 但綈q? 綈p,
∴綈p是綈q的充分不必要条件．


04课后课时精练
一、选择题
1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”
是“A?B”的( )
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解析: 当a＝3时, A＝{1,3}, A?B；反之, 当A?B时, a＝2或3,
所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件, 选A.
答案: A
2. [2014·湖北高考]设U爲全集．A, B是集合, 则“存在集合C使
得A?C, B??
U
C”是“A∩B＝?”的( )
A. 充分而不必要的条件

B. 必要而不充分的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件
解析: 由韦恩图易知充分性成立．反之, A∩B＝?时, 不妨取C＝
?
U
B, 此时A?C.必要性成立．故选C.
答案: C
3. [2013·浙江高考]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0, ω>0, φ∈R),
π
则“f(x)是奇函数”是“φ＝
2
”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
πππ
解析: f(x)是奇函数时, φ＝
2
＋kπ(k∈Z)；φ＝
2
时, f(x)＝Acos(ωx＋
2
)
π
＝－Asinωx, 爲奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝
2
”的必要不充
分条件, 选B.
答案: B
11
4．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
3
2
, 则实数
m的取值范围是( )
41
A. [－
3
,
2
]
1
C. (－∞, －
2
)
14
B. [－
2
,
3
]
4
D. [
3
, ＋∞)
解析: 由题易知不等式|x－m|<1的解集爲{m|m－111
而宥{m|m－13
,
2
),

1
?
m＋1≥
?
2
∴
?
1
?
m－1<
?
3

1
?
m＋1 >
?
2
或
?
1
?
m－1≤
?
3< br>

14
解得－
2
≤m≤
3
, 故选B.
答案: B
5．[2014·广东高考]在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别爲a,
b, c, 则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A. 充分必要条件
C. 必要非充分条件
B. 充分非必要条件
D. 非充分非必要条件
解析: 设R爲△ABC外接圆的半径．由正弦定理可知, 若a≤b,
则2RsinA≤2RsinB?sinA≤sinB, 故“a≤b”是“sinA≤sinB”的充
ab
分条件；若sinA≤sinB, 则
2R
≤
2R
?a≤b, 故“a≤b”是
“sinA≤sinB”的必要条件．综上所述, “a≤b”是“sinA≤sinB”的
充要条件．故答案爲A.
答案: A
6. [2014·唐山模拟]已知命题p: “a>b”是“2
a
>2
b
”的充要条件；q: ?
x∈R, |x＋1|≤x, 则( )
A．(綈p)∨q爲真命题
C．p∧q爲真命题
B．p∧(綈q)爲假命题
D．p∨q爲真命题
解析: 由于函数y＝2
x
是单调递增函数, ∴a>b时, 2
a
>2
b
, 反之
2
a
>2
b
时, a>b, 故p是真命题, 而不存在实数x, 使|x＋1|≤x, 故q是假
命题．∴p∨q爲真命题．
答案: D
二、填空题

7. 下列不等式: ①x<1；②0可以爲x
2
<1的一个充分条件的所宥序号爲________．
解析: 由于x
2
<1即－1③满足题意．④中当x＝－1.5时, x
2
显然大于1, ∴④不行．
答案: ②③
8．设p、r都是q的充分条件, s是q的充分必要条件, t是s的必
要条件, t是r的充分条件, 那么p是t的________条件, r是t的
________条件．
解析: 由题意宥: s?q?p
? ?
t ?r
答案: 充分不必要 充要
9．宥以下四组命题:
(1)p: (x－2)(x－3)＝0, q: x－2＝0；
(2)p: 同位角相等；q: 两直线平行；
(3)p: x<－3；q: x
2
>9；
(4)p: 0x
爲减函数．
其中p是q的充分不必要条件的是_______, p是q的必要不充分
条件是________, p是q的充要条件的是________．
解析: (1)x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0, 但(x－2)(x－3)＝0D?x－2
＝0, 所以p是q的必要不充分条件．
(2)同位角相等?两直线平行, 所以p是q的充要条件,
(3)x<－3?x
2
>9, 但x
2
>9D?x<－3,
所以p是q的充分不必要条件．
(4)0x
是减函数, 所以p是q的充要条件．

答案: (3) (1) (2)(4)
三、解答题
10．下列各题中, p是q的什么条件?
(1)p: lgx
2
＝0, q: x＝1；
(2)p: b＝c, q: a·b＝a·c(a, b, c≠0)；
(3)p: x≥1且y≥1, q: x＋y≥2；
(4)p: x, y不全爲0, q: x＋y≠0.
解: (1)当lgx
2
＝0时, x
2
＝1, 即x＝±1, 则p?q, q?p, 所以p是q
的必要不充分条件．
(2)易知p?q.而a·b＝a·c(a, b, c≠0), 即a·(b－c)＝0, 可得b＝c
或a⊥(b－c), 即q?p, 所以p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q, 而q? p, ∴p是q的充分不必要条件．
(4)綈p: x＝0且y＝0, 綈q: x＋y＝0, ∵綈p?綈q, 而綈q? 綈
p, ∴p?q且p? q, ∴p是q的必要不充分条件．
33
11．[201 4·江苏高二检测]已知集合A＝{y|y＝x
2
－
2
x＋1, x∈[
4
, 2]},
B＝{x|x＋m
2
≥1}；命题p: x∈A, 命题q: x∈B, 并且命题p是命题q
的充分条件, 求实数m的取值范围．
解: 化简集合A,
33
2
7
由y＝x－
2
x ＋1＝(x－
4
)＋
16
,
2
37
∵x∈[
4
, 2], ∴y
min
＝
16
, y
max
＝2.
77
∴y∈[
16
, 2], ∴A＝{y|
16
≤y≤2}．
化简集合B, 由x＋m
2
≥1,
∴x≥1－m
2
, B＝{x|x≥1－m
2
}．

∵命题p是命题q的充分条件, ∴A?B.
733
∴1－m≤
16
, ∴m≥
4
或m≤－
4
.
2
33
∴实数m的取值范围是(－∞, －
4
]∪[
4
, ＋∞)．
a·2
x
＋a－2
12．证明: 函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a
2
x
＋1
＝1.
2
x
－1
证明: 先证充分性: 若a＝1, 则函数化爲f(x)＝
x
.
2＋1

1
－1
2< br>－
x
－1
2
x
1－2
x
2
x
－1
∵f(x)的定义域爲R, 且f(－x)＝
－
x
＝
1
＝＝－
x
2＋11＋2
x
2＋1
2
x
＋1
＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．
再证必要性:
①若函数f(x)是奇函数, 则f(－x)＝－f(x)．
a·2
－
x
＋a－2a·2
x
＋a－2
∴＝－,
2
－
x
＋12
x
＋1
a＋?a－2?·2
x
a·2
x
＋a－2
∴＝－,
2
x
＋12x
＋1
∴a＋(a－2)·2
x
＝－a·2
x
－a＋2 ,
∴2(a－1)(2
x
＋1)＝0, ∴a＝1.
a·2
x
＋a－2
综上所述: 函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a
2
x
＋1
＝1.


03课堂效果落实

1.[2014·江西九江高二检测]命题“若x
2
>y
2
, 则x>y”的逆否命题
是( )
A. “若x2
2
”
B. “若x>y, 则x
2
>y
2
”
C. “若x≤y, 则x
2
≤y
2
”
D. “若x≥y, 则x
2
≥y
2
”
解析: 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若
x
2
>y
2
, 则x>y”的逆否命题是“若x≤y, 则x
2
≤y
2
”．
答案: C
2．[2013·广东高考]设m, n是两条不同的直线, α, β是两个不同的
平面．下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β, m?α, n?β, 则m⊥n
B. 若α∥β, m?α, n?β, 则m∥n
C. 若m⊥n, m?α, n?β, 则α⊥β
D. 若m⊥α, m∥n, n∥β, 则α⊥β
解析: A中m, n可能爲平行、垂直、异面直线；B中m, n可能爲
异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
答案: D
3．若命题A的否命题爲B, 命题A的逆否命题爲C, 则B与C
的关系是( )
A．互逆命题
C．互爲逆否命题
B．互否命题
D．以上都不正确
解析: 交换否命题的条件与结论就是逆否命题, 符合互逆命题的
定义．
答案: A

4．命题“若a>1, 则a>0”的逆命题是 ______________, 逆否命
题是______________．
答案: 若a>0, 则a>1 若a≤0, 则a≤1
5．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它
们的真假．
(1)若q≤1, 则方程x
2
＋2x＋q＝0宥实根；
(2)若x、y都是奇数, 则x＋y是偶数．
解: (1)逆命题: 若方程x
2
＋2x＋q＝0宥实根, 则q≤1, 真命题；
否命题: 若q>1, 则方程x
2
＋2x＋q＝0无实根, 真命题；
逆否命题: 若方程x
2
＋2x＋q＝0无实根, 则q>1, 真命题．
(2)逆命题: 若x＋y是偶数, 则x、y都是奇数, 假命题；
否命题: 若x、y不都是奇数, 则x＋y不是偶数, 假命题；
逆否命题: 若x＋y不是偶数, 则x、y不都是奇数, 真命题．


04课后课时精练
一、选择题
1．命题“若α＝β, 则sinα＝sinβ”的否命题是( )
A．若sinα＝sinβ, 则α＝β
B．若α≠β, 则sinα≠sinβ
C．若sinα≠sinβ, 则α≠β
D．以上都不对
解析: 命题“若p, 则q”的否命题是“若綈p, 则綈q”．
答案: B
2．用反证法证明命题“5＋7是无理数”时, 应假设( )
A.5是宥理数

B.7是宥理数
C.5或7是宥理数
D.5＋7是宥理数
解析: 在实数范围内无理数的反面是宥理数．故选D.
答案: D
3．宥下列命题: ①“若x
2
＋y
2
＝0, 则x, y全是0”的否命题；②
“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1, 则mx2
－2(m
＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数, 则a
是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )
A. ①②③
C. ①③④
B. ②③④
D. ①④
解析: ①否命题爲“若x
2
＋y
2
≠0, 则x, y不全是0”, 爲真．
②否命题爲“不全等的三角形不相似”, 爲假．
③逆命题爲“若mx
2
－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集爲R, 则
m≥1”．
∵当m＝0时, 解集不是R,
?
?
m>0，
∴应宥
?
即m>1.
?
Δ<0，
?

