群体免疫高中数学-高中数学学顺序
必修4第三章教材分析
(一) 编写特色
1.
用向量证明和角公式,引导学生用向量研究和差化积公式。
2.
建立和角公式与旋转变换之间的联系。
3. 融入算法,引导学生找出求正弦函数值的算法。
4. 引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、
积化和差公式。
5.
和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。
(二) 内容结构
1.内容编排
本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数
的积化和差公式与和差化积公式,为了引起
学生学习本章的兴趣,
同时为了加强三角变换的实际应用,本章的开篇从一个实际问题
出发,通
过数学化,得到一个必须通过三角变换才能解决的数学
问题,从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知
欲。全章共分
三大节。
第一大节,首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式,
接
着导出两角和的余弦公式,再利用诱导公式推出两角和、差的
正弦公式,又利用同角三角函数关系式推出
两角和、差的正切公
式;
第二大节,推导出倍角公式和半角公式。
第三大节,推导
出积化和差与和差化积公式,并通过例题讲
解以上各公式的应用。
2,地位与作用
变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。代数变
换是学
生熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质,
它可以揭示那些外形不同但实质相同的三
角函数式之间的内在联系。
在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换。在本章,学生将
运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角恒等
变换公式,并运用这些公式进行简单
的三角恒等变换,通过本章学习,
学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。
三角恒等变
换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学
生的推理能力和计算能力,本章将通过三角恒等变形
揭示一些问题的
数学本质。
3.重点与难点
本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的
几何意义。
4.本章知识结构
S
a-b
S2a
S
a+b向量的数量积
及其坐标运算
C
a-b
C
a+b
Ta+b
Ta-b
积化和差
C2a T2a
和差化积
C
a
2
,
S
a
T
a
2
2
(三)课时分配
本章教学时间约8课时,具体分配如下:
3.1 和角公式
3.1.1
两角和与差的余弦 2课时
3.1.2 两角和与差的正弦
3.1.3 两角和与差的正切
3.2 倍角公式和半角公式
3.2.1
倍角公式
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3.3
三角函数的积化和差与和差化积
本章小结
1课时
1课时
1课时
1课时
1课时
1课时
课题
3.1.1两角和与差的余弦(一)
(一)教学目标:
知识目标:理解并掌握两
角和、差的余弦公式及其推导过程,理解公式的使用条
件;会用公式求值
能力目标:培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能力。
情感目标:通过
问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴趣,通过
公式的推导培养数学思想方法和良好的思
维品质。
(二)教学重点和难点:
本节课的重点是掌握公式结构,会用公式求值;难点是两角差的余弦公式的推导
(三)教学方法:
教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法;教师启发式的讲
授以
及师生、生生间的探讨为一体的教学方式
(四)教学过程:
教
学
环
节
教学内容 师生互动 设计意图
复
习
引
入
首先复习两个向量的
数量积的两种形式的
运算公式;
引入新课:
利用课本本章开头的
问题引入新课。
先让学生阅读书中的问题,并思考如何
将其中的实际问题转化成数学问题?进
而思考你是否能够用你储备的知识解此
数学问题吗?就此
提出
以旧引新、对实际问题出
发的思考探讨得到数学
问题,从而激发学生对本
章的学习兴趣。
sin(
?
?
?
)?sin
?
?
sin
?
是否成
立?师生共同探讨。从而引出本章节的
所研究的内容,即如何
用
sin
?
,
cos
?
,
sin
?
,
cos
?
表示
?
?
?
的三
角函数呢?
本节课我们首先研究
?
?
?
的余弦函数。
1、
公式推导和理
解:
问题1、已知:点
引导学生用向量方法求
?AOB
的余弦
值。
师问:由余弦值的表达式你能发现什
么?
生答:
cos?AOB
?
通过求两个已知向量的
夹角问题以及三角函数
定义的应用得出新的结
论,使
学生体会和认识到
“温故而知新”的研究数
学问题的思想方法。
O(0,0)
,
A(1,1)
,
教
学
过
程
B(?1,2)
,求
?AOB
的大小?
问
题2、已知:点
x
1
x
2
y
1
y
2
?
r
1
r
2
r
1
r
2
师问:如果定义直线
OA
与
x
轴的正方
向的夹角为
?,直线
OB
与
x
轴的正方
O(0,0)
,
A(
x
1
,y
1
)
,
向的夹角为
?
,那么上式
又揭示了什么
结论呢?
B(x
2
,y
2
)
,
求
?AOB
的大小?
此时
?AOB
如何用
?
,
?
表示?
师生
共同探讨得出公式:
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
此时让学生看书有关公式的具体证明过
程。
教
学
过
程
教
学
过
程
2、公式的深化: 师问:对公式的思考(1)观察结构
特点;使学生牢记公式并再一
(2)公式的使用条件;(3)如何得出次亲身体会利用旧知识
推
出新结论的过程,同时
cos(
?
?
?
)??
