人教版高中数学必修3教材全套教案

第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书 只对它作了如下描述：“在数学中，
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为 了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个
具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元 一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程
组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子 引出算法，再通过例题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河 ，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数
量不少于羚羊的数量狼就会 吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要
用到我们今天学习 的内容——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已成为人们日常
生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、 画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要
想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例
?
?
x?2y??1,(1)
总结用加减消元法解二元一 次方程组的步骤.
?
2x?y?1,(2)
?
x?2y??1,(1)（3）结合教材实例
?
总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2x?y?1,(2)
?
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：

1

（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组
?
x?2y??1,(1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
?
?
2x?y?1,(2)
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=
1
.
5
3
.
5
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=
1
?
x?,
?
?
5
第五步，得到方程组的解为
?
< br>3
?
y?.
?
5
?
(3)用代入消元法解二元一次方 程组
?
x?2y??1,(1)
我们可以归纳出以下步骤：
?
?
2x?y?1,(2)
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=
3
.⑤
5
3
5
1
.
5
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=
1
?
x?,
?< br>?
5
第五步，得到方程组的解为
?

3
?
y ?.
?
5
?
?
a
1
x?b
1
y? c
1
,(1)
(4)对于一般的二元一次方程组
?

ax?by?c,(2)
22
?
2
其中a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b
2
-②×b
1
，得
（a
1
b
2
－a
2
b
1
）x=b
2< br>c
1
－b
1
c
2
.③
第二步，解 ③，得x=
b
2
c
1
?b
1
c
2
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
a1
c
2
?a
2
c
1
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
第 三步，②×a
1
-①×a
2
，得（a
1
b
2
－a
2
b
1
）y=a
1
c
2
－a
2
c
1
.④
第四步，解④，得y=

2

b
2
c
1
?b
1
c
2
?
x?,
?
ab?ab
?
1221
第五步，得到方程组的解为
?

?
y?
a
1
c2
?a
2
c
1
.
?
a
1
b< br>2
?a
2
b
1
?
(5)算法的定义：广义的算法是指 完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的
算法，菜谱是做菜的算 法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征 ：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的
步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做 到环环相扣，
分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性 ：算法要有明确的开始和结束，当到
达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有 限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计 算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也
就是说，算法实际上就是解决问题的一种程 序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是
一种通法，只要按部就班地去做 ，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.
（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算 法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数 ，
否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
（ 2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以 2不能
整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的 整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操
作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行 同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.
例2 写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.
根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］. 对所得的区间［a,b］重复上述步

3

骤，直到包含零点的区间［ a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=
a?b
.
2
第四步，若f(a)·f(m )<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方 程的近似解；否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a
1
1
1.25
1.375
1.375
1.406 25
1.406 25
1.414 062 5
1.414 062 5
b
2
1.5
1.5
1.5
1.437 5
1.437 5
1.421 875
1.421 875
1.417 968 75
|a-b|
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5
0.031 25
0.015 625
0.007 812 5
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求
2
的近似值的一个算法.
例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河， 只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的
数量不少于羚羊的数量就会吃羚 羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的 数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚
羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船 里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、 程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法
时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出 现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算
法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现 实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，
如果能够合适地利用某些步骤的重 复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根.

4

解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.
强调：用算法解决问题的特点 是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例
题仔细体会算法 的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话 费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出
部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分 钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一
个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：
?
0.22,(0?t?3),
?
y=
?
0.22?0.1(t? 3),(t?3,t?Z),

?
0.22?0.1([T?3]?1),(T?3, t?Z).
?
其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.
作业
课本本节练习1、2.


5

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
整体设计
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

三维目标
1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序 框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的
三种基本逻辑结构：顺序结构、条 件结构、循环结构.
3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.
重点难点
数学重点：程序框图的画法.
数学难点：程序框图的画法.
教学过程
第1课时 程序框图及顺序结构
导入新课
思路1（情境导入）
我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真 是急死人，有
的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准 确，本节将探究使算法表
达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.
思路2（直接导入）
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会 被执行的步骤，以及在一定条件下会
被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准 确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直
观、准确的方法.今天开始学习程序框图.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
（9）什么是顺序结构？
讨论结果：
（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
在程序 框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示
算法步骤的执行顺序.
（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始 时只有一个出口；表示结束时只有一
个入口．
（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出 的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．
（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口． < br>（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个 入口
和两个出口．

6

（6）流程线：表示程序的流向．
（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起．
（8）总结如下表.
图形符号




名称
终端框（起止框）
输入、输出框
处理框（执行框）
判断框
功能
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
连接程序框 流程线


连接点 连接程序框图的两部分
(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：

顺序结构 条件结构 循环结构
应用示例
例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.

解：程序框图如下:
强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更 直观也更精确.这里只是让同学们初步了解
程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.




变式训练
观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.

解：这是一个累加求和问题，共99项相加 ，该算法是求
1111
???
?
?
的值.
1?22?33?499?100


例2 已知一个三角形三条边的边长 分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画
出程序框图表示.（已 知三角形三边边长分别为a,b,c，则三角形的面积为S=

7
，其中
p (p?a)(p?b)(p?c)
）

p=
a?b?c
.这个公 式被称为海伦—秦九韶公式）
2
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它 代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达
出算法.
算法步骤如下：
第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.
第二步，计算p=
第三步，计算S=
第四步，输出S.
程序框图如下：

强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任 何一个算法都离不开
的基本结构.
变式训练
下图所示的是一个算法的流程图，已知a
1
=3，输出的b=7,
求a
2
的值.
解：根据题意
a?b?c
.
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
.
a
1
?a
2
=7,
2
∵a
1
= 3,∴a
2
=11.即a
2
的值为11.
知能训练
有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货< br>膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格 是10 000元，
请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.
解：用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：
2005年P=10 000×（1+3%）=10 300；
2006年P=10 300×（1+3%）=10 609；
2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27；
2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09；
因此，价格的变化情况表为：
年份
钢琴的价格
2004
10 000
2005
10 300
2006
10 609
2007
10 927.27
2008
11 255.09
程序框图如下：
强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”
指的是写出算法步骤、画出程序框图.
拓展提升









8

如上给出的是计算
1 111
?????
的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________ __.
24620

答案：i>10.
课堂小结
（1）掌握程序框的画法和功能.
（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.
（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.
作业
习题1.1A 1.



9

第2课时 条件结构

导入新课
思路1（情境导入）
我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽 们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟
们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙 蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽
这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想 ，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我
们开始学习新的逻辑结构——条件结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支 的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，
今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结 构.
提出问题
（1）举例说明什么是分类讨论思想？
（2）什么是条件结构？
（3）试用程序框图表示条件结构.
（4）指出条件结构的两种形式的区别.
讨论结果：
（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道 a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类
讨论，这就是分类讨论思想.
（2）在一个算 法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这
种 过程的结构.
（3）用程序框图表示条件结构如下．
条件结构：先根据条件作出判断，再决 定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过
程如下：条件成立，则执 行A框；不成立，则执行B框．

图1 图2
注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一 个是空的，即不执
行任何操作，如图2.
（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤， 符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分
支”中均包含算法的步骤A，而 在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个
条件结构后的步 骤.
应用示例
例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数 为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算
法的程序框图.
算法分析：判断以3个任意给定 的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是
否大于第3个数.这个 验证需要用到条件结构.
算法步骤如下：
第一步，输入3个正实数a，b，c.
第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这 样的三角形.
程序框图如右图：

10

强调 ：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这 时要用
到条件结构.

例2 设计一个求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示.
算 法分析：我们知道，若判别式Δ=b
2
-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根
x
1
=
?b??
?b??
,x
2
=；
2a
2a
b
；
2a
若Δ=0，则原方程有两个相等的实数 根x
1
=x
2
=
?
若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是 说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的
步骤，这个过程可以用条件 结构实现.
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x
1
和x
2
之前，先计算p=
?
解决这一问题的算法步骤如下：
第一步，输入3个系数a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
-4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=
?
b
?
，q=.
2a
2a
b
?
，q=；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.
2a
2a
第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x
1
=x2
=p；否则，计算x
1
=p+q，x
2
=p-q，并输出x< br>1
，x
2
.
程序框图如下：

例3 设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步，输入3个系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法.
相应的程序框图如右：

强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b< br>2
－4ac的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次
方程有实数根；
（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数 的不同情况，
最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别 式的值的取值情况确定方
程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用 到条件结构.

例4 （1）设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.
解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的取值情况进行分类，分类如下：
（1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是
?
b
；
a
（2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解.

