2017-2018学年高中数学选修4-4教材用书：第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1.参数方程

一曲线的参数方程 1．参数方程的概念

1．参数方程的概念
?
?
x
＝
f
?
在平面直角坐标系中，曲线上任一点 的坐标
x
，
y
都是某个变数
t
的函数：
?
y
＝
g
?
t
t

①，并且对于
t
的每一个允许值，由方程组①所确定的点
M
(
x
，
y
)都在 这条曲线上，那么方
程组①就叫这条曲线的参数方程，
t
叫做参变数，简称参数．相对 于参数方程而言，直接给
出坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．参数的意义
参数 是联系变数
x
，
y
的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以 是没
有明显实际意义的变数．




求曲线的参数方程

如图，△
ABP
是等腰直角三角形，∠
B< br>是直角，腰长为
a
，顶
点
B
，
A
分别在x
轴、
y
轴上滑动，求点
P
在第一象限的轨迹的参数
方 程．
此类问题的关键是参数的选取．本例中由于
A
，
B
的滑动而 引起点
P
的运动，故可以
OB
的长为参数，或以角为参数，不妨取
B P
与
x
轴正向夹角为参数来求解．
法一：设
P
点的坐标 为(
x
，
y
)，过
P
点作
x
轴的垂线交< br>x
轴于点
Q
.

如图所示，则Rt△
OAB
≌Rt△
QBP
.
取
OB
＝
t
，
t
为参数(0＜
t
＜
a
)．
∵|
OA
|＝
a
－
t
，
∴|
BQ
|＝
a
－
t
.
22
22

?
x
＝
t
＋
a
2
－
t
2
，
∴点
P
在第一象限的轨迹的参数方程为
?
?
y
＝
t

(0＜
t
＜
a
)．
法二：设点
P
的坐标 为(
x
，
y
)，过点
P
作
x
轴的垂线交< br>x
轴于点
Q
，如图所示．

取∠
QBP
＝θ，
π
??
θ为参数
?
0＜θ＜
?
，
2
??
则∠
ABO
＝
π
－θ.
2
在Rt△
OAB
中，
?
π
?
|
OB
|＝
a
cos
?
－θ
?
＝
a
sin θ.
?
2
?
在Rt△
QBP
中，
|
BQ
|＝
a
cos θ，|
PQ
|＝
a
sin θ.
∴点
P
在第一象限的轨迹的参数方程为
?
θ＋cos θ
?
x
＝
a
?
?
?
y
＝
a
sin θ
，

?
θ为参数，0＜θ＜
π
?
.
??
2
??

求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨 迹草图，设
M
(
x
，
y
)是轨迹上任意一点的坐标．画图时 要注意根据几何
条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数． 参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标
x
，
y
与参数的关系比 较明显，容易列出方程；二是
x
，
y
的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，
离某一定点 的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几 何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数
的函数关系式，证明可以省略．


π
1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为 rads，试以
60
时间
t
为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．

解：如图，运动开始时质点位于点
A
处，
?
?
x
＝2cos θ，
此时
t
＝0，设动点M
(
x
，
y
)对应时刻
t
，由图可知
?
?
y
＝2sin θ
?

(θ为参数)，
π
又θ＝
t
，
60
π
x
＝2cost
，
?
?
60
故参数方程为
?
π
y< br>＝2sin
t
?
?
60

(
t
为参数)．
2．选取适当的参数，把直线方程
y
＝2
x
＋3化为参数方程． < br>解：选
t
＝
x
，则
y
＝2
t
＋3.
?
?
x
＝
t
，
由此得直线的参数方程为
?
?
y
＝2
t
＋3
?

(
t
为参数)．
也可选
t
＝
x
＋1，则
y
＝2
t
＋1.
参数方程为
?
?
x＝
t
－1，
?
?
?
y
＝2
t
＋1

(
t
为参数).