培养学生的化归的数学
思想方法。
通过练习总结出以下内容:
(1)将一般的角转化为特殊角的和或
差,可以不查表;
(2)在运用公式时,不仅会正用而且要
善于逆用;
(3)让学生编出相应的题目。
训练学生正用和逆用公
式,加深对公式结构的记
忆,同时培养学生逆向思
维方
法。
让学生认识到求一个一
般角的余弦值可以转化
为特殊角的和或差的余
弦
值的数学转化思想
3公式的应用
例1, 例2练习B中
1;
教师讲评
归
纳
小
结
布
置
作
业
让学生谈收获和体会
看书复习,并预习例
2和例3并尽所能的
做练习A、B中的习
题
备注:
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理能力和计算能
力,
课本的题目应适当拓展。
课题
3.1.1两角和与差的余弦(2)
(一)教学目标
1、知识目标:会用公式求值和证明。
2、能力目标:培养学生分析问题解决问题的能力,推理,联想能力。
3、情感目标:发展学
生的正向,逆向思维能力,前后知识灌溉和呼应的能力,培养良好、
严谨的数学思维品质。
(二)教学重点,难点
重点是运用公式求值,证明,并建立与原有知识(诱导公式),方法(旋转变换)的联系。
难点是公式的变形和逆向应用。
(三)教学方法
教师按照例题设计的思路适度引导
学生自发地思考问题,通过提问,讨论等形式来促使学生
自己思考,自发学习,获得解决
问题的途径,同时构建基于旧有知识的更新结构体系。同时,
通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提
升,以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目
的。
(四)教学过程
教学环节
教学内容
复习公式
师生互动 设计意图
复
习
引
入
C
?
?
?
让学生默写两角和与差的余弦公式。
同温习所学,引导学生
时,从公式形式出发,让学生总结提炼积极思考,进而由简
渐繁,强化应
用。
该公式的本质思想:讨论角
?
?
?
的余
弦
和单角
?
,
?
的正弦,余弦函数间的
关系,于是,利用这一公式我们
可以用
已知特殊角来求得某些角的余弦。
设置例题,
复习强化
P135
A,
学生练习,板演,教师讲评。
2 (2)(3)
是
对公式的简单应
用。在第二个问题的
处理上要用到诱导
公式。也是为下一步
工
作的开展做铺垫。
在以上过程中感受
解决此类问题的思
想,步骤。进一步,
通过学生对练习B
中题目2的练习达到
巩固这一类问题的
目的。
形式出发,
小作提升
教材例2。
分析,解决
完此问题
之
后,通过练
习B中题目
2来巩固该
方法和步
骤。
思考:
由公式形式来看,对其应用是不是仅仅
局限于特殊角?
由对公式的
理解我们知道:由公式出
发,比特殊角更广泛的角可以加入进
来。前提是只要知道其正,余弦值
。
看教材中的例2。
提问:
欲求其值,打算用何工具?
题目中是否具有了该工具可行的条
件?
该条件能否实现?如能,怎么实现?
通过学生讨论,找到解决问题的办法—
—利用和角余弦公式,通过判断各象限
角的正,余弦的
符号这一部分内容完成
题目的瓶颈问题。再利用公式得结果。
思考:
通过已有的知识,能否判断该等式成
立?
依据是什么?
通过对上问题的思
考温习诱导公式部
分的内容以及方法(是用单位圆以及对
称性来实现的)。
进一步问题:还有没有其他的方法来说
明这件事情?
引导学生从形式的角度结合新获得的
教材例3
小议证明,
建立联系
既完成了旧知识的
复习又巩固了新知
识。从实际操作得
出:证明结
论的途径
不唯一。在该例题的
结论上,不难推广到
一般,建立起诱导公
式与<
br>C
?
?
?
的联系,
知道诱导公式是
工
具来看待这个问题。
C
?
?
?
的特例,引导
公式的左边可
以看作两角和的余弦值,
从而想到用两角和的余弦公式尝试证
学生探究由
C
?
?
?
推
明。具体而言,即用
(2k?1)
?
来代替
公式中的
?
,则不难推出等式成立。
问题:能否用
C
?<
br>?
?
推出其他余弦形式
的诱导公式?
B,
引导学生用整体的观点来看待变量从
4 (2),5(1) 而达到方便处理的目的:
公式的应用不只局
限在从左到右的正
用,还要锻炼从右到
左的逆用。有助于活
跃思维,简化问题,
提高数学素养。
出其他余弦形式的
诱导公式。体会数学
内在的和谐,联系之
美。
cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin(
?
)
形式上看是
?
,?
两个角,但此处视
灵活逆用,
巩固新知
?
?
?
为一整体。
同时化简的过程又是公式逆用的形式;
在第二个证明上,可以从右往左推,利
用公式展开即可,也可以从左往右,先
写成具体的
cos
?
6
cos
?
?sin
?
6
si
n
?
及时小结,有利于形
成解题技巧和知识
网络。
再用公式。也是公式逆用的一个练习。
归
纳
小
结
总结用该公
式可以解决
哪些类型的
问题,主要
的方法和步
骤是什么。
公式的贡献主要体现在“求值”和“证
明”;而证明过程中所用到的方法又是
不唯一的
,在不同的工具之间又可以建
立联系。
布
置
作
业
教材练习:
0
课后思考题:sin15能否不查表而求值?
