新教材高中数学新人教A版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 集合的概念教师用书

第1课时 集合的概念

考点

集合的概念

元素与集合的关系

学习目标

了解集合与元素的概念

理解元素与集合的关系，掌握数学中
一些常见的集合及其记法

理解集合中元素的特征，并能利用它
们进行解题

核心素养
数学抽象
数学抽象、逻辑推理
集合中元素的特征及应用

数学运算、数学抽象

问题导学
预习教材P2－P3，并思考以下问题：
1．集合和元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合和元素？
- 1 -

3．元素和集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母
a
，
b< br>，
c
，…
表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称 为集)．集合通常用大写拉丁字母
A
，
B
，
C
，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
■名师点拨
在解决集合问题时， 首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以
是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系
关系

属于

语言描述

记法

读法
a
是集合
A
中的元素
a
不是集合
A
中的元素
a
∈
A a
属于集合
A

不属于

■名师点拨
a
?
A a
不属于集合
A

对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系． 对于一个元素
a
与一个集合
A
而
言，只有“
a
∈< br>A
”与“
a
?
A
”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
- 2 -

3．常用的数集及其记法
常用的数集

记法

4.集合的分类
?
?
有限集（含有有限个元素的集合）
集合
?

?
无限集（含有无限个元素的集合）
?
自然数集
N

正整数集
N或N
＋

*
整数集
Z

有理数集
Q

实数集
R

判断正误(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)集合中的元素一定是数．( )
(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )
(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( )
(4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
(5)集合N中的最小元素为0.( )
- 3 -

(6)若
a
∈Q，则一定有
a
∈R.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
由“title”中的字母构成的集合中元素
的个数为( )
A．2
C．4
B．3
D．5
解析：选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个．
10
*
下列关系①0.21∈Q；②?N；③－4∈
5
N；④4∈N.其中正确的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
*
10
**
解析：选C.①是正确的，②中＝2∈N，③中－4＝－2?N，④4＝2∈N是正确的，
5
故①④正确．
- 4 -

4∈
M
，则实数
a
＝________．
解析：由题意知
a
＋1＝4，即
a
＝3.
答案：3

M
有两个元素3和
a
＋1，且

- 5 -
已知集合

集合的概念
2019年9月，我们踏入了心 仪的高中校
园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)班级中比较高的同学；
(3)班级中身高超过178 cm的同学；
(4)班级中比较胖的同学；
(5)班级中体重超过75 kg的同学；
(6)学习成绩比较好的同学
【解】 (1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
- 6 -

(5)“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合．
(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．

判断一组对象能否构成集合的方法
一般地，确认一组对象
a
1
，< br>a
2
，
a
3
，…，
a
n
(
a
1
，
a
2
，…，
a
n
均不相同)能否构 成集合的过程
为：


1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
①一中高一年 级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整
数；④3的近似值．
A．①②
C．②③
B．③④
D．①③
解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直
- 7 -

角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正 整数”的标
准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．
2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中 职篮(CBA)，是由
中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下 列对象能
构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；
(2)CBA中比较著名的队员；
(3)CBA中得分前五位的球员；
(4)CBA中比较高的球员．
解：(1)
CBA
的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．

元素与集合的关系
- 8 -

(1)下列关系中，正确的有( )
1
①∈R；②2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.
2
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
(2)满足“
a
∈< br>A
且4－
a
∈
A
，
a
∈N且4－
a
∈N”，有且只有2个元素的集合
A
的个数是
( )
A．0
C．2
B．1
D．3
1
【解析】 (1)是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．
2
因此，①②③正确，④错误．
(2)因为
a
∈
A
且4－
a
∈
A
，
a
∈N且4－
a
∈N，
若
a
＝0，则4－
a
＝4，
此时
A
满足要求；
若
a
＝1，则4－
a
＝3，
此时
A
满足要求；
若
a
＝2，则4－
a
＝2，
此时
A
含1个元素不满足要求．
故有且只有2个元素的集合
A
有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C

判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即
- 9 -

可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对 于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素
是否满足集合中元素所具有的特 征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即
该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条 件．

1．用适当的符号填空：
已知集合
A
中的元素
x
是被3除余2的整数，则有：
17________
A
；－5________
A
.
解析：由题意可设
x
＝3
k
＋2，
k
∈Z，
令3
k
＋2＝17得，
k
＝5∈Z .
所以17∈
A
.令3
k
＋2＝－5得，
k
＝－?Z.所以－5?
A
.
答案：∈ ?
2．已知集 合
A
中元素满足2
x
＋
a
>0，
a
∈R. 若1?
A
，2∈
A
，则实数
a
的取值范围为_______ _．
解析：因为1?
A
，2∈
A
，
?
2×1＋
a
≤0，
?
所以
?

