数学高三一轮复习用书全套(1000页)

故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．
备选变式（教师专享）

求下列函数的值域：
(1) f(x)＝1－x＋x＋3；
x
2
－9
(2) g(x)＝
2
；
x－7x＋12
(3) y＝log
3
x＋log
x
3－1.
?
?
1－x≥0，
解：(1) 由
?
解得－3≤x≤1.
?
x＋3≥0，
?
∴ f
(
x
)
＝1－x ＋x＋3的定义域是
[
－3，1
]
.
∵ y≥0，
∴ y
2
＝4＋2
即y＝4＋2
2
(
1－x
)(
x＋3
)
，
－
(
x＋1
)
＋4
(－3≤x≤1
)
.
2
2
令t
(
x
)
＝－
(
x＋1
)
＋4
(
－3≤x≤1
)< br>.
∵ x∈
[
－3，1
]
，由t
(
－3< br>)
＝0，t
(
－1
)
＝4，t
(
1
)
＝0，
∴ 0≤t≤4，从而y
2
∈
[
4，8
]
，即y∈
[
2，22
]
，
∴ 函数f
(
x
)
的值域是
[
2，22
]
.
(
x＋3
)(
x－3
)
x＋3x
2
－9< br>7
(
x≠3且x≠4
)
. (2) g
(
x
)
＝
2
＝＝＝1＋
x－7x＋12
(
x－3
)(< br>x－4
)
x－4x－4
∵ x≠3且x≠4，∴ g
(
x
)
≠1且g
(
x
)
≠－6.
∴ 函数g
(
x
)
的值域是
(
－∞，－6
)
∪
(
－6，1
)
∪
(
1，＋∞
)
.
(3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．
当x>1时，log
3< br>x>0，y＝log
3
x＋log
x
3－1
≥2log
3
x·log
x
3－1＝1；
当03
x<0，y＝log
3
x＋log
x
3－1
＝－[(－log
3
x)＋(－log
x
3)]≤－2－1＝－3.
所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
题型3 函数值域和最值的应用
例3 已知函数f(x)＝x
2
＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f
min
(x)＝0，
4（2a＋6）－（4a）
2
3
∴ ＝0，∴ a＝－1或.
42
3
(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)
2
－4 (2a＋6)≤0，即2a
2
－a－3≤0，∴ －1≤a≤，
2
a
2
－a＋2，－1≤a≤1，
?
?
∴ g(a)＝2－a|a－1|＝
?
2
3

－a＋a＋2，1?
2
?
1
?
2
7
2
?
当 －1≤a≤1，g(a)＝a－a＋2＝
?
a－
2
?
＋，
4
7
?
∴ g(a)∈
?
?
4
，4
?
；
1
?
2
93
2
?
当1?
a－
2
?
＋，
24
5
?
∴ g(a)∈
?
?
4
，2
?
.


第30页

5
?
∴ 函数g(a)＝2－a|a－1|的值域是
?
?
4
，4
?
.
备选变式（教师专享）

已知函数y＝mx
2
－6mx＋m＋8的定义域为R.
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．
解：(1) 当m＝0时，x∈R；当m≠0时，m＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1，故实数m的
取值范围为0≤m≤1.
(2) 当m＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y＝m（x －3）
2
＋8－8m，故f(m)
＝8－8m(0＜m≤1)．于是，f(m) ＝8－8m(0≤m≤1)，其值域为[0，22]．

1. (2015·南通一模)函数f(x)＝lg(－x＋2x＋3)的定义域为________．
答案：(－1，3)
解析：由－x
2
＋2x＋3＞0，得定义域为(－1，3)．
2. (20 15·泰州二模)已知函数y＝x
2
－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a
的取值集合为________．
答案：{1}
解析： x
2
－2x＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a＝0，则a＝1.
3. (2015·南京三模)已知a，t为正实数，函数f(x)＝x
2
－2x＋a ，且对任意的x∈[0，t]，都
有f(x)∈[－a，a]．对每一个正实数a，记t的最大值为g( a)，则函数g(a)的值域为________．
答案：(0，1)∪{2}
1
解析：f(1)＝－a时，即1－2＋a＝－aa＝＞0，符合题意，此时t
max
＝g(a) ＝2；当f(1)
2
1
＜－a时，即1－2＋a＜－a0＜a＜.此时当f(t)＝－ a时，即t
2
－2t＋a＝－at＝1±1－2a，
2
∵ t＜1，∴ t＝1－1－2a＝g(a)∈(0，1)．综上可得，g(a)∈(0，1)∪{2}.
?
－x＋6，x≤2，
?
4. (2015·福建理)若函数f(x)＝?
(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数
?
3＋logx，x>2< br>?
a
a的取值范围是________．
答案：(1，2]
解析： 当x≤2，故－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需f(x)＝3＋log
a
x(x
＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a＞1，所以3＋log
a
2≥ 4，解得1＜a≤2，所以实数a的取值
范围是(1，2]．
5. (2015·山东理)已 知函数f(x)＝a
x
＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b< br>＝________．
3
答案：－
2
－
1
－1
??
?
a＋b＝－1，
?
a＋b＝0，
1
解 析：当a>1时
?
0
无解；当0?
0
解得b＝－ 2，a＝，则
2
??
?
a＋b＝0，
?
a＋b＝－1，13
a＋b＝－2＝－.
22
2

x
2
－x
1. 函数y＝
2
的值域是________．
x－x＋1
1
－，1
?
答案：
?
?
3
?


第31页

x
2
－x
解析：由y＝
2
，x∈R，得(y－1)x
2
＋(1－y)x＋y＝0.∵ y＝1时，x∈∴ y≠
x－x＋1
1
1
－，1
?
. 1.又x∈R，∴ Δ＝(1－y)
2
－4y(y－1)≥0，∴ －≤y<1.∴ 函数的值 域为
?
?
3
?
3
x
?
?
2＋a， x>2，
2. 设函数f(x)＝
?
若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
2
?
x＋a，x≤2.
?
答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞) < br>解析：f(x)的值域为R，则2
2
＋a≤2＋a
2
，实数a的取值范 围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
4
3. 已知函数f(x)＝－1的定义域是[a， b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的
|x|＋2
整数数对(a，b)共有_ _______个．
答案：5
44
解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－
|x|＋2|x|＋2
2，1)，(－2，2) ，(0，2)，(－1，2)共5个．
4. 求函数y＝（x＋3）
2
＋16＋（x－5）
2
＋4的值域．
解： 函数y＝f(x)的几何意义为：平面内一点P(x，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)距离之
和就是y的值．由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′交x轴于
一点 P即为所求的最小值点，y＝|AB′|＝8
2
＋6
2
＝10.即函数的值域 为[10，＋∞)．




1. 函数的定义域是函数的灵魂， 它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，
因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中
的作用．
3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分
离常 数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中
要与初等方法密 切配合．
请使用课时训练(A)第2课时(见活页)．
[备课札记]
















第3课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)12～13页)



第32页

① 函数单调性的概念是函数性质中最重要
并利用函数单 调
的概念，仍将会是2016年高考的重点，特别
① 理解函数单调性的定义，
性的定义判断或证明函数在给定区间上
要注意函数单调性的应用.
的单调性.
② 常见题型有：a.求函数的单调区间；b.用定
② 理解函数的单调 性、最大(小)值的几何意
义判断函数在所给区间上的单调性；c.强化应
义，会用单调性方法 求函数的最大(小)值.
用单调性解题的意识，如比较式子大小，求
② 能利用函数的单调性解决其他一些综合
函数最值，已知函数的单调性求参数的取值
问题．
范围等．
③





1. (必 修1P
44
习题2(1)改编)设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的 范围为
________．
1
答案：a<
2
解析：2a－1<0时该函数是R上的减函数．
2. (必修1P
44< br>习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是________．(填
序号)
1
① y＝1－3x；② y＝－；③ y＝x
2
＋1；④ y＝|x＋1|.
x
答案：②③④
3. (必修1P
44
习题4 改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a＋1)则实数 a的取值范围是________．
答案：[－1，1)
?
－2≤a＋1≤2，

?
解析：由条件
?
－2≤2a≤2，
解得－1≤a<1.
?
?
a＋1>2a，
1
4. 函数f(x)＝的最大值是________．
1－x（1－x）
4
答案：
3
1
?
2
33
2
?
解析：∵ 1－x(1－x)＝x－x＋1＝
?
x－
2
?
＋≥，
44
14
∴ 0<≤.
1－x（1－x）
3
5. 已知函 数y＝log
2
(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为________．
答案：(1，＋∞)
解析：令m＝ax－1，则函数y＝log
2
(ax－ 1)在(1，2)上单调递增等价于m＝ax－1在(1，
?
a>0，
?
2) 上单调递增，且ax－1>0在(1，2)上恒成立，所以
?
即a＞1.
?
a－1＞0，
?