P135
A、
2 (4); 3 (1)
B、3; 5 (2)
培养学生
主动思考,
沟通知识间联系的
一种习惯,同时为下
一节课的开展做铺
垫。
备注
:
(1)在教学安排上,注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用
,可以布置较为开放性的
题目,使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网;
(2
)在题目的设计上,如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系
的理解。在这个问
题上似乎还需要更深入的探索。
课 题
3.1.2
两角和与差的正弦
一、教学目标
⒈知识目标:掌握两角和与差公式的推导过程;
⒉能力目标:培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力;
⒊情感目标:发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式;
难点:两角和与差公式变aSina
+
bCosa为一个角的三角函数的形式。
温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点
教学内容
复习:⑴Cos(α
?
β)=?
⑵Sin(π2
-
α)=?
⑶任意角三角函数的定义:
若p(x
,
y) ︱op︱=r
则Sinα=? Cosα=?
例:求证:
Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ
证明:(略)
求证:
Sin(α-β)=SinαCosβ-CosαSinβ
师生互动
学生回答
设计意图
为证明Sin(α
?
β)作好准
备。
二、教学重点、难
点
三、教学方法
四、教学过程
教学环节
复习引入
公式推导及理
解
分析:等式两边
的特征?
如
何由左→右把
α+β的正弦化
成α
、
β的正、
余弦?联系所学
知识,已学过的
哪一个公式可把
α+β的三角函
数化成α、β的
函数形式?
(学
生回答)故需要
把
(
α+β
)
的正
弦化成与α
+β
的相关的余弦形
式即可。
问:Sin(α+β)应
化成哪个角的余
弦形式?
问:Cos[
?
-
(α
2
+β)]又如何展开
才可得到α
、
β的正、余弦形
式?
学生证明
注重分析,使
学生理解知识
间的相互转
化。
巩固Sin(α+
β)的推导过
程。
公式的深化
(标题)两角和与差的正弦
Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ
Sin(α-β)=SinαCosβ-CosαSinβ
(1)
公式的特征及与两角和与差
的余弦的区别
(2) 公式的作用
正用:求非特殊角的正弦值。如:求
Sin75°=? Sin15°=?
逆用
:把具有角α、β的正余弦交叉
积的形式化简求值。如Sin22°
Cos38°+Cos22
°Sin38°=?
公式的应用
例1:已知向量
op
=(3,4)逆时针旋转
练习:
P1382⑴—⑸,3
巩固公式
培养学生的分
析能力和运算
推理能力
45°到
op
,
的位置,求点p’(x’,y’)的
坐标。
解:(略)
若把向量
op
=(3,
4)改为
op
=(x,
例2:已知点P(x,y)与原点的距离<
br>保持不变,逆时针旋转θ角到点p’(x’,y),结论变吗?再
y’)
把45°改为θ,
求证:x’=xCosθ-ySinθ 对结论有影响
y’=xSinθ+yCosθ 吗?
证明:(略) 学生证明。
问:公式的记忆
注:这个结论叫旋转变换公式
规律?
练习:P1392
问题:欲求函数
例3:求函数y=aSinx+bCosx的最大值
y=aSinx+bCosx<
br>和最小值,其中a
,
b是不同时为零的的最值和周期,
实数。
必须化成什么形
解:(略) 式?已知表达式
中的Sinx、Cosx
系数变成同一个
角θ的余弦、正
弦方可。
问题:求点p’(x’,
y’)的坐标必须知
怎样的条件?
由所给点P的坐
标可知哪些结
论?
师生共同完成解
答过程
注:凡形如的相关问题,一般提出
设P(a,b),则
op?
a
2
?b
2
a
2
?b
2
去处理。
练习:(1)求y=Sinx+Cosx的最值和周
期
(2)p138例5
归纳小结 本节所学知识:Sin(α±β)公式的推
导及Sin(α±β)的应用。
P139A 4,B 1,3
设以op为终边的
一个角为θ,则
Cosθ、Sinθ即可
用a、b表示
此时需对
y=aSinx+bCosx
做怎样的变形?
问题:y
=aSinx
+
bCosβ还可提
a
2
?b
2
吗?
学生练习
学生看书
师生一起总结
培养学生的归
纳整理的学习
习惯
作业
备注:
⑴注重教学过程,注重探索,应贯穿于每一节课的始终。
⑵充分挖
掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系,创设问题情景,激发学生的
学习兴趣。
⑶通过不断地提出问题、解决问题,逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。
课题
3.1.3两角和与差的正切
(一) 教学目标
1.
知识目标:掌握公式及其推导过程,理解公式成立的条件;会用公式求值。
2. 能力目标:培养学生
的观察、分析、类比、联想能力;间接推理能力(即不能直接套公
式,需要变化条件,寻找依据,才能推
出结论);自学能力。
3.
情感目标:发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力,构建良好的数学思维品质
(二)
教学重点、难点
重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件,运用公式求值
难点是公式的逆向和变形运用。
(三) 教学方法
教师按照课本的
知识结构先设计若干问题(即“知识台阶”),课前印发给学生,引导他们阅
读课本。课堂上在教师三导
(引导、指导、辅导)下,以学生为主体,对所设问题进行读、
议、练、讲,其间教师通过提问、参与讨
论,巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道,
及时搜集反馈信息,及时作出评价,再发指令,使教学
过程处于动态平衡之中。
(四) 教学过程
教
学
环
节
复
习
引
入
教学内容
师生互动
设计意图
复习公式
S
?
