普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(A)版

普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2（
A
）版
导数的几何意义教学设计
570206 海南华侨中学 张红

数 学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育
人价值”，思维教学过 程的主要过程是问题教学过程，事实上数学概念教学就是思维教学，
即为问题教学．
一、教材与学情分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程 教材研究所A
版教材）选修2－2中第§1．1．3节．作为导数概念的下位概念课，它是在学生学习了 上
位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数，进一步从几何意义的
基 础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内
容．导数的几何意义 的学习为下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用
及研究函数曲线与直线的位置关系 的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的作用，是本
节的重要概念．
从知识上看，学生通 过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导
数概念有一定的理解和认识，导数是对 变化率的一种“度量”，也在思考导数的另一种体现
形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别 是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛
物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识．从学习能力上看，通 过一年多的学习实践，学
生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学 习心理上看，
学生已经掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，形
成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点．本节课切线的含义要在思维层次
上升 ，不是从公共点上定义切线，而是由 “割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线
的切线上升到新的 思维层面上．通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好
奇和兴趣．
本节课内 容蕴含着导数的数形的两种体现形式，“逼近”的思想和用已知探究未知的思
考方法．在教学过程中应重 视并体现这些数学思想方法．根据本节课内容特点，教学过程中
可充分借用信息技术这一辅助手段，利用 几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探
究，概念形成，思维过程提供支持．
二、教学目标分析
【知识与技能目标】
（1）知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义；
——让学生感知和初步理解函数
f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数
f
?
?
x
0
?
的几何意义就是函数
f
?
x< br>?
的图像在
x?x
0
处的切线的斜率，即
y
?
|
x?x
0
?lim
x?0
f(x
0
?x)?f (x
0
)
=切线的斜率．
x
（2）导数几何意义简单的应用．
——用导数的几何意义解释实际生活问题，初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想
方法．
【过程与方法目标】
1

（1） 回顾圆锥曲线的切线的 概念，复习导数概念，寻找
f
?
?
x
?
在
x?x< br>0
处的瞬时变化
率的几何意义；
（2） 观察教材第7页上探究问题，利用几 何画板进行探究，由学生参与操作，发现割
线
PP
n
变化趋势，分析整理成结 论；
（3） 通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；
（4） 高台跳水模型中，利用导数的几何意义，描述比较
h
?
t
?
在
t
0
，
t
1
，
t
2
处 的变化情
况，达到梳理新知的目的，渗透“以直代曲”的数学思想；
（5） 通过分析导数的 几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变
化率，来解决实际问题的瞬时变化率．
【情感态度价值观目标】
（1） 经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函 数图像的切线“形成”
过程，获得函数图像的切线的意义；
（2） 利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，初步
体会发现问题的乐趣；
（3） 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．
三．重、难点分析

重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．
难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系
的理解．
关键：由割线
PP

n
“逼近”切线动态变化效果，体现“量 ”与“质”的转化与相互替代．
四、教法与学法分析
（1）教法设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．
（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．
（3）教学手段：以“多媒体 辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老
师黑板板书”为主．
（4）教具准备：自做多媒体课件，视频．
五、教学过程设计
1． 提出问题 ---引入课题
温故知新，诱发思考：
提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？
学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切
线，惟一公共点叫做切点．
教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？
——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；
——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，
教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？
学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个
公共点．
教师：这个同学答的很对．
教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线
2

c
，直线
l
3
虽然与曲线
c有惟一公共点，但它与曲线
c
不相切；而另一条直线
l
2
，虽然 与曲
线
c
有两个公共点
B
和
C
，但与曲线
c
相切于点
B
．因此，直线与曲线的公共点的个数不能
用来定义一般曲线的切 线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．
通过几何画板的演示实验，
设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的
定义．

2．自主思考，参与探究---形成概念
24
实验观察，思维辨 析：如图，当点
P
n
(x
n
,f(x
n
))
（
n?1
，，
3
，）没着曲线
f
?
x
?
趋近点
Px
0
,f
?
x
0
?
时， 割线
PP
n
的变化趋势是什么？








（1）图








（3）图 （4）图
P
逐步逼近的时候 你发现了什么？（通过几何画板向学生演示
P
1
向
P
逐教师：当P
1
向
步逼近的动态过程，结合图形向学生引出切线的定义．）
（板书）：曲线的切线的定义：
1．曲线的切线的定义
当
Pn
?P
时，割线
PP
n
?
（确定位置）
PT< br>，

PT
叫做曲线在点
P
处的切线．







3
??
（2）图

PT
的斜率
k
有什教师：有 没有同学用你学的知识告诉我：割线
PP
n
的斜率
k
n
与切 线
么关系呢？
割线
PP
n
的斜率是：
（板书）
k
PP
n
?
f
?
x
n
)?f(x
0
?
x
n
?x
0
．
由屏幕 给出另一幅是抛物线的割线“逼近”成切线的幻灯片，通过几何画板的演示及口
头的提问逐步地让学生发 现问题的答案．
P
时，
k
PP
n
无限趋近于切线
PT
的斜率
k
．再次通过教师逐步的当点
P
n
无限趋近于点
引导得出函数
f
?
x
?
在
x?x
0
处导数就是切线
PT
的斜率
k
．即（教师重复定义，并写出板
书） ．
（板书）2．函数
f
（
x
）在
x
=
x
0
处的导数是切线
PT
的斜率
k
．即

k?lim
x?0
f(x
0
?x)?f(x
0
)< br>?f
?
?
x
0
?
．
x
设计意图：让学生参与曲线的切的“逼近”发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义．
观察发现 思维升华：在点
P
的附近，
PP
2
比
P P
1
更接近曲线
f
（
x
），
PP
3
比
PP
2
更接近曲
线
f
（
x
），……． 过点
P
的切线
PT
最贴近
P
附近的曲线
f
（
x
）．因此，在点P的附近，曲线
f
（
x
）可以用过点< br>P
的切线
PT
近是代替．
教师诱导学生观察，并下结论，教师强调， “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学
中的重要思想方法．
（板书）3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即
曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线（通过几
何画板演示）．
3．学而习之
【小试牛刀】
例1：求抛物线
y?x
2
在点
A(1,1 )
处
的切线方程．

