高中数学(北师大版)必修5

数 列

1．1 数列的概念

预习课本P3～6，思考并完成以下问题
(1)什么是数列？数列的项指什么？


(2)数列的一般表示形式是什么？


(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？


(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？


[新知初探]

1．数列的概念
(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．
(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写 成a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
…，简记 为数列{a
n
}．数列的第1
项a
1
，也称首项；a
n是数列的第n项，也叫数列的通项．
[点睛]
(1)数列的定义中要把握两个关键词： “一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是
“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的 ，即确定的数在确定的位置．
(2)项a
n
与序号n是不同的，数列的项是这个数列 中的一个确定的数，而序号是指项在数列中
的位次．
(3){a
n
}与a< br>n
是不同概念：{a
n
}表示数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…；而a
n
表示数列{a
n
}中的第n
项．

2．数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

1

3．数列的通项公式
如果数列{a
n
}的第n项a
n
与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a
n
＝f(n)，那么这个式子叫
作数列{a
n
}的通项公式．
[点睛]
(1)数列的通项公式实际上是 一个以正整数集N
＋
或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数
解析式．
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
4．数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．
[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同一数列的任意两项均不可能相同．( )
(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( )
(3)数列中的每一项都与它的序号有关．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
1－?－1?
n＋1
2．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝，则该数列的前4项依次为( )
2
A．1,0,1,0
11
C.，0，，0
22
B．0,1,0,1
D．2,0,2,0
＋
1－?－1?
n1
解析：选B 把n＝1,2,3,4分别代入a
n
＝中，依次得到0,1,0,1.
2
3 ．已知数列{a
n
}中，a
n
＝2n＋1，那么a
2n
＝( )
A．2n＋1
C．4n＋1
B．4n－1
D．4n
解析：选C ∵a
n
＝2n＋1，∴a
2n
＝2(2n)＋1＝4n＋1.
4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是( )
A．12
C．15
B．13
D．16
解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，
?
?
x－10＝5，
∴
?
∴x＝15.
?
21－x＝6，
?


数列的概念与分类
[典例] 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.
[解] (1)是集合，不是数列；

2

(2)(3)(4)(5)是数列．
其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．

数列分类的判断方法
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限
项 ，则是有穷数列，否则为无穷数列．
[活学活用]
下列说法中，正确的是( )
A．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}
B．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为a
n
＝2n＋1
C．数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列
D．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
n＋2 017
1
，则它的第k项是1＋
n＋2 016k＋2 016
解析：选D 数列与数的集合的概念不同，A不正确；当n∈N
＋
时，没有第一项1，所以B不
正确 ；C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.
根据数列的前几项写出数列的通项公式
[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．
2
2
－13
2< br>－14
2
－15
2
－1
(1)，，，，…；
2345
1111
(2)－，，－，，…；
261220
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，….
[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.
?n＋1?
2
－1
分子中的2345恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为a
n
＝.
n＋1
2,2,2,2
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个 符号因子(－1)
n
，分子均为1不变，分母
2,6,12,20可分解为1×2,2 ×3,3×4,4×5，
1
则它的一个通项公式为a
n
＝(－1)
n
.
n?n＋1?
(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01, 0.999＝1－0.001,
0．999 9＝1－0.000 1，
而0.1＝10
－
1,
0.01＝10
－
2,
0.001＝10
－
3,
0.000 1＝10
4
，
－
∴它的一个通项公式为a
n
＝1－10
n
.
－

由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)负号用(－1)
n
与(－1)
n1
(或(－1)
n1
)来调节，这是因为n和n＋1 奇偶交错．
＋－
(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．

3

(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、
归纳、转化等方法．
[活学活用]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
1925
(2)，2，，8，，…；
222
1234
(3)1，2，3，4，….
2345
解：(1) 观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以
它的一个通项公式是a
n
＝n
2
－1.
1491625< br>(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
22 222
n
2
所以它的一个通项公式为a
n
＝.
2
n
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数
n＋1
n
2
＋2n
n
列的一个通项公式为a
n＝n＋＝.
n＋1n＋1
利用通项公式确定数列的项
[典例] 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝3n
2
－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由．
[解] (1)∵a
n
＝3n
2
－28n，
∴a
4
＝3×4
2
－28×4＝－64，
a
6
＝3×6
2
－28×6＝－60.
(2)令3n
2
－28n＝－49，即3n
2
－28n＋49＝0，
7
解得n＝7，或n＝(舍)．
3
∴－49是该数列的第7项，
即a
7
＝－49.
令3n
2
－28n＝68，即3n
2
－28n－68＝0，
解得n＝－2，或n＝
∵－2?N
＋
，


(1) 数列的通项公式给出了第n项a
n
与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，

4
34
.
3
34
?N，∴68不是该数列的项．
3
＋

就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该 数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是
数列的项；若方程无解或解不是正 整数，则不是该数列的项．
[活学活用]
已知数列{a
n
}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：(1)由题设条件，知a
n
＝n＋2n.
∴a
4
＝4＋2×4＝10，a
25
＝25＋2×25＝55. < br>(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第1 21项．
1
假设153是这个数列中的项，则153＝n＋2n，解得n＝72，这与n是正 整数矛盾，∴153不
4
是这个数列中的项．

层级一 学业水平达标 < br>?
3n＋1，n为奇数，
1．数列的通项公式为a
n
＝
?则a
2
·a
3
等于( )
?
2n－2，n为偶数，

A．70
C．20
B．28
D．8
?
?
3n＋1，n为奇数，
解析：选C 由a
n
＝
?
得a
2
＝2，a
3
＝10，所以a
2
·a
3
＝20.
?
2n－2，n为偶数，
?

2．下列叙述正确的是( )
A．同一个数在数列中可能重复出现
B．数列的通项公式是定义域为正整数集N
＋
的函数
C．任何数列的通项公式都存在
D．数列的通项公式是唯一的
解析：选A 数列的 通项公式的定义域是正整数集N
＋
或它的有限子集，选项B错误；并不是
所有数列都有 通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a
n
＝(－1)n
，也
可以写成a
n
＝(－1)
n2
，选项D错误．故 选A.
＋
3．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n< br>2
－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项
C．第7项
B．第6项
D．非任何一项
解析：选C 由n
2
－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
4．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．a
n
＝2n－1 B．a
n
＝(－1)
n
(1－2n)
C．a
n
＝(－1)
n
(2n－1) D．a
n
＝(－1)
n
(2n＋1)

5

解析：选B 当n＝1时，a
1
＝1排除C、D；当n＝2时，a2
＝－3排除A，故选B.
n－2
11
5．在数列－1,0，，，…，
2
，…中，0.08是它的( )
98n
A．第100项
C．第10项
解析：选C 由a
n
＝
B．第12项
D．第8项
n－2n－2
5
2
，令
2
＝0.08 ，解得n＝10或n＝(舍去)．
nn2
6．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为________． 解析：由a
1
＝2
0
，a
2
＝2
1
， a
3
＝2
2
，a
4
＝2
3
，…易得an
＝2
n1
.
－
答案：a
n
＝2
n－1

7．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．
解析：由 题意知，数列的通项公式a
n
＝n(n＋1)，令a
n
＝n(n＋1)＝60 0，解得n＝24或n＝－25(舍
去)．
答案：24
8．已知曲线y＝x
2
＋1，点(n，a
n
)(n∈N
＋
)位于该曲线上，则a
10
＝________.
解析：∵点(n，a
n
)位于曲线y＝x2
＋1上，∴a
n
＝n
2
＋1，故a
10
＝1 0
2
＋1＝101.
答案：101
9．根据下面数列{a
n
}的通项公式，写出它的前5项．
n
2< br>－1nπ
(1)a
n
＝；(2)a
n
＝sin ；(3)a
n
＝2
n
＋1.
2n－12
8158
解：(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{a
n
}的前5项为0,1 ，，，.
573
(2)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{a
n
}的前5项为1,0，－1,0,1.
(3)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5 ，得到数列{a
n
}的前5项为3,5,9,17,33.
10．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
17
＝66，通项公式是关于n的一次函数 ．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求a
2

016
；
(3)2 014是否为数列{a
n
}中的项？
?
k＋b＝2，
?
解：(1)设a
n
＝kn＋b(k≠0)，则有
?

?
17k＋b＝66，
?

解得k＝4，b＝－2.
∴a
n
＝4n－2.
(2)a
2

016
＝4×2 016－2＝8 062.
(3)令2 014＝4n－2，解得n＝504∈N
＋
，
∴2 014是数列{a
n
}的第504项．
层级二 应试能力达标
1．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )
6

n
A．a
n
＝[1＋(－1)
n
]
2
n＋1
B．a
n
＝[1＋(－1)
n＋1
]
2
n
C．a
n
＝[1＋(－1)
n＋1
]
2
D．a
n
＝
n＋1
[1＋(－1)
n
]
2
解析：选B 经验证可知B符合要求．
2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是( )
A．a
n
＝(－1)
n
n
2
＋1
C．a
n
＝(－1)
n
(n
2
＋1)
＋
B．a
n
＝(－1)
n＋1
(n
2
＋1)
D．a
n
＝(－1)
n＋1
(n
2
－1)
解析：选B 通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是
负 的，∴通项可以写成a
n
＝(－1)
n1
(n
2
＋1)．
3．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( )
A．第6项
C．第10项

解析：选B 数列2，5，22，11，…的一个通项公式为a
n
＝3n－1(n∈N
＋
)，令25＝
3n－1，得n＝7.故选B .
1111
4．设a
n
＝＋＋＋…＋(n∈N
＋
)，那么 a
n＋1
－a
n
等于( )
n＋1n＋2n＋32n
1
A.
2n＋1
11
C.＋
2n＋12n＋2
解析：选D ∵a
n
＝
∴a
n
＋
1
＝
1
B.
2n＋2
11
D.－
2n＋12n＋2
1111
＋＋＋…＋，
2n
n＋1n＋2n＋3
B．第7项
D．第11项
11111
＋＋…＋＋＋，
2n
2n＋12n＋2n＋2n＋3
11111
＋－＝－.
2n＋ 12n＋2n＋12n＋12n＋2
∴a
n
＋
1
－a
n＝
5．已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝n
2
－4n－12(n∈N
＋
)，则
(1)这个数列的第4项是________；
(2)65是这个数列的第________项．
解析：(1)由a
4
＝4
2
－4×4－12＝－12，得第4项是－12；
(2)由a
n
＝ n
2
－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，
∴65是第11项．
答案：(1)－12 (2)11
6．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点．