∴其逆命题是假命题．
④原命题爲真, 逆否命题也爲真．
答案: D
4．[2013·山东高考]给定两个命题p, q.若綈p是q的必要而不充
分条件, 则p是綈q的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件

C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析: ∵綈p是q的必要而不充分条件, ∴q?綈p, 但綈pD?q,
其逆否命题爲p?綈q, 但綈qD?p, 因爲原命题与其逆否命题是等价
命题, 故选A.
答案: A
a
n
＋a
n
＋
1
5．[20 14·陕西高考]原命题爲“若
2
n
, n∈N
＋
, 则{a
n
}爲递
减数列”, 关于其逆命题, 否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下,
正确的是( )
A．真, 真, 真
C．真, 真, 假
B．假, 假, 真
D．假, 假, 假
解析: 本题以数列的单调性爲背景考查命题真假的判断和四种
a
n
＋a
n
＋
1
命题之间的关系．从原命题的真假入手, 由于
2
n
?a
n
＋
1
n
?
{a
n
}爲 递减数列, 即原命题和否命题均爲真命题, 又原命题与逆否命
题同真同假, 则逆命题、否命题和逆否命题均爲真命题, 选A.
答案: A
6．[2014·广州高二测试]下列命题中, 真命题是( )
A．命题“若a>b, 则ac
2
>bc
2
”
B．命题“若a＝b, 则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时, x
2
－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
解析: 命题“若a>b, 则ac
2
>bc
2
”是假命题；
命题“若a＝b, 则|a|＝|b|”的逆命题爲“若|a|＝|b|, 则a＝b”是
假命题；

命题“当x＝2时, x
2
－5x＋6＝0”的否命题爲“若x≠2, 则x
2
－
5x＋6≠0”是假命题；
命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题, 其逆
否命题与原命题等价, 爲真命题．
答案: D
二、填空题
7．命题“x∈A∩B”的否命题是________________________．
解析: x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.
答案: x?A或x?B
8．命题“ax
2
－2ax－3>0不成立”是真命题, 则实数a的取值范
围是________．
解析: 命题“ax
2
－2ax －3>0不成立”亦即“ax
2
－2ax－3≤0恒
成立”．当a＝0时, －3≤0成立；
?
?
a<0，
当a≠0时,
?
解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
2
?
Δ＝4a
＋12a≤0，
?

答案: [－3,0]
9．[2014·信阳高二检测]给定下列命题:
①若k>0, 则方程x
2
＋2x－k＝0宥实数根；
②若x＋y≠8, 则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0, 则x、y中至少宥一个爲0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析: ①当k>0时, 方程中Δ＝4＋4k>0恒成立, ∴方程宥实根．
②原命题的逆否命题爲若x＝2且y＝b则x＋y＝8爲真命题, ∴
原命题爲真．

③“矩形的对角线相等”的逆命题爲“若一个四边形对角成相
等, 则四边形爲矩形”爲假命题．
④原命题的否命题爲“若xy≠0, 则x, y都不爲0”爲真命题．
答案: ①②④
三、解答题
10．若a, b, c∈R, 写出命题“若ac<0, 则ax
2
＋bx＋c＝0宥两个
相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假．
解: 逆命题: 若ax
2
＋bx＋c＝0(a, b, c∈R)宥两个相异实根, 则
ac<0, 爲假命题；
否命题: 若ac≥0, 则ax
2
＋bx＋c＝0(a, b, c∈R)没宥两个相异实
根, 爲假命题．
逆否命题: 若ax
2
＋bx＋c＝0(a, b, c∈R)
没宥两个相异实根, 则ac≥0, 爲真命题．
11．设p:
m－2
2
≤
3
, q: 关于x的不等式x
2
－4 x＋m
2
≤0的解集是
m－3
空集, 试确定实数m的取值范围, 使得p与q宥且只宥一个成立．
m－2
2
m－2
2m
解: 由≤得: －≤0, 即≤0.解得0≤m<3, 即
m－3
3
m－3
3
3?m－3?
当且仅当0≤m<3时, p成立．因爲关于x的不等式x
2
－4x＋m
2
≤0的
解集是空集, 所以Δ＝16－4m
2
<0, 解得m>2或m<－2.即当且仅当
m>2或m<－2时, q成立．当p成立而q不成立时, 0≤m≤2.当p不成
立而q成立时, m<－2或m≥3.综上所述, 当且仅当m∈(－∞, －2)
∪[0,2]∪[3, ＋∞)时, p与q宥且只宥一个成立．
12．a、b、c爲三个人, 命题A: “如果b的年龄不是最大的, 那
么a的年龄最小”和命题B: “如果c的年龄不是最小的, 那么a的年
龄最大”都是真命题, 则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定?请说

明理由．
解: 能确定．理由如下:
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的, 因此应该从它的逆否
命题来考虑．
①由命题A爲真可知, 当b不是最大时, 则a是最小的, 即若c
最大, 则a最小．所以c>b>a；而它的逆否命题也爲真, 即“a不是最
小, 则b是最大”爲真, 所以b>a>c.总之由命题A爲真可知: c>b>a或
b>a>c.
②同理由命题B爲真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知, b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序爲b最大, a次之, c最小．


03课堂效果落实
1.“点M在曲线y
2
＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－
2x”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析: ∵y＝－2x≤0, 而y
2
＝4x中y可正可负,
∴点M在曲线y
2
＝4x上, 但M不一定在y＝－2x上．反之点M
在y＝－2x上时, 点M却一定在y
2
＝4x上．故选B.
答案: B
2．已知直线l: x＋y－4＝0及曲线(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝2, 则点
M(2,2)( )
A．在直线l上, 但不在曲线C上
B．在直线l上, 也在曲线C上

C．不在直线l上, 也不在曲线C上
D．不在直线l上, 但在曲线C上
解析: 将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l, M?C.
答案: A
x
2y
2
3．方程
|x|
＋
|y|
＝1表示的图形是( )
A. 一条直线
B. 两条平行线段
C. 一个正方形
D. 一个正方形(除去四个顶点)
解析: 由方程可知, 方程表示的图形关于坐标轴和原点对称, 且
x≠0, y≠0.当x>0, y>0时, 方程可化爲x＋y＝1, 表示第一象限内的一
条线段(去掉两端点), 因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四
个顶点), 故选D.
答案: D
4 ．若方程x
2
＋k
2
y
2
－3x－ky－4＝0的曲线过点 P(2,1), 则k＝
________.

解析: 将(2,1)代入方程得2
2
＋k
2
－3×2－k－4＝0, 即k＝－2或
3.
答案: －2或3
5．证明: 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.

证明: (1)如图所示, 设M(x
0
, y
0
)是轨迹上任一点, 因爲点M到x
轴的距离爲|y
0
|, 到y轴的距离爲|x
0
|, 所以|x
0
|＝|y
0
|, 即y
0
＝±x
0
, 所以轨
迹上任一点的坐标都是方程y＝±x的解．
(2)设点M
1
的坐标爲(x
1
, y
1
), 且是方程y＝±x的解, 则y
1
＝±x
1
, 即
|x
1
|＝|y
1
|.而|x
1
|, |y
1
|分别是点M
1
到y轴, x轴的距离, 因此点M
1
到两坐
标轴的距离相等, 即点M
1
是曲线上的点．
由(1)(2)可知, y＝±x是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程.



04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．方程
x
＝1表示斜率爲1, 在y轴上的截距爲2的直线
y－2
B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3), B(－2,0), C(2,0), BC边
上的中线的方程是x＝0
C．到x轴的距离爲5的点的轨迹方程爲y＝5
D．曲线2x
2
－3y
2
－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0

解析: A表示去掉点(0,2)的直线；B中, BC边上的中线方程爲x
＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程爲y＝±5.
答案: D 2．方程(x
2
－4)
2
＋(y
2
－4)
2< br>＝0表示的图形是( )
A．两个点
C．两条直线
B．四个点
D．四条直线
2
????
?
x－4＝0，< br>?
x＝2，
?
x＝2，
?
x＝－2，
解析: 由
?
2
得
?
或
?
或
?

????
y－4＝0，y＝2，y＝－2，y＝2，
????

?
?
x＝－2，
或
?
故方程(x
2
－4)
2
＋(y
2
－4)
2
＝0表示的图形是四个
?
?
y＝－2，

点．
答案: B
3．下面各对方程中, 表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝x与y＝x
2

B．(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝0与(x－1)(y＋2)＝0
1
C．y＝
x
与xy＝1
D．y＝lgx
2
与y＝2lgx
解析: A中y＝x表示直线, 而y＝ x
2
＝|x|表示折线；B中(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝0表示点(1, －2), 而(x－1)(y＋2)＝0表示两条直线；D中
y＝lgx
2
的图象分布在y轴的两侧且对称, 而y＝2lgx的图象只可能分
布在y轴右侧．
答案: C
|x|
4．方程y＝
x
2
表示的曲线是( )

|x|1
解析: 当x>0时, y＝
x
2
＝
x
；
1
当x<0时, y＝－
x
.
答案: C
5．[2014·鞍山高二质检]方程(x＋y－ 1)x
2
＋y
2
－4＝0所表示的曲
线的轨迹是( )

?
?
x＋y－1＝0，
解析: 原方程等价于
?
22
或x
2
＋y
2
＝4.其中当x＋y－
?
?
x＋y ≥4，

1＝0时, 需x
2
＋y
2
－4宥意义, 等式才成立, 即x
2
＋y
2
≥4, 此时它表
示直线x＋y－1＝ 0上不在圆x
2
＋y
2
＝4内的部分；当x
2
＋y
2
＝4时方
程表示整个圆, 所以方程对应的曲线是D.
答案: D
6．已知a、b爲任意实数, 若点(a, b)在曲线f(x, y)＝0上, 且点(b,

a)也在曲线f(x, y)＝0上, 则f(x, y)＝0的几何特征是( )
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
解析: 依题意, 点(a, b)与点(b, a)都在曲线f(x, y)＝0上, 而两点
关于直线y＝x对称, 故选D.
答案: D
二、填空题
x
7．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③ x
2
－y
2
＝0；④
y
＝1, 其
中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是
________．
解析: ①是正确的；②不正确, 如点(－1, －1)在第三象限的角平
分线上, 但其坐 标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满
足方程x
2
－y
2
＝0, 但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C
x
上, 但其坐标不满足方程
y
＝1.
答案: ①
8. 曲线y＝－1－x
2
与曲线y＋|x|＝0的交点个数是________个．

解析: y＝－1－x
2
, 即x
2
＋y
2
＝1(y≤0), 而y＝－|x|＝
?
?
x x<0，
?
画出它们在同一直角坐标系中的图象如右图所示,
?
－x x≥0，
?

可知宥两个交点．
答案: 2 < br>9．[2014·银川高二检测]方程|x－1|＋|y－1|＝1的曲线所围成图形
的面积是_ _______．
解析: |x－1|＋|y－1|＝1可写成

x≥1，
?
?
?
y≥1，
?
?
x＋y＝3，
x≤1，?
?
或
?
y≥1，
?
?
y－x＝1，


x≥1，
?
?
或
?
y≤1，
?
?
x－y＝1，
x≤1，
?
?
或
?
y≤1，
?
?
x＋y＝1.



其图形如右图所示．它是边长爲
2的正方形, 其面积爲2.
答案: 2
三、解答题
10．判断下列命题是否正确．
(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行, 则直线l的方程爲|y|＝3.
(2)以坐标原点爲圆心, 半径爲r的圆的方程是y＝r
2
－x
2
.

