高一数学上学期教材教案全册

分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，并画出这个函
数的图像。
例7 作出函数 y=x
2
- 4|x|+1的图象


三、课堂练习：课本P51练习1，5，6； P56练习 1，2，3
四、作业 习题2.1 4，5，6（3）（4）（6）8

第三课时（2.1,2.2）
教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值
域.
2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.
重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.
教学过程：
一、 复习 函数的概念，函数的表示法
二、 例题
(x?0)
?
0
?
例1.
已知
f(x)?
?
?

(x?0)
. 求f(f(f(-1)))
?
x?1
(x?0)
?
（从里往外“拆”）
例2.
已知f(x)=x
2
?1 g(x)=
x?1
求f[g(x)]
（介绍复合函数的概念）
例3. 若函数
y?f(x)
的定义域为 [?1，1]，求函数
y?f(x?)?f(x?)
的定义域。
例4作出函数
y?x?1?x?2
的图像
（先化为分段函数，再作图象）
例5．作函数y=|x-2|(x＋1)的图像.
（先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页）

例6.作出函数
y?x?1
4
1
4
1
的图象
x
b
的图象，见课件第三页）
x
36
（用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课
件第二页，进一步介绍函数
y?ax?

三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6
四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练


第四课时（2.1，2.2）
教学目的：
1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值
域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力；
教学重点：值域的求法
教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法
教学过程：
一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；
定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定。 已学过的函数的值域
二、讲授新课
1．直接法：利用常见函数的值域来求
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1
?
x
?
1) ②
f(x)?2?4?x

③
y?
x
1
④
y?x?

x?1
x
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
y?x
2
?4x?1
； ②
y?x
2
?4x?1,x?[3,4]
；
③
y?x
2
?4x?1,x?[0,1]
； ④
y?x
2
?4x?1,x?[0,5]
；
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母中最高为二次式且至少有 一个为二次
式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论及函数的定义域.
x
2
?5x?6
例3．求函数
y?
2
的值域
x?x?6
37

4．换元法
例4．求函数
y?2x?41?x
的值域
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
三、单元小结：函数的概念，解析式，定义域，值域的求法.
四、 作业：《精析精练》P58智能达标训练


2.3 函数的单调性（3课时）
教学目的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；能利用函数的
单调性及对 称性作一些函数的图象.
教学重点：函数单调性的概念.
教学难点：函数单调性的证明
教学过程：
第一课时
教学目的：
（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概
念的大致意思。
（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图
象指出单调性、写 出单调区间。
（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定
义 证明简单函数的单调性。
教学重点：函数的单调性的概念；
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。
一、复习引入：
观察 二次函数y=x
2
，函数y=x
3
的图象，由形（自左到右）到数（在某一 区间
内，当自变量增大时，函数值的变化情况）(见课件第一页图1，2)
二、讲授新课
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2

⑴若当
x
1
<x
2
时，都有f(
x
1
)x
2
),则说f(x)在这个区间上是增函数（如图3）；
38

⑵若当
x
1
<
x
2
时，都有f(
x
1
)>f(< br>x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）.
说明：函数是增 函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一
些区间上是增函数，而在另一些区间上不 是增函数.例如函数y=
x
（图1），当
x∈[0,+
?
)时是增函 数，当x∈(-
?
,0)时是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减 函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有
（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单 调区间.此时也说函数是这一区间上
的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
三、讲解例题：
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)< br>的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.






例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
例3 证明函数f(x)=
2
1
在(0,+
?
)上是减函数.
x
例4．讨论函数
f(x)?x
2
?2ax?3
在(-2,2)内的单 调性.
三、练习 课本P59练习1，2
四、作业 课本P60 习题2.3 1，3，4
2.3 函数的单调性（第二课时）
教学目的：
1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解
复合函数单调性的判断方法.
2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.
教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.
教学难点：单调性的综合运用
39

一、复习引入：
1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.
2.判断证明函数单调性的一般步骤：（区间内）设量，作差（或比），变形，比较，判
断.
二、讲解新课：
1．函数单调性的判断与证明
例1．求函数
y?x?
1
的单调区间.
x
2．复合函数单调性的判断
对于函数
y?f(u)
和
u ?g(x)
，如果
u?g(x)
在区间
(a,b)
上是具有单调性，
当
x?(a,b)
时，
u?(m,n)
，且
y?f(u)< br>在区间
(m,n)
上也具有单调性，则复合函
数
y?f(g(x))< br>在区间
(a,b)
具有单调性的规律见下表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))

增 ↗
增 ↗
增 ↗
减 ↘
减 ↘
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
证明：①设
x
1
,x
2
?(a,b)
，且
x
1
?x
2

∵
u?g(x)
在
(a,b)
上是增函数，
∴
g (x
1
)?g(x
2
)
，且
g(x
1
), g(x
2
)?(m,n)

∵
y?f(u)
在
(m ,n)
上是增函数，∴
f(g(x
1
))?g((x
2
))
.
所以复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
上是增函数.
（同理可证其余三种情况）
例2．求函数
y?8?2(2?x)?(2?x)
的值域，并写出其单调区间。 解：题设函数由
y?f(u)?8?2u?u
和
u?g(x)?2?x
复 合而成的复合函
40
22
222

数，
函数
u?2?x
的值域是
(??,2]
，
在
(??,2]
上的值域是
(??,9]
.
故函数
y?8?2(2?x)?(2?x)
的值域是
(??,9]
.
对于函数的单调性，不难知二次函数
y?8?2u?u
在区间
(??,1)< br>上是减函数，
在区间
[1,??)
上是增函数；
二次函数
u ?2?x
区间
(??,0)
上是减函数，在区间
[0,??)
上是增 函数。
2
当
u?(??,1)
时，
2?x?(??,1)
，即
2?x?1
，
x??1
或
x?1
.
2
2
222
2
2
2
当
u?[1,??)
时，
2?x?[1,??)
，即
2?x?1
，
?1?x?1
.
2
x
u=g(x)
y=f(u)
y=f(g(x))
(??,?1)

增
增
增
2
[-1,0]
增
减
减
22
(0,1)
减
减
增
[1,??)

减
增
减
综上所述，函数
y?8?2(2?x)?(2?x)
在区间
(??,?1]
、
[0, 1]
上是增函
数；在区间
[?1,0]
、
(??,1]
上是 减函数。
三、课堂练习：课本P60练习：3，4
四、作业： 课本P60 习题2.3 6（2），7
补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且 f(x-1)2
-1),求x的取值范围.

2.3函数的单调性（第三课时）
教学目的：函数单调性的应用
41

重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.
教学过程
一、 复习引入 函数单调性的概念，复合函数的单调性.
二、 例题.
例1. 如果二次函数
f(x)?x?(a?1)x?5
在区间
(,1)
内是增函数，求f(2)的 取
2
1
2
值范围.
分析：由于f(2)=2
2
-(a-1) ×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y= - 2a+11的值
域，固应先求其定义域.
例2. 设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实数根.
分析：根据函数的单调性，用反证法证明.
例3. 设f(x)的定义域为
(0,??)，且在
(0,??)
上的增函数，
f
?
?
x
?
?
?f(x)?f(y).

?
y
?
（1） 求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);
（2） 若f(2)=1,解不等式
f(x)?f
?
?
1
?
?
?2.

?x?3
?
分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不等式；注意 ，
2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
例4.
x
2
?2x?a
,x?[1,??)
. 已知函数
f(x)?
x
（1） 当
a?
1
时，求函数f(x)的最小值；
2
（2） 若对任意
x?[1,??),f(x)?0
恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：（1）利用f(x)的单调性即可求最小值；
（2）利用函数的性质分类讨论解之.
例5.求函数
y??x
2
?2x?3
的单调区间.
分析：利用复合函数的单调性解题.
令
y?u,u??x
2< br>?2x?3,u??x
2
?2x?3?0,??3?x?1,
即函数的定
义域为[-3，1]；
再根据复合函数的单调性求出其单调区间.
三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.