变式训练：过抛物线
y?x
的点
P
0
处的切线平行直线
y?2x?3
，求点
P
0
的坐标．
设计意图：回顾重点，突出导数的几
何意义及应用．
2
【游刃有余】
例2：如图，它表示
跳水运动中高度随时间变化的函数
2
t?1 0
的图像．根据
h
?
t
?
??4.9t
?
6.5
图像，请描述比较曲线
h
?
t
?
在
t
1
?0.5s
，
4

．
t
0
?0.7s
,
t
2
?1s
，
t
3
?2s
附近的变化情况（先放郭晶晶比赛视频，后用几何画板演示）

先由学生交流讨论后，由学生回答，教师归纳结论．
5

解析：用
h
?
t
?
在
t
0
，
t< br>1
，
t
2
处的切线，来描述曲线
h
?
t?
在
t
0
，
t
1
，
t
2附近的变化情况．
（1）当
t?t
0
时，曲线
h
?< br>t
?
在
t
0
处的切线
l
0
平行于< br>x
轴．∴ 在
t?t
0
附近曲线比较平
坦，几乎没有升降；
（2）当
t?t
1
时，曲线
h
?
t
?在
t
1
处的切线
l
1
的斜率
h
??
t
1
?
?0
．∴ 在
t?t
1
附近 曲线上
升，即函数
h
?
t
?
在
t?t
1< br>附近单调递增．
（3）当
t?t
2
时，曲线
h
?< br>t
?
在
t
2
处的切线
l
2
的斜率< br>h
?
?
t
2
?
?0
．∴ 在
t?t
2
附近曲线下
降，即函数
h
?
t
?
在t?t
2
附近单调递减．
（4）当
t?t
3
时，曲线
h
?
t
?
在
t
3
处的切线
l3
的斜率
h
?
?
t
3
?
?0
．∴ 在
t?t
3
附近曲线下
降，即函数
h
?
t< br>?
在
t?t
3
附近也单调递减．
直线
l
3
的倾斜程度比
l
2
的倾斜程度要大，说明了
h
?
t
?
在
t
3
处附近下降程度比在
t
2
处附< br>近下降程度要大．
讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近 曲线是上
升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最大值点．
设计意图 ：引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走
向”，渗透“以直代曲”的 数学思想．
4．课堂小结 回味悠长
6

导数的几何意义：
1．曲线的切线的定义
当
P
n
?P
时，割线
PP
n
?
（确定位置）
PT
，

PT
叫做曲线在点
P
处的切线．
2．函数
f
（
x
）在
x
=
x
0
处的导数是切线
PT
的斜率
k
．即

k?lim
x?0
f (x
0
?x)?f(x
0
)
?f
?
?
x< br>0
?

x
3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即
曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．
5．课后思考---巩固新知
思考一：求过 点
B(3,5)
且与抛物线
y?x
2
相切的直线方程．
设计意图：让学生明白经过某点的切线与在某点处的区别和联系.
思考二：
x
轴与
y?x
3
是否相切，若是相切，你怎样解释呢？
设计意图：理解曲线的切线的含义，进一步感受切线是由割线“逼近”面成的．
思考三：如图 ，它表示人体血管中药物浓度
c?f
?
t
?
（单位：
mgm l
）随时间
t
（单
位：
min
）变化的函数图像．根据图像 ，估计
t?0.2
，
0.6
，
0.8min
时，血管中药物 浓度
的瞬时变化率（精确到
0.1
）．
先由依据导数的几何意义，分析讨论，教师再扼要写出板书．
设计意图：在实际应用中，利用 导数的几何意义求每点的瞬时变化率，用某点切线的近似值
替代某点的瞬时变化率，进一步渗透“以直代 曲”的数学思想方法．
（预设）解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
c?f
?
t
?
在时
刻的导数，从图像上看，它表示曲线
f< br>?
t
?
在此点处的切线的斜率．
附：板书设计
§1．1．3导数的几何意义
7

1．曲线的切线的定义
当
P
n
?P
时，割线
PP
n
?
（确定位置）
PT
，

PT
叫做曲线在点
P
处的切线．
2．函数
f
（
x
）在
x
=
x
0
处的导数的几何意义

k
PP
n
f
?
x
n
)?f(x
0
?

?
x
n
?x
0
函数
f
（
x
）在
x
=
x
0
处的导数是切线
PT
的斜率
k
．即

k?lim
x?0
f(x< br>0
?x)?f(x
0
)
?f
?
?
x
0
?

x
3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即
曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．
例1
解：
f
?
?
1
?
?lim
即切线的斜率
k?2
，
x
(1?x)
2
?1
2

?lim
所以，
y?x
2
在点
A(1,1)
处的切线方程为
x?0
x
(x)
2
?2x
(?1)

?lim

y?1?2x
，
x?0
x< br>x?0
f
?
1?x
?
?f
?
1
?< br>
?lim(x?2)
?2
即
2x?y?1?0
．
x?0
本文是由张红老师参加海口市青年教师优质课比 赛的教案整理的。张老师课获海口市第
一名，并参加省优质课比赛。
推荐人：李红庆，中小学数学（高中）理事。
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