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数学课本_正弦定理﹑余弦定理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 18:00
tags:高中数学课本

高中数学教学渗透法制教育教案-实验班教学高中数学


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 46

正弦定理、余弦定理

三角形的边与角之间存在许多重要的关系,例如大角对大边的性质、直角三角形两股平
方和 等于斜边平方的勾股定理等。本节要讨论的正弦定理与余弦定理,能适用于任意三角形,
可以看成上述性 质的延伸。只要给定三角形中的某些边与角,就可以利用这些定理求出其他
的边与角。这两个定理是处理 三角形边角关系,及三角测量应用的重要工具。

1

面积公式

我们都知道三角形面积等于

可以算出三角形的面积呢?


为了方便讨论,在△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别以
a

b

c
表示,如图
40
所示。
1
×底×高,现在如果给定三角形两边边长及其夹角,可不
2

图 40

首先,若∠
A
为锐角,如图
41
所示,因为
sin A

CD

b sin A
,因此,

CDCD
?
,所以

AB

边的高

b
AC
1
AB?CD


ABC
面积=
2
??

1

c
?
b sin A


2
1

bc sin A


2


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 47

图 41

一般而言,不管


A
是否为锐角,将△
ABC
放在坐标平面上,使
A
点为原点,
B
点的
坐标为(
c

0
), 由上一节直角坐标与极坐目标变换,均可得到
C
点的坐标为(
b cos A

b sin
A
),如图
42
所示。


图 42

那么,
AB

边的高即为
C
点的
y
坐标
b sin A
,所以


ABC
面积=

同理可得

1

c
?
b sin A


2
1

bc sin A


2
1

ABC
面积=
ca sin B
2

1
ab sin C


2
因此,只要给定三角形两边边长及其夹角,我们就可以得到三角形的面积:




三角形面积公式


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 48
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a

b

c
,则


ABC
面积=

111
bc sin A

ca sin B

ab sin C


222
例题

1

----------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------

在△
ABC
中,若

AB

4

AC

6
,且∠
A

60°
,试求△
A BC
的面积。

------------------------------ -------------------------------------------------- --------------------------------------

解 如图
43
所示,由三角形面积公式得


ABC
面积=
1
bc sin A
2
1

=×
6
×
4
×
sin 60°
2

63



图 43

随堂练习
------------------------------------ -------------------------------------------------- -------------------

试求下列三角形的面积:

(1)
在△
ABC
中,若
AB?8

BC?1 0
,且∠
B

45°


(2)
在△
PQR
中,若
QR?12

RP?8
,且∠
R

150°


------------------ -------------------------------------------------- --------------------------------------------------


2

正弦定理


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 49
由三角形面积公式知

各项同除以

111
bc sin A

ca sin B

ab sin C


222
1sinAsinBsinCabc
????
abc
可得

,即



2abcsinAsinBsinC
亦可写为
a

b

c

sin A

sin B

sin C
,这个性质就是正弦定理。


※正弦定理
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a

b

c

且△
ABC
的外接圆半径为
R
,则

abc
??

2R


sinAsinBsinC

底下我们来说明为什么正弦定理的比值恰好等于△
ABC
外接圆的直径。考虑∠
A
为锐角、
直角或钝角等三种情形,分别讨论如下:

(1)


A
为锐角:






(2)


A
为直角:





如图
44(b)
所示,
BC

即直径,于是
a

BC

2R
,可得

作直径

BD

并连接

CD
,如图
44(a)
所示,

1
BCD A
则△为直角三角形,又∠=
BC

=∠
D
,可得

2
sin A

sin D



a
BC
=,

2R
BD
图 44 (a)
a

2R


sinA
2Ra
sin A

sin 90°

1
==,

2R2R


a

2R


sinA
图 44 (b)


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 50
(3)


A
为钝角:


作直径

BD

并连接

CD
,如图
44(c)
所示,

则△
BCD
为直角三角形且


A
+∠
D

180°
(圆内接四边形对角互补),

可得




a
BC
sin A

sin

180°
-∠
D
)=
sin D
==,

2R
BD
a

故=
2R


sinA
图 44 (c)
a

(1)

(2)

(3)



2R
,故得证。

sinA
如前言所述,正弦定理是三角形边与角关系的基本性质,我们来看下面的例子。


- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------

例题
2


在△
ABC 中,若∠
B

60°
,∠
C

75°
,且

BC

6
,试求:

(1)

AC

的长度。
(2)


ABC
的外接圆半径。

------------------------------ -------------------------------------------------- --------------------------------------


(1)

因为∠
A

180°
-∠
B
-∠
C
180°

60°

75°

45°


如图
45
所示,所以由正弦定理得

ACBC
==
2R


sin60sin45


×
AC

sin 60°
BC
36
???36


sin45
2
2
2


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 51
(2)


2R

BC6
??62


sin45
2
2
得△
ABC
的外接圆半径
R

32



图 45

随堂练习
--------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------

在△
ABC
中,若∠
A
45°
,∠
B

30°
,且

BC

8
,试求

AB



AC

的长度及△
ABC
?
6?2
?