42

2.4反函数（三课时）
教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
2.互为反函数的图象间的关系.
3.反函数性质的应用.
教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.
教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用.
教学过程：
第一课时
教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
2.互为反函数的图象间的关系.
教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.
教学难点：反函数的定义和求法。
教学过程：
一、复习引入：
由物体作 匀速直线运动的位移公式s=vt,（其中速度v是常量）s是时间t的
函数；可以变形为：
t ?
s
，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数.
v
又如，在函数
y?2x?6(x?R)
中，x是自变量，y是x的函数. 由
y?2x?6
中解出x，得到式子
x?
子
x?
y
?3(y?R)
. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式
2
y
?3
，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y
2
为自变量，x为y的 函数，定义域是y
?
R，值域是x
?
R.
s
上述两例中， 由函数s=vt得出了函数
t?
；由函数
y?2x?6
得出了函数
v
y
x??3
，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：< br>2
①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者
的定义 域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函
数.
二、讲解新课：
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x
表示出，得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过 x=
?
(y)，x在A中
都有唯一的值和它对应，那么，x=
?
(y )就表示y是自变量，x是自变量y的函数，
43

这样的函数x=
?
(y) (y
?
C)叫做函数y?f(x)(x?A)
的反函数，记作
x?f
习惯上改写成
y?f?1
?1
(y)
,
(x)

?1
开始的两个例 子：s=vt记为
f(t)?vt
，则它的反函数就可以写为
f
同样
y?2x?6
记为
f(x)?2x?6
，则它的反函数为：
f
?1< br>t
(t)?
，
v
(x)?
x
?3
.
2
从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射，
则它的 逆映射f
-1
: (x=f
-1
(y)) C→A 确定的函数x=f
-1
(y)(习惯上记为y=f
-1
(x))叫
做函数y=f(x)的的反函数.
即，函数
y?f (x)
是定义域A到值域C的映射，而它的反函数
y?f
集合C到集合A的映射，由此 可知：
1. 只有“一一映射”确定的函数才有反函数.如
y?x
2
（x?R）没有反函数, 而
y?x
2
,
x?[0,??)
有反函数是
y?
?1
(x)
是
x
x?[0,??)

2.互为反函数的定 义域和值域互换.即函数
y?f(x)
的定义域正好是它的反函
数
y?f?1
(x)
的值域；函数
y?f(x)
的值域正好是它的反函数
y?f
?1
(x)
的定义
?1
域.且
f[f

定义域
值 域
(x)]?x,f
?1
[f(x)]?x
（如下表）：
函数
y?f(x)

A
C
反函数
y?f
C
A
?1
?1
(x)

3. 函数
y?f(x)
与
y?f(x)
互为反函数。即
?1
若函数
y?f(x)
有反函数
y?f(x)
，那么函数
y?f
?1
(x)
的反函数就是
y?f(x)
.
三、例题：
例1．求下列函数的反函数：
①
y?3x?1(x?R)
； ②
y?x?1(x?R)
；
3
44

③
y?x?1(x?0)
； ④
y?
2x?3
(x?R,且x?1)
.
x?1
小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明
⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。
⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映
射。
例2．求函数
y?x
（
x?R
）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数< br>的图像。
解：（略）
它们的图像为： 由图象看出，函数
3
y?x
3
（
x?R
）和它的反函数
y?
3
x(x ?R)
的图象关于直线y=x对称.
一般地，函数
f(x)
的图象和它的反函数
f
?1
(x)
的图象关于直线y=x对称..
例3求函数
y?1?1?x
2
（?12
例4 已知
f(x)
=
x
-2x(x≥2),求
f
?1
(x)
.
2?4 ?4y
解法1：⑴令y=
x
-2x，解此关于x的方程得
x?
， < br>2
2
∵x≥2，∴
x?
2?4?4y
，即x=1+
1 ?y
--①,
2
⑵∵x≥2，由①式知
1?y
≥1，∴y≥0 --②,
⑶由①②得
f
?1
(x)
=1+
1?x
（x≥0，x∈R）；
2
22
解法2：⑴令y=
x
-2x=
(x?1)
-1，∴
(x?1)
=1+y，
∵x≥2，∴x-1≥1，∴ x-1=
1?y
--①,即x=1+
1?y
,
⑵∵x≥2，由①式知
1?y
≥1，∴y≥0,
2
⑶∴函数
f(x)
=
x
-2x(x≥2)的反函数是< br>f
?1
(x)
=1+
1?x
（x≥0）；
说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配
45

方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.
四、课堂练习：课本P63练习：1—4
五、课后作业：课本第64习题2.4：1（2）（3）（4）（6）（7）（8）；2.

2.4. 反函数（第二课时）
教学目的：
会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题.
教学重点：反函数性质的应用
教学难点：反函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；
2．互为反函数的两个函数
y?f( x)
与
y?f
?1
(x)
间的关系：
定义域、值域互换， 对应法则互逆，图象关于直线y=x对称；逆命题成立：
若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两 个函数一定是互为反函数.
3．反函数的求法：一解、二换、三注明
二、例题：
例1．求函数
y?
5x?8
的值域．
3x?2
分析：用“ 函数思想”求值域，即由y=f(x)求出x=
?(y)
,则使
?(y)
有意义的y
值的集合为原来函数的值域.
例2. 已知
f(x)
=
1
1
?1
(x<-1)，求
f(?)
；
2
31?x
y?1
1
2
x
，则=，∵x<-1，∴x=-
y
1?x
2
解法1：⑴令
f(x)
=y=
y?1
;且
y
y=
1
<0
2
1?x
?1
∴
f(x)
= -
x?1
(x<0)；∴
f
x
?1
1
(?)
=-2.
3
?1分析：由反函数的定义可知y=
f(x)
与y=
f
中的x为y=
f(x)
中的y, y=
f
?1
(x)
中，x,y互换，即 y =
f
?1
(x)
(x)
中的y为y=
f(x)
中的 x，反之亦然.本题
46

要求
f
1
11
( x<-1)中，当y=时，求x的值.
(?)
，即在函数
f(x)
=y=
?
33
1?x
2
11
2
解法2：令=，变形得x
=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.
?
2
3
1?x
?1
?1
例3.如果单调增函数y=
f(x)
与它的反函数y=f
直线y=x上.
(x)
的图象有交点，则交点必在
证明：若点(a, b)是函数y=
f(x)
与它的反函数y=
f
?1
b=f(a),b =
f(a)
,
?a?f(b),a?f(b)
.
?1
?1
(x)
的图象有交点，则
(1) 若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).
∵y=
f(x)
是增函数，∴b>a,这与a>b矛盾，∴a>b不成立.
（2）若a∵y=
f(x)
是增函数，∴bb矛盾，∴a综（1），（2）可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上.
说明：题中的y=
f(x)
是单调增函数的条件不可少，反例见课件.
由例 3的结论可知，若y=
f(x)
是单调增函数，则方程
f(x)?f(x)?f(x) ?x.
?1
x
2
?2
利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问 题，如方程
3x?2?
不易求
3
解，这里，
2
y?3x?2 (x?[,??))
是单调增函数，且它的反函数是
3
x
2
?2y?(x?0),?
原方程等价于
3x?2?x.
易得其解集为{1，2}.
3
例4.已知
f(x)?x,g(x)?
小值.
2
1x?5,F(x)?f[g
?1
(x)]?g
?1
[f(x)],
试求F（x）的最
2
1
x?5,?g
?1
(x)?2x?10(x ?R),又f(x)?x
2
,
2
?1?122
解：
?F(x )?f[g(x)]?g[f(x)]?(2x?10)?(2x?10)

g(x)?
?2x
2
?40x?110?2(x?10)
2
?90??90.
47

∴F(x)的最小值是-90.
三、练习：课本P63－64练习：5，6，7
四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6



2.4 反函数（第三课时）
教学目的：
1．求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数；
2. 利用反函数解决相关综合问题。
教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明
互为反函数的两个函数间的关系：
定义域，值域互换；x,y互换；
函数
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y?x< br>对称.
在对应区间同增 同减.
注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
2．函数
y?f(x)
、
y?f
?1
(x)
、
x?f(y)
、
x?f
?1
(y)
间的关系：
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
、
x?f(y)
与
x?f
?1< br>(y)
互为反函数；
y?f(x)
与
x?f
?1
( y)
、
x?f(y)
与
y?f
?1
(x)
为同一函 数。
二、讲解例题：
例1. 设函数y=
f(x)
=
?
?
x(x?0)
?
x(x?0)
2
，求它的反函数.
分析 ：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，
也应在不同的x范围内求其反函数 .
（答案
f
?1
?
x(x?0)
(x)
=
?
.）
x(x?0)
?
48

例2. 若点A( 1,2)既在函数
f(x)
=
ax?b
的图象上，又在
f(x)的反函数的
图象上，求a,b的值.
分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，注意到原来函数与其反函数x,y
互换，则 A(1,2)和A’（2，1）都在
f(x)
图象上.
解：由A(1,2)在
f(x)
=
ax?b
上，则有
a?b?2
--①；
由A (1,2)在其反函数图象上，可知
A'
(2,1)也在函数
f(x)
=ax?b
图象上，
∴又有
2a?b?1
--②，
解联立①②的方程组得a=-3,b=7.
例3．若
f(x?1)?x?2x(x? 0)
，试求反函数
y?f
?1
(x)
．
分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数
解析表达式．
注意：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．
例4.若函数
y?
略解：
y?
ax?1
有反函数，求a的取值范围.
x?2
ax?11?2y1
?x???2?a?.

x?2y?a2
3x?a
的图象与其反函数的图象总有公共点，求a的范围. 例5. 若函数
y?
略解：问题等价于关于x的方程
3x?a?x
有实数解，求a的范 围.

