浙江高中数学必修二作业本答案-为什么选择高中数学老师
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用
3.1变化率与导数
练习(P6)
在第3 h和5
h时,原油温度的瞬时变化率分别为
?1
和3. 它说明在第3
h附近,原
油温度大约以1 ℃/h的速度下降;在第5 h时,原油温度大约以3
℃/h的速率
上升.
练习(P8)
函数
h(t)
在
t?
t
3
附近单调递增,在
t?t
4
附近单调递增. 并且,函数
h(t)
在
t
4
附近比
在
t
3
附近增加
得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想.
练习(P9)
函数
r(V)?
3
3V
(0?V?5)
的图象为
4
?
根据图象,估算出
r
?
(0.6)?0.3
,
r
?
(1.2)?0.2
.
说明:如果没有信息技术,
教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数
的几何意义估算两点处的导数.
习题1.1 A组(P10)
W(t)?W
1
(t
0
?
?t)W
2
(t
0
)?W
2
(t
0
??t
)
1、在
t
0
处,虽然
W
1
(t
0
)?W
2
(t
0
)
,然而
10
.
?
??t??t
所以,企业甲比企业乙治理的效率高.
说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.
?hh(1??t)?h(1)
???4.9?t?3.3
,所以,
h
?
(1)??3.3
.
2、
?t?t
这说明运动员在
t?1
s附近以3.3
m/s的速度下降.
3、物体在第5
s的瞬时速度就是函数
s(t)
在
t?5
时的导数.
?ss(5??t)?s(5)
???t?10
,所以,
s
?
(5)
?10
.
?t?t
因此,物体在第5 s时的瞬时速度为10
m/s,它在第5
s的动能
1
E
k
??3?10
2
?150
J.
2
4、设车轮转动的角度为
?
,时间为
t
,则
?<
br>?kt
2
(t?0)
.
由题意可知,当
t?0.8
时,
?
?2
?
. 所以
k?
25
?
25
?
2
,于是
?
?t
.
88
车轮转动开始后第3.2
s时的瞬时角速度就是函数
?
(t)
在
t?3.2
时的导数.
?
??
(3.2??t)?
?
(3.2)25
?
???t?20
?
,所以
?
?
(3.2)?20
?
.
?t?t8
因此,车轮在开始转动后第3.2
s时的瞬时角速度为
20
?
s
?1
.
说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知,函数f(x)
在
x??5
处切线的斜率大于零,所以函数在
x??5
附近单
调递增. 同理可得,函数
f(x)
在
x??4
,
?
2
,0,2附近分别单调递增,几乎没有
变化,单调递减,单调递减.
说明:“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因
此,其导数
f
?
(x)
的图象如图(1)所示;第二个函数的导数
f
?
(x)
恒大于零,并且随着
x
的增加,
f
?(x)
的值也在增加;对于第三个函数,当
x
小于零时,
f
?<
br>(x)
小于零,当
x
大于零时,
f
?
(x)
大于零,并且随着
x
的增加,
f
?
(x)
的值也在增加.
以下给出了满足上述条件的导函
数图象中的一种.
说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题3.1 B组(P11) <
br>1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻
画的是速度变
化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.
2
、
说明
:由给出的
v(t)
的信息获得
s(t)
的相关信息,并据此画出
s
(t)
的图象的大致形状.
这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.
3、由(1)的题意可知,函数
f(x)
的图象在点
(1,?5)
处
的切线斜率为
?1
,所以此点
附近曲线呈下降趋势.
首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象.
同理
可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明
:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以
直代曲思想的领悟.
本题的答案不唯一.
1.2导数的计算
练习(P18)
1、
f
?
(x)?2x?7
,所以,
f
?
(2)??3
,
f
?
(6)?5
.
2、(1)
y
?
?
1
;
(2)
y
?
?2e
x
;
xln2
(3)
y
?
?10x
4
?6x
;
(4)
y
?
??3sinx?4cosx
;
1
1x
(5)
y
?
??sin
;
(6)
y
?
?
.
33
2x?1
习题1.2
A组(P18)
?SS(r??r)?S(r)
??2
?
r??r
,所以,
S
?
(r)?lim(2
?
r??r)?2
?r
. 1、
?r?0
?r?r
2、
h
?
(t)
??9.8t?6.5
.
3、
r
?
(V)?
1
3
3
.
2
34
?
V
4、(1)
y
?
?3x<
br>2
?