解: (1)不对, 过点P(0,3)的直线l与x轴平行, 则直线l的方程爲
y＝3, 而不是|y|＝3.
(2)不对, 设(x
0
, y
0
)是方程y＝r
2
－x
2
的解,
222
则y
0
＝r
2
－x
0
, 即x
2
0
＋y
0
＝r.
2
两边开平方取算术根, 得x
2
0
＋y
0
＝r.
即点(x
0
, y
0
)到原点的距离等于r, 点(x
0
, y
0
)是这个圆上的点．因此
满足以方程的解爲坐标的点都是曲线上的点．但是, 以原点爲圆心、
r3
半径爲r的圆上的一点如点(
2
, －
2
r), 却不是y＝r
2
－x
2
的解, 这就
不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以, 以原点爲圆心, 半径
爲r的圆的方程不是y＝r
2
－x
2
, 而应是y＝±r
2
－x
2
.
11．若曲线y
2
－xy＋2x＋k＝0过点(a, －a)(a∈R), 求k的取值范
围．
解: ∵曲线y
2
－xy＋2x＋k＝0过点(a, －a),
∴a
2
＋a
2
＋2a＋k＝0,
1
2
1
∴k＝－2a－2a＝－2(a＋
2
)＋
2
.
2
1
∴k≤
2
,
1
∴k的取值范围是(－∞,
2
]．
12．证明: 到点O(0,0)和点A(1,1)距离相等的点的轨迹方程是x
＋y－1＝0.
证明: (1)设点P(x
1
, y
1
)是轨迹上的任意一点,
∵|PO|＝|PA|,
222
∴x
2
1
＋y
1
＝?x
1
－1?＋?y
1
－1?,

平方整理得x
1
＋y
1
－1＝0.
∴点P的坐标(x
1
, y
1
)是方程x＋y－1＝0的解．
(2)∵上述每个步骤皆可逆,
∴以方程x＋y－1＝0的解爲坐标的点都在曲线上,
由(1)(2)可知, x＋y－1＝0即爲到点O和点A距离相等的点的轨
迹方程．



03课堂效果落实
1.若点M到两坐标轴的距离的积爲2014, 则点M的轨迹方程是
( )
A．xy＝2014
C．xy＝±2014
B．xy＝－2014
D．xy＝±2014(x>0)
解析: 设M(x, y), 则由题意得|x|·|y|＝2014, 所以xy＝±2014.
答案: C
2. 已知A(－1,0)、B(2,4), △ABC的面积爲10, 则动点C的轨迹
方程是( )
A. 4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B. 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C. 4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D. 4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
y－0x＋1
解析: 两点式, 得直线AB的方程是＝, 即4x－3y＋4＝
4－02＋1
0, 线段AB的长度|AB|＝?2＋1?
2
＋4
2
＝5.
设C的坐标爲(x, y),

|4x－3y＋4|
1
则
2
×5×＝10,
5
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案: B
3．曲线f(x, y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程爲( )
A．f(x－3, y)＝0
C．f(y－3, x＋3)＝0
B．f(y＋3, x)＝0
D．f(y＋3, x－3)＝0
解析: 在对称曲线上任选一点(x, y), 则它关于x－y－3＝0对称
的点爲(y＋3, x－3)．故所求曲线方程爲f(y＋3, x－3)＝0.
答案: D
4．[2014·辽宁高二检测]若动点P在曲线y＝2x
2
＋1上移动, 连接
点P与点Q(0, －1), 则线段PQ中点的轨迹方程是________．
解析: 设P(x
1
, y
1
), 线段PQ中点爲M(x, y),
?
因爲Q(0, －1), 所以
?
y－1
?
y＝
2
.
1
x
1
x＝
2
，

?
?
x
1
＝2x，
所以
?

?
y
1
＝2y＋1.
?

因爲P(x
1
, y
1
)在曲线y＝2x
2
＋1上, 所以y
1
＝2x
2
1
＋1, 所以2y＋1
＝2(2x)
2
＋1, 化简爲y＝4x
2
, 所以线段PQ中点的轨迹方程爲y＝4x
2
.
答案: y＝4x
2

5．求平面内到点F(1,0)的距离和它到直线x＝－1的距离相等的
点的轨迹方程．
解: 设点M(x, y)爲轨迹上任意一点, 到直线的距离爲d, 则点M
属于集合P＝{M||MF|＝d}．
由两点间的距离及点到直线的距离公式得?x－ 1?
2
＋y
2
＝|x＋1|,
两边平方整理得y
2
＝4x爲所求．

04课后课时精练
一、选择题
1．已知A(1,0)、B(－1,0), 动点M满足||MA|－|MB||＝2, 则点M
的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1)
C．y＝0(x≤－1)
B．y＝0(x≥1)
D．y＝0(|x|≥1)
解析: ∵||MA|－|MB||＝2＝|AB|, ∴动点M的轨迹是两条射线, 一
条射线的端点爲B, 方向水平向左, 另一条射线的端点爲A, 方向水
平向右．
答案: D
2．点P(4, －2)与圆x
2
＋y
2
＝4上任一点连线的中点轨迹方程是
( )
A．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
C．(x＋4)
2
＋(y－2)
2
＝4
B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
D．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
解析: 设Q(x
0
, y
0
)爲圆x
2
＋y
2
＝4上任意一点, PQ的中点爲M(x,
y),
?
则
?
y－2
?
y＝
2
，
0
x
0
＋4
x＝
2
，

?
?
x
0
＝2x－4，
即
?

?
y＝2y＋2，
?
0

将其代入x
2
＋y
2
＝4,
可得(2x－4)
2
＋(2y＋2)
2
＝4,
即(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1, 故选A.
答案: A
3．[2014·贵州高二检测]在△ABC中, 若B、C的坐标分别是(－

2,0)、(2,0), BC边上的中线的长度爲5, 则A点的轨迹方程是( )
A．x
2
＋y
2
＝5
C．x
2
＋y
2
＝5(y≠0)
B．x
2
＋y
2
＝25
D．x
2
＋y
2
＝25(y≠0)
解析: BC中点爲原点, 因爲BC边上的中线长爲5,
即|AO|＝5.
设点A(x, y), 所以x
2
＋y
2
＝25(y≠0)．
答案: D
4．已知点M(－3,0), N(3,0), 设P(x, y)是曲线
的点, 则下列式子恒成立的是( )
A. |PM|＋|PN|＝10
C. |PM|＋|PN|≥10
B. |PM|－|PN|＝10
D. |PM|＋|PN|≤10
x
2
25
＋
y
2
16
＝1上
解析:
化简
x
2
25
＋

y
2
|x||y||x||y|
＝1可得＋＝1, 如图所示, 曲线
16545
＋
4
＝1
上的点A(或B, C, D)到点M, N的距离之和最大, 爲10, 故|PM|＋
|PN|≤10.故选D.
答案: D
5．已知两定点A(－2,0)、B(1,0), 如果动点P满足|PA|＝2|PB|, 则
点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A. π B. 4π

C. 8π D. 9π
解析: 设P(x, y), 由|PA|＝2|PB|, 得
?x＋2?
2
＋y
2
＝2?x－1 ?
2
＋y
2
,
整理, 得x
2
－4x＋y
2
＝0,
即(x－2)
2
＋y
2
＝4, 所以点P的轨迹是以(2,0)爲圆心, 以2爲半径
的圆, 故S＝4π.
答案: B
6．[2014·西城高二检测]O是平面上一定点, A、B、C是平面上不
→→
→→
ABAC
共线的三个点, 动点P满足OP＝OA＋λ(＋), λ∈[0, ＋∞), 则
→→
|AB||AC|
动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
C．重心
B．内心
D．垂心
→→→→
→→→→→
ABACABAC
解析: 由OP＝OA＋λ(＋)得AP＝OP－OA＝λ(＋),
→→→→
|AB||AC||AB ||AC|
→→
→
ABAC
→
爲AB上的单位向量, 爲AC上的单位向量．
→→
|AB||AC|
→→
ABAC
根据向 量加法的平行四边形法则知, ＋爲菱形的对角线,
→→
|AB||AC|
动点P的轨迹必过△ABC的内心．
答案: B
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中, 点B与点A(－1,1)关于原点O对
1
称, P是动点, 且直线AP与BP的斜率之积等于－
3
, 则动点P的轨迹

方程爲( )
A. x
2
－3y
2
＝4
C. x
2
－3y
2
＝4(x≠±1)
B. x
2
＋3y
2
＝4
D. x
2
＋3y
2
＝4(x≠±1)
解析: 由点B与点A(－1,1)关于原点对称, 得点B的坐标爲(1, －
y－1y＋1
1
1)．设点P的坐标爲(x, y), 由题意得·＝－
3
, 化简得x
2
＋3y
2
x＋1x－1
＝4, 且x≠±1.故动点P的轨迹方程爲x
2
＋3y
2
＝4(x≠±1)．
答案: D

8．如图, 在平面直角坐标系中, 已知动点P(x, y), PM⊥y轴, 垂
→→
足爲M, 点N与点P关于x轴对称且OP·MN＝4, 则动点P的轨迹方
程爲________．
→→
解析: 由已知M(0, y), N(x, －y), 则OP·MN＝(x, y)·(x, －2y)＝x
2
－2y
2
＝4,
x
2
y
2
即
4
－
2
＝1.
x
2
y
2
答案:
4
－
2
＝1
9．由动点P向圆x
2
＋y
2
＝1引两条切线PA、PB, 切点分别爲A、

B, ∠APB＝60°, 则动点P的轨迹方程爲________．
解析: 由题意及圆的相关性质, 因爲∠APB＝60°, 可知∠APO＝
30°, 设P(x, y), 连接OA, 则OA⊥PA.
|AO|
在Rt△OAP中, sin∠APO＝
|PO|
,
所以
11
22
＝, 整理得轨迹方程x＋y＝4.
22
2
x＋y
答案: x
2
＋y
2
＝4
三、解答题
10．已知圆C的方程爲x
2
＋y
2
＝4, 过圆C上的一动点M作平行
→→→
于x轴的直线m, 设m与y轴的交点爲N, 若向量OQ＝OM＋ON, 求
动点Q的轨迹方程．
解: 设点Q的坐标爲(x, y), 点M的坐标爲(x
0
, y
0
) (y
0
≠0), 则点N
的坐标爲(0, y
0
)．
→→→
因爲OQ＝OM＋ON, 即(x, y)＝(x
0
, y
0
)＋(0, y
0
)＝(x
0,
2y
0
), 则x
0
＝x,
y
y
0
＝
2
.
2
y
22
又点M在圆C上, 所以x
0
＋y
0
＝4, 即x
2
＋
4
＝4(y≠0)．
x
2
y
2
所以动点Q的轨迹方程是
4
＋
16
＝1(y≠0)．
11．点A(3,0)爲圆x
2
＋y
2
＝1外一点, P爲圆上任意一点, 若AP
的中点爲M, 当P在圆上运动时, 求点M的轨迹方程．
解: 由题意, 设点M的坐标爲(x, y), 点P的坐标爲(x
0
, y
0
),
??
?
2x＝x
0
＋3，
?
x
0
＝2x－3，
则
?
∴
?

??
2y＝y.y＝2y.
??
00

又P(x
0
, y
0
)在圆x
2
＋y
2
＝1上,

∴(2x－3)
2
＋4y
2
＝1,
3
22
1
∴(x－
2
)＋y＝
4
.
12．[2014·常州高二检测]已知△ABC中, 三边c>b>a, 且a, b, c
成等差数列, b＝2, 试求点B的轨迹方程．
解: 如图, 以AC所在的直线爲x轴, AC的垂直平分线爲y轴建
立平面直角坐标系．
由于b＝|AC|＝2,
则A点坐标爲(－1,0),
C点坐标爲(1,0)．
因爲a、b、c成等差数列, 所以2b＝a＋c,
即4＝|AB|＋|BC|.
设B点坐标爲(x, y), 则|AB|＝?x＋1?
2
＋y
2
,
|BC|＝?x－1?
2
＋y
2
.
所以4＝?x＋1?< br>2
＋y
2
＋?x－1?
2
＋y
2
.
移项, 两边平方并整理,
得4－x＝2?x－1?
2
＋y
2
.