1. 增函数和减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x
1
、x
2
，当x
1
2
时，都有


第33页

f(x
1
)2
)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图1所示)
如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)>f(x
2
)，那么 就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图2所示)
2. 单调性与单调区间
如 果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间
M上具有单调性(区 间M称为单调区间)．
3. 判断函数单调性的方法
(1) 定义法：利用定义严格判断．
(2) 利用函数的运算性质．
1
如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③
f（x）
f（x）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．
(3) 利用复合函数关系判断单调性
法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复 合函数为增函
数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．
(4) 图象法
奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的
单调性.


题型1 函数单调性的判断
ax
例1 判断函数f(x)＝
2
(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．
x－1
a（x
1
x
2
＋1）（x
2
－x
1
）< br>ax
1
ax
2
解：设－11
2<1, 则f(x
1
)－f(x
2
)＝
2
－
2
＝，
2
x
1
－1x
2
－1（x
2
1
－ 1）（x
2
－1）
2
∵ x
2
1
－1<0, x
2
－1<0，x
1
x
2
＋1>0, x
2
－x
1
>0,
（x
1
x
2
＋1）（x
2
－x
1
）
∴ >0，
2
（x
2
1
－1）（x
2
－1）
∴ 当a>0时， f(x
1
)－f(x
2
)>0, 函数y＝f(x)在(－1，1)上为减函数；
当a<0时， f(x
1
)－f(x
2
)<0, 函数y＝f(x)在(－1，1)上为增函数．
备选变式（教师专享）

x
证明函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上是减函数．
1＋x
2
证明：设x
1
、x
2
∈[1，＋∞)，且x
1
2
.
2
x
1
（1＋x
2
（x
1
－x
2
）（1－x
1
x
2
）
x
1
x
2
2
）－x
2
（1＋x
1
）
f(x1
)－f(x
2
)＝－＝＝.
222
1＋x
2
（1＋x
2
（1＋x
2
1
1＋x
21
）（1＋x
2
）
1
）（1＋x
2
）
∵ x
1
、x
2
∈[1，＋∞)，且x
1
2
，
∴ x
1
－x
2
<0，1－x
1
x
2
<0.
2
又(1＋x
2
1
)(1＋x
2
)>0，
∴ f(x
1
)－f(x
2
)>0，即f(x
1
)>f(x
2
)．
x
∴ f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数．
1＋x
2
题型2 求函数的单调区间


第34页

例2 设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数f
k
(x)＝
?
?
f（x），f（x）≤k，
1
－< br>?
取函数f(x)＝2
|x|
.当k＝时，函数f
k
(x)的 单调递增区间为________．
2
?
k，f（x）>k，
?
答案：(－∞，－1)
11
解析：由f(x)>，得－1 22
－
x
2，x≥1，
?
?
1
所以f(x)＝?
2
，－1＜x＜1，

?
?
2，x≤－1，
1
2
x
故f
1
(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
2
备选变式（教师专享）

作出函数f(x)＝|x
2
－1|＋x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．
1
5
x＋
?
2
－； 解：当x≥1或x≤－1时， y＝x
2
＋x－1＝
?
?
2
?
4
1
5< br>x－
?
2
＋. 当－12
＋x＋1＝ －
?
?
2
?
4
1
?
由函数图象可以知道函 数减区间为(－∞，－1]，
?
?
2
，1
?
；
1
－1，
?
，[1，＋∞)． 函数增区间为
?
2
??

题型3 已知函数的单调性求参数的值或范围
a
例3 已知函数f
(
x
)
＝2x－，x∈(0，1]．
x
(1) 当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2) 若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
1
解：(1) 当a＝－1时，f(x)＝2x＋，
x
112
因为0xx2
所以函数y＝f(x)的值域是[22，＋∞)．
(2) (解法1)设01
2
≤1，
aaaa（x
1－x
2
）（2x
1
x
2
＋a）
2x
1
－
?
－
?
2x
2
－
?
＝2(x< br>1
－x
2
)＋
?
－
?
＝由f(x
1
)－f(x
2
)＝
?
，
x
1
??
x
2
???
x
2
x
1
?
x
1< br>x
2
因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，
所以f(x
1
)－f(x
2
)>0恒成立，
所以2x1
x
2
＋a<0，即a<－2x
1
x
2
在x∈ (0，1]上恒成立，
所以a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．
aa
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋
2
，
xx
因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，
a
所以f′(x)＝2＋
2
<0在x∈(0，1]上恒成立，
x
2
即a<－2x在x∈(0，1]上恒成立，


第35页

所以a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．
变式训练

ax＋1
函数f(x)＝(a为常数)在(－2，2)内为增函数，求实数a的取值范围． < br>x＋2
解：在区间(－2，＋∞)内任取x
1
、x
2
，使－2 ＜x
1
＜x
2
，则
ax
1
＋1ax
2< br>＋1（2a－1）（x
1
－x
2
）
f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝.
x
1
＋2x
2
＋2（x
1
＋2）（x
2
＋2）
∵ f(x
1
)＜f(x
2
)，∴ (2a－1)(x
1
－x
2
)＜0.
1
而x
1
＜x
2
，∴ 2a－1＞0，即a＞.
2
题型4 函数的单调性与最值
x
2
＋2x＋a
例4 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
x
1
(1) 当a＝时，求f(x)的最小值；
2
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
11
解：(1) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
22x
112x
1
x
2
－1
－
?
＝(x
1
－x
2
)·设x
1＞x
2
≥1，则f(x
1
)－f(x
2
)＝(x
1
－x
2
)＋
?
.
?
2x
1
2x
2
?
2x
1
x
2
∵ x
1
＞x
2
≥1，∴ f(x
1
)＞f(x
2
)，
∴ f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
77
∴ f(x)≥f(1)＝，即f(x)的最小值为.
22
(2) ∵ f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即x
2
＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
∴ a＞[－(x
2
＋2x)]
max
.
∵ t(x)＝－(x
2
＋2x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴ t(x)
max
＝t(1)＝－3, ∴ a＞－3.
备选变式（教师专享）

ax＋1
已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．
x＋1
ax＋11－a
解：由f(x)＝＝a＋.
x＋1x＋1
若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，
a＋14a＋1
∴ f
max
(x)＝f(1)＝，f
min
(x)＝f(4)＝；
25
若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，
4a＋1a＋1
∴ f
max
(x)＝f(4)＝，f
min
(x)＝f(1)＝.
52
x
?
?
e－2k，x≤0，
1. 已知函数f(x)＝
?
是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
?
（1－k）x，x>0
?

1
?
答案：
?
?
2
，1
?
0
?
?
e－2k≤0，
1
解析：由题意得
?
解 得≤k<1.
2
?
1－k>0，
?
a
e
x
＋
x
?
(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是2. 已知函数f(x)＝
?
e
??
________．


第36页

答案：－1≤a≤1
aa
解析：当a<0，且 e
x
＋
x
≥0时，只需满足e
0
＋
0
≥0 即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)
ee
aa
＝|e
x
| ＝e
x
符合题意；当a>0时，f(x)＝e
x
＋
x
，则满 足f′(x)＝e
x
－
x
≥0在x∈[0，1]上恒成立．只
ee< br>需满足a≤(e
2x
)
min
成立即可，故a≤1.综上，－1≤a≤ 1.
3. 函数f(x)的定义域为D，若满足① f(x)在D内是单调函数，② 存在[a，b] D，使f(x)
在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x ＋2＋k是闭函数，那么
k的取值范围是________．
9
－，－2
?
答案：
?
?
4
?
解析：f(x)＝x＋2＋k是闭函数，由题意知方程x＝x＋2＋k有两个不同的实数解，可
转化为k ＝x－x＋2，设t＝x＋2，则k＝t
2
－t－2在t≥0时有两个不同的实数解，由图象< br>9
－，－2
?
. 可知k的取值范围是
?
?
4
?
2
4. 若函数f(x)＝x ＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是
________．
答案：a≥0
2
?
x＋x－a＋b（x≥a），
?
2解析：因为f(x)＝x＋|x－a|＋b＝
?
2
由图象知，若函数f(x)＝x
2
＋|x
?
x－x＋a＋b（x＜a），
?
－a|＋b在区 间(－∞，0]上为减函数，则应有a≥0.
5. 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， f(2)＝1，且 f(xy)＝f(x)＋f(y)，求满足不等式
f(x)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
解：由题意可知f(x)＋f(x－3)＝f(x
2
－3x)，
又 2＝2f(2)＝f(2)＋f(2)＝f(4)，
于是不等式 f(x)＋f(x－3)≤2可化为 f(x
2
－3x)≤f(4)，
2
?
x－3x≤4，
?< br>因为函数在(0，＋∞)上为增函数，所以不等式可转化为
?
x＞0，
解得3< x≤4，所以
?
?
x－3＞0，
x的取值范围是 (3，4]．