11

联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤：
第一步，判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为
?
b
”.
a
第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R”.
第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法.
程序框图如右：
强调：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1 ”“条件2”“条件3”……都进行判断，只
有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.
知能训练
设计算法，找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值，并画出流程图.
解：算法步骤：
第一步，输入a，b，c的值.
第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.
第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出c，并结束.
第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出c，并结束.
程序框图如右：
例5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种 快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间
物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
?
?
0.53
?
,(
?
?50),

50 ?0.53?(
?
?50)?0.85,(
?
?50).
?
其中f（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）.
试画出计算费用f的程序框图.

分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f的计算公式随物品重量ω的变化而有 所不同，因此计算时
先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分 支条件结构.其中，物品的重量
通过输入的方式给出.
解：算法程序框图如右图：
拓展提升
有一城市，市区为半径为15 km的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km的范围内的环形地带，距中心25 km
以外的为远 郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万
元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价．

22
分析：由该点坐标( x，y)，求其与市中心的距离r=
x?y
，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价 p．由
?
100,0?r?15,
?
题意知，p=
?
60, 15?r?25,

?
20,r?25.
?
解：程序框图如下：
课堂小结
（1）理解两种条件结构的特点和区别.
（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题.
作业
习题1.1A组3.

12

3课时 循环结构
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准.污 水处理
装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反 复操作，今天我们
学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习 了条件结构，
条件结构像有分支的河流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习 循环往复的逻辑结构——
循环结构.
提出问题
（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.
（2）什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.
讨论结果：
（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.
（2）在一些算法 中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行
的步 骤称为循环体.
（3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始， 按照一定条件重复执行某一处理
的过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（ 1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来
再判断条件P是否成 立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不
成立时为止 ，此时不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
2°直到型循环结构，如图（2 ）所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则返 回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P
时成立为止， 此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
见示意图：

当型循环结构 直到型循环结构
(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结 构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续
执行循环体，直到条件满足时终 止循环.
当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环.
两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止
执行循环体.
应用示例
思路1
例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.

13

算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
第4步，6+4=10.
……
第100步，4 950+100=5 050.
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环结构表示 .分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示
为第（i-1）步的结果+i=第i步的结果.
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S来表示第一步的计算结果，即把S+i 的结果仍记为S，
从而把第i步表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依次取1，2，…，100，由于i同时记录了循环的次数，所以也称为计数变量.
解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：

上述程序框图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则程序框图如下：

变式训练
已知有一列数
123n
,,,
?
,，设计框图实现求该列数前20项的和．
234n?1
i
，可实现累加，注意i只能加到20．
i?1
分析 ：该列数中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1，2，3，4，…，n，因此可用循环结构实现 ，
设计数器i，用i=i+1实现分子，设累加器S，用S=
S?
解：程序框图如下：
方法一： 方法二：

例2 某厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年 增长5%，设计一个
程序框图，输出预计年生产总值超过300万元的最早年份.
算法分析：先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入2005年的年生产总值.
第二步，计算下一年的年生产总值.

14

第三步，判断 所得的结果是否大于300，若是，则输出该年的年份，算法结束；否则，返回第二步.
由于“第二步 ”是重复操作的步骤，所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循环体”“初始化变量”“设定循环控< br>制条件”的顺序来构造循环结构.
（1）确定循环体：设a为某年的年生产总值，t为年生产总 值的年增长量，n为年份，则循环体为t=0.05a,a=a+t,n=n+1.
（2）初始化变量 ：若将2005年的年生产总值看成计算的起始点，则n的初始值为2005，a的初始值为200.
（3）设定循环控制条件：当“年生产总值超过300万元”时终止循环，所以可通过判断“a>300”是否成 立来控制循环.
程序框图如右：
思路2
例1 设计框图实现1+3+5+7+…+131的算法．
分析：由于需加的数较多，所以要引入循环结构来 实现累加．观察所加的数是一组有规律的数（每相临两数相差2），
那么可考虑在循环过程中，设一个变 量i，用i=i+2来实现这些有规律的数，设一个累加器sum，用来实现数的累加，
在执行时，每循 环一次，就产生一个需加的数，然后加到累加器sum中．
解：算法如下：
第一步，赋初值i=1，sum=0.
第二步，sum=sum+i，i=i+2.
第三步，如果i≤131，则反复执第二步；否则，执行下一步.
第四步，输出sum.
第五步，结束．
程序框图如右图．
（2）框图画完后，要进行验证，按设计的流程 分析是否能实现所求的数的累加，分析条件是否加到131就结束循环，
所以我们要注意初始值的设置、 循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序，三者要有机地结合起来．最关键的
是循环条件，它决定循 环次数，可以想一想，为什么条件不是“i<131”或“i=131”，如果是“i<131”，那么会少执行 一次
循环，131就加不上了．
例2 高中某班一共有40名学生，设计算法流程图，统计 班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的人数．
分析：用循环结构实现40个成绩的 输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断.设两个计数器m,n，
如果s>90，则 m=m+1，如果80解：程序框图如右图：

知能训练
由相应的程序框图如右图，补充完整一个计算1+2+3+…+100的值的算法.（用循环结构）

第一步，设i的值为_____________.
第二步，设sum的值为_____________.
第三步，如果i≤100执行第__ ___________步,否则，转去执行第_____________步.
第四步，计算sum＋i并将结果代替_____________.
第五步，计算_____________并将结果代替i.
第六步，转去执行第三步.
拓展提升
设计一个算法，求1+2+4+…+2
49
的值，并画出程序框图.
解：程序框图如右图：

课堂小结
（1）熟练掌握两种循环结构的特点及功能.
（2）能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理解学习算法的意义.
作业
习题1.1A组2.

15

第4课时 程序框图的画法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
一条河流有时像顺序结构，奔流到 海不复回；有时像条件结构分分合合向前进；有时像循环结构，虽有反复但
最后流入大海.一个程序框图 就像一条河流包含三种逻辑结构，今天我们系统学习程序框图的画法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系统学习程序框图的画法.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
(4)总结画程序框图的基本步骤.
讨论结果：
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.框图略.
(2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结 构就是处理这种
过程的结构.框图略.
(3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为 循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过
程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.框图略.
(4)从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：
第一步，用自然语言表达算法步骤.
第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框表示，得到该步骤的程序框图.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图.
应用示例
例1 结合前面学过的算法步骤，利用三种基本逻辑结构画出程序框图，表示用“ 二分法”求方程x
2
-2=0（x>0）的近
似解的算法.
程序框图（如右图）.

例2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问 他需要什么.发明者说：陛下，在国际象棋的第一个格子里
面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子 ，第三个格子放4粒麦子，以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格
子中麦粒数的二倍，依此类推（国际 象棋棋盘共有64个格子）,请将这些麦子赏给我，我将感激不尽.国王想这还不
容易，就让人扛了一袋 小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也不够.国王很奇怪，小
小的“棋盘 ”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用程序框图表示此算法过程.
解：将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1+2+4+……+2
63
的和.
程序框图如下：

16

例3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时
按0．25元kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0．35元kg；超过100 kg时，其超过部分按0．45
元kg．编写程序，输入行李质量，计算出托运的费用．
分析 ：本题主要考查条件语句及其应用．先解决数学问题，列出托运的费用关于行李质量的函数关系式．设行李质量为x kg，应付运费为y元，则运费公式为：
?
0.25x,0?x?50,
?
y=
?
0.25?50?0.35(x?50),50?x?100,

?
0.25?50?0.35?50?0.45(x?100),x?100,
??
0.25x,0?x?50,
?
整理得y=
?
0.35x?5 ,50?x?100,

?
0.45x?15,x?100.
?
程序框图如上图

知能训练
设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂
5
解：算法步骤:
第一步,给定精确度d,令i=1.
第二步，取出
2
的到小数点后第i位的 不足近似值，记为a；取出
2
的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b.
第三步，计算m=5
b
-5
a
.
第四步，若m5
第五步，得到
5
程序框图如下：
2
2
2
的算法，画出算法的程序框图.
的近似值为5
a
；否则，将i的值增加1，返回第二步.
的近似值为5
a
.

17

拓展提升
求
4?

1
4?
1
，画出程序框图．
1
4?
?
?
4
?????????
(共10个4)
分析：如果采用逐步计算的方法，利用 顺序结构来实现，则非常麻烦，由于前后的运算需重复多次相同的运算，所
以应采用循环结构，可用循环 结构来实现其中的规律．观察原式中的变化的部分及不变项，找出总体的规律是4+
要实现这个规律，需 设初值x=4．
解：程序框图如上：

课堂小节
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
（2）根据算法步骤画出程序框图.
作业
习题1.1B组1、2.

