人教版高中数学选修2-2教案全册

选修2-2
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
第一章 导数及其应用目录
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）

第一章 导数及其应用
一、课程目标：
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了详尽代数学 过渡的新时期，
为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数、定积分都是微积分的核心概念，它们 有极其丰
富的实际背景和广泛应用。在本章中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻 画
现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。学生还将经历求曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步
学 习微积分打下基础。通过本章的学习，学生将体会导数的思想极其丰富内涵，感受导数在解决实
际问题中 的作用，了解微积分的文化价值。
二、学习目标：
1、变化率与导数
（1）、通 过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知
道瞬时变化率就 是导数，体会导数的思想及其内涵。
（2）、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
2、导数的计算
（1）、能根据导数的定义，求函数
y?c,y?x,y?x,y? x,y?
23
1
,y?x
的导数。
x
（2）、能利用给出 的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单
的复合函数的导数。
（3）、会使用导数公式表。
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
1

3、导数在研究函数中的应用
（1）、结合 实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单
调性，会求不超过 三次的多项式函数的单调区间。
（2）、结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数球不超过三次
的多项函数的极大值、极小值。
4、生活中的优化问题举例
通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
5、定积分与微积分基本定理
（1）、通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助 几何直观体会定积分的基本思想，初
步了解定积分的概念。
（2）、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。
（3）、应用定积分解决一些简单的几何和物理问题。
6、数学文化
收集有关微积 分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文
化发展中的意义和价值。
三、本章知识结构




平均速度 平均变化率

割线斜率



瞬时速度 瞬时变化率 切线斜率

基本初等函数导数
公式导数运算法则
曲边梯形的面积


导数





微积分基本定理





定积分



定积分在几何、物

理中的简单应用

2

导数与函数单调性的关
系与极（最）值的关系
变速直线运动的路程
四、课时安排：
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

1.1 变化率与导数 约4课时
1.2 导数的计算 约3课时
1.3 导数在研究函数中的应用 约4课时
1.4 生活中的优化问题举例 约3课时
1.5 定积分的概念 约4课时
1.6 微积分基本定理 约2课时
1.7 定积分的简单应用 约2课时
§1.1.1变化率问题
（新授课）

一、教学目标：
知识与技能：了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率。
过程与方法：体会有特殊到一般的思维方法
情感、态度与价值观：感受由平均变化率刻画现实问题的过程。
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象 ，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，
产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理 直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线;
3、求已知函数的最大值与最小值;
4、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快 慢、最大（小）值等问题最一般、最
有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
（二）．讲授新课
1、提出问题
问题1： 气球膨胀率
我们都 吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加
越来越慢.从 数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系 是
V(r)?
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V)?
3
分析:
r(V)?
3
4
3
?
r

3
3V

4
?
3V
，
4
?
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1)?r(0)?0.62(dm)

r(1)?r(0)
?0.62(dmL)

1?0
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)

气球的平均膨胀率为
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
3

气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)

2?1
h
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V
1
增加到V
2
时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)

V
2
?V
1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的
时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9 t
2
+6.5t+10.如何用运动员在某
些时间段内的平均速
v
度 粗略地描述其运动状态?
思考计算：
0?t?0.5
和
1?t?2
的平均速度
v

在
0?t?0.5
这段时间里，
v?
o

t
h(0.5)?h(0)
?4.05(ms)
；
0.5?0
h(2 )?h(1)
在
1?t?2
这段时间里，
v???8.2(ms)

2?1
65
探究：计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度，并 思考以下问题：
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t
2
+6.5t+10的图像，结合图形可知，
h(
65
) ?h(0)
，
49
65
)?h(0)
49
?0(sm)
， 所以
v?
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段 时间里的平均速度为
0(sm)
，但实际情况是运动员仍然运动，并非
49
h (
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
2、平均变化率概念:
（1）．上述问题中的变化率可用式子
f(x
2
)?f(x
1< br>)
表示,
x
2
?x
1

称为函数f(x)从x
1
到x
2
的平均变化
率
（2）．若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于x
1
的一个“增量”可用x
1
+
?x
代替x
2
,同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1)
)
（3）。则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
???

x?x?x
?x?x
21
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
f(x
2
)?f(x
1
)
?f
?
表示什么?
x
2
?x
1
?x
4

y
y=f(x)
f(x
2
)
△y =f(x
2
)-f(x
1
)







直线AB的斜率







（三）．典例分析
2
f(x
1
)
O
△x= x
2
-x
1

x
1
x
2
x
例1．已知函数f(x)=
?x?x
的图象上的 一点
A(?1,?2)
及临近一点
B(?1??x,?2??y)
,则
?y
?
．
?x
2
解：
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
，
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
∴
?x?x
例2． 求
y?x
2
在
x?x
0
附近的平均变化率。
?y
(x
0
??x)
2
?x
0
?
解：
?y?(x
0
??x)?x
0
，所以
?x?x
22
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0
?? 2x
0
??x

?x
所以
y?x
2
在
x?x
0
附近的平均变化率为
2x
0
??x

2
2
2
（四）．课堂练习
1．质点运动规律为
s?t?3
，则在时间
(3,3??t)
中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t
2
+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.





3.过曲线y=f(x)=x
3
上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜
率.




（五）．课时小结
1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
2
5

§1.1.2导数的概念
（新授课）

一、教学目标：
知识与技能：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，会求函数在某点的导数
过程与方法：经历由实例抽象出导数概念的过程 ，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其
内涵。
情感、态度与价值观：经历由平均变 化率到瞬时变化率刻画现实问题问题的过程，感受导数在现实
问题中的应用，初步认识导数的应用价值。
二、教学重点与难点：
重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
难点：导数的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
1、复习提问：平均变化率
2、探究：计算运动员在
0?t?
65
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49
65
)?h(0)
，
49
h
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t
2
+6.5t+10的图像，结合图形可知，
h(
65
) ?h(0)
?0(sm)
， 所以
v?
49
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm )
，但实际情况
49
h(
是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度 不能精确描述运动
员的运动状态．
（二）．新课讲授
o
t
1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不 能反映他在某一时刻的
瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，
t?2
时 的瞬时速度是多少？考察
t?2
附
近的情况：
（引导学生观察课本第4页表格）
思考：当
?t
趋近于0时，平均速度
v
有什么样的变化趋势？ 结论：当
?t
趋近于0时，即无论
t
从小于2的一边，还是从大于2的一 边趋近于2时，平均速
度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
． < br>从物理的角度看，时间
?t
间隔无限变小时，平均速度
v
就无限趋近于 史的瞬时速度，因此，
运动员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms

为了表述方便，我们用
lim
h(2??t)?h(2)
??13.1< br>
?t?0
?t
6

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

表示“当
t?2
，
?t
趋近于0 时，平均速度
v
趋近于定值
?13.1
”
小结：局部以匀速代替变 速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似
值过渡到瞬时速度的精确值。
2．导数的概念
从函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:

f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f

? lim
?x?0?x?0
?x?x
我们称它为函数
y?f(x)
在< br>x?x
0
出的导数，记作
f
'
(x
0
)或
y
'
|
x?x
0
，即
f(x
0
??x)?f(x
0
)

f
?
(x
0
)?lim

?x?0
?x< br>lim
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率
（2）
?x?x?x
0
，当
?x?0
时，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?lim
（三）．典例分析
2
例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.
2
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求
?x?0
f(x)?f(x
0
)

x?x
0
?f?f
?6??x
再求
lim?6

?x?0
?x?x
解：法一 定义法（略）
3x
2
?3? 1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x? 1)?6
法二：
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
2
（2）求函数f(x)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解：
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim (3??x)?3

f
?
(?1)?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热，如果第
xh
时，原油的温度（单位：
C
）为
f( x)?x?7x?15(0?x?8)
，计算第
2h
时和第
6h
时， 原油
温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率就是
f(2)
和
f(6)

''
2
f(2??x)?f(x
0
)
?f

?
?x?x
(2??x)
2
?7(2??x)?15?(2
2?7?2?15)
???x?3

?x
?f
?lim(?x?3)??3
所以
f
?
(2)?lim
?x?0
?x
?x?0
同理可得:
f
?(6)?5

在第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时 变化率分别为
?3
和5，说明在
2h
附近，原油温度大约
以
3Ch
的速率下降，在第
6h
附近，原油温度大约以
5Ch
的速率上 升．
根据导数定义，
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
7