?
?
x＋1，x≥0，
1. 已知函数f(x)＝
?
则满足 不等式f(1－x
2
)>f(2x)的x的范围是__________．
?
1，x<0，
?
答案：(－1，2－1)
2
?
?
1－x>2x，
解析：
?
x∈(－1，2－1)．
2
?
1－x>0
?
a
2. 若f(x)＝－x
2< br>＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是
x＋1
___ _______．
答案：(0，1]
解析：当a≤1时，f(x)在区间[1，2]上是减 函数，而当a>0时，g(x)在区间[1，2]上是减
函数，则a的取值范围为(0，1]．
（a－2）x，x≥2，
?
?
f（x
1
）－f（x
2）
3. 已知函数f(x)＝
?
?
1
?
x
满足 对任意的实数x
1
≠x
2
，都有
x
1
－x
2
?
?
?
2
?
－1，x<2
<0成立，则实数a的 取值范围为________．
2


第37页

13
－∞，
?
答案：
?
8
??< br>a－2<0，
?
?
解析：函数f(x)是R上的减函数，于是有
?
1
?
2
?
（a－2）×2≤－1，
?
?2
?
?
13
13
－∞，
?
. 由此解得a≤，即实数a的取值范围是
?
8
??
8
4. 设f(x) 是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1) 求证：f(0)＝1；
(2) 证明：x∈R时恒有f(x)>0；
(3) 求证：f(x)在R上是减函数；
(4) 若f(x)·f(x－x
2
)>1，求x的范围．
1
??
1
?
1
(1) 证明：取m＝0，n＝，则f
?
?
2
＋0
?
＝f
?
2
?
f( 0)．
2
1
?
因为f
?
?
2
?
>0，所以f(0)＝1.
(2) 证明：设x<0则－x>0，由条件可知f(－x)>0，又1＝ f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)>0，
所以f(x)>0，所以x∈R时，恒有f(x )>0.
(3) 证明：设x
1
2
则f(x
1)－f(x
2
)＝f(x
1
)－f(x
2
－x
1
＋x
1
) ＝f(x
1
)－f(x
2
－x
1
)f(x
1
) ＝f(x
1
)[1
－f(x
2
－x
1
)]． 因为x
1
2
，所以x
2
－x
1
> 0，所以f(x
2
－x
1
)<1，即1－f(x
2
－x1
)>0.
因为f(x
1
)>0，所以f(x
1
)[ 1－f(x
2
－x
1
)]>0.
所以f(x
1
)－f(x
2
)>0，即该函数在R上是减函数．
(4) 解：因为f(x)·f(x－x
2
)>1，所以f(x)·f(x－x2
)＝f(2x－x
2
)>f(0)，所以2x－x
2
<0，所 以
x的范围为x>2或x<0.

1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定 义域，函数的单调区间都是定义域的子集，
常用方法有：定义法、图象法、导数法、复合函数法等．
2. 函数单调性的应用
(1) 比较函数值的大小；
(2) 解不等式；
(3) 求函数的值域或最值等．
注意利用定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D 上递增(减)且f(x
1
)2
)
x
1
2
(x
1
>x
2
)(x
1
、x
2
∈D)．
请使用课时训练(B)第3课时(见活页)．





第4课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)14～15页)


① 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命
题的热点，命题时主要是考查 函数的概念、
图象、性质等.
② 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期
性分析和解决有关问题．



① 了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇
偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.
② 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并
能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.
③ 了解周期函数的意义，并能利用函数的周
第38页

期性解决一些问题．


1. (必修1P
45
习题8改编)函数f(x)＝mx
2
＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝ ________．
1
答案：
2
1
解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝.
2
7
?
2. 已知函数y＝f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0， 1)时，f(x)＝x
2
－1，则f
?
?
2
?
的< br>值是________．
3
答案：－
4
7
??
1
??
1
?
解析：由y＝f(x)是以2为周期的函数得f
?
?
2
?
＝f
?
4－
2
?
＝f
?< br>－
2
?
，又y＝f(x)是偶函数，且
1
??
1??
1
?
2
3
2
?
当x∈(0，1)时，f( x)＝x－1，所以f
?
－
2
?
＝f
?
2
?
＝
?
2
?
－1＝－.
4
1
3. 函数 f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________．
f（x）
1
答案：－
5
11
解析：由f(x＋2)＝得f (x＋4)＝＝f(x)，所以f(5)＝f(1)＝－5，则f(f(5))
f（x）f（x＋2）< br>111
＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝－.
5
f（－1＋2）f（1）
4. (必修1P
43
练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：
① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
其中，正确的说法是________．(填序号)
答案：①③
解析：根据偶函数 的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函
?
x－2，x>0，
?
数f(x)＝
?
0，x＝0，
由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错 误．
?
?
x＋2，x<0，
5. 已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝ x
2
＋2x(x≥0)，若f(3－a
2
)>f(2a)，则实数a的取值范围是________．
答案：(－3，1)
解析：因为f(x)＝x
2
＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)
是R上的增 函数，要使f(3－a
2
)>f(2a)，只需3－a
2
>2a，解得－3< a<1.

1. 奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫
做偶函数．
一般地，如果 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)


第39页

就叫做奇函数．
2. 判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
(1) 考查定义域是否关于原点对称．
(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
若 存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非< br>偶函数．
3. 函数的图象与性质
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
4. 函数奇偶性和单调性的相关关系
(1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．
1
(2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系．
f（x）
(3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性．
(4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性．
5. 函数的周期性
设函数y＝ f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，
则称函数 f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)














第40页

题型1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
1－x
(1) f(x)＝lg；
1＋x
1－x
2
(2) f(x)＝；
|x＋2|－2
(3) f(x)＝(x－1)
1＋x
；
1－x
(4) f(x)＝3－x
2
＋x
2
－3.
1－x
解：(1) >0－11＋x
1－ x
?
－1
1＋x1－x
?
又f(－x)＝lg＝lg
?＝－lg＝－f(x)，故原函数是奇函数．
?
1－x1＋x
?
1＋x
?
(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．
2
??
?
1－x≥0，
?
－1≤x≤1，
由
?
得
?

?
|x＋2|－2≠ 0，
?
?
x≠0且x≠－4.
?
故f(x)的定义域为[－1，0) ∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.
1－x
2
1－x
2
从而有f(x)＝＝，
x
x＋ 2－2
1－（－x）
2
1－x
2
这时有f(－x)＝＝－＝－f(x )，
x
－x
故f(x)为奇函数．
(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．
备选变式（教师专享）

判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
2
?
?
x＋x（x<0），
(2) f(x)＝
?

2
?
－x＋x（x>0）；
?
(3) f(x)＝lg(x＋x
2
＋1)．
解：(1) 函数的定义域为R，f(－x)＝ |－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，故f(x)为
偶函数．
(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＜0时，－x＞0，所以 f(－
x)＝－(－x)
2
＋(－x)＝－(x
2
＋x)＝－f(x )(x＜0)．当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)
2
＋(－
x)＝－ (－x
2
＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函数f(x)为奇函数．
(3) 由x ＋x
2
＋1>0，得x∈R，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋x
2
＋ 1)＋lg(x＋x
2
＋1)＝lg1
＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f( x)为奇函数．
题型2 函数奇偶性的应用
a·2
x
＋a－2
例2 (1) 设a∈R，f(x)＝(x∈R)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；
2
x
＋1
(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0 ，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a
2
)<0，
求实数a的取值范围．
解：(1) 要使f(x)为奇函数，
∵ x∈R，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0.