1
，
x

18

1.2 基本算法语句
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
中国足球队在 亚洲杯上的失利说明，中国足球仍然需要请外国教练.高水平的外国教练有先进的足球理念，有系
统科学 的训练计划，有先进的足球技术，但由于语言不通不能直接传授给队员. 算法步骤、程序框图虽然容易掌握，
但计算机不能理解，因此我们需要学习算法语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，我们开始学习算法语句.
提出问题
（1）指出输入语句的格式、功能、要求.
（2）指出输出语句的格式、功能、要求.
（3）指出赋值语句的格式、功能、要求.
（4）利用框图总结三种语句的功能、格式、特点.
（5）指出三种语句与框图的对应关系.
讨论结果：
(1)输入语句的格式：INPUT“提示内容”； 变量
例如：INPUT “x=”；x
功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
1°输入语句要求输入的值是具体的常量.
2°提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容
与变量之间要用分号隔开.
3°一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.
形式如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c
(2)输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
例如：PRINT“S=”；S
功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.
要求：
1°表达式是指算法和程序要求输出的信息.
2°提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开.
3°如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分 隔.
形式如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c
(3)赋值语句的一般格式：变量=表达式.
赋值语句中的“＝”称作赋值号.
功能：将表达式所代表的值赋给变量.

19

要求： < br>1°赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式. 如：2=x是
错误的.
2°赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的 值赋给赋值号左边的变量.如“A=B”“B=A”的含
义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x 是错的，A+B=C是错的，C=A+B是对的.
3°不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、 因式分解、解方程等），如y=x
2
－1=(x－1)(x+1)，这是实现不了
的. 在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现
两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值.
(4)三种语句的功能、格式、特点如下：
在QBASIC语言中，输入语句是IN PUT语句，输出语句是PRINT语句，赋值语句是LET语句（“LET”可以
省略）.下表列出了 这三种语句的一般格式、主要功能和相关说明，供教师教学时参考，不要求学生掌握.

格
式
功
能
INPUT语句
INPUT“提示内容”；变量
可对程序中的变量赋值
①又称“键盘输入语句”， 在程
序运行过程中，停机等候用户
由键盘输入数据，而不需要在
写程序时指定
PRINT语句
PRINT“提示内
容”；表达式
赋值语句
LET变量=表达式
可输出表达式的可对程序中的变量赋值，
值，计算 计算
①又称“打印语
句”，将表达式的
值在屏幕上显示
出来
①在程序运行过程中给
变量赋值
说
明
②“LET”可以省略，“=”
的右侧必须是表达式，左
侧必须是变量
②“ 提示内容”和它后面的“；”
②表达式可以是
变量、计算公式
③一个语句只能给一个< br>可以省略
或系统信息
变量赋值
③一个语句可以给多个变量
③一个语句可以
④有计算功能
赋值，中间用“，”分隔
输出多个表达式.
⑤将一个变量的值赋给
④无计算功能
不同的表达式之另一个变量，前一个变量
⑤用户由键盘输入的数据必
间可用“，”分隔
的值保持 不变；可先后给
须是常量，输入多个数据时用
④有计算功能，
一个变量赋多个不同的< br>“，”分隔，且个数要与变量的
能直接输出计算
值，但变量的取值总是最
个数相 同
公式的值
后被赋予的值
（5）指出三种语句与框图的对应关系如下图.




20

应用示例
思路1
例1 用描点法作函数y=x
3
+3x
2
-24 x+30的图象时，需要求出自变量和函数的一组对应值 .编写程序，分别计算当x=-5，
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时的函数值.
算法分析：根据题意，对于每一个输入的自变量的值，都要输出相应的函数值.写成算法步骤如下：
第一步，输入一个自变量的x的值.
第二步，计算y=x
3
+3x
2
-24x+30.
第三步，输出y.
程序框图如右图：

显然，这是一个由顺序结 构构成的算法，按照程序框图中流程线的方向，依次将程序框中的内容写成相应的算
法语句，就得相应的 程序.
解：程序：
INPUT “x”；x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
强调 ：前面我们学习了算法步骤、程序框图，我们对照程序框图与算法语句可以得到它们之间的对应关系.例如：在< br>这个程序中，第1行中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是

INPUT “提示内容”；变量

其中，“提示内容”一般是提示用户输入什 么样的信息，每次运行例1中的程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，
1，2，3，4 ，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”，并按“x”新获得的值计算变量“y”的值.
例2 给一个变量重复赋值.
解：程序：
A=10
A=A+15
PRINT A
END
例3 编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
算法分析：
先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩a，b，c.
第二步，计算y=
第三步，输出y.

21
a?b?c
.
3

程序框图如右：

由于PRINT语句还可以用于输出数值计算的结果，所以这个算法可以写成下列程序.
程序：
INPUT “Maths=”;a
INPUT “Chinese=”;b
INPUT “English=”;c
PRINT “The average=”;(a+b+c)3
END
强调：例3中的第4行的PRINT语句是输出语句，它的一般形式是

PRINT“提示内容”；表达式

PRINT语句可以在计算机的屏幕上输出常量 、变量的值和系统信息，同输入语句一样，这里的表达式前也可以有“提
示内容”.
例4 变换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：程序：
INPUT A，B
PRINT A，B
x=A
A=B
B=x
PRINT A,B
END
思路2
例1 写出求三个数a，b，c的方差的程序.
分析：方差是在初中统计内容中学习过的知识，计算所有数的方差首先计算所有数的平均数
x
，通过公式
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
s=来计算.
n
2
算法步骤：
第一步，计算平均数
x?
a?b?c
.
3
(a?x)2
?(b?x)
2
?(c?x)
2
第二步，计算方差s=.
3
2
第三步,得到的结果即为所求.
程序如下：
INPUT a，b，c
y=(a+b+c)3
S=((a－y)
2
+ (b－y)
2
+ (c－y)
2
)3
PRINT S
END
例2 编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出a
b
和b
a
的值. 分析：可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将a
b
和b
a
的值分 别赋给两个变量输出即可.也可以将a
b
和b
a
的
底数和幂数进行交 换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现.

22

解：程序1：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
B=b^a
PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B
END
程序2：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
PRINT “a^b=”；A
x=a
a=b
b=x
A=a^b
PRINT “b^a=”；A
END
强调：交换a，b的值可通过下面三个语句来实现：
t=a
a=b
b=t
通过引进一个中间变量t实现变量a和b的值的交换，因此只需用赋值语句即可实现算 法.在一些较为复杂的问题算
法中经常需要对两个变量的值进行交换，因此应熟练掌握这种方法.
知能训练
1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确？为什么？
（1）输入语句INPUT a；b；c
（2）输出语句A＝4
（3）赋值语句3＝B
（4）赋值语句A＝B＝－2
解：（1）错，变量之间应用“，”号隔开.
（2）错，PRINT语句不能用赋值号“=”.
（3）错，赋值语句中“=”号左右不能互换.
（4）错，一个赋值语句只能给一个变量赋值.
强调：输入语句、输出语句和赋值语句基本上 对应于算法中的顺序结构.输入语句、输出语句和赋值语句都不包括“控
制转移”，由它们组成的程序段 必然是顺序结构.
2.请写出下面运算输出的结果.
（1）a=5
b=3
c=(a+b)2
d=c*c
PRINT“d=”;d
(2)a=1
b=2
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
(3)a=10

23

b=20
c=30
a=b
b=c
c=a
PRINT “a=,b=,c=” a,b,c
解：（1）16；语句c=(a+b)2 是将a，b和的一半赋值给变量c，语句d=c*c是将c的平方赋值给d，最后输出d的值.
（2） 1，2，3；语句c=a+b是将a，b的和赋值给c，语句b=a+c－b是将a+c－b的值赋值给了b.
（3）20，30，20；经过语句a=b后a，b，c的值是20，20，30.经过语句b=c后a ，b，c的值是20，30，30.经过语
句c=a后a，b，c的值是20，30，20.
拓展提升
已知某生某三科的成绩为80、75、95分，求三科的总分及平均分．
分析：将三科成绩赋给三个变量A，B，C，然后对三个变量进行操作、运算，求其总分、平均分．变量 的起名规则：
由字母、数字、下划线组成，但第一个字符必须是字母（大、小写皆可），起名时尽量做到 见名知义，如本例中我们
可用变量ZF表示总分，PJF表示平均分．
解：程序框图如右图：

程序：
A=80
B=75
C=95
ZF=A+B+C
PJF=ZF3
PRINT ZF，PJF
END
课堂小结
（1）输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
（2）用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句.
作业习题1.2A组2.