1
; (2)
y
?
?nx
n?1
e
x
?x
n
e
x
; xln2
3x
2
sinx?x
3
cosx?cosx
(
3)
y
?
?
;
(4)
y
?
?99(x?1)
98
;
2
sinx
(5)
y
?
??2e
?x
;
(6)
y
?
?2sin(2x?5)?4xcos(2x?5)
.
5、
f
?
(x)??8?22x
.
由
f
?
(x
0
)?4
有
4??8?22x
0
,解得
x
0
?32
.
6、(1)
y
?
?lnx?1
;
(2)
y?x?1
.
7、
y??
x
?
?1
.
8、(1)氨气的散发速
度
A
?
(t)?500?ln0.834?0.834
t
.
(2)
A
?
(7)??25.5
,它表示氨气在第7天左右时,
以25.5克/天的速率减少.
习题1.2 B组(P19)
1、(1)
(2)当
h
越来越小时,y?
sin(x?h)?sinx
就越来越逼近函数
y?cosx
.
h
(3)
y?sinx
的导数为
y?cosx
.
2、当
y?0
时,
x?0
.
所以函数图象与
x
轴交于点
P(0,0)
.
y?
??e
x
,所以
y
?
x?0
??1
.
所以,曲线在点
P
处的切线的方程为
y??x
.
2、
d
?
(t)??4sint
. 所以,上午6:00时潮水的速
度为
?0.42
m/h;上午9:00时潮水
的速度为
?0.63
m
/h;中午12:00时潮水的速度为
?0.83
m/h;下午6:00时潮水的
速度
为
?1.24
m/h.
1.3导数在研究函数中的应用
练习(P26)
1、(1)因为
f(x)?x
2
?2x?4
,所以
f
?
(x)?2x?2
.
当
f
?
(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x
2
?2x?4
单
调递增;
当
f
?
(x)?0
,即x?1
时,函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
(2)因为
f(x)?e
x
?x
,所以
f
?<
br>(x)?e
x
?1
.
当
f
?
(x)?0
,即
x?0
时,函数
f(x)?e
x
?x
单调递增;
当
f
?
(x)?0
,即
x?0
时,函数
f(x)?e
x
?x
单调递减.
(3)因为
f(x)?3x?x
3
,所以
f
?
(x)?3?3x
2
.
当
f
?
(x)?0
,即
?1
?x?1
时,函数
f(x)?3x?x
3
单调递增;
当
f
?
(x)?0
,即
x??1
或
x?1
时,函数
f(x)?3x?x
3
单调递减.
(4)因为
f(x
)?x
3
?x
2
?x
,所以
f
?
(x)?
3x
2
?2x?1
.
1
当
f
?(x)?0
,即
x??
或
x?1
时,函数
f(x)?x
3
?x
2
?x
单调递增;
3
1
当
f
?
(x)?0
,即
??x?1
时,函数
f(x
)?x
3
?x
2
?x
单调递减.
3
2
、
注:图象形状不唯一.
3、因为
f(x
)?ax
2
?bx?c(a?0)
,所以
f
?
(x)?2a
x?b
.
(1)当
a?0
时,
b
时,函数
f
(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递增;
2a
b
f
?
(x)?0
,即
x??
时,函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递减.
2a
(2)当
a?0
时,
b
f
?
(x)
?0
,即
x??
时,函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a
?0)
单调递增;
2a
b
f
?
(x)?0
,即<
br>x??
时,函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调
递减.
2a
f
?
(x)?0
,即
x??
4、证明
:因为
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
,所以
f<
br>?
(x)?6x
2
?12x
.
当
x?(0,2)
时,
f
?
(x)?6x
2
?12x?0<
br>,
因此函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在
(0,2)
内是减函数.
练习(P29)
1、<
br>x
2
,x
4
是函数
y?f(x)
的极值点,
其中
x?x
2
是函数
y?f(x)
的极大值点,<
br>x?x
4
是函数
y?f(x)
的极小值点.
2、(1)因为
f(x)?6x
2
?x?2
,所以
f
?
(x)?1
2x?1
.
令
f
?
(x)?12x?1?0
,得
x?
当
x?
调递减.
所以,当
x?
1
. 12
11
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)单调递增;当
x?
时,
f
?
(x)?0
,
f(
x)
单
1212
1
时,
f(x)
有极小值,并且极小值为<
br>12
11149
f()?6?()
2
??2??