?
x
2
?3x?a?0
3x?a?x?
?
，注意到设一元二次方程的两根为x
1
,x
2
，

x?0
?
9

4
∵x
1+
x
2
=3,
?
方程x
2
-3x+a=0有正根的条件是
?9?4a?0,?a?
2
例6.已知函 数
f(x)?x?ax(x??1),
且函数f(x)具有反函数，求常数a 的取值
范围.设a
0
是满足上述条件的a的最大值，当a= a
0
时，求f(x)的反函数.
略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故
?
49
a
??1,?a?2,a
0
?2,

2

当a= a
0
=2时，
f(x)?x? 2x(x??1),即y?x?2x?(x?1)?1,

则
x??y?1?1,
故其反函数为
y??1?x?1(x??

1)
三、作业：《精析精练》P78 智能达标训练


二次函数在区间上的最值问题
教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；
2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.
教学重点：二次函数在区间上的最值问题
教学难点：含参问题的讨论.
教学过程：
一、 复习引入
1. 二次函数的概念和性质；
2. 单调函数的概念.
二、 例题
例1. 求函数
y?3x?12x?15
当自变量x在下列范围 内取值时的最值，
并求此函数取最值时的x值.
（1）
x?R;(2)0?
2
2
222
x?3;(3)?1?x?1.

例2. 求函数
y?x?2x?3
在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.
例3关于x的 方程
x?(k?2)x?k?3k?5?0
有两个实根α，β，求α
2
+β< br>2
的最
值.
例4.已知函数
2x?2ax?3
在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).
(1) 求g(a)的表达式；
(2) 求g(a)的最大值.
三、 作业
1. 函数yt=x
2
-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.
2. 关于x的不等式
9x?6ax?a?2a?6?0在[?,]
上恒成立，求实数 a
的取值范围.
3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，
50
22
2
22
11
33

西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的 一条折线表示；西红柿的种植成
本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收
益最大？


（注：市场售价和种植成本的单位：

2.5 指数（第一课时- 根式）
教学目的：掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中。
教学重点：根式的概念性质
教学难点：根式的概念
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念。

a?a?
?< br>a
?
?a
?
?
a(n?N*)

??
n个a
n
，时间单位：天）

a
0
?1(a?0)

a
2．运算性质：
?n
?
1
(a?0,n?N*)

n
a
Z)
Z)
51
(1).
m
a?m
n
n
a?
n
m?
a
n
a
n
(m?,n
b?(n
)

(2).(a?
(3)(a
n
b?)
3．注意
mn
(?m,n

Z)
?a

①
a?a
可看作
a?a
mnm?n
可归入性质（1） ∴
a ?a
=
a?a
mnm?n
=
a
m?n
；
a
n
a
n
n?n
a
n
n?n
②
()
可看作
a?b
可归入性质（3） ∴
()
=
a?b
=
n

b
bb
二、讲解新课：
1．方根
⑴计算（可用计算器）
①
3
= 9 ，则3是9的平方根 ；
②
(?5)
=－125 ，则－5是－125的立方根 ；
③若
6
=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；
④
3.7
=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：
n
一般地，若
x?a(n?1,n?N*)
则x叫做a的n次方根。
2
3
4
5
2.根式
（1）根式定义：式子
n
a
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 6
例如，27的3次方根表示为
3
27
，-32的5次方根表示为
5
?32
，
a
的3次方
根表示为
3
a
6
；16的4次方根表示为±
4
16
，即16的4次方根有两个，一
个 是
4
16
，另一个是 -
4
16
，它们绝对值相等而符号相反.
（2）实数集内方根的规定： < br>①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：
x?
n
a

n
x??a
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）.记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a
?
0时，
n
a
?
0 ，表示算术根，所以类似
4
16
= -2的写法是错误的.
3.根式的运算性质
52

根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，(
n
a
)
n
=a.例如，(
3
27
)
3
=27，(
5
?32
)
5
=-32.
②当n 为奇数时，
n
a
n
=a；当n为偶数时，
n
a
n< br>=|a|=
?
5
?
a(a?0)
.
?
?a (a?0)
5
例如，
3
(?2)
3
=-2，
2=2；
4
3
4
=3，
(?3)
2
=|-3|= 3.
⑶根式的基本性质：
np
（a
?
0）.
a
mp
?
n
a
m
，
2
注意，⑶中的a
?0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如
6
(?8)?
3
?8
.
用语言叙述上面三个公式：
⑴当根式有意义时，a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n 次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n
次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算 术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数
．．．．
和被开方数的指数都乘 以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
三、例题：
例1（课本第71页 例1）求值
①
3
(?8)
3
； ②
(?10)
2
； ③
4
(3?
?
)
； ④
(a?b)(a?b)
.去
掉‘a>b’呢？
例2求值：
42
(1)5?26?7?43?6?42;
(2)23?1.5?12
3
6

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
（2）根式的乘、除常化小数为分数；异次根式相乘要化为同次根式再相乘.
四、作业：习题2.5 1.
补充：1.计算：
12?3?(2?3)
.
2.化简：
a?
4
(1?a)
.

2.5 指数（第二课时-分指数1）
教学目的：
53
4

1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.
2.会对根式、分数指数幂进行互化.
教学重点：分数指数幂的概念与运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的运算性质：
a
m
?a
n
?a
m?n
(m,n?Z)

(a)?a
mnmn
(m,n?Z)

(ab)
n
?a
n
?b
n
(n?Z)
2．根式的运算性质：
n
①当n为任意正整数时，(
n
a
)=a.
②当n为奇数 时，
n
a
n
=a；当n为偶数时，
n
a
n
=|a|=
?
np
?
a(a?0)
.
?
?a(a?0)
⑶根式的基本性质：（a
?
0）.
a
mp
?
n
a
m
，
3．引例：当a＞0时
①
a
②
a
3
3
5
10
?a?a< br>
?a?a

2
3
4
12
3
210
5
12
③
a?a

④
a?a

二、讲解新课：
1.正数的正分数指数幂的意义
1
2
2
a
m
n
?
n
a
m
(a＞0,m,n∈N
*
,且n＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂
可以进行互化.
2.规定：
54

(1)
a
?
m
n
?
1
a
m
n
(a＞0，m,n∈N
*
,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到 有理数指数.当a＞0
时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r, s,均有
下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
a
r
? a
s
?a
r?s
(r,s?Q)
(a
r
)
s
?a
rs
(r,s?Q)
(ab)
r
?a
r?b
r
(r?Q)
说明：若a＞0，P是一个无理数，则
a
表示 一个确定的实数，上述有理指数幂
的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略< br>三、讲解例题：
例1求值：
8,100
2
3
?
1
2

p

1
?3
16
?
4
,(),()
.
481
3
例2用分数指数幂的形式表示下列各式：
a
2
? a,a
3
?
3
a
2
,aa
(式中a＞0)
例3计算下列各式（式中字母都是正数）
2
3
1
2
12
1
3
1
6
5
6
(1)(2ab)(?6ab )?(?3ab);
(2)(mn).
1
4
3
8
8

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘
除，并且 要注意符号。
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。
例4计算下列各式：
(1)
a
2
a?a
3
2
(a?0);

(2)(
3
25?125)?
4
5
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题按多项式除以单项式的法则处理，并把根式化成分数指数
55

幂的形式
再计算。
四、练习：课本P
14
练习
五、作业：
1.课本P
75
习题2.5 2.（2）（4）（6），3.（2）（4），4.（2）（4）（6）
2.5 指数(第三课时)
教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念
及运算法则 进行相关计算。
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质。
教学难点：准确应用计算.
教学过程：
一、复习引入：用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)
3
a?
4
a
（２）
aaa
（３）
3
(a?b)
2

（４）
4
(a?b)
3
（５）
3
ab
2
?a
2
b
（6）
4
(a
3
?b
3
)
2

二、例题：
例1 计算下列各式：
3
0
1
?
1
?2.5
16
(1).(2)?2?(2)
2
?(0.01)
0
;(?)
5415

(2).a
3
9
2< br>a
?3
?
1
2
3
a
?7
?
3
a
13
.(?1)
1
4
1
4
例2 化简：
(x?y)?(x?y)

例3 已知
a?a
1
2< br>?
1
2
1
2
?3
,求下列各式的值：
2?2
（1）a+a
-1
,
(2)a?a,(3)
a? a
a?a
1
2
3
2
?
3
2
12
.