24

1.2.2 条件语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会条件语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：条件语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一位老农平整了一块良田，种瓜好 呢，还是种豆好呢，他面临着一个选择.如果他选择种瓜，他会得瓜，如果他
选择种豆，他会得豆.人的 一生面临许多选择，我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构，今天我们学习条件
语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理 解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输
出语句、赋值语句，今天我们开始学习条件语句 .
提出问题
（1）回忆程序框图中的两种条件结构.
（2）指出条件语句的格式及功能.
（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果： （1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是 处理这种
过程的结构.
用程序框图表示条件结构如下图：

（2）条件语句
1°“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句体1”表示满足条件时执行 的操作内容；“语句体
2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计 算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首
先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执 行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语
句2”.

25

2°“IF—THEN”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体
END IF
功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满 足条件时执行的操作内容，条件不满足时，直接结束判断过程；END IF
表示条件语句的结束.计算 机在执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN
后边 的语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.
（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.
不 同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.
对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.
（4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：

应用示例
思路1
例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.
算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x的绝对值为
|x|=
?
?
x(x?0),

?
?x(x?0),

程序：
INPUT x
IF x＞=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END

变式训练
阅读下面的程序，你能得出什么结论？
INPUT x
IF x＜0 THEN
x=-x

26

END IF
PRINT x
END 由程序得出，该程序是输出x的绝对值.
例2 把前面求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的程序框图转化为程序.
解：由程序 框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，所以，
可 以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.
程序：
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
d=b^2-4*a*c
IF d＞=0 THEN
p=-b(2*a)
q=SQR(d)(2*a)
IF d=0 THEN
PRINT “x
1
=x
2
=”;p
ELSE
PRINT “x
1
,x
2
=”;p+q,p-q
END IF
ELSE
PRINT“No real root”
END IF
END
例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.
如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.
根据程序框图，写出相应的计算机程序.
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
IF b＞a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c＞a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c＞b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a,b,c
END
思路2
例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.
分析：要输出 两个不相等的实数a、b的最大值，从而想到对a，b的大小关系进行判断，a，b的大小关系有两种情
况：（1）a>b；（2）b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式，找出两个数的最大值.

27

解：算法一：
第一步，输入a， b的数值.
第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出b的值.
（程序框图如下图）

程序如下：（“IF—THEN—ELSE”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF a＞b THEN
PRINT a
ELSE
PRINT b
END IF
END
算法二：
第一步，输入a,b的数值.
第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直接执行第三步.
第三步，输出a的值，结束.
（程序框图如右图）

程序如下：（“IF—THEN”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF b＞a THEN
a=b
END IF
PRINT a
END
?
1,x?0,
?
例2 高等数学中经常用到符号函数， 符号函数的定义为y=
?
0,x?0,
试编写程序输入x的值，输出y的值.
?
?1,x?0,
?
解：程序一：（嵌套结构）
程序框图：（下图）

程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT y
END

28

程序二：（叠加结构）
程序框图（右图）：
程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
END IF
IF x=0 THEN
y=0
END IF
IF x<0 THEN
y=－1
END IF
PRINT y
END
强调：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代入x的数值时，“程序一”先判断外层的条件，依次 执行不同
的分支，随后再判断内层的条件；而“程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件 2”进行判断，是按程序中
条件语句的先后依次判断所有的条件，满足哪个条件就执行哪个语句.
（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件.
知能训练
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超 出部分
按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用 y（元），如何设计一个
程序，计算通话的费用.
解：算法程序如下：
INPUT “请输入通话时间：”；t
IF t<=3 THEN
y=0.22
ELSE
IF INT(t)=t THEN
y=0.22+0.1*(t－3)
ELSE
y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)
END IF
END IF
PRINT “通话费用为：”；y
END

拓展提升
?
2x,0?x?4,
?
函数y=
?
8,4?x?8,
写出求函数的函数值的程序.
?
2(12?x),8?x?12,
?
解：INPUT x=”;x
IF x>=0 and x<=4 THEN
y=2*x
ELSE IF x<=8 THEN

29

y=8
ELSE y=2*(12-x)
END IF
END IF
PRINT y
END
课堂小结
（1）条件语句的用法.
（2）利用条件语句编写算法语句.
作业
习题1.2

B组1.
30

1.2.3循环语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会循环语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：循环语句的基本用法.
教学难点：循环语句的写法.
课时安排1课时
导入新课
思路1（情境导入）
一位同学不小心违反了学校纪律， 班主任令其写检查，他写完后交给班主任，班主任看后说：“认识不深刻，拿
回去重写，直到认识深刻为 止”.这位同学一想，这不是一个循环结构吗？可惜我还没学循环语句，不然可以写一个
算法语句输入计 算机了.同学们，今天我们开始学习循环语句.
思路2（直接导入）
前面 我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输
出语句、赋值语句和条件语句，今天我们开始学习循环语句.
提出问题
（1）试用程序框图表示循环结构.
（2）指出循环语句的格式及功能.
（3）指出两种循环语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果：
（1）循环结构
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（1）所示
2°直到型循环结构，如图（2）所示，

（1）当型循环结构 （2）直到型循环结构

（2）循环语句
1°当型循环语句
当型（WHILE型）语句的一般格式为：
WHILE 条件
循环体
WEND
功能：计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是 否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND
之间的循环体；然后返回到WHILE语句再判断上述 条件是否成立，如果成立，再执行循环体，这个过程反复执行，
直到一次返回到WHILE语句判断上述 条件不成立为止，这时不再执行循环体，而是跳到WEND语句后，执行WEND
后面的语句.因此当型 循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”“先判断后循环”.
2°直到型循环语句

31

直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
功能：计算机执行UNTIL语句时，先执行DO和LOOP UNTIL之间的循环体，然后判断“LOOP UNTIL”后面
的条件是否成立，如果条件不成立 ，返回DO语句处重新执行循环体.这个过程反复执行，直到一次判断“LOOP
UNTIL”后面的条件成立为止，这时不再返回执行循环体，而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL条件”下面的语句.
因此直到型循环又称“后测试型”循环，也就是我们经常讲的“先执行后测试”“先循环后判断”.
(3)相同点：都是反复执行循环体语句.
不同点：当型循环语句是先判断后循环，直到型循环语句是先循环后判断.
(4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系.
1°直到型循环结构：

2°当型循环结构：

应用示例
思路1
例1 修 改前面编写过的求函数y=x3+3x2-24x+30的值的程序，连续输入11个自变量的取值，输出相应的 函数值.
算法分析：与前面不同的是，本例要求连续输入11个自变量的取值.并输出相应的函数值， 先写出解决本例的算法步
骤：
第一步，输入自变量x的值.
第二步，计算y=x3+3x2-24x+30.
第三步，输出y.
第四步，记录输入次数.
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步.
显然，可以用计数变量n（1≤n≤11）记录次数，通过循环结构来实现算法.
程序框图如下图：

程序：
n=1
DO
INPUT x
y=x^3+3*x^2-24*x+30

32

PRINT y
n=n+1
LOOP UNTIL n＞11
END
例2 教材中的用“二分法”求方程x
2
-2=0（x ＞0）的近似解的程序框图（见教材图1.120）包含了顺序结构、条件
结构和循环结构.下面，我们 把这个程序框图转化为相应的程序.
解：程序为：
INPUT “a,b,d=”；a,b,d
DO
m=(a+b)2
g=a^2-2
f=m^2-2
IF g*f＜0 THEN
b=m
ELSE
a=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)＜d OR f=0
PRINT m
END
强调：ABS（）是一个函数，用来求某个数的绝对值，即ABS（x）=|x|.
例3 设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，编写算法程序.
解：算法如下：
第一步，s＝1.
第二步，i＝3.
第三步，s＝s×i.
第四步，i＝i＋2.
第五步，如果i≤99，那么转到第三步.
第六步，输出s.
程序如下：（“WHILE型”循环语句）
s＝1
i＝3
WHILE i＜＝99
s＝s*i
i＝i＋2
WEND
PRINT s
END
强调：前面我们已经学过“求和”问题 ，这是一个“求积”问题，这两个问题都是典型的算法问题，注意它们的联
系与区别.
例4 编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值（其中n！=1×2×3×…×n）.
分析：这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实现.
程序结构要做到如下步骤：
①处理“n！”的值；（注：处理n！的值的变量是一个内循环变量）
②累加“n！”的值.（注：累加n！的值的变量是一个外循环变量）
显然，通过10次循环可分别求出1!、2!、…、10!的值，并同时累加起来, 可求得S的值.而求T=n！，又可以用一个

