高中数学教学渗透法制教育教案-实验班教学高中数学
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 46
正弦定理、余弦定理
三角形的边与角之间存在许多重要的关系,例如大角对大边的性质、直角三角形两股平
方和
等于斜边平方的勾股定理等。本节要讨论的正弦定理与余弦定理,能适用于任意三角形,
可以看成上述性
质的延伸。只要给定三角形中的某些边与角,就可以利用这些定理求出其他
的边与角。这两个定理是处理
三角形边角关系,及三角测量应用的重要工具。
1
面积公式
我们都知道三角形面积等于
可以算出三角形的面积呢?
为了方便讨论,在△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别以
a
、
b
、
c
表示,如图
40
所示。
1
×底×高,现在如果给定三角形两边边长及其夹角,可不
2
图 40
首先,若∠
A
为锐角,如图
41
所示,因为
sin A
=
CD
=
b sin
A
,因此,
CDCD
?
,所以
AB
边的高
b
AC
1
AB?CD
△
ABC
面积=
2
??
=
1
(
c
?
b
sin A
)
2
1
=
bc sin
A
。
2
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 47
图 41
一般而言,不管
∠
A
是否为锐角,将△
ABC
放在坐标平面上,使
A
点为原点,
B
点的
坐标为(
c
,
0
),
由上一节直角坐标与极坐目标变换,均可得到
C
点的坐标为(
b cos
A
,
b sin
A
),如图
42
所示。
图 42
那么,
AB
边的高即为
C
点的
y
坐标
b sin A
,所以
△
ABC
面积=
同理可得
1
(
c
?
b sin A
)
2
1
=
bc sin A
。
2
1
△
ABC
面积=
ca sin B
2
=
1
ab sin C
。
2
因此,只要给定三角形两边边长及其夹角,我们就可以得到三角形的面积:
※
三角形面积公式
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 48
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a
、
b
、
c
,则
△
ABC
面积=
111
bc sin
A
=
ca sin B
=
ab sin C
。
222
例题
1
-----------------
--------------------------------------------------
---------------------------------------
在△
ABC
中,若
AB
=
4
,
AC
=
6
,且∠
A
=
60°
,试求△
A
BC
的面积。
------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------
解
如图
43
所示,由三角形面积公式得
△
ABC
面积=
1
bc sin A
2
1
=×
6
×
4
×
sin
60°
2
=
63
。
图 43
随堂练习
------------------------------------
--------------------------------------------------
-------------------
试求下列三角形的面积:
(1)
在△
ABC
中,若
AB?8
,
BC?1
0
,且∠
B
=
45°
。
(2)
在△
PQR
中,若
QR?12
,
RP?8
,且∠
R
=
150°
。
------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
2
正弦定理
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 49
由三角形面积公式知
各项同除以
111
bc sin A
=
ca sin B
=
ab
sin C
,
222
1sinAsinBsinCabc
????
abc
可得
,即
,
2abcsinAsinBsinC
亦可写为
a
:
b
:
c
=
sin A
:
sin
B
:
sin C
,这个性质就是正弦定理。
※正弦定理
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a
、
b
、
c
且△
ABC
的外接圆半径为
R
,则
abc
??