7

解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2 ＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中
点的个数为(n－1)n＋1.
答案：n
2
－n＋1
7．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．
(1)－3,0,3,6,9，…；
(2)7,77,777,7 777,77 777，…；
(3)2,0,2,0,2,0，…；
115132961
(4)，，－，，－，，….
248163264
解： (1)a
1
＝－3＋0×3，a
2
＝－3＋1×3，a
3
＝ －3＋2×3，a
4
＝－3＋3×3，….
∴a
n
＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N
＋
)．
77
(2)a
1
＝×(10－1)，a
2
＝(10
2－1)，
99
77
a
3
＝(10
3
－1)， a
4
＝×(10
4
－1)，….
99
7
∴a< br>n
＝×(10
n
－1)(n∈N
＋
)．
9
(3)a
1
＝1＋1，a
2
＝1－1，a
3
＝1＋1，a< br>4
＝1－1，….
∴a
n
＝1＋(－1)
n－1
(n∈N
＋
)． < br>2
2
－32
4
－3
2－32
3
－3
(4)a
1
＝－，a
2
＝
2
，a
3
＝－< br>3
，a
4
＝
4
，….
2222
∴a
n
＝(－1)
n
2
n
－3
(n∈N
＋
) ．
2
n

8．写出数列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,1 3＋30，…的一个通项公式，并验证2
563是否是该数列中的一项．
解：该数列的项为 13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通项公式可以为a
n
＝13＋n(n＋ 1)(n
∈N
＋
)．
令13＋n(n＋1)＝2 563，则n
2
＋n＝2 550.
解得n＝50或n＝－51(舍去)．
∴2 563是该数列中的第50项．
1．2 数列的函数特性

8

预习课本P6～8，思考并完成以下问题


(1)什么数列是递增数列？


(2)什么数列是递减数列？


(3)常数列是什么样的数列？



[新知初探]

数列的单调性
(1)一个数列{a
n< br>}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a
n＋1
>a
n
，那么这个数列叫
作递增数列．
(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一 项，即a
n＋1
n
，那么这个数列叫作
递减数列．
( 3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列
叫作摆动 数列．
(4)如果数列{a
n
}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．
[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列．( )
(2)数列是特殊的函数，因此其图像是连续不断的曲线．( )
(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知数列{a
n
}满足a
n＋1
－a
n－3＝0，则数列{a
n
}是( )
A．递增数列
C．常数列
B．递减数列
D．不能确定
解析：选A 由条件得a< br>n
＋
1
－a
n
＝3>0可知a
n
＋
1
>a
n
，所以数列{a
n
}是递增数列．
3．已知递减 数列{a
n
}中，a
n
＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R
C．(－∞，0)

B．(0，＋∞)
D．(－∞，0]
9

解析：选C a
n
＋
1
－a
n
＝k(n＋1)－kn＝k<0.
4．设a
n
＝－n
2
＋10n＋11，则数列{a
n
}的 最大项为( )
A．5
C．10或11
B．11
D．36
解析：选D ∵a
n
＝－n
2
＋10n＋11＝－(n－5)
2
＋36，
∴当n＝5时，a
n
取得最大值36.

数列的图像及应用
[典例] 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
2
，画出它的图像，并判断增减性．
2n－9
[解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．


利用数列的图像判断数列的增减性
数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．
[活学活用] < br>已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－1，作出该数列的图像并 判断该数列的增减性．
解：分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5) ，…，描点作出图像．如图，它的图像是
直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．

由图像可知该数列为递增数列.
数列增减性的判断
[典例] 已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
n＋1
n
[解] a
n
＋
1
－a
n
＝－
?n＋1?
2＋1n
2
＋1
1－n
2
－n
＝.
[?n＋1?
2
＋1]?n
2
＋1?

10
n
，试判断该数列的增减性．
n＋1
2

因为n∈N
＋
，所以1－n
2
－n<0，
所以a
n
＋
1
－a
n
<0，
即a
n
＋
1
n
.故该数列为递减数列．

应用函数单调性判断数列增减性的方法
(1)作差法，将a
n
＋
1
－a
n
与0进行比较；
a
n
＋
1
(2)作商法，将
a
与1进行比较(在作 商时，要注意a
n
<0还是 a
n
>0)．
n

[活学活用]
2345
写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断它的增减性．
471013< br>解：该数列的通项公式为a
n
＝
∴a
n
＋
1
－a
n
＝
＝
n
，
3n－2
n＋1
n
－
3?n＋1?－23n－2
－2
.
?3n＋1??3n－2?
∵n∈N
＋
，∴(3n＋1)(3n－2)>0，
∴a
n
＋
1
n
，∴该数列为递减数列.

题点一：求数列的最大(小)项
1．已知数列{a
n
}的通项公 式a
n
＝(n＋1)
n
数列的函数特性的应用
?
10?
?
11
?
(n∈N
＋
)，试问数列{a
n< br>}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
解：法一：假设数列{a
n
}中存在最大项．
9－n
10
?
n
＋
1
?
10
?
n
＝
?
10
?
n
·∵a
n
＋
1
－a
n
＝(n＋2)
?
－(n＋1)
?
11
??
11
??
11
?
11
，
当n<9时，a
n
＋
1< br>－a
n
>0，即a
n
＋
1
>a
n
；
当n＝9时，a
n
＋
1
－a
n
＝0，即a
n
＋
1
＝a
n
；
当n>9时，a
n
＋< br>1
－a
n
<0，即a
n
＋
1
n
.
故a
1
2
3
<…9
＝a
10
>a
11
>a
12
…，
1 0
10
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a
9
＝a
1 0
＝
9
.
11
?
?
a
k
≥a< br>k
－
1
，
法二：假设数列{a
n
}中有最大项，并设 第k项为最大项，则
?
对任意的k∈N
＋
且k≥2
?
?a
k
≥a
k
＋
1

都成立．

11

?
即
?
?
10
?
≥ ?k＋2?
?
10
?
?k＋1?
?
?
11
??
11
?
k
10
?
k
?
10
?
k
－
1
，?k＋1?
?
≥k
?
11
??
11
?
k
＋
1
，


?< br>11
?k＋1?≥k，
∴
?
10
k＋1≥?k＋2?，
?
11
解得9≤k≤10.
又k∈N
＋
，
10


∴数列{a
n
}中存在最大项是第9项和第10项，
10
10
且a
9
＝a
10
＝
9
.
11
题点二：由数列的单调性求参数问题
2．已设数列{a
n
}的 通项公式为：a
n
＝n
2
＋kn(n∈N
＋
)，若数列{a
n
}是单调递增数列，求实数k的
取值范围 .
解：法一：∵数列{a
n
}是单调递增数列，
∴a
n
＋< br>1
－a
n
>0(n∈N
＋
)恒成立．
又∵a
n
＝n
2
＋kn(n∈N
＋
)，
∴(n＋1)
2
＋k(n＋1)－(n
2
＋kn)>0恒成立．
即2n＋1＋k>0.
∴k>－(2n＋1)(n∈N
＋
)恒成立．
而n∈N
＋
时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，
∴k>－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：结合二次函数y＝x
2＋kx的图像，要使{a
n
}是递增数列，只要a
1
2即可，
即1＋k<4＋2k，得k>－3，
所以k的取值范围为(－3，＋∞)．
题点三：数列与函数的综合应用
3．已知函数f(x)＝2
x
－2
－x
，数列{a
n
}满足f(log
2
a
n
)＝－ 2n.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)证明数列{a
n
}是递减数列．
解：(1)∵f(x)＝2
x
－2
x
，f(log
2
a
n
)＝－2n， －
∴2log
2
a
n
－2－log
2
a
n
＝－2n，
1
∴a
n
－
a
＝－2n， n
2
∴a
n
＋2na
n
－1＝0，解得a
n< br>＝－n±n
2
＋1.
∵a
n
>0，∴a
n
＝n
2
＋1－n，n∈N
＋
.

12

< br>a
n
＋
1
?n＋1?
2
＋1－?n＋1?
( 2)证明：
a
＝
n
n
2
＋1－n
＝<1. ?n＋1?
2
＋1＋?n＋1?
n
2
＋1＋n
∵an
>0，∴a
n
＋
1
n
，
∴数列{a
n
}是递减数列．


函数思想方法在数列问题中的应用
(1)数列的单调性是通过比较{a
n
} 中任意相邻两项a
n
与a
n
＋
1
的大小来判定的．某些数列 的最大项
或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．
(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N
＋
(或它的有限子集)．

层级一 学业水平达标
1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
111
A．1，，，，…
234
111
C．－1，－，－，－，…
248
π2π3π
B．sin，sin，sin，…
777
D．1，2，3，…，21
解析：选C A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.
2．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝
A．递增数列
C．常数列
解析：选A a
n
＝
n－1
，那么这个数列是( )
n＋1
B．递减数列
D．摆动数列
n－1
2
＝1－，随着n的增大而增大．
n＋1n＋1
3．数列{ a
n
}中，a
n
＝－n
2
＋11n，则此数列最大项的值是 ( )
121
A.
4
C．31
B．30
D．32
11
121
n－
?
2
＋， 解析：选B a
n
＝－n
2
＋11n＝－
?
2
??
4< br>∵n∈N
＋
，∴当n＝5或6时，a
n
取最大值30，故选B. 4．数列{a
n
}中，a
1
＝1，以后各项由公式a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n
＝n
2
给出，则 a
3
＋a
5
等于( )
25
A.
9
61
C.
16
25
B.
16
31
D.
15