33

循环（内循环）来实现.
解：程序为：
s=0
i=1
WHILE i<=10
j=1
t=1
WHILE j<=i
t=t*j
j=j+1
WEND
s=s+t
i=i+1
WEND
PRINT s
END
思考：上面程序中哪个变量是内循环变量，哪个变量是外循环变量？
解答：内循环变量：j，t.外循环变量：s，i.
上面的程序是一个的“WHIL E+WHILE”型循环嵌套语句格式.这是一个比较好想的方法，但实际上对于求n！，
我们也可以根 据求出的(n－1)!乘上n即可得到，而无需重新从1再累乘到n.
程序可改为：
s=0
i=1
j=1
WHILE i<=10
j=j*i
s=s+j
i=i+1
WEND
PRINT s
END
显然第二个程序的效率要比第一个高得多.第一程序要进行1+2+…+10=55次循环，而 第二程序进行10次循环.
如题目中求的是1！＋2！＋…＋1 000！，则两个程序的效率区别会更明显.
变式训练
某种蛋白质是由四种氨基酸 组合而成.这四种氨基酸的相对分子质量分别是57，71，97，101.实验测定蛋白质的
相对分子 质量为800.问这种蛋白质的组成有几种可能？
分析：该问题即求如下不定方程的整数解：设四种氨 基酸在蛋白质的组成中分别各有x，y，z，w个.则由题意可得
57x+71y+97z+101w= 800，（x，y，z，w是非负整数）
这里0≤x≤14，0≤y≤11，0≤z≤8，0 ≤w≤7，利用穷取法，考虑一切可能出现的情况.运用多层循环嵌套处理
即可.
解：编写程序如下：
w=0
WHILE w<=7
z=0
WHILE z<=8
y=0

34

WHILE y<=11
x=0
WHILE x<=14
IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN
PRINT x，y，z，w
END IF
x=x+1
WEND
y=y+1
WEND
z=z+1
WEND
w=w+1
WEND
END
知能训练
设计算法求
1111< br>???
?
?
的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
1?22?33?499?100
解：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一 个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框
图如下图所示：

程序如下：
s=0
i=1
Do
s=s+1（i*(i+1)）
i=i+1
LOOP UNTIL i>99
PRINT s
END
拓展提升
青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了12名评委，在计算每位选 手的平均分数时，为了避免个别评委
所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平 均分.试设计一个算法解决该问题，要求画出程
序框图，写出程序（假定分数采用10分制，即每位选手 的分数最高分为10分，最低分为0分）.
解：由于共有12位评委，所以每位选手会有12个分数， 我们可以用循环语句来完成这12个分数的输入，同时设计
累加变量求出这12个分数的和，本问题的关 键在于从这12个输入分数中找出最大数与最小数，以便从总分中减去
这两个数.由于每位选手的分数都 介于0分和10分之间，我们可以先假设其中的最大数为0，最小数为10，然后每次
输入一个评委的分 数，就进行一次比较，若输入的数大于0,就将之代替最大数，若输入的数小于10，就用它代替最
小数 ，依次下去，就能找出这12个数中的最大数与最小数，循环结束后，从总和中减去最大数与最小数，再除以10 ，
就得到该选手最后的平均分.
程序框图如右图：

程序如下：s=0
i=1
max=0
min=10

35

DO
INPUT x
s=s+x
IF max<=x THEN
max=x
END IF
IF min>=x THEN
min=x
END IF
i=i+1
LOOP UNTIL i>12
s1=s－max－min
a=s110
PRINT a
END
课堂小结
（1）学会两种循环语句的应用.
(2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序，巩固算法应用.
作业
习题1.2A组3.

36

1.3 算法案例
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术
导入新课
思路1（情境导入）
大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢 横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，
对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学 ，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先
用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是 互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质
因数较大时（如8 251与6 105 ），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转
相除法与更相减损术 ,由此可以体会东、西方文化的差异.
思路2（直接导入）
前面我们学习 了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的
思想.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
讨论结果：
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，< br>然后把所有的除数连乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正 整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中
断列举，得 到的公约数便是最大公约数.
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.
（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数 学专著，其中的“更
相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减
损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：

37

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
应用示例
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.
解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.
由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146
的公约数，所以它们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.
同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：
2 146=1 813×1+333，
1 813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.
这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限 步之后完成，从
而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析：从上面的例 子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数为r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.
程序框图如右图：
程序：
INPUT m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
强调：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化
为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式
两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.
变式训练
你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.
解：当型循环结构的程序框图如下图：

程序：
INPUT m，n
r=1
WHILE r＞0
r=m MOD n
m=n

38

n=r
WEND
PRINT m
END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7.
强调：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相
似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的 是减法运
算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．
变式训练
用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.
解：324=243×1＋81，
243=81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81.
又135=81×1＋54，81=54×1＋27，
54=27×2＋0，
则 81 与 135的最大公约数为27.
所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.
另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大 公约数为81.
135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.
所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.
（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.
解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：
123＝2×48＋27，
48＝1×27＋21，
27＝1×21＋6，
21＝3×6＋3，
6＝2×3+0，
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.
（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.
80÷2=40，36÷2=18.
40和18都是偶数，要除公因数2.
40÷2=20，18÷2=9.
下面来求20与9的最大公约数，
20－9=11，
11－9=2，
9－2=7，
7－2=5，

39

5－2=3，
3－2=1，
2－1=1，
可得80和36的最大公约数为2
2
×1=4.
强调：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.
变式训练
分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．
解：辗转相除法：
1 734=816×2+102，816=102×8（余0），
∴1 734与816的最大公约数是102．
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．
867-408=459，
459-408=51，
408-51=357，
357-51=306，
306-51=255，
255-51=204，
204-51=153，
153-51=102，
102-51=51.
∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．
利用更相减损术可另解：
1 734－816＝918，
918－816＝102，
816－102＝714，
714－102＝612，
612－102＝510，
510－102＝408，
408－102＝306，
306－102＝204，
204－102＝102.
∴1 734与816的最大公约数是102．
知能训练
求319，377，116的最大公约数．
解：377=319×1+58，
319=58×5+29，
58=29×2.
∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．
116=29×4.
∴29与116的最大公约数为29.
∴377，319，116的最大公约数为29.
拓展提升
试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．
解：更相减损术程序：
INPUT “m，n=”；m，n
WHILE m<>n

40

IF m>n THEN
ｍ＝m-n
ELSE
m=n-m
END IF
WEND
PRINT m
END
课堂小结
（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.
思想方法：递归思想.
作业
分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.
分析：本题主要考查辗转相除法和更 相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；
用更相减损术就 是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．
解：辗转相除法：
319=261×1+58,
261=58×4+29,
58=29×2.
∴319与261的最大公约数是29．
更相减损术：
319-261=58,
261-58=203,
203-58=145,
145-58=87,
87-58=29,
58-29=29, ∴319与261的最大公约数是29．

41

第2课时 案例2 秦九韶算法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果 都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口
的吃，由此看来处理同一个问 题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3+x
2
+x+1当x=5时的值呢？方法也是多
种多样的，今天我们开始学习秦九 韶算法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）求 多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法的好坏？
讨论结果：
（1）怎样求多项式f(x)=x< br>5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时 的值呢？
一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来， 这时，我们一共做了1+2+3+4=10
次乘法运算，5次加法运算.
另一种做法 是先计算x
2
的值，然后依次计算x
2
·x，（x
2
·x） ·x，（（x
2
·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次
计算的结果，这时 ，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次 数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘
法运算所用的时间比做一次加法运算要长 得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.
（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国 南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中
提出了下面的算法：
把一个n次多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
改写成如下形式：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0

=（a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…+a
1
）x+ a
0

=（（a
n
x
n-2
+a
n-1< br>x
n-3
+…+a
2
）x+a
1
)x+a
0

=…
=（…（（a
n
x+a
n-1
）x+a< br>n-2
）x+…+a
1
）x+a
0
.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v
1
=a
n
x+a
n-1
，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
，
v
3
=v
2
x+a
n-3
，
…
v
n
=v
n-1
x+a
0
，
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.
（3）计算 机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一
个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.
应用示例
例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x
5
+2x
4
+3.5x
3
-2.6x
2
+1.7x-0.8，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