§1.1.3导数的几何意义
（新授课）
一、教学目标：
知识与技能：理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程。
过程与方法：经历导数几何意义的 学习过程，感受极限思想，体会用导数的几何意义求曲线的切线
方程的方法，体会用导数的几何意义分析 图像上点的变化情况的方法。
情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步认 识数学的科学价值，发展
理性思维能力。
二、教学重点与难点
重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
难点：导数的几何意义．
三、教学过程：
（一）．创设情景
复习提问：1、平均变化率、割线的斜率
2、瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x
0
处的 瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x
0
附近的变化
情况，导数
f< br>?
(x
0
)
的几何意义是什么呢？
（二）．新课讲授 (
n
,fx(())43,)21
1、曲线的切线及切线的斜率：观察课本第7页 图1.1-2，当
P
n
x
n
n
趋近于点
P(x0
,f(x
0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势 是什么？
我们可以发现,当点
P
n
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割 线
PP
n
趋近于确定的位置，这个确
定位置的直线PT称为曲线在点P处的切 线.
问题：⑴割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线PT 的斜率
k
有什么关系？
⑵切线PT的斜率
k
为多少？
?
沿着曲线
f(x)
f(x
n
)?f(x
0
)
,当点
P
n
沿着曲线无限接近点P时，
k
n
无 限
x
n
?x
0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
趋近于切线PT的斜率
k
，即
k?lim?f
?
(x
0
)

?x?0
?x
容易知道，割线
PP< br>n
的斜率是
k
n
?
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当 Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数.
（2）曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.
如有极限,则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与
曲线只有一个交点,可以 有多个,甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x
0
处的导数等于在该点
(x
0
,f(x
0
))
处的切 线的斜率，
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k

?x
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
，得到曲线在点
?x
8

(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
3、导函数：
由函数f(x)在x=x
0处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0
)
是一 个确定的数，那么,当x变化时,
便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
4、函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在 一点处的导数
f
?
(x
0
)
，就是在该点的函数的改变量与 自变量的改变量之比的极限，它
是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
'< br>(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x
0
处的函数值，这也是 求函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
（三）．典例分析
2
例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.
2
（2）求函数y=3x在点
(1,3)
处的切线方程.
[(1? ?x)
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim? 2
, 解：（1）
y
?
|
x?1
?lim
?x?0 ?x?0
?x?x
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
y?2?2( x?1)
即
2x?y?0

3x
2
?3?1
23(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6

（2）因为
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x ?1
x?1x?1
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
y?3?6( x?1)
即
6x?y?3?0


例2．如图课本第8页图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(x)?? 4.9x
2
?6.5x?10
，根据图像，请描述、比较曲线
h(t)
在
t
0
、
t
1
、
t
2
附近的变 化情况．
解：我们用曲线
h(t)
在
t
0
、
t< br>1
、
t
2
处的切线，刻画曲线
h(t)
在上述三个时 刻附近的变化情况．
（1） 当
t?t
0
时，曲线
h(t)
在
t
0
处的切线
l
0
平行于
x
轴，所以 ，在
t?t
0
附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当t?t
1
时，曲线
h(t)
在
t
1
处的切线< br>l
1
的斜率
h
?
(t
1
)?0
，所 以，在
t?t
1
附近曲线下降，即函
2
数
h(x)??4. 9x?6.5x?10
在
t?t
1
附近单调递减．
（3） 当t?t
2
时，曲线
h(t)
在
t
2
处的切线< br>l
2
的斜率
h
?
(t
2
)?0
，所 以，在
t?t
2
附近曲线下降，即
2
函数
h(x)??4. 9x?6.5x?10
在
t?t
2
附近单调递减．
从图3.1-3 可以看出，直线
l
1
的倾斜程度小于直线
l
2
的倾斜程度， 这说明曲线在
t
1
附近比在
t
2
附近
下降的缓慢．
例3．如图课本第9页图1.1-4，它表示人体血管中药物浓度
c?f(t)
(单位 ：
mgmL
)随时间
t
（单位：
min
）变化的图象．根据 图像，估计
t?0.2,0.4,0.6,0.8
时，血管中药物浓度的瞬时
变化率（ 精确到
0.1
）．
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
9

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
f(t)
在此时刻的导数，从图像上看，
它表示曲线
f(t)
在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物
浓度瞬时变化率的近似值．
作
t?0.8
处的切线，并在切线上去两点，如
(0.7,0.91)
，
(1.0,0.48)
，则它的斜率为：
0.48 ?0.91
??1.4

1.0?0.7
所以
f
?
(0.8)??1.4

k?
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
t

0.2
药物浓度瞬时变化率
f(t)


（四）．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x
3
在点
(1,1)
处的切线；

2．求曲线
y?x
在点
(4,2)
处的切线．


（五）.课时小结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
'
0.4
0
0.6
-0.7
0.8
-1.4
0.4




§1.2.1几个常用函数的导数
（新授课）

一、教学目标：
知识与技能：能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。
过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。
情感、态度与价值观：通 过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用
意识。
二、教学重点与难点：
1
、
y?x
的导数公式及应用
x
1
2
难点：五种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
、
y?x
的导数公式
x
重点：五 种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
2
三、教学过程：
（一）．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点 处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的
瞬时速度．那么，对于函数
y?f(x)，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定 义的，所以求导数
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
10

总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出 某些函数的导数，这
一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
（二）．新课讲授
1．函数
y?f(x)?c
的导数
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0

?x?x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim0?0

?x?0
?x
?x?0
y
?
?0
表示函数
y?c
图像上每一点处 的切线的斜率都为0．若
y?c
表示路程关于时间的函数，则
y
?
? 0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数
y?f(x)?x
的导数
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
因为
???1

?x?x?x
?y
?lim1?1
所以
y
?
?l im
?x?0
?x
?x?0
y
?
?1
表示函数y?x
图像上每一点处的切线的斜率都为1．若
y?x
表示路程关于时间的函数， 则
y
?
?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
2
3．函数
y?f(x)?x
的导数
根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x?x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2x??x

?x
?y
所以
y
?
?l im?lim(2x??x)?2x

?x?0
?x
?x?0
y?
?2x
表示函数
y?x
2
图像上点
(x,y)
处的切线的斜率都为
2x
，说明随着
x
的变化，切线的斜率
也在变 化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当
x?0
时，随着
x
的增
222
加，函数
y?x
减少得越来越慢；当
x?0时，随着
x
的增加，函数
y?x
增加得越来越快．若
y?x表示路程关于时间的函数，则
y
?
?2x
可以解释为某物体做变速运动， 它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
．
1
4．函数
y?f(x)?
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
x?(x??x)1
???
2

x(x??x)?xx?x??x
?y11
?lim(?
2
)??
2
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
5．函数
y?f(x)?x
的导数
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
11

?yf(x??x)?f(x)x??x?x
??

?x?x?x
( x??x)?x
(x??x?x)(x??x?x)
?

?
?x(x ??x?x)
?x(x??x?x)
?y11
?lim?
所以
y?
?lim

?x?0
?x
?x?0
x??x?x2x
因为

n *
n?1
推广：若
y?f(x)?x(n?Q)
，则
f
?< br>(x)?nx

（三）．课堂练习：课本P
13
探究，P
14
探究
（四）．课时小结：
函数 导数
y?c

y?x

y?x
2

y
'
?0

y
'
?1

y
'
?2x

y?
1

x
y?x

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)


（五）．布置作业：习题1.2 第1题

四、课后反思
1

2
x
1
y
?
?

