普通高中课程标准实验教科书数学3(人教A版)

《普通高中课程标准实验教科书·数学3》（人教A版）
算法初步简介
< br>算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息
技术的飞速发展，算 法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融
入社会生活的许多方面，算法思想也正在成 为普通公民的常识，成为现代人应具备
的一种基本数学素养．

一、课程目标与内容安排
1．课程目标
算法是高中数学课程中的新增内容，其思想 是非常重要的，但并不神秘．例如，
运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就体现着算法 ．在算法教学
中，学生将学习算法的初步知识，并通过对具体算法案例的分析，体验算法在解决
问题中的重要作用，培养算法基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与
数学表达的能力．
具体来说，通过算法的学教，应当使学生达到以下目标：
（1）通过对解决具体问题过程与步 骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），
了解算法的含义，体会算法的思想．
通 过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达算法并解决问题的过程．在
具体问题的解决过程中（如 质数的判定、用“二分法”求方程的近似解等问题），理
解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分 支、循环．
（2）理解输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句等基本算法语
句 ，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，进一步体会算法的基本思
想．
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例（如求最大公因数的“更相减损术”、
求多项式的值的秦九韶 算法、求圆周率的“割圆术”等），体会中国古代数学对世界
数学发展的贡献，增强民族自豪感．
2. 知识结构
（1）知识框图：
算法
算法与程序
框图
算法含义
程序框图 输入与输出
语句
基本算法
语句
赋值语句 条件语句 循环语句 辗转相除法
算法案例
秦九韶算法 进位制

顺序结构
条件结构

循环结构 框图的画法


（2）
课时分配
本章包括3节，约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：
1.1 算法与程序框图 约4课时
1

1.2 基本算法语句 约3课时
1.3 算法案例 约4课时
阅读与思考——割圆术
小 结 约1课时
3. 内容安排
（1）尽管目前对算法的表述多种多样，但在对各种表述进行比较 后我们能发现
算法的基本特征以及由这些基本特征所表达的算法内涵。因此，教科书通过概括解
二元一次方程组的步骤，以“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问
题的明确和有限的步骤 ”来介绍算法的含义．在此基础上，又通过质数的判定、用
二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题， 分析其算法步骤以帮助学生进一步理
解算法的基本含义并渗透算法思想．
（2）在“算法的含 义”中，是通过解决具体问题的算法步骤来表达算法的．这
种形式所呈现的算法通俗易懂，但是不够准确 ，算法的基本结构也不清晰．因此，
教科书通过以框图形式表示“质数的判定”的算法，介绍了算法的基 本逻辑结构（顺
序结构、条件结构、循环结构），以及用程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观，也更准确．
（3）顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基 本逻辑结构，理论上任何
复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现．框图是理解和表达这三种基本 逻
辑结构的最好方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素．因此，
教科书将这 三种基本逻辑结构的教学与程序框图的教学结合起来，这不仅降低了这
三种基本逻辑结构的学习难度，也 为学习程序框图的画法提供了前提条件．所以，
三种基本逻辑结构与程序框图也就成了算法内容的教学重 点．
（4）为了在教学中突破程序框图的画法这一算法教学难点，教科书结合“用二
分法求方 程的近似解”这一算法，详细介绍了程序框图的画法，并总结了画程序框
图的以下步骤：
第一步：用自然语言将算法步骤表达出来．
第二步：将每一个算法步骤所包含的逻辑结构找出来并用框图表示，得到该步
骤的程序框图．
第三步：将所有步骤的程序框图用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算
法的程序框图．
（5）当今世界，越来越多的事情交付计算机完成，而计算机完成任何一项任务
都需要算法，因 此算法是计算机科学的基础．但是，用自然语言或程序框图描述的
算法计算机是无法“理解”的，因此我 们还需要将算法用计算机能够理解的语言表
达出来，这就是通常所说的程序与程序设计，所用的语言称为 程序设计语言
（programming language）．程序设计语言是由一些有特定涵义的程 序语句构成，与
程序框图中介绍的算法三种基本逻辑结构相对应．教科书介绍了输入输出语句 、赋值语句、条件语句和循环语句，尽管不同的程序设计语言有不同的语句形式和语法
规则，但基本结构 是相同的．基于这样的原因，教科书所介绍的语句形式及程序稍
加修改就可以变为某些具体的程序设计语 言形式的程序而在计算机上加以执行．
2

（6）与其它数学内容的学习相 比较，算法学习的一个最大的特点就是操作实践
性强．因此，教科书在安排教学内容时，不仅在1.3节 专门安排了“辗转相除法”、
“秦九韶算法”与“进位制”三个算法案例，而且大多数算法知识的安排都 是结合
具体例子进行的．例如用“二元一次方程组的解法”介绍算法的含义；用“质数的
判定” 的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻辑结构；以“用二分法求方程的近
似解”介绍程序框图的画法； 用“计算1＋2＋…＋100的值”介绍直到型与当型两
种不同的循环结构与循环语句，等等．