的外接圆半径。
?
已知
sin75??
?
?4?
- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------


------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------

例题
3

-

在△
ABC
中,已知∠
A

45°
,且

AB?3

BC?6
,试求∠
B
及∠
C


------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------

解 由正弦定理知

BCAB
?


sinAsinC
所以

63
?

sin45sinC

3?
于是
sin

C

2
2
?
3

2

6
故得∠
C

60°

120°


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 52
(1)

当∠
C

60°
时,如图
46 (a)



B

180°
-∠
A
-∠
C

180°

45°

60°

75°



图 46 (a)

(2)

当∠
C

120°
时,如图
46 (b)



B

180°
-∠
A
-∠
C

180°

45°

120°

15°



图 46 (b)

随堂练习
------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------------

(1)

在△
ABC
中,已知∠
A

105°
,且

BC?2

AC?3?1
,试求

?
6?2
?
B C
∠及∠。
?
已知
sin75??
?

?4?
(2)
在△
ABC
中,已知∠
B

30°
,且

AB

8

AC?42
,试求

BC

的长度。

---------------------- -------------------------------------------------- ----------------------------------------------

3

余弦定理


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 53
如图
47
所示,
CD

将锐角三角形
ABC
切割成两个直角三角形,在直角三角形
ACD
中,

sin A

CD
AD

cos A
=,

b
b
所以,
CD

b sin A

AD

b cos A


于是,
BD

c

b cos A



图 47

在直角三角形
BCD
中,
a

CD?BD

222

b sin A
+(
c

b cos A


2
22
22222

b sin A

c

2bc cos A

b cos A

2222

b

sin A

cos A
)+
c

2bc cos A


b

c

2bc cos A


一般而言,将△
ABC
放在坐标平面上,使
A
点为原点,
B
点的坐标为(
c

0
),则
C

的坐标为(
b cos A

b sin A
),如图
48
所示,

22

图 48


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 54

由距离公式可得

a
2
=(
b cos A

c

2
+(
b sin A

0

2
22222

b cos A

2bc cos A

c

b sin A

2222

b

cos A

sin A
)+
c

2bc cos A


b

c

2bc cos A


同理可得

b
2

c
2

a2

2ca cos B



c
2

a
2

b
2

2ab cos C


这就是余弦定理。我们将以上讨论结果整理如下:




余弦定理
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a

b

c
,则
< br>a
2

b
2

c
2

2b c cos A

b
2

c
2

a
2

2ca cos B

c
2

a
2

b
2

2ab cos C



经移项整理,余弦定理也可以改写成:

b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cos A
=,
cos B
=,
cos C
=。

2bc2ca2ab
22
由上面的叙述可以看得出来:如果已知一个三角形的两边边长及其夹角,可以利用余弦
定理求出第三边边 长;如果已知一个三角形三边的边长,则可以利用余弦定理求出三角形的
三内角。

如果△
ABC
为直角三角形,且∠
A
为直角,则
cos A

0
,那么,

a
2

b
2< br>+
c
2

2bc cos A

b
2

c
2
,这就是大家熟悉的勾股定理。由此可知:


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 55
勾股定理为余弦定理的特殊情况 ,而余弦定理便为勾股定理的推广。余弦定理是另一个处理
三角形边与角关系的基本工具,我们来看下面 的例子。


例题
4

-------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------

在△
ABC
中,若

AB?5

AC?8
,且∠
A

60°
,试求

BC

的长度。

--------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------

解 如图
49
所示,由余弦定理得

?AB?AC?
cos A < br>BC

AB?AC?2

5

8

2
???
22
2
22
58

cos 60°

25

64

40


49




BC

7



图 49

随堂练习
------------------------------------ -------------------------------------------------- -------------------

在△
ABC
中,若

AB

2

BC

3
,且∠
B< br>=
120°
,试求

AC

的长度。
------------------------------------------------ -------------------------------------------------- --------------------


---------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------------

例题
5


在△
ABC
中,若

AB?3

BC?7

AC?8
,试求∠
A


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 56
---- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------

解 如图
50
所示,由余弦定理得

b
2
?c
2
?a
2

cos A

2bc
8
2
?3
2
?7
2
1
?



2?8?32
故∠
A

60°



图 50

随堂练习
----------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------

在△
ABC
中,若

AB

2

BC?6

AC?3?1
,试求∠
C


-- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------------


-------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------

例题
6


在△
ABC
中,
AB

8

BC

5

AC

7
D


BC

上,使得

BD

3

CD

2


如图
51
所示,试求

AD

的长度。


图 51
------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------< br>
解 〔解法一〕


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 57
因为△
ABC
各边都已知,所以可先用余弦定理求出
cos B
,然后在△
ABD
中再利用一次
余弦定理就可以求出

AD


首先,在△
ABC
中,由余弦定理得

cos B

AB?BC?AC

2?AB?BC
222< br>1
8
2
?5
2
?7
2
==,

2
2?8?5
其次,在△
ABD
中,再由余弦定理,可得

AD

AB?BD?2?AB?BD?cosB

2
22< br>=
64

9

2
?
8
?
3
?