2x
y
'
??
y
'
?nx
n?1

§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
（新授课）

一、教学目标：
知识与技能：能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数。
过程与方法：掌握运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式来求导数的方法。
情感、态 度与价值观：通过利用导数方法解决实际问题的过程，体会导数在现实生活中的应用价值，
提高数学应用 能力。
二、教学重点与难点：
重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
三、教学过程：
（一）．创设情景
复习：五种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
（二）．新课讲授
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
2
1
、
y?x
的导数公式及应用
x
12

1、基本初等函数的导数公式表


函数 导数


y?c

y
'
?0



y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?nx
n?1


y?sinx

y
'
?cosx



y?cosx


y
'
??sinx




y?f(x)?a
x

y
'
?a
x
?lna(a?0)



y?f(x)?e
x

y
'
?e
x




1
f(x)?log
a
x

f(x)?log
a
xf
'
(x)?(a?0且a?1)


xlna


1
'

f(x)?lnx
f(x)?


x










2、导数的运算法则

导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'
?
f(x)
?
f< br>'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
?(g(x)?0)
3．
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?< br>推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)
（常数与函数的积的导数 ，等于常数乘函数的导数）
'
'
'
（三）．典例分析
例1．假设 某国家在20年期间的年均通货膨胀率为
5%
，物价
p
（单位：元）与时间< br>t
（单位：
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
13

年）有如下函数关系
p(t)?p
0
(1?5%)
，其中
p
0
为
t?0
时的物价．假定某种商品的
p
0
?1
，那么
在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确 到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p(t)?1.05ln1.05

所以
p(10)?1.05ln1.05?0.08
（元年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
y?x?2x?3

3
't
t
'10
11
?
；
1?x1?x
（3）
y?x?sinx?lnx
；
x
（4）
y?
x
；
4
1?lnx
（5）
y?
．
1?lnx
2x
（6）
y?(2x?5x?1)?e
；
sinx?xcosx
（7）
y?

cosx?xsinx
'3'3'''2
解：（1）
y?(x?2x?3)?(x)?(2x)?(3)?3x?2< br>，
（2）
y?
y
'
?3x
2
?2
。
1
'
1
'
(1?x)
'
(1?x)
'
) ?()
?
（2）
y?(

?
22
1?x1?x(1?x)(1?x)
11
?
?
2x
2
?
2x
2

(1?x)(1?x)
111
?[?]

22
2x(1?x)(1?x)
'
(1?x)
2
?(1?x)
2

??
2
(1?x)
2x
(1?x)x

?
x(1?x)
2
1
(1?x)x

2
x (1?x)
'''
（3）
y?(x?sinx?lnx)?[(x?lnx)?sin x]

?(x?lnx)
'
?sinx?(x?lnx)?(sinx)
'

1
?(1?lnx?x?)?sinx?(x?lnx)?cosx

x
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

y
'
?
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
14

y?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

'
x
'
x
'
?4
x
?x?(4
x
)
'
1?4
x
?x?4
x
ln41?xln4
? ?
（4）
y?(
x
)?
，
4(4
x
)< br>2
(4
x
)
2
4
x
1?xln4
。
y
'
?
x
4
1
1?lnx
'
21 2
x
（5）
y
'
?(

)?(?1?)
'
?2()
'
?2??
1?lnx1?lnx1?lnx(1?lnx)
2
x(1?lnx)
2
2
y
'
?

x( 1?lnx)
2
'2'x2x'
（6）
y?(2x?5x?1)?e?(2x ?5x?1)?(e)

'
?(4x?5)?e
x
?(2x
2
?5x?1)?e
x
?(2x
2
?x?4)?e
x
，
y
'
?(2x
2
?x?4)?e
x
。
sinx?xcosx
''
（7）
y?()

cosx?x sinx
(sinx?xcosx)
'
?(cosx?xsinx)?(sinx?x cosx)?(cosx?xsinx)
'
?

(cosx?xsinx)< br>2
(cosx?cosx?xsinx)?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx )?(?sinx?sinx?xcosx)
?

2
(cosx?xsinx )
xsinx?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx)?xcosx
?

(cosx?xsinx)
2
x
2
x
2
'

?y?
22
(cosx?xsinx)(cosx?xsinx)

【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
知将1吨水净化到纯净度为
x%
时所需费用 （单位：元）为
c(x)?
5284
(80?x?100)

10 0?x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）
90%
（2）
98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
52 84
'
5284
'
?(100?x)?5284?(100?x)
'
c(x)?()?

2
100?x(100?x)
0?(100?x )?5284?(?1)5284
??

(100?x)
2
(100?x)
2
'
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
15

（1） 因为
c(90)?
52.84元吨．
'
5284
?52.84，所以，纯净度为
90%
时，费用的瞬时变化率是
2
(100?90)< br>5284
?1321
，所以，纯净度为
98%
时，费用的瞬时变化率是
(100?90)
2
（2） 因为
c(98)?
'
1321元吨．
函数
f(x)
在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，
c
'
(98) ?25c
'
(90)
．它表示纯净度为
98%
左右时净化费用的瞬时 变化率，大约是纯净度为
90%
左
右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的 纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净
化费用增加的速度也越快．
（四）．课堂练习：1．课本P
18
练习1
2．已知曲线C：y ＝3 x
4
－2 x
3
－9 x
2
＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
（五）．课时小结：
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
（六）．布置作业：习题1.2 A组 4（1）（2）（3）
四、课后反思：










§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则
（新授课）

一、教学目标
知识与能力：理解并掌握复合函数的求导法则．
过程与方法：掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。
情感、态度与价值观：体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力。
二、教学重点与难点：
重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数 对中间变量的导数乘以中间
变量对自变量的导数之积．
难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
三、教学过程
（一）．创设情景，复习引入
1、基本初等函数的导数公式表（学生填表）

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
16

y?


















2、导数的运算法则
函数 导数
y?c

f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

y
'
?e
x

y?sinx

y?cosx

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x
< br>f(x)?log
a
xf
'
(x)?
1
(a?0且a ?1)

xlna
1

x
f(x)?lnx

f
'
(x)?
导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'
?
f(x)
?
f< br>'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
3．
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?

推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)
（常数与函 数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
'
'
'

（二）．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数
y?f(u)和
u?g(x)
，如果通过变量
u
，
y
可以
表 示成
x
的函数，那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作
y?f
?
g(x)
?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)
?
的导数和 函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数间的关系
为
yx
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u对
x
的导数的乘积．
?
若
y?f
?
g(x)
?
，则
y
?
?
?
?
f
?
g(x)
?
?
?
?f
?
?
g(x)
??g
?
(x)

（三）．典例分析
例1、求下列函数的导数：
（1）
y?(2x?3)
；（2）
y?e
2
?0.05x? 1
；
17

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

（3）
y?sin(
?
x?
?
)
（其中
?
,
?
均为常数）．
解：（1）函数
y?(2x?3)
可以看作函数
y?u
和
u?2x?3
的复合函数 。根据复合函数求导
法则有
2
2
?
(u)(2x?3)?4u?8x?12
。
y
x
?
?y
u
?
?u
x
=
2''
（2）函数
y?e
法则有
?0.05x?1
可以看作函数
y?e
和
u??0.05x?1
的复合函数。根据复合函数求导
'u?0.0 5x?1
u
?
(e)(?0.05x?1)??0.005e??0.005e

y
x
?
?y
u
?
?u
x
=
u'
。
（3）函数
y?sin(
?
x?
?)
可以看作函数
y?sinu
和
u?
?
x?
?
的复合函数。根据复合函数求
导法则有
?
(sinu)(
?
x?
?
)?
?
cosu?
?
cos(
?
x?
?
)
。
y
x
?
?y
u
?
?u
x
=
''
例2、求
y?sin(tanx)
的导数．
解：
y?[sin(tanx)]?cos(tanx)?sec(x)?2x
'2'222
2
?2xcos(tanx
2
)?sec
2
(x
2
)

y
'
?2xcos(tanx
2)?sec
2
(x
2
)

【点评】
求复合函 数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，
直到关于自变量求 导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3、求
y?
x?a
x?2ax
2
的导数．
1? x
2
?2ax?(x?a)?
解：
y?
'
2x?2a
2x
2
?2ax

x
2
?2ax
a
2< br>x
2
?2ax
，
???
22
22
(x?2 ax)
x?2axx?2ax
a
2
x
2
?2ax

y??
2
(x?2ax)
2
'
?a
2
【点 评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4、求y ＝sin
4
x ＋cos
4
x的导数．
【解法一】y ＝sin
4
x ＋cos
4
x＝(sin
2
x ＋cos
2
x)
2
－2sin
2
cos
2
x＝1－
＝1－
1
2
sin2 x
2
【解法二】y′＝(sin

4

x)′＋(cos

4

x)′＝4 sin

3

x(sin x)′＋4 cos

3
x (cos x)′
＝4 sin

3

x cos x ＋4 cos

3

x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin

2

x －cos

2

x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】 < br>解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应
注意 不漏步．
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
131
（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
444
18

例5、曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x
3
＋x
2
＋2 x y′＝－3 x
2
＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x
2
－2 x －1＝0，解得 x ＝－
于是切点为P（1，2），Q（－
1
或x ＝1．
3
1
14
，－），
3
27
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
114
|???1|
16
327
＝
2
．
27
2
（四）．课堂练习
1．求下列函数的导数(1) y

=sinx
3
+sin
3
3x；（2）
y?