二、编写意图
1．重视算法的内涵与基本特征
（1）在算法概念的表述 中，强调了在“数学中”，这就为教学时选取教学内容
（特别是具体的算法案例）指定了范围，教科书也 因此只针对数学上的算法案例来
阐述算法的概念。这样处理，就是为了避免将算法的概念泛化，以至于教 学目标不
落实。
（2）“步骤”是算法的最显著的特征，它蕴含着“有序性”。同时，算法的 步
骤不能不明确，也就是说算法步骤具有“明确性”。例如下列的内容中“……”就
不具有算法 步骤的“明确性”：
第一步，给定大于2的整数n．
第二步，用2去除n，得到余数t．若t=0，则2能够整除n， n 不是质数，算
法结束；否则，进入第三步．
第三步，用3去除n，得到余数t．若t=0，则3能够整除n， n 不是质数，算
法结束；否则，进入第四步．
……
第（n-1）步，用（n-1）去除n，得到余数t．若t=0，则（n-1）能够整除n， n
不是质数，算法结束；否则， n是质数．
所以，算法的步骤每一步都应该是明确的，任何人 （特别是计算机）都可以根
据给定的步骤逐步执行步骤就可得出正确结论。
算法的第三个基本 特征是步骤的“有限性”，也就是说任何一个算法都必须在
有限步内完成。因此，尽管算法还有其它一些 特征，但“有序性”、“明确性”和
“有限性”是算法的基本特征。
（3）在算法概念的表述 中，“一定规则”指的是设计算法时的依据，例如“辗
转相除法”和“更相减损术”是求两个正整数的最 大公约数的不同依据，这些依据
通常是不同的数学结论或数学方法，因而是不同的规则。因此，根据不同 的规则得
到的算法就是不同的算法，这与算法是用算法步骤，还是用程序框图或程序来表示
是无 关的。由此可知，在设计“求解二元一次方程组”的算法时，由于消元方法的
不同也会对应不同的算法。
（4）一个算法通常有输入和输出，对于不同的输入就有不同的输出，因此，设
计算法通常针对 解决“某一类问题”，强调的是算法的通常态，但这不排斥把解决
某一个具体问题的步骤也看成是算法。
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输 入
算 法
输 出

因此， 教科书在安排“求解二元一次方程组”、“质数的判定”和“用二分法
求方程的近似解”三个案例时，都 是先具体再一般，这不仅便于学生理解，更重要
的是强调算法通常是用来解决“某一类问题”这一通常态 。
（5）在算法的内涵中，最重要的是算法步骤之间的逻辑结构，它不仅是算法的
基石，同是 也是算法能在计算机上实现的基本保证。虽然程序框图是表达算法逻辑
结构的最直观的方法，教科书把算 法的基本逻辑结构也安排在学生学习程序框图时
介绍，但算法的基本逻辑结构是不依赖于程序框图而存在 的。因此，教科书在安排
算法的内容时，始终重视算法的基本逻辑结构。
2．强调算法基本思想
中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法知识外，更重要的是使学 生接受
算法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标．因此，在编写教科书时，选
取最基 本的算法知识作为教学内容，如算法的含义、三种基本逻辑结构（顺序结构、
条件结构、循环结构）、程 序框图及其画法、五种基本算法语句（输入语句、输出语
句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程 序的编写，而像数组、函数、转向
语句等等在程序设计中使用频率较高的知识均未作介绍，其目的就是不 让学生把注
意力放在更多的算法知识的学习上，而应该更多地关注算法基本知识与算法思想的
提 炼．
例如，在介绍循环语句时，教科书介绍了DO型与WHILE型两种不同的循环
语句，但 没有介绍FOR型循环语句，原因是用FOR型循环语句实现的循环结构，
均可用DO型或WHILE型 循环语句代替．比如设计“计算1＋2＋…＋100的值”
的程序时，用DO型或WHILE型循环语句 编写的程序分别是：


i＝1 i＝1

S=0 S=0
DO WHILE i<=100

S=S+i S=S+i

i＝i+1 i＝i+1

LOOP UNTIL i>100 WEND

PRINT S PRINT S

END END

以上两个程序分别清楚地体现了算法中所包含的直到型循环结构与当型循环结
构，并且均有控制循环的 条件对应条件结构，这表明循环结构中一定包含条件结构，
否则程序将进入“死循环”，这对于理解算法 含义中算法步骤是“有限”的是很有帮
助的．但如果用FOR型循环语句实现算法，尽管程序要简单，但 不利于体会算法中
的循环结构．而且，学会了前两种循环语句，对后一种循环语句的使用将是水到渠成的事情．
算法的学习让学生认识到“有计划按步骤”地完成一件事情的好处，同时也形
成有条理地思考和数学化地表达思考的能力．因此，教科书在分析算法案例时，本
身就遵循了“写出算法 步骤、画出程序框图、编制程序”的步骤，这对于学生形成
4