.
12121224
(2)因为
f(x)?x
3
?27x
,所以
f
?
(x)?3x
2
?27
.
令
f
?
(x)?3x
2
?27?0
,得
x??3<
br>.
下面分两种情况讨论:
①当
f
?
(x)
?0
,即
x??3
或
x?3
时;②当
f
?
(x)?0
,即
?3?x?3
时.
当
x
变化时,
f
?
(x)
,
f(x)
变化情况如下表:
x
(??,?3)
+
单调递增
?3
0
54
(?3,3)
-
单调递减
3
0
(3,??)
+
单调递增
f
?
(x)
f(x)
?54
因此,当
x??3
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为54; <
br>当
x?3
时,
f(x)
有极小值,并且极小值为
?54
.
(3)因为
f(x)?6?12x?x
3
,所以
f
?
(x)?12?3x
2
.
令
f
?(x)?12?3x
2
?0
,得
x??2
.
下面分两种情况讨论:
①当
f
?
(x)?0
,即
?2?x
?2
时;②当
f
?
(x)?0
,即
x??2
或x?2
时.
当
x
变化时,
f
?
(x),
f(x)
变化情况如下表:
x
(??,?2)
?2
(?2,2)
2
(2,??)
f
?
(x)
f(x)
-
单调递减
0
+
单调递增
0
22
-
单调递减
?10
因此,当
x??2
时,
f(x
)
有极小值,并且极小值为
?10
;
当
x?2
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为22
(4)因为
f(x)?3x?x
3
,所以
f
?
(x)?3?
3x
2
.
令
f
?
(x)?3?3x
2
?0
,得
x??1
.
下面分两种情况讨论:
①当
f
?
(x)?0
,即
?1?x?1
时;②当<
br>f
?
(x)?0
,即
x??1
或
x?1
时.
当
x
变化时,
f
?
(x)
,
f(x)<
br>变化情况如下表:
x
(??,?1)
-
单调递减
?1
0
(?1,1)
+
单调递增
1
0
2
(1,??)
-
单调递减
f
?
(x)
f(x)
?2
因此,当
x??1
时,
f(x)
有极小值,
并且极小值为
?2
;
当
x?1
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为2
练习(P31)
(1)在
[0,2]
上,当
x?
1
时,
f(x)?6x
2
?x?2
有极小值,并且极小值为
12149
f()??
.
1224
又由于
f(0)??2
,
f(2)?20
.
因此,函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[0,2]
上的最大值是20
、最小值是
?
49
.
24
(2)在
[?4,4]
上,当
x??3
时,
f(x)?x
3
?27x
有极大值,并
且极大值为
f(?3)?54
;
当
x?3
时,
f(x)?
x
3
?27x
有极小值,并且极小值为
f(3)??54
;
又由于
f(?4)?44
,
f(4)??44
.
因此,函数
f(x)?x
3
?27x
在
[?4,
4]
上的最大值是54、最小值是
?54
.
1
(3
)在
[?,3]
上,当
x?2
时,
f(x)?6?12x?x
3
有极大值,并且极大值为
f(2)?22
.
3
155
又由于
f(?)?
,
f(3)?15
.
327
155
因此,函数
f(x)?6?12x?x
3<
br>在
[?,3]
上的最大值是22、最小值是.
327
(4)在
[2,3]
上,函数
f(x)?3x?x
3
无极值.
因为
f(2)??2
,
f(3)??18
.
因此,函数
f(x)?3x?x
3
在
[2,3]
上的最大值是
?2、最小值是
?18
.
习题1.3 A组(P31)
1、(1)因为
f(x)??2x?1
,所以
f
?
(x)??2?0
.
因此,函数
f(x)??2x?1
是单调递减函数.
(
2)因为
f(x)?x?cosx
,
x?(0,)
,所以
f
?
(x)?1?sinx?0
,
x?(0,)
.
22
因此,函数
f(x)?x?cosx
在
(0,)
上是单调递增函数.
2
(3)因为
f(x)??2x?4
,所以
f
?
(x)??2?0
.
因此,函数
f(x)?2x?4
是单调递减函数.
(4)因为
f(x)
?2x
3
?4x
,所以
f
?
(x)?6x
2
?4?0
.
因此,函数
f(x)?2x
3
?4x
是单调递增函数.
2、(1)
因为
f(x)?x
2
?2x?4
,所以
f
?
(x)
?2x?2
.