?
分析：利用初中学过因式分解知识，设法从整体寻求结果与条件
a?a
系.
例4 若
S?(1?2
数表示）
56
?
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2
?
1
2
?3
的联
)(1?2
?
)(1 ?2)(1?2)(1?2)
.求S的值（.结果可用分数指
?
??

< br>分析：
令2
?
1
32
?a,?S=(1+a)(1+a
2
)(1?a
4
)(1?a
8
)(1?a
16
)
问题则易于解决.
三、练习：
1．练习：课本第78页 练习：4；习题：*6⑴，*7⑴.
四、作业：《精析精练》P83 智能达标训练.

课 题：2.6.1 指数函数1
教学目的： 理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.
教学重点：指数函数的图象、性质。
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
教学过程：
一、复习引入：
引例（P57）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1
个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是
y?2
.
在
y?2
中,指数x是自变量，底数2是一个大于0且不等于1的常量.
二、新授内容：
1．指数函数的定义：
函数
y?a(a?0且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a
?
1呢？
探究2：函数
y?2?3
x
是指数函数吗？
2.指数函数的图象和性质：
x
x
x
?
1
?x
在同一坐标系中分别作出函数y=
2
，y=
??
，的图象.
?
2
?
列表如下：
x
y=
2

x
x
x
… -3
… 0.13
-2
0.25
4
-1
0.5
2
-0.5
0.71
1.4
57
0 0.5
1 1.4
1
2
0.5
2
4
0.25
3
8
0.13
…
…
…
?
1
?
y=
??

… 8
?
2
?
1 0.71

12
10
8
y=
??
1
2
x
6
y=2
x
4
2
-10-5510
-2

?
1
?
x
我们观察y=
2
，y=
??
的图象特征，就可以得到 < br>?
2
?
x
y?a
x
(a?0且a?1)
的图 象和性质。


图

象
a>1
4.5
4
04.5
4
3.5
3.53
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
0.5
y=1
0.5
-4-3-2-11234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5
-1
-1


性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0（5）在 R上是增函数
(4)x>0时，01.
（5）在R上是减函数
三、例题：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的< br>84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量
留是原来的 一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列 表、描点、
作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
58

经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量 y=0.84
x

根据这个函数关系式可以列表如下：
x
y
0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
6
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象。从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①
1.7
2.5
，
1.7
； ②
0.8
3?0.1
，
0.8
?0.2
； ③
1.7
0.3
，
0.9
3.1

四、练习：⑴比较大小：
(?2.5)
,
(?2.5)

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
2
3
4
5
22
()
m
?()
n
?
m < n；
1.1
m
?1.1
n
?
m < n.
33
0
⑶比较下列各数的大小：
1,

0.4
?2.5
,

2
?0.2
，
2.5
1.6

五、课后作业：课本P73 习题2.6 1，2, 3, 4, 5.

2.6 指数函数（第二课时）
教学目的：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
2.掌握指数形式的复合函数的定义域、值域，判断其单调性；
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
教学过程：
一、复习引入：
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象和性质。（见课件）
二、讲授范例：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴
y?0.4
1
x?1
⑵
y?3
5x?1
⑶
y?2?1

x
59

（1） 题析解：函数
y?0.4
1
x?1
由
y?0.4和u?
u
1
复合而成，由x-1≠0
x?1
(1,?? )
；
(1,??
.
)
得x≠1， 所以，所求函数定义域为
(??,1)
又
u?
1
?0? ,y?
，故函数的值域为
1
(??,1)
x?1
5x?1
复 合而成.
u
（2）该函数看成由函数
y?3和u?
由5x-1≥0得
x?
1

5
1
5
所以，所求函数定义域为
[,??)
；
又由
5x?1
≥0得y≥1
所以，所求函数值域为
[1,??)
.
（3）（略）
例2求函数
y?
??
?
1
?
?
2
?
x
2
?2x
的单调区间，并证明
解法1（定义法，求商比较）
解法二、（用复合函数的单调性）：
?
1
?
设：
u?x
2
?2x
则：
y?
??
.根据二次函数和指数函数的单调性，列表：
?
2
?
x
u
(??,1]

减
[1,??)

减
?
1
?
y?
??

?
2
?
u
u?x
2
?2x

?< br>1
?
y?
??
?
2
?
x
2
?2x
减 增

增 减
60

∴
y?< br>??
?
1
?
?
2
?
x
2
? 2x
在
(??,1]
是增函数，在
[1,??)
是减函数
x
2
?2x
引申：求函数
y?
??
?
1
?
?
2
?
的值域 （
0?y?2
）
例3设a是实数，
f(x)?a?
2
(x?R)

x
2?1
试证明对于任意a,
f(x)
为增函数；
分析： 此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明。还应要求学
生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设
x
1
,x
2
∈R,且
x
1
?x
2

22
f(x
1
)?f(x
2)?(a?
x
1
)?(a?
x
2
2?12?1)
则
222(2
x
1
?2
x
2
)
?
x
2
?
x
1
?
x
1
2?12(2?1) (2
x
2
?1)

x
由于指数函数 y=
2
在R上是增函数,且
x
1
?x
2
,
所以
xx
2
x
1
?2
x
2
即
2
1
?2
2
?0
，
x
x
x
又由< br>2
>0得
2
1
+1>0,
2
2
+1>0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
<0即
f( x
1
)?f(x
2
)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，
f(x)
为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
三、练习：
求下列函数的定义域和值域：
1
⑴
y?1?a
⑵
y?()
x?3

2
x
1
四、作业：课本P73习题2.6 3，4，5

61

2.6 指数函数（第三课时）
教学目的：了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.
教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用.
教学过程：
一、复习引入：指 数函数
y?a
?
a?0,a?0
?
的定义、图像、性质（定义域、值 域、
x
单调性）
二、新授内容：
例1.说明下列函数的图象与指数函数y =2
x
的图象的关系，
并画出它们的示意图.
（1）y=2
x+1
; (2) y=2
x-2

解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3
0.12
5
0.25
0.31
25
5
0.5
0.6
25
11
10
-2
0.2
-1
0.5
1
0.1
25
0
1
2
0.
25 .5
1
2
4
0
2
4
8
1
3
8
1
6
2
2

2
x?1

x
2
x?2

9
8< br>7
6
5
y=2
x
y=2
x-2
246810
4
3
2
y=2
x+1
-10-8-6-4-2
1< br>-1
-2

x
比较函数y=
2
x?1
与y=
2
的关系：将指数函数y=
2
的图象向左平行移动1个单
x?1x
位长度，就得到函数y=
2
的图象，
62

比较函数y=
2
x?2
与y=
2
x
的关系：将指数函数y =
2
x
的图象向右平行移动2个单位长
度，就得到函数y=
2
x?2
的图象。
?
1
??
1
??
1
?
例2 ⑴已知函数
y?
??
，求定义域、值域，并探讨
y?
??
与
y ?
??
图
?
2
?
?
2
??
2?
像的关系。
xxx
?
?
1
?
x
?
??
,x?0
解：
y?
?
?
2
?
定义域：x?R 值域：
0?y?1

?
2
x
,x?0
?
?
1
?
?
1
?
关系：将
y?
??
的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到
y?
??
的图
?
2
??
2
?
像，关于y轴对称.
x?1x?1
x
x
?
1
?
⑵已知函数
y ?
??
?
2
?
?
1
?
y?
??< br>?
2
?
x?1
?
1
?
作出函数图像，求定义 域、值域，并探讨
y?
??
?
2
?
与
图像的关系。
?
?
1
?
x?1
?
??
,x?1
解：
y?
?
?
2
?
定义域：x?R 值域：
0?y?1

?
2
x?1
,x?1
??
1
?
关系：将
y?
??
?
2
??
1
?
得到
y?
??
?
2
?
x?1
x?1
（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧
的图像 ，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图或
翻转等方法，得 到我们所要求作的复合函数的图象，目前，我们遇到的有以下几种形
式：

63

函 数
y=f(x+a)
y=f(x)+a
y=f(-x)
y=-f(x)
y=-f(-x)
y=f(|x|)
y=|f(x)|
y=f(x)
a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|)的图象关于y轴 对称，x
?
0时函数即y=f(x)，所以x<0
时的图象与x
?
0 时y=f(x)的图象关于y轴对称.
?
f(x),(f(x)?0)；
∵
y?f(x)?
?
，∴y=|f(x)|的图象是
?f(x),(f(x)?0).< br>?
y=f(x)图象局部翻转（x轴下方部分翻转180
0
）所得图象的组合.
＝
?1
y
y=
f(x)
与y=f(x)的图象关于直线y= x对称.
f
?1
(x)

x
例3观察函数
y?a
和
y?a
并证明关于y轴对称。
?x

(a?0且a?1)
的图象的关系，（课件第3页）
例4利用函数
y?3< br>的图象作函数
y?|3?1|
的图象，并利用图象回答：k为
何值时，方程|3?1|?k
无解？有一解？有两解？
（见课件第4页）







四、课后作业：
课本P102复习参考题二 A组 13 B组 1，2，6.