2.求
ln(2x?3x?1)
的导数





（五）．课时小结：
1、复合函数的求导法则．
2、运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。
（六）．布置作业：习题1.2 A组5、6

四、课后反思
















思维的发掘 能力的飞跃 韩老师 < br>2
sin2x
2
;(3)
log
a
(x?2)

2x?1
19

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
(新授课)

一、教学目标：
知识与技能：借助与函数的图像了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，
会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
过程与方法：通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
情感、态度与价值观：通 过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互关系和
运动变化的观点，提高理性思维 能力。
二、教学重点与难点：
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
三、教学过程：
（一）．课题引入
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠 与减、增减的快与
慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可 以对数量的
变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数 中的
作用．
（二）．新课讲授
1．提出问题：观察课本22页图1.3-1 < br>（1），它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t )??4.9t?6.5t?10
的图像，
（2）表示高台跳水运动员的速度
v随时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：
（1）、运动员从起点到最高点，离水面的高度
h< br>随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是增函数．相应地，
'< br>2
v(t)?h
'
(t)?0
．
（2）、从最高点到入水， 运动员离水面的高度
h
随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减函数．相应地，
v(t)?h
'
(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面课本23页图1.3-2函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
< br>如图，导数
f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．













思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

20

在
x?x
0
处，
f(x
0
)?0
，切线是“左下右上”式的，这时，函数
f(x)
在
x
0< br>附近单调递增；
'
在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切线是“左上右下”式的，这时，函数
f(x)
在
x1
附近单调递减．
'
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间< br>(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在 这个区间内单调递增；如果
'
f
'
(x)?0
，那么函数
y ?f(x)
在这个区间内单调递减．
说明：特别的，如果
f(x)?0
，那 么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．

（三）．典例分析
例1．已知导函数
f(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
解：当
1?x?4时，
f(x)?0
，可知
'
'
'
'
'
'
'
''
'

y?f(x)
在此区间内单调递增；
'
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；可知
y?f(x)
在此区间内单调递减；
'
当
x?4
，或x?1
时，
f(x)?0
，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）
f(x)?x?3x
； （2）
f(x)?x?2x?3

（3）
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
； （4）
f(x)?2x?3x?24x?1

解：（1）因为
f(x)?x?3x
，所以，
3
3
2
32
(?1?)

0

f(x)?3x?3?3x
因此，
f(x)?x?3x
在R上单调递增，如图所示．










思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
3
'22

21

（2）因为
f(x)?x?2x?3
，所以，
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?

2
'
当
f(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)?x?2x?3单调递增；
当
f(x)?0
，即
x?1
时，函数
f( x)?x?2x?3
单调递减；
函数
f(x)?x?2x?3
的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因 为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
，所以，
f(x)?co sx?1?0

因此，函数
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为
f(x)?2x?3x?24x?1
，所以 ．
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
函数
f(x)?2x?3x?24x?1
的图像如图所示．
注：（3）、（4）为学生练习












例3．如图，水以常速（即单位时间 内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，
请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图像．












分析：以容器（2）为例 ，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，
以后高度增加得越来越快．反映在 图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合
图 像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，
函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓 ”一些．
如图3.3-7所示，函数
y?f(x)
在
?
0,b?
或
?
a,0
?
内的图像“陡峭”，
在
?< br>b,??
?
或
?
??,a
?
内的图像“平缓”．
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
32
'
'
'
'
2
2
2
'
32
2
2
22

例4．求证：函数
y?2x?3x?12x?1
在区间?
?2,1
?
内是减函数．
32
证明：因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x
2
?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?

当
x?
?
?2, 1
?
即
?2?x?1
时，
y?0
，所以函数
y?2 x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减
'32< br>??
函数．
说明：证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性步骤：
（1）求导函数
f
'
?
x
?
；
（2）判 断
f
'
?
x
?
在
?
a,b
?内的符号；
（3）做出结论：
f
'
?
x
?
? 0
为增函数，
f
'
?
x
?
?0
为减函数．
2
例5．已知函数
f(x)?4x?ax?
围．
'2
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数， 求实数
a
的取值范
3
'
解：
f(x)?4?2ax?2x< br>，因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，所以
f(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，即
x?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，解之得：
?1?a?1

2
所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
．
说明：已知函数的单调性求参数的 取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：
即“若函数单调递增，则
f(x) ?0
；若函数单调递减，则
f(x)?0
”来求解，注意此时公式中的
等号不 能省略，否则漏解．
例6．已知函数y=x+
''
1
，试讨论出此函数的单调区间.
x
1
解：y′=(x+)′
x
2
x?1(x?1)(x? 1)
－
=1－1·x
2
=
?
2
xx
2(x?1)(x?1)
令＞0.
2
x
解得x＞1或x＜－1.

1
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和
x
∞).

(1，+
(x?1)(x?1)
＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
2
x
1
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
x
令



思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
23

（四）．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
（1）、f(x)=2x
3
－6x
2
+7





（2）、f(x)=
1
+2x
x





（3）、 f(x)=sinx , x
?[0,2
?
]






（4）、
y?xlnx







2．课本26页练习1
（五）．课时小结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数
y?f(x)
单调区间
（3）证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
（六）．布置作业：习题1.3 A组 1、2
四、课后反思：












思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
24

§3.3.2函数的极值与导数（2课时）
（新授课）

一、教学目标：
知识与技能：了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值。
过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数求函数的极大值、极小值。
情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
二、教学重点与难点：
重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
三、教学过程：
（一）．创设情景
观察下图，我们发现，
t?a
时，高台跳水运动员距水面 高度最大．那么，函数
h(t)
在此点的
导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？ 相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大
t?a
附近函数
h(t)
的图像，课本27页图1.3-8与1.3-9．可以看出
h
?
(a)
；在
t?a
，当
t?a
时，函数
h(t)
单调递增，
h
?
(t)?0
；当
t?a
时，函数
h(t)
单调递 减，
h
?
(t)?0
；这就说明，
在
t?a
附近， 函数值先增（
t?a
，
h
?
(t)?0
）后减（
t ?a
，
h
?
(t)?0
）．这样，当
t
在
a
的附近
从小到大经过
a
时，
h
?
(t)
先正后负，且
h
?
(t)
连续变化，于是有
h
?
( a)?0
．
对于一般的函数
y?f
?
x
?
，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在
某 一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这
点两侧的导数异号
（二）．新课讲授
1．提出问题：
图1.3-8表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
的图像
图1.3-9表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度
h< br>随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是增函数．相应地，
'< br>2
v(t)?h
'
(t)?0
．
（2） 从最高点到入水， 运动员离水面的高度
h
随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减函数．相应地，
v(t)?h
'
(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
'
如图3.3-3， 导数
f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．在
x?x
0
处，
f(x
0
)?0
，
'
切线是“左下右上” 式的，这时，函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增；在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切线
是“左上右下”式的 ，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增；如果
'
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
25

说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区 间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
（三）．典例分析
例1．求
f
?
x
?
?
'
'
''
'
1
3
x?4x?4
的极值
3
1
3
解： 因为
f
?
x
?
?x?4x?4
，所以
3
f
'
?
x
?
?x
2
?4?(x?2)(x?2)< br>。
f
'
?
x
?
?0,x?2,x??2

下面分两种情况讨论：
?
x
?
>0,即
x?2
，或
x??2
时；
'
（2）当
f
?
x
?
<0,即
?2?x? 2
时.
'
当x变化时，
f
?
x
?
，< br>f
?
x
?
的变化情况如下表：
x

-2 (-2,2)
?
??,2
?

（1）当
f
'
2
0
极小值
?
?
2,??
?

+
y
?

+
↗
0
极大值
－
y


28

3
↘
4

3
28
；
3
↗
因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为
f(?2)?
当
x?2
时 ，
f(x)
有极小值，并且极小值为
f(2)??

函数
f
?
x
?
?










4
。
3
1
3
x?4x?4
的图像如图所示。
3
y1
f(x)=x
3
-4x+4
3
2
-2
Ox
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
26

例2、求y=(x－1)+1的极值
解：y′=6x(x
2
－1)
2
=6x(x+1)
2
(x－1)
2

令y′=0解得x
1
=－1，x
2
=0，x
3
=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表

23

x

?
??,?1
?

－
↘
-1
0
无极值
(-1,0)
－
↘
0
0
极小值0
(0,1)
+
↗
1
0
无极值
?
1,??
?