13

925
解析：选C ∵a
1
·a
2
·a3
·…·a
n
＝n
2
，∴a
1
·a
2
·a
3
＝9，a
1
·a
2
＝4，∴a
3< br>＝. 同理a
5
＝，∴a
3
＋a
5
416
9 2561
＝＋＝.
41616


n
5．已知数列{a< br>n
}满足a
1
>0，且a
n＋1
＝a，则数列{a
n
}的最大项是( )
n＋1
n
A．a
1

C．a
10

解析：选A ∵a
1
>0且a
n
＋
1
＝
列，故最大项为a
1
.
6．若数列{a< br>n
}的通项公式为a
n
＝
(k>0，且k为常数)，则该数列是___ _____(填“递增”“递减”)数列．
a
n
＋
1
k3
n
1
解析：＝·＝<1.∵k>0，∴a
n
>0，
a
n< br>3
n
＋
1
k
3
∴a
n
＋
1
n
，∴{a
n
}是递减数列．
答案：递减
7．数列{－2n
2
＋9n＋3}中最大项的值为________．
9< br>105
n－
?
2
＋.由于n为正整数，故当n取2时，a
n< br>取到解析：由已知a
n
＝－2n
2
＋9n＋3＝－2
?
?
4
?
8
最大值13.
∴数列{－2n
2
＋9n＋3}的最大项为a
2
＝13.
答案：13
n
2
8．数列{a
n
}中，a
n＝
2
，则数列{a
n
}的最小项的值为________．
n ＋1
?n＋1?
2
n
2
解析：∵a
n
＋
1
－a
n
＝－
?n＋1?
2
＋1n
2
＋1
?n＋1?
2
?n
2
＋1?－n
2
[?n＋1?< br>2
＋1]2n＋1
＝＝>0.
22
[?n＋1?＋1]?n＋1?[ ?n＋1?
2
＋1]?n
2
＋1?
∴a
n
n
＋
1
，∴数列{a
n
}是递增数列，
1
∴数列{a
n
}的最小项为a
1
＝.
2
1
答案：
2
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来，
(1)a
n
＝(－1)
n
＋2；
n＋1
(2)a
n
＝
n
.

14
B．a
9

D．不存在
a
n
＋
1
nn
a
n
，∴a
n
>0，
a
＝<1，∴a
n
＋
1
n
，∴此数列为递减数
n＋1n＋1
n
k
3
n

解：(1)a
1
＝1，a
2
＝3，a
3
＝1，a
4
＝3，a
5
＝1.图像如 图1.
3456
(2)a
1
＝2，a
2
＝，a
3
＝，a
4
＝，a
5
＝.图像如图2.
2345

10．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n
2
－21n＋20.
(1)n为何值时，a
n
有最小值？并求出最小值；
(2)数列{a
n
}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．
21
36121
n－
?
2
－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又 因n∈N
＋
，解：(1)因为a
n
＝n
2
－21n＋20＝
?
2
??
42
故n＝10或n＝11时，a
n
有最 小值，其最小值为10
2
－21×10＋20＝－90.
(2)由(1)知，对于数 列{a
n
}有：a
1
>a
2
>…>a
10
＝a
11
12
<…，故数列{a
n
}没有最大项．
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)定义如下表，数列{x
n
}满足x
0
＝5，且对任意的自然数均有x
n＋1
＝f(x
n
)，则 x
2
017
＝( )
x
f(x)
1
5
B．2
D．5
2
1
3
3
4
4
5
2
A．1
C．4
所以周期为3，故x
2 017
＝x
1
＝2.
解析：选B 根据定义可得出：x
1
＝f(x
0
)＝2，x
2
＝f(x< br>1
)＝1，x
3
＝f(x
2
)＝5，x
4
＝ f(x
3
)＝2，…，
2．对任意的a
1
∈(0,1)，由关系式a
n＋1
＝f(a
n
)得到的数列满足a
n＋1
>a
n
(n∈N
*
)，则函数y＝f(x)的
图像是( )

解析：选A 据题意，由关系式a
n
＋
1
＝f(a
n
)得到的数列{a
n
}，满足a
n
＋
1
>a
n< br>，即该函数y＝f(x)
的图像上任一点(x，y)都满足y>x，结合图像，只有A满足，故选 A.
3．已知数列{a
n
}满足a
1
＝0，a
n＋1＝
A．0
C.3

a
n
－3
(n∈N
＋
)，则a
20
＝( )
3a
n
＋1
B．－3
D.
3

2
15

解析：选B 由a
1
＝0，可求a
2
＝
可知周期为3，所以a
20
＝a
2
＝－3.
a
1
－3a
2
－3a
3
－3
＝－3，a
3
＝＝3，a
4
＝＝0，…，
3a
1
＋13a
2＋13a
3
＋1
n－98
4．已知a
n
＝，则这个数列 的前30项中最大项和最小项分别是( )
n－99
A．a
1
，a
30

C．a
10
，a
9

解析：选C ∵a
n
＝
B．a
1
，a
9

D．a
10
，a
30

n－99＋?99－98?99－98
＝＋1，
n－99n－99
99－98
＋1的图像上，
x－99
99－98
＋1的图像，
x－99
∴点(n，a
n
)在函数y＝
在直角坐标系中作出函数y＝
由图像易知，当x∈(0，99)时，函 数单调递减．
∴a
9
8
7
<…1
<1，
当x∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a
10
>a11
>…>a
30
>1.
所以，数列{a
n
}的前3 0项中最大的项是a
10
，最小的项是a
9
.
5．已知数列{a< br>n
}的通项a
n
＝
na
(a，b，c都是正实数)，则an
与a
n＋1
的大小关系是_______．
nb＋c
axa an
解析：∵a，b，c均为实数，f(x)＝＝在(0，＋∞)上是增函数，故数列a＝在n
n
c
bx＋cbn＋c
b＋
x
∈N
＋
时为递增数列 ，∴a
n
n
＋
1
.
答案：a
n＋1
>a
n

?
?
1
6．已知函数f(x)＝
?
2x－1，2
?
?
x －1，x≥1，
015
＋a
2 016
＝________.
11
x＋，x≤，
22

若数列{a
n
}满足a< br>1
＝
7
，a
n＋1
＝f(a
n
)，n∈N< br>＋
，则a
2
3
7
?
74
解析：a
2
＝f
?
＝－1＝；
?
3
?
33
4?
41
a
3
＝f
?
＝－1＝；
?
3
?
33
1
?
115
a
4
＝f
?< br>?
3
?
＝
3
＋
2
＝
6
；
5
?
52
a
5
＝f
?
＝2×－1＝； < br>?
6
?
63
2
?
21
a
6
＝f
?
＝2×－1＝.
?
3
?
33
即从a
3
开始数列{a
n
}是以3为周期的周期数列．

16

∴a
2 015
＋a
2 016
＝a
5
＋a
3
＝1.
答案：1
x－1< br>7．已知函数f(x)＝，设a
n
＝f(n)(n∈N
＋
),
x
(1)求证：a
n
<1；
(2)数列{a
n
}是递增数列还是递减数列？为什么？
n－1
1
解：(1)证明：a
n
＝f(n)＝
n
＝1－
n
< 1.
(2)数列{a
n
}是递增数列，理由如下：
∵a
n
＋
1
－a
n
＝
∴a
n＋1
>a
n
，
∴{a
n
}是递增数列．

8．数列{b
n
}的通项公式为b
n
＝na
n
(a>0)，问：{b
n
} 是否存在最大项？并说明理由．
解：b
n
＋
1
－b
n＝(n＋1)a
n1
－na
n
＝a
n
[(n＋1)a－ n]
＋
1
?n＋1?－1n－1
?
1
1
1－?
＝－＝
1－
n＋1
?
－
?
n
??< br>?
n
?
n?n＋1?
>0，
n＋1
＝a
n
[(a－1)n＋a]．
当a>1时，b
n
＋
1
－b
n
>0，故{b
n
}为递增数列，无最大 项；
当a＝1时，b
n
＋
1
－b
n
＝1，故{b
n
}不存在最大项；
当0aa
b
n
＋
1
－b
n
＝a
n
(a－1)
?
n＋< br>a－1
?
＝a
n
(a－1)
?
n－
1－a< br>?
.
????
∵0n
(a－1)<0， < br>即b
n
＋
1
－b
n
与n－
a
有相反 的符号．
1－a
aa
为常数，设k为不大于的最大整数，
1－a1－a< br>由于n为变量，而
则当n≤k时，b
n
＋
1
－b
n< br>≥0；
当n>k时，b
n
＋
1
－b
n
<0，
即 有b
1
2
3
<…k
－
1
≤b
k
，且b
k
>b
k
＋
1
>…，
故对任意的自然数n，b
n
≤b
k
，
∴0n
}存在最大项．


等差数列

2．1 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式

17

预习课本P10～12，思考并完成以下问题


(1)什么样的数列是等差数列？


(2)等差数列的通项公式是什么？


[新知初探]

1．等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为
等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d 表示．
[点睛]
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差
的顺序 ；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数， 否则这个数列不能
称为等差数列．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差是d，则这个数列的通项公式是a
n
＝a
1
＋(n－1)d_.
[点睛]
等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d中有4个变量a
n
，a
1
，n，d ，在这4个变量中可以“知
三求一”．


[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数列．( )
(2)常数列是等差数列．( )
(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．已知等差数列{a
n
}的首项a
1
＝2，公差d＝3，则数列{a
n
}的通项公式为( )

18

A．a
n
＝3n－1
C．a
n
＝2n＋3
B．a
n
＝2n＋1
D．a
n
＝3n＋2
解析：选A ∵a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.
3．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
解析：选A a
n
＝2n＋5＝2(n－1)＋ 7，∴首项a
1
＝7，公差d＝2，故选A.
4．已知等差数列{a
n}，a
1
＝7，a
7
＝1，则公差d＝________.
解 析：a
1
＝7，a
7
＝1，由a
n
＝a
1
＋(n－1)d得1＝7＋6d，
∴d＝－1.
答案：－1

求等差数列的通项公式
[典例] 已知{a
n
}为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式．
(1)a
3
＝5，a
7
＝13；
(2)前三项为：a,2a－1,3－a.
[解] (1)法一：设首项为a
1
，公差为d，则
?
a
3
＝a< br>1
＋2d＝5，
?
a
1
＝1，
??
?
解得
?