2.6指数函数（第四课时）
教学目的：利用指数函数的概念和性质解题
重点难点：综合应用相关概念和性质
教学过程：
64
x
xx

一、 复习：复习指数函数的性质，二次函数的单调性.
二、 例题
例1. 求函数
y?3
?x
u
2
?2x?3
的单调区间和值域. < br>分析：由
y?3,u??x?2x?3
的单调性，根据复合函数单调性的求法确定函数的
单调区间.
由
u??x?2x?3??(x?1)?4?4
及 y=3
u
的单调性求函数的值域；注意
y>0学生容易遗漏.
例2. 设< br>y
1
?a
2x
,y
2
?a
x
22
22
?3
,(a?0,a?1)
.x为何值时，有（1）y
1
=y
2
（2）y
1
2
.
分析：（1）利用同底数幂相等，指数相等，把问题转化为代数方程求解.
（2）注意分类讨论，根据指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解.
a
x
?1
(a?0,a?1)
. 例3.已知函数
f(x)?
x
a?1
（1）求f(x)的定义域和值域； （2）讨论f(x)的单调区间.
思路引导：（1）求值域中，由题设得
a??
x
y?1
后应注意到a
x
>0;问题转化为关于y
y?1
的分式不等式.
（2）无论a>0还是0a
x
?12
?1?
x
要对其 变形：
f(x)?
x
再分类讨论.
a?1a?1
例4.已知
a,b?R,且a?b,
试求函数
f(x)?[a
?
2x
?(ab )?2b]
的定义域.
x2x
?
1
2
aa
?a
??
a
?
a
2x
?(ab)
x
?2 b
2x
?0?()
2x
?()
x
?2?0?
?()
x
?2
??
()
x
?1
?
?0< br>bb
?
b
??
b
?
分析：
aa
?( )
x
?1?0,?()
x
?0.
bb
再分b>a和a三、作业：《精析精练》P88 智能达标训练

65

2.7对数（第一课时， 对数的概念）
教学目的：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；
教学重点：对数的概念
教学难点：对数概念的理解.
教学过程：
一、实例引入：
假设200 2年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多
少年国民生产总值是2002年的 2倍？
抽象出：
?
1?8%
?
=2
?
x=?
x
也是已知底数和幂的值，求指数。怎样求呢？
二、新授内容：
1.对数的定义：一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a?N
，
b
那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N叫做真
数。

22
例如：
4?16

?

log
4
16?2

10?100
?
log
10
100?2

4?2

?
log
4
2?
1
2
1
?2
;
10?0.01
?
log
10
0.01??2

2
根据对数的定义可知：底数的取值范围
(0,1)?(1,??)
；真数的 取值范围范围
(0,??)
，即负数与零没有对数.
2.对数中几个常用的恒等式：
（1）
log
a
1?0
； （2）
log
a
a?1

（3）对数恒等式
b
如果把
a?N
中的 b写成
log
a
N
, 则有
a
log
a
N
?N

3.常用对数和自然对数：
（1）常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用
66

对数
log
10
N
简记作lgN.
例如：
log
10
5
简记作lg5
log
10
3.5
简记作lg3.5.
（2）.自然对数：在科学 技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，
以e为底的对数叫自然对数，为了简便， N的自然对数
log
e
N
简记作lnN.
例如：
log
e
3
简记作ln3
log
e
10
简记作ln10
三、讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：
（1）
5
=625 （2）
2
=
4
?6
1
1
m
a
（3）
3
=27 (4) =5.73
（）
64
3
例2 将下列对数式写成指数式：
（1）
log
1
16??4
； （2）
log
1
128=-7；
2
2
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
例3计算： ⑴
log
9
27
，⑵
log
43
81
，⑶
log
?
2?3
?
2?3
，⑷
log
3
5
4
625

四、练习：课76 1—4
1.把下列指数式写成对数式
?
1
1
(1)
2
＝８ （２）
2
＝32 （３）
2
＝（４）
27
3
?

3
2
1
??
35?1
2.把下列对数式写成指数式
(1)
log
3
９＝２ （２）
log
5
１２５＝３
（３）
log
2


2.7(第二课时，对数的运算性质)
教学目的：
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2．能较熟练地运用法则解决问题；
教学重点：对数运算性质
67
11
＝－２ （４）
log
＝－４
3
481
五、作业：课本P79 习题2.7 1，2

教学难点：对数运算性质的证明方法.
教学过程：
一、复习引入：
1．对数的定义
log
a
N?b
其中 a
?
(0,1)?(1,??)
与 N
?
(0,??)
。
2．指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵
log
a
1?0
，
log
a
a?1
⑶对数恒等式
a
lo
a
gN
?N

a
m< br>?a
n
?a
m?n
(m,n?R)
4．指数运算法则
(a)?a
mnmn
(m,n?R)

(ab)
n
?a
n
?b
n
(n?R)
二、新授内容：
1.积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：
log
a
(MN)?log
a
M?log
a< br>N(1)
M
log
a
?log
a
M?log
a
N(2)

N
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)(3)
运算法则推导 用定义法：运用转化的思想，先通过假设，将 对数式化成指数式，
并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数
式。（推导过程略）
注意事项：
1?语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达——记忆用）
2?注意有时必须逆向运算：如
log
10
5?log
10
2?log
10
10?1

3?注意定义域：
log
2
(?3)(?5)?log
2
(?3)?log
2
(?5)
是不成立的
2

log
10
(?10)?2log
10
(?10)
是不成立 的
4?当心记忆错误：
log
a
(MN)?log
a
M? log
a
N


log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N< br>
2.常用对数的首数和尾数 （大纲未要求，只用实例介绍）
科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即
68

< br>若N>0,记
N?10?m,(n?Z,1?m?10)
，则
n
lgN =n+lgm,其中
n?Z,0?lm?1;
这就是说，任何一个正数的常用对数都可以写成一 个整数加上一个
零或正纯小数的形式.我们称这个整数为该对数的首数，这个零或正纯小数为该对数的尾数.
如：已知
lg1.28?0.1070,
则
三、例题：
例1 计算
（1）
log
5
25， （2）
log
0.4
1， （3）
log
2
（
4
7
×
2
5
）， （4）lg
5
100

例2 用
log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示下列各式：
lg128?lg(10
2
?1.28)?2?0.1070?2.1070;
lg0.00128?lg(10?1. 28)??3?0.1070?3.1070
?3

xy
(1)log
a
;
z
例3计算：
(1)lg 14-2lg
(2)log
a
x
2
y
3
z

lg243
7
lg27?lg8?3lg10
+lg7-lg18 (2) (3)
lg9
3
lg1.2
(1) 分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算（答案：0）.
lg243lg3
5
5lg35
(2)???
2
lg92lg32
lg3
(3)
lg27?lg8?3lg10lg(3)?lg2?3lg(10)
?
3?2
2< br>lg1.2
lg
10
1
3
2
3
1
2
3
(lg3?2lg2?1)
3
?
2
?

lg3?2lg2?12
四、课堂练习：课本P78 1，3
1. 用lg
ｘ
，lg
ｙ
，lg
ｚ
表示下列各式：
69

xy
3
xy
2
x
(1) lg（xyz）； （２）lg； （３）
lg
； （４）
lg
2

z
yz
z
2.求下列各式的值：
（１）
log
2
６－
log
2
３ （２）lg５＋lg２
（３）
log
5
３＋
log
5
1

（４）
log
3
５－
log
3
１５
3
6.（3）（4）
五、作业：课本P79习题2.7 3.（1）（3）（5），4.（1）（5）（6），5.（3）（5）（6），

2.7（第三 课时 对数的换底公式）
教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
教学重点：换底公式及推论
教学难点：换底公式的证明和灵活应用.
教学过程：
一、 复习：对数的运算法则
导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？
二、新授内容：
1.对数换底公式：
log
a
N?
log
m
N
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
log
m
a
x
证明：设
log
a
N = x , 则
a
= N
x
两边取以m 为底的对数：
log
m
a?log
m
N?xlog
m
a?log
m
N