49


故得

AD

7


〔解法二〕



AD

x
,如图
52
所示,

1

2
因为
θ

?

180°
,所以由
cos θ
的补角关系可得

cos θ
=-
cos
?


分别在△
ABD
与△
ACD
中用余弦定理,得

3
2
?x
2
?8
2
2
2
?x
2
?7
2
= -,

2?3?x
2?2?x
图 52
解得
x

7
,故得

AD

7



随堂练习
------------------------------- -------------------------------------------------- ------------------------

如图
53
所示,试求
x
的长度。


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 58

图 53
------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------< br>

4
海龙公式

1
三角形面积的求法有很多种,视所给的条件而定。若已知底和高,可以用

×底×高;
2
若已知两边和夹角,就可以用前面提到的

1
ab sin C
。如果给定三角形三边边长,要怎么算
2
出三角 形面积呢?以下我们将使用余弦定理来推导有名的三角形面积公式—海龙公式

Heron
s formula
):




海龙公式
若△
ABC
三边边长分别为
a

b

c
,则△
ABC
的面积为

s(s?a)(s?b)(s?c)


其中
s


证 △
ABC
面积

a?b?c

为周长的一半。

2
1

bc sin A

2
1
2
22

bc1?cosA
(由
sin A

cos A

1
得来)

2
b
2
?c
2
?a
2
?
b
2
?c
2
?a
2
?
1

得来)


bc1?
??
(由
cos A

2bc
22bc
??
2
b
2
c
2
(b
2
?c
2
?a
2
)
2


?
416


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 59 < br>=



1
((2bc)
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)
2
)

16< br>1
(2bc?b
2
?c
2
?a
2
)(2bc ?b
2
?c
2
?a
2
)

16
1
((b?c)
2
?a
2
)(a
2
?(b?c)2
)

16
1
(b?c?a)(b?c?a)(a?b?c)(a?b?c)
16

a?b?c
?
a?b?c
??
a?b?c
??
a?b?c
?
?a?c?b
??????

2222
??????

s(s?a)(s?b)(s?c)
,故得证。


----------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------------

例题
7


在△
ABC
中,已知

AB?5

BC?6

AC?7
,试求△
ABC
的面积。

--------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------

解 如图
54
所示,令
a?BC?6

b?AC?7
c?AB?5



s

a?b?c6?7?5
==
9


22
由海龙公式得


ABC
面积=
s(s?a)(s?b)(s?c)


9(9?6)(9?7)(9?5)


9?3?2?4

66



图 54


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 60
随堂练习
-------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----

在△
ABC
中,已知

AB?8

BC?10

AC?12
,试求△
ABC
的面积。

--------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------


在此我们要提醒大家,海龙公式的重要性在于将三角形的面积以三边边长的公式表示,
但是在实际计算上 不一定方便。例如计算以

3

5

7

为三边的三角形面积时,就显得
很麻烦。此时利用余弦定理先求出一个夹角,再配合



1
ab sin C
反而是比较方便的。

2
习题

1
-
3
一、基本题

1.
在△
ABC
中,已知

AB?6

BC?8
,且∠
B

150°
,试求△
ABC
的面积。



2.
在△
ABC
中,已知
a

b

c

5
:< br>6

7
,试求:

(1) sin A

sin B

sin C




3.
在△
ABC
中,已知

AB?7

BC?9

CA?8
,试求:

(1) cos A


(2) sin A


(3)

ABC
外接圆半径。

(4)

ABC
的面积。



(2) cos A


高中数学课本 正弦定理、余弦定理 61
4.
在△
ABC
中,已知

AC?2

BC?3,且∠
C

60°
,试求:

(1)
AB

的长度。

(2)
过点
C
之高。



5.
如下图所示,
ABCD 为圆内接四边形,若∠
DBC

30°
,∠
ABD
=< br>45°
,且

CD

6


试求

AD

的长度。




二、进阶题

6.

在△
ABC
中,若

AB?5

AC?3
,且∠
A

120°

AD

平分∠
A
,如下图所示,试求

AD


长度。




7.

设△
ABC
为等腰三角形,
AB?AC
,且

BC

11


BC

的延伸在线有一点
D
满足

CD

5


AD

12
,如下图所示。试求

AB
的长度。



高中数学课本 正弦定理、余弦定理 62
8.
如下图所示,
A

B

C

D
为圆上四点,且

AB?1

BC?3

CD?5

AD?3


试求对角线

AC
的长度。




9. (1) 若△ABC 三边长为 a,b,c,且外接圆半径为 R,试说明三角形的面积为
(提示:由△ABC 面积=
abc

4R
1
ab sin C,用正弦定理把 sin C 换掉)
2
(2) 若△ABC 周长之半为 s,且内切圆半径为 r,试说明三角形的面积为 rs。
(提示:画一个圆,内切圆的圆心与顶点联机把三角形分成三块,分别求面积)


三﹑挑战题
10. 设△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若
试求∠C。


3
11
+=,
a?b?c
a?cb?c

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