??
a＝a＋6d＝13，d＝2，
?
7
?
1

∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
∴通项公式是a
n
＝2n－1.
a
7
－a
3
13－5
法二：∵d＝＝＝2，
4< br>7－3
∴a
n
＝a
3
＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝ 2n－1.
∴通项公式是a
n
＝2n－1.
(2)∵a,2a－1,3－a是等差数列的前三项，
∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)．
5
解得a＝，
4
1
∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝.
4
511
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n＋1.
444
1
∴通项公式是a
n
＝n＋1.
4


19

在等差数列{a
n
}中，首项a
1
与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与
结论间的联系不明 显，则均可化成有关a
1
，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体
计算 ，以减少计算量．
[活学活用]
1．已知数列{a
n
}中， a
1
＝3，a
n
＝a
n－1
＋3(n≥2)，则a
n
＝________.
解析：因为n≥2时，a
n
－a
n
－
1
＝3， < br>所以{a
n
}是以a
1
＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以a< br>n
＝a
1
＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
2．100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解：∵a
1
＝2，d＝9－2＝7，
∴a
n
＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项.
等差数列通项公式的应用
[典例]
(1)在等差数列{a
n
}中 ，首项a
1
＝1，从第10项起开始比2大，则公差d的取值范围为________． (2)在等差数列{a
n
}中，首项a
1
＝1，公差d≠0，若7ak
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
7
，则k＝____ ____.
[解析] (1)由a
n
＝1＋(n－1)d，
??
?
a
10
>2，
?
1＋9d>2，
11
所以
?
即
?
所以98
??
?
a
9
≤2.
?
1＋8d≤2，

(2)因为a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝7a
1
＋21d＝7＋21d，
而a
k
＝1＋(k－1)d，所以7a
k
＝7＋7(k－1)d.
所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4.
11
?
[答案] (1)
?
?
9
，
8
?
(2)4

等差数列通项公式应用中的两种思想方法
(1)利用等差数列的通项公式求出首项a
1
及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．
(2)利用等差数列的通项公式求出 首项a
1
和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整
体代入的思想．
[活学活用]
设数列{a
n
}是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，求它的首项．
?
?
a
1
＋a
2
＋a
3
＝12，
解：由题设
?

?
a
1
a
2
a< br>3
＝48，
?

20

?
?
a
1
＋?a
1
＋d?＋?a
1
＋2d?＝12，
则
?

?
a
1
·?a
1
＋d?· ?a
1
＋2d?＝48.
?
?
?
a
1
＋d ＝4，
∴
?

?
a·?a＋d?·?a＋2d?＝48，
?
111


化简得：a
2
1
－8a
1
＋12＝0，
解得a< br>1
＝6或a
1
＝2，又{a
n
}是递增的，故a
1< br>＝2.
等差数列的判定
[典例] (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由．
①a
n
＝3n＋2；②a
n
＝n
2
＋n.
(2)已知数列{a
n
}，满足a
1
＝2，a
n＋1
＝< br>?
1
?
2a
n
. 数列
?
a
?
是否为等差数列？说明理由．
a
n
＋ 2
?
n
?
a
n＋1
n
(3)在数列{a
n
}中，a
1
＝0，当n≥2时，＝.
a
n
n－1
求证：数列{a
n
}是等差数列．
[解] (1)①a
n
＋
1
－a
n
＝3(n＋1) ＋2－(3n＋2)＝3(n∈N
＋
)，
由n的任意性知，这个数列为等差数列．
②a
n
＋
1
－a
n
＝(n＋1)
2
＋(n＋1)－(n
2
＋n)＝2n＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列． < br>?
1
?
(2)数列
?
a
?
是等差数列，理由 如下：
?
n
?
∵a
1
＝2，a
n
＋1
＝
2a
n
，
a
n
＋2
a
n
＋2
111111
∴＝＝＋
a
，∴－
a
＝， < br>a
n
＋
1
2a
n
2
n
a
n
＋
1
n
2
?
1
?
111
即
?
a
?
是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
a
1
22
?
n
?
a
n
＋
1
n
(3)证明： 当n≥2时，由＝，得(n－1)a
n
＋
1
＝na
n
， < br>a
n
n－1
∴na
n
＋
2
＝(n＋1)a< br>n
＋
1
，
两式相减得，na
n
＋
2
－(n－1)a
n
＋
1
＝(n＋1)a
n
＋
1< br>－na
n
，
整理得，na
n
＋
2
＋na< br>n
＝2na
n
＋
1
，
∴a
n
＋< br>2
＋a
n
＝2a
n
＋
1
，
∴a< br>n
＋
2
－a
n
＋
1
＝a
n
＋
1
－a
n
.
又∵a
3
－a
2
＝2a
2
－a
2
＝a
2
＝a
2
－0＝a< br>2
－a
1
，
∴数列{a
n
}是等差数列．

证明一个数列是等差数列常用的方法
(1)定义法：a
n
－a< br>n
－
1
＝d(常数)(n≥2且n∈N
＋
)?数列{a
n
}为等差数列．
(2)通项法：a
n
＝kn＋b(k，b为常数)?{ a
n
}是等差数列．

21

[注意] a
n
＋
1
－a
n
＝d(d为常数)对任意n∈N
＋
都要恒成立，不能几项成立便说{a
n
}为等差数列．
[活学活用]
已知等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，数列{b
n
}中，b
n
＝3a
n
＋4，问：数列{b
n
}是 否为等差
数列？并说明理由．
解：数列{b
n
}是等差数列．理由如下：
∵数列{a
n
}是首项为a
1
，公差为d的等差数列，
∴ a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
)． < br>∴b
n
＋
1
－b
n
＝(3a
n
＋< br>1
＋4)－(3a
n
＋4)＝3(a
n
＋
1
－a
n
)＝3d.
∴根据等差数列的定义，数列{b
n
}是等差数列．

层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于( )
A．30°
C．90°
B．60°
D．120°
解析：选B ∵A，B，C成等差数列，∴A－B＝B－C.
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
2．在等差数列{a
n
}中，a
2
＝2，a
3
＝4，则a
10
＝( )
A．12
C．16
B．14
D．18
解析：选D 由题意知，公差d＝4－2＝2，则a
1
＝0，所以a
10
＝a
1< br>＋9d＝18.故选D.
3．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是( )
A．a
n
＝a＋(n－1)d B．a
n
＝a＋(n－3)d
C．a
n
＝a＋2(n－2)d D．a
n
＝a＋2nd
解析：选C 数列的首项为a－2d，公差为2d，∴a
n
＝(a－2d)＋(n－1 )·2d＝a＋2(n－2)d.
a
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则
b
等于( )
1
A.
4
1
C.
3
1
B.
2
2
D.
3
?
?
x－a＝b－x，
x
3
解析：选C 由题意知
?
∴a＝，b＝x.
22
?
?
b－x＝2x－b，

a
1
∴
b
＝.
3
5．如果a
1
，a
2
，…，a
8
为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a
3
a
6
>a
4
a
5

C．a
3
＋a
6
>a
4
＋a
5


B．a
3
a
6
4
a
5

D．a
3
a
6
＝a
4
a
5

22

解析：选B 由通项公式，得a
3
＝a
1＋2d，a
6
＝a
1
＋5d，那么a
3
＋a
6
＝2a
1
＋7d，a
3
a
6
＝(a
1＋2d)(a
1
2222
＋5d)＝a
2
1
＋7a1
d＋10d，同理a
4
＋a
5
＝2a
1
＋7 d，a
4
a
5
＝a
1
＋7a
1
d＋12d ，显然a
3
a
6
－a
4
a
5
＝－2d<0 ，
故选B.
6．已知等差数列{a
n
}，a
n
＝2－3n ，则数列的公差d＝________.
解析：根据等差数列的概念，d＝a
n
＋< br>1
－a
n
＝－3.
答案：－3
7．在等差数列{a
n
}中，已知a
5
＝11，a
8
＝5，则首项a
1
＝________，公差d＝________.
解析：设数列{a
n
}的公差为d，由题意得
?
a
1＋4d＝11，
?
a
1
＝19，
??
?
解得< br>?

??
a＋7d＝5，d＝－2.
?
1
?

答案：19 －2
8．一个等差数列的第5项a
5
＝10，且a
1
＋a
2
＋a
3
＝3，则首项a
1
＝_______ _，公差d＝________.
?
?
a
5
＝a
1
＋4d＝10，
解析：由题意得
?

?
a＋a＋d＋a＋2d＝3 ，
?
111
??
?
a
1
＋4d＝10，
?
a
1
＝－2，
?
即∴
?

?
a
1
＋d＝1，
?
??
d＝3.


答案：－2 3
9．在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
5
＝－1，a
8
＝2，求a
1
与d；
(2)已知a
1
＋a
6
＝12，a
4
＝7，求a< br>9
.
?
?
a
1
＋4d＝－1，
解：(1) 由题意，知
?

?
a＋7d＝2，
?
1
?
?
a
1
＝－5，
解得
?

?
d＝1.
?


(2)设数列的首项为a
1
，公差为d，
??
?
a
1
＋a
1
＋5d＝12，
?
a
1
＝1，
?
由题意，知解得
?

?
a
1
＋3d＝7，
?
??
d＝2.

∴a
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a
9
＝2×9－1＝17.
10．已知数列{a
n
}满 足a
1
＝1，且a
n
＝2a
n－1
＋2
n
(n≥2，且∈N
*
)．
(1)求a
2
，a
3
；
?
a
n
?
(2)证明：数列
?
2
n
?
是等差数列；
??
(3)求数列{a
n
}的通项公式a
n
.
解 ：(1)a
2
＝2a
1
＋2
2
＝6，a
3
＝2a
2
＋2
3
＝20.
(2)证明：∵a
n
＝ 2a
n
－
1
＋2
n
(n≥2，且n∈N
*
)，

23

a
n
a
n
－
1
∴
n
＝
n
－
1
＋1(n≥2，且n∈N
*
)，
2
2
a
n
a
n
－
1< br>即
n
－
n
－
1
＝1(n≥2，且n∈N
*< br>)，
2
2
?
a
n
?
a
1
1
∴数列
?
2
n
?
是首项为
1
＝，公差d ＝1的等差数列．
22
??
a
n
11
(3)由(2)，得
n
＝＋(n－1)×1＝n－，
222
1
n
n－
?
·∴a
n
＝
?
?
2
?
2.