第41页

2
∵ f(x)＝a－
x
，
2＋1
＋
2
x1
2
∴ f(－x)＝a－
－
x
＝a－
x
.
2＋12＋1
x
＋
1
2
?
?
2
?
2（2
x＋1）
?
由
a－
2
x
＋1
＋
?
a－
x
?
＝0，得2a－＝0，∴ a＝1.
??
?
2＋1
?
2
x
＋1
?
－1?(2) 由f(x)的定义域是
(
－1，1
)
，知
?
解 得32
?
－1<4－a<1，
?
2
由f(a－ 2)－f(4－a)<0，得f(a－2)2
)．
∵ 函数f(x)是偶函数，∴ f(|a－2|)2
|)．
由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a－2|<|4－a
2
|，解得a<－3或a>－1且a≠2.
综上，实数a的取值范围是3变式训练

?
x
2
＋x，x≤0，
?
(1) 已知函数f(x)＝
?
2
是奇函数，求a＋b的值；
?
ax＋bx，x>0
?
(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2 ]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－
2
m)<0，求实数m的取值范 围．
解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x
2－x＝－ax
2
－bx.
从而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.
(2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，
?
?
－2≤1－m≤2，
知
?
解得－1≤m≤3.
2
?
－2≤1－m≤2，
?
因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m) <－f(1－m
2
)，即f(1－m)2
－1)．
由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，
所以在[－2，2]上是递减函数，
所以1－m>m
2
－1，解得－2综上，实数m的取值范围是－1≤m<1.
题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用
3
x
例3 定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f (x)＝
x
.求f(x)
9＋1
在[－2，2]上的解析式．
－< br>3
x
3
x
解：当－2＜x＜0时，0＜－x＜2，f(－x)＝
－
x
＝
x
，
9＋19＋1
又f(x)为奇函数，
3
x
∴ f(x)＝－f(－x)＝－.
1＋9
x
当x＝0时，由f(－0)＝－f(0)f(0)＝0，
∵ f(x)有最小正周期4，
∴ f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)f(－2)＝f(2)＝0.
3
x
，0＜x＜2，
9
x
＋1
?
综上，f (x)＝
?
0，x∈{－2，0，2}，

3
－
?
9＋1
，－2＜x＜0.
x
x
备选变式（教师专享）

设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，
f(x)＝2x－x
2
.
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．


第42页

(1) 证明：∵ f(x＋2)＝－f(x)，
∴ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴ f(x)是周期为4的周期函数．
(2) 解：∵ x∈[2，4]，
∴ －x∈[－4，－2]，∴ 4－x∈[0，2]，
∴ f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)
2
＝－x
2
＋6x－8.
∵ f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴ －f(x)＝－x
2
＋ 6x－8，即f(x)＝x
2
－6x＋8，x∈[2，4]．

1. (2 015·苏北四市一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log
2
(2－x)，
则f(0)＋f(2)的值为________．
答案：－2
解析 ：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，f(－2)＝2＝－f(2)，即f(2)＝－2，则f( 0)
＋f(2)＝－2.
1
2. (2015·南师附中模拟)设f(x)是定义在 R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对
2
称，则f(1)＋f(2)＋f(3) ＋f(4)＋f(5)＝________．
答案：0
1
解析：f(－0)＝－f (0)得f(0)＝0，假设f(n)＝0，因为点(－n，0)和点(n＋1，0)关于x＝对
2称，所以f(n＋1)＝f(－n)＝－f(n)＝0，因此，对一切正整数n都有f(n)＝0，
从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
2x
3. 定义两 种运算：ab＝a
2
－b
2
，ab＝（a－b）
2
，则f( x)＝是
（x2）－2
________(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函数．
答案：奇
2x4－x
2
222
解析：由ab＝a－b和ab＝（a －b），得f(x)＝＝
（x2）－2
（x－2）
2
－2
4－x2
4－x
2
4－x
2
＝，其定义域为[－2，0)∪(0，2] ，所以f(x)＝＝－，所以f(x)
x
|x－2|－2（2－x）－2
是奇函数．
2
?
?
x＋sinx，x≥0，
4. (2015·泰州一模)已知函数f(x)＝
?
2

?
－x＋cos （x＋α），x＜0
?
是奇函数，则sinα＝________．
答案：－1 < br>解析：x>0时，有－x<0，f(－x)＝－x
2
＋cos(－x＋α)＝－f(x) ＝－x
2
－sinx，则cos(－x＋
π
α)＝－sinx，cos(x－ α)＝－sinx，取x＝
，得sinα＝－1.
2
5. 已知定义在R上的偶函数 f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝1对于x∈R恒成立，且f(x)>0，则
f(119)＝__ ______．
答案：1
1
解析：由f(x＋2)·f(x)＝1得f(x＋2) ＝，从而得f(x＋4)＝f(x)，可见f(x)是以4为周
f（x）
1
期的函数， 从而f(119)＝f(4×29＋3)＝f(3)．由已知等式得f(3)＝，又由f(x)是R上的
f（1）
偶函数得f(1)＝f(－1)，在已知等式中令x＝－1得f(1)·f(－1)＝1，即f (1)＝1，所以f(119)＝
1.


第43页

ax＋1
1. 已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1) ＝2，f(2)<3，则a＋b＋c的值为
bx＋c
________．
答案：2
解析：由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴ c＝0.由f(1)＝2，得 a＋1＝2b；由
4a＋1
1
f(2)＜3，得＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z， ∴ a＝0或a＝1.若a＝0，则b＝，与b∈Z
2
a＋1
矛盾．∴ a＝1，b＝1，c＝0. ∴ a＋b＋c＝2.
2. 若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内 是增函数，又f(3)＝0，则xf(x)<0的解集是________．
答案：{x|－3解析：因为f(x)在(0，＋∞)内是增函数， f(3)＝0，所以当03时，
f(x)>0.因为f(x)是奇函 数，其图象关于原点对称，所以当－30；当x<－3时，
f(x)<0，可见 xf(x)<0的解集是{x|－33. 定义在区间(－1，1)上的函 数f(x)满足：对任意的x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝
x＋y
??f
??
. 求证：f(x)为奇函数．
?
1＋xy
?
?
0＋0
?
＝f(0)， 证明：令x ＝ y ＝ 0，则f(0)＋f(0)＝f
??
?
1＋0
?
∴ f (0) ＝ 0.令x∈(－1, 1)，∴ －x∈(－1, 1)．
?
x－x
?
＝f(0)＝0. ∴ f(x)＋f(－x)＝f
??
?
1－x
2
?
∴ f(－x)＝－f(x) .∴ f(x)在(－1，1)上为奇函数．
1
?
4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈?
?
2
，1
?
上恒成立，求实数a的取值范围．
解： 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f(ax
1< br>?
＋1)≤f(x－2)，则|ax＋1|≤|x－2|.又x∈
?
?
2
，1
?
，故|x－2|＝2－x，
1
?
31
即 x－2≤ax＋1≤2－x，即x－3≤ax≤1－x，即1－≤a≤－1，在
?
?
2
，1
?
上恒成立．
xx
1
?
3
－1＝0，
?
1－
?
＝－2，故－2≤a≤0. 由于
?
?
x
?
min
?
x
?
max




1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系， 前提是定义域关于
原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝ 0或f(x)－f(－x)
＝0)是否成立．
2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3. 奇偶函数的不等式求解时，要 注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函
数在对称的区间上有相反的单调性．
请使用课时训练(A)第4课时(见活页)．
[备课札记]





第44页
2

第5课时 函数的图象(对应学生用书(文)、(理)16～18页)


① 图象是函数刻画 变量之间的函数关系的
一个重要途径，是研究函数性质的一种常用
方法，是数形结合的基础和依 据，预测在今
后的高考中还将加大对函数图象考查的力度.
① 掌握基本函数图象的特征，能熟练运用基
② 主要考查形式有：知图选式、知式选图、
本函数的图象解决问题.

图象变换以及自觉地运用图象解题，因此要
② 掌握图象的作法：描点法和图象变换法．
注意识图读图能力的提高以及数形结合思想
的灵活运用．





1. (必修1P
53
复习14)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图 象关于________对称．
答案：y轴
－
2. (必修1P
64练习6)函数y＝2
x
的图象是________．(填序号)

答案：①

x
3. (必修1P
85
例3改编)为了得到 函数f(x)＝log
2
x的图象，只需将函数g(x)＝log
2
的图象< br>8
向________平移3个单位．
答案：上
x
解析：g(x) ＝log
2
＝log
2
x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图 象向上平移3个单位即
8
可得到函数f(x)＝log
2
x的图象．
4. (必修1P
85
例4改编)函数y＝log
2
|x＋1|的单 调减区间为________．

答案：(－∞，－1)
解析：作出函数y＝lo g
2
x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log
2
|x|的图象，再将 图
象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log
2
|x＋1|的图象(如图所示)． 由图知，函数y＝log
2
|x
＋1|的单调减区间为(－∞，－1)．
5. 若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是____________．


第45页

答案：(0，＋∞)

?
?
2x，x≥0，
解析：由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝
?< br>图象如图所示，
?
0，x＜0，
?
故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.