+
↗
y
?

y

∴当x=0时，y有极小值且
y
极小值
?0

y
f?x? =
?
x
2
-1
?
3
+1

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x
0
附近有定义，如果对x
0< br>附近的所有的点，都有f(x)＜f(x
0
)，
就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值，记作y
极大值
=f(x
0
)，x
0
是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x
0
附近有定义，如果 对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＞f(x
0
).
就说f(x< br>0
)是函数f(x)的一个极小值，记作y
极小值
=f(x
0
)，x
0
是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大
或最小并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所
示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x
4
)
>
f(x
1
)

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x
0
满足f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的极值点 ，
f(x
0
)
是
-1
O
1
x
极值 ，并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负 ”，则
x
0
是
f(x)
的极大值点，
f(x
0)
是极大值；
如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，< br>f(x
0
)
是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
27

（四）、巩固练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x
2
－7x+6 (2)y=x
3
－27x
(1)解：y′=(x
2
－7x+6)′=2x－7
令y′=0，解得x=
7
.
2
?
?
?
2
?
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
7
x

?
??,
?

7
2

?
7
?

?
,??
?
?
2
?
y
?

－
↘
0
极小值
?
+
y

∴当x=
25

4
↗
(2)解：y′=(x
3< br>－27x)′=3x
2
－27=3(x+3)(x－3)
令y′=0，解得x
1
=－3，x
2
=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
7
25
时，y有极小值，且y
极小值
=－.
2
4
x

?
??,?3
?

+
↗
-3
0
极大值54
(-3,3)
－
↘
3
0
极小值-54
?
3,??
?

+
↗
y
?

y


∴当x=－3时，y有极大值，且y
极大值
=54.
当x=3时，y有极小值，且y
极小值
=－54
（五）、课时小结 ：函数 的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.
还有要弄清函数的极值是 就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，
且要在这点处连续.可导函数极 值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的
导数是否异号.函数的不可导点可能 是极值点
（六）、布置作业：课本P45： 4 ，5
四、课后反思







§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
（新授课）

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
28

一、教学目标： 知识与能力：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数
f(x)
在闭区间< br>?
a,b
?
上
所有点（包括端点
a,b
）处的函数中 的最大（或最小）值必有的充分条件；
过程与方法：使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
情感、态度与价值观：通 过对函数的极值与最值得类比，体会知识间的联系，逐步提高分析问题
与解决问题的能力。
二、教学重点与难点
重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
三、教学过程：
（一）、课题引入：
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整 个定义域内的性质．也
就是说，如果
x
0
是函数
y?f
?< br>x
?
的极大（小）值点，那么在点
x
0
附近找不到比
f
?
x
0
?
更大（小）
的值．但是，在解决实际问题或研究 函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，
哪个值最小．如果
x
0< br>是函数的最大（小）值，那么
f
?
x
0
?
不小（大） 于函数
y?f
?
x
?
在相应区间
上的所有函数值．
（二）、新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上的函数
f(x)
的图象．图中
f(x
1
)
与
f( x
3
)
是极小值，
f(x
2
)
是极大
值． 函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值是
f(b)
，最小值是
y
f(x
3
)
．
1．结论：一般地， 在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的
图像是 一条连续不断的曲线，那么函数
y?f(x)
在
a
x
1
O< br>x
2
x
3
b
x
?
a,b
?
上必有最大值与最小值．
说明：⑴、如果在某一区间上函数
y?f(x)
的图像是一 条连续不断的曲线，则称函数
y?f(x)
在这个区间上连续．
⑵、给定函数的区间 必须是闭区间，在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大值与 最小
值．如函数
f(x)?
1
在
(0,??)
内连续，但没 有最大值与最小值；
x
⑶、在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷、函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴、最值”是 整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部
概念，是比较极值点 附近函数值得出的，具有相对性．
⑵、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
29

⑶、函数在其定义区间 上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没
有一个
⑷、极值只 能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值
的未必有极值；极 值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3、利用导数求函数的最值步骤:
由上 面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴、求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵、将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中 最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值
（三）、典例分析
例1、求
f
?x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值与最小值
3
解： 由例4可知，在
?
0, 3
?
上，当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为< br>f(2)??
又由于
f
?
0
?
?4
，
f
?
3
?
?1

4
，
3
41
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值是4 ，最小值是
?
．
3
3
1
3
上述结论可以从函数< br>f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观验证．
3
42
例2、求函数
y?x?2x? 5
在区间
?
?2,2
?
上的最大值与最小值
3
解：先求导数，得
y?4x?4x

因此，函数
f
?
x
?
?
3
令
y
＝0即
4x?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3
?1< br>

导数
y
的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表

X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2

y － 0 ＋ 0 － 0 ＋
y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13

从上表知，当
x??2
时，函数有最大值13，当x??1
时，函数有最小值4

x
2
?ax?b
例3 、已知
f(x)?log
3
,
x
∈(0,+∞).是否存在实数a、b
,使
f(x)
同时满足下列
x
两个条件：（1）
f(x)
)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）
f(x)
的 最小值是1，
若存在，求出
a、b
，若不存在，说明理由.
x
2
?ax?b
解：设g(x)=
x
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
30

∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴
?
?
a?1
?
g'(1)?0
?
b?1?0
∴
?
解得
?

?
b?1
?
a?b? 1?3
?
g(1)?3
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
（四）、课堂练习
1、下列说法正确的是( )
A函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2、函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
y
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
1 11
3、函数y=
x
4
?x
3
?x
2
，在 ［－1，1］上的最小值为( )
432
13
A.0 B.－2 C.－1 D.
12
42
4、求函数
y?x?2x?5
在区 间
?
?2,2
?
上的最大值与最小值．
12
10
8
6
4
2
y=x
4
-2x
2
+5
5、课本31页练习
-4
-2
O
2
4
x
（五）、课时小结
1 ．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端
点； 2．函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件而
非必要条件；
3．闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有 最值；开区间
(a,b)
内的可导函数不一定有最值，若
有唯一的极值，则此极值必是 函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
（六）．布置作业：习题1.3 A组 6
四、课后反思















§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
（新授课）

一、教学目标：
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
31

知识与技能：利用导数解决生活中的优化问题。
过程与方法：通过学习使利润最大、用料最省 、效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导
数在解决实际问题中的作用。
情感、态度与 价值观：通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学
的兴趣，提高将实际问 题转化为数学问题的能力
二、教学重点与难点：
重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学过程：
（一）。新课引入
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过
前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力 工具．这一节，我们利用导数，解决一
些生活中的优化问题．
（二）．新课讲授
导 数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方
面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并
确定函数的定义域，通过创造在闭 区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方 案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的
工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

（三）．典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向 张
2
贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。 如何设计海报的尺
寸，才能使四周空心面积最小？
128
dm,此时四周空白面积为
x
128512
?2)?128?2x??8,x?0
。
S(x)?(x?4)(
xx
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为
求导数，得
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
32

512
。
2
x
512
'
令
S(x)?2?
2
?0
，解得
x?16(x??16
舍 去）。
x
128128
于是宽为
??8
。
x16
''
当
x?(0,16)
时，
S(x)
<0；当
x?(1 6,??)
时，
S(x)
>0.
因此，
x?16
是函数< br>S(x)
的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，
S'
(x)?2?
能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
（背景知识）：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8
?
r
2
分，其中
r
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,
且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为
r
，所以每瓶饮料的利润是
4
< br>y?f
?
r
?
?0.2?
?
r
3
? 0.
?
8r
2
?
3
?
r
3
?2
?
0.8?r,?0

??
?r
?
3
?
令
f
?
?
r
?
?0.8
?
( r
2
?2r)?0
解得
r?2
（
r?0
舍去）
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?
r
?
?0
；当r?
?
2,6
?
时，
f
?
?
r
?
?0
．
6
当半径
r?2
时，
f
?< br>?
r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径
r?2
时，
f
??
r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为
2
cm 时，利润最小，这时
f
?
2
?
?0
，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成
本，此时利润是负值．
（2）半径为
6
cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知： 当
r?3
时，
f
?
3
?
?0
，即瓶子的半 径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好
相等；当
r?3
时，利润才为正值．
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?< br>r
?
?0
，
f
?
r
?
为减函数，其 实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子
的半径越大，利润越小，半径为
2
cm 时，利润最小．
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性 介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和
扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被 同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定
长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或1，这个基本单元通常被称为比
特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必 需大于
m
，每比特所占用的磁道长度不得小于
n
。
为了数据检索便利 ，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
33

问题：现有一张半径为
R
的磁盘， 它的存储区是半径介于
r
与
R
之间的环形区域．
（1） 是不是
r
越小，磁盘的存储量越大？
（2）
r
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于
m
，且最外面的磁道不存储任
R?r
。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条
m
2
?
r
磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
n
R?r2< br>?
r
2
?
×
?r(R?r)

f(r)?
mn
mn
何信息，故磁道数最多可达
（1）它是一 个关于
r
的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是
r
越小，磁盘的存储量 越大．
（2）为求
f(r)
的最大值，计算
f
?
(r)? 0
．
2
?
?
R?2r
?

mn
R
令
f
?
(r)?0
，解得
r?

