中澳数学教材

本 科 生 毕 业 论 文

学 生 姓 名 段 丽
学 号 2012011107
专 业 名 称 数学与应用数学
作品提交日期 2016年3月
申请学位级别 理学学士学位
作品评审等级
指导教师姓名 文 萍
职 称 讲 师
工 作 单 位 玉溪师范学院
学位授予单位 玉溪师范学院



玉溪师范学院理学院
2016 年 3 月
论 文 题 目中、澳高中数学“排列“内容的比较研究

目 录

1引言 ..................................... .................................. 1
2知识点呈现方式比较 ................................... ...................... 1
2.1排列定义的给出比较研究 ............................................... 1
2.1.1中国人教版高中教材排列定义的给出 .............................. 1
2.1.2 澳大利亚教材排列定义的给出 ................................... 2
2.2 排列数计算公式得出比较 ............................................... 2
2.2.1 中国教材排列数计算公式的给出 ................................... 2
2.2.2 澳大利亚教材排列数计算公式的给出 ............................... 3
3 教材内容的比较 ........................................... 错误！未定义书签。
3.1 涉及限制的排列 ........................ ............................... 5
3.2 一个圈里的排列 .................................................. ..... 5
4结论 ................................. ..................................... 6
致谢： . .................................................. .................................................. ......................................... 6
参考资料： ........................................ .................................................. ............................................ 6
英文摘要
:
................................ ................................... 7

中、澳高中数学教材“排列”内容的比较研究
段丽
（玉溪师范学院理学院 12级数学1班 云南 玉溪 653100）
指导教师：文萍
摘要：各国由于文化背景、教学方式和学生情况的不同，导致各国的教材存在 很
大差异。本文选取“排列”这一知识点对我国人教版高中数学教材与澳大利亚
11级mam教 材进行比较分析，主要通过知识点呈现方式、教材内容来进行比较，
并做出总结提出看法。
关键词：排列；中澳教材；比较研究；高中数学
1引言
各国数学教材在数学教学中 有着相当大的影响力，所以理解各国教材中的内
容和方法上的变化是一个重要的研究领域
［1］
。越来越多的学者进入了研究各国
教材的领域当中来，为的就是通过对不同国家的教材进行比较 ，其中有知识点呈
现方式的比较、教材内容选取的比较、还有教材习题选取的比较，等等。从而找
出他们的相同点和不同点。这样就有利于大家取长补短，吸取各国教材中精华的
部分，改进自己国家教 材中不足的部分。各国通过把自己国家的教材与别国进行
比较，不但能改进各国的教材，还能改进自己国 家教学的方式方法。对此，本文
将我国人教版数学教材排列这一内容与澳大利亚的进行比较，两国既有共 同点也
有不同点，知识点呈现方式和教材内容都有较大差异。
2 知识点呈现方式比较 中国人教版高中数学课本针对排列这一知识点，先给例子归纳出排列的定
义，接着给出排列数概念及 排列数符号，再用乘法计数原理来解决例题从而得出
m
?n(n?1)(n?2)...(n? m?1)
，引出阶乘概念并得到排列数计排列数计算一：
A
n
算公式二:
A
n
m
?
n!
(n?m)!
澳大利亚教材 直接给出排列的定义，用例子加以说明，再给出阶乘的概念并
通过讲解有关排列的例题（用阶乘的形式表 示出来），从而得出排列数的计算公
p
r
?
式二： (n?r)!
，接着对排列数计算公式二用阶乘的计算方法进行变形，最后
n
n!
得出排列数计算公式一：
n
p
r
?n(n?1)(n?2)...( n?r?1)
。
接下来，将从以下几点做具体的比较分析。
2.1排列定义的给出比较分析
2.1.1中国人教版高中教材排列定义的给出
首先给出两个问题让学生解决。
问题1：从甲乙丙3名同学中选出2位参加活动，其中1位同 学参加上午的
活动，另一位参加下午的活动，共有多少种不同的选法？问题1可以归结为：从
1