=
2R
。
sinAsinBsinC
底下我们来说明为什么正弦定理的比值恰好等于△
ABC
外接圆的直径。考虑∠
A
为锐角、
直角或钝角等三种情形,分别讨论如下:
(1)
∠
A
为锐角:
(2)
∠
A
为直角:
如图
44(b)
所示,
BC
即直径,于是
a
=
BC
=
2R
,可得
作直径
BD
并连接
CD
,如图
44(a)
所示,
1
BCD
A
则△为直角三角形,又∠=
BC
=∠
D
,可得
2
sin A
=
sin D
=
故
a
BC
=,
2R
BD
图 44 (a)
a
=
2R
。
sinA
2Ra
sin
A
=
sin 90°
=
1
==,
2R2R
故
a
=
2R
。
sinA
图 44 (b)
高中数学课本 正弦定理、余弦定理
50
(3)
∠
A
为钝角:
作直径
BD
并连接
CD
,如图
44(c)
所示,
则△
BCD
为直角三角形且
∠
A
+∠
D
=
180°
(圆内接四边形对角互补),
可得
a
BC
sin
A
=
sin
(
180°
-∠
D
)=
sin
D
==,
2R
BD
a
故=
2R
。
sinA
图 44 (c)
a
由
(1)
、
(2)
、
(3)
知
=
2R
,故得证。
sinA
如前言所述,正弦定理是三角形边与角关系的基本性质,我们来看下面的例子。
-
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
------
例题
2
在△
ABC 中,若∠
B
=
60°
,∠
C
=
75°
,且
BC
=
6
,试求:
(1)
AC
的长度。
(2)
△
ABC
的外接圆半径。
------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------
解
(1)
因为∠
A
=
180°
-∠
B
-∠
C =
180°
-
60°
-
75°
=
45°
,
如图
45
所示,所以由正弦定理得
ACBC
==
2R
,
sin60sin45
即
×
AC
=
sin
60°
BC
36
???36
。
sin45
2
2
2
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 51
(2)
由
2R
=
BC6
??62
,
sin45
2
2
得△
ABC
的外接圆半径
R
=
32
。
图 45
随堂练习
---------------------------------------------
--------------------------------------------------
----------
在△
ABC
中,若∠
A
=45°
,∠
B
=
30°
,且
BC
=
8
,试求
AB
与
AC
的长度及△
ABC
?
6?2
?
的外接圆半径。
?
已知
sin75??
?
?4?
-
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------
-------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------
例题
3
-
在△
ABC
中,已知∠
A
=
45°
,且
AB?3
,
BC?6
,试求∠
B
及∠
C
。
-------------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------------
解 由正弦定理知
BCAB
?
,
sinAsinC
所以
63
?
,
sin45sinC
3?
于是
sin
C
=
2
2
?
3
2
,
6
故得∠
C
=
60°
或
120°
。
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 52
(1)
当∠
C
=
60°
时,如图
46
(a)
,
∠
B
=
180°
-∠
A
-∠
C
=
180°
-
45°
-
60°
=
75°
。
图 46 (a)
(2)
当∠
C
=
120°
时,如图
46
(b)
,
∠
B
=
180°
-∠
A
-∠
C
=
180°
-
45°
-
120°
=
15°
。
图 46 (b)
随堂练习
-------
--------------------------------------------------
------------------------------------------------
(1)
在△
ABC
中,已知∠
A
=
105°
,且
BC?2
,
AC?3?1
,试求
?
6?2
?
B C
∠及∠。
?
已知
sin75??
?
?4?
(2)
在△
ABC
中,已知∠
B
=
30°
,且
AB
=
8
,
AC?42
,试求
BC
的长度。
----------------------
--------------------------------------------------
----------------------------------------------
3
余弦定理
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 53
如图
47
所示,
CD
将锐角三角形
ABC
切割成两个直角三角形,在直角三角形
ACD
中,
sin A
=
CD
AD
,
cos
A
=,
b
b
所以,
CD
=
b sin
A
,
AD
=
b cos A
,
于是,
BD
=
c
-
b cos A
。
图 47
在直角三角形
BCD
中,
a
=
CD?BD
222
=
b
sin A
+(
c
-
b cos A
)
2
22
22222
=
b sin
A
+
c
-
2bc cos A
+
b cos A
2222
=
b
(
sin A
+
cos
A
)+
c
-
2bc cos A
=
b
+
c
-
2bc cos A
。
一般而言,将△
ABC
放在坐标平面上,使
A
点为原点,
B
点的坐标为(
c
,
0
),则
C
点
的坐标为(
b cos A
,
b sin
A
),如图
48
所示,
22
图 48
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 54
由距离公式可得
a
2
=(
b cos
A
-
c
)
2
+(
b sin
A
-
0
)
2
22222
=
b cos
A
-
2bc cos A
+
c
+
b sin A
2222
=
b
(
cos A
+
sin
A
)+
c
-
2bc cos A
=
b
+
c
-
2bc cos A
,
同理可得
b
2
=
c
2
+
a2
-
2ca cos B
及
c
2
=
a
2
+
b
2
-
2ab cos
C
,
这就是余弦定理。我们将以上讨论结果整理如下:
※
余弦定理
若△
ABC
中,∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边边长分别为
a
、
b
、
c
,则
<
br>a
2
=
b
2
+
c
2
-
2b
c cos A
,
b
2
=
c
2
+
a
2
-
2ca cos B
,
c
2
=
a
2
+
b
2
-
2ab cos C
。
经移项整理,余弦定理也可以改写成:
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cos A
=,
cos
B
=,
cos C
=。
2bc2ca2ab
22
由上面的叙述可以看得出来:如果已知一个三角形的两边边长及其夹角,可以利用余弦
定理求出第三边边
长;如果已知一个三角形三边的边长,则可以利用余弦定理求出三角形的
三内角。
如果△
ABC
为直角三角形,且∠
A
为直角,则
cos
A
=
0
,那么,
a
2
=
b
2<
br>+
c
2
-
2bc cos A
=
b
2
+
c
2
,这就是大家熟悉的勾股定理。由此可知:
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 55
勾股定理为余弦定理的特殊情况
,而余弦定理便为勾股定理的推广。余弦定理是另一个处理
三角形边与角关系的基本工具,我们来看下面
的例子。
例题
4
--------------
--------------------------------------------------
------------------------------------------
在△
ABC
中,若
AB?5
,
AC?8
,且∠
A
=
60°
,试求
BC
的长度。
---------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------------
解
如图
49
所示,由余弦定理得
?AB?AC?