算法思想是很有帮助的．
例如，教科书给出的用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的算法案例的
完整过程如下：
算法分析：
从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环
结构构造算法．
算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n．
第二步，计算m除以n所得的余数r．
第三步，m= n，n =r．
第四步，若r=0, 则m，n的最大公约数等于m ；否则，返回第二步．

程序框图：



















程序：


INPUT m，n
DO
r = m mod n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
5
PRINT m
END
开 始
输入m，n
求m除以n的余数r
m＝n

n＝r
r＝0？
是
输出m
否
结 束

3．体现算法应用的广泛性
算法思想贯穿于整个高中数学课程．可以毫不夸张地讲，每一个数 学问题的解
决都对应着一个算法，研究数学问题的解法必然要研究算法（很多时候只是人们忽
略 了从算法的角度去观察、思考问题）．因此用以研究算法的内容十分丰富，同时算
法在实际问题中也具有 广泛的应用．所以，教科书在例题的选取中充分注意体现与
已学内容联系的广泛性，比如二元一次方程组 、一元二次方程的解法，用二分法求
方程的近似解，数列、递推数列求和，函数值的计算，三条线段能否 作成三角形等
等，力求通过这样的联系使学生认识到算法思想的重要性，并逐步能够应用算法思
想解决一些实际问题．
随着学生数学学习的不断深入，学生可以得到更多解决实际问题的算法．例如< br>学习了空间向量后，对如何“求点P到平面
?
的距离为d”，可以写出下面的算法步骤：
第一步：在平面
?
上确定一个已知点A，作出向量
PA
；
第二步：求出平面
?
的法向量n，进而得出平面
?
的单位法向量n
0
?
第三步：得出
d?PA?n
0
.
又如 ，学习了定积分后，可以通过画出下面的程序框图表示用定积分的定义计
算定积分
?
s inxdx
的近似值的算法：
0
n
；
n
?
6

开 始
输入正整数n
π／n→d

0→i：0→S

S＋sin(i·d)·d→S

i＋1→i
否
i≥n？
是
输入S

b
在上面特例的基础上，还可以让学生画出求定积 分
?
f(x)dx
的近似值的一般步
a
结 束
骤，并由此使学生更深刻地体会定积分的基本思想。
4．重视数学文化
中国古代数 学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就，是数学文化的
重要组成部分．比如，中国古代数学著 作《九章算术》中介绍了下述“约分术”：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 更相减损，求其等
也．以等数约之．”
意思是说：若分子、分母全是偶数，则把分子、分母分 别置于两边，然后由较
大的数减去较小的数，并辗转相减，直到两边所得的数相等，就用这个数（等数）
来约分．这个数就是分子和分母的最大公约数．
“约分术”实际上给出了求任意两个数的最大 公约数的一种算法，被后人称为
“更相减损术”．教科书在介绍“辗转相除法”的同时介绍了上述算法， 这种方法与
欧氏算法异曲同工，本质上是相同的．
除此处，还介绍了中学生容易理解的中国古 代数学中的割圆术、多项式求值的
秦九韶算法等等．教科书安排这些内容，不仅丰富了算法案例，同时还 让学生体会
到中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感．
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三、教学建议
1．通过案例引导学生体会算法的含义
算 法在中学数学课程中是一个全新的内容，教科书只是对它的含义作了描述，
而没有给出明确的定义．因此 ，理解算法的含义一定要从具体实例出发，使学生明
确算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通 常指向某一个或一类问题．在
教学过程中，力求使学生学会用自然语言叙述算法，用程序框图表示算法， 尽可能
通过算法语句编写程序使计算机执行算法．