3个不同的元素中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？问题2:从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，
共可得到多 少个不同的三位数？同样可以归结为：从4个不同的元素中任取3
个，然后按照一定的顺序排成一列，共 有多少种不同的排列方法？两例题分别用
分步乘法计数原理得出答案：
3?2?6
种，
4?3?2?24
种。
然后得出排列的定义：一般地，从
n
个不同 元素中取出
m
(m?n)
个元素，按
照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列。
进而给出排列数的定义：从n
个不同元素中取出
m
(m?n)
个元素的所有不
m
同 排列的个数叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
n
表示。
2.1.2澳大利亚教材排列定义的给出
澳大利亚教材是直接给 出排列的定义：排列是指将元素在一个特定条件下进
行排序。然后给出两个例子加以说明，例子1：随机 从一个游戏节目的观众中选
取2人，授予给他们二等奖和一等奖，选取的方式数量。例子2：确定一组人 可
以排队买票的方法的数量。并给出了3个例子，都是用分步乘法计数原理和分类
相加原理来得 出结果数量的。接下来给出排列数的定义及排列数的符号
p
。
n
r
中国教材是先给出两个具体的排列实例，让学生通过用前面所学的分步乘法
计数原理来计算例题的结果， 从而一次性给出排列的定义和排列数定义及符号表
示，并且定义比较趋于符号化，最后再把以上的两个问 题结果用排列数符号表示
出来，达到现学现用的目的。而澳大利亚教材，是直接给出排列的定义，并且这
个定义趋于文字化，之后只给出了例子加以说明排列的定义，这使学生目标很明
确地去掌握排列 的定义。
2.2排列数计算公式得出比较
2.2.1中国教材排列数计算公式的给出 根据教材的两个问题，问题1：从甲乙丙3位同学中选出2位参加一项活动，
其中1位同学参加上午 的活动，另一位参加下午的活动，有多少种不同的选法？
2
分析：问题1是求从3个不同的元素 中取出2个元素的排列数，记为
A
3
?3?2?6
;
问题2:从1, 2,3,4这4个数字中，每次都取出3个组成一个三位数，一共可得
到多少个不同的数？分析：问题2 是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列
3
?4?3?2?24
数，记为
A
4
2
接下来，根据问题1和问题2的经验，让学生计算排列数
A
n
。
分析：从
n
个不同的元素中取出2个元素的排列数。假设有排好顺序的 两个
空位,从
n
个元素中任取2个去填空，一种填法就得到对应的一种排列，也就是< br>说，每一种排列都可以由一种对应的填法得到。所以，所有填法的种数就是排列
数
An
。
2
2

现在计算有多少种填 法，完成填空这件事可以分为两个步骤：第1步，填第
1个位置的元素，可以从这
n
个 元素中任选1个，一共有
n
种方法；第2步，填
第2个位置的元素，可以从剩下的(n?1)
个元素中任选1个，有
(n?1)
种方法。
2
再根据 分步乘法计数原理可得
A
n
?n(n?1)
。同理可以得到，
3A
n
?n(n?1)(n?2)
......于是 可以得到
A
n
m

第1位 第2位 第3位 第m位
...
n
种
(n?1)
种
(n?2)
种
(n?m?1)
种
根据分步乘法计数原理，可以知道填以上空的方法一共有
n(n?1)(n?2).n.?.(m?1 )
种填法。这样就得出排列数公式一：
m
A
n
?n(n?1)(n? 2)...(n?m?1)
，其中
n,m?N
*
并且
m?n
。得出排列数计算
公式一之后，教材又给出了阶乘的定义：正整数1到
n
的连乘积， 叫做
n
的阶乘，
用
n!
表示。
再在认识了阶乘这一个概 念之后，教材给出了一个例题。即，用计算器计
45
1813
算：（1）
A< br>10
; (2)
A
18
; (3)
A
18
.
?A
13
n
A
n
n!
A?
n?m
?
具不具有一般性呢？也就是 是否成立？接下就来证明
A
n?m
(n?m)!
m
n
51813
通过计算， 可以由（2），（3）知道，
A
18
，进而就猜想这个结果
?A
18
?A
13
猜想：
m
A
n
?n(n?1)(n?2 )...(n?m?1)
?
n?(n?1)?(n?2)?...?(n?m?1)?(n?m )?...?2?1
(n?m)?...?2?1
n
A
n
n!
??
n?m
(n?m)!A
n?m

m
得以证明，从而排 列数计算公式一：
A
n
?n(n?1)(n?2)...(n?m?1)
还可 以写
m
A
n
?
成排列数公式二：

从以上可 以看出，中国对排列数计算公式二的给出是采用先假设后证明的方
法，直接是以一个用计算器计算的例题 为背景，从而观察计算结果，让学生自己
假设排列数计算公式二的存在，并由老师带领共同证明。这符合 学生的认知能力，
而且让学生在假设与证明的过程中锻炼其思维。
n!
(n?m)!
2.2.2澳大利亚教材排列数计算公式的给出
中国是先 得出排列数公式一之后，再来介绍阶乘的概念，但是澳大利亚，先
用了1个课时的内容来讲阶乘，其中包 括了阶乘的定义以及阶乘的计算方法。在
由阶乘这个知识做铺垫的前提下，得出排列数的计算公式。具体 分析如下：
3