2RR
当
r?
时，
f
?
(r)?0
；当
r?
时，
f
?
(r)?0
．
22
R
2< br>?
R
2
因此
r?
时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
mn4
2
f
?
(r)?
例4．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量
w
（单位：L）与汽车的速度
v
（单位：k mh）之间有一定的关系，
汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数．根 据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：Lm）就是 研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果
w
，其中，
w
表示汽油消耗量（ 单位：L），
s
表示
s
汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路 程的汽油消耗量最少”，就是求
G
的最小值的
用
G
表示每千米平均的 汽油消耗量，那么
G?
问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析 、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均
消耗率
g
（即每小时的汽油消耗量， 单位：Lh）与汽车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间有
如图所示的函数关系< br>g?f
?
v
?
．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问 题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消
耗率
g
（即每小时的汽油消耗量，单 位：Lh）与汽车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间关系
的问题，然后利用图像 中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
w
wg
解：因为
G??
t
?

s
s
v
t
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
34

gg
的最小值．从图象上看，表示经过原点 与曲线上点的直线的斜率．进
vv
一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速 度约为90
kmh
．
这样，问题就转化为求
因此，当汽车行驶距离一定时， 要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车
速约为90
kmh
． 从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即
f
?
?
90
?
，约为 L．
例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起(如图)，
做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最 大容积是多少？





x
x














_x
_60
_x
_
60
解 法一：设箱底边长为
x
cm，则箱高
h?
2
60?x
cm， 得箱子容积
2
60x
2
?x
3
V(x)?xh?

(0?x?60)
．
2
3x
2
V
?
(x)?60x?

(0?x?60)

2
3x
2
令
V
?
(x)?60x?
＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大
值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 解法二：设箱高为
x
cm，则箱底长为(60-2
x
)cm，
6 0-2x
容积
3
x
60-2x
60-2x
则得箱子
V(x)?(60?2x)
2
x
(0?x?30)
．
（后面同解法一，略）
由题意可知，当
x
过小或过大时箱子容积很小，
值出现在极值点处．
60
60
60-2x
x
所以最大
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
35

事实上，可导函数
V(x)?xh ?
2
60x?x
2
、
V(x)?(60?2x)x
在各自的 定义域中都只有
2
23
一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而 这个极值点就是最值点，不必考虑
端点的函数值
例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的 高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最
省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
，则
?
R
2
V
2
2V
2
S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR
2
?
RR
2V
令
s
?
(R)??
2
+4πR=0
R
V
V
V4VV
33
解得，R=
3
，从而h====2
?
R
2
2
??
?
V
2
?
(
3)
2
?
由V=πRh，得
h?
2
即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用
材料最省？
S?2
?
R
2
提示：
S
=2
?
Rh
+
2
?
R
?
h=
2
?
R
S?2
?
R
2
11
?
V
(
R
)=
?
R
2
=
(S? 2
?
R
2
)R?SR?
?
R
3

2
?
R
22
V'(R)
)=0
?S?6
?
R
2

?
6
?
R
2
?2
?Rh?2
?
R
2
?h?2R
．
2
例6．在经 济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收
益称为收益函数， 记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝
10x?0.003x?5x?1000
，那么生产多少单位产品时，边际
C
?
(x)
最
低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果 C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本
C
与产量
q
的函数关系式为
C
=100+4
q
，价格
p
与产量
q
的函数关系
式为
p?25?
?632
1
q
．求产量
q
为何值时，利 润
L
最大？
8
1
?
1
q
?
?25q?q
2
，
8
?
8
36

分析：利润
L
等于收入R
减去成本
C
，而收入
R
等于产量乘价格．由此可得出利润L
与产量
q
的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入
R?q?p?q
?
25?
?
?
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

利润
L?R?C?
?
25q?
?
?
1
2
?
1
q
?
?( 100?4q)??q
2
21q?100
(0?q?100)

8
?
8
1
L
?
??q?21

4
1
令
L
?
?0
，即
?q?21?0
，求得 唯一的极值点
q?84

4
答：产量为84时，利润L最大
例7． 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积
为定值S时，使 得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底
边长b.
3
1
(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
3
2
23
1233
h?2b)h?(h?b)h
① ∴AD=h+b, ∴S=
(
3
233
2
h2
h
×2+b
?h
,AB=CD.∴l=∵CD=②
cos30?
3
3
解：由梯形面积公式，得S=
S3
43S3S
?
h??h?3h?
h,代入②,∴l=
h3
3h3h
S
SSS
l′=
3?2
=0,∴h=
4
, 当h<
4
时，l′<0,h>
4
时，l′>0.
h
333
由①得b=
2
4
3
S
S
∴h=
4
时，l取最小值，此时b=
3
3
例8．已知矩形的两个顶点 位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x
2
在x轴上方的曲线上，
求这种矩形中面积最大者的边长．
解：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），
在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．
2
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x），0＜ x ＜2．
由S
′
（x）＝8－6 x
2
＝0，得x ＝
x ＝
2
3
，易知
3
4
是S在（0，2）上的极值点，
3
即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为
2
8
3
和．
3
3
点评：应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定< br>有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

（四）．课堂练习
练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费
思维的 发掘 能力的飞跃 韩老师
37

30元，每千 册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次
进多少册，可使所 付的手续费与库存费之和最少？
解：假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即
x
，故有
2
150x4500
×30＋×40，y
′
＝－
2
＋20，
x2x
9000
令y
′
＝0，得x ＝15，且y
″
＝
3
，f
″
(15)＞0，
x
y ＝
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为

2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城 离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50
千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙 城的水管费用分别为每千米500元和700
元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
解：设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝
x
2
?40
2
．
y ＝500（50－x）＋700
x
2
?1600

＝25000－500 x ＋700
x
2
?1600
，
?
1
2
y
′
＝－500＋700 · (x ＋1600)
2
· 2 x
2
700x
1
150
＝10（次）．
15
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
＝－500＋
x?1600
2
，
令y′＝0，解得x ＝
506506
．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
33
点 评：当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，
然后再根 据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．
（五）：课时小结1．利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与 其相应的数学模型，再通过研究相
应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
（六）．布置作业：习题1.4 A组：1. 2. 3
§
1.5.1曲边梯形的面积
（新授课）

一、教学目标
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
38

知识与技能：通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景。
过程与方法：理解求曲边图形面积 的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方
法

情感态度与价值观：通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想。
二、教学重点与难点

重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）

难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学过程：
（一）．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段 围成的。那么，如
何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及
定积分的 简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数
y?f(x)
在某一区间
I
上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数
（不加说明，下面研究的 都是连续函数）
y?f(x)
称为区间
I
上的连续函数．
（二）．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是
我们把由直线
x?a,x?b(a?b) ,y?0
y?f(x)
的一段，
线
y?f(x)
所围成的图形称为曲 边梯形．如何计算这个曲
形的面积？


例1：求图中阴影部分是由抛物 线
y?x
，直线
x?1
以及
x
轴所围成的平面图形的面积S 。
2
曲线
和曲
边梯

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

分 析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
y
y
39
y

都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．





y
y?x
2
O
0.20.4
0.60 .8
1
x
0.1

把区间
?
0,1
?
分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲 边梯形，对每个小曲边梯形“以直
代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边 梯形面积的近似值，对这些
近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精 确。当分割无限变细
时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和 逼近的思想方
法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间
?
0,1
?
上等间隔地插入
n?1
个点，将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小区间：
?
1
??
12
?
?
n?1
?
,1
?