参数方程表示的曲线上的点
已知曲线
C
的参数方程是
?
(
t
为参数)．
?< br>x
＝3
t
，
?
?
?
y
＝2
t
＋1
2


(1)判断点
M
1
(0,1 )，
M
2
(5,4)与曲线
C
的位置关系；
(2)已知点
M
3
(6，
a
)在曲线
C
上，求
a
的值．
由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲
线上，否则不在曲线上．
?
?
0＝3
t
，
(1)把点< br>M
1
的坐标(0,1)代入方程组，得
?
2
?
1＝2
t
＋1.
?


解得
t
＝0.∴点
M
1
在曲线
C
上．
同理，可知点
M
2
不在曲线
C
上．
?
?
6＝3
t
，
(2)∵点
M
3
(6，
a)在曲线
C
上，∴
?
2
?
a
＝2
t< br>＋1.
?

解得
t
＝2，
a
＝9.
∴
a
＝9.

参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标
方程下的判断方法是一致的．


3．曲线(
x
－1)＋
y
＝4上的点可以表示为( )
A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ)
C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
22
解析：选D 将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．
4．已知某条曲线C
的参数方程为
?
在该曲线上，求常数
a
.
解：∵点
M
(5,4)在曲线
C
上，
?
?
5＝1＋2
t
，
∴
?
2
?
?
4＝
at
，
?
x
＝1＋2
t
，
?
?
?
y
＝
at
2

(其中
t
为参数，
a
∈R)，点
M
(5,4)
解得
?
?
t
＝2，
?
?
?
a
＝1.




∴
a
的值为1.

课时跟踪检测(七)
一、选择题
1．下列方程可以作为
x
轴的参数方程的是( )
?
?
x
＝
t
＋1，
A.
?
?
y
＝0；
?
2

(
t
为参数)
?
?
x
＝0，
B.
?
?
y
＝3
t
＋1；
?
?
?
x
＝1＋sin θ，
C.
?
?
y
＝0；
?

?
?
x
＝4
t
＋1，
(θ为参数) D.
?
?
y
＝0；
?


(
t
为参数)
(
t
为参数)
解析：选D
x
轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
4
?
?
x
＝6＋，
cos θ
2．已知曲线
C
的参数方程为
?
?
?
y
＝5tan θ－3
Μ(14，
a
)在曲线
C
上，则
a
等于( )

(θ为参数，π≤θ<2π)，若点

A．－3－53
C．－3＋
5
3
3
B．－3＋53
D．－3－
5
3
3
解析：选A ∵(14，
a
)在曲线
C
上，
4
?
?
14＝6＋， ①
cos θ
∴
?
?
?
a
＝5tan θ－3. ②


1
由①，得cos θ＝.又π≤θ＜2π，
2
∴sin θ＝－
3
?
1
?
2
1－
??
＝－，
2
?
2
?
∴tan θ＝－3.
∴
a
＝5·(－3)－3＝－3－53.
?
?
x
＝sin θ，
3．在方程
?
?
?
y
＝cos 2θ

(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7)
?12
??
11
?
B.
?
，
?
C.
?
，
?

?
33
??
22
?
D．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C
满足条件．
4．由方程
x
＋
y
－4
tx
－2
ty
＋3
t
－4＝0(
t
为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程
为( )
?
?
x
＝2
t
A.
?
?
y
＝< br>t
?
222
?
?
x
＝2
t
C.?
?
y
＝－
t
?



?
?
x
＝－2
t
B.
?
?
y
＝t
?
?
?
x
＝－2
t
D.
?
?
y
＝－
t
?