?
2×2＋
a
>0，
?
7
3
即－4<
a< br>≤－2.
答案：－4<
a
≤－2
- 10 -

集合中元素的特征及应用
已知集合
A
中含有两 个元素
a
和
a
，若
1∈
A
，则实数
a的值为________．
【解析】 若1∈
A
，则
a
＝1或
a
＝1，
即
a
＝±1.
当
a
＝1时，集合
A
中有重复元素，
所以
a
≠1；
当
a
＝－1时，集合
A
含 有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以
a
＝－1.
【答案】 －1
2
2
- 11 -

1．(变条件)若去掉本例 中的条件“1∈
A
”，则实数
a
的取值范围是什么？
解：因为集合
A
中含有两个元素
a
和
a
2
，
所以
a
≠
a
2
，
即
a
≠0且
a
≠1.
2．(变条件)若将本例中的“1∈
A
”改为“2∈
A
”，则
a
为何值？
解：因为2∈
A
，
所以
a
＝2或
a
2
＝2，
即
a
＝2或
a
＝±2.
3．(变条件)若由
a< br>和
a
2
构成的集合只有一个元素，则
a
为何值？
解 ：因为由
a
和
a
2
构成的集合只有一个元素，所以
a
＝
a
2
，即
a
＝0或
a
＝1.

由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

- 12 -

1．若集合
M
中的三个元素是△
ABC
的 三边长，则△
ABC
一定不是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．等腰三角形
解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
2．若 集合
A
中有三个元素
x
，
x
＋1，1，集合
B中也有三个元素
x
，
x
＋
x
，
x
，且
A
＝
B
，
求实数
x
的值．
解：因为
A
＝
B
，
?
?
x
＋1 ＝
x
，
?
?
x
＋1＝
x
＋
x，
?
所以
?
或
22
??
1＝
x＋
x
1＝
x
.
??
22
22
解得x
＝±1.经检验，
x
＝1不适合集合元素的互异性，而
x
＝－ 1适合，
所以
x
＝－1.

1．下列各组对象可以组成集合的是( )
- 13 -

A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
解析：选B.A中“难题 ”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”
无明确的标准，对于某个点是否在“一 些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限
的一些点”不能构成集合．D中“小”没有明确的标 准，所以不能构成集合．
2．下列结论中，不正确的是( )
1
A．若
a
∈N，则?N
a
B．若
a
∈Z，则
a
∈Z
C．若
a
∈Q，则|
a
|∈Q
3
D．若
a
∈R，则
a
∈R
1
解析：选A.A不正确．反例：
a
＝1∈N，＝1∈N.
2a
3．若以方程
x
－5
x
＋6＝0和
x
－x
－2＝0的解为元素组成集合
M
，则
M
中元素的个数为
( )
A．1
C．3
2
22
B．2
D．4
2
解析：选C.方程
x< br>－5
x
＋6＝0的解为
x
＝2或
x
＝3，
x
－
x
－2＝0的解为
x
＝2或
x
＝－1，
所以集合
M
中含有3个元素．
4．已知集合
A
是由0，
m
，
m
－3
m
＋2三个元素构成的集合，且2∈
A
， 则实数
m
＝________．
解析：由题意知，
m
＝2或
m
－3
m
＋2＝2，
解得
m
＝2或
m
＝0或
m
＝3，经验证，
当
m
＝0或
m
＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当
m
＝3时，满足题意，
故
m
＝3.
答案：3
2
2
- 14 -

[A 基础达标]
1．现有以下说法，其中正确的是( )
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①②
C．③④
B．②③
D．②④
解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合， 故①错误；在②中，正方
体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成 一个集合，
故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．
1
2．给出下列关系：①∈R；②5∈Q；③－3?Z；④－3?N，其中正确的个数为( )
3
A．1
C．3
B．2
D．4
1解析：选B.是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无
3
理 数，④正确．故选B.
3．设
A
是方程2
x
＋
ax
＋2＝0的解集，且2∈
A
，则实数
a
的值为( )
A．－5
C．4
解析：选A.因为2∈
A
，
所以2×2＋2
a
＋2＝0，
解得
a
＝－5.
- 15 -
2
2
B．－4
D．5