?
?
和
先让学生默写两角和与差的正弦、余弦公式,
然后
指出这两个公式是讨论复角
C
?
?
?
并由此提出问题,
引入
新课
?
?
?
与单角
?
,
?
的正弦、余弦
函
数的关系,且此关系对任意角
?
,
?
均
成立,那么,能否
用
tan
?
和
tan
?
来
以旧引新,注意
创设问题的情境,
通过设疑,引导学
生开展积极的思维
活动。
?
?
?
)
呢?
表示
tan(
公
式
的
推
导
入
理
解
?
?
?
)
的推导公式
tan(
及两角和与差的正切
公
式的“三掌握”
学生阅读课本中“两角和与差的正切”公式的
推导,教师板书课题和公式的推导过程。
阅毕思考讨论:(投影)
(1)公式是如何推导出来的?有什么限
制?(2)公式
有何特点?如何记忆?(3)公
式有何用处?有何变形?
由学生回答上述问题,教师点评,结
论如
下:(1)由两角和与差的正弦、余弦公式可推
导正切公式:
tan(
?
?
?
)?
教
学
环
节
教学内容 师生互动
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
tan
?
. 通过对
三个问
题的分析讨论,使
学生对公式有一个
清晰完整的认识,
为公式的灵活运
用
打下基础,并给学
生一个自由的空
间,逐步培养他们
的自学能力。
设计意图
由正切函数的定义域可知,公式成立的条件
是
?
,
?
,
?
?
?
都不能取
k
?
?
?
2
(k?Z)
。
(2)注意符号与等式的结构特征,可理解记
忆,对比记忆。
(3)
此公式可用来求值,进行三角变换等
(学生的回答可能有很多种,教师择要归纳)
注意公式的逆
向形式和变形形式。
公
式
的
深
化
公
式
的
应
用
对两角和与差的正切公
式“三想”
(1)特想:
tan2
?
?
?有何限制条件?
(2)联想:如何推导两角各与差的余切公式?
有几种方法?
(3)扩想:
tan(
?
?
?
?
?
)
?由学生推导。
两角和与差的正切公式
的“三会用”。
例1 求出下列各式的精
例1 学
生练习、板演、教师讲评,注意几
个问题:(1)将一般角转化为特殊角的和或差,
可以不查表
求值;(2)运用公式时,不能仅局
限在从左到右的正用,还要善于从右到左的逆
用。
例2 学生思
考、讨论解决,教师巡视指导,然后教师提问,
学生回答.
师:有几种解法?如何
求解?
对公式进行深挖
掘,显示其“辐射”
“作
用,培养学生
的分析、联想能力、
优化思维品质
例1是使学生掌握
公式的正
向和逆向
运用,并进一步熟
悉公式的特征,为
后在的灵活运用作
?
确
值:(1)
tan75
;
铺垫。
??
例2是一道典型例
(2)
tan17?tan43
<
br>题,对它的解法的
1?tan17
?
tan43
?
巩固练习一
:练习A,1,深入探讨,有益于
?
生:两种,(一):先求出
tan75
,再求
2;练习B,2,3。
启发学生思维,提
例2 不查表,求值:
高学生的解题能
?
tan45
值;(二)用代换1,再逆用公式.
力;且在解题过程
1?tan75
?
师:哪种解法运算简捷?
中提炼思想方法,
1?tan75
?
巩固练习二: 练习 生:(2)
有利于培养学生良
A3(1);练习B,第1题。 师:此法运用的关键是什么?
好的数学思维品
例3 不查表,求值: 生:1的代换,配凑公式. 质。
教
师指出,这里运用了观察、联想、转例3通过具体例子
tan15
?
?tan30?
?
(1)
化的数学思想。
显示出灵活运用公
??
tan15tan30
例3
学生思考讨论,教师进行必要的式的优越性,必将
启发引导。
给学生留下深刻的
??
(2)
tan17tan43?
印象,及时小结,
?
tan15
生:先求出再求解。
升华公式,
有利于
tan17
?
tan30
?
?tan43
?
tan30
?
师:还有其他解法吗?(略停顿,启发学生回学生解题技巧的形
成。
???
答)这个式子有什么特点?
15?30?45
;
????
出现有“
tan15?tan30
和“
tan15tan3
0
”。
师:好,由此你能联想到什么?
教学内容 师生互动
设计意图 教
学
环
节
tan15
?
?tan30
?
??
15?30)?
生:
tan(
??
1?tan15tan30
师:请试解这一题。
学生做题,教师巡视指导,并让学生板
演.
点评:在公式
T
?
?
?
中,体现了
三者之
tan(
?
?
?
)tan
?
?tan
?
,tan
?
t
an
?
,
间的关系,通过变形,可得
tan
?
?
tan
?
??,tan
?
tan
?
??