42

解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v
0
=5；
v
1
=5×5+2=27;
v
2
=27×5+3.5=138.5;
v
3
=138.5×5-2.6=689.9;
v
4
=689.9×5+1.7=3 451.2;
v
5
=3 415.2×5-0.8=17 255.2;
所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.
算法分析：观察上述秦九韶算法中的 n个一次式，可见v
k
的计算要用到v
k-1
的值，若令v
0
=a
n
，我们可以得到下面的
公式：
?
v
0
?a
n
,

?
v?vx? a(k?1,2,
?
,n).
k?1n?k
?
k
这是一个在 秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.
算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a
n
和x的值.
第二步，将v的值初始化为a
n
，将i的值初始化为n-1.
第三步，输入i次项的系数a
i
.
第四步，v=vx+a
i
,i=i-1.
第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
强调：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽 介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一
个典型的算法案例.
变式训练
请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.
解：设f（x）=a< br>5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：
f（x）=（a
5
x
4
+a
4
x
3
+a
3
x
2< br>+a
2
x+a
1
）x+a
0

=（（a
5
x
3
+a
4
x
2
+ a
3
x+a
2
）x+a
1
）x+a
0


43

=（（（a
5
x
2
+a
4
x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（（a
5
x+a
4
）x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0
.
上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层 的括号，然
后加上常数项即可.
程序框图如右图：

k
例2 已知n次多项式P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1x
n-1
+…+a
n-1
x+a
n
，如果在一种算法中 ，计算
x
0
（k=2，3，4，…，n）的值需要k
－1次乘法，计算P3
(x
0
)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P
1 0
(x
0
)的值共需要__________次运算.
下面给出一种减少运算 次数的算法：P
0
(x)=a
0
,P
k+1
(x)=xP< br>k
(x)+a
k+1
（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P< br>3
(x
0
)
的值共需要6次运算，计算P
10
(x< br>0
)的值共需要___________次运算.
答案：65 20
强调 ：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的求值问题.直接法乘法 运算的次数最多可到达
(n?1)n
，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减 少到最多n次，加法最多n次.
2
例3 已知多项式函数f(x)=2x
5
－5x
4
－4x
3
+3x
2
－6x+7，求当x=5时的 函数的值.
解析：把多项式变形为：f(x)=2x
5
－5x
4
－ 4x
3
+3x
2
－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.
计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2 677即为所求的值.
算法过程：
v
0
=2；
v
1
=2×5－5=5；
v
2
=5×5－4=21；
v
3
=21×5+3=108；
v
4
=108×5－6=534；
v
5
=534×5+7=2 677.
强调：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.
知能训练
当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x
5
+8x
4
-3x
3
+5x
2
+12x-6的值．
解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.
v
0
=3;
v
1
=v
0
×2+8=3×2+8=14;
v
2
=v
1
×2-3=14×2-3=25;
v
3
=v
2
×2+5=25×2+5=55;
v
4
=v
3
×2+12=55×2+12=122;
v
5
=v
4
×2-6=122×2-6=238.
∴当x=2时，多项式的值为238.
解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，
则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．

44

拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7
+6x
6
+5x
5
+4x
4
+3x
3
+2x
2
+x当x=3时的值.
解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x
v
0
=7；
v
1
=7×3+6=27；
v
2
=27×3+5=86；
v
3
=86×3+4=262；
v
4
=262×3+3=789；
v
5
=789×3+2=2 369；
v
6
=2 369×3+1=7 108；
v
7
=7 108×3+0=21 324.
∴f(3)=21 324.
课堂小结
1.秦九韶算法的方法和步骤.
2.秦九韶算法的计算机程序框图.
作业
已知函数f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8,求f(9)的值.
解：f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8=(x
2
－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8
∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.

45

第3课时 案例3 进位制
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
情境导入
在日常生活中，我们最 熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经
采用七进制、十二 进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来
学习一 下进位制.
提出问题
（1）你都了解哪些进位制？
（2）举出常见的进位制.
（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.
（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.
活动：先让学生思考或讨 论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示
引导考虑问题的 思路．
讨论结果：
（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进 一，就是二进制；满十进一，就是十进制；
满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等 .也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都
是大于1的整数）就是几.
（2） 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法. < br>（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是 几，就表示几
个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位… …
例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：
3 721=3×10
3
+7×10
2
+2×10
1
+1×10
0
.
与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一 种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二
进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式
a
n
a
n-1
…a
1
a
0
（k）（0＜a
n
＜k，0≤a
n-1
，…，a
1
，a< br>0
＜k).
其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如
110 011
（
2
）
=1×2
5
+1×2
4
+0×2< br>3
+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0
，
7 342
（
8
）
=7×8
3
+3×8
2
+4×8
1
+2×8
0
.
非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
a
n
a
n-1
…a
1
a
0(k)
=a
n
×kn
+a
n-1
×k
n-1
+…+a
1
×k+a
0
.
第一步：从左到右依次取出k进制数a
n
a
n-1< br>…a
1
a
0
(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始 取值，每次递
减1，递减到0，即a
n
×k
n
,a
n-1< br>×k
n-1
,…,a
1
×k,a
0
×k
0< br>；
第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.
（4）关于进 位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.
这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据 ，
因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时 计算机又把
运算结果由二进制数转换成十进制数输出.
1°十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的 算法“除
k取余法”.
2°非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为 桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先
由二进制数转化为十 进制数，再由十进制数转化成为16进制数.

46

应用示例
思路1
例1 把二进制数110 011
(2)
化为十进制数.
解：110 011
(2)
=1×2
5
+1×2
4
+0×2
3
+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0=1×32+1×16+1×2+1=51.
强调：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘 积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.
变式训练
设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.
算法分析：从例1的计算过程可 以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a
i
与k
i-1
的乘积a
i
·k
i-1
，再将其累加，这
是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结 构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，输入a，k和n的值.
第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.
第三步，b=b+a
i
·k
i-1
，i=i+1.
第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a,k，n=”；a，k，n
b=0
i=1
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^（i-1）
a=a10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i＞n
PRINT b
END
例2 把89化为二进制数.
解：根据二进制数“满二进一”的原则，可 以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：
因为89=2×44+1，44=2×22+0，
22=2×11+0，
11=2×5+1，
5=2×2+1，
2=2×1+0，
1=2×0+1，
所以
89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1
=2×（2×（2×（2×（2
2
+1）+1）+0）+0）+1
=…=1 ×2
6
+0×2
5
+1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
+0×2
1
+1×2
0

=1 011 001
(2)
.
这种算法叫做除2取余法，还可以用右面的除法算式表示：

把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001
(2)
.

47

上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.
变式训练
设计一个程序，实现“除k取余法”.
算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：
若十制数a除以k所得商是q< br>0
，余数是r
0
，即a=k·q
0
+r
0
， 则r
0
是a的k进制数的右数第1位数.
若q
0
除以k所 得的商是q
1
，余数是r
1
，即q
0
=k·q
1< br>+r
1
，则r
1
是a的k进制数的左数第2位数.
……
若q
n-1
除以k所得的商是0，余数是r
n
，即q
n-1
=r
n
，则r
n
是a的k进制数的左数第1位数.
这样，我们可以得到算法步骤如下：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.
第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.
第三步，把得到的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a，k=”；a，k
b=0
i=0
DO
q=ak
r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
思路2
例1 将8进制数314 706
(8)
化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.
解：314 706
(8)
=3×8
5
+1×8
4
+4×8
3
+7×8
2
+0×8
1
+6×8
0=104 902.
所以，化为十进制数是104 902.
强调：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706
(8)
化为十进制数.
例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.
解：具体的计算方法如下：
89=3×29+2，
29=3×9+2，
9=3×3+0，
3=3×1+0，
1=3×0+1，
所以:89
(10)
=10 022
(3)
.
强调：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所 得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即
可.
知能训练
将十进制数34转化为二进制数．
分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数 ，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所

48

求．
解：

即34
(10)
=100 010
(2)

拓展提升
把1 234
(5)
分别转化为十进制数和八进制数．
解：1 234
(5)
=1×5
3
+2×5
2
+3 ×5+4＝194．
则1 234
(5)
=302
(8)

所以，1 234
(5)
=194＝302
(8)

强调： 本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和
八进制数之间需要借助于十进制数来转化．
课堂小结
（1）理解算法与进位制的关系.
（2）熟练掌握各种进位制之间转化.
作业
习题1.3A组3、4.