4．设集合
M
是由不小于23的数组成的集合，
a
＝11，则下列关系中正确的是( )
A．
a
∈
M

C．
a
＝
M

B．
a
?
M

D．
a
≠
M

解析：选B.因为集合
M
是 由不小于23的数组成的集合，
a
＝11，所以
a
不是集合
M
中
的元素，故
a
?
M
.
3
32
5．由 实数
x
，－
x
，|
x
|，
x
，－
x
所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素
C．4个元素
3
32
解析：选A.
x
＝|
x
|，－
x
＝－
x
.
当
x
＝0时，它们均为0；
当
x>0时，它们分别为
x
，－
x
，
x
，
x
，－
x
；
当
x
<0时，它们分别为
x
，－x
，－
x
，－
x
，－
x
.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
6．下列说法：
①集合N与集合N是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________．
解析：因为集合N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示 整数集，Q表示有理数集，R
表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合
A
是由偶数组成的，集合
B
是由 奇数组成的，若
a
∈
A
，
b
∈
B
，则a
＋
b
________
A
，
*
*
B ．3个元素
D．5个元素
ab
________
A
．(填“∈”或“?”)
解析：因为a
是偶数，
b
是奇数，所以
a
＋
b
是奇数，< br>ab
是偶数，故
a
＋
b
?
A
，
ab
∈
A
.
答案：? ∈
8．若
a
，
b< br>∈R，且
a
≠0，
b
≠0，则
________．
|
a
||
b
|
解析：当
a
>0且
b
>0时，＋＝2；
|
a
||
b
|
＋的可能取值所组成的 集合中元素的个数为
ab
ab
|
a
||
b
|
当
a
·
b
<0时，＋＝0；
ab
- 16 -

当
a
<0且
b
<0时，
|
a
||
b
|
＋＝－2.
ab
所以集合中的元素为2，0，－2.
即元素的个数为3.
答案：3
9．已知集合
A
含有两个元素
a
－3和2
a
－1，
a
∈R.
(1)若－3∈
A
，试求实数
a
的值；
(2)若
a
∈
A
，试求实数
a
的值．
解 ：(1)因为－3∈
A
，所以－3＝
a
－3或－3＝2
a
－ 1.
若－3＝
a
－3，则
a
＝0.此时集合
A
含 有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2
a
－1，则
a
＝－ 1.此时集合
A
含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数
a
的值为0或－1.
(2)因为
a
∈A
，所以
a
＝
a
－3或
a
＝2
a－1.
当
a
＝
a
－3时，有0＝－3，不成立；
当
a
＝2
a
－1时，有
a
＝1，此时
A
中有 两个元素－2，1，符合题意．综上知
a
＝1.
1
10．集合
A< br>是由形如
m
＋3
n
(
m
∈Z，
n
∈ Z)的数构成的，试分别判断
a
＝－3，
b
＝，
3－3
c< br>＝(1－23)
2
与集合
A
的关系．
解：因为
a< br>＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z，所以
a
∈
A
；
13＋31311
2
因为
b
＝＝＝＋，而，?Z，所以
b
?
A
；因为
c
＝(1－23)
26
3－3（3－3）（3＋ 3）
26
＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z，所以
c
∈
A< br>.
[B 能力提升]
11．集合
A
中的元素
y
满 足
y
∈N且
y
＝－
x
＋1，若
t
∈
A
，则
t
的值为( )
A．0
C．0或1
2
2
B．1
D．小于或等于1
解析：选C.由
y
∈N且
y
＝－
x
＋1≤1，所以
y
＝0或
y＝1，所以
A
＝{0，1}．又因为
t
∈
A
，所以t
＝0或
t
＝1，故选C.
12．集合
A
的元素y
满足
y
＝
x
＋1，集合
B
的元素(
x
，
y
)满足
y
＝
x
＋1(
A
，
B
中
x
∈R，
y
∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都 正确的是( )
A．2∈
A
，且2∈
B

B．(1，2)∈
A
，且(1，2)∈
B

C．2∈
A
，且(3，10)∈
B

22
- 17 -

D．(3，10)∈
A
，且2∈
B
解析：选C.集合
A
中的元素为
y
，是数集，又
y
＝< br>x
＋1≥1，故2∈
A
，集合
B
中的元素为
点(x
，
y
)，且满足
y
＝
x
＋1，经验证，(3 ，10)∈
B
，故选C.
13．(2019·信阳检测)已知集合
P
中的元素
x
满足：
x
∈N，且2<
x
<
a
，又集合
P
中恰有三
个元素，则整数
a
＝________. < br>解析：因为集合
P
中恰有三个不同元素，且元素
x
满足
x∈N，且2<
x
<
a
，则满足条件的
x
的值为3，4， 5，所以
a
的值是6.
答案：6
1
14．设集合
A中的元素是实数，且满足1?
A
，且若
a
∈
A
，则∈< br>A
.若2∈
A
，写出集合
1－
a
2
2
A
中的元素．
1
解：因为2∈
A
，所以＝－1∈
A
，
1－2
11
所以＝∈
A
，
1－（－1）2
1
所以＝2，
1
1－
2
1
再求下去仍然只得到2，－1，这三个数，
2
1
所以集合
A
中的元素只有三个：－1，，2.
2
[C 拓展探究]
15．定义满足“如果
a
∈
A
，
b
∈
A
，那么
a
±
b
∈
A< br>，且
ab
∈
A
，且∈
A
(
b
≠0) ”的集合
A
为
“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明 理由；若不是，请举反
例说明．
33
解：①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N，而＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而
2－2
＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集 ．
②数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数
a
与
b
的和，差，积，商，
即
a
±
b
，
ab
，(
b
≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．


- 18 -
a
b
a
b

- 19 -