让学生
完成第(2)小题,并板演。
归
纳
小
结
布
置
作
业
从知识、方法两个方面来
对本节课的内容进行归
纳总结。
对公式做到三个“三”:即“三掌握”“三
想”“三会用”
使学生对所学内容
有一个清晰完整的
认识,并点出学习
三角公式的基本方
法。
巩固本节课所
学知
识,培养学生自觉
学习的习惯,同时
给学有余力的学生
留出自由发展的空
间。
教材习题3-1A,5
教材习题3-1B,1
教材习题第6题
备
注
补
充
公式变形应用:
计算(1)
tan20?tan40?3tan20tan40
(2)已知
A?B?225
,求证:
(1?tanA)(1?tanB)?2
(3)课后思考题:当
A?B?C?k
?
(k?Z)
,并且
tanA
,tanB,tanC
存在时,
?
????
tanA?tanB?tanC<
br>与
tanAtanBtanC
有何关系?其逆命题成立吗?
课 题
3.2.1倍角公式
一教学目标
1.知识目标 掌握
S
2
?
C
2
?
T
2
?<
br>公式的推导,明确
?
的取值范围;
能运用二倍角公式求三角函数值
2.能力目标
通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力
通过综合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力
3.情感目标
通过公式的推导,了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联
系,从而培养逻辑推理能力和辩证唯
物主义观点
二教学重点、难点
重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式
C
2
?
的两种变形;
难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、
和角公式的综合应用。
三、教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法,运用现代
化多媒
体教学手段,进行教学活动,通过设置问题引导学生观察分析,
使学生在独立思考的基础上进行合作交流
,在思考、探索和交流的过
程中获得倍角公式,对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行
处理,使学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化
对公式的记忆。
四、教学过程
教学环
节
复
习
引
入
公
式
的
推
导
教学内容
复习两角和
与差的三角
函数公式
师生互动
先让学生回
忆两角和与差的正弦、余
弦、正切公式的来龙去脉,并请一个同
学把这六个公式写在黑板上
学生板演
教师点评这些公式:一方面要从公式的
推导上去理解它,另一方面要从公式
的
结构特点上去记忆,还要注意公式的
正、用、逆用和变用。今天,我们继续
学习二倍
角的正弦、余弦和正切公式
设计意图
温旧知新,让学生明确学
习的内容
请学生想一想,在公式
?
?
?
1.
C
?
?
?
探索研究
中对
?
,
?
如何合理赋值,才
?
?
?
二倍角的
正弦、余弦
能出现sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的表
和正切公式
达式,并请同学把对应的等式写在黑板
上
学生板演 2.
教师提出问题:二倍角的正切公式还有
没有其它的推导方法
学生课后思考
S
T
引导学生运用已学
过的两角和的三角
函数公式推得二倍
角公式
,使学生理解
二倍角公式就是两
角和的三角函数公
式的特例,这样有助
于公式
的记忆
问题的提出可以让
学生了解公式的不
同推导方法,有助于
学生发散思
维的培
养
公
式
的
深
化
理
解
1.
二倍角的
正切公式
的适用范围
2.二倍角余
弦公式的不
同表现形式
提出对于公式
T
?
2
,我们要注意些什
么?
请学生想一想要关注什么?公式中的
?
有限制吗?
学生回答要使
意义
师生讨论要使
tan2
?
有意义,
?
取值
范围
提出对于
T
?
有意义,需分母有
2
使学生掌握二倍角的余
弦公式的不同表示形式,
并掌握二倍有正切公式的适用范围,以加深对公
式的认识和理解,培养严
谨的数学思维品质
cos2
?
=cos
2
?
--
sin
2
?
,还有没有其他的形式?
学生板演
教师板书三个公式,并告诉学生公式记
号分别为
S
?
C
?
T
?
,对二倍角公
22
2
式大家要注意以下问题:(1)用单角的三
角函数表示复角的三角函数;(2)
有三种形式,
C
?
2
T
?
是有条件的
2
教学环节
公式的应
用
例1.
教学内容
师生互动
设计意图
例1是两倍角公式
的应用求值问题,
同时复习了同角的
三角函数关系及三
角函数的符号问
题,为学生展示不
同的解题方法,可
培养学生灵活运用
知识解
决问题的能
力
例2是一个三角恒
等式的证明问题,
要引导学生运用合
理的途径进行证明
例1.
5
?
可让学生自己解
,
?
?(,
?
)
, 已知
sin
?
?
决,本题也可按其
13
2
程它的程序来做,
求sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的值
并让学生比较方法
之优劣。
巩固练习一:
师:证明恒等式有
练习A,1,2,3。 哪些途径?
例2. 证明恒等式:
生:一是由左边证
sin2
?
?sin
?
到右边,二是由右
?tan
?
边证到左边,三是
2cos2
?
?2sin2
?
?cos
?
左右两边同时变形
为同一个式子。
师:针对例2待证
巩固练习二:
恒等式中式子的特
习题3-2A,3(1) (2) (3) 点,我们应采取哪
种途径?
生:由左边证到右
边
师:下面同学们自
己试着证明该题
完成后学生完成巩
固练习二
(1)
说明二倍角的三角函数公式是
两角和与差的三角函数公式的
特例
(2)
引导学生总结回
顾,可采取提问的
方式进行
归纳小结
S
?
C<
br>?
中角
?
没有限制条件,
22
而
T
2
?
中,
?