澳大利亚教材先给出一个例题：写出把三个字母A,B,C 进行排列的所有方
法。
方法1：由于元素只有3个，所以可以直接用列举法一一写出来，如下：ABC ACB
BAC BCA CAB CBA
方法2：和中国教材一样，用分步乘法计数原理来计算，同样用填空的方法来求
排列的种数。

第1位 第2位 第3位
3 2 1
=6种

接下来又提出来，当有不 同的10个字母时，从其中任选3个进行排列，问
有几种结果？此时用方法1，一一列举出来有很大的困 难，所以选择方法2，可
以得到：
第1位 第2位 第3位
10 9 8
=720种

这时可以根据阶乘的有关知识知道有以下的式子成立，即

10?9?8?
10?9?8?7?6?5?4?3?2?110!10!
??
7?6?5?4?3? 2?17!(10?3)!
澳大利亚教材接着就给出了排列数的定义及排列数的符号表示：根据以上，< br>我们可以知道，从
n
个元素中取出
r
个元素的所有不同排列的种数叫做 排列数，
n!
n
P?
用符号
n
P
r
表示。 其中得出排列数计算公式二： （
n,r?N
*
并且
r?n
）。
r
(n?r)!
澳大利亚教材接着又把以上排列数计算公式二的阶乘展开 ，就得到了另外排列数
)(n?2)...(n?r?1)
。 计算公式一：
Pr
?n(n?1
中国教材在给出排列数计算公式的时候，是先根据用分步乘法计数原理解决
m
?n(n?1)(n?2)...(n?m?1)
，接下来再介绍例题，得到排列数 计算公式一：
A
n
n
阶乘的概念，再通过一个计算排列数的例子，从而证明得 出了排列数计算公式二：
n!
m
A
n
?
但是澳大利亚教材在处理这部分的知识点时，和中国教材有很大
(n?m)!
，
的不同 之处，他们先不讲排列数及排列数的计算公式，是先用一节的内容来讲阶
乘及其相关知识，接着给出一个 例子用分步乘法计数原理得出一个式子，然后又
用阶乘把这个式子表示出来，接着就把含阶乘的这个式子 记作排列数的计算公式
n!
m
P?
A
n

?n(n?1)(n?2)...(n?r?1)
二： ，但是可以看到中 国教材是在得到公式一：
r
(n?r)!
n
时，才得出此计算公式二。澳大利 亚教材接下来又用计算阶乘的方法把公式二中
P
r
?n(n?1)(n?2)...( n?r?1)
。 的阶乘展开，从而得出排列数计算公式一：
n

3教材内容的比较
4

每个国家的国情不同，自然对人才的需求也 就会不一样，所以在培养人才时
就会有不一样的要求，当然这个要求的不同最明显就是各国教学的教材不 同。同
样中国的数学教材“排列”内容与澳大利亚的这一知识点，除了在教材的编排上
有很大的 不同点外，他们二者在教材内容上也有很大的不同。
中国人教版教材在讲排列的时候，只涉及到排列对 象都是没有重复的情况，
没有讨论排列对象重复的情况，比如：给A,A,B,C这四个字母进行排列一 共有几
种排列方法？在中国的高中教材中并没有具体涉及到，在有些课外习题里会出现
这类情况 ，但是爱教材里没有具体的讲解，更没有具体的排列数计算公式来解决
这类问题；中国教材也没有讲一个 圈里的排列，例如：10个小孩手拉手围成一
个圆圈有几种排列方法？这类排列在中国教材里是没有涉及 到的，就连中国学生
在做课外题时也很少会遇到这类的题型。但是澳大利亚就讲解了这两部分的内
容：涉及限制的排列（排列对象有重复的排列）和一个圈里的排列。接下来重点
介绍，澳大利亚教材排 列中的这两种情况。
3.1涉及限制的排列
澳大利亚教材里，先给出了一个例题： 有字母A,A,A,B,C,D,E,我们可以将
A,A,A标记为,
A
1
，
A
2
,
A
3
,然后给这7个字母进行排列如下：
A
1