从而得：
x?
2常用的推论:
loglog
m
N
m
N
∴
log
a
N?

loglog
m
a
ma
①
log
a
b?log
b
a?1
， log
a
b?log
b
c?log
c
a?1

②
log
a
m
b?
n
n
log
a
b
（ a, b > 0且均不为1,m≠0）
m
70

3
log
a
b?
○
三、例题：
1
(a?0,a?1,b?0,b?1)

log
b
a
例1 已知
log
2
3 = a，
log
3
7 = b, 用 a, b 表示
log
42
56
例2计算：①
5
1?log
0.2
3
②
log
4
3?log
9
2?log
1
2
x yz
4
32

例3设
x,y,z?(0,??)
且
3?4?6

(1) 求证
111
??
； (2) 比较
3x,4y,6z
的大小。
x2yz
例4已知
log
a
x=
log
a
c+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将
log
a
c移到等式左端，或者 将b变
为对数形式。
例5 计算：
(log
4
3?log
8
3)(log
3
2?log
9
2)?log
1
2
4
32

例6.若
log
3
4?log
4
8?log
8
m?log
4
2
求 m
四、课后作业：
1．证明：
log
a
x
?1?log
a
b

log
ab
x
2．已知
log
a
1
b
1
?log
a
2
b
2
?
??
?log
a
n
b
n
?
?

求证：
log< br>a
1
a
2
?
a
n
(b
1
b
2
?
b
n
)?
?

提示：用换底公式和等比定理

2.7（第四课时 习题课）
教学目的：应用对数的概念和性质较简单的综合题
重点难点：对数的概念和性质和灵活应用
71

教学过程：
一、 复习：对数的定义，运算法则，换底公式及推论
二、 例题：
例1. 已知lg2=0.3010,求
(0.5)
小数点后第几位开始是有效数字.
20< br>20
解：设
A?(0.5),
则
20
lgA?lg(0.5)
20
?20lg2
?1
??20lg2
??20?0.3010?? 6.0220??7?0.9800?7.9800

故
(0.5)
小数点后第七位开始是有效数字.
例2. 如果方程
lgx?(lg7?lg5)lgx?lg7lg5?0
的两个根是
?,?
，求
??
的值.
2
分析：原方程是关于x 的方程，用换元法，转化成关于lgx的方程，易得
lg?,lg?
分
别等于- lg7,-lg5(注意：不是
?,?
分别等于-lg7,-lg5)；应用韦达定理和对数的 运
算法则解之.（答案：
x
1
）.
35
x
例3. 求函数
f(x)?lg(a?k?2)(0?a?1)
的定义域.
分析：易得，问题 化为
()?k
，这里含有两个参数a和k，要根据问题的需要恰当
的作好逻辑划分，进 行分类讨论.
例4.设a,b,c均是不等于1的正数，且
a?b?c,
xyza
2
x
111
???0,
求abc的值.
xyz
略解：
xlga?ylgb?zlgc?k?0,
则
0?< br>111lgalgblgc1
??????lg(abc),?abc?1.

xyzkkkk
三、作业：《精析精练》P93 智能达标训练.



2.8(第一课时 对数函数的定义、图象和性质)
教学目的：
72

1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系；
2．会求对数函数的定义域；
3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。
教学重点：对数函数的定义、图象、性质
教学难点：对数函数与指数函数间的关系.
教学形式：计算机辅助教学
教学过程：
一、复习引入：
对于函数y
=
2
x
，根据对数的定义，可以写成对数的形式，就是
x?l og
2
y

如果用
x
表示自变量，
y
表示 函数，这个函数就是
y?log
2
x

由反函数概念可知，
y?log
2
x
与指数函数
y?2
互为反函数。
二、新授内容：
1．对数函数的定义：
x
函数
y?log
a
x
(a?0且a?1)
叫做对数函数；它是指数函数
y?a

x
(a?0且a?1)
的反函数。
对数函数
y?log
a
x

(a?0且a?1)
的 定义域为
(0,??)
，值域为
(??,??)
。
2．对数函数的图象
x
由于对数函数
y?log
a
x与指数函数
y?a
互为反函数，所以
y?log
a
x
的 图象
与
y?a
的图象关于直线
y?x
对称。因此，我们只要画出和< br>y?a
的图象关
于
y?x
对称的曲线，就可以得到
y?log
a
x
的图象，然后根据图象特征得出对
数函数的性质。
10
10
xx
8
8
6
6
4
4
2
2< br>-10-5510
-10-5510
-2
-2
-4
-4

3．对数函数的性质

73

三、 指数函数y =a
x
(a>0,a
?
1)与对数函数y=log
a
x(a >0,a
?
1)的图象和
y=log
a
x
函数y=a
x
aa>1
00a>1
图
象
定 义域
值 域
过定点
y
y
y
x=1
y=1a
x
a
1
y
x=1
a
x
O
1
1
a
O
1
y=1
x
1
O
O
1
(-
?
,+
?
)
(0,+
?
)
(0,1)，即x =0时，y=1.
(0,+
?
)
(-
?
,+
?< br>)
(1,0)，即x=1时，y=0.
00;
x>1时，y< 0.
在(0,+
?
)内是
减函数
x<0时，y>1;
x<0时,0y值区域
x>0时，0x>0时，y>1.
单调性
在(-
?
,+
?
)内是
在(-
?
,+
?
)内是
减函数
增函数
0< x<1时,y<
x>1时，y>
在(0,+
?
)内
增函数
三、例题：
例1求下列函数的定义域：[（1）—（3） 课本P83例1]
2
2
（1）
y?log
a
x
； （2）
y?log
a
(4?x)
； （3）
y?log
a
(9?x)

2x
（4）
y?lg(?2?3?2
x
?2)

例2求下列函数的反函数
1
x
2
?1
?
1
?
?3

(x?0)
（1）
y?
??
?1
（2）
y?()
2
2
??
四、练习：
1.画出函数y=< br>log
3
x及y=
log
1
x
的图象，并且说明这两 个函数的相同性质和不同性
3
x
质..
2.求下列函数的定义域：
74

（1）y=
log
3
(1-x) (2)y=
(3)y=
log
7
1

log
2
x
1

(4)y?log
3
x

1?3x

2.8 （第二课时 对数函数性质的应用）
五、作业：习题2.8 1，2
教学目的：
1．巩固对数函数性质，掌握比较同底数对数大小的方法；
2．，能够运用对数函数的性质解决具体问题；
教学重点：对数函数性质的应用
教学难点：对数函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：
1.对数函数的性质：
（见课件）
二、例题：
例1比较下列各组数中两个值的大小：（课本P83 例2）
⑴
log
2
3.4,log
2
8.5
； ⑵
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7
；
⑶
log
a
5.1,log
a
5.9(a?0,a?1)

例2 比较下列各组中两个值的大小：（课本P84 例3）
⑴
log
6
7,log
7
6
； ⑵
log
3
?
,log
2
0.8

例3 求下列函数的定义域、值域：
?x
⑴
y?2
2
?1
?2
1
2
(x?2x?5)
⑵
y?l og
2
4
2
log(?x?x)
(0?a?1)

a
⑶
y?log
1
(?x?4x?5)
⑷
y?
3
三、练习：比较大小
⑴
log
0.3
0.7?log
0.4
0.3
⑵
?
1
?
log
3.4
0.7?log
0.60.8?
??