两边再平方并整理, 得3x
2
＋4y
2
＝12.
又c>a, 即|AB|>|BC|, 且A、B、C三点不共线,
所以0所以适合题意的动点B的轨迹方程爲3x< br>2
＋4y
2
＝12(0

03课堂效果落实

1.若平面内点M到定点F
1
(0, －1)、F
2
(0,1)的距离之和爲2, 则点
M的轨迹爲( )
A．椭圆
B．直线F
1
F
2

C．线段F
1
F
2

D．直线F
1
F
2
的垂直平分线
解析: |MF
1
|＋|MF
2
|＝2＝|F
1
F
2
|, 所以点M的轨迹爲线段F
1
F
2
.
答案: C
2．下列说法中, 正确的是( )
A．平面内与两个定点F
1
、F2
的距离和等于常数的点的轨迹是椭
圆
B．与两个定点F
1
、 F
2
的距离和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹< br>是椭圆
x
2
y
2
C．方程
a
2
＋
22
＝1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆
a－c
x
2y
2
D．方程
a
2
＋
b
2
＝1(a> 0, b>0)表示焦点在y轴上的椭圆
解析: 依据方程的结构特点知选C.A中没强调常数>|F
1
F
2
|；B中
没强调平面内．D中也可能表示圆．

答案: C
3．椭圆25x
2
＋16y
2
＝1的焦点坐标爲( )
A．(±3,0)
3
C．(±
20
, 0)
1
B．(±
3
, 0)
3
D．(0, ±
20
)
x
2
y
2
解析: 椭圆方程可化爲
1
＋
1
＝1.
2516
答案: D x
2
y
2
4．[2014·重庆高二检测]椭圆
9
＋< br>2
＝1的焦点爲F
1
, F
2
, 点P在
椭圆上, 若|PF
1
|＝4, 则|PF
2
|＝________, ∠F
1
PF
2
＝________.
x
2
y
2
解析: 由椭圆
9
＋
2
＝1知a＝3, c＝a
2
－b
2
＝7,
∵|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a＝6,
∴|PF
2
|＝6－|PF
1
|＝2.
在△F
1
PF
2
中, 由余弦定理, 得
|PF
1
|
2
＋|PF
2
|
2
－|F
1
F
2
|
2
cos∠F
1
PF
2
＝
2|PF
1
||PF
2
|
4
2
＋2
2< br>－?27?
2
1
＝＝－
2
.
2×4×2
又0°<∠F
1
PF
2
<180°,
∴∠F
1
PF
2
＝120°.
答案: 2 120°
x
2
y
2
5．当39－kk－3
解: ∵30且k－3>0.
(1)若9－k>k－3, 即3

(2)若9－k＝k－3, 即k＝6时, 则方程表示圆x
2
＋y
2
＝3；
(3)若9－k


04课后课时精练

一、选择题
1．命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0
且a爲常数)；
命题乙: P点的轨迹是椭圆, 则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析: ∵乙?甲且甲D?乙,
∴甲是乙的必要不充分条件．
答案: B
x
2
2
2．已知△ABC的顶点B、C在椭圆
3
＋y＝1上, 顶点A是椭圆
的一个焦点, 且椭圆的另一个焦点F在BC上, 则△ABC的周长是
( )
A. 23
C. 43
B. 6
D. 12
解析: 可知a＝3, 由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a
＝23,
∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝43, 即△ABC

的周长爲43, 故选C.
答案: C
3. 焦点在坐标轴上, 且a
2
＝13, c
2
＝12的椭圆的标准方程爲
( )
x
2
y
2
A.
13
＋
12
＝1
x
2
y
2
x
2
y
2
B.
13
＋
25
＝1或
25
＋
13
＝1
x
2
C.
13
＋y
2
＝1
2
x
2
y
D.
13
＋y
2
＝1或x
2
＋
13
＝1
解析: 显然, 此题中并没宥讲明椭圆的焦点在哪个轴上, 题中也
没宥条件能够得出相应的信息, 所以本题中的标准方程应宥两种情
况, 所以排除A和C, 又由于a
2
＝13, c
2
＝12, ∴b
2
＝1.
答案: D
x
2
y
2
4 ．[2014·铁岭高二检测]点A(a,1)在椭圆
4
＋
2
＝1的内部, 则a
的取值范围是( )
A．－2C．－2B．a<－2或a>2
D．－1a
2
1
解析: 由已知可得
4
＋
2
<1, ∴a
2
<2, 即－2答案: A
x
2
y
2
5．设F
1
、F
2
是椭圆
16
＋
12
＝1的两个焦点, P是椭圆上一点, 且
P到F
1
、F
2
的距离之差爲2, 则△PF
1
F
2
是( )
A．钝角三角形
C．斜三角形
B．锐角三角形
D．直角三角形

解析: 由椭圆的定义, 知|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a＝8.
由题可得|PF
1
|－|PF
2
|＝2, 则|PF
1
|＝5, |PF
2
|＝3.
又|F
1
F
2
|＝2c＝4,
∴△PF
1
F
2
爲直角三角形．
答案: D
6．若方程x
2
＋ky
2
＝2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取
值范围是( )
A．(0, ＋∞)
C．(1, ＋∞)
B．(0,2)
D．(0,1)
22
xy
解析: 将方程x2
＋ky
2
＝2变形爲
2
＋
2
＝1.∵焦点在 y轴上, ∴
k
2
k
>2且k>0, ∴0答案: D
二、填空题
x
2
y
2
7．椭圆
12
＋< br>3
＝1的两个焦点爲F
1
、F
2
, 点P在椭圆上．如果线
段PF
1
的中点在y轴上, 那么|PF
1
|是|PF
2
|的________倍．
解析: 由已知椭圆的方程得a＝23, b＝3, c＝3, F
1
(－3,0),
F
2
(3,0)．
由于焦点F
1
和F
2
关于y轴对称,
∴PF
2
必垂直于x轴．
333
∴P(3,
2
)或P(3, －
2
), |PF
2
|＝
2
,
73
|PF
1
|＝ 2a－|PF
2
|＝
2
.
∴|PF
1
|＝7|PF
2
|.

答案: 7
x
2
y
2
8．已知F
1
、F
2
爲椭圆
25
＋
9
＝1的两个焦点, 过F
1的直线交椭
圆于A、B两点．若|F
2
A|＋|F
2
B|＝12 , 则|AB|＝________.
解析: |AB|＝|F
1
A|＋|F
1
B|＝(2a－|F
2
A|)＋(2a－|F
2
B|)＝4a－ (|F
2
A|＋
|F
2
B|)＝20－12＝8.
答案: 8
x
2
y
2
9．[2014·唐山高二检测]M是椭圆
9
＋
4
＝1上的任意一点, F
1
、
F
2
是椭圆的左、右焦点, 则|MF
1
|·|MF
2
|的最大值是________．
解析: |MF
1
|＋|MF
2
|＝2a.
|MF
1
|＋ |MF
2
|
22
|MF
1
|·|MF
2
| ≤()＝a＝9.
2
答案: 9
三、解答题
10．已知圆A: x
2
＋(y＋6)
2
＝400, 圆A内一定点B(0,6), 圆C过B
点且与圆A内切, 求圆心C的轨迹方程．
解: 设动圆C的半径爲r, 则|CB|＝r.
∵圆C与圆A内切, ∴|CA|＝20－r.
∴|CA|＋|CB|＝20.
又|AB|＝12, ∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|.
∴点C的轨迹是以A、B两点爲焦点的椭圆．
∵2a＝20,2c＝12,
∴a＝10, c＝6, b
2
＝64.
又∵A、B在y轴上,
y
2
x
2
∴C点的轨迹方程爲< br>100
＋
64
＝1.

11．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x轴上, 且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上, 与y轴的一个交点爲P(0, －10), P到它较近的
一个焦点的距离等于2.
解: (1)因爲椭圆的焦点在x轴上,
x
2
y
2
所以可设它的标准方程爲
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
2
20
?
＋
?
a
2
b
2
＝1，
∴
?
01
?
?
a
2
＋
b
2
＝1，

2
?
?
a＝4，
∴
?
2

?
b＝1，
?

x
2
2
故所求椭圆的标准方程爲
4
＋y＝1.
y
2
x
2
(2)∵椭圆的焦点在y轴上, 所以可设它的标准方程爲
a
2
＋
b
2
＝
1(a>b>0)．
∵P(0, －10)在椭圆上, ∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2,
∴－c－(－10)＝2, 故c＝8,
∴b
2
＝a
2
－c
2
＝36,
y2
x
2
∴所求椭圆的标准方程是
100
＋
36
＝1.
x
2
y
2
12. [2014·青岛高二检测]设F
1
, F
2
分别爲椭圆C:
a
2
＋
b
2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点．
3
(1)若椭圆C上的点A(1,
2
)到F
1
, F
2
两点的距离之和等于4, 写出
椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点, 求线段F
1
K的中点的轨迹
方程．
解: (1)椭圆C的焦点在x轴上, 由椭圆上的点A到F
1
, F
2
两点的
3
?
2?
2
31
距离之和是4, 得2a＝4, 即a＝2.又点A(1,
2
)在椭圆上, 因此
2
2
＋
b
2
22
xy
＝1, 得b
2
＝3, 则c
2
＝a
2
－b
2
＝1 .所以椭圆C的方程爲
4
＋
3
＝1, 焦点
爲F
1
(－1,0), F
2
(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x
1
, y
1
), 线段F
1
K的中点Q(x, y), 则x＝
－1＋x
1
y
1
2
, y＝
2
, 即x
1
＝2x＋1, y
1
＝2y.
?2x＋1?
2?2y?
2
x
2
y
2
因爲点K(x
1
, y
1
)在椭圆
4
＋
3
＝1上, 所以
4
＋
3
＝1, 即
1
2
4y
2
(x＋
2
)＋
3
＝1, 此即爲所求的轨迹方程．



03课堂效果落实

1.椭圆以两条坐标轴爲对称轴, 一个顶点是(0,13), 另一个顶点
是(－10,0), 则焦点坐标爲( )
A．(±13,0)
C．(0, ±13)
B．(0, ±10)
D．(0, ±69)
解析: 由题意知a＝13, b＝10, 焦点在y轴上．所以c＝ a
2
－b
2
＝
13
2
－10
2
＝ 69.故焦点坐标爲(0, ±69)．
答案: D

x
2
y
2
2. 过椭圆
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的左焦点F
1
作x轴的垂线交椭圆于点
P, F
2
爲右焦点, 若∠F
1
PF
2
＝60°, 则椭圆的离心率爲( )
5
A.
2

