高中数学选修本(理科)复数的有关概念

复数的有关概念
教学目标
（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数 、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共
轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数 相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共
轭复数的概念．
2、重点、难点分析
（1）正确复数的实部与虚部
对于复数

部是

，虚部是

，实部是

，虚部是

．注意在说复数

时，一定有

，否则，不能说实
,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住

很大的帮助。
这一标准形式以及

是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有
（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：
①设

，则

为实数


②

为虚数


③

且

。
④

为纯虚数

且


（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式


②实部、虚部中的字母为实数，即


（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数

些书上就是把实数对(

都可以由一个有序实数对(

)叫做复数的．
)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一
②复数

用复平面内的点Z(

)表示．复平面内的点Z的坐标是(

)，而不是(

)，也就
是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是

．由于

=0＋1·

，所以用复平面内的点(0，1)表示

时，这点
与原点的距离是1，等于纵 轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数

时，不能以为这一点到原点
的距离就是虚数单位

，或者

就是纵轴的单位长度．

③当

数．但当

时，对任何

时，

，

是纯虚数，所以纵轴上的点(

是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
)( )都是表示纯虚
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿 平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐
标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．
（5）关于共轭复数的概念
设

是共轭复数）．
，则

，即

与

的实部相等，虚部互为相反数（不能认为

与

或

教师可以提一下当

时，

与

时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当

互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．
（6）复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在

两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复
数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这 关系
同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

（二）教法建议
1．要注意知识的连续性：复数

何的联系．
是二维数，其几何意义是一个点

，因而注意与平面解析几
2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合 建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就
成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培 养学生数形结合的数学思想．
3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实 数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生
提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下 给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念
教学目标
1．了解复数的实部，虚部；
2．掌握复数相等的意义；
3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件．
教学难点
用复平面内的点表示复数Ｍ．
教学用具：直尺
课时安排：1课时
教学过程：

一、复习提问：
1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课
1．复数的实部和虚部：
复数

中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2．复数相等
如果两个复数

与

的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：

的充要条件是

且

。
例如：

的充要条件是

且

。
例1： 已知

其中

，求
x
与
y
.
解：根据复数相等的意义，得方程组：


∴


例2：
m
是什么实数时，复数

,
(1)

是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.

解：


(1) ∵

时，
z
是实数,
∴

,或

.
(2)

∵

时，
z
是虚数,
∴

，且


(3)

∵

且

时，
z
是纯虚数. ∴


3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．
复数

可用点

来表示．（如图）其中
x
轴叫实轴，
y
轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在
实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只 在实轴
x
上，不在虚轴上．

4．复数的几何意义：
复数集
c
和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫 做互为共轭复数）
（2）复数
z
的共轭复数用

表示．若

，则：

；
（3）实数
a
的共轭复数仍是
a
本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．
（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与

关于实轴对称．
三、练习

1,2,3,4.
四、小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数

中的
z
，书写时小写，复平面内点Z(
a
，
b
)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(
a
，
b
)，而不是(
a
，
bi
)，也就是说，复 平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是
i
。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业

1,2,3,4,
六、板书设计：
§8,2 复数的有关概念
1定义： 例1 3定义: 4几何意义:
?? ?? ?? ??
2定义： 例2 5共轭复数:
?? ?? ?? ??