层级二 应试能力达标
1．(重庆高考)在等差数列
{
a
n
}
中，若a
2
＝4，a
4
＝2，则a
6
＝( )
A．－1
C．1
B．0
D．6
解析：选B ∵
{
a
n
}
为等差数列，∴a
4－a
2
＝a
6
－a
4
，∴a
6
＝2a
4
－a
2
，即a
6
＝2×2－
4＝0.
1
2．在等差数列{a
n
}中，a
1
＝，a
2
＋ a
5
＝4，a
n
＝33，则n的值为( )
3
A．48
C．50
B．49
D．51
12
解析：选C a
1
＝，a
2
＋a
5
＝ 2a
1
＋5d＝4，∴d＝，
33
12
a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50.
33
3．等差数列 {a
n
}中，a
5
＝33，a
45
＝153，则201是该 数列的( )
A．第60项
C．第62项
B．第61项
D．第63项
?
?
a
1
＋4d＝33，
解析：选B 设公差为d，由题意，得
?

?
a
1
＋44d＝153，< br>?
?
?
a
1
＝21，
解得
?
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.
?
d＝3.
?


令201＝3n＋18，∴n＝61.
4．已知x≠y，且两个数列x，a
1
，a
2
，…，a
m< br>，y与x，b
1
，b
2
，…，b
n
，y各自都成等差 数列，
则
a
2
－a
1
等于( )
b
2
－b
1
m
A.
n

n
C.
m


m＋1
B.
n＋1
n＋1
D.
m＋1
24

解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d
1
，d
2
，则a
2
－a
1
＝d
1
，b
2
－b1
＝d
2
.第一个数列共(m
y－xy－xa
2
－a< br>1
d
1
n＋1
＋2)项，∴d
1
＝；第二个数列共( n＋2)项，∴d
2
＝.这样可求出＝＝.
m＋1n＋1b
2
－b
1
d
2
m＋1
2
5．已知数列{a
n
}满 足a
2
n＋1
＝a
n
＋4，且a
1
＝1，a
n
>0，则a
n
＝________.
2
解析：由已知a
2
n
＋
1
－a
n
＝4，
2
∴{a2
n
}是等差数列，且首项a
1
＝1，公差d＝4，
2
∴a
n
＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又a
n
>0，∴a
n
＝4n－3.
答案：4n－3 6．在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＋a
8
＝10， 则3a
5
＋a
7
＝________.
解析：设公差为d，则a< br>3
＋a
8
＝2a
1
＋9d＝10，
3a
5
＋a
7
＝4a
1
＋18d＝2(2a
1
＋9d)＝ 20.
答案：20
7．已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝3n＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，
第2
n
项，…； 按原来的顺序排成新数列{b
n
}，求数列{b
n
}的通项公式．
解：由题意b
n
＝a
2n
，又a
n
＝3n＋2，
∴b
n
＝3×2
n
＋2.

a
n－1< br>2a
n－1
＋1
11
8．已知数列{a
n
}满足a< br>1
＝，且当n≥2，n∈N
＋
时，有
a
＝，设b
n< br>＝
a
，n∈N
＋
.
51－2a
n
nn
(1)求证：数列{b
n
}为等差数列．
(2)试问a
1
a
2
是否是数列{a
n
}中的项？ 如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
a
n
－
1
2an
－
1
＋11－2a
n
2a
n
－
1< br>＋1
1111
解：(1)证明：当n≥2，n∈N
＋
时，＝?＝?－2 ＝2＋?－
a
n
a
n
a
n
1－2a
na
n
－
1
a
n
－
1
a
na
n
－
1
1
＝4?b
n
－b
n
－
1
＝4，且b
1
＝＝5.
a
1
∴{b
n
}是公差为4，首项为5的等差数列．
(2 )由(1)知b
n
＝b
1
＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
1
∴a
n
＝
b
＝
n
1
，n∈N< br>＋
.
4n＋1
11
∴a
1
＝，a
2
＝，
59
∴a
1
a
2
＝
令a
n
＝
1
.
45
11
＝，∴n＝11.
4n＋1
45
即a1
a
2
＝a
11
，∴a
1
a
2
是数列{a
n
}中的项，是第11项．
第二课时 等差数列的性质

25

预习课本P13～14，思考并完成以下问题

(1)怎样从函数的角度研究等差数列？


(2)等差中项的定义是什么？


(3)等差数列有哪些性质？


(4)怎样利用等差数列模型解应用题？


[新知初探]

1．等差数列的图像与增减性
(1)等差数列的图像： < br>由a
n
＝dn＋(a
1
－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1
－d)上的一些等间隔的点，其中d是该直线的
斜率．
(2)等差数列的增减性：
对于a
n
＝dn＋(a
1
－d)，
①当d＞0时，{a
n
}为递增数列；
②当d＜0时，{a
n
}为递减数列；
③当d＝0时，{a
n
}为常数列．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个数都有等差中项．( )
(2)在等差数列{a
n
}中， 若a
1
＝3，a
3
＝5，则a
5
＝7. ( )
(3)若数列{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，则数列{a
n< br>b
n
}是等差数列．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．如果数列{a
n
}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a
1
＋a
8
＜a
4
＋a
5

B．a
1
＋a
8
＝a
4
＋a
5

C．a
1
＋a
8
＞a
4
＋a
5


26

D．a
1
a
8
＝a
4
a
5

解析：选B 由等差数列的性质有a
1
＋a8
＝a
4
＋a
5
，故选B.
3．方程x
2
－6x＋1＝0的两根的等差中项为( )
A．1
C．3
B．2
D．6
x
1
＋x
2
＝
2
解析：选C 设方程x
2
－6x＋1＝0的两根为 x
1
，x
2
，则x< br>1
＋x
2
＝6，∴其等差中项为
3.
4．已知等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
8
＝22，a
6
＝7， 则a
5
＝________.
解析：∵a
3
＋a
8
＝a
5
＋a
6
＝22.又a
6
＝7，∴a
5＝15.
答案：15
5．在等差数列{a
n
}中，若a
3< br>＋a
5
＋a
7
＋a
9
＋a
11
＝1 00，则3a
9
－a
13
的值为________．
解析：∵a< br>3
＋a
5
＋a
7
＋a
9
＋a
11< br>＝100，
又a
3
＋a
11
＝a
5
＋a< br>9
＝2a
7
，
∴5a
7
＝100，a
7
＝20.
∴3a
9－a
13
＝2a
9
＋a
9
－a
13

＝a
5
＋a
13
＋a
9
－a
13

＝2a
7
＝40.
答案：40

等差中项及应用

[典例] 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] [法一 等差中项法]
∵－1，a，b，c,7成等差数列，
－1＋7
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
2
又a是－1与3的等差中项，∴a＝
－1＋3
＝1.
2
3＋7
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
2
∴该数列为－1,1,3,5,7.
[法二 通项公式法]
设a
1
＝－1，a
5
＝7，则7＝－1＋(5－1)d，得d＝2.
∴a
n
＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，
∴该数列为－1,1,3,5,7.


27

等差中项及应用
(1)若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a ，c的等差中项，这个结论在已知等差数列
的题中经常用到．
(2)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．
[活学活用]
已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证明：∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
∴b＋c，c＋a，a＋b成等差数列.
等差数列性质的应用

[典例] 在公差为d的等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
24
＝48，求a
13
；
(2)已知a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＝ 34，a
2
·a
5
＝52，求d.
[解] (1)[法一 通项公式法]
：化成a
1
和d的方程如下：
(a
1
＋d )＋(a
1
＋2d)＋(a
1
＋22d)＋(a
1
＋23d )＝48，
即4(a
1
＋12d)＝48.
∴4a
13
＝48.∴a
13
＝12.
[法二 性质法]
根据已知条件a
2
＋a
3
＋a
23
＋a
2 4
＝48，
及a
2
＋a
24
＝a
3
＋a
23
＝2a
13
，
得4a
13
＝48，∴a
13
＝12.
(2)[法一 通项公式法]
化成a
1
和d的方程如下：
?
?
?a1
＋d?＋?a
1
＋2d?＋?a
1
＋3d?＋?a
1
＋4d?＝34，

?

?
?a
1
＋d? ·?a
1
＋4d?＝52，
?
?
a
1
＝1，
?
a
1
＝16，
??
解得
?
或
?

??
d＝3d＝－3.
??


∴d＝3或－3.
[法二 性质法]
由a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＝34，及a
3
＋a
4
＝a
2
＋a
5

得2(a
2
＋a
5
)＝34，即a
2
＋a
5
＝17.
???
a
5
＝52，
?
a
2
·
?
a
2
＝4，
?
a
2
＝13，
??
所以解得或
?

?
a
2
＋a
5
＝17，
??
??
a
5
＝13?
a
5
＝4.
28

a
5
－a
2
13－4a
5
－a
2
4－13
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
33
5－25－2


1．等差数列基本运算的方法
对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本 量a
1
和d的方程，通过解方程
组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．
2．等差数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：a
n
＝a
m< br>＋(n－m)d(n，m∈N
＋
)．
性质2：若{a
n
}为 等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
＋
)，则a
k
＋a
l
＝a
m
＋a
n
.特别地，若
m＋n＝2t，则a
m
＋a
n
＝2a
t
(t∈N
＋
)．
性 质3：若{a
n
}是等差数列，则a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…，(k，m∈N
＋
)组成公差为 md的等差数列．
[活学活用]
1．已知a
1
＋3a
8
＋a
15
＝120，则3a
9
－a
11
＝__ ______.
解析：∵a
1
＋a
15
＝2a
8
，∴a
8
＝24.
∴3a
9
－a
11
＝a
9
＋2a
9
－a
11
＝a
9
＋a
7＝2a
8
＝48.
答案：48
2．在等差数列{a
n
}中，若a
1
＋a
2
＝3，a
3
＋a
4
＝7，求a
5
＋a
6
.
解：∵a
1
＋a
5
＝2a
3
，a
2
＋a
6
＝2a
4
，
∴(a
1
＋a
5
)＋(a
2
＋a
6
)＝2(a
3
＋a
4
)，
即(a
1
＋a
2
)＋(a
5
＋a
6
)＝2(a
3
＋a< br>4
)，
∴3＋(a
5
＋a
6
)＝2×7，∴a5
＋a
6
＝11.
灵活设项求解等差数列问题
[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
?
?
?a－d?＋a＋?a＋d?＝9，
则
?