cos A <
br>BC
=
AB?AC?2
=
5
+
8
-
2
???
22
2
22
58
cos
60°
=
25
+
64
-
40
=
49
,
故
BC
=
7
。
图 49
随堂练习
------------------------------------
--------------------------------------------------
-------------------
在△
ABC
中,若
AB
=
2
,
BC
=
3
,且∠
B<
br>=
120°
,试求
AC
的长度。
------------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------
----------------
--------------------------------------------------
-----------------------------------------
例题
5
在△
ABC
中,若
AB?3
,
BC?7
,
AC?8
,试求∠
A
。
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 56
----
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------
解 如图
50
所示,由余弦定理得
b
2
?c
2
?a
2
cos A
=
2bc
8
2
?3
2
?7
2
1
?
,
=
2?8?32
故∠
A
=
60°
。
图 50
随堂练习
-----------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------
在△
ABC
中,若
AB
=
2
,
BC?6
,
AC?3?1
,试求∠
C
。
--
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
----------------
--------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------
例题
6
在△
ABC
中,
AB
=
8
,
BC
=
5
,
AC
=
7
,D
在
BC
上,使得
BD
=
3
,
CD
=
2
,
如图
51
所示,试求
AD
的长度。
图 51
-------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------------------<
br>
解 〔解法一〕
高中数学课本 正弦定理、余弦定理
57
因为△
ABC
各边都已知,所以可先用余弦定理求出
cos
B
,然后在△
ABD
中再利用一次
余弦定理就可以求出
AD
。
首先,在△
ABC
中,由余弦定理得
cos B
=
AB?BC?AC
2?AB?BC
222<
br>1
8
2
?5
2
?7
2
==,
2
2?8?5
其次,在△
ABD
中,再由余弦定理,可得
AD
=
AB?BD?2?AB?BD?cosB
2
22<
br>=
64
+
9
-
2
?
8
?
3
?
=
49
,
故得
AD
=
7
。
〔解法二〕
设
AD
=
x
,如图
52
所示,
1
2
因为
θ
+
?
=
180°
,所以由
cos θ
的补角关系可得
cos
θ
=-
cos
?
,
分别在△
ABD
与△
ACD
中用余弦定理,得
3
2
?x
2
?8
2
2
2
?x
2
?7
2
=
-,
2?3?x
2?2?x
图 52
解得
x
=
7
,故得
AD
=
7
。
随堂练习
-------------------------------
--------------------------------------------------
------------------------
如图
53
所示,试求
x
的长度。
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 58
图 53
-------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------------------<
br>
4
海龙公式
1
三角形面积的求法有很多种,视所给的条件而定。若已知底和高,可以用
×底×高;
2
若已知两边和夹角,就可以用前面提到的
1
ab sin C
。如果给定三角形三边边长,要怎么算
2
出三角
形面积呢?以下我们将使用余弦定理来推导有名的三角形面积公式—海龙公式
(
Heron′
s formula
):
※
海龙公式
若△
ABC
三边边长分别为
a
,
b
,
c
,则△
ABC
的面积为
s(s?a)(s?b)(s?c)
,
其中
s
=
证 △
ABC
面积
a?b?c
为周长的一半。
2
1
=
bc sin A
2
1
2
22
=
bc1?cosA
(由
sin A
+
cos A
=
1
得来)
2
b
2
?c
2
?a
2
?
b
2
?c
2
?a
2
?