2．突出教学重点，突破教学难点，体会算法思想
尽管自然语言描述的算法步骤、程序框图和 程序都可以表示算法，但是它们在
中学算法课程中的地位是不一样的．教学时，切忌将算法课变成程序设 计课，应该
抓住构成算法的三种基本逻辑结构这个核心，突出用程序框图表示算法这个教学重
点 ，突破程序框图的画法这个难点，理解算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句
的对应关系，通过具体算 法案例所蕴涵的算法思想，重点培养学生利用算法解决问
题的意识．并明确自然语言描述的算法步骤、程 序框图和程序是算法的不同表现形
式，它们体现了算法逐渐“精确”的过程．
3．充分关注算法思想在其它数学知识中的渗透
不仅在算法教学时注意将算法与其它数学内容 联系，而且还应充分关注将算法
思想渗透到后续的高中数学课程的学习中去，鼓励学生尽可能地运用算法 解决相关
问题．
例如，在编写概率的教学内容时，教科书安排了以下例子：
“天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％. 这三天恰有两
天下雨的概率是多少？”
我们可以利用整数型随机数设计算法估计所需的概率，以下是算法步骤：
第1步，确定随机模拟试验的次数n，并令m=0，i＝1．
第2步，利用计算器或计算机上的随机函数RAND( )产生一个0～9的随机数并
赋值给x ．若x∈｛1,2,3,4｝,则将1赋值给a，否则0赋值给a．
第3步，用RAND( )产生一个0～9的随机数赋值给y，若y∈｛1,2,3,4｝,则将
1赋值给b，否则0赋值给b．
第4步，用RAND( )产生一个0～9的随机数赋值给z，若z∈｛1,2,3,4｝,则将
1赋值给c，否则0赋值给c．这样就产生一个随机三位数xyz．
第5步，判断a+b+c=2是否成立,若是则将m的值增加1．
第6步，将i的值增加1， 判断“i>n”是否成立。若是，得出三天恰有两天下
雨的概率的近似值为mn；否则返回第2步． < br>以上算法步骤表示的算法若用程序框图或程序表示出来，则可以发现算法中包
含了算法的三种基本 逻辑结构，这样做对于后续新知识、新方法的学习及巩固算法
思想均有好处．
4．算法教学应尽量使用信息技术
算法是实践性很强的内容，只有通过学生自己的亲身实践， 让学生亲自去解决
几个算法设计的问题，才能使学生体会算法的基本思想，理解基本的逻辑结构和对 8

应的算法语句．因此，在教科书编写过程中，提倡通过实例让学生体会和理解 算法
的含义，通过模仿、操作、探索，经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、
上机验 证”的全过程，并由此落实算法的教学内容．
在教学中，如果没有“上机验证”这个环节，学生对算法 就不会有真切感，就
很难体会算法设计的全过程，他们自己也很难知道自己设计的算法正确与否．因此，
有条件的学校应鼓励学生尽可能上机尝试．当然，上机操作只是教学的一个环节，
切忌将每一堂 算法课都变为上机操作课，既没有这个必要也不能因此而忽略了算法
教学的真正目的．
现在计 算机程序设计的语言种类很多，较为通用的有BASIC，C，COBOL，Delphi
等等．由于B ASIC语言具有简单、易学等特点，教科书使用了类似BASIC的语句
形式和语法规则来介绍算法语 句．在实际教学中，教师可以根据学校的教学条件，
选择恰当的程序语言并参考有关介绍BASIC或Q BASIC（BASIC语言的一种）的
书籍进行编写程序的教学．同时，教师还应使学生认识到，利用 某种程序设计语言
写出表示算法的程序，只是为了让计算机可以执行算法．算法学习中最本质的东西不是编写程序，而是用算法步骤、程序框图、程序所表示的算法，以及用算法解决
问题的基本思想．




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第二章 统计 简介

统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供
依据． 在客观世界中，需要认识的现象无穷无尽．要认识某个现象，首先要通过观
察或试验取得观测资料，然后 对这些资料加以分析．如何取得有代表性的观测资料、
如何正确地分析资料，是正确地认识未知现象的基 础，也是统计学研究的基本问
题．现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此统计学也备受重视 ．《标准》
中指出，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识．
从义务教育阶 段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，学生在每个阶段都要
学习收集、整理、描述和分析 数据等处理数据的基本方法，教学要求随着学段的升高逐渐提高．在
义务教育阶段的统计与概率知识的基 础上，本章将通过实际问题和情景，介绍最基本的获取样
本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息 的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、
数字特征和线性回归等内容．
一、内容与要求
1. 随机抽样
⑴ 能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题．
⑵ 结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．
⑶ 在参与解决统计问题的过程中，学会 用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对
实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法．
⑷ 能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据．
2. 用样本估计总体
⑴ 通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画
频率分 布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．
⑵ 通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差．
⑶ 能根据实际问题的需求合理地选取 样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均
数、样本标准差），并作出合理的解释．
⑷ 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布
估计总体分布，会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和
数字特征的随机性．
⑸ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过
对数据 的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差
异．
⑹ 形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
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3. 变量的相关性
⑴ 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量
间的相关关系．
⑵ 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据
给出的 线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
二、内容安排及说明
全章共有3个小节，教学约需16课时，具体内容和课时分配如下：（仅供参考）
2.1 随机抽样 约5课时
阅读与思考 一个著名的案例
阅读与思考 广告中数据的可靠性
阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应
2.2 用样本估计总体 约5课时
阅读与思考 生产过程中的质量控制图
2.3变量间的相关关系 约4课时
阅读与思考 相关关系的强与弱
实习作业 约1课时
小结 约1课时
2．知识结构框图