?
3
?
?
1
2
75

⑶< br>log
0.3
0.1?log
0.2
0.1

四、作业：习题2.8 3，4

2.8(第三课时 对数形式的复合函数)
教学目的：
1．掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法；
2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。
教学重点：函数单调性证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：三、练习：
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：假设—作差—变形—判断
2．对数函数的性质：
二、新授内容：
例1 ⑴证明函数
f(x)?log
2
(x?1)
在
(0,??)
上是增函数。
⑵函数
f(x)?log
2
(x?1)
在
(??,0)
上是减函数还是增函数？
例2 (1) 求函数
y?log
1
(x?2x?3)
的单调区间，并用单调定义给予证明。
2
2
2
2
(2).已知y=
log
a
( 2-
a
)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
三、练习 求函数y=
log
2
(
x
-4x)的单调递增区间
四、作业：习题2.8 3，4

2.8（第四课时 对数函数的综合应用）
教学目的：应用对数函数的概念和性质解决一些较简单的问题
重点难点：对数概念和性质的综合应用
教学过程：
一、 复习引入
对数函数的性质：
二、 例题
例1 如右图，的曲线是对数函数y=log
a
x的图象，已知a的取值
3,,,,
则相应
于曲线C
1
,C
2
,C
3
,C
4
的a值依次为
76
2
x
432
355

432423
A.3,,,;B .3,,,;
355355

432423
C.,3,,;D.,3,,.< br>355355
分析：指数函数的图象在第一象限内从下到上对应的底数从小到大；（见课件第1页 ）
对数函数的图象在第一象限内从左到右的底数从小到大.见课件第2页）
答：选A.
例2 若a
2
>b>a>1,试比较
log
a
ab
,log
b
,log
b
a,log
a
b
的大小.
ba
aa
?1,?log
a
?0,log
a
b?l og
a
a?1,
bb
bb
2
解：
a?b?a?1, ?a??1,?0?log
b
?log
b
a,

aa
ab
?log
a
?log
b
?log
b
a?lo g
a
b.
ba
b?a?1,?0?
例3 求函数
y?log
1
(?x
2
?2x?3)
的定义域、值域和单调区间.
2
解：要使y有意义，须 –x
2
+2x+3>0,解得-1设t=–x
2
+2x+3 由0<–x
2
+2x+3=-(x-1)
2
+4≤4,知0又∵
y?log
1
t
是单调减函数，∴y≥-2,即所求函数的值域是[ -2，+∞）.
2
因为函数t=–x
2
+2x+3=-(x-1)
2
+4在（-1，1]上递增。而在[1，3）上递减，
所以函数
y?log
1
(?x
2
?2x?3)
的单调减区间是（-1，1],单调增区间是[1 ，3）.
2
例4 已知f(x)=2+log
3
x,x∈[1,9],求 y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的最大值，及y取得最大值时x的
值.
f(x)?2?log
3
x,
解：
?y?[f(x)]?f( x)?(2?log
3
x)?2?log
3
x

2222< br>?log
3
2
x?6log
3
x?6?(log
3< br>x?3)
2
?3
∵函数f(x)的定义域为[1，9]，∴要使函数y =[f(x)]
2
+f(x
2
)有意义，须
?
1?x2
?9,
?1?x?3?,?0l
3
og?x
?

?
1?x?9.

2
?6?y?(lo?3)?313.
3
g?x
当log
3
x=1,即x=3 时，y=13.
77
1

< br>∴当x=3时，函数y=[f(x)]
2
+f(x
2
)取最大值13.
例5 求
f(x)?lg(a?k?2)(0?a?1)
的定义域.
解：欲使f(x)有意义，须
a?k?2?0?()?k,

○
1
当k≤0时，
○
1恒成立，即定义域为R；
当k>0时：
1） 若
xx
xx
a
2
x
a
>1,即a>2,欲使
○
1成立，须x>
log
a
k
;
2
2
a
=1，即a=2,则f(x)=lg[2
x
(1-k )],易知，在02
a
<1,即0log
a
k
.
2
2
2） 若
时，函数不存在.
3） 若0<
三、作业 《精析精练》P99 智能达标训练


2.9函数应用举例
教学目的：1.运用所学的函数知识和方法解决实际问题.
2.培养学生用数学的意识分析问题解决问题的能力.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式
教学难点：数学建模意识.
课时安排：四课时
第一课时
关于函数的应用问题主要抓住以下几个步骤：
1.读懂题意；2.正确建立函数关系；3.转化为函数问题解决；4.做好最后的结论
回答.
一、例题
例1按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期
为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利
率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。
解：1期后
y
1
?a?a?r?a(1?r)

78

2期后
y
2
?a(1?r)
……
∴x 期后，本利和为：
y?a(1?r)

将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：
x
2
?1.0225

y?1000?(1?2.25%)?1000
由计算器算得：y = 1117.68（元）
例2某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1 .2%，
粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数
y关 于x的解析式.
分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具< br>体解答可以仿照例子.
解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1+4%），人口量为M（1+1.2%）
则人均占有粮食为
55
360M(1?4%)

M(1?1.2%)
360M(1?4%)
2
经过2年后,人均占有粮食为
2
M(1?1.2%)
……
经过x年后，人均占有粮食
360M(1?4%)
x
y=,
x
M(1?1.2%)
即 所求函数式为：y=360(
1.04
x
)
1.012
x
评述：例2是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长
率为R，则对于时间 x的总产值y可以用下面的公式，即y=N(1+P)
解决平均增长率的问题，常用这个函数式.

例3已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数。
1. 当
k?
1
时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
2
2. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围。
解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。
79

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
y?a(1?x%)?b(1?kx%)

ab
[?kx
2
?100(1?k)x?10000]

10000
ab
1
取
k?
得：
y?[?(x?50)
2
?22500]

2
20000
9
当 x = 50时，
y
max
?ab

8
即
y?
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
ab
[?kx
2
?100(1?k)x?10000]

10000
50(1?k)
50(1?k)
在
(?x,]
上递增，在
[,??)
上递减
kk
50(1?k)
∴适当地涨价，即 x > 0 , 即
?0

k
2．∵二次函数
y?
就是 0 < k <1 , 能使销售总金额增加。
例4北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每 份是0.20元，卖
出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社。 在一
个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250
份 ，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使
每月所获的利润最大？并 计算他一个月最多可赚得多少元？
解：若设每天从报社买进
x
（
250?x ?400,x?N
）份，则每月共可销售
(20x?10?250)
份，每份可获利润 0.10元，退回报社
10(x?250)
份，每份亏损
0.15元，建立月纯利润函 数
f(x)
，再求
f(x)
的最大值，可得一个月的最大利润.
设 每天从报社买进
x
份报纸，每月获得的总利润为
y
元，则依题意，得
y?0.10(20x?10?250)?0.15?10(x?250)
?0.5x?625,x?
?
250,400
?

?
函数
y
在
?
250,400
?
上单调递增，
?x?400
时，
y< br>max
?825
（元）
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元。
小结：① 在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准
确确定函数的定义域是建立函数 模型解答实际问题的一个关键环节，不可忽视；②
闭区间上的单调函数的最值常在区间的端点取得。
80

二、练习：
课本P88练 3，4
3.一种产品 的年产量是a件，在今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增
加P%，写出年产量随经过年数变 化的函数关系式.
解：设年产量经过x年增加到y件，则y=a(1+P%)
x
(x∈N*且x≤m)
4.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年 降低
P%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.
解：设成本经过x年降低到y元，则y=a(1-P%) (x∈N*且x≤m)
三、作业：
课本P89习题2.9 1，2，3
2.9 函数应用举例（第二课时）
教学目的：
1．使学生适应各学科的横向联系.
2.能够建立一些物理问题的数学模型.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点：数学建模的方法
教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.
教学过程：
一、例题
例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关
系式是
y?ce
kx
x
，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为
1.01?10
5
Pa，1000 m高空的大气压为
0.90?10
5
Pa，求：600 m高空的大气压强。
（结果保留3个有效数字）
55
解：将 x = 0 , y =
1.01?10
；x = 1000 , y =
0.90?10
， 代入
y?ce
得：
kx
(1)
?
1.01?10
5
?ce
k?0
?
c?1.01?10
5
?
< br>??
5k?100051000k
(2)
?
0.90?10?ce?
0.90?10?ce
将 (1) 代入 (2) 得：

0.90?10
5
?1.01?10
5
e
1000k
?k ?
?4
10.90

?ln
10001.01
?4
计算得：
k??1.15?10
∴
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10

81

将 x = 600 代入, 得：
y?1.01?10
5?e
?1.15?10
?4
?4
?600

计算 得：
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10
＝0.943×1 05(Pa)
答：在600 m高空的大气压约为0.943×10
5
Pa. < br>说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）
此题实 质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借
助计算器进行比较复杂的运 算.
例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到
a
1
,
a
2
,……,
a
n
共n个数据，我们规定所 测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一
个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规 定，从
a
1
,
a
2
,……,
a
n
推出的a=________.(1994年全国高考试题)
分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值
问题. < br>解：由题意可知，所求a应使y=(a-
a
1
)+(a-
a
2
)
+…+(a-
a
n
) 最小
由于y=na-2(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)a+(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.
2222
222
1
(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)，y有最小值.
n
1
所以a= (
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)即为 所求.
n
当a=
说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数 学知识为基础，
并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象
其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即
y=(a-
a
1
)+( a-
a
2
)
+…+(a-
a
n
)，然后运用函数的 思想、方法去解决问题，解题关
键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实 际问题中
的应用.
例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=
N0
e
?
?
t
222
,其中
N
0
，λ是正
的常数.
（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当
82

N=
N
0
2
时，t的值.
?
?< br>t
解：（1）由于
N
0
＞0,λ＞0，函数N=
N
0
e
是属于指数函数y=
e
?x
类型的，所以它
是减函数，即 原子数N的值随时间t的增大而减少
（2）将N=
N
0
e
?
?
t
写成
e
?
?
t
=
N

N
0
根据对数的定义有-λt=ln
N

N
0
11
(lnN-ln
N
0
)= (ln
N
0
-lnN)
??
NN
11
(3)把N=
0
代入t= (ln
N
0
-lnN)得t= (ln
N
0
-ln
0
)
22
?
?
11
= (ln
N
0
-ln
N
0
+ln2)= ln2.
??
所以t=-
二、练习：
1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的 端点B作圆的切线，从圆周上任一点
P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x
⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值
解：⑴过P作PD?AB于D，连PB 设AD=a则
x?2R?a

2
x
2
x
2
a?