1. 基本初等函数及其图象
(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)
(2) 二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)
2

k
(3) 反比例函数y＝(k≠0)
x

(4) 指数函数y＝a(a>0，a≠1)
x

(5) 对数函数y＝log
a
x(a>0，a≠1)

2. 图象变换



第46页

(1) 平移变换

原图象对应的函数
y＝f(x)
y＝f(x)
y＝f(x)
y＝f(x)

(2) 对称变换

函数A
y＝f(x)
y＝f(x)
y＝f(x)
(3) 翻折变换

原图象对应
的函数
y＝f(x)
图象变换过程(a>0，b>0)
向左平移a个单位
向右平移a个单位
向上平移b个单位
向下平移b个单位
变换后图象对应的函数
y＝f(x＋a)
y＝f(x－a)
y＝f(x)＋b
y＝f(x)－b
函数B
y＝f(－x)
y＝－f(x)
y＝－f(－x)
A与B图象间的对称关系
关于y轴对称
关于x轴对称
关于原点对称
图象变换过程
对应的函数
对应的函数
先把f(x)的图象中位于x轴上方的部分保留，将图象中位于x
y＝|f(x)|
轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方
先把f(x)的图象中位于y轴右侧的部分保留，将图象中位于y
y＝f(x) y＝f(|x|)
轴右侧的部分沿y轴翻折到_y轴左侧
(4) 伸缩变换

原图象对应 变换后图象
图象变换过程
的函数 对应的函数
将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标为原
y＝f(x) y＝Af(x)
来的A倍，横坐标不变而得到
将y＝f(x)图象上所有点的横坐标为原
1
y＝f(x) y＝f(ax)
来的倍，纵坐标不变而得到
a


[备课札记]



















第47页

题型1 利用图象看性质
例1 作出下列函数的图象．
(1) y＝2－2
x
；
(2) y＝|log
1
(1－x)|；
2
2x－1
(3) y＝. x＋1
解：(1)由函数y＝2
x
的图象关于x轴对称可得到y＝－2
x
的图象，再将图象向上平移2
个单位，可得y＝2－2
x
的图象．如图甲．
(2) 由y＝log
1
x的图象关于y轴对称，可得y＝log
1
(－x)的图象，再将图象向右平移1个
22
单位，即得到y＝log
1
(1 －x)．然后把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y＝|log
1
(1－x)|
22
的图象．如图乙．
2x－1
33
(3) y＝＝2－.先作出y＝－的 图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平
x
x＋1x＋1
移1个单位，向上平移 2个单位，即得到所求图象．如图丙所示的实线部分．

备选变式（教师专享）

作出下列函数的图象．
＋
(1) y＝2
x1
－1；
(2) y＝sin|x|；
(3) y＝|log
2
(x＋1)|.
＋＋
解：(1) y＝2
x1
－1的图象可由y＝2
x
的图 象向左平移1个单位，得y＝2
x1
的图象，再
＋
向下平移一个单位得到y＝ 2
x1
－1的图象，如图．

(2) 当x≥0时，y＝sin|x|与y ＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于
y轴对称，如图．

(3) 首先作出y＝log
2
x的图象C
1
，然后将C
1
向左平移1个单位，得到y＝log
2
(x＋1)的图
象C
2
，再把C
2
在x轴下方的图象作关于x轴的对称图象，即为所求图象C
3
： y＝|log
2
(x＋1)|.
如图(实线部分)．



第48页

题型2 利用图象的平移变换作函数图象
例2 (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象：
①y＝f(x＋1)；②y＝f(x)＋2；
－－
(2) 作出函数y＝2
x3
＋1的图象．

(1)
解析：将函数y＝ f(x)的图象向左平移一个单位得到y＝f(x＋1)的图象(如图①所示)，将
函数y＝f(x)的 图象向上平移两个单位得到y＝f(x)＋2的图象(如图②所示)．
1
?
x＋3
1
?
x
??
(2) 由于y＝
?
2
?
＋1，只需将函数y＝
?
2
?
的图 象向左平移3个单位，再向上平移1个
－－
单位，得到函数y＝2
x3
＋1的 图象，如图．
变式训练

作下列函数的图象．
3x－1
(1) y＝；
x－2
(2) y＝log
1
[3(x＋1)]．
3

解：(1) 由y＝3＋
得到函数y＝
55
，将函数y ＝的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
x
x－2
3x－1
的图象 ，如图．
x－2

(2) 由y＝log
1
3＋log
1
(x＋1)＝log
1
(x＋1)－1，将函数y＝log
1
x的图 象向左平移1个单位，
3333
再向下平移1个单位，得到函数y＝log
1
[3(x＋1)]的图象，图略．
3
题型3 函数图象的应用
例3 当m为何值时，方程x
2
－4|x|＋5－m＝0有四个不相等的实数根？


第49页

解：方程x
2
－4|x|＋5－m＝ 0变形为x
2
－4|x|＋5＝m，
2
?
?
x－4x＋5 （x≥0），
2
设y
1
＝x－4|x|＋5＝
?
2
y
2
＝m，
?
x＋4x＋5（x<0），
?
在同一坐标系 下分别作出函数y
1
和y
2
的图象，如图所示．

由两个 函数图象的交点可以知道，当两函数图象有四个不同交点，即方程有四个不同的
实数根，满足条件的m的 取值范围是1备选变式（教师专享）

|x
2
－1|< br>已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，求实数k的取值范围．
x－1< br>x＋1，x>1，
?
2
?
|x－1|
解：y＝＝
?< br>－x－1，－1≤x<1
，在同一直角坐标系下画出两函数的图象，当x>1
x－1?
?
x＋1，x<－1
时，有两交点的实数k的取值范围为1所以实数k的取值范围是0
1. (2015·课标Ⅱ文)已知函数f(x)＝ax－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．
答案：－2
解析：由f(x)＝ax
3
－2x可得f(－1)＝－a＋2＝4a＝－2.
2. (2015·安徽文)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的 图象只
有一个交点，则a＝________．
1
答案：－
2
解 析：在同一直角坐标系内，作出y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如下图．由题意，
1
可知2a＝－1a＝－.
2
3

3. (2015·北京理)如图，函数 f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log
2
(x＋1)的解集是
__ ______．
答案：{x|－1＜x≤1}
解析：如图所示，把函数y＝log
2
x的图象向左平移一个单位得到y＝log
2
(x＋1)的图象，
x＝1时 两图象相交，不等式的解为－1＜x≤1.



第50页

4. 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实
数a的取值范围是________．
答案：[－1，＋∞)
解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象 ，观察图象可知：当且仅当－a≤1，
即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值 范围是[－1，＋∞)．

5. 已知函数f(x)＝|x＋3x|，x∈R.若方程f(x )－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实
数a的取值范围为________．
答案：(0，1)∪(9，＋∞)
解析：画出函数f(x)＝|x
2
＋3x|的大致图象，如图，
2

令g(x)＝a|x－1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4个不同的交点，显 然
2
?
?
y＝－x－3x，
a>0.联立
?
消去y ，得x
2
＋(3－a)x＋a＝0，由Δ>0，解得a<1或a>9；联立
?
y＝a（1－x），
?
2
?
y＝x＋3x，
?
?
消 去y，得x
2
＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1或a<－9.
?
?
y＝a（1－x），

1. 已知函数f(x)＝|x－2|＋ 1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数
k的取值范围是____ ____．
1
?
答案：
?
?
2
，1
?
解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个< br>不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜
1< br>率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故2


第51页

1
x
2
－2x＋
?
.若函2. 已知f(x )是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝
?
2
??
数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_______ _．
1
0，
?
答案：
?
?
2
?
1
1
x
2
－2x＋
?
，x∈[0，3)的图象，可见f( 0)＝，当x＝1时，f(x)
极
解析：作出函数f(x)＝
?
2
? ?
2
17
大
＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有 10个零点，即函数y＝f(x)和图象与直线
22
y＝a在[－3，4]上有10个交点，由 于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝
?
x
2
－2x ＋
1
?
，x∈[0，3)应该有4个交点，则有a∈
?
0，
1
?
.
2
???
2
?

x
?
?
2－1，x≤0，
3. 已知函数f(x)的定义域为R，且 f(x)＝
?
若方程f(x)＝x＋a有两个不
?
f（x－1），x>0，< br>?
－

同实根，则a的取值范围为________．
答案： (－∞，1)
－－－
解析：当x≤0时，f(x)＝2
x
－1；当0(x1)
－1.故x>0时，f(x )是周期函数，如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数
f(x)的图象与直线 y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．

4. 已知定义 在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若
方程f( x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x
1
，x
2
，x< br>3
，x
4
，则x
1
＋x
2
＋x
3< br>＋x
4
＝
________．
答案：－8
解析：因为定义 在R上的奇函数满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数
图象关于直 线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期
的周期函数．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函 数，如
图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x
1< br>，x
2
，x
3
，x
4
，不妨设
x
1
＜x
2
＜x
3
＜x
4
.由对称性知x
1< br>＋x
2
＝－12，x
3
＋x
4
＝4，所以x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＝－12＋4＝－8.