A
2

A
3
BCDE ....... ....... ....... and so on
A
1

A
3

A
2
BCDE ....... ....... ....... and so on
A
2

A
1

A
3
BCDE ....... ....... ....... and so on
A
2

A
3

A
1
BCDE ....... ....... ....... and so on
A
3

A
1

A
2
BCDE ....... ....... ....... and so on
A
3

A
1

A
2
BCDE ....... ....... ....... and so on
7
从以上所有情况我们可以看出，我们可以计算出：< br>P
7
?7!?5040
种排列方法。
但是
A
1
，
A
2
，
A
3
是3个相同的字母，所以上面的6种情况实 际上只有1种，也
就是说，要用总排列数除以我们的6，其中6是由3的全排列得到的，即：

7
n
1
个所以,有以下的结论成立：在一般情况下，给
n
个 元素进行排列，其中有
元素是相同的，那么排列数为
n
1
!
n !
p
7
7!5040
???840
3!3!6
n!
n
3
个元素是同一类，等等，那么排列数就是： 元素是同一类，有 n
1
!
n
2
!
n
3
!...
。
n
2
个
n
1
个元素是同一类，以此类推，就得到：给< br>n
个元素进行排列，其中有 有
3.2一个圈里的排列
同样的先给出 一个例子：在学校的游乐场上画了一个圆圈，安娜，贝蒂和林
站在圆周上有多少种不同的安排？当把安娜 看做一个锁定的目标，那么贝蒂和林
围绕安娜就有
2!
种排列方法，把
2!< br>与3的全排列
3!
进行比较：
5

ABL BAL BLA LBA ALB LAB
(A 是安娜, B 是贝蒂, L 是林)
大家不难发现，把3个不同元素在一个圈里进行排列，排列数
2!?(3?1)!.
接下来把4个不同元素在一个圈里进行排列，情况如下：同样将4个人中一个人
固定，剩 下的3个人围绕着这个固定的人有
3!
种排列方法，即4个不同元素在一
个圈里排列的 排列数为
3!?(4?1)!
最后得出以下的结论：
n
个不同元素排成一个< br>圈有
(n?1)!
种排列方法。
通过介绍涉及限制的排列和一个圈里的排列这 两个知识点，可以看出澳大利
亚教材比中国教材所涉及的知识点要全面，这样一是可以开阔学生的思维， 让他
们从无重复元素的排列过度到有重复元素情况的排列、从线型排列过度到一个圈
里的排列， 使其对排列这一知识点有更深层的理解；二是可以使学生更加地学以
致用，一个圈里的排列在实际生活中 也常常出现。澳大利亚教材知识点虽然更加
全面，但是这也加重了高中生的负担。
4结论 < br>任何事物都有两面性，所以在比较中国和澳大利亚的数学教材时，不可以片
面的说，哪个国家的教 材编排及内容更合理，更适合学生的学习。但是，经过对
中国与澳大利亚高中教材排列的内容进行比较， 我们可以看出，中国教材内容很
少，只有单纯的给不同元素进行直线排列的情况，而澳大利亚涉及到了有 排列元
素相同的情况，还涉及到排列成一个圈的情况。显然，中国对学生的要求相对澳
大利亚对 学生的要求就比较低，这样，中国学生的思维就没有澳大利亚学生的思
维发散。还可以看出，中国在对这 部分内容的编排上少了对阶乘的具体编排，只
是在给出第二种排列数的计算公式前做了一个补充，但是澳 大利亚则编排了一节
的内容来对阶乘进行讲解，这更加说明了中国学生没有澳大利亚学生的数学知识丰富。我认为每个国家对教材的编排及内容选取，应该多以发散学生思维为标准，
要打破以考试为目 的的教学思想。
致谢：
本论文是在文萍导师的耐心指导下完成的。在此，向导师表示崇高的敬意和
衷心的感谢！

参考文献:
［1］豪森博士. 八年级数学教科书:比较研究文献[M]. 温哥华:太平洋教育出版
社,1995:5-6.
［2］高中数学教材人教版普通高中课程标准实验教科书（A版选修2-3）[M] ,2005.

6

A comparative study of the contents of
the Chinese and Australian high school mathematics
textbooks
Duanli
Supervisor:Wenping
(Mathematics and Applie
Mathematics,Faculty of reason,Yuxi Normal University,Yuxi 653100)
【Abstract】Due to the different cultural backgrounds, teaching methods and students'
situation, there are great differences in teaching materials in different this
paper, the “arrangement” of the knowledge point of the Chinese version of the high
school mathematics teaching materials and the 11 Australian mam teaching materials
for comparative analysis,mainly through the knowledge of the way, the content of the
teaching materials to compare, and make a summary of views.

【Keywords】：Arrangement; teaching materials of China and
Australia;comparative study；senior high school mathematics；

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