有限制条件
系统地总结回顾本
节课所学的内容有
助于学生形成清晰
(3)
要熟悉多种形式的两个角的倍
数关系,才能熟练地应用好二
倍角公式,这是灵活运用公式
的关键
(4)
cos2
?
有三种形式,要依据条
件,灵活选用公式。另外,逆用此
公式时,更要注意结构形式。
布置作业
层次一:
教材练习B,1,2
层次二:
教材练习B,1,2,3,4;教材习题
3-2A,4(2)
作业分三个层次,
第一层次要求所有
学生都要完成;
第二层次要求学有
余力的学生完成;
的知识网络
通过分层作业使学
生进一步巩固本节
课所学内容,并为
有余力的学生的发
展提供更加广阔的
空间
教学环节
布置作
业
教学内容
层次三:
.教材练习B,1,2,3(1)(2)(3)
师生互动
第三层次要求学有余
力的学生完成
设计意图
通过分层作业使学生
进一步巩固本节课所
学内容,并为有
余力
的学生的发展提供更
加广阔的空间
备
注
实施新教材,教师该如何“采集”和
“创生”有效的教学素材,寻找适合学生
的教学设计,使学生获得最优的发展是这节课要体现的设计理念
.
1. 以旧引新,明确学习内容.
角
归”)
令
?
2.教会学生合理赋值.
( 合角 )
( 倍 角 ) <
br>S
?
?
?
――――→
C
??
?
S<
br>?
―――→
C
?
化 单
2
2
T
?
?
?
―――→
T
?
(感受“化
2
?
?
?
?
?
-----------------→
2
?
3.思考与交流: (给学有余力的学生留有发展的空间)
1?sin4
?
?cos4
?
1?sin4
?
?cos4
?
?
⑴求
证:
2tan
?
1?tan
2
?
⑵利用三角公式化简:
sin50
0
(1?3tan10
0
)
1
?
⑶
sin
122
2
?
<
br>4.教学中点出发现二倍角公式的基本思想,体现“授之以鱼,不如授之以渔’’的
教育思想.对
公式要求做到三个“三”:即“三掌握” “三想” “三会用”.
课题
3.2.2 半角的正弦 余弦和正切
(-)教学目标
1
知识目标:
会推导半角的正弦,余弦和正切并会用半角公式进行证明,求值和化简
2
能力目标:
会灵活运用公式进行推导变形
3 情感目标
灵活运用公式化繁为简
(二)教学重点,难点
重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值,化简,证明
难点是用公式求值
(三)教学方法
引导学生复习二倍角公式,按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角
公式,课堂上
在老师引导下,以学生为主体,分析公式的结构特征,会根据公式特点得出公式的应用,用
公式来进行化简证明和求值,老师为学生创设问题情景,鼓励学生积极探究。
教学
教学内容
环节
师生互动
让学生默写二倍角公式,让学生思考二倍角公式的实质?
学生
。
练习求sin120
0
Cos120
0
tan1
20
0
老师提出问题学生思考a可看
作哪个角的2倍角?怎样用二倍角公式写出sin
a cosa
tana ?学生默写
设计意图
以旧引新,注意创设问
题的情景,通过设疑,
引导学生开展积极的
思维活动
复
习
引
入
复习
二倍角
公式,提出问
题,并引出新
课
公
sin
式
公
式
的
推
导
??
,cos
??
公式的推导过程
22
数,比如sin,cos
可以用a的哪个三角函数怎样表示?
?
22
,tan的推
学生推出结论
2
导,
得到cos
老师启发学生思考有时常用a的三角函数表示
?
通过设疑使学生学
的三角函
会分析问题,掌握
2
?
1?c
os
?
=
?
2
2
?
1?cos
?
=
?
2
2
?
1?cos
?
=
?
2
1?cos
?
sin
tan
公
式
的
理
解
(1)公式有
何特点?如
何记
忆?
(2)公式有何
用途?
老师:公式有何特点?如何记忆?
学生回答:
老师补充:
(1)可以把a看作二倍角来记
(2)公式用cosa表示出cos
前的符号取决于
?
?
?
sin tan的三角函数公式
222
引导学生观察,分
析,记忆培养学生
能
力。强调注意事
项。根据公式特点
分析应用
?
所在象限(
2
通过练习使学生进
一步理解公式及其
应用,明确公式的
用法
3)公式可以用来化简,证明,求值
公
式
的
应
用
例1
求sin15
0
Cos15
0
,tan15
0
练习:
习题3-2 A 1
练习B,1
得规律
用根式求值时一般处理办法如下
①如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符
号
②如果给出a的具体
范围时,则先求出
根据
?
所在范围,然后再
2
?
所在范围选用符号
2
?
2
sin
③如给出的角时某一象限的角时,则根据下表决定符号
?
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
?
2
cos
?
2
tan
+
+
-
-
?
2
第一,三象限
第一,三象限
第二,四象限
第二,四象限
+,-
+,-
+,-
+,-
+,-
+,-
-, +
-, +
公
式
补
充
例2
求证tan
?
2
=
sin
?