1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数


第52页

函数、对数函数、幂函数图象等．
2. 掌握几种图象 的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻
折变换等，能帮助我们简化作图过 程．
3. 利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题，解题中要注意对 方
程适当变形，选择适当的函数作图．




请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．


第53页

第6课时 二 次 函 数(对应学生用书(文)、(理)19～20页)


① 由于二次函数与二次方程、二次不等式之
间有着紧密的联系，加上三 次函数的导函数
是二次函数，因此对二次函数的考查一直是
高考的热点问题.
② 以 二次函数为背景的应用题也是高考的
常考题型，同时借助二次函数模型考查代数
推理问题是一个 难点．





① 掌握二次函数的概念、图象特征.
② 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二
次函数在给定区间上的最值.
③ 掌握 二次函数、一元二次方程及一元二次
不等式这“三个二次”之间的关系，提高解
综合问题的能力 ．


1. (必修1P
35
习题第8题改编)函数y＝x
2
－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为
________．
答案：{－1，0，3}
2. (必修1P
54
测试6改编)若f(x)＝2x
2
－mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－
∞，－2]时是减函数，则 f(1)＝________．
答案：13
解析：由题可知二次函数的对称轴是x＝－2可求出m的值．
3. 已知函数f(x)＝ax
2
＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
1
答案：(，＋∞)
20
??
?
a>0，
?a>0，
1
?
解析：由题意知即
?
得a>.
20?
Δ<0，
?
?
1－20a<0，
?
2
??
x＋2x－1，x∈[0，＋∞），
4. (必修1P
44
习题3)函数f(x)＝
?
2

?
?
－x＋2x－1，x∈（－∞，0）
的单调增区间是________．
答案：R
解析：画出函数f(x)的图象可知．
5. 如果函数f(x)＝x2
＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最
小值为________．
答案：5
a＋2
?
?
a＝－4，< br>?
－＝1，
?
2
解析：由题意知
?
得
?则f(x)＝x
2
－2x＋6＝(x－1)
2
＋5≥5.
?
?
b＝6.
?
?
a＋b＝2，

1. 二次函数的解析式的三种形式
(1) 一般式：f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
(2) 顶点式：若二次函数的 顶点坐标为(h，k)，则其解析式f(x)＝a(x－h)
2
＋k(a≠0)．
(3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x轴的交点为(x
1
，0)，(x< br>2
，0)，则其解析式f(x)
＝a(x－x
1
)(x－x
2
)(a≠0)．
2. 二次函数的图象及性质


第54页

b
二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象是 一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐
2a
2
b
4ac－b
?< br>标是
?
－，
．
4a
??
2a
bb
(1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区 间(－∞，－]上是单调减函数，在[－，＋
2a2a
2
4ac－b
b
∞)上是单调增函数，当x＝－时，y有最小值，y
min
＝．
2a4a
b
(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－，＋∞)上是单调 减函数，在(－∞，－
2a
4ac－b
2
bb
]上是单调增函数，当 x＝－时，y有最大值，y
max
＝．
2a2a4a
3. 二次函数f(x )＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b
2
－4ac>0时，图象与x轴 有两个交点M
1
(x
1
，
Δ
0)，M
2
( x
2
，0)，则M
1
M
2
＝．
|a|


题型1 求二次函数解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数
f(x)的解析式．
4a＋2b＋ c＝－1，
a＝－4，
?
?
a－b＋c＝－1，
解：(解法1：利用 一般式)设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，解得
?
b＝4，

2
4ac－b
?
?
c＝7，
＝8，
4a
∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x
2
＋4x＋7.
(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)
2
＋n，
∵ f(2)＝f(－1)，
2＋（－1）
11
∴ 抛物线对称轴为x＝＝，即m＝；
222
又根据题意，函数最大值y
max
＝8，
1
x－
?
2
＋8. ∴ n＝8，∴ f(x)＝a
??
2
?
1
?
2
?
∵ f(2)＝－1，∴ a
?
2－
2
?
＋8＝－1，解得a＝－4.
1
x－
?
2
＋8＝－4x
2
＋4x＋7. ∴ f (x)＝－4
?
?
2
?
(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋ 1＝0的两根为x
1
＝2，x
2
＝－1，故可设f(x)＋1＝
4a （－2a－1）－a
2
2
a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax－ax－2a－ 1.又函数有最大值y
max
＝8，即 ＝8，
4a
解得a＝－4或a＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x
2
－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x
2
＋4x＋7.
备选变式（教师专享）

设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x ，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点
为P(3，4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1) 求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2) 在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；
(3) 写出函数f(x)的值域．
?
?
?
?
?


第55页

解：(1) 设顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的方程为y ＝a(x－3)
2
＋4，将(2，2)代
入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2
＋4，即x>2时，f(x)＝－2x
2
＋12x－14.当x<－2时，－x >2.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)
2
－12x－ 14，即f(x)＝－2x
2
－12x－14.
所以函数f(x)在(－∞，－2) 上的解析式为f(x)＝－2x
2
－12x－14.
(2) 函数f(x)的图象如图．
(3) 由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．
题型2 含参变量二次函数的最值
例2 已知函数y＝f(x)＝x
2
＋ax＋3在区间[－1，1]上的最小值为－3，求实数a的值．
a
?
2
a
2
?
解：y＝f(x)＝
?
x＋
2
?
＋ 3－.
4
a
当－<－1，即a>2时，y
min
＝f(－1)＝4 －a＝－3，解得a＝7；
2
a
?
aa
2
?
当－ 1≤－≤1，即－2≤a≤2时，y
min
＝f
?
－
2
?< br>＝3－＝－3，解得a＝±26(舍去)；
24
a
当－>1，即a<－2时， y
min
＝f(1)＝4＋a＝－3，解得a＝－7.
2
综上可得a＝±7.
备选变式（教师专享）

函数f(x)＝2x
2
－2ax＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)．
(1) 求g(a)的函数表达式；
(2) 求g(a)的最大值．
a
解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝<－1，则g(a)＝f(－1) ＝2a＋5；②当－2≤a
2
a
?
aa
2
?
≤2时 ，函数f(x)的对称轴x＝∈[－1，1]，则g(a)＝f
?
2
?
＝3－ ；③当a>2时，函数f(x)的
22
a
对称轴x＝>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.
2
2a＋5（a<－2），

?
?
a
综上所述，g(a)＝
?
3－
2
（－2≤a≤2），

?
?
5－2a（a>2）.
2
(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.
由①②③可得g(a)
max
＝3.
题型3 二次函数的综合应用
例3 若二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f( x)＝2x，且f(0)＝1.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1) 由f(0)＝1，得c＝1，即f(x)＝ax
2
＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，


第56页

则a(x＋1)
2
＋b(x＋1)＋1－(ax
2
＋bx＋1)＝2x，
??
?
2a＝2，
?
a＝1，
即2ax＋a＋b＝2x，所 以
?
解得
?