随机抽样







简分系
单层统

随抽抽

机
样 样

抽

样
3．对内容安排的说明
用样本
的频率
分布估
计总体
分 布
用样本估计总体

变量间的相关关系
用样本
数字特
征估计
总体数
字特征
线
性
回
归
分
析
与《大纲》相比，《标准》对于本部分内容的要求发生了一些变化，主要体现在：
1.在内容 编排顺序上，统计和概率由理科选修内容变成了必修内容；由先学概率后学统计
变成了先学统计后学概率 ，原因是：
⑴ 考虑到统计与概率学科发展的历史是先有统计，为了研究统计结论的可靠性问题，概率
得到了发展；
⑵ 考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习过程中可以接触到大量统计案例，
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学习过程中的实践性可以大大增强．
2.在教学要求上，由强调图表、 数据的计算，变为强调统计思想与运用统计思想解决实际
问题的能力．
本章内容安排遵循的主 线是：提出问题→收集数据→分析和整理数据→预测和决策．具体
内容的编排顺序是：首先通过实例引出 抽样的必要性，抽样时所应考虑的问题，样本的质量（代
表性）和所推断的结论之间的关系；然后介绍了 几种常用的随机抽样方法：简单随机抽样、系
统抽样和分层抽样．抽样的目的是为了获得总体分布信息， 教科书接下来介绍了几种获得总体
分布信息的方法，包括：用样本频率分布估计总体分布、用样本数字特 征估计总体数字特征，
教科书还介绍了用线性回归分析的方法研究变量的相关关系．
通过对这 些统计方法的学习，学生将了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维
与确定性思维的差异；通 过实习作业的学习，学生将较为系统地经历数据收集与处理的全过程．
三、主要内容的编写意图与教学建议
由于本章在内容编排、结构设置等方面与传统教科书相比 都发生了较大的变化，下面针对
一些重点内容和新内容的编写意图作一些说明，以有利于老师们了解这些 内容的教学要求．
1.随机抽样
在义务教育阶段学生已经学习了一些有关抽样调查的知识， 本章的侧重点在于如何能够获
得高质量的样本，了解方便样本的缺点以及随机样本的简单性质．下面是这 部分的主要内容和
需要说明的问题．
⑴ 本章首先通过大量的日常生活中事实，引导学生认识抽样的必要性和重要性，即：
① 获取数据的过程具有破坏性不容许普查；
② 人力、物力、财力、时间的限制；
③ 普查组织过程中的失误导致误差；
④ 有代表性的样本可以得到可靠的推断．
⑵ 随机抽样 关注的核心问题——样本的代表性的好坏．教科书用一勺汤来“判断一锅汤的
味道”的浅显道理，使学生 认识到把总体“搅拌均匀”是取得有代表性总体的关键所在，“搅拌
均匀”的本质是使总体中的每个个体 入选到样本的可能性相等．教科书还用了3个案例来进一
步说明这个问题，它们分别是：
“一 个著名的案例”说明了样本代表性的重要性，使学生体会抽样不是简单的从总体中取
出几个个体的问题， 它关系到最后的统计分析结果是否可靠．这个案例还隐含着方便样本代表
性差的问题．
“广告 中数据的可靠性”使学生能从样本代表性的角度思考日常生活中的数字统计结果的
科学性问题．
“考察800袋牛奶的质量”在学生体会到样本的重要性之后，探讨获取能够代表总体样本
的方法．
⑶ 如何获得具有好的代表性的随机样本呢？本章介绍了三种简单随机抽样方法——简单
随机抽 样、系统抽样和分层抽样．教学时可结合教科书中的例子引导学生理解这三种抽样方法
的特点．其中，简 单随机抽样包括抽签法（抓阄法）和随机数表法，它最能体现“搅拌均匀”
“机会均等”的原则，但操作 较困难．系统抽样的特点是：
① 系统抽样比其他随机抽样方法更容易施行，可节约抽样成本；
② 系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关，如果编号的个体特征随编号有一定的
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周期性，可能会使系统抽样的代表性很差；
③ 系统抽样可以应用到个体有自 然编号，但是总体中个体的数目却在抽样时无法确定的
情况（如生产线的产品的质量检验）．
因此，系统抽样比简单随机抽样的应用范围广．分层抽样充分利用了已知的总体信息，得
到的样本比前两 种方法有更好的代表性，并且可得到各层的子样本以估计各层的信息．
在比较三种抽样方法的优缺点的 基础上，让学生了解选择合适的抽样方法，以保证样本的
好的代表性，以便得到对总体的较准确的推断， 这也是学习抽样方法的目的．
2.用样本估计总体
⑴ 这部分内容关注的核心问题是“用样 本的信息估计总体信息”，包括用样本频率分布估
计总体分布和用样本的数字特征估计总体数字特征．在 实际应用中，总体分布可以为合理决策
提供依据（总体分布描述了总体在各个范围内个体的百分比），因 此很多实际问题的解答都转化
为求总体分布的问题，其求解途径就是通过样本来估计总体分布．在很多情 况下，总体分布是
由几个总体数字特征所唯一决定的，或者需要解决的统计问题是关于总体数字特征的问 题．这
就需要估计总体的数字特征，其求解途径也是通过样本来估计．
教科书通过探究栏目提 出“居民生活用水定额管理问题”，引出总体分布的估计问题，以及
估计总体分布的途径，而且这个问题 贯穿本节始终．通过对该问题的探究，学生将在以前学习
的基础上进一步学习列频率分布表、画频率分布 直方图、频率分布折线图和总体密度曲线．教
师可以利用初中有关随机事件的知识，引导学生进一步体会 由样本确定的频率分布直方图的随
机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，进一步了解频率分布直方 图的规律性，即频率分
布与总体分布之间的关系，体会用样本估计总体的思想来源．
⑵ 由于 样本频率分布直方图可以估计总体分布直方图，因此可以用样本频率数字特征来估
计相应的总体数字特征 ，本章还展示了利用频率分布直方图估计总体分布的众数、中位数和平
均数的方法．需要说明的是：
① 总体的中位数和平均数都可以通过相应的样本中位数和样本平均数来估计，并且这样的
估计 通常具有更高的精度，可以通过计算机模拟让学生体会这一点；
② 通过频率分布直方图的估计结果与数据分组有关；
③ 在不能得到样本数据，只能得到频率分布直方图 的情况下，用这种方法也可以达到估计
总体数字特征的目的．
当然，用样本频率数字特征来 估计相应的总体数字特征的意义在于，当原始样本数据丢失
时仍可以估计总体特征．
⑶ 像频 率分布表和频率分布直方图一样，茎叶图也是用来表示样本数据分布的一种方
法．本章通过比较甲乙两名 运动员比赛得分情况引入茎叶图，并为了方便比较，把甲乙两个运
动员比赛得分的茎叶图画在一起．实际 上，可以对任何一个样本作茎叶图，如可以作出甲运动
员得分的茎叶图：
甲运动员得分茎叶图
茎 叶
0 8
1 3 4 6
2 3 6 8
3 3 8 9
4
5 1
从茎叶图中的枝叶分布情况可以直接感受到样本数据的分布 特点，它不损失任何样本分布
信息，帮助发现中位数和极差，也可以计算得到以下信息：
乙的均值=33 甲的均值=26.27
13

