2018高考数学全国卷真题是教材(课本)中哪些题的变形(由来)？详解

2018年高考数学全国卷真题有哪些是教材习题的变形(1)？

1.【教材·人教版高中数学必修四,113页,习题2.5 第2题】

?ABC
中,
D,E,F
分别是
AB,BC,CA
的中点,
BF
与
CD
相交于点
O
,设
AB?a
,
AC?b
,用
a,b
表
示向量
AO
.
【解析】如图所示,依题意可知点
O
为
?ABC
的重心,
22111
AE??AB?AC?AB?AC

33233
11

?a?b
.
33
AO?
??
【高考·真题】（2018年全国卷I,理数6题）在
?ABC
中,AD
为
BC
边上的中线,
E
为
AD
的中
点,则
EB?


A
.
A
E< br>B
D
C
3113
AB?AC

B
.
AB?AC

4444
3113
C
.
AB?AC

D
.
AB?AC

4444
【答案】
A
.
【解析】依题意作图如上,易知

EB??BE??
11
BA?BD??BA?BC

22
? ???
1
?
11
?
31
??
??
?
BA?BA?AC
?
??
?
BA?AC
?

2
?
22
?
22
??
??

?
31
AB?AC
. 故选
A
.
44
x
?1
的最小正周期,递增区间及最大值.
2
2.【教材·人教版高中数学必修四,142页,练习4（2）题】
求函数
y?2cos
2
x
?1
,∴
y?1?cosx?1? 2?cosx

2
由余弦函数性质可知,最小正周期为
T?2
?
,
【解析】由题意
y?2cos
2
递增区间为
??
?
?2k
?
,2k
?
?
,k?Z
,
当
x?2k
?
,k?Z
时,
y?2cos
2
x
?1
有最大值3,
2
综上,函数最 小正周期为
T?2
?
;递增区间为
?
?
?
?2k< br>?
,2k
?
?
,k?Z
;
x?2k
?
,k?Z

时,
y?2cos
2
x
?1
有最大值3.
2【高考·真题】（2018年全国卷I,文数8题）已知函数
f
?
x
?< br>?2cos
2
x?sin
2
x?2
,则

A
.
f
?
x
?
的最小正周期为
?
,最大值为3
B
.
f
?
x
?
的最小 正周期为
?
,最大值为4

C
.
f
?
x
?
的最小正周期为
2
?
,最大值为3
D
.
f
?
x
?
的最小正周期为
2
?,最大值为4

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【答案】
B
.
【解析】
f
?
x< br>?
?2cos
2
x?sin
2
x?2?2cos
2< br>x?1?cos
2
x?2


?3 cos
2
x?1?cos2x?
??
3
2
5
,
2
∴
f
?
x
?
的最小正周期为
?
,最大值为4.故选
B
.
3.（1）【教材·人教版高中数学必修四,120页,复习参考题
B
组第9题】
平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实对数唯一表示,这使我们想到可以用向量作为解析
几何的研究工具.如图,设直线
l
的倾斜角为
??
?90
o
.在
l
上任取两个不同的点
P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
?
x
2
,y
2< br>?
,
不妨设向量
PP
12
的方向是向上的,那么向量< br>PP
12
的坐标是
?
x
2
?x
1
, y
2
?y
1
?
.
OP
的倾斜角也是
?
,根据正 过原点作向量
OP?P P
12
,则点
P
的坐标是
?
x
2
?x1
,y
2
?y
1
?
,而且直线
??
切 函数的定义得
tan
?
?
y
2
?y
1
,
x
2
?x
1
这就是《数学2》中已经得到的斜率公式,上述推导过程 比
《数学2》中的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下直
线的有关问题吗？例如：
（1）过点
P
0
?
x
0
,y
0?
,平行于向量
?
?
?
a
1
,a
2< br>?
的直线方程；
（2）向量
?
A,B
?
与直线
Ax?By?C?0
的关系；
（3）设直线
l
1
和
l
2
的方程分别是 < br>y
P
P
2
?
O
?
P
1
x< br>l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
那么,
l
1
l
2
,
l
1
?l
2
的条件是什么？如果它们相交,如何得到它们的夹角公式？
（4）点
P
0
?
x
0
,y
0
?
到直线
Ax?By?C?0
的距离公式如何推导？
【答案】（1 ）
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
? a
2
x
0
?0
；
（2）垂直；
（3）当
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
?0
时,
l
1
l
2
；当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
时,
l
1
?l
2
；
夹角?
的余弦
cos
?
?
a
1
a
2
b
1
b
2
ab
22
11
ab
22
22
；
（4）
d?
ax
0
b y
0
c
ab
22
.
（2）【教材·人教版高中数学必修四,139页例1】
试以
cos
?表示
sin
2
?
2
,cos
2
?
2< br>,tan
2
?
2
.
【解析】①由
cos
?
?1?2sin
2
②由
cos
?
?2cos
2

?
2
,得< br>sin
2
?
2
?
?
1?cos
?
；
2
?
2
?1
,得
cos
2
?
2< br>1?cos
?

2
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