?
0,
?
，
?
,
?
，…，
?nnn
n
????
??
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,,n)
，其长度为 记第
i
个区间为
?
?
nn
?
ii?11
?x???

nnn
分别过上 述
n?1
个分点作
x
轴的垂线，从而得到
n
个小曲边梯形， 他们
的面积分别记作：

?S
1
，
?S
2
，…，
?S
n

显然，
S?
y
y
y=x
2
O
i-1
i
n
n
1
x
?
?S

i
i?1
n
y=x
2

（2）近似代替
?
i?1i
?
,
?
记
f
?
x
?
?x
，如图所示，当
n
很大，即
? x
很小时，在区间
?
nn
??
2
上，可以认为函数
f
?
x
?
?x
的值变化很小，近似的等于一个常数，不
2< br>O
i-1
i
n
n
1
x
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
40

?
i?1?
f
??
，从图形上看，就是用平行于
x
轴的直线段
n
??
?
i?1i
?
,
?
上，用小矩形的面积
?S
i
?
近似的近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间
?< br>?
nn
?
代替
?S
i
，即在局部范围内“以直代取” ，则有
妨认为它近似的等于左端点
i?1
处的函数值
n
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
1
?S
i
??S
i
?
?f
?
?x??x?(i?1,2,
? ????
?
n
??
n
??
n
?
n
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积
S
n
为
n
i?1
???
i?1
?
1

?S
n
?
?
?S
i
?
?
?
f
??x?
?
???
nnn
???
i?1i?1i?1
?< br>nn
2
22
,n)
①
1
?
1
?
1
?
n?1
?
1
1
?
22
=0?
??
=
3
1?2?
??
??
n
?
n
?
n
?
n
?
n
n
?
1
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?
=
3
=
?
1?
??
1?
?

3
?
n
??
2n
?
n6
1
?
1
??
1
?
从而得到
S
的近似值
S?S
n
?
?
1?
??
1?
?

3
?
n
??
2n
?
（4）取极限
22
2
?
?
n?1
?
?

?分别将区间
?
0,1
?
等分8，16，20，…等份（如课本图1.5- 5），可以看到，当
n
趋向于无穷大时，即
1
?
1
??1
?
?x
趋向于0时，
S
n
?
?
1?
??
1?
?
趋向于
S
，从而有
3
?n
??
2n
?
n
1
?
1
??
1
?
1
?
i?1
?
1
S?limS
n?lim
?
f
?
?lim1?1?
?????
?

n??n??n??
3
?
n
??
2n
?
3
?
n
?
n
i?1
从数值上的变化趋势：课本表1-1
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．在区间
?
a,b
?
中任意插入
n?1
各分点，将它们等分成
n
个小区间
?< br>x
i?1
,x
i
?
?
i?1,2,
梯形面积 的近似值．
,n
?
，区间
?
x
i?1
,x
i
?
的长度
?x
i
?x
i
?x
i?1< br>，
第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲 边
第三步：求和．
第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割
?
以直代曲
?
求和
?
逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
例2．求
y?2x?x,y?0,0?x?2
围成图形面积
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
2
41

解：（1）．分割
在区间
?
0,2
?
上等间隔地插入n?1
个点，将区间
?
0,2
?
等分成
n
个小 区间：

?
0,
?
?
?
2
?
n?1
?
?
2
??
24
?
,
,1
?
，，…，
?
???
n
??
nn
?
?
n
?
记第
i
个区间为
?
?
2
?
i?1
?
2i
?
,
?
( i?1,2,
n
??
n
,n)
，其长度为
2i
2
?
i?1
?
2
??

nn n
分别过上述
n?1
个分点作
x
轴的垂线，从而得到
n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

?S
1
，
?S
2
，…，
?S
n

?x?
显然，
S?
?
?S

i
i?1
2
n

（2）近似代替
∵
y?2x?x
，当
n
很大，即
?x
很小时，在区间
?
2
?
2
?
i?1
?
2i
?
,
?
(i?1,2,
n
??
n,n)
上，可以认
2
?
i?1
?
处
n
为函数
y?2x?x
的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
2
?
2
?
i?1
?
??
2
?
i ?1
?
?
?
2
?
i?1
?
2i
?
?
,
?
上，用小矩形的面积
?S
i
?
近似 的函数值
2
?
，这样，在区间
???
?
nn
nn< br>?
????
?
的代替
?S
i
，即在局部范围内“以直 代取”，则有
?
?
2
?
i?1
?
??
2
?
i?1
?
?
2
??
?
2
?i?1
?
??
2
?
i?1
?
?
2?
2
?S
i
??S
i
?
?
?
2
??
?
??
?
?x?
?
2
??
?
??
?
①
n
??
n
?
?
n
??
n
?
?
n
??
?
?
???
?
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积
S
n
为
?
?
2
?
i?1
?
??
2
?i?1
?
?
2
?
2
?S
n
?
?
?S
i
?
?
?
?
2
??
???
?

n
??
n
?
?
n
i ?1i?1
?
?
??
n
i?1
?
i?1
?
2
8
n
?
2
?

1?
ni?1? i?1
=
?
4
=
????
??
3
?
??
n
?
n
?
n
n
i?1
i?1
88
2
2
2
0?1?2??n?1?1?2??n?1
=
2
?

?
????
3
??
nn
8
n
?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
?
3
=
2

n2n6
8
n
?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
?
3
从而得到
S
的近似值
S?S
n
?
2

n2n6
nn
??
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
42

（4）取极限
?
8
n< br>?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?2n?1
?
?
4
S?limS
n
?lim
?< br>?
2
?
3
?
?

n??n??
n2n6
i?1
??
3
n
练习
设S表示由曲线
y?x
，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。













（四）、课时小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割
?
以直代曲
?
求和
?
逼近
四：教学反思
















§
1.5.2汽车行驶的路程
（新授课）

一、教学目标
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
43

“以直代曲”的思想） （

知识与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的 过程的共同点；感受在其
过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）

过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直
代曲“的思想

情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，培养唯物主义的观点。
二、教学重点与难点
重点：
掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）

难点：过程的理解
三、教学过程：
（一）．课题引入
复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“ 已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如
果已知物体的速度与时间的关系， 如何求其在一定时间内经过的路程呢？
（二）．新课讲授
问题：汽车以速度
v组匀速直线运动时，经过时间
t
所行驶的路程为
S?vt
．如果汽车作变 速
直线运动，在时刻
t
的速度为
v
?
t
?
??t?2
（单位：kmh），那么它在0≤
t
≤1(单位：h)这段时间
2
内行驶的路程
S
（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似， 采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，
化归为匀速直线运动的路程问题．把区间
?
0,1
?
分成
n
个小区间，在每个小区间上，由于
v
?
t
?
的变
化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而 求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，
在求和得
S
（单位：km）的近似值，最 后让
n
趋紧于无穷大就得到
S
（单位：km）的精确值．（思
想：用 化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：1．分割
在时间区间
?
0,1
?
上等间隔地插入n?1
个点，将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小 区间：

?
0,
1
??
12< br>?
?
n?1
?
,
,1
?
，，…，< br>?
n
?
?
?
?
nn
?
?
?
n
?
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,, n)
，其长度为 记第
i
个区间为
?
?
nn
?ii?11
?t???

nnn
?
1
??
12
?
?
n?1
?
,1
?
上行驶的路程分别记作： 把 汽车在时间段
?
0,
?
，
?
,
?
，…，< br>?
nnn
n
????
??
?
?