49

第2课时
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1
客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因
果关系.比如说 ：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,
物理是“果”,或者 反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习
能力和努力程度.所以 说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系
——相关关系.为表示这种相关关 系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方
程.
思路2
某 小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的
杯数与当天气温的对 照表：
气温℃
杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
-1
64
如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数 吗？为解决
这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.
提出问题
（1）作散点图的步骤和方法？
（2）正、负相关的概念？
（3）什么是线性相关？
（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体 内脂肪含量到底是以什么方
式增加的呢？
（5）什么叫做回归直线？
（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？
（7）利用计算机如何求回归直线的方程？
（8）利用计算器如何求回归直线的方程？
活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.
讨论结果：（1）建立相应的平面直角 坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得
到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形 叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某
一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变 量之间具有函数关系．b.如果所有的
样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如 果所有的样本点都落在某一直
线附近,变量之间就有线性相关关系）
（2）如果散点图中的点 散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散
布在从左上角到右下角的区域内, 称为负相关.
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.
（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以
从散 点图上来进一步分析.
（5）如右图：
从散点图上可以看出,这些点大致分布在通 过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中
点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个 变量之间具有线性相关关系,这条
直线叫做回归直线(regression line).如果能够求 出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么
我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性 .就像平均数可以作为一个变量的
数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表 .
（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.

50

那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?
有的同学可能会想,我可以采用测量的方法, 先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然
后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时 的斜率和截距,就可得到回归方程
了.但是,这样做可靠吗?
有的同学可能还会想, 在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.
同样地,这样做能保证各点与此直线 在整体上是最接近的吗?
还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程, 再分别求出各条直线
的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?
（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个 点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个
数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条 直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距
的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分 别分析各方法的可靠性.如下图：


上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.
实际上,求回归方程的关键是如 何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距
离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得 出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式
n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx.
?
xy
i
i?1< br>n
i?1
n
i
?nxy
,(1)

?
x
i
2
?nx
2
其中，b是回归方程的斜率，a是截距.
推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.
假设我 们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x
1
,y
1
),(x< br>2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
)，
且所求回归方程是
y
=bx+a,
其中a、b是待定参数.当变量x取x< br>i
(i=1,2,…,n)时可以得到
y
=bx
i
+a(i= 1,2,…,n),
它与实际收集到的y
i
之间的偏差是y
i
-< br>y
=y
i
-(bx
i
+a)(i=1,2,…,n). 这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y
i
-
y
）可

51
^
^
^
^

正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用
?
|y
i?1
n
i
?y
i
|
来代替，但由于它含有绝对值，运算
^
不太方便， 所以改用
Q=(y
1
-bx
1
-a)
2
+(y< br>2
-bx
2
-a)
2
+…+(y
n
-bx< br>n
-a)
2
②
来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小 ，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运
算，a,b的值由公式①给出.
通过求②式的最 小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离
的平方和最小，这一方法叫做 最小二乘法（method of least square）.
（7）利用计算机求回归直线的方程.
根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程.
以Exc el软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归
方程,具体步骤如下：
①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定
“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.
②单击“类型”标签,选定“趋势 预测回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归
直线.
③双击回归直线 ,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”
按钮,得到回 归直线的回归方程
y
=0.577x-0.448.
^

（8）利用计算器求回归直线的方程.
用计算器求这个回归方程的过程如上：
所以回归方程为
y
=0.577x-0.448.
^

正 像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到
了它们之间关系 的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.
直线回归方程的应用:
①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关
系.
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）
进 行估计,即可得到个体Y值的容许区间.
③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的 范围来实现统计控制的目标.
如已经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方 程,即可通过控制汽车流量来控制空
气中NO
2
的浓度.
应用示例

52

思路1
例1 有一个同学家开了一个小卖部，他 为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到
一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度℃
热饮杯数
-5
156
0
150
4
132
7
128
12
130
15
116
19
104
23
89
27
93
31
76
36
54
（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
（3）求回归方程；
（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：（1）散点图如下图所示：

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之< br>间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.
（3）从散点图可以看出，这些点大致分布 在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归
方程的系数.
利用计算器容易求得回归方程
y
=-2.352x+147.767.
(4)当x=2时，
y
=143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.
思考
气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？
这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：
1.线性回归方程中的截距和斜率 都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导
致预测结果的偏差.
2.即使截距 和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实
际值y很接近.我们不能 保证点（x,y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回
归直线的附近，事实上，y=bx +a+e=
y
+e.
这里e是随机变量，预报值
y
与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.
一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以
“这天大约可以 卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地
说，假如我们规定可以选 择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143
和144能够保证预测成功（即 实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.
例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.
机动车辆数x／千台
交通事故数y／千件
95
6.2
110
7.5
112
7.7
120
8.5
129
8.7
135
9.8
150
10.2
180
13 ^
^
^
^
(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系 ,如果不具有线性相关关系,说
明理由；
(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.
解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.
直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．
(2)计算相应的数据之和：
?
x
i?1
8
i
=1 031，
?
y
i?1
8
i
=71.6,
53

?
x
i?1
8
2
i
=137 835，
?
xy
i
i?1
8
i
=9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1,
所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.
思路2
例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
水稻产量y
15
330
20
345
25
365
30
405
35
445
40
450
45
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线的方程.
解：(1)散点图如下图．

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:
i
x
i

y
i

x
i
y
i

1
15
330
4 950
2
20
345
6 900
7
2
i
3
25
365
9 125
7
4
30
405
12 150
2
i
5
35
445
15 575
7
6
40
450
18 000
7
45
455
20 475
x?30,y?399.3,
?
x?700 0,
?
y?1132725,
?
x
i
y
i
?87175

i?1i?1i?1
故可得到
b=
87175?7?30?399.3
≈4.75,
7000?7?30
2
^
a=399.3-4.75×30≈257.
从而得回归直线方程是
y
=4.75x+257.
例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,
测得数据如下：
零件个数x（个）
加工时间y（分）
10
62
20
68
30
75
40
81
50
89
60
95
70
102
80
108
90
115
100
122
请判断y与x是否具有线性相关关系,如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

54

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
x?55,y?91.7,
?
x
=38 500,
?
y
=87 777,
?
x
i
y
i
=55 950.
2
i
2
i
i?1i?1i?1
101010
?
xy
i
10
i
?10xy
?
?10x
2
b=
i ?1
10
?
x
i?1
2
i
55950?10?55 ?91.7
≈0.668.
38500?10?55
2
a=
y?b x
=91.7-0.668×55≈54.96.
因此,所求线性回归方程为
y
=bx+a=0.668x+54.96.
例3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
血球体积x(mL)
红血球数y(百万)
45
6.53
42
6.30
46
9.52
48
7.50
42
6.99
35
5.90
58
9.49
40
6.20
39
6.55
50
8.72
^
（1）画出上表的散点图；
（2）求出回归直线的方程.
解：（1）散点图如下.

（2）
x?
1
(45+42+ 46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50,
10
y?
1< br>(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8 .72)=7.37.
10
^
设回归直线方程为
y
=bx+a,则 b=
?
xy
i
i?1
10
10
i
?10x y
=0.175,a=
y?bx
=-0.418,
?
x
i ?1
2
i
?10x
2
所以所求回归直线的方程为
y
=0.175x-0.148.




知能训练
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积

55
^

C.正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
答案：Ｄ
2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ）
A.
y
=5.75-1.75x B.
y
=1.75+5.75x
C.
y
=1.75-5.75x D.
y
=5.75+1.75x
答案：Ｄ
3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：
使用年限x
2 3 4
5．5
5
6．5
6
7．0 维修费用y 2．2 3．8
设y对x呈线性相关关系．试求：
^
^^
^^
（1）线性回归方程
y
=bx+a的回归系数a,b；
（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？
答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.
4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：
模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．
（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；
（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．
解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；
模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.
（2）模型1中相同的x值一定得到相 同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,
因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项 是随机的,所以模型2是随机性模型．

5．以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：
80 105 110 115 135
房屋大小x（m
2
）
销售价格y（万元）
18.4 22 21.6 24.8 29.2
（1）画出数据的散点图；
（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.
解：（1）散点图如下图.