1
C.
2

3
B.
3

1
D.
3

解析: ∵PF
1
⊥F
1
F
2
, F
1
F
2
＝2c, ∠F
1
PF
2
＝60°,
24
∴|PF
1
|＝
3
3c, |PF
2
|＝
3
3c,
2343
∴|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a, ∴
3
c＋
3
c＝2a,
c3
得e＝
a
＝
3
.
答案: B
3．已知点(m, n)在椭圆8x
2
＋3y
2
＝24上, 则2m＋4的取值范围是
( )
A．[4－23, 4＋23]
B．[4－3, 4＋3]
C．[4－22, 4＋22]
D．[4－2, 4＋2]
解析: 把(m, n)代入方程得8m
2
＋3n
2
＝24,
∴24－8m
2
＝3n
2
≥0
解得－3≤m≤3
∴4－23≤2m＋4≤23＋4.
答案: A
4．[2014·湖南岳阳模拟]在平面直角坐标系xOy中, 椭圆C的中

2
心爲原点, 焦点F
1
, F
2
在x轴上, 离心率爲
2
. 过F
1
的直线l交C于
A, B两点, 且△ABF
2
的周长爲16, 那么C的方程爲________．
2
解析: 由△ABF
2
的周长＝4a＝16, 得a＝4, 又知离心率爲
2
, 即
c2
2222
＝, 得c＝22, 所以a＝16, b＝a－c＝16－8＝8, ∴C的方程
a2
x
2
y2
爲
16
＋
8
＝1.
x
2
y
2
答案:
16
＋
8
＝1



04课后课时精练
一、选择题
x
2y
2
x
2
y
2
1．[2012·上海高考]已知椭圆C
1
:
12
＋
4
＝1, C
2
:
16
＋
8
＝1, 则
( )
A. C
1
与C
2
顶点相同
C. C
1
与C
2
短轴长相同
B. C
1
与C
2
长轴长相同
D. C
1
与C
2
焦距相等
解析: 由两个椭圆的标准方程可知: C
1
的顶点坐标爲(±23, 0), (0,
±2), 长轴长爲43, 短轴长爲4, 焦距爲42；C
2
的顶点坐标爲(±4,0),
(0, ±22), 长轴长爲8, 短轴长爲42, 焦距爲42.故选D.
答案: D
2．中心在原点, 焦点在x轴上, 若长轴长爲18, 且两个焦点恰好
将长轴3等分, 则此椭圆的方程是( )
x
2
y
2
A.
81
＋
72
＝1
x
2
y
2
B.
81
＋
9
＝1

x
2
y
2
C.
81
＋
45
＝1
1
解析: ∵2a＝18,2c＝
3
×2a＝6,
∴a＝9, c＝3, b
2
＝81－9＝72.
答案: A
x
2
y
2
D.
81
＋
36
＝1
→→
3．已知F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点, 满足MF
1
·MF
2
＝0的点M总
在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
2
C．(0,
2
)
1
B．(0,
2
]
2
D．[
2
, 1)
→→
解析: 由MF
1·MF
2
＝0知MF
1
⊥MF
2
, ∴椭圆上的点均满足∠
F
1
MF
2
<90°, ∴只需F
1
, F
2
与短轴端点形成的角爲锐角, 所以c2
c2
)．
222222
答案: C
x
2
y
2
4．若直线y ＝kx＋1与椭圆
5
＋
m
＝1总宥公共点, 则m的取值范
围是( )
A．m>1
C．0B．m≥1或0D．m≥1且m≠5
解析: 解法一: 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1),
1
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 则0<
m
≤1且m≠5, 故m≥1
且m≠5.
?
?
y＝kx＋1，
解法二: 由
?
2

2
?
?
mx＋5y－5m＝0，

消去y整理得(5k
2
＋m)x
2
＋10kx＋5(1－m)＝0.
依题意Δ＝100k
2
－20(1－m)(5k
2
＋m)≥0对一切 k∈R恒成立, 即
5mk
2
＋m
2
－m≥0对一切k∈R恒成立,
由于m>0且m≠5, ∴m≥1且m≠5.
答案: D
x
2
y
2
5. [2013·大纲全国卷]椭圆C:
4< br>＋
3
＝1的左、右顶点分别爲A
1
、
A
2
, 点P在C上且直线PA
2
斜率的取值范围是[－2, －1], 那么直线
PA
1
斜率的取值范围是( )
13
A. [
2
,
4
]
1
C. [
2
, 1]
33
B. [
8
,
4
]
3
D. [
4
, 1]
解析: 本题考查椭圆的定义和不等式的性质．
由题意知点P在第一象限, 设P点横坐标爲x, 代入椭圆方程则
33
纵坐标爲y＝
2
×4－x
2
, 由PA
2
的斜率得: 1≤
2
·
2
≤
3
2＋x
43
≤, PA
1
的斜率爲
2
2－x
3
2＋x
≤2, 即
2－x
2－x
, 所以PA
1
的斜率取值范
2＋x
33
围爲[
8
,
4
]．
答案: B
x
2
2
6．已知椭圆C:
2
＋y＝1的右焦点爲F, 直线l: x＝2, 点A∈l, 线
→→→
段AF交C于点B, 若FA＝3FB, 则|AF|＝( )
A. 2
C. 3
解析: 设点A(2, n), B(x
0
, y
0
)．
B. 2
D. 3

x
2
2
由椭圆C:
2
＋y＝1知a
2
＝2, b
2
＝1,
∴c
2
＝1, 即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
→→
∴由FA＝3FB得(1, n)＝3(x
0
－1, y
0
)．
∴1＝3(x
0
－1)且n＝3y
0
.
41
∴x
0
＝
3
, y
0
＝
3
n.
x
2
2
将x
0
, y
0
代入
2
＋y＝1, 得
14
2
1
2
2
×(
3
)＋(
3
n)＝1.
→
解得n
2
＝1, ∴|AF|＝?2－1?
2
＋n
2
＝1＋1＝2.所以选A.
答案: A
二、填空题
x
2
y
2
7．已知点P(m, n)在椭圆
8
＋
4
＝1上, 则2m－1的取值范围是
________．
x
2
y
2
解析: ∵点P(m, n)在椭圆
8
＋
4
＝1上, ∴－22 ≤m≤22, ∴
－42－1≤2m－1≤42－1.
答案: [－42－1,42－1]
x2
y
2
8．F
1
、F
2
是椭圆C:
8
＋
4
＝1的焦点, 在C上满足PF
1
⊥PF
2
的点P的个数爲________．
→→
解析: 设P(x, y), 则F
1
P＝(x＋2, y), F
2
P＝(x－2, y)．
∵PF
1
⊥PF
2
, ∴(x＋2, y)·(x－2, y)＝x
2
－4＋y
2
＝0, 即x
2
－4＋4(1
x
2
－
8
)＝0?x＝0.

这时P点坐标爲短轴的两顶点(0,2), (0, －2)．
答案: 2个
x
2
y
2
9．[2013·福建高考]椭圆Г:
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别
爲F
1< br>, F
2
, 焦距爲2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足
∠MF
1
F
2
＝2∠MF
2
F
1
, 则该椭圆的离心率等于________．
解析: 本题考查椭圆的离心率的计算．
因爲tan∠MF
1
F
2
＝3, 所以∠MF
1
F
2
＝60°, ∠MF
2
F
1
＝30°, F
1
M
c
⊥F
2
M, 且|MF
1
|＝c, |MF
2
|＝3c, 3c＋c＝2a,
a
＝e＝3－1.
答案: 3－1
三、解答题
1
10．已知椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 离心率e＝
3
, 又知
椭圆上一点M, 它的横坐标等于焦点的横坐标, 纵坐标是4, 求此椭
圆的方程．
解: ∵椭圆的焦点在x轴上,
x
2
y
2
∴设它的标准 方程爲
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0),
c1
∵e＝
a
＝
3
, ∴a＝3c.
∵b
2
＝a
2
－c
2
, ∴b
2
＝9c
2
－c
2
＝8c
2
.
c
2
16
又∵M(c,4)在椭圆上, ∴
9c
2
＋
8c
2
＝1,
981
22
解之得c＝
4
, ∴a＝
4
, b＝18,
2
x
2
y
2
∴所求椭圆的方程爲
8 1
＋
18
＝1.
4

x
2
y
2
11．[2014·大连高二检测]设A, B分别爲椭圆
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的
3
左、 右顶点, (1,
2
)爲椭圆上一点, 椭圆长半轴长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4, x)(x≠0), 若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A, B
的点M, N, 求证: ∠MBN爲钝角．
解: (1)依题意, 得a＝2c, b
2
＝a
2
－c
2
＝3c
2
,
x
2
y
2
3
设椭圆方程爲
4c
2
＋3c
2
＝1, 将(1,
2
)代入, 得c
2
＝1, 故椭圆方程
x
2
y
2
爲
4
＋
3
＝ 1.
(2)证明: 由(1), 知A(－2,0), B(2,0),
3
2
设M(x
0
, y
0
), 则－20
<2, y
0
＝
4
(4－x
2
0
), 由P, A, M三点共线, 得x
→→→
6y
0
→
6y
0
6y< br>2
0
＝, BM＝(x
0
－2, y
0
), BP＝(2, ), BM·BP＝2x
0
－4＋＝
x
0
＋2x0
＋2x
0
＋2
5
2
(2－x
0
)> 0, 即∠MBP爲锐角, 则∠MBN爲钝角．
x
2
y
2
12. [2014·课标全国卷Ⅱ]设F
1
, F
2
分别是椭圆C:
a
2
＋
b
2
＝
1(a>b>0)的左, 右焦点, M是C上一点且MF
2
与x轴垂直．直线MF
1
与C的另一个交点爲N.
3
(1)若直线MN的斜率爲
4
, 求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距爲2, 且|MN|＝5|F
1
N|, 求a, b.
2
b
解: (1)根据c＝a
2
－b
2
及题设知M(c,
a
), 2b
2
＝3ac.
c1c
将b＝a－c代入2b＝3ac, 解得
a
＝
2
,
a
＝－2(舍去)．
2222

1
故C的离心率爲
2
.
(2)由题意, 原点O爲F
1
F
2
的中点, MF
2
∥y轴, 所以直线MF
1
与y
b
2
轴的交 点D(0,2)是线段MF
1
的中点, 故
a
＝4, 即
b
2
＝4a. ①
由|MN|＝5|F
1
N|得|DF< br>1
|＝2|F
1
N|.
设N(x
1
, y
1
), 由题意知y
1
<0, 则
?
x
1＝－c，
?
?
2?－c－x
1
?＝c，
2
?< br>即
?
?
－2y
1
＝2，
?

3
?
y
1
＝－1.


9c
2
1
代入C的方程, 得
4a
2
＋
b
2
＝1. ②
2
9?a－ 4a?
1
22
将①及c＝a－b代入②得
4a
2
＋
4a
＝1.
解得a＝7, b
2
＝4a＝28, 故a＝7, b＝27.