乙的标准差=11.74 甲的标准差=13.17
乙的中位数=36 甲的中位数=26
乙的极差=38 甲的极差=43
由此推断：乙运动员发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．
绘制茎叶图时需要注意的是：
① 可以手工画图，也可以利用统计软件画图．中间数字表示得分的十位数，称为茎；两边
数字 分别表示两个人各场比赛得分的个位数，称为叶（故称茎叶图）．
② 可以画一组数据的茎叶图，竖线左边为茎，右边为叶．
③ 为比较两两组数据的分布特征，可以画一张图共茎的茎叶图．
茎叶图的优点是：
① 从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从茎叶图中得到，即茎叶图保留了原始
数据．
② 茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．
⑷ 描述样本数据的离散程度的方法很 多，最常用的就是样本标准差（方差），它反映了各
个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．样本标准 差越大，表明各个样本数据在样本平均数
的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的两边越 分散．
本章构造了一个容量为2的样本：x
1
和x
2
（x
1
＜x
2
），让学生体会两个样本数据分散程度与
样本标准差a＝
x
2
?x
1
之间的关系，总结出标准差等于0意味着所有的样本数据都等于样本 平
2
均数的结论．
3.变量间的相关关系
⑴ 这部分内容是以最小二乘法 的思想为核心的．教科书通过探究案例“人体脂肪百分比和
年龄之间的关系”，引入描述两个变量之间关 系的散点图和线性回归方程，使学生通过探索用多
种方法确定线性回归直线，体会最小二乘法的思想，同 时领悟到用线性回归方程可以做出预测；
通过案例“小卖店每天卖出的热饮杯数与当天气温的关系”，使 学生了解利用线性回归方程解决
实际问题的全过程，体会线性回归方程在预测结果时的随机性，并且可能 犯错误．
⑵ 对于散点图与变量之间的关系，需要说明的是：
① 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系．
② 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．
③ 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
⑶ 为了帮助学生了解最小二 乘法的思想，可以先让学生自己设计求回归直线方程的方案，
例如，学生可能提出下列方案：
方案1：采用测量的方法,先画一条直线,测量出各点到它的距离,然后移动直线,到达一个使
距离之和 最小的位置,测量出此时直线的斜率和截距,就得到回归方程.
方案2：在图中选取两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.
方案3：在散点图中多 取几组点,确定几条直线的方程,分别求出各条直线的斜率和截距的平
均数,将这两个平均数作为回归方 程的斜率和截距．
然后引导学生用数学的方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，即推导 出最小
二乘法的公式．
在用线性回归方程进行预测时，需要注意的是：
① 自变量 的值应该是精确的值，线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，
存在随机误差，这种误差 可以导致预测结果的偏差．
?
能够② 即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地 保证对应于
x
的预报值，
y
与实际值
y
很接近．我们不能保 证点
?
x,y
?
落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在
14