=
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
习题3-2B
3,(5)
求证
老师引导学生证
明得到结论。这两个结论也可以作正切的二倍
角公式记忆,老师提问它和上面的公式对比有何特点?学生
思
考并回答,老师补充
例2的结论也可以看作半角的正切公式,它是有理式,所以在
计算时常用上面的根式,证明常用有理式形式。证明恒等式时
有理式形式也常由右边写出左边,注意灵活
运用。老师引导学
生分析公式特点并记忆。
理解半角正切的另
一种形式,复习证明三角恒等式的方
法,区分两种公式
形式的不同用法
例
题
和
练
习
老师:证明三角恒等式的方法?
学生:可以从左往右证,也可以从右往左证,也可以两边同时
证,应化异为同
2si
n
?
?sin2
?
师:左有单角,二倍角。右为半角,所以两边统一为单角<
br>?
?tan
2
2sin
?
?sin2<
br>?
同学自己完成。找一学生到前面写
2
2
半角正切第二种形
式
的应用,进一步
复习三角恒等式的
证明
=
tan
?
2
(1) 本节课重点学习了半角公式的两种
形式,要求掌握公
式的推导过程。记忆公式的形式。特别注意运算时根
式形式的符号选择。
(2) 具体问题中会选适当的形式解决。注意证明三角恒等
式的证明方法
要学生明确本节课
的重点和要达到的
要求
小
结
从知识,方
法
两个方面对
本节课内容
进行归纳和
总结
布
置
作
业
练习A,2,3
练习B2,3
对本节内容及时巩
固
反思:
重视新旧知识的联系,
新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发
展,形成新知识的同时提升了学生的能力。在教学过程中,注
重培养
学生的观察能力,分析问题及解决问题的能力,及分情况讨论的思想,
和化归的思想使学
生的数学素养的到提高。
课题 3.3
三角函数的积化和差与和差化积
(一) 教学目标:
1.知识目标:了解积化和差、和差化积公式的推导过程,能初步运用公式
进行和、积互化.
2.能力目标:能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.
3.情感目标:通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证
唯物主义观点.
(二) 教学重点、难点
本节重点是公式的推导和应用,难点是公式的灵活应用.
(三) 教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法.
(四)
教学过程
教
学
环
节
复
习
教学内容
师生互动
设计意图
复习两角和与差的正
弦、余弦公式
让学生将两角和与差的正弦余弦公
式写出来.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
①
cos(
?
?
?
)?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?
②
复习旧知识
同时为推导积
化和差公式作
准备.
引
入
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
③
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
④
积
化
和
差
公
式
的
推
导
推导积化和差公式:
1
cos
?
cos
?
?[cos(
?
?
?
)?能否用sin(
?
?
?
),sin(
?
?
?<
br>),cos(
?
?
?
)
2
cos(
?
?
?
)].
cos(
?
?
?
),
来表示
cos
?
cos
?
,sin
?
sin
?
1
sin
?
sin
?
??[cos(
?
?
?
)?
cos
?
sin
?
,sin
?cos
?
.
2
cos(
?
?
?)].
1
sin
?
cos
?
?[sin(
?<
br>?
?
)?
1
2
cos
?
cos
?<
br>?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?<
br>)];
sin(
?
?
?
)].
2
师:考察写出来的两角和与差的正
弦、余弦公式这四个公式,你
生:①式与②式两边分
别相加和相
减除以2得到:
培养学生运
用已有知识分
析问题
的能力
和问题探究的
能力,同时也是
学生认识到了
新公式产生的
来龙
去脉.
教
学
环
节
教学内容
师生互动
设计意图
1
1
cos
?
sin
?
?[sin(
?
?
?
)?
sin
?
sin
?
??[cos(
?
?
?
)?c
os(
?
?
?
)];
2
2
sin(
??
?
)].
③式与④式两边分别相加和相减除以2
得到: <
br>1
sin
?
cos
?
?[sin(
?
??
)?sin(
?
?
?
)];
2
1
cos
?
sin
?
?[sin(
?
?
?<
br>)?sin(
?
?
?
)].
2
师:这个公
式称为三角函数积化和差公
式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点
在于将“积式”化为“和差”
,有利于
简化计算
积
化
和
差
公
式
的
应
用
和
化
积
差
公
式
的
推
导
教材练习A第2题
学生做练习教师巡视检查
让学生初步学
会应用公式
推导和差化积公式:
sinx?siny?
x?yx?y
2sincos;
22
sinx?siny?
x?yx?y
2cossin;
22
师:从上面的积
化和差公式变形可
以得到:
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
;
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?)??2sin
?
sin
?
;
sin(
?<
br>?
?
)?sin(
?
?
?
)?2sin
?<
br>cos
?
;
sin(
?
?
?
)?
sin(
?
?
?
)?2cos
?
sin
?
.
左边是和差的形式,左边世纪的形
式,设:
?
?
?cosx?cosy?
x?yx?y
cos;
22
cosx?cosy?
x?yx?y
?2sinsin.
22
2cos
教学内容
?x,
?
?
?
?y
后请同学
们
自己将上面四个市子进行整理,把
?
,
?
用
x
,
y
.换下来,学生整理后
师生互动
引导学生有
积化和差公式和差化积公式,
推导过程中运
用带换法进行
角的转化.
通过组织学
生分组讨论探
究,逐步培养学
生团结协作的
思想品质,提高学生中和运用
知识思考问题
问题解决问题
的能力.