?
?a－d?a＝6?a＋d?，
?
?
?
a＝3，
解得
?
∴这三个数为4,3,2.
?
d＝－1.
?


(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a
2
－9d
2
＝－8，
∴d
2
＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.

29

法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
3
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
2
33
1－d
??
1＋d
?
＝－8， 得
?
?
2
??
2
?
9
即1－d
2
＝ －8，
4
化简得d
2
＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
a＝－2.
故所求的四个数为－2,0,2,4.

常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
[活学活用]

已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
由题设知 < br>?
?
?a－3d?＋?a－d?＋?a＋d?＋?a＋3d?＝26，
?

?
?a－d??a＋d?＝40，
?

?
a＝
2
，
解得
?
3
d＝
?
2
13
< br>?
a＝
2
，
或
?
3
d＝－
?
2
.
13


∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
等差数列的实际应用
[典例]
某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等 方面的原因，其利
润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营 策略，从哪
一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第1年起，第n年的利润为a
n
，则由题意知a
1
＝200，a
n
－a
n
－
1
＝－20(n≥2，n∈N
＋
)．所
以每年的利润a
n
可构成一个等差数列{a
n
}，且公差d＝－20.从而a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝220－20n.
若a
n
<0，则该公司经销 这一产品将亏损，由a
n
＝220－20n<0，得n>11，

30

即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．


解决实际 应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序
“定量”增加或减少 时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分 清首项、项数等关
键的问题．
[活学活用]
1．某市出租车的计价标准为1.2元km，起步价为10元，即最初的4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所
以可以建立一个等差数列{a
n
}来计算车费．
令a
1
＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2, 那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时
需要支付车费a
11
＝11.2＋ (11－1)×1.2＝23.2(元)．
2．一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1 600 m，已知此地每升高(垂直高度)100
km(不含4
m，气温降低0.7 ℃.某时刻山脚下的气温为26 ℃，求此时山顶的气温．
解：从山脚依次每升高100 m，对应的气温组成等差数列记为{a
n
}，则a
1
＝26，d＝－0.7.
∴n＝1 600÷100＋1＝17.
∵a
n
＝26＋(n－1)·(－0.7)，
∴a
17
＝26＋16×(－0.7)＝14.8 ℃，
即此时山顶的气温为14.8 ℃.

层级一 学业水平达标
1．已知a＝
11
，b＝，则a，b的等差中项为( )
3＋23－2
B.2
D.
1

2
11
＋＝(3－2)
3＋23－2
A.3
C.
1

3
解析：选A 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝
＋(3＋2)＝23，∴x＝3，故选A.
2．若等差数列{a
n
}的公差为d，则{3a
n
}是( )
A．公差为d的等差数列
C．非等差数列

B．公差为3d的等差数列
D．无法确定
31

解析：选B 设b
n
＝3a
n
，则b
n＋
1
－b
n
＝3a
n
＋
1
－3an
＝3(a
n
＋
1
－a
n
)＝3d.
3．已知等差数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
101
＝0，则有( )
A．a
1
＋a
101
>0
C．a
3
＋a
100
≤0
B．a
2
＋a
100
<0
D．a
51
＝0
解析：选D 由题设知a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
101
＝101a
51
＝0，∴ a
51
＝0.
4．如果等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
4
＋a
5
＝12，那么a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝( )
A．14
C．28
B．21
D．35
解析：选C ∵a
3
＋a
4
＋a
5＝3a
4
＝12，∴a
4
＝4.
∴a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝7a
4
＝7×4＝28，故选C.
5．下列命题中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a
2
，b
2
，c
2
成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log
2
a，log
2
b，log
2
c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等 差数列，则2
a,
2
b,
2
c
成等差数列
解析：选C ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．

6．已知m和2n的等差中项是4,2m 和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是________．
?
?
m＋2n＝8 ，
解析：依题意有
?
∴m＋n＝6，m，n的等差中项为3.
?
2m＋n＝10，
?

答案：3
7．某人练习写毛笔字 ，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同
，第三天写了12个大字，则此人 每天比前一天多写________个大字．
解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4， 第三项为12的等差数列，即a
1
＝4，
12－4
a
3
＝1 2，所以d＝＝4.
3－1
答案：4
8．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．
解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y. ①
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10， ②
由①②可解得x＝4，y＝7.
答案：4 7
9．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该 市每年新建住房面积
平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积 开始大于820万
平方米？
解：设从2007年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为a
n
万平方米． < br>由题意，得{a
n
}是等差数列，首项a
1
＝400，公差d＝50. 所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝350＋50n.

32

47
令350＋50n>820，解得n>.
5
由于n∈N
＋
，则n≥10.
所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．
10．若< br>111
，，是等差数列，求证：a
2
，b
2
，c
2< br>成等差数列．
b＋cc＋aa＋b
111
证明：∵，，是等差数列，
b＋cc＋aa＋b
∴
112
＋＝.
b＋ca＋bc＋a
∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)．
∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)．
∴2ac＋2ab＋2bc＋a
2
＋c
2
＝2ab＋2ac＋2bc＋2b
2
.
∴a
2
＋c
2
＝2b
2
.
∴a
2
，b
2
，c
2
成等差数列．


层级二 应试能力达标
1．在等差数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
3
＋a
5
＝10，则a
7
＝( )
A．5
C．10
B.
2．已知等差数列 {a
n
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝32，若a
m
＝8，则m为( )
A．12
C．6
a
8
＝8，又d≠0，∴m＝8. < br>3．若数列{a
n
}为等差数列，a
p
＝q，a
q
＝ p(p≠q)，则a
p＋q
为( )
A．p＋q
C．－(p＋q)
解析：选B ∵d＝
B．0
p＋q
D.
2
a
p
－a
q
q－p
＝＝－1，∴a
p
＋
q
＝a
p
＋qd＝q＋q×(－1)＝0.
p－qp－q
B．8
D．4
B．8
D．14
解析：选B 由等差数列的性质得a
1
＋a7
＝a
3
＋a
5
，因为a
1
＝2，a
3
＋a
5
＝10，所以a
7
＝8，选
解析：选B 由等差数 列性质a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝( a
3
＋a
13
)＋(a
6
＋a
10
)＝2 a
8
＋2a
8
＝4a
8
＝32，∴
4．设等差数列 {a
n
}的公差为d，若数列{2a
1
a
n
}为递减数列， 则( )
A．d<0 B．d>0
C．a
1
d<0 D．a
1
d>0
解析：选C ∵数列
{2a
1
a
n
}为递减数列，a
1
a
n
＝a
1
[a
1
＋(n－1)d]＝a
1
dn＋a
1
(a
1
－d) ，等式右边为关于n的一次函数，∴a
1
d
<0.

33

5．(陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2
015，则该数列的首项为________．
解析：设数列首项为a
1
，则
答案：5
6．《九章算术》“竹九节 ”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容 积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：设此等差数列为{a
n
}，公差为d，则
??
?
a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝3，
?
4a
1
＋6d＝3，
?
∴
?

??
a＋a＋a＝4，3a＋21d＝4，
?
7
?
189
a
1
＋2 015
＝1 010，故a
1
＝5.
2

?
a＝
22
，
解得
?
7
d＝
?
66
.
1
13

13767
∴a
5
＝a
1
＋4d＝＋4×＝.
226666
67
答案：
66
7．某产品按质量分10个档次，生 产最低档产品的利润是8元件，每提高一个档次，利润增加2
元件，但产量减少3件．在相同的时间内， 最低档次(设为第一档次)的成品可生产60件，则在相同
的时间内，生产第几档次的产品可获得最大利 润？
解：设第n档次产品的产量为a
n
，第n档次产品的利润为b
n
，则a
n
＝60－3(n－1)＝63－
3n(1≤n≤10，n∈N
＋< br>)，
b
n
＝8＋2(n－1)＝2n＋6(1≤n≤10，n∈N
＋
)．
生产第n档次产品可获利
f(n)＝a
n
b
n
＝(63－3n)·(2n＋6)
＝－6n
2
＋108n＋378
＝－6(n－9)
2
＋864，
所以当n＝9时，f(n)取得最大值864.
即在相同时间内，生产第9档次的产品可获得最大利润．

8．已知无穷等差数列{ a
n
}，首项a
1
＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数 列{b
n
}．
(1)求b
1
和b
2
；
(2)求{b
n
}的通项公式；
(3){b
n
}中的第110项是{a
n
}的第几项？
解：(1)∵a
1
＝3，d＝－5，
∴a
n
＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{a
n
}中项数被4除余3的项是{a
n
}的第3项，第7项，第11项，…，其中b
1< br>＝a
3
＝－7，b
2
＝a
7
＝－27.

34

(2)设{a
n
}中的第m项是{b
n
}的第n项，
即b
n
＝a
m
，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴ b
n
＝a
m
＝a
4n
－
1
＝8－5(4n －1)
＝13－20n(n∈N
＋
)．
∵b
n
－bn
－
1
＝－20(n≥2，n∈N
＋
)，
∴{b
n
}是等差数列，其通项公式为b
n
＝13－20n.
(3)b
110
＝13－20×110＝－2 187，设它是{a
n
}中的第k项，则－2 187＝8－5k，则k＝439.
2．2 等差数列的前n项和

预习课本P15～18，思考并完成以下问题
(1)等差数列前n项和的公式是什么？


(2)如何推导等差数列的前n项和？


(3)等差数列的前n项和有哪些性质？


(4)怎样利用等差数列模型解应用题？


[新知初探]

等差数列的前n项和公式
已知量
求和公式
首项、末项与项数
S
n
＝
n?a
1
＋a
n
?