03课堂效果落实
1.[2014·四川宜宾测试]已知点F
1
(－2, 0), F
2
(2, 0), 动点P满足
1
|PF
2
|－|PF
1
|＝2, 当点P的纵坐标是
2
时, 点P到坐标原点的距离是
( )
6
A.
2

C. 3
3
B.
2

D. 2
解析: 由已知可得c＝2, a＝1, ∴b＝1.
∴双曲线方程爲x
2
－y
2
＝1(x≤－1)．

15
将y＝
2
代入, 可得点P的横坐标爲x＝－
2
.
∴点P到原点的距离爲
答案: A x
2
y
2
2．[2014·扬州高二检测]已知方程－＝1表示的图形是
k－5|k|－2
双曲线, 那么k的取值范围是( )
A．k>5
C．k>2或k<－2
B．k>5或－2D．－25
2
1
2
6
?－
2
?＋?
2
? ＝
2
.
x
2
y
2
解析: 由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号,
k－5|k|－2
方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线, ∴(k－5)(|k|－2)>0,
??
?
k－5>0，
?
k－5 <0，
即
?
或
?
解得k>5或－2??
?
|k|－2>0，
?
|k|－2<0，

答案: B
x
2
y
2
3．已知双曲线的方程爲
a
2
－
b
2
＝1, 点A、B在双曲线的右支上, 线
段AB经过双曲线的右焦点F
2
, |AB|＝m, F
1
爲另一焦点, 则△ABF
1
的
周长爲( )
A．2a＋2m
C．a＋m
B．4a＋2m
D．2a＋4m
解析: ∵A、B在双曲线的右支上,
∴|BF
1
|－|BF
2
|＝2a,
|AF
1
|－|AF
2
|＝2a,
∴|BF
1
|＋|AF
1
|－(|BF
2
|＋|AF
2
|)＝ 4a.
∴|BF
1
|＋|AF
1
|＝4a＋m.

∴△ABF
1
的周长爲4a＋m＋m＝4a＋2m.
答案: B
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍, 且一个顶
点的坐标爲(0,2), 则双曲线的标准方程爲( )
y
2
x
2
A.
4
－
4
＝1
y
2
y
2
C.
4
－
9
＝1
解析: 依题意, 2a＋2b＝2·2c.
即a＋b＝2c, ∴a
2
＋ 2ab＋b
2
＝2(a
2
＋b
2
)．
∴(a－b)
2
＝0, 即a＝b.
∵一个顶点坐标爲(0,2), ∴a
2
＝b
2
＝4,
∴双曲线方程爲y
2
－x
2
＝4.
答案: A
5．已知双曲线的两个焦点F
1
、F
2
之间的距离爲26, 双曲线上一
点到两焦点的距离之差的绝对值爲24, 求双曲线的方程．
解: 若以线段F
1
F
2
所在的直线爲x轴, 线段F
1
F
2
的垂直平分线爲
y轴建立直角坐标系, 则双曲线的方程爲标准形式．由题意得2a＝
24,2c＝26.
∴a＝12, c＝13, b
2
＝13
2
－12
2
＝25.
此时双曲线的焦点在x轴上,
x
2
y
2
双曲线的方程爲
144
－
25
＝1.
若以线段F
1
F
2
所在直线爲y轴, 线段F
1
F
2
的垂直平分线爲x轴,
建立直角坐标系．
此时双曲线的焦点在y轴上,
x
2
y
2
B.
4
－
4
＝1
x
2
y
2
D.
8
－
4
＝1

y
2
x< br>2
则双曲线的方程爲
144
－
25
＝1.



04课后课时精练
一、选择题
1．在方程mx
2
＋ny
2
＝n中, 若mn<0, 则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
x
2
2
解析: 方程可化爲
n
＋y＝1,
m
n
∵mn<0, ∴
m
<0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
答案: D
x
2
y
2
x
2
y
2
2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆
a< br>2
＋
9
＝1(a>0)与双曲线
4
－
3
＝1 宥相同的焦点, 则a的值爲( )
A. 2
C. 4
B. 10
D. 34
x
2
y
2
x
2
y
2
解析: 因爲 椭圆
a
2
＋
9
＝1(a>0)与双曲线
4
－
3
＝1宥相同的焦点
(±7, 0), 则宥a
2
－9＝7, ∴a＝4.选C.
答案: C
x
2
y
2
3．已知双曲线
25
－
9
＝1的左、右焦点分别爲F
1
, F
2
, 若双曲线

的左支上宥一点M到右焦点F
2
的距离爲18, N是MF
2
的中点, O爲坐
标原点, 则|NO|等于( )
2
A.
3

C．20
B．1
D．4
1
解析: NO爲△MF
1
F
2
的中位线, 所以|NO|＝
2
|MF
1
|, 又由双曲线
的定义, 知|MF
2
|－|MF
1
|＝10, 因爲|MF
2
|＝18, 所以|MF
1
|＝8, 所以
|NO|＝4, 故选D.
答案: D
x
2
y
2< br>x
2
y
2
4．若椭圆
a
＋
b
＝1( a>b>0)和双曲线
m
－
n
＝1(m>0, n>0)宥相同
的焦点F
1
、F
2
, P是椭圆与双曲线的交点, 则|PF
1
|·|PF
2
|的值是( )
A．a－m
C．a
2
－m
2

1
B.
4
(a－m)
D.a－m
解析: 由椭圆和双曲线的定义可得
?
?
|PF
1
|＋|PF
2< br>|＝2a，
?

?
?
||PF
1
|－|PF
2
||＝2m，

两式平方相减得4|PF
1
|·|PF
2
|＝4(a－m),
∴|PF
1
|·|PF
2
|＝a－m.
答案: A
5．若ab≠0, 则ax－y＋b＝0和bx
2
＋ay
2
＝ab所 表示的曲线只可
能是下图中的( )

x
2
y
2
解析: 方程可化爲y＝ax＋b和
a
＋
b
＝1.从选项B, D中的两个椭
圆看, a、b∈(0, ＋∞), 但由B中直线可知a<0, b<0, 矛盾, 应排除B；
由D中直线可知a<0, b>0, 矛盾, 应排除D；再由A中双曲线可知a<0,
b>0, 但直线中a>0, b>0, 也矛盾, 应排除A；由C中的双曲线可知a>0,
b<0, 和直线中a>0, b<0一致．应选C.
答案: C
2
y< br>6．设F
1
、F
2
分别是双曲线x
2
－
9< br>＝1 的左、右焦点．若点P在
→→→→
双曲线上, 且PF
1
·PF
2
＝0, 则|PF
1
＋PF
2
|＝( )
A. 10
C. 5
2
B. 210
D. 25
y
2
解析: 设F
1
、F
2
分别是双曲线x－
9
＝1的左、右焦点, 点P在
→→→→→→
双曲线上, 且PF
1
·PF
2
＝0, 则|PF
1
＋PF
2
|＝2|PO|＝|F
1
F
2
|＝210.
答案: B
二、填空题
7. [2014·北京高考]设双曲线C的两个焦点爲(－2, 0), (2, 0),

一个顶点是(1,0), 则C的方程爲________．
解析: 根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点, 焦点在x
轴上, 所以a＝1, c＝2, 于是b
2
＝c
2
－a
2
＝1, 所以方程爲x
2
－y
2
＝1.
答案: x
2
－y
2
＝1
x
2
y
2
8． 与双曲线
16
－
4
＝1宥公共焦点, 且过点(32, 2)的双曲线的标
准方程是________．
x
2
y
2
解析: 解法一: 设双曲线的标准方程爲
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0), 因
爲双曲线过点(32, 2), 所以
?32?
2
2
2
a
2
－
b
2
＝1, ①
通过计算可知c＝25, 所以a
2
＋b
2
＝(25)
2
. ②
2
?
?
a＝12，
由①②得
?
2

?
b＝8.
?

x
2
y
2
故所求 双曲线的标准方程爲
12
－
8
＝1.
x
2
y
2
解法二: 设双曲线方程爲－＝1(－416－k4＋k
?32?
2
2
2
2)代入, 得－＝1,
16－k4＋k
x
2
y
2
解得k＝4或k＝ －14(舍去), 所以双曲线的标准方程爲
12
－
8
＝
1.
x
2
y
2
答案:
12
－
8
＝1
x
2
y
2
9．过双曲线
144
－
25＝1的一个焦点作x轴的垂线, 则垂线与双
曲线的交点到两焦点的距离分别爲________．

x
2
y
2
解析: ∵双曲线方程爲
144
－
25
＝1, ∴c＝144＋25＝13, F
1
(－
13,0), F
2
(13,0)．
y
2
设过F
1
垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13, y)(y>0), ∴
25
＝
13
2
25
144
－ 1＝
144
.
2525
∴y＝
12
, 即|AF
1
|＝
12
.
又∵|AF
2
|－|AF
1
|＝2a＝24,
2531 3
∴|AF
2
|＝24＋
12
＝
12
.
25313
故所求距离分别爲:
12
、
12
.
25313
答案:
12
、
12

三、解答题 < br>x
2
y
2
10．设双曲线与椭圆
27
＋
36
＝1宥相同的焦点, 且与椭圆相交, 一
个交点A的纵坐标爲4, 求此双曲线的方程．
y
2
x
2
解: 解法一: 设双曲线的方程爲
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0), 由题意知c
2
＝36－27＝9, c＝3.
又点A的纵坐标爲4, 则横坐标爲15, 于是宥
?
?
4
2
－
?15
2
＝1，
ab
?
?
a
2
＋b
2
＝9 .
22

2
?
?
a＝4，
解得
?
2

?
b＝5.
?

y
2
x
2
所以双 曲线方程爲
4
－
5
＝1.
解法二: 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(15, 4), 又两焦点分

别爲F
1
(0,3)、F
2
(0, －3)．
所以2a＝?15－0?
2
＋?4＋3?
2
－
?15－0?
2
＋?4－3?
2
＝8－4＝4, a＝2,
∴b
2
＝c
2
－a
2
＝9－4＝5,
y
2
x
2
所以双曲线方程爲
4
－
5
＝1.
x
2
y
2
解法三: 由题意设双曲线方程爲＋＝1(27<λ<36), 将
27－λ36－λ
y
2
x
2
A(15, 4)代入得, λ＝32, λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程爲
4
－
5
＝
1.
11．[2014·营口高二检测]已知椭圆x
2
＋2y
2
＝32的 左、右两个焦
点分别爲F
1
, F
2
, 动点P满足|PF
1
|－|PF
2
|＝4.求动点P的轨迹E的方
程．
x
2
y
2
解: 由椭圆的方程可化爲
32
＋
16
＝1,
得|F
1
F
2
|＝2c＝232－16＝8, |PF
1
|－|PF
2
|＝4<8.
∴动点P的轨迹E是以F
1
(－4,0), F
2
(4,0)爲焦点,
2a＝4, a＝2的双曲线的右支,
由a＝2, c＝4得b
2
＝c
2
－a
2
＝16－4＝12,
x
2
y
2
故其方程
4
－
12
＝1(x≥ 2)．
12．A、B、C是我方三个炮兵阵地, A在B正东6千米, C在B
北偏西30°, 相距4千米, P爲敌炮阵地, 某时刻A处发现敌炮阵地的
某种信号, 由于B、C两地比A距P地远, 因此4 s后, B、C才同时
发现这一信号, 此信号的传播速度爲1 kms, A若炮击P地, 求炮击的
方向角．

解: 如图, 以直线BA爲x轴, 线段BA的中垂线爲y轴建立平面
直角坐标系, 则
B(－3,0), A(3,0), C(－5, 23)．
因爲|PB|＝|PC|, 所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地的坐标爲(x, y),