1
得来)
=
bc1?
??
(由
cos A
=
2bc
22bc
??
2
b
2
c
2
(b
2
?c
2
?a
2
)
2
=
?
416
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 59 <
br>=
=
=
=
1
((2bc)
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)
2
)
16<
br>1
(2bc?b
2
?c
2
?a
2
)(2bc
?b
2
?c
2
?a
2
)
16
1
((b?c)
2
?a
2
)(a
2
?(b?c)2
)
16
1
(b?c?a)(b?c?a)(a?b?c)(a?b?c)
16
=
a?b?c
?
a?b?c
??
a?b?c
??
a?b?c
?
?a?c?b
??????
2222
??????
=
s(s?a)(s?b)(s?c)
,故得证。
-----------------------------------------
--------------------------------------------------
----------------
例题
7
在△
ABC
中,已知
AB?5
,
BC?6
,
AC?7
,试求△
ABC
的面积。
---------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------------
解
如图
54
所示,令
a?BC?6
,
b?AC?7
,c?AB?5
,
则
s
=
a?b?c6?7?5
==
9
,
22
由海龙公式得
△
ABC
面积=
s(s?a)(s?b)(s?c)
=
9(9?6)(9?7)(9?5)
=
9?3?2?4
=
66
。
图 54
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 60
随堂练习
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----
在△
ABC
中,已知
AB?8
,
BC?10
,
AC?12
,试求△
ABC
的面积。
---------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------------
在此我们要提醒大家,海龙公式的重要性在于将三角形的面积以三边边长的公式表示,
但是在实际计算上
不一定方便。例如计算以
3
,
5
,
7
为三边的三角形面积时,就显得
很麻烦。此时利用余弦定理先求出一个夹角,再配合
1
ab sin C
反而是比较方便的。
2
习题
1
-
3
一、基本题
1.
在△
ABC
中,已知
AB?6
,
BC?8
,且∠
B
=
150°
,试求△
ABC
的面积。
2.
在△
ABC
中,已知
a
:
b
:
c
=
5
:<
br>6
:
7
,试求:
(1) sin
A
:
sin B
:
sin C
。
3.
在△
ABC
中,已知
AB?7
,
BC?9
,
CA?8
,试求:
(1) cos A
。
(2) sin A
。
(3)
△
ABC
外接圆半径。
(4)
△
ABC
的面积。
(2) cos
A
。
高中数学课本 正弦定理、余弦定理 61
4.
在△
ABC
中,已知
AC?2
,
BC?3,且∠
C
=
60°
,试求:
(1)
AB
的长度。
(2)
过点
C
之高。
5.
如下图所示,
ABCD 为圆内接四边形,若∠
DBC
=
30°
,∠
ABD
=<
br>45°
,且
CD
=
6
,
试求
AD
的长度。
二、进阶题
6.
在△
ABC
中,若
AB?5
,
AC?3
,且∠
A
=
120°
,
AD
平分∠
A
,如下图所示,试求
AD
的
长度。
7.
设△
ABC
为等腰三角形,
AB?AC
,且
BC
=
11
。
BC
的延伸在线有一点
D
满足
CD
=
5
与
AD
=
12
,如下图所示。试求
AB
的长度。
高中数学课本
正弦定理、余弦定理 62
8.
如下图所示,
A
,
B
,
C
,
D
为圆上四点,且
AB?1
,
BC?3
,
CD?5
,
AD?3
,
试求对角线
AC
的长度。
9. (1) 若△ABC 三边长为
a,b,c,且外接圆半径为 R,试说明三角形的面积为
(提示:由△ABC
面积=
abc
。
4R
1
ab sin C,用正弦定理把
sin C 换掉)
2
(2) 若△ABC 周长之半为 s,且内切圆半径为
r,试说明三角形的面积为 rs。
(提示:画一个圆,内切圆的圆心与顶点联机把三角形分成三块,分别求面积)
三﹑挑战题
10. 设△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若
试求∠C。
3
11
+=,
a?b?c
a?cb?c
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