当
f
?
(x)?0
,即
x??1
时,函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递增.
当
f
?
(x)?0
,即
x??1
时,
函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
(2)因为
f
(x)?2x
2
?3x?3
,所以
f
?
(x)?4x?3<
br>.
?
?
?
3
时,函数
f(x)?2x
2<
br>?3x?3
单调递增.
4
3
当
f
?<
br>(x)?0
,即
x?
时,函数
f(x)?2x
2
?3
x?3
单调递减.
4
当
f
?
(x)?0,即
x?
(3)因为
f(x)?3x?x
3
,所以
f<
br>?
(x)?3?3x
2
?0
.
因此,函数
f(x)?3x?x
3
是单调递增函数.
(4)
因为
f(x)?x
3
?x
2
?x
,所以
f
?
(x)?3x
2
?2x?1
.
当
f
?
(x)?0
,即
x??1
或
x?
1
时,函数<
br>f(x)?x
3
?x
2
?x
单调递增.
3
1
当
f
?
(x)?0
,即
?1?x?
时,函数
f(x)?x
3
?x
2
?x
单
调递减.
3
3、(1)图略. (2)加速度等于0.
4、(1)
在
x?x
2
处,导函数
y?f
?
(x)
有极大值;
(2)在
x?x
1
和
x?x
4
处,导函数y?f
?
(x)
有极小值;
(3)在
x?x
3
处,函数
y?f(x)
有极大值;
(4)在
x?x
5
处,函数
y?f(x)
有极小值.
5、
(1)因为
f(x)?6x
2
?x?2
,所以
f
?
(x)?12x?1
.
令
f
?
(x)?12x?1?0
,得
x??
当
x??
1
.
12
1
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
单调递增;
12
1
当
x??
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
单调递减.
12
1
所以,
x??
时,
f(
x)
有极小值,并且极小值为
12
11149
f(?)?6?(?)
2
??2??
.
12121224
(2)因为
f(x)?x<
br>3
?12x
,所以
f
?
(x)?3x
2
?1
2
.
令
f
?
(x)?3x
2
?1
2?0
,得
x??2
.
下面分两种情况讨论:
①
当
f
?
(x)?0
,即
x??2
或
x?2
时;②当
f
?
(x)?0
,即
?2?x?2
时.
当
x
变化时,
f
?
(x)
,
f(x)
变化
情况如下表:
x
(??,?2)
+
单调递增
?2
0
16
(?2,2)
-
单调递减
2
0
(2,??)
+
单调递增
f
?
(x)
f(x)
?16
因此,当
x??2
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为16; <
/p>
当
x?2
时,
f(x)
有极小值,并且极小值为
?16
.
(3)因为
f(x)?6?12x?x
3
,所以<
br>f
?
(x)??12?3x
2
.
令
f
?
(x)??12?3x
2
?0
,得
x??2
.
下面分两种情况讨论:
①当
f
?
(x)?0
,即
x??2
或
x?2
时;②当
f
?
(x)?0
,即
?2?x?2
时.
当
x
变化时,
f
?
(x)
,
f(x)
变化情况如下表:
x
(??,?2)
+
单调递增
?2
0
22
(?2,2)
-
单调递减
2
0
(2,??)
+
单调递增
f
?
(x)
f(x)
?10
因此,当
x??2
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为22; <
br>当
x?2
时,
f(x)
有极小值,并且极小值为
?10
.
(4)因为
f(x)?48x?x
3
,所以
f
?
(x)?48?3x
2
.
令
f
?
(x)?48?3x
2
?0
,得
x??4
.
下面分两种情况讨论:
①当
f
?
(x)?0
,即
x??2
或
x?2
时;②当
f
?
(x)?0
,即
?
2?x?2
时.
当
x
变化时,
f
?
(x),
f(x)
变化情况如下表:
x
(??,?4)
-
单调递减
?4
0
(?4,4)
+
单调递增
4
0
128
(4,??)
-
单调递减
f
?
(x)
f(x)
?128
因此,当
x??4
时,
f(x)
有极小
值,并且极小值为
?128
;
当
x?4
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为128.
6、(1)在
[?1,1]
上,当
x??
为
1
时,函数f(x)?6x
2
?x?2
有极小值,并且极小值
12
47.
24
由于
f(?1)?7
,
f(1)?9
,
所以,函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[?1,1]
上的最大值和最
小值分别为9,
47
.