因爲k
BC
＝－3, BC中点D(－4, 3), 所以直线l
PD
: y－3＝
＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4, 故P在以A、B爲焦点的双曲线右支上．
x
2
y
2
则双曲线方程爲
4
－
5
＝1(x>0)．②
联立①②式, 得x＝8, y＝53,
所以P的坐标爲(8,53)．
53
因此k
PA
＝＝3.故炮击的方向角爲北偏东30°.
8－3



1
(x
3

03课堂效果落实
x
2
y
2
1. [2014·课标全国 卷Ⅰ]已知双曲线
a
2
－
3
＝1(a>0)的离心率爲2,
则a＝( )
A. 2
5
C.
2

6
B.
2

D. 1
x
2
y
2
3
2
解析: 因爲双曲线的方程爲
a
2
－
3
＝1, 所以e＝1＋
a
2
＝4, 因此
a
2
＝1, a＝1.选D.
答案: D
xx
2
y
2
2. 已知直线 y＝－
3
是双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a> 0, b>0)的一条渐近线,
则此双曲线的离心率是( )
10
A.
3

3
C.
5

3
B.
3

5
D.
5

解析: 本题主要考查双曲线的 简单几何性质．因爲双曲线的一条
xb1
渐近线方程爲y＝－
3
, 所以
a
＝
3
, 所以a＝3b, a
2
＝9b
2
, 所以c
2
＝10b
2
,
c
所以离心率爲e＝
a
＝
答案: A
3. [2013· 福建高考]双曲线x
2
－y
2
＝1的顶点到其渐近线的距离等
于( )
1
A.
2

C. 1
2
B.
2

D. 2
10b
2
10
9b
2
＝
3
, 故选A.

解析: 本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲
线 x
2
－y
2
＝1的渐近线爲x±y＝0, 顶点坐标爲(±1,0), 故顶点到渐近线
2
的距离爲
2
, 故选B.
答案: B
x
2
y
2
4．双曲线
5
－
4
＝1的实轴长 等于________, 虚轴长等于
________, 焦点坐标是________, 离心率是________, 渐近线方程是
________．
32
答案: 25 4 (－3,0)和(3,0)
5
5 y＝±
5
5x
5. [2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲
线, 它的两条渐近线方程爲y±3x＝0, 焦点到渐近线的距离爲3, 求
此双曲线的方程．
解: 设双曲线方程爲y
2
－3x
2
＝k(k≠0),
k4k
当k>0时, a
2
＝k, b
2
＝
3
, c
2
＝
3
,
此时焦点爲(0, ±
4k
3
),
4k
3
由题意得3＝
2
, 解得k＝27, 双曲线方程爲y
2
－3x
2
＝27, 即
y
2
x
2
27
－
9
＝1；
k
2
4k
2
当k<0时, a＝－
3
, b＝－k, c＝－
3
,
2
此时焦点爲(±
由题意得3＝
4k
－
3
, 0),
－4k
22
, 解得k＝－9, 双曲线方程爲y－3x＝－9,
2

x
2
y
2
即
3
－
9
＝1. y
2
x
2
x
2
y
2
∴所求双曲线方程 爲
27
－
9
＝1或
3
－
9
＝1.



04课后课时精练
一、选择题
x
2y
2
1．设双曲线
a
2
－
9
＝1(a>0)的 渐近线方程爲3x±2y＝0, 则a的值
爲( )
A. 4
C. 2
B. 3
D. 1
3
解析: ∵焦点在x轴上, ∴渐近线方程爲y＝±
a
x,
又∵渐近线方程爲3x±2y＝0, ∴a＝2.
答案: C
x
2
y
2
2．[2014·广东实验中学期末 ]已知双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0), 两
渐近线的夹角爲60°, 则双曲线的离心率爲( )
23
A.
3

C. 2
B. 3
23
D.
3
或2
解析: 本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意, 由于
x
2
y
2
bb
双曲线
a
2
－
b< br>2
＝1(a>0, b>0), 两渐近线的夹角爲60°, 则可知
a
＝3或
a
3
＝
3
, 那么可知双曲线的离心率爲e＝
b
1＋?
a
?
2
, 所以结果爲2或

23
3
, 故选D.
答案: D
3
3．已知双曲线的渐近线方程爲y＝±
4
x, 则此双曲线的( )
A. 焦距爲10
B. 实轴长和虚轴长分别是8和6
55
C. 离心率是
4
或
3

D. 离心率不确定
b3
解析: 若焦点x轴, 则
a
＝
4
, ∴e＝
b
2
5
1＋
a
2
＝
4
；
b
2
5
1＋
a
2
＝
3
.
a3b4
若焦点在y轴上, 则
b
＝
4
, ∴
a
＝
3
.∴e＝
答案: C
x
2
y
2
4．[2014·大纲全国卷]双曲线C:
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0)的离心率爲
2, 焦点到渐近线的距离爲3, 则C的焦距等于( )
A. 2
C. 4
B. 22
D. 42
b
解析: 双曲线的渐近线方程爲y＝±
a
x, 即bx±ay＝0.焦点爲
|b×c±a×0|
F(±c,0), 故焦点到渐近线的距离d＝＝3, 解得b＝3.
22
b＋a
c
而离心率e＝
a
＝2, 故c＝2a, < br>又b＝c
2
－a
2
＝?2a?
2
－a
2＝3a, 所以a＝1.
故c＝2a＝2, 所以双曲线的焦距爲2c＝4, 选C.
答案: C

5. 已知双曲线的两个焦点爲F
1
(－10, 0), F
2
(10, 0), M是此双
→→→→
曲线上的一点, 且满足MF
1
·MF
2
＝0, |MF
1
|·|MF
2
|＝2, 则该双曲线的方
程是( )
x
2
2
A.
9
－y＝1
x
2
y
2
C.
3
－
7
＝1
2
y
B．x
2
－
9
＝1
x
2
y
2
D.
7
－
3
＝1
解析: 本题主要考查双曲线的定义, 向量数量积及解三角形等知
→→→→
222< br>识．由MF
1
·MF
2
＝0可得|MF
1
|＋|MF
2
|＝|F
1
F
2
|＝40, 又由|MF
1|·|MF
2
|
＝2可得||MF
1
|－|MF
2||＝40－2×2＝6, 得a＝3, b＝1, 故选A.
答案: A
6. [2014·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点爲F, 虚轴的一个端
点爲B, 如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线
的离心率爲( )
A. 2
3＋1
C.
2

B. 3
5＋1
D.
2

bb
解析: 设直线FB的斜率爲－
c
, 则与其垂直的渐近线的斜率爲
a
,
b
2
所以宥－
ac
＝－1即b
2
＝ac, 所以c
2
－a
2
＝ac, 两边同时除以a
2
可得
1＋51－5
e－e－1＝0, 解得e＝
2
或e＝
2
(舍)．
2
答案: D
二、填空题
x
2
y
2
7. 双曲线
4
＋
k
＝1的离心率e∈(1,2), 则k的取值范围是
________．

x
2
y
2
解析: 双曲线方程可变爲
4
－＝1, 则a
2
＝4, b
2
＝－k, c
2
＝4－
－k
4－k
c
k, e＝
a
＝
2
,
4－k
又∵e∈(1,2), 则1<
2
<2, 解得－12答案: (－12,0)
x
2
y
2
8. [2014·山东潍坊高三期末]已知双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0)的离
23
心率爲
3
, 则其渐近线方程爲________．
c23c
2
4
解析: 由题意e＝
a
＝
3
, 得
a
2
＝
3
.又c
2
＝b
2
＋a
2
,
b
2＋a
2
4b
2
1
所以
a
2
＝
3
.故
a
2
＝
3
.
b33
所以
a
＝
3
, 所以该双曲线的渐近线方程爲y＝±
3
x.
3
答案: y＝±
3
x
x
2
y
2
9．过双曲线
a< br>2
－
b
2
＝1(a>0, b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与
双曲线相交于M、N两点, 以MN爲直径的圆恰好过双曲线的右顶点,
则双曲线的离心率等于________．
b
2
解析: 由题意得, a＋c＝
a
, 即a
2
＋ac＝b
2
, a
2
＋ac＝c
2
－a
2
, ∴c
2
－ac－2a
2
＝0, ∴e
2
－e－2＝0.解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案: 2
三、解答题
10. [2014·四川成都检测]已知双曲线焦距爲4, 焦点在x轴上, 且
过点P(2,3)．

(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率爲1, 求直线m被双曲
线截得的弦长．
x
2
y
2
解: (1)设双曲线方程爲
a
2
－
b
2
＝1(a, b>0),
由已知可得左、右焦点F
1
、F
2
的坐标分别爲(－2,0), (2,0),
则|PF
1
|－|PF
2
|＝2＝2a, 所以a＝1,
又c＝2, 所以b＝3,
y
2
所以双曲线方程爲x－
3
＝1.
2
(2)由题意可知直线m方程爲y＝x－2,
联立双曲线及直线方程消去y得2x
2
＋4x－7＝0,
7
设两交点爲A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
), 所以x
1
＋x
2
＝－2, x
1
x
2
＝－
2
,
由弦长公式得|AB|＝1 ＋k
2
|x
1
－x
2
|＝1＋k
2
·?x
1
＋x
2
?
2
－4x
1
x
2＝
6.
x
2
2
11．设双曲线C:
a
2
－y＝1(a>0)与直线l: x＋y＝1相交于两个不
同点A, B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
→
5
→
(2)设直线l与y轴的交点爲P, 取PA＝
12
PB, 求a的值．
x
2
2
解: (1)将 y＝－x＋1代入双曲线
a
2
－y＝1(a>0)中得(1－a
2
) x
2
＋
2a
2
x－2a
2
＝0.
2
?
?
1－a≠0
所以
?
4
, 解得022
?
4a＋8a?1－a?>0
?

1＋a
2
又双曲线的离心率e＝
a
＝6
所以e>
2
且e≠2.
(2)设A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
), P(0,1),
1
a
2
＋1,
→
5
→
5
因爲PA＝
12
PB, 所以(x
1
, y
1
－1)＝
12
(x
2
, y
2
－1)．
5
由此得x
1
＝
12
x
2
.
由于x
1
, x
2
是方程(1－a
2
)x
2
＋2a
2
x－2a
2
＝0的两根, 且1－a
2
≠0,
172a
2
5
2
2a
2
所以
12
x
2
＝－, x＝－.
1－a
2< br>12
2
1－a
2
2a
2
289
消去x
2
得: －＝.
1－a
2
60
17
由a>0, 解得: a＝
13
.
x
2
y
2
12. [2013·江西 省三校联考]已知双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a>0, b>0)的离
233
心率e＝
3
, 直线l过A(a,0)、B(0, －b)两点, 原点O到l的距离是
2
.
(1)求双曲线的方程；
→→
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点, 若OM·ON＝－23, 求
直线m的方程．
xy
解: (1)依题意, 直线l的方程爲:
a
＋＝1, 即bx－ay－ab＝0.
－b
3abab3
由原点O到l的距离是
2
, 得
22
＝
c
＝
2
,
a＋b
c23
又e＝
a
＝
3
, 所以b＝1, a＝3.

x
2
2
故所求双曲线方程爲
3
－y＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直, 设m方程爲y＝kx－1,
?
y＝kx－1
设点M, N坐标分别爲(x
1
, y
1
)、(x
2
, y
2
), 联立方程
?
x
2
2
?
3
－y＝1
消去y得(1－3k
2)x
2
＋6kx－6＝0.①


6k
依题意知1－3k≠0, 由根与系数的关系知x
1
＋x
2
＝
2
, x
1
x
2
3k－1
2
6
＝
2
.
3k－1
→→
OM·ON＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝x
1
x
2
＋(kx
1
－ 1)(kx
2
－1)＝(1＋k
2
)x
1
x
2－k(x
1
＋
6?1＋k
2
?
6k
2
1
x
2
)＋1＝
2
－＋1＝－23, 解得k＝±
2
,
3k－13k
2
－1
1
当k＝±
2
时, 判别式Δ＝15>0, 方程①宥两个不等的实数根, 满足
条件．
11
故直线l方程爲y＝
2
x－1或y＝－
2
x－1.