2
首项、公差与项数
S
n
＝na
1
＋
n?n－1?
d
2
[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
n?n－1?
( 1)在公式S
n
＝na
1
＋d中，S
n
一定是关于n的二次 函数．( )
2
(2)在等差数列中，若d<0，则其前n项和存在最大值．( ) < br>(3)由S
n
求a
n
时可直接套用a
n
＝S
n
－S
n－1
.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
3
＝6，a
1
＝4，则公差d等于( )
A．1
C．－2

5
B.
3
D．3
35

解析：选C 由题意，得6＝3a
1
＋3d，又a
1
＝4，解得d＝－2.
3． 在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝2，a
9
＝10，则前 9项和S
9
等于( )
A．45
C．108
B．52
D．54
9?a
1
＋a
9
?9×12
解析：选D S
9
＝＝＝54.
22
4．在等差数列{a
n
}中，S< br>10
＝120，那么a
1
＋a
10
的值是( )
A．12
C．36
解析：选B 由S
10
＝
B．24
D．48
10?a
1
＋a
10
?
＝120，得a
1
＋a
10
＝24，故选B .
2
5．在等差数列{a
n
}中，a
2
＋2a
4
＋a
6
＝8，则数列前7项的和S
7
的值为________． < br>解析：由a
2
＋2a
4
＋a
6
＝8，得2a
4
＝4，
∴a
1
＋a
7
＝4，
a
1< br>＋a
7
4
∴S
7
＝×7＝×7＝14.
22
答案：14

等差数列前n项和基本运算
[典例] 在等差数列{a
n
}中：
(1)已知a
5
＋a
10
＝58，a
4
＋a
9
＝50，求S
10
；
(2 )已知S
7
＝42，S
n
＝510，a
n－3
＝45，求n .
[解] (1)法一：由已知条件得
??
?
a
5
＋a
10
＝2a
1
＋13d＝58，
?
a
1
＝ 3，
?
解得
?

?
a
4
＋a
9< br>＝2a
1
＋11d＝50，
?
??
d＝4.
∴S
10
＝10a
1
＋
10×?10－1?10×9
× d＝10×3＋×4＝210.
22
?
?
a
5
＋a
10
＝?a
1
＋a
10
?＋4d＝58，
法二：由已知条 件得
?

?
a
4
＋a
9
＝?a
1
＋a
10
?＋2d＝50，
?

∴a
1
＋a
10
＝42，
10?a
1
＋ a
10
?
∴S
10
＝＝5×42＝210.
2
法 三：由(a
5
＋a
10
)－(a
4
＋a
9
)＝2d＝58－50，
得d＝4.
由a
4
＋a
9
＝5 0，得2a
1
＋11d＝50，∴a
1
＝3.

36

10×9
故S
10
＝10×3＋×4＝210.
2
7?a
1
＋a
7
?
(2)S
7
＝＝7a< br>4
＝42，∴a
4
＝6.
2
∴S
n
＝n?a
1
＋a
n
?n?a
4
＋a
n
－
3
?n?6＋45?
＝＝＝510.
222
∴n＝20.


等差数列中的基本计算
(1)等差数列的通项公式和前n项和公式中有 五个量S
n
，n，a
1
，a
n
，d，这五个量可以“知三求
二”．
(2)一般是利用公式列出基本量a
1
和d的方程组，解出a
1
和d，便可解决问题．
(3)等差数列前n项和S
n
＝
n?a
1
＋a
n
?
与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q
2
∈N
＋
，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性．
(4)解题时注意整体代换的思想．

[活学活用]
在等差数列 {a
n
}中，已知d＝2，a
n
＝11，S
n
＝35，求a
1
和n.
a＝a＋?n－1?d，
?
?
n1
解：由
?
n?n－1?
S＝na＋d，
1
?
2
?
n
a＋ 2?n－1?＝11，
?
?
1
得
?

n?n－1?
na＋×2＝35，
?
2
?
1


??
?
n＝5，
?
n＝7，
解方程组，得
?
或
?

?
a
1
＝3
?
??< br>a
1
＝－1.


[解] [法一 通项公式法]
?
?
S
m
＝30，
由
?
知
?
S
2m
＝100
?
等差数列前n项和性质的应用
[典例] 已知等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项和为100，求数 列{a
n
}的前3m项的和．


37

?
ma＋
m?m
2
－1?
d＝30， ①
?
2m?2m－1?
2ma＋d＝100， ②
?
2
1
1


②－①得ma
1
＋
∴S
3m
＝3ma
1
＋
m?3m－1?
d＝70 ，
2
3m?3m－1?
m?3m－1?
?
d＝3
?
ma
1
＋d
＝3×70＝210.
2
2
??
[法二 性质法]
∵在等差数列中，S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，… ，也成等差数列，∴30,70，S
3m
－100成等差数
列．
∴2×70＝30＋S
3m
－100，∴S
3m
＝210.
[法三 性质法]
在等差数列{a
n
}中，
nS
nd
∵S
n
＝na
1
＋(n－1)d，∴＝a
1
＋(n－1)×，
n
22
?
S
n
?
d
即 数列
?
n
?
构成首项为a
1
，公差为的等差数列，
2
??

等比数列

3．1 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式

预习课本P21～23，思考并完成以下问题
(1)什么样的数列是等比数列？


(2)等比数列的通项公式是什么？


[新知初探]

1．等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数
列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．通常用 字母q(q≠0)表示．
[点睛]
(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；

38

(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
an
＋
1
a
n
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q ＝或q＝. 特别注意，q不可以为零，当
a
n
a
n
－
1< br>q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2．等比数列的通项公式 < br>首项是a
1
，公比是q的等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
q
n－1
.

[点睛]
a1
n
－
等比数列{a
n
}的通项公式a
n
＝a
1
q
n1
，可改写为a
n
＝
q
·q. 当q＞0且q≠1时，这是指数型函数．
[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,3,9,27,81可构成等比数列．( )
(2)常数列是等比数列．( )
(3)若一个数列的每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( )
A．405
C．135
B．－405
D．－135
解析：选A ∵a
5
＝a
1
q
4
，而a
1
＝5，q＝－3，∴a5
＝405.
1
3．已知等比数列{a
n
}中，a
1
＝32，公比q＝－，则a
6
等于( )
2
A．1
C．2
B．－1
1
D.
2
1
－
?
5
＝－1，故选B. 解析：选B 由题知a6
＝a
1
q
5
＝32×
?
?
2
?
4．已知{a
n
}是等比数列，a
1
＝1，a
4
＝22，则a
3
＝( )
A．±2
C．－2
B．2
D．4
a
4
解析：选B 设等比数列{a
n}的公比为q，则有1×q
3
＝22＝(2)
3
，q＝2，a
3
＝＝2，故选
q
B.

求等比数列的通项公式
[典例] 已知{a
n
}为等比数列，a
3
＝2，a
2
＋a
4
＝
[解] 设等比数列{a
n
}的公比为q，则q≠0，
20
，求{a
n
}的通项公式．
3

39

a
3
2
a
2
＝
q
＝
q
，a
4
＝a
3
q＝2q，
2201
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
q
33
1
?< br>1
?
n
－
1
＝2×3
3
－
n
； 当q＝时，a
1
＝18，此时a
n
＝18×
?
3?
3
22
n
－
1
－
当q＝3时，a
1
＝，此时a
n
＝×3＝2×3
n3
.
99

等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a
1
，q的方程组 ，求出a
1
，q后再求a
n
，这是常规方法．
(2)充分利用各项 之间的关系，直接求出q后，再求a
1
，最后求a
n
，这种方法带有一定的技 巧
性，能简化运算．
[活学活用]
在等比数列{a
n
}中，若a
1
＝
解：由a
7
＝a
1
q
6
，得27＝
∴q
6
＝27
2
＝3
6
.∴q ＝±3.
当q＝3时，a
n
＝a
1
q
n1
＝－
－
1
，a＝27，试求a
n
.
27
7
1
6
·q.
27
1
－－
×3
n1
＝3
n4
；
27
1
－
×(－3)
n1

27
－
当q＝－3时，a
n
＝a
1
q
n1
＝
－－
＝－(－3)
3
·(－3)
n1
＝－(－3)
n4
. < br>故a
n
＝3
n
－
4
或a
n
＝－(－ 3)
n4
.
－
等比数列通项公式的应用
[典例]
(1 )等比数列{a
n
}的首项a
1
＝1，公比q≠1，如果a
1
，a
2
，a
3
依次是等差数列的第1,2,5项，则q为( )
A．2
C．－3
B．3
D．3或－3 (2)在等比数列{a
n
}中，已知a
2
＋a
5
＝18 ，a
3
＋a
6
＝9，a
n
＝1，求n.
[解析] (1)设等差数列为{b
n
}，则b
1
＝a
1
＝1，b2
＝1＋d，b
5
＝1＋4d，由题设(1＋d)
2
＝1×(1 ＋
a
2
b
2
4d)，∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b
2
＝3，公比q＝＝＝3.
a
1
b
1
答案：B
(2)解：法一：设公比为q，由题意，得
4
?
?
a
1
q＋a
1
q＝18， ①
?

25
?
a
1
q＋a
1
q＝9， ②
?


40

②
1
由得q＝，∴a
1
＝32.
2
①
1
?
n
－
16
－
n0
又a
n
＝1，∴32×
?
＝1，即2＝2，所以n＝6.
?
2
?
1
法二：因为a
3
＋a
6
＝q(a
2
＋a
5
)，所以q＝.
2
由a
1
q＋a
1
q
4
＝18，知a
1
＝32.
由a
n
＝a
1
q
n1
＝1，知n＝6.
－


(1)a
1
和q是等比数列的基本元素，只要求出这 两个基本元素，其余的元素便可求出．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a
1
， a
n
，n，q知任意三个就可以求出另外一个．
(3)在通项公式的有关应用中，要注意函数与方程及整体代换的思想的应用．
[活学活用]
在正项等比数列{a
n
}中，已知a
1
a< br>2
a
3
＝4，a
4
a
5
a
6
＝12，a
n－1
a
n
a
n＋1
＝324，则n＝( )
A．11 B．12
C．14 D．16
解析：选C 设数列{a
n
}的公比为q，
3312
由a
1
a
2
a
3
＝4＝a
3
1
q与a
4
a
5
a
6
＝12＝a
1
q，
33n3
可得q
9
＝3，a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
＝a
1
q＝324，
－
因此q
3n6
＝81＝3
4
＝q
36
，
－
所以n＝14，故选C.
等比数列的判断与证明
[典例] (1)若数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
n
＝2S
n< br>－3，则{a
n
}的通项公式是________．
(2)已知等比数列{a
n
}的通项公式a
n
＝3·
n－1
?
1
?
?
2
?
，且b
n
＝a
3n－2
＋a
3n－1
＋a
3n
，求证{b
n
}成等比数列．
[解析] (1)由a
n
＝2S
n
－3得a
n
－< br>1
＝2S
n
－
1
－3(n≥2)，两式相减得a
n< br>－a
n
－
1
＝2a
n
(n≥2)，
∴a< br>n
＝－a
n
－
1
(n≥2)，
a
n
＝－1(n≥2)．
a
n
－
1
故{a
n
}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a
1
＝2a
1
－3，∴a
1
＝3，
故a
n
＝3·(－1)
n1
.
－
答案：a
n
＝3·(－1)
n－1

?
1
?
n
－
1
， (2)证明：∵a
n< br>＝3·
?
2
?
∴b
n
＝a
3n
－< br>2
＋a
3n
－
1
＋a
3n


41

?
1
?
3n
－
3
＋ 3·
?
1
?
3n
－
2
＋3·
?
1
?
3n
－
1
＝3·
?
2
??
2
??
2
?
?
1
?
3n
－
3
·
?
1＋
1
＋
1
?
＝
21
·< br>?
1
?
3n
－
3
， ＝3·
?
2< br>??
24
?
4
?
2
?
b
n
＋
1
?
1
?
3
∴＝，∴{b
n
}成等比数 列．
b
n
?
2
?