（2）n=5,
?
x
i?1
5
i
=545,
x=109,
5
?
y
i?1
5
i
=116,y
=23.2,
?
x
i?1
5
2
i
=60 952,
?
xy
i
i?1
i
=12 952,
b =
5?12952?545?116
≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1. 509,
2
5?60952?545
所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．

拓展提升
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X
i
）与公司所获得利润（Y
i
）的统
计资料如下表：
科研费用支出（X
i
）与利润（Y
i
）统计表 单位：万元
年份
1998
1999
2000
2001
2002

科研费用支出
5
11
4
5
3
56
利润
31
40
30
34
25

2003 2 20
180 30
合计
要求估计利润（Y
i
）对科研费用支出（X
i
）的线性回归模型.
^^^
解：设线性回归模型直线方程为：
Y
i
?
?
0
?
?
1
X
i
,因为：
x?
?
X
i
?
30
=5,
Y?
?
Y
i
?
1 80
=30,
n6
n6
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
X
i

5
11
4
5
3
2
Y
i

31
40
30
34
25
20
X
i
Y
i

155
440
120
170
75
40
X
i
2

25
121
16
25
9
4
X
i
-
X

0
6
-1
0
-2
-3
Y
i
-
Y

1
10
0
4
-5
-10
(X
i
-
X
)
2
(X
i
-
X
)(Y
i
-
Y
)
0 0
36 60
1 0
0 0
4 10
9 30
100 30 180 1 000 200 0 0 50
合计
现求解参数β
0
、β
1
的估计值：
^
n
?
X
i
Y
i
?
?
Y
i
6?1000?30 ?1806000?5400600
=2, 方法一：
?
???
1
?
222
n
?
X
i
?(
?
X
i)6?200?30
1200?900300
?
0
?Y?
?1
x
=30-2×5=20.
^
方法二：
?
1
?
^^
?
XY?nxY
?
X?n(x)
ii
2< br>i
ii
2
?
1000?6?5?30100
=2，
?
50
200?6?5
2
?
0
?Y?
?
1
x
=30-2×5=20.
方法三：
?
?
?
(X ?x)(Y?Y)
?
100
=2，
50
?
(X?x)^
1
2
i
^^
5=20.
?
0
?Y ?
?
1
x
=30-2×
所以利润（Y
i
）对科研费 用支出（X
i
）的线性回归模型直线方程为：
Y
i
=20+2Xi
.
课堂小结
1．求线性回归方程的步骤：
（1）计算平均数
x,y
； (2)计算x
i
与y
i< br>的积，求∑x
i
y
i
; (3)计算∑x
i
2
,∑y
i
2
，
n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
(4)将上述有关结果代入公式
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
2?
(x
i
?x)
?
?
i?1
?
??
a?y?bx
^^
^
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
,
?nx
2

?
x
i?1
2
i
求b,a,写出回归直线方程．
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的
线性回归 方程系数公式建立线性回归方程.
作业 习题2.3A组3、4,B组1、2.

57

第二章 统计
2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力.
2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣.
3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．
重点难点
教学重点：理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本．
教学难点：抽签法和随机数法的实施步骤．
教学过程
导入新课
抽样的方法很多，某个抽样方法都有各自的优越性与局限性，针对不同的问题应当选择
适当的抽样方法． 教师点出课题：简单随机抽样．
提出问题
(1)在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了 一
次民意测验.调查兰顿()(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(elt)(当时的总统)
中谁 将当选下一届总统.为了了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大
批人发了调查表 (注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示
兰顿非常受欢迎,于 是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.
实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:
候选人
Roosevelt
Landon
预测结果%
43
57
选举结果%
62
38
你认为预测结果出错的原因是什么？由此可以总结出什么教训？
（2）假设你作为一名食品卫生工作人 员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标
检验，你准备怎样做？显然，你只能从中抽取一定数 量的饼干作为检验的样本．那么，应当
怎样获取样本呢？
（3）请总结简单随机抽样的定义.
讨论结果：
(1)预测结果出错的原因是：在民意测验的过程中，即抽取样本时，抽取的样本 不具有代表
性．1936年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分，那时大部分人还很穷．其调查的结果
只是富人的意见，不能代表穷人的意见．
由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具有代表性，否则调查的结果与实际相
差较大．
(2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本，
用样本 的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况．如果对这批饼干全部检验，那么费时费力，
等检查完了，这批饼 干可能就超过保质期了，再就是会破坏这批饼干的质量，导致无法出售．
获取样本的方法是： 将这批小包装饼干，放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不
放回地摸取（这样可以保证每一袋饼干 被抽到的可能性相等），这样就可以得到一个样本．通
过检验样本来估计这批饼干的卫生情况．这种抽样 方法称为简单随机抽样．

58

(3)一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如
果每次抽取时总体内的各个个体被抽到 的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽
样．最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机 数法．
提出问题
(1)抽签法是大家最熟悉的，也许同学们在做某种游戏，或者选 派一部分人参加某项活
动时就用过抽签法.例如,高一(2)班有45名学生,现要从中抽出8名学生去 参加一个座谈会,每
名学生的机会均等.我们可以把45名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一 个不透明袋
子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出8个号签,从而抽出8名参加座谈会的学生.
请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤.
(2)你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
(3) 随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样．我们仅学习随机
数表法即利用随机 数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法．
怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明.
假设我们要考察某公司生产的500克 袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取
60袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,可以按 照下面的步骤进行.
第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,…,799.
第二步,在随机数 表中任选一个数.例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,下面摘取
了附表1的第6行至第10行 .)
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步, 从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个
三位数785,由于7 85<799,说明号码785在总体内,将它取出;继续向右读,得到916,由于
916>799, 将它去掉.按照这种方法继续向右读,又取出567,199,507,…,依次下去,直到样本的60
个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为60的样本.
请归纳随机数表法的步骤. (4)当N＝100时，分别以0，3，6为起点对总体编号，再利用随机数表抽取10个号码．你
能说出从0开始对总体编号的好处吗？
(5)请归纳随机数表法的优点和缺点．
讨论结果：
(1)一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.
抽签法的步骤是：
1°将总体中个体从1—N编号；
2°将所有编号1—N写在形状、大小相同的号签上；
3°将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
4°从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；
5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．
(2)抽签法的优点是简单易行，缺 点是当总体的容量非常大时，费时、费力，如果标号的签
搅拌得不均匀，会导致抽样不公平．因此说当总 体中的个体数很多时，用抽签法不方便．这
时用随机数法．
(3)随机数表法的步骤：
1°将总体中个体编号；
2°在随机数表中任选一个数作为开始；

59

3°规定从选定的数读取数字的方向；
4°开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为
止；
5°根据选定的号码抽取样本．
(4)从0开始编号时，号码是00，01，02，…，99 ；从3开始编号时，号码是003，004，…，
102；从6开始编号时，号码是006，007，… ，105．所以以3，6为起点对总体编号时，所
编的号码是三位，而从0开始编号时，所编的号码是两 位，在随机数表中读数时，读取两位
比读取三位要省时，所以从0开始对总体编号较好．
(5 )综上所述可知，简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之
有效的.但是， 如果总体中的个体数很多时，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法
操作也并不方便快捷.另外， 要想“搅拌均匀”也非常困难，这就容易导致样本的代表性差.
应用示例
例1 某车间工 人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同
一条件下测量，如何采用简 单随机抽样的方法抽取样本？
分析：简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法，所以有两种思路．
解法一（抽签法）：
①将100件轴编号为1，2，…，100；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④逐个抽取10个号签；
⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本．
解法二（随机数表法）：
①将100件轴编号为00，01，…99；
②在随机数表中选定一个起始位置，如取第22行第1个数开始(见教材附录1:随机数表)；
③规定读数的方向，如向右读;
④依次选取10个为
68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，
则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本．
强调：本题主要考查简单随机抽样的步骤． 抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能
性相等而必须搅拌均匀，当总体中的个体无差异，并且总 体容量较小时，用抽签法；用随机
数表法读数时，所编的号码是几位，读数时相应地取连续的几个数字， 当总体中的个体无差
异，并且总体容量较多时，用抽签法．
变式训练
1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________．
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
（2）从1 000个个体中一次性抽取50个个体作为样本．
（3）将1 000个个体编号，把号签放在一个足 够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个
抽取50个个体作为样本．
（4）箱子里共有10 0个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意
取出一个零件进行质量检验后， 再把它放回箱子．
（5）福利彩票用摇奖机摇奖．
解析：（1）中，很明显简单随机抽样是 从有限多个个体中抽取，所以（1）不属于；（2）中，
简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取， 所以（2）不属于；很明显（3）属于简单随
机抽样；（4）中，抽样是放回抽样，但是简单随机抽样是 不放回抽样，所以（4）不属于；
很明显（5）属于简单随机抽样．
答案：（3）（5）

60