设计意图
教
学
环
节
得到和差化积公式。
师:下面同学们看课本中的“探索
与研究”,然后分组进行讨论看如何运
用向量的知识
来推导和差化积公式.
组织学生讨论.
师:这组公式称为和差化积公式,其特
点是
同名的正(余)弦才能使用,它与
积化和差公式相辅相成,配合使用.可形
象地记为“因式分解
”
和
化
积
差
公
式
的
应
用
例1
化
cos3
?
?cos
?
为
积的形式。
巩固练习: 练习A,1,
3.
练习B,1.
例2 已知
A?B?C?
利用和差化积这四个公式和其他
三角函数
关系式,我们可以将某些三角
函数的和差化成积的形式.
老师指导学生做例1,并检查学生<
br>做的情况,用投影仪订正,并强调说明
积的最后结果必须是几个函数积的形
式,而且是最
简形式,如
180
,求证:
sinA?sinB?sinC
ABC
?4coscoscos
222
巩固练习:练习B,3
从知识、方法两个方面来
对本节课的内容进行归
纳总结.
例1是积化和差公式的直接
应用,要让学生
明确化积问题
未最后结构的
要求.
例2是一道典
sin
?
(sin
?
?sin?
)
不符合要求,最后结
型的综合性问
题,对于它的解
?
?
??
?
?
cos
题过程深入探
果应写成
2si
n
?
sin
.
22
讨,有益于启发
例2是一道综合类较强
的证明题,学生思维,提高
要利用到诱导公式、二倍角的正弦公学生分析问题
式,和差化积公式
,教师要扮演整个解和解决问题的
题过程,并在解题过程中引导学生思考. 能力.
(1)
本节课重点学习了两组公式,对于让学生明确本
公式不要求记住,但要学会运用这节课的重点和
些公式进行三角函数和差与积的要达到的要求.
互化,并能够运用这些公式解决一
些求值、化简和证明问题;
(2)
把一个式子化为积的形式是一类
重要题型,尤其要注意其最后结果
的形式是否符合要求;
(3) 在公式的推导过程中我们用到了
换元法,要注意该方法在解题中的
应用.
小
结
教
学
环
节
布
置
作
业
备
注
教学内容
师生互动
设计意图
教材习题3-3 A , 3, 4
对本节内容复
习巩固
1. 教学设计出发点:
运用学生自主探索、
动手实践、合作交流、阅读自学的学习方法,力从提高学生
的思维、探索、实践动手能力.
2. 以熟悉认知陌生,学生推导
S
?
?
?
,
C
?
?
?
?
积化和差,和差化积,公式变形及换元法的应用
补
充
3.
不查表,不使用计算器,求值:
3cos37.5
?
cos22.5
?
积化和差,凑角或二倍角公式的综合练习。
4.
学生分组讨论:共两种不同方法计算下式的值:
sin7
?
?cos15
?
sin8
?
cos7
?
?sin15
?
sin8<
br>?
通过分组讨论,启发学生多途径、多思路地考虑问题。并且使思维得到扩
展,培
养学生解决问题的合作精神。
课题
第三章 三角恒等变换小结
(一)教学目标
1、知识目标:掌握几个公式
间的内在联系,理解公式中所会有的“元素”,会用公式解决化
简求值问题。
2、能力目标:培养学生观察、分析、联想、推理能力。
3、情感目标:构建良好的数学思想品质。
(二)教学重点、难点
重点:11个公式之间的内在联系。
难点:公式的应用(如何使用公式)。
(三)教学方法
首先使学生明确11个公式的内容,之间的内在联系,公式能解决的问题的类型。
(四)教学过程
教学
环 节
复
习
引
入
教学内容
(1)11个公式
(2)公式之间的
内在联系(结构
图)
师生互动 设计意图
使学生进一
步熟悉公式
之间的内在
联系。
C
?
?
?
S
?
?
?
T
?
?
?
C
?
?
?
S
?
?
?
T
?
?
?
C
2
?
S
2
?
T
2
?
T
?
2
提出针对每一个提前由学生准备。相互交流,共同提高。(可以
公式的典型例题。
针对时间安排做相应调整)
教
学
过
程
例1:
使学生了解
公式解决问
题的对象。
使学生进一
步掌握公式
的应用。
3
?
sin
?<
br>?sin
?
?
?
由学生解决问题
5
, 已知
?
4
?
cos
?
?cos
?
?
5
?
求
cos(
?
?
?
)
的值。
提示:如何利用已知条件。
例2:
已知
?
?
?
?
?
3
,
求
tan
?
?tan
?
?3tan
?
tan
?的值。
例3:
求
cos10?cos20?cos40?cos80
的值。
归
纳
小
结
布
置
作
业
由学生完成。 由学生发现
问题与解决
问题的方法。
进一步巩固
提高。
0000
P154
2(2),3,11
备注:
在内容的把握上,很多原有的必须掌握的知识在要求上有所降低
,辨证地来看这个问题,适
当的降低难度有利于学生负担的减轻,但另一方面,内容并无减缩,只是要求
降低,习题难
度降低,这样的做法是否不大利于学生适应高考的形式?仅就这个问题提出本人的一点看<
br>法。
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