?S
1
，
?S
2
，…，
?S
n
显然，
S?
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
?
?S

i
i?1
n
44

（2）近似代替
当
n
很大，即
?t
很小时，在区间
?
?
i?1i
?
,
?
上，可以认为函数
v
?
t
?
??t
2
?2
的值变化很小，
?
nn
?
2
i?1
?
i?1
??
i?1
?< br>近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值
v
?
???2< br>，从
???
n
?
n
??
n
?
?i?1i
?
,
?
(i?1,2,,n)
上的速度变化很小，不妨 认为它近似物理意义上看，即使汽车在时间段
?
nn
??
i?1
?< br>i?1
??
i?1
?
地以时刻处的速度
v
?
??
???
?2
作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变
n
?
n
??
n
?
速”，于是的用小矩形的面积
?S
i
?
近似的代替
?S
i
，即在局部范围内“以直代取”，则有
2
?
?
i?1
?
2
?
1i?1
?
i?1
?
12
?
?
?S
i
??S
i?
?v
?
?(i?1,2,
?
?t?
?
???
?2
?
??
??
nnn
nnn
?????
??
?
?
?
2
,n)
①
（3）求和
2
n
?
i?1
?
i?1
?< br>12
?
??
?
?
由①，
S
n
?< br>?
?S
i
?
?
?
v
??
?t??
?
?
??
nnnn
?
??
i?1i?1?
i?1
?
?
?
?
nn
1
?
2
1
?
1
?
1
?
n?1
?
1=
?0?
??
=
?1?2
2
?
??
?
?2
?
3
?
n
n
?
n
?
n
?
n
?
n
1
?
n?1
?
n?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?
?2
=
?
?
1?
??
1?
?
?2
=
?
3
3
?
n
??
2n
?
n 6
1
?
1
??
1
?
从而得到
S
的 近似值
S?S
n
??
?
1?
??
1?
?
?2

3
?
n
??
2n
?
（4）取极限
当n
趋向于无穷大时，即
?t
趋向于0时，
S
n
???
1?
22
2
?
?
n?1
?
?
?2

?
1
?
3
?
1
??
1< br>?
1?
???
?2
趋向于
S
，从而有
n< br>??
2n
?
S?limS
n
?lim
?
n? ?n??
i?1
n
1
n
?1
?
1
??1
?
?5
?
i?1
?
v
?
?lim? 1?1?
?
n??
?
????
?2
?
?

n3n2n
?????
?
3
?
?
思考：结合求曲边 梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程
S
与由直线
t?0,t?1,v?0
和曲
线
v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程
S?limS
n
在数据上等于由直线t?0,t?1,v?0
和曲线
n??
v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为
v?v
?
t
?
，那么我们也可以采用分割、近似代
替、求和、取极限的方法，利用“以 不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤
t
≤b内所
作的位移
S< br>．
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
45

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力
F
?
x
?
?kx
（
k
为常数，
x
是伸长量），
求弹簧从平衡位置拉长
b
所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力
F
沿力的方向移动距离
x
，则所作的功为
W?F?x< br>．
1．分割
在区间
?
0,b
?
上等间隔地插入< br>n?1
个点，将区间
?
0,1
?
等分成
n
个 小区间：

?
0,
?
?
??
n?1
?
b
?
b
?
?
b2b
?
,
，，…，
,b
?

?
?
??
n
?
?
nn
?
?
n
?
?
?
i?1
?
b
i?b
?
记第
i
个区间为< br>?
,
?
(i?1,2,,n)
，其长度为
nn
??
i?b
?
i?1
?
b
b
?x???
nnn
?
?
n?1
?
b
?
?
b
?
?
b2b
?
,b
?
上所作的功分别记作： 把在分段< br>?
0,
?
，
?
,
，…，
?
?
?
n
?
?
nn
?
?
n
?

?W
1
，
?W
2
，…，
?W
n

（2）近似代替
有条件知：
?W
i
?F
?
（3）求和
?
?
i?1
?
b
?
?
i?1
?
b
?
b

(i?1,2,n,

)
??x?k?
?< br>nnn
??
W
n
?
?
?W
i
??
k?
i?1i?1
nn
?
i?1
?
b
?
b
nn

kb
2
n
?
n?1
?
kb
2
?
1
?
?
?
n?1
?< br>?
?
?
1?
?

?
?
n
2
22
?
n
?
kb
2
?
1
?
从而得到
W
的近似值
W?W
n
?
?
1?
?

2
?n
?
kb
2
0?1?2?
=
2
?
?< br>n
（4）取极限
kb
2
?
1
?
kb
2
W?limW
n
?lim
?
?W
i
?lim< br>
?
1?
?
?
n??n??n??
2n2
? ?
i?1
n
kb
2
所以得到弹簧从平衡位置拉长
b
所作的功为：
2
（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程．
四：教学反思


§
1.5.3定积分的概念
（新授课）

一：教学目标
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
46

知识与技能：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分。
过程与方法：借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
情感态度与价值观：通过对定积分的学习，培养辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重点与难点
重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义

难点：定积分的概念、定积分的几何意义
三：教学过程：
（一）．引入新课
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决 步骤：分割→
以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
（二）．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数
f(x)
在区间
[a,b]
上连续，用分点
a?x
0
?x
1
?x
2
??x
i?1
?x
i
??x
n
?b

将区间
[a,b]
等分成n
个小区间，每个小区间长度为
?x
（
?x?
上取一点
?
i
?
i?1,2,
b?a
），在每个小区间
?
x
i?1
,x
i
?
n
b?a
f(
?
i
)

n
i?1i?1
如果
?x
无限接近于
0
（亦即
n???
）时，上述和式
S
n
无限趋近于常数< br>S
，那么称该常数
S
为函
,n
?
，作和式：
S
n
?
?
f(
?
i
)?x?
?
b
nn
数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分。记为：S?
b
?
a
f(x)dx

其中
f(x)
成为被积函数，
x
叫做积分变量，
[a,b]
为积分区间，
b
积分上限，
a
积分下限。
说明：（1）定积分
?
a
f(x)dx
是一个常数，即
S
n
无限趋近的常数
S< br>（
n???
时）称为
?
b
a
f(x)dx
， 而不是
S
n
．
①分割：
n
等分区间
?
a,b
?
；
②近 似代替：取点
?
i
?
?
x
i?1
,x
i< br>?
；
③求和：
n
（2）用定义求定积分的一般方法是：
?
i?1
b?a
f(
?
i
)
；
n
b
a
④取极限：
?
f(x)dx?lim
?
f< br>?
?
i
?
n??
i?1
n
b?a

n
t
2
t
1
（3）曲边图形面积：
S?
变 力做功
W?
?
b
a
f
?
x
?
d x
；变速运动路程
S?
?
v(t)dt
；
?
b
a
F(r)dr

47

思维的发掘 能力的飞跃 韩老师

2．定积分的几何意义
如果在区 间
[a,b]
上函数连续且恒有
f(x)?0
，那么定积分
（
a?b
），
y?0
和曲线
y?f(x)
所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分
b
?
b
a
f(x)dx
表示由直线
x?a,x?b
?
a
f(x)dx
的几何意义是介于x
轴、函数
f(x)
的图形以及直线
x?a,x?b
之间各部分 面积的代数和，在
x
轴上方的面积取正号，在
x
轴下方的面积去负号． < br>分析：一般的，设被积函数
y?f(x)
，若
y?f(x)
在
[a,b]
上可取负值。
考察和式
f
?
x
1
?< br>?x?f
?
x
2
?
?x?
不妨设
f(xi
),f(x
i?1
),
b
?f(x
i
)?x ??f
?
x
n
?
?x

?[?f
?
x
n
?
?x]}

,f(x
n
)?0

于是和式即为
f
?
x
1
?
?x?f
?
x
2
?
?x?
a
?f(x
i?1
)?x?{[?f(x
i
)?x]?
??
f(x)dx?
阴影
A
的面积—阴影
B
的面积（即< br>x
轴上方面积减
x
轴下方的面积）
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
?
1dx?b?a

性质2
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
?f(x)]d?x
?
f(x)?d
?
xf(

x)
性质3
?
[f(x)

d

x
（定积分的线性性质）性质
性质1
a
b
bbaa
bbb
a
12
a
1
a
2
4 < br>bcb
?
??
f(x)dx
aa
f(x)d?x
?< br>c
(f)x其中d(x
b

?a?

c)b
（定积分对积分区间的可加性）
性质5 若
f(x)?0,x??
a,b
?
，则
推论1：
f(x)?g(x)
，
推论2：
?
a
f(x)dx?0

b
a
?
b
a
f(x)dx?
?
g(x)dx

?
a?b
?

?
b
a
f(x)dx?
?
g(x)dx

?
a?b
?

a
b
b
性质6设
M ,m
为
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值、最小值 ，则
m(b?a)?
?
f(x)dx?M(b?a)

a
性质7（中值定理）若
f(x)?
?
a,b
?
，则至少有一
?
?
?
a,b
?
，使
?
b
a
f( x)dx?f(
?
)(b?a)
.
1
b
f(x)dx?M
，依介值定理，必有
?
?
?
a,b
?
， 证：由性 质6知，
m?
b?a
?
a
b
1
b
f(x) dx?f(
?
)(b?a)
。
f(x)dx?f(
?
)< br>使，即
?
?
a
a
b?a
说明：
①推广：< br>?
b
a
[f
1
(x)?f
2
(x)??f< br>m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
aa
bb
?
?
f
m
(x)

a
b
思维的发掘 能力的飞跃 韩老师
48