PM?2R?

2R
2R
x
2
?x?4R

(0?x?2R)
∴
f(x)?AP?2PM??
R
1R17R< br>(x?)
2
?

R24
17
R
R
当
x?
时
f(x)
max
?
4
2
⑵
f(x)??
当
x?2R
时
f(x)
min
?2R

2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北
偏西 60?角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同
时出发，问几小时后两船 相 距最近？
83

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t
过D作DE?BC于E DE=BDsin60?=10
3
t BE=BDcos60?=10t
∴EC=BC+BE=100-5t
CD=
DE?CE
∴t =
22
?
?
103t
?
2
?
?
1 00?5t
?
=
325t
2
?1000t?10000
< br>2
3
20
20
时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近 。
13
13
13
3．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内， 其长度与所受拉力成一次函
数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300 N拉力作用下长
度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？
解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m
?
0.55?100k?b
?
k?0.0005
设：y = k x + b 由题设：
?

?
?
0.65?300k?bb?0.50
??
∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50
∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。
三、作业：课本P89 习题2.9 4，5，6

2.9函数应用举例(第三课时)
教学目的：
1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型；
2．掌握根据已知条件建立函数关系式；
3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式
教学难点：数学建模意识.
教学过程：
一、新授内容：
数学模型与数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近 似地反映实
际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.
数学模型方法，是把实际问题加以 抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来
研究实际问题的一般数学方法.
二、例题：
例1课本P87例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
84

身高
xc60
m
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重
6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
ykg
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数
y?ax?b
,
y? a?lnx?b
，
y?a?b
x
中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未 成年男性体
重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．
⑵若 体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么
该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
分析：根据上表的数据描点画出图象，观察这个 图象，发现各点的连线是一条向上弯
曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数
y?ax?b来近似反映．根据这些点的走
向趋势，我们可以考虑用函数
y?a?b
来近似反映




图1 图 2
例2 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3
万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函
数 模拟该产品的月产量
y
与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数
x
y ?a?b
x
?c
（其中
a,b,c
为常数）。已知4月份该产品的产 量为1.37万件， 请
问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由。
讲解：根据题意 ，该产品的月产量
y
是月份
x
的函数，可供选用的函数有两种，其中
哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模
拟函数就较好，故应先确 定出这两个函数的具体解析式。
注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键。
例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图）， 若矩形
底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求框架 面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，
所以属于函数关系的简单应用.
例4 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰 梯形ABCD的形
85 < /p>

状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y
和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.
分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边 的长，下底长已知为2R，
两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即 可写出
周长y与腰长x的函数式.
评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进 数学符号，建立函数关系
式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实 际
上就是建立数学模型的一种最简单的情形.
小结：（1）数学应用题的能力要求
①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题
的能力；
（2）解答应用题的基本步骤
①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示 ；③分析、解决
数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原.
三、练习：
1．中国人口问题
2．销售额问题
四、作业：
课本P88练习 1,2
2.9函数应用举例(第四课时)
教学目的：根据实际问题，提出不同方案，建立数 学模型，选定最佳方案，解决
简单的市场经济问题。
一、例题
例1 某公司生产一 种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入
100元，已知总收益满足函数：
1
2
?
?
400x?x(0?x?400)
R(x)??
，其中x是仪器月产量.
2
?
?
80000(x?400)
（1） 将月利润表示为月产量的函数f(x);
（2） 当月产量为何值时，公司获利最大？最大利润为多少元？（总收益
=总成本+利润）
分析：由总收益=总成本+利润，知 利润=总收益-总成本.由于R(x)是分段函数，所以
f(x)也是分段函数，要分别求出f(x)在各段的最大值，通过比较，确定f(x)的最大值.
例 2根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格
f(t)
与时间
t
满足关系
86

1
?
?
t?11(0?t?20,t?N).
销售量
g(t)
与时间
t
满足关系
f(t)?
?< br>2
?
?
?t?41(20?t?40,t?N).
143
求这 种商品的日销售额（销售量与价格之积）
g(t)??t?(0?t?40,t?N)
。
33
的最大值。
例3 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和 Q（万元），
它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：
P?
x3
,Q ?x
.今有3万元资
55
金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种 商品的资金投入分别
应为多少？能获得最大利润是多少？
分析：首先应根据题意建立利润与投 入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后
再化为求函数最大值的问题.
二、课后作业：《精析精练》P103 智能达标训练

函数复习小结（三课时）
第一课时
一、本章知识网络结构：
定义
F:A
?
B反函数
映射
函数
具体函数
一般研究
图像
性质
二次函数
指数
指数函数
对数
对数函数

二、深刻理解函数的有关概念：
概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一 个显著特征，集合，
函数三要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等
是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念
在于准确把 握概念的本质特征.
1.映射
2.函数的概念
3.函数的单调性
4.反函数
5．方法总结
87

⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函 数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求
得函数的定义域.常涉及到的 依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；
③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1； ④零指数幂的底数不等于零；⑤实际
问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法 (二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元
法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹ .单调性的判定法：①设x
1
,x
2
是所研究区间内任两个自变量，且x1
＜x
2
；②
判定f(x
1
)与f(x
2)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再 计算f(-x)与f(x)之间
的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为 奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0
为奇；③f(-x)f(x)= 1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描 点、连光滑曲线；②利用熟知
函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函 数图象.
⑼.函数的应用举例(实际问题的解法).
解决应用问题的一般程序是：
①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.
③求模：求解数学模型，得到数学结论.
④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.
三、二次函数的基础知识及运用：
高考对二次函数的考查主要从以下几方面：
1.二次函数解析式的三种表示方法：
（1）y=ax
+bx+c(a≠0)叫做标准式；
2
b
2
4ac?b
2
（2）y=a(x+)+,叫做顶点式；
4a
2a
（3）y=a(x-x
1
)(x-x
2
),叫做二根式；（这里指的是：当Δ ＞0时，即抛物线与x轴
有两个交点（x
1
,0）和(x
2
,0)时 的解析式形式）.
注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.
88 < /p>

2.二次函数的定义、二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象 与性质：
3.二次函数在指定区间上的最值；
4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题.
四、指数函数与对数函数的图像和性质：
五、把握数形结合的特征和方法
本章函数 中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主
要的内容，性质和图象相互联系、 相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象
的基础上，通过概括，归纳得出的，并借助于函数图象 所具有的直观性强的优点形成
记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与 函数性质
的数量特征紧密结合，相互为用.
函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因 此在研究函数性质时，应密切
结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.
六、识函数思想的实质，强化应用意识
函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念， 函数思想的实质是用联系
与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.
纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是
近三年加大了应 用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能
解答的，因此在函数的学习中，一定 要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.
七、例题
例1已知函数f(x)的定义域是［0，1］，则函数f(x)的定义域是________.
解：由0≤x
≤1,解得-1≤x≤1 ∴f(x
)的定义域为［－1，1］. < br>评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理
解与判断.设 f(x)=
x(1?x)
,它的定义域是［0，1］，这时，f(x)=
2
22
2
x
2
(1?x
2
)
的
定义域是［- 1，1］，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.
例2已知函数f(x)=
解法一：先求f
∴f
?1
?1
2
1?x
2
(-1≤x≤0),则f
?1
(0.5)=________.
2
22
(x)后令x=0.5
令y=
1?x
2
, 则x=1-y,x=±
1?y
,又-1≤x≤0 ∴x=-
1?y
,
(x)=-
1?x
2
(0≤x≤1), ∴f
?1
( 0.5)=-
?1
解法二：根据函数y=f(x)与反函数y=f
3
. 2
的x值，令0.5=
1?x
2
.解之得：x=-
评述：方法二 是由于对函数f(x)与其反函数f
f
?1
3

2
?1的关系，求f
?1
(0.5)的值，就是求
(x)之间关系有深刻理解，因此把求
(a)的问题转化为求f(x)=a的解的问题，在高观点指导下进行高层次的思维，解法
89