高中数学选修1-2：推理与证明正式版

合情推理（一）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解 归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体
会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）
可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上
举世闻名的猜想. 1973年，我 国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至
多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1 +2”.
2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对
F
0
?2
2
?1?3
，
F
1
?2
2
?1?5
，
F
2
?2
2
?1?17，
F
3
?2
2
?1?257
，
F
4< br>?2
2
?1?65537
的观察，发现其结果
1234
0都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数
n
，任何形如
F
n
? 2
2
?1
的数都是素数. 后来瑞士
数学家欧拉，发现
F
5
?2
2
?1?4294967297?641?6700417
不是素数，推 翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单 位搞地图着
色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国
家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，
完 成证明.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由某类事物的部分对象具 有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理， 称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分
到整体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(
i
)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(
i i
)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(
iii
)观察等式：
1?3?4?2
2
,1?3?5?9?3
2< br>,1?3?5?7?9?16?4
2
，能得出怎样的结
论？
5
n

③ 讨论：(
i
)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(
ii
)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(
iii
)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2. 教学例题：
① 出示例题：已知数列
?
a
n
?
的第1项
a1
?2
，且
a
n?1
?
a
n
(n?1 ,2,)
1?a
n
，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值
n
=1，2，3，4 → 猜想
a
n
→如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
② 思考：证得某命题在
n
＝n
0
时成立；又假设在
n
＝
k
时命题成立，再证明n
＝
k
＋1时命题
也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关
系）
③ 练习：已知
f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1,

n?2,a?0,b?0
，推测
f(n)
的表达式.
3. 小结： ①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的
提出；数列通项公式的 归纳.
三、巩固练习：
1. 练习：
2. 作业：





学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个 故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每 人把胳膊尽
量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做30 0下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：
每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回， 坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简
单的甩手运动。 还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学 家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个
重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒 的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝 ，移走太行、王屋二山。正是因为他具
有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折 不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一 样的，它告诉
无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充 分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条
慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说： 学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确
很有道理，然而当读者实 际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领 ，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归
到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有 急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分 就是左脑还是右脑思维测试和
视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思 考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习 方法
章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法 类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最
适合自己的 有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大 特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博
文或者PPT课件合集，每个学习 方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个 章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时
间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所 有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对 学海之中手足无措之时，长
篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找 到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的 有
力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“ 消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无
疑是 最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“ 错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越

走越远，学 习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加 上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码
在学生的时候如果遇到，或者人生会 少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌 晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本
工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标 题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的 令人发指啊。整体来讲
主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧， 阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技< br>能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧 规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分
别有笔记记录，阅 读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上 得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，
说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节 上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试 教育的国家吗，简直比我们中国还要
应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好 吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没 有在企业里
做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育 真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了
一些 测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还 有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近
的类型，我就是视觉的，对号 入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教 导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们
人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习 这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中 ，这是一个非常好的学习
习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们 现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历
程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介 里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，
游刃有余地攻 克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较 深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的
表格，帮助整理文档的夹子，应对考试 的技巧，缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者 在书上所提到的方法，定能在学习中得到
提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的 那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要 和郭靖一样，不
要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽 然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，
对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的 是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就
看的比较费力，现在好了 ，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这 个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，
但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开 展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针 对性的指导。从而她的有些观点
就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习 环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。