判断或证明数列为等比数列常用的方法
a
n
＋
1
(1)定 义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于{a
n
}是等比数列．
a
n
(2)通项公式法： a
n
＝a
1
q
n－1
(a
1
≠0且q≠0)等价于{a
n
}是等比数列．
[活学活用]
1
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n，S
n
＝(a
n
－1) (n∈N
＋
)．
3
(1)求a
1
，a
2
；
(2)求证：数列{a
n
}是等比数列．
11
解：(1)由S1
＝(a
1
－1)，得a
1
＝(a
1
－1)，
33
1
∴a
1
＝－.
2
111
又S2
＝(a
2
－1)，即a
1
＋a
2
＝(a2
－1)，得a
2
＝.
334
(2)证明：当n≥2时，
a
n
＝S
n
－S
n
－
1

11
＝(a
n
－1)－(a
n
－
1
－1)，
33
a
n
a
2
11
得＝－，又＝－，
2 a
1
2
a
n
－
1
11
所以{a
n
}是首项为－，公比为－的等比数列．
22

层级一 学业水平达标
1．如果数列{a
n
}是等比数列，那么( )
A．数列{a
2
n
}是等比数列
B．数列{2a
n
}是等比数列
C．数列{lg a
n
}是等比数列
D．数列{na
n
}是等比数列
解析：选A 利用等比数列的定义验证即可．
912
2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
833
A．3

B．4
42

C．5
解析：选B
D．6
9
?
2
?
n
－
1
1
?
2
?
n
－
1
＝
8
＝
?
2
?
3
，∴n＝4. ·＝，∴
?
3
?
8
?
3
?
327
?
3
?
B．1或－2
D．－1或－2
3．若{a
n}为等比数列，且2a
4
＝a
6
－a
5
，则公比为( )
A．0
C．－1或2
解析：选C 设等比数列的公比为q，由2a< br>4
＝a
6
－a
5
得，2a
4
＝a
4
q
2
－a
4
q，∵a
4
≠0，∴q
2－q
－2＝0，解得q＝－1或2.
4．已知等比数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＝3，a
2
＋a
3
＝6，则a< br>7
等于( )
A．64
C．128
B．81
D．243
a
2
＋a
3
解析：选A ∵{a
n
}为等比数列，∴＝q＝2.
a
1
＋a
2
又a
1
＋a
2
＝3，∴a
1
＝1.故a
7
＝1·2
6
＝64.
5．等比数列{a
n
}中，|a
1
|＝1，a
5
＝－8a
2
，a
5
＞a
2< br>，则a
n
等于( )
A．(－2)
n－1

C．(－2)
n

B．－(－2
n－1
)
D．－(－2)
n

解析：选A 设公比为q，则a
1
q
4
＝－8a
1
q，
又a
1
≠0，q≠0，所以q
3
＝－8，q＝－2，
又a
5
＞a
2
，所以a
2
＜0，a
5
＞0，
从而a
1
＞0，即a
1
＝1，故a
n
＝(－2)< br>n1
.
－
6．设a
1
＝1，数列{2a
n
－1}是公比为－2的等比数列，则a
6
＝________.
解析：∵2a
6
－1＝(2a
1
－1)·(－2)
5
＝－32，
31
∴a
6
＝－.
2
31
答案：－
2
7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
?
3q
n1
＝48，
?
q
n1
＝16，
??
解析：设公比为q，则
?
2n
－
4
?
?
2n
－
4
?q
2
＝4，得q＝±2.
??
3q＝192q＝64
??
－－

由(±2)
n1
＝16，得n＝5.
－
答案：5


8．等比数列{a
n
}中，a
1
＝－2，a
3< br>＝－8，则a
n
＝________.
－8
a
3
解 析：∵＝q
2
，∴q
2
＝＝4，即q＝±2.
a
1
－2
当q＝－2时，a
n
＝a
1
q
n1
＝－2× (－2)
n1
＝(－2)
n
；
－－
当q＝2时，a
n
＝a
1
q
n1
＝－2×2
n1
＝－2
n
.
－－

43

答案：(－2)
n
或－2
n

9．在各项均 为负数的数列{a
n
}中，已知2a
n
＝3a
n＋1
，且a
2
·a
5
＝
出通项公式．
证明：∵2a
n
＝3a
n
＋
1
，
an
＋
1
22
∴
a
＝，故数列{a
n
} 是公比q＝的等比数列．
33
n
又a
2
·a
5
＝
88
，则a
1
q·a
1
q
4
＝，
2727
8
，证明{a
n
}是等比数列，并求
27
2?
2
?
5
?
2
?
3
. 即a
1
·＝
?
3
??
3
?
3
由于数列各项均为 负数，则a
1
＝－.
2
3
2
?
n
－1
?
2
?
n
－
2
. ∴a
n
＝－×
?
＝－
?
3
?
2
?
3
?< br>10．已知等比数列{a
n
}满足a
2
＋a
3
＋a< br>4
＝28，且a
3
＋2是a
2
和a
4
的等差 中项，求a
n
.
解：设等比数列{a
n
}的公比为q.依题意，知 2(a
3
＋2)＝a
2
＋a
4
，
∴a
2
＋a
3
＋a
4
＝3a
3
＋4＝28，
∴a
3
＝8，a
2
＋a
4
＝20，
81
∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝.
q
2
a
3(1)当q＝2时，又a
1
＝
2
＝2，∴a
n
＝2n
.
q
a
3
1
(2)当q＝时，a
1
＝
2
＝32，
2q
?
1
?
n
－
1
＝2
6
－
n
. ∴a
n
＝32·
?
2
?
层级二 应试能力达标
1.
2
是等比数列42，4,22…的( )
8
B．第11项
D．第13项
2
为公比的等比数列，因此通项公式为
2
A．第10项
C．第12项

解析：选B 由题意可知，该数列是以42为首项，
a
n
＝42×
?
2
?
n
－
1
，当< br>2
＝42×
?
2
?
n
－
1
时，解得 n＝11，故选B.
8
?
2
??
2
?
B．2
D．－1
2．已知等比数列{a
n
}满足a
1
＝3，且4 a
1,
2a
2
，a
3
成等差数列，则此数列的公比等于( )
A．1
C．－2
即q
2
－4q＋4＝0，解得q＝2.

44
解析：选B 设等比数列{a
n
}的公比为q，因为4a
1,
2a< br>2
，a
3
成等差数列，所以4a
1
q＝4a
1
＋a
1
q
2
，

3．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，当n为奇数时，a
n＋1
＝a
n
＋2；当 n为偶数时，a
n＋1
＝2a
n－1
，则a
12
等
于( )
A．32
C．66
＝a
1
×2
5
＝64，a
12
＝a
11
＋2＝66.故选C.
4．在等 比数列{a
n
}中，a
1
＝1，公比|q|≠1.若a
m
＝ a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m＝( )
A．9
C．11
－－
B．34
D．64
解析：选C 依题意，a
1
，a
3
，a
5
，a
7
，a
9
，a
11
构成以2为首项，2为公 比的等比数列，故a
11
B．10
D．12
解析：选C ∵a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
＝a
1
(a
1
q)·(a
1
q
2
)·(a
1
q
3
)·(a
1
q
4
)，
510
∴a
1
q
m1
＝a
1
·q，且a< br>1
＝1，∴q
m1
＝q
10
，
∴m－1＝10，∴m＝11.
5．在等比数列{a
n
}中，a
n
>0，且a
n＋2
＝a
n
＋a
n＋1
，则该数列的 公比q＝________.
解析：由a
n
＋
2
＝a
n< br>＋a
n
＋
1
得：a
n
·q
2
＝a
n
＋a
n
·q.又a
n
＞0，∴q＞0.∴q
2< br>－q－1＝0.∴q＝
1＋5
2
?
1－5
?
?
q＝
2
舍去
?
.
??
1＋5
答案：
2
2a
1
＋a
2
6．若a
1
，a
2
，a
3
，a
4
成等比数列，公比为2，则的值为________． 2a
3
＋a
4
2a
1
＋a
2
2a1
＋a
2
1
解析：由题意＝＝.
2a
3
＋a
4
4?2a
1
＋a
2
?
4
1
答案 ：
4
7．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝2a
n
＋1，求证：{a
n
}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn
＝2a
n
＋1，∴S
n
＋
1
＝2a
n
＋
1
＋1.
∴S
n
＋
1
－S
n
＝a
n
＋
1
＝(2a
n
＋
1
＋ 1)－(2a
n
＋1)＝2a
n
＋
1
－2a
n.
∴a
n
＋
1
＝2a
n
.①
又∵S
1
＝a
1
＝2a
1
＋1，
∴a
1
＝－1≠0.
由①式可知，a
n
≠0，
∴由
a
n
＋
1
－
＝2知{a
n
}是等比数 列，a
n
＝－2
n1
.
a
n

8．在数 列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n＋1
＝4a
n－3n＋1，n∈N
＋
.
(1)证明数列{a
n
－n}是等比数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式．
解：(1)证明：由题设a
n
＋
1
＝4a
n
－3n＋1，

45