24
(2)在
[?3,3]
上
,当
x??2
时,函数
f(x)?x
3
?12x
有极大值,
并且极大值为16;
当
x?2
时,函数
f(x)?x
3
?
12x
有极小值,并且极小值为
?16
.
由于
f(?3)?9
,
f(3)??9
,
所以,函
数
f(x)?x
3
?12x
在
[?3,3]
上的最大值和最
小值分别为16,
?16
.
11
(3)在
[?,1]
上,函数
f(x)?6?12x?x
3
在
[?,1]
上无极值.
33
1269
由于
f(?)?
,
f(1)??5
,
327
1269
所以,函数
f(x)?6?12x?x
3
在
[?,1]
上的最大值和最小值分别为,
327
?5
.
(4)当
x?4
时,
f(x)
有极大值,并且极大值为128..
由于
f(?3)??117
,
f(5)?115
,
所以,函数
f(x)?48x?x
3
在
[?3,5]
上的最大值和最
小值分别为128,
?117
.
习题3.3 B组(P32)
1、(1
)证明:设
f(x)?sinx?x
,
x?(0,
?
)
.
因为
f
?
(x)?cosx?1?0
,x?(0,
?
)
所以
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
内单调递减
因此
f(x)?sinx?x?f(0)?0
,
x?
(0,
?
)
,即
sinx?x
,
x?(0,
?)
. 图
略
(2)证明:设
f(x)?x?x
2
,
x?(0,1)
.
因为
f
?
(x)?1?2x
,
x?(0,1)
1
所以,当
x?(0,)
时,
f
?
(x)?1?2x?0
,
f(x)
单调递增,
2
f(x)?x?x
2
?f(0)?0
;
1
当
x?(,1)
时,
f
?
(x)?1?2x?0
,
f(x)
单调递减,
2
f(x)?x?x
2
?f(1)?0
;
11
又
f()??0
.
因此,
x?x
2
?0
,
x?(0,1)
.
图略
24
(3)证明:设
f(x)?e
x
?1?x
,x?0
.
因为
f
?
(x)?e
x
?1
,
x?0
所以,当
x?0
时,
f
?
(x)?
e
x
?1?0
,
f(x)
单调递增,
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
;
当
x?0
时,
f
?
(x)?e
x
?1?0
,
f(x)
单调递减,
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
;
综上,
e
x
?1?x
,
x?0
. 图略
(4)证明:设
f(x)?lnx?x
,
x?0
.
因为
f
?
(x)?
1
?1
,
x?0
x
1
?1?0
,
f(x)
单调递增,
x
所以,当
0?x?1
时,
f
?
(x)?
f(x)?lnx?
x?f(1)??1?0
;
当
x?1
时,
f
?
(x)?
1
?1?0
,
f(x)
单调递减,
x
f(x)?lnx?x?f(1)??1?0
;
当
x?1
时,显然
ln1?1
. 因此,
lnx?x
.
由(3)可知,
e
x
?x?1?x
,
x?0
.
.
综上,
lnx?x?e
x
,
x?0
图略
2、(1)函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?
d
的图象大致是个“双峰”图象,类似“”或
“”的形状.
若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,
从图象上能大致估计它的单调区间.
(2)因为
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d,所以
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c
.
下面分类讨论:
当
a?0
时,分
a?0
和
a?0
两种情形:
①当
a?0
,且
b
2
?3ac?0
时,
设方程
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
的两根分别
为
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2<
br>,
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0,即
x?x
1
或
x?x
2
时,函数
f(x)?
ax
3
?bx
2
?cx?d
单
调递增;
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
,即
x
1
?x?x
2
时,函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递
减.
当
a?0
,且
b
2
?3ac?0
时,
此
时
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
,函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递增.
②当
a?0
,且
b
2
?3ac?0
时,
设方程
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
的两根分别
为
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2<
br>,
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0,即
x
1
?x?x
2
时,函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递
增;
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
,即
x?x
1
或
x?x
2
时,函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单
调递减.
当
a?0
,且
b
2
?3ac?0
时,
此
时
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
,函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递减
1.4生活中的优化问题举例
习题1.4 A组(P37)
1、设两段铁丝的长
度分别为
x
,
l?x
,则这两个正方形的边长分别为
xl?x
,,
44
xl?x
2
1
两个正方形的面积和为
S?f(
x)?()
2
?()?(2x
2
?2lx?l
2
)
,
0?x?l
.