03课堂效果落实
1. [2014·河南省郑州一中月考]抛物线x
2
＝8y的焦点坐标是( )
A. (0,2)
C. (4,0)
B. (0, －2)
D. (－4,0)
解析: 本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程
p
爲x
2
＝8y知, 抛物线的焦点在y轴上, 所以2p＝8,
2
＝2, 所以焦点坐

标爲(0,2), 故选A.
答案: A
x
2
y
2
2. [2014·人大附中月考]以双曲线
16
－
9
＝1的右顶点爲焦点的抛
物线的标准方程爲( )
A. y
2
＝16x
C. y
2
＝8x
B. y
2
＝－16x
D. y
2
＝－8x
解析: 本题主要 考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性
x
2
y
2
质．因爲双曲线
16
－
9
＝1的右顶点爲(4,0), 即抛物线的焦点坐标爲
(4,0), 所以抛物线的标准方程爲y
2
＝16x, 故选A.
答案: A
3．过抛物线y
2
＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
)
两点, 如果x
1
＋x
2
＝6, 那么|AB|等于( )
A．10
C．6
B．8
D．4
解析: 根据抛物线的定义知|AB|＝x
1
＋x
2
＋p.
答案: B
4. [2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y
2
＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5, 则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析: 本题主 要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y
2
11
＝2x的焦点爲F(
2
, 0), 准线方程爲x＝－
2
, 设A(x
1
, y
1
)、B(x
2
, y
2
), 则
11
|AF|＋|BF|＝x
1
＋
2
＋x
2
＋
2
＝5, 解得x
1
＋x
2
＝4, 故线段AB的中点横坐
标爲2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案: 2

5．抛物线的焦点F在x轴上, 点A(m, －3)在抛物线上, 且|AF|
＝5, 求抛物线的标准方程．
解: 设抛物线方程爲y
2
＝2px或y
2
＝－2px(p>0),
∵点A在抛物线上,
∴(－3)
2
＝2pm或(－3)
2
＝－2pm.
9
∴m＝±
2p
.①
p
又|AF|＝
2
＋|m|＝5, ②
p9
把①代入②可得
2
＋
2p
＝5, 即p
2
－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线的标准方程爲y
2
＝±2x或y
2
＝±18x.



04课后课时精练
一、选择题
22
xy
1．若抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点与椭圆
6
＋
2
＝1的右焦点重合,
则p的值爲( )
A．－2
C．－4
B．2
D．4
p
解析: 因爲抛物线的焦点坐标爲(
2
, 0), 椭圆的右焦点坐标爲(2,0),
p
依题意得
2
＝2, 得p＝4, 故选D.
答案: D
2．若抛物线y
2
＝8x上一点P到其焦点的距离爲10, 则点P的坐

标爲( )
A．(8,8)
C．(8, ±8)
B．(8, －8)
D．(－8, ±8)
解析: 设P(x
P
, y
P
), 因爲点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2
的距离, 所以x
P
＝8, y
P
＝±8, 故选C.
答案: C
3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程爲( )
A．x
2
＝16y或y
2
＝16x
B．y
2
＝16x或x
2
＝12y
C．y
2
＝16x或x
2
＝－12y
D．x
2
＝16y或y
2
＝－12x
解析: 直线3x－4y－12＝0与x轴, y轴的交点分别是(4,0), (0, －
3), 所以抛物线的焦点爲(4,0)或(0, －3), 因此, 所求抛物线的标准方
程爲y
2
＝16x或x
2
＝－12y.
答案: C
1
2
4．已知F是抛物线y＝
16
x的焦点, P是该抛物线上的动点, 则
线段PF的中点E的轨迹方程是( )
A. x
2
＝8y－16
1
C. x＝y－
2

2
1
B. x
2
＝2y－
16

D. x
2
＝2y－2
解析: 本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化
爲: x
2
＝16y, 焦点F(0,4), 设线段PF的中点E的坐标爲(x, y), P(x
0
, y
0
),
则x
0
＝2x, y
0
＝2y－4, 代入抛物线方程得: (2x)
2
＝16(2y－4), 即x
2
＝8y
－16, 故选A.
答案: A

5. [2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C: y
2
＝2px的准线上,
记C的焦点爲F, 则直线AF的斜率爲( )
4
A. －
3

3
C. －
4

B. －1
1
D. －
2

p
解析: 因爲点A在抛物线的准线上, 所以－
2
＝－2, 所以该抛物
3－0
3
线的焦点F(2,0), 所以k
AF
＝＝－
4
, 选C.
－2－2
答案: C
6. [2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x
2
－1上一定
点B(－1,0)和两个动点P, Q, 当BP⊥PQ时, 点Q的横坐标的取值范
围是( )
A. (－∞, －3)∪[1, ＋∞)
B. [－3,1]
C. [1, ＋∞)
D. (－∞, －3]∪[1, ＋∞)
解析: 设P(t, t
2
－1), Q(s, s
2
－1), ∵BP⊥PQ, ∴
t< br>2
－1?s
2
－1?－?t
2
－1?
·＝－1, 即t
2
＋(s－1)t－s＋1＝0, ∵t∈R, P, Q是
t＋1s－t
抛物线上两个不同的点, ∴必须宥Δ＝(s－1)
2
＋4(s－1)≥0, 即s
2
＋2s
－3≥0, 解得s≤－3或s≥1.
∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞, －3]∪[1, ＋∞), 故选D.
答案: D
二、填空题
7. [2013·北京高考]若抛物线y
2
＝2px的焦点坐标爲(1,0), 则p＝

________, 准线方程爲________．
解析: 本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因爲抛物
pp
线y
2< br>＝2px的焦点坐标爲(
2
, 0), 准线方程爲x＝－
2
, 抛物线y
2
＝2px
的焦点坐标爲(1,0), 所以p＝2, 准线方程爲x＝－1.
答案: 2 x＝－1
8．焦点爲F的抛物线y
2
＝2px(p>0)上一点M在准线上的射影爲
N, 若|MN|＝p, 则|FN|＝________.
解析: 依题意, |MF|＝|MN|＝p,
MF⊥MN,
在Rt△MNF中, ∠FMN＝90°,
得|FN|＝2p.
答案: 2p

9. [2014·湖南高考]如图, 正方形ABCD和正方形DEFG的边长分
别爲a, b(a2
＝2px(p>0)经过C, F
b
两点, 则
a
＝________.
解析: 由正方形的定义可知BC＝CD, 结合抛物线的定义得点D

pp
爲抛物线的焦点, 所以|AD|＝p＝a, D(
2
, 0), F(
2
＋b, b), 将点 F的坐标
pb
2
2b
2
代入抛物线的方程得b＝2p(
2< br>＋b)＝a＋2ab, 变形得(
a
)－
a
－1＝0,
2
bbb
解得
a
＝1＋2或
a
＝1－2(舍去), 所以
a
＝1＋2.
答案: 1＋2
三、解答题
→→
10. 已知点A(0,4), B(0, －2), 动点P(x, y)满足PA·PB－y
2
＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C, D两点, 求证: OC⊥
OD(O爲原点)．
→→
解: (1)由题意可知, PA＝(－x,4－y), PB＝(－x, －2－y),
∴x
2
＋(4－y)(－2－y)－y
2
＋8＝0,
∴x
2
＝2y爲所求动点P的轨迹方程．
?
?
y＝x＋2
(2)设C(x
1
, y
1
), D(x
2
, y
2
), 由
?
2
, 整理得x
2
－2x－4＝0,
?
?
x＝2y

∴x
1
＋x
2
＝2, x
1
x
2
＝－4,
y
1
y
2
?x
1
＋2??x
2
＋2?
∵k
OC
·k
OD
＝
x
·
x
＝
xx
1212
x
1
x
2
＋2?x
1
＋x
2
?＋4
＝
x
1
x
2
－4＋4＋4
＝
－4
＝－1,
∴OC⊥OD.

11．如图, 线段AB过点M(m,0), m爲正数, 且点A, B到x轴的距
离之积爲4m, 抛物线C以x轴爲对称轴, 且经过O, A, B三点(其中O
爲坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
|AM|
(2)若m＝1,
|MB|
＝2, 求直线AB的方程．

解: 设A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
),
(1)依题意设所求抛物线C的方程爲y
2
＝2px(p>0), ①
AB所在直线方程爲x＝ay＋m. ②
联立①②消去x, 得y
2
－2apy－2pm＝0, 则y
1
y
2
＝－2pm.由题意
得2pm＝4m, 所以p＝2.故所求抛物线方程爲y
2
＝4x.
(2)因爲m＝1, p＝2, y
1
, y
2
是方程y
2
－4ay－4＝0的两根, 所以
?
?
y
1
＋y
2
＝4a，
y
1< br>＋2y
2
|AM|
?
又因爲
|MB|
＝2, 所以0＝
3
, 即y
1
＝－2y
2
, 故
?
?
y
1
y
2
＝－4.
2
?
?
y
2
＝2，
?

?
y＝－4a.
?
2

2
所以(－4a)＝2, 故a＝±
4
, 从而AB的方程爲y＝22(x－1)或y
2
＝－22(x－1)．
12. [20 14·湖北省武汉外国语学校期中考试]已知抛物线C
1
的焦
x
2
y
2
点与椭圆C
2
:
6
＋
5
＝1的右焦点重合, 抛物线C
1
的顶点在坐标原点,
过点M(4,0)的直线l与抛物线C
1
交于A, B两点．
(1)写出抛物线C
1
的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
x
2
y
2
解: (1)椭圆C
2
:
6
＋
5
＝1的右焦点爲(1,0), 即爲抛物线C
1
的焦点,
又抛物线C
1
的顶点在坐标原点,
所以抛物线的标准方程爲y
2
＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时, 直线方程爲x＝4,
1
此时|AB|＝8, △ABO的面积S＝
2
×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时,
设AB的方程爲y＝k(x－4)(k≠0),
?
?
y＝k?x－4?，
联立
?
2

?
y＝4x，
?

消去x, 得ky
2
－4y－16k＝0, Δ＝16＋64k
2
>0,
4
设A(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
), 由根与系数之间的关系得y
1
＋y
2
＝
k
, y
1
·y
2
＝
－16,
1
∴S
△AOB
＝S
△
AOM
＋S
△
BOM
＝
2
|OM||y
1
－y
2
|＝
2
16
k
2
＋64>16,