解析：选A 设(
x
，
y
)为所求轨迹上任一点．
由x
＋
y
－4
tx
－2
ty
＋3
t－4＝0，得
(
x
－2
t
)＋(
y
－
t
)＝4＋2
t
.
?
?
x
＝2
t，
∴
?
?
y
＝
t
.
?
222
222


二、填空题
?
?
x
＝2sin θ＋1，
5．已知曲线
?
?
?
y
＝sin θ＋3

(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：
A
(1,3)，
B(2,2)，
C
(－3,5)，其中在曲线上的点是________．

解析：将点
A
坐标代入方程，得θ＝0或π，
将点
B
，
C
坐标代入方程，方程无解，
故点
A
在曲线上．
答案：
A
(1,3)
6．下列各参数方程与方程
xy
＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
?
?
x
＝
t
，
①
?
2
?
?
y
＝－
t
，
2
?
?
x
＝tan
t
，
④
?
?
y
＝cot
t
.
?


?
?
x
＝sin
t
，
②
?
?
?
y
＝csc
t
，

?
?
x
＝cos
t
，
③
?
?
?
y
＝sec
t
，



解析：普通方程中，
x
，y
均为不等于0的实数，而①②③中
x
的取值依次为：，，故①
②③均不 正确，而④中，
x
∈R，
y
∈R，且
xy
＝1，故④正确．
答案：④
7．动点
M
作匀速直线运动，它在
x
轴和
y
轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，
点
M
位于
A(1,1)，则点
M
的参数方程为________________________．
解析：设
M
(
x
，
y
)，
则在
x
轴上的位移为
x
＝1＋9
t
，
在
y
轴上的位移为
y
＝1＋12
t
.
?
?
x
＝1＋9
t
，
∴参数方程为
?
??
y
＝1＋12
t
?
?
x
＝1＋9
t
，
答案：
?
?
?
y
＝1＋12
t

(
t
为参数)．

(
t
为参数)
三、解答题
8．已知动圆
x
＋
y
－2
ax
cos θ－2
by
sin θ＝0(
a
，
b
∈R
＋
，且
a
≠
b
，θ为参数)，求
圆心的轨迹方程．
解：设
P
(
x
，
y
)为所求轨迹上任一点．
由
x
＋
y
－2
ax
cos θ－2
by
sin θ＝0，得
(
x
－
a
cos θ)＋(
y
－
b
sin θ)＝
a
cosθ＋
b
sinθ.
?
?
x
＝
a
cos θ，
∴
?
?
y
＝
b
sin θ
?
222222
22
22

(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，
OA
是圆
C
的直 径，且
OA
＝2
a
，射线
OB
与圆交于
Q
点，和经过
A
点的切线交于
B
点，作
PQ
⊥
OA< br>，
PB
∥
OA
，试求点
P
的轨
迹方程．

解：设
P
(
x
，
y
)是轨迹上任意一点，取∠
DOQ
＝θ，
由
PQ
⊥
OA
，
PB
∥
OA
，得
x
＝
OD
＝
OQ
cos θ＝
OA
cos
2
θ＝2
a
cos
2
θ，
y
＝
AB
＝
OA
tan θ＝2
a
tan θ.
所以
P
点轨迹的参数方程为
?
?
x
＝2< br>a
cosθ，
?
?
?
y
＝2
a
ta n θ，
2

θ∈
?
－
?
π
，
π
?
.
?
?
22
?

10．试确定过
M
(0,1 )作椭圆
x
＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
4
解：设过
M
(0,1)的弦所在的直线方程为
y
＝
kx
＋1，
其与椭圆的交点 为(
x
1
，
y
1
)和(
x
2
，< br>y
2
)．
设中点
P
(
x
，
y)，则有：
x
＝
2
y
2
x
1
＋
x
2
2
，
y
＝
y
1
＋
y
2
2
.
y
＝
kx
＋1，
?
?
由
?
2
y
2
x
＋＝1，
?
4
?< br>22


得(
k
＋4)
y
－8
y< br>＋4－4
k
＝0.
∴
x
1
＋
x
2
＝
－2
k
8
，
y
1
＋
y
2
＝
2
.
2
k
＋4
k
＋4
2< br>?
?
∴
?
4
y
＝
?
?
k< br>＋4
2
k
x
＝－
2
，
k
＋4

(
k
为参数)．
这就是以动弦斜率
k
为参数的动弦中点的轨迹方程．

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