?
a＋b＝0，
?
b＝－1 .
??
因此f(x)＝x
2
－x＋1.
(2) f(x)>2x＋ m等价于x
2
－x＋1>2x＋m，即x
2
－3x＋1－m>0，要使此不等 式在[－1，1]
上恒成立，只需使函数g(x)＝x
2
－3x＋1－m在[－1，1 ]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x
2
－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
所以g(x)
min
＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
变式训练

已知函数 f(x)＝x
2
＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意 实数都成
立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1) 求f(x)与g(x)的解析式；
(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，
m
所以图象关于x＝－1对称，即－＝－1，即m＝2.
2
又f(1)＝1＋m＋n＝3，所以n＝0，所以f(x)＝x
2
＋2x.
又y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称，
所以－g(x)＝(－x)
2
＋2(－x)，
所以g(x)＝－x
2
＋2x.
(2) 由(1)知，F(x)＝(－x< br>2
＋2x)－λ(x
2
＋2x)＝－(λ＋1)x
2
＋(2－ 2λ)x.
2－2λ1－λ
当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝＝，
2（λ＋1）
λ＋1
因为F(x)在(－1，1]上是增函数，
?
1＋λ<0，
?
1＋λ>0，
??
所以
?
1－λ
或
?
1－λ

≤－1≥1，
??
?
λ＋1
?
λ＋1
所以λ<－1或－1<λ≤0.
当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然成立．
综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．

1. 已知二次函数y＝x－2a x＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是
________．
答案：a≤2或a≥3
解析：由于二次函数的开口向上，对称轴为x＝a，若使其在区间(2，3) 内是单调函数，
则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.
2. 已知函数f( x)＝ax
2
＋2ax＋4(01
2
，x
1
＋x
2
＋a－1＝0，则f(x
1
)与f(x
2
)的大
小关系为________．
答案：f(x
1
)＜f(x
2
)
解析：函数f(x)＝a x
2
＋2ax＋4(0＜a＜3)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，因0＜a＜3，
x
1
＋x
2
?
1
故x
1
＋x
2
＝(1－a)∈(－2，1)，从而∈
?
－1，
2
?
?.又x
1
＜x
2
，所以x
2
的对应点到对称轴的
2
距离大于x
1
的对应点到对称轴的距离，故f(x
1
)＜f(x
2
)．
3. 若函数f(x)＝x
2
＋|x－a|＋b在区间(－ ∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是
________．
答案：a≥0
2


第57页

2
?
?
x＋x－a＋b（x≥a），
解析：因为f(x)＝x＋|x－a|＋b＝
?
2由其图象知，若函数f(x)＝x
2
?
x－x＋a＋b（x＜a），
?< br>2
＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a≥0.
1
4. 设函数f(x)＝x
2
＋x＋的定义域是[n，n＋1](n是正整数)，那么f(x)的值域 中共有
2
________个整数．
答案：2n＋2
1
?
1
?
2
1
2
解析：因为f(x)＝x＋x＋＝
?
x＋
2
?
＋，可见，f(x)在[n，n＋1](n是正整数)上是增函数，
24
11
（n＋1）
2
＋（n＋1）＋
?
－
?n
2
＋n＋
?
＝2n＋2，在f(x)的值域中共有2n又f(n＋1) －f(n)＝
?
2
??
2
??
＋2个整数．
5. 已知函数f(x)＝x
2
＋2x＋1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f(x＋t)≤x 恒成立，则实
数m的最大值是________．
答案：4
解析：依题意，应将函 数f(x)向右平行移动得到f(x＋t)的图象，为了使得在[1，m]上，
f(x＋t)的图象都在 直线y＝x的下方，并且让m取得最大，则应取t＝－2，这时m取得最大
值4.

1. 已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x
2
＋4x－3，若有f(a)＝g (b)，则b的取值范围为
________．
答案：(2－2，2＋2)
解析： 易知，f(a)＝e
a
－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b
2＋4b－3>－1，解得2－2＋2.
2. 函数f(x)＝－x
2< br>＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的
取值范围是___ ________．
1
答案：a>
2
解析：f(x)＝－x
2< br>＋(2a－1)|x|＋1是由函数f(x)＝－x
2
＋(2a－1)x＋1变化得到， 第一步保
留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)
＝－x
2
＋(2a－1)x＋1的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间， 对称后有四个单
2a－1
1
调区间. 由>0，即a>.
22
3. 已知函数g(x)＝ax
2
－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)在区间[2，3]上有最大值 4，最小值1，则
a＋b＝________．
答案：1
?
g（3）＝4 ，
?
解析：g(x)＝a(x－1)
2
＋1＋b－a，当a>0时，g(x) 在[2，3]上为增函数，故
?
?
?
g（2）＝1
?
?4a＋1＋b－a＝4，
?
?
a＝1，
??

??a＋1＋b－a＝1b＝0.
??
?
?
g（3）＝1，
?
?
4a＋1＋b－a＝1，
?
?
a＝－1，
??
当a<0 时，g(x)在[2，3]上为减函数，故
?

?
g（2）＝4
?< br>a＋1＋b－a＝4
?
b＝3.
???
∵ b<1，∴ a＝1，b＝0.∴ a＋b＝1.
4. 已知函数f(x)＝x
2
，g(x)＝x－1.
(1) 若存在x∈R使f(x)(2) 设F(x)＝f(x)－mg (x)＋1－m－m
2
，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范
围．
解：(1) 存在x∈R，f(x)2
－bx＋b<0，则 (－b)
2
－4b>0，∴ b<0
x


第58页

或b>4.
(2) F(x)＝x
2
－mx＋1－m2
，Δ＝m
2
－4(1－m
2
)＝5m
2
－4 .
2525
① 当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需
55
m
≤0，
2
25
－≤m≤0.
5
2525
－≤m≤
55
2525
② 当Δ>0，即m<－ 或m>时，设方程F(x)＝0的根为x
1
，x
2
(x
1
< x
2
).
55
m
?
?
2
≥1，
m
若≥1，则x
1
≤0，即
?
m≥2；
2
2< br>?
?
F（0）＝1－m≤0
m
?
?
2
≤0，
m25
若≤0，则x
2
≤0，即
?
－1≤m<－.
25
2
?
?
F（0）＝1－m≥0
综上所述：－1≤m≤0或m≥ 2.
?
?
?

1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情 况选用：如和对称轴、最值有关，可选
用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为 二次函数的最终结果．
2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、 轴定区间动，
不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论
(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．
3. 二次函数、一 元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，
而二次函数又是“三个二次”的 核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．
请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．
























第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)(对应学生用书(文)、(理)21～22页)


第59页

① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的
基础，要引起重视.

① 理解指数和指数函 数的概念，会进行根式
与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的
性质和运算法则，并能运用它们 进行化简
和求值.
② 对数式和指数式的相互转化，应用对数运
算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究
② 理解对数的概念，熟练地进行指数式和对
指、对数函数的前题，高考的涉及面比较广．
数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法
则，并能运用它们进行化简和求值．





1
6
2

1. 化简：[(－2)]－(－1)
0
＝________．
答案：7
解析：原式＝(2)－1＝7.
2. (必修1P
74
练习5改编)log
2
2的值为________．
1
答案：
2
1
1
解析：log
2
2＝l og
2
2
2
＝.
2
1
3. 已知log
7
[log
3
(log
2
x)]＝0，那么x－＝________ ．
2
2
答案：
4
12
解析：由条件知log
3
(log
2
x)＝1，∴ log
2
x＝3, ∴ x＝8，则x－＝.
24
2m
＋
n
4. (必修1P
76
练习1改编)已知log
a
2＝m，log
a
3＝n，则a＝___ _____．
答案：12
＋
解析：∵ log
a
2＝m，∴ a
m
＝2. ∵ log
a
3＝n，∴ a
n
＝3.故a< br>2mn
＝(a
m
)
2
a
n
＝4×3＝12.
x
2
y
5. 用log
a
x，log
a
y ，log
a
z表示log
a
＝________．
3
z< br>11
答案：2log
a
x＋log
a
y－log
a< br>z
23
解析：log
a
x
2
y
3
z
11
33
＝log
a
x
2
y－log
a
z＝log
a
x
2
＋log
a
y－log
a
z＝2log
a
x＋log
a
y－log
a
z.
23
6
2
1
1. 根式
(1) 根式的概念

根式的概念
n
如果a＝x，那么x叫做a的n次实数方根
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正



符号表示

n
a
备注
n>1且n∈N
*

0的n次实数方根是0
第60页

数，负数的n次实数方根是一个负数
当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，
它们互为相反数
(2) 两个重要公式
a（n为奇数），
?
?
n
?
① a
n
＝
?