回归直线的附近．事实上，
?
?e
，
y? bx?a?e?y
?
与实际值
y
的接近程度由随机变量
e
的 标准差所决定． 这里
e
是随机变量，预报值
y

第三章 概率 简介

在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定性现象，又有随机现象 ．随
机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供
了重要的思维模式和解决问题的方法．
近年来，统计在实际中得到广泛的应用，用数据、图表等说明 问题更有说服力，更直观、
更容易理解．概率为统计学的发展提供了理论基础．由于概率统计的应用性强 ，有利于培养学
生的应用意识和动手能力，《标准》加强概率统计的份量成为必然，目的就在于发展数学 应用意
识，使学生体会数学在实际中的应用价值，同时更全面地培养学生解决问题的能力．
一、内容与要求
1. 利用随机事件的频率给出概率的定义与性质．
2. 通过试 验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错误认识．给出应用概率解决实际问题的
几个例子，包括用概率检 验游戏的公平性，概率在决策中的应用，概率在天气预报中的应用，
等等．
3. 给出两个概率模型（古典概型和几何概型）下概率的计算公式．
4. 有两种产生随机数的方法，一种 是由试验产生的随机数，另一种是利用计算器或计算机
产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机事 件发生的概率．
5. 通过阅读与思考等栏目加深对随机现象的理解，了解人类认识随机现象的过程是 逐步深
入的，了解概率这门学科在实际中有广泛的应用．
二、内容安排及说明

1. 本章包括3个小节，教学约需8课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：
3.1 随机事件的概率 约3课时
阅读与思考 天气变化的认识过程
3.2 古典概型 约2课时
3.3 几何概型 约2课时
阅读与思考 概率和密码
小 结 约1课时
2．知识结构框图
应
用
概
率
解
决
实
际
问
题




随机事件




频率
概率，概率的
意义与性质
古典概型
几何概型
15
随机数与随机模拟

3．对内容安排的说明
本章内容的安排，重点考虑了如下几个方面．
(1) 利用随机事件的频率给出概率的定义与性质．
(2) 通过试验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错 误认识．给出应用概率解决实际问题
的几个例子，包括用概率检验游戏的公平性，概率在决策中的应用， 概率在天气预报中的应用，
等等．
(3) 给出两个概率模型（古典概型和几何概型）下概率的计算公式．
(4) 有两种产生随机数的方法，一 种是由试验产生的随机数，另一种是利用计算器或计算
机产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机 事件发生的概率．
(5) 通过阅读与思考等栏目加深对随机现象的理解，了解人类认识随机现象的过 程是逐步
深入的，了解概率这门学科在实际中有广泛的应用．
三、主要内容的编写意图与教学建议
1. 随机事件的概率
⑴ 随机事件的概念
由于在初中学生已接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，所以教科书以“北京
的天气 变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内
在联系，给出了 随机事件、不可能事件、必然事件的概念．这些概念与初中教科书略有不同．例
如，随机事件的概念，初 中教科书中叙述为“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称
为随机事件”，本章则叙述为“在条 件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的
随机事件，简称随机事件”，这里条件S可以 是一个条件，也可以是一组条件（可以理解为一个
条件集），这样可以使表述更加清楚和简洁．
⑵
概率的定义

根据《标准》的要求，教科书给出了概率的统计定义，而非 严格的数学定义，这种定义方
式对学生来说较为陌生，因此在教学中要做好铺垫．教学时可以分为下面几 个层次：
① 特殊的试验：通过大量的掷硬币试验结果，包括学生的试验结果、计算机模拟掷硬币的< br>试验结果、历史上一些掷硬币的试验结果等，同时通过统计表和统计图等手段，使学生感受到
随着 试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动．
注意：不可以省略学生亲手做试验这一步，因为 这个试验才是真正的重复试验，计算机模
拟只能是掷硬币试验的一种近似，它是用数学方法来近似模拟这 个试验的．
② 由特殊事件转到一般事件．一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的 ，
但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上．
③ 解释这个常数代表的意义：这个常数越接近1，表明事件A发生的频率越大， 频数就越
多，也就是它发生的可能性越大；反过来，这个常数越接近0，表明事件A发生的频率越小，< br>频数就越少，也就是它发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件A发生的可能性的大
小．
概率是用来度量事件发生可能性大小的量．小概率事件很少发生，而大概率事件经常发
生．例如 ，如果一个袋子中有99个红球，一个白球，从中随机摸出一球，此球更可能是红球；
如果某种彩票的中 奖概率为
1
，那么买一张彩票更可能不中奖．
1 000
⑶ 概率与频率的关系
16