?
a（a≥0），
?
|a|＝ （n为偶数）；
?
?
－a（a<0）
?
?
nn
② (a)
n
＝a(注意a必须使a有意义)．
2. 有理指数幂
(1) 分数指数幂的表示
n
±a
负数没有偶次方根
n
① 正数的正分数指数幂是a＝a
m
(a>0，m、n∈N
*
，n>1)；
m11
② 正数的负分数指数幂是a－＝
m
＝(a>0，m、n∈N
*
，n>1)；
n
a
n
n
a
m
③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
(2) 有理指数幂的运算性质
＋
① a
s
a
t
＝a
st
(a>0，t、s∈Q)；
② (a
s
)
t
＝a
st
(a>0，t、s∈Q)；
③ (ab)
t
＝a
t
b
t
(a>0，b＞0，t∈Q)．
3. 对数的概念
(1) 对数的定义
如果a
b
＝N，那么就称 b是以a为底N的对数，记作log
a
N＝b，其中a叫做对数的底数，
N叫做真数．
(2) 几种常见对数

对数形式 特点 记法
log
a
N
一般对数 底数为a(a>0且a≠1)
lgN
常用对数 底数为10
lnN
自然对数 底数为e
4. 对数的性质与运算法则
(1) 对数的性质
① alog
a
N＝N；② log
a
a
N
＝N(a>0且a≠1)．
(2) 对数的重要公式
log
a
N
① 换底公式：log
b
N＝(a、b均大于零且不等于1)；
log
a
b
1
② log
a
b＝.
log
b
a
(3) 对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
① log
a
(MN)＝log
a
M＋log
a
N；
M
② log
a
＝log
a
M－log
a
N；
N
③ log
a
M
n
＝nlog
a
M(n∈R)；
n
④ log
am
M
n
＝log
a
M.
m
m
n


第61页

题型1 指数幂的运算
例1 化简、求值：
2
?
2
1
?
7
?
0
43
0.256
?
( 1) 1.5－×
?
－
6
?
＋8×2＋(2×3)－
?－
3
?
3
；
3
3
a
(2) (a>0)．
5
aa
4
31
11
6
2
?
1
2
?
1
344
??
解：(1) 原式＝
?
3
?
×1＋2×2＋
2
3
×3
2
－?
3
?
3
＝2＋4×27＝110.
a
3
a
3
14
17
(2) ＝
14
＝a3－－＝a
10
.
25
5
4
a
2
·a
5
aa
备选变式（教师专享）

1
?
1
?
－2
?
7
?
1
(1) (0.0 27)－－
?
－
7
?
＋
?
2
9
?
2
－(2－1)
0
；
3
121
5
31
－
1
－
2
－
3
23
(2) a·b·(－3a－b)÷(4a·b).
62
()
－2
27
?< br>－
3
25
?
1
1055ab
－
2
?
1
???
解：(1) 原式＝
?
1 000
?
－( －1)
?
7
?
＋
?
9
?
2
－1＝ －49＋－1＝－45. (2) －.
334ab
2
题型2 对数的运算
例2 求下列各式的值．
1
(1) log
5
35＋2log
1
2－log
5
－log
5
14；
50
2
1
(2) (lg2)
2
＋lg2·lg50＋lg25.
1
35×50
解：(1) 原式＝log
5
＋2log
1< br>2
2
＝log
5
5
3
－1＝2.
14
2
(2) 原式＝(lg2)
2
＋lg2(lg2＋2lg5)＋2lg5
＝2(lg2)
2
＋2lg2lg5＋2lg5
＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5
＝2lg2＋2lg5＝2.
变式训练

计算：
3
(1)
(2)
3
6
6
a
9
·
3
a
9
(a>0)；
6
a·－a.
3
6
6
a·
1
3
解：(1)
3
6
9
3
3
a＝
1
6
9
4
a·3
6
44
a
3
＝a·a＝a；
1
11
(2) a·－a＝a·(－a)＝－(－a)＋＝－(－a)
2
＝－－a.
36
题型3 指数与对数的混合运算
例3 已知实数x、y、z满足3
x
＝4
y
＝6
z
＞1.
212
(1) 求证：＋＝；
xyz
(2) 试比较3x、4y、6z的大小．
(1) 证明：令k ＝3
x
＝4
y＝6
z
＞1，则x＝log
3
k，y＝log
4
k，z ＝log
6
k，


第62页

111 21
于是＝log
k
3，＝log
k
4，＝log
k
6，从而＋＝2log
k
3＋log
k
4＝log
k
3< br>2
＋log
k
4＝log
k
36＝
xyzxy
2log
k
6，等式成立．
(2) 解：由于k＞1，故x、y、z ＞0. < br>3lgk
3x3log
3
k
lg3
3lg4lg4
3
lg64
＝＝＝＝＝＜1；
4y4log
4
k4lgk4lg3l g3
4
lg81
lg4
2lgk
4y2log
4
k
lg4
2lg6lg6
2
lg36
＝＝＝＝＝＜1，
6z 3log
6
k3lgk3lg4lg4
3
lg64
lg6
故 3x＜4y＜6z.
备选变式（教师专享）

11
若2
a
＝5
b
＝m，且＋＝2，求m的值．
ab
解：由2
a
＝5
b
＝m得a＝log
2
m，b ＝log
5
m，
11
∴ ＋＝log
m
2＋log
m
5＝log
m
10.
ab
11
∵ ＋＝2，
ab
∴ log
m
10＝2，即m
2
＝10，解得m＝10(负值舍去)．

?
1－x，x≥0，
1. (2015·陕西文)设f(x)＝
?
x
则f(f(－2))＝________．
?
2，x<0，
1
答案：
2
1
?
111 1
－
解析：因为f(－2)＝2
2
＝，所以f(f(－2))＝f
?
＝1－＝1－＝.
?
4
?
4422
1
?
－1
5
?
2. (2015·安徽文)lg＋2lg2－
?
2
?
＝________．
2
答案：－1
解析：原式＝lg5－lg2＋2lg2－2＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.
3. (2015·北京文) 2，3，log
2
5三个数中最大的数是________．
答案：log
2
5
1
1
－
3
解析：2＝ <1，3
2
＝3>1，log
2
5>log
2
4>2>3， 所以log
2
5最大．
8
?
?
1＋log
2
（2－x），x<1，
4. (2015·课标Ⅱ理)设函数f(x)＝
?
x
－
1
则f(－2)＋ f(log
2
12)＝
?
2，x≥1，
?
________ ．
答案：9
解析：由已知得f(－2)＝1＋log
2
4＝3，又log
2
12＞1，所以f(log
2
12)＝2log
2
12－ 1＝2log
2
6
＝6，故f(－2)＋f(log
2
12)＝9.
－
5. (2015·天津理)已知定义在R上的函数f(x)＝2
|xm|
－1 (m 为实数)为偶 函数，记a＝
f(log
0.5
3)，b＝f(log
2
5)，c＝ f(2m) ，则a、b、c 的大小关系为________．
答案：c＜a＜b
－解析：因为函数f(x)＝2
|xm|
－1为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝2
|x|
－1，所以a＝f(log
0.5
3)
1
1
log
2
?
＝2log
2
－1＝2log
2
3－1＝3－ 1＝2，b＝f
(
log
2
5
)
＝2log
25－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝f
?
?
3
?
3
0
＝2－1＝0.


第63页
－
3
1< br>2

1
?
?
?
?
，x∈[－1，0），
1. 若函数f(x)＝
?
?
4
?
则f(log
4
3)＝________．
?
?
4
x
，x∈[0，1]，
答案：3
解析：∵ 04
3<1，∴ f(log
4
3)＝4log
4
3＝3.
－－
2. 若a >1，b<0，且a
b
＋a
b
＝22，则a
b
－a
b
的值等于________．
答案：－2
－－－－
解析：∵ a>1，b<0，∴ 0b
<1，a
b
>1.又(a
b
＋a
b
)
2
＝a
2b
＋a
2b
＋2＝8， ∴ a
2b
＋a
2b
＝6，
－－－
∴ (a
b－a
b
)
2
＝a
2b
＋a
2b
－2＝ 4，∴ a
b
－a
b
＝－2.
3. 已知函数f(x)＝lgx， 若f(ab)＝1，则f(a
2
)＋f(b
2
)＝________．
答案：2
解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a
2
)＋f(b
2
)＝lga
2
＋lgb
2
＝2(lga＋lgb)＝2l g(ab)＝2lg10
＝2.
1
?
1
1＋
?
＋ log
a
?
1＋
4. 已知m、n为正整数，a＞0且a≠1，且loga
m＋log
a
?
?
m
?
?
m＋1< br>?
＋…＋
1
log
a
?
1＋
m＋n－1?
＝log
a
m＋log
a
n，求m、n的值．
??
m＋1
?
?
m＋2
?
＋…＋log
?
m＋ n
?
＝解：左边＝log
a
m＋log
a
?
＋lo g
a
???
a
?
?
m
?
?
m＋1
??
m＋n－1
?
m＋n
??
m＋1m＋2
·…·
log
a
?
m·
m
·

m＋1m＋n－1
?
??
＝log
a
(m＋n)，
∴ 已知等式可化为log
a
(m＋n)＝log
a
m＋loga
n＝log
a
mn.
比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1.
??
?
m－1＝1，
?
m＝2，
∵ m、n为正整数，∴
?
解得
?

??
n－1＝1，n＝2.
??

1. 根式与分数指数幂的实质是 相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为
幂的运算，从而可以简化计算过程．
2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒
等变形．
3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．
请使用课时训练(B)第7课时(见活页)．
[备课札记]










第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)(对应学生用书(文)、(理)23～24页)



第64页
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