在引导学生对概率与频率之间关系进行讨论的基础 上，可以帮助他们从以下几个方面进行
总结：
① 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加 ，频率会越来越接近概率．在实际问题中，
通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．比如一辆汽 车在一年内出交通事故的概率就
是未知的，保险公司收取汽车的保险费应与此概率有关，一般以当地交通 部门的统计数据为依
据，得到该事件发生的频率作为一年内出交通事故的概率的估计值．
② 频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不
同，比如全班每个人 都做了10次掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
③ 概率是一个确定的数，是客观 存在的，与每次试验无关．比如，如果一个硬币是质地
均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5 ，与做多少次试验无关．
⑷ 概率的意义
与《大纲》不同的是，《标准》更强调学生对概率 的意义的理解．本章专门安排了一节内
容帮助学生从多个方面理解概率的意义，包括“概率的正确理解” “游戏的公平性”“决策中的
概率思想”“天气预报的概率解释”“试验与发现”“遗传机理中的统计规 律”，其中关键要让学
生理解随机性和规律性之间的关系，随机性是指每次试验随机事件是否发生是随机 的；规律性
是指大量重复试验的结果是有规律的，大概率事件经常发生，而小概率事件在一次试验中几乎
不会发生．
其中，“概率的正确理解”通过剖析反例,澄清日常生活中的错误认识，达到正确 理解概率
的意义的目的；“游戏的公平性”说明概率可以用来衡量游戏或比赛的公平性；“决策中的概率
思想”说明概率可以解释统计中的极大似然方法的思想，即将“使得样本出现的可能性最大”
作 为决策的准则；“试验与发现”“遗传机理中的统计规律”则说明“3：1”的统计规律最终导
致了孟德 尔遗传定律的发现．
⑸ 事件的关系与运算
随机事件可以看成集合，所以可以类比集合之间 的关系与运算，得到事件之间的关系与运
算．教学中可以把事件与集合对应起来，并可利用Venn图的 直观表示，还可以给出下面的对比
表：
符号
?
?

?
?

概率论
必然事件
不可能事件
试验的可能结果
事件
事件A的对立事件
事件B包含事件A
事件A与事件B相等
事件A与事件B的并
事件A与事件B的交
事件A与事件B的差
事件A与事件B互斥
全集
空集
?中的元素
?的子集
集合A的补集
集合论
A

A?B

?
=
?

?
?
?
或
?
+
?

?
?
?

?
－
?

?
?
?
=
?

集合B包含集合A
集合A与集合B相等
集合A与集合B的并
集合A与集合B的交
集合A与集合B的差
集合A与集合B的交为空集
⑹ 概率的几个基本性质
这部分内容的教学需要注意的是：
① 教科书是通过类比频率的性质，利用频率与概率的关系得到概率的基本性质的．
② 要注意这里的推导 并不是严格的数学证明，仅仅是形式上的一种解释．因为频率稳定
在概率附近仅仅是一种描述，没有给出 严格的定义，严格的定义要在大学的概率统计课程中才
能给出．
17

③ 加法公式是概率基本性质中最重要的，它也是下一节推导古典概型计算概率公式的基
础，特别要提醒学生注意概率的加法公式的条件，即两个事件互斥．
2. 古典概型
教科书以掷硬币和骰子试验为例，给出了古典概型的公式推导过程，并推广到一般的古典
概型；精选了 典型的有实际背景的例题，如标准化考试单选题、储蓄卡密码和不合格产品的检
验等问题，来说明解决古 典概型问题的过程．
这部分内容的教学重点是让学生理解古典概型的两个特征，即试验结果的有限性和 每一个
试验结果出现的等可能性，同时让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，因此教学中不要把重点放在计算上，更不要补充排列组合的内容，因为这样一方面大大加重了学生的学习
难度， 另一方面影响了他们对古典概型这种概率模型的理解，而且由于时间的限制还可能影响
学生对排列组合的 理解．为此，教科书选择的例题和习题包含的基本事件数都比较少，学生可
以比较容易地列举出来．教学 中还要注意让学生从实际问题中抽象出古典概型，并在计算出随
机事件的概率后，让学生解释一下它在实 际中的意义及其应用．
3. 几何概型
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别 在于试验的结果不是有限个，它的特
点是实验的结果在一个区域内，并呈现均匀分布，即随机事件的概率 大小与随机事件所在区域
的形状、位置无关，只与该区域的度量（长度、面积或体积等）大小成比列．如 果随机事件所
在区域是一个单点，由于单点的度量为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如 果一
个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
几何概型的引入主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，所以随机模拟部分是本节的重
点内容，对几 何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，教学中还要强调从实际问题中抽
象出几何概型的重要性．
4. 随机数与随机模拟
本章介绍了利用计算器和Excel软件产生（取整数值的）随机数 和均匀随机数的方法，以
及其他随机模拟的方法．本章对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简 单的模拟试验，
并统计试验结果．有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件，例如Excel软件， 多次重复
模拟试验，并统计模拟的结果．


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