4416
l
令
f
?
(x)?0
,即
4x?2l?0
,
x?
.
2
ll
当
x?(0,)
时,
f
?
(
x)?0
;当
x?(,l)
时,
f
?
(x)?0
.
22
l
因此,
x?
是函数
f(x)
的极小值点,也是最小值点.
2
l
所以,当两段铁丝的长度分别是时,两个正方形的面积和最小.
2
2、如图所示,由于在边长为
a
的正方形铁片的四角截去
xa
四个边长为
x
的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无
盖方盒的底面为正方形,且边长为
a?2x
,高为
x
.
a
(1)无盖方盒的容积
V(x)?(a?2x)
2
x
,
0?x?
.
2
(2)因为
V(x)?4x
3
?4
ax
2
?a
2
x
,
所以
V
?
(x)?12x
2
?8ax?a
2
.
aa
(舍去),或
x?
.
26
aaa
当
x?(0,)
时,
V
?
(x)?0
;当
x?(,
)
时,
V
?
(x)?0
.
662
a
因此,
x?
是函数
V(x)
的极大值点,也是最大值点.
6
a
所以,当
x?
时,无盖方盒的容积最大.
6
3、如图,设圆柱的高为
h
,底半径为
R
,
令
V
?
(x)?0
,得
x?
则表面积
S?2
?
Rh?2
?
R
2
R
V
.
?
R
2
V2V
2
因此,
S(R)?2
?
R?2
?
R??2
?
R
2
,
R?0
.
2
?
RR
由
V?
?
R
2
h
,得
h?
令
S
?
(R)??
h
2V
V
.
?4?
R?0
,解得
R?
3
R
2
?
当<
br>R?(0,
3
V
)
时,
S
?
(R)?0;
2
?
(第3题)
当
R?(
3
V
,??)
时,
S
?
(R)?0
.
2
?
3
因此,
R?
V
是函数
S(R)
的极小值点,也是最小值点.
此时,
2
?
h?
VV
3
?2?2R
.
?
R
2
2
?
所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.
1
n
2
n
24、证明:由于
f(x)?
?
(x?a
i
)
,所以f
?
(x)?
?
(x?a
i
)
.
n
i?1
n
i?1
1
n
令f
?
(x)?0
,得
x?
?
a
i
,
n
i?1
1
n
可以得到,
x?
?
a
i
是函数
f(x)
的极小值点,也是最小值点.
n
i?1
1
n
这个结果说明,用
n个数据的平均值
?
a
i
表示这个物体的长度是合理
n
i
?1
的,
这就是最小二乘法的基本原理.
?
x
2
2
x
5、设矩形的底宽为
x
m,则半圆的半径为m,半圆的面积
为
m
,
8
2
矩形的面积为
a?
?
x2
a
?
x
m
2
,矩形的另一边长为
(?)m
8
x8
因此铁丝的长为
l(x)?
?
x
2
?x?
2a
?
x
?
2a
8a
?
?(1?)x?
,
0?x?
x44x
?
令
l
?(x)?1?
?
4
?
2a
8a
,得(负值舍去). <
br>?0
x?
2
x
4?
?
当
x?(0,
8a8a8a
)
时,
l
?
(x)?0
;当
x?(,
)
时,
l
?
(x)?0
.
4?
?
4?<
br>??
8a
是函数
l(x)
的极小值点,也是最小值点.
4?
?
8a
m时,所用材料最省.
4?
?
因此,
x?
所以,当底宽为
6、利润
L
等于收入
R
减去成
本
C
,而收入
R
等于产量乘单价.
由此可得出利润
L
与产量
q
的函数关系式,再用导数求最大利润.
11
收入
R?q?p?q(25?q)?25q?q
2
,
88
11
利润
L?R?C?(25q?q
2
)?(10
0?4q)??q
2
?21q?100
,
0?q?200
.
88
1
求导得
L
?
??q?21
4
1
令
L
?
?0
,即
?q?21?0
,
q?84
.
4
当
q?(0,84)
时,<
br>L
?
?0
;
当
q?(84,200)
时,
L
?
?0
;
因此,
q?84
是函数
L
的极大值点,也是最大值点.
所以,产量为84时,利润
L
最大,
习题1.4 B组(P37)
1、设每个房间每天的定价为
x
元, x?1801
那么宾馆利润
L(x)?(50?)(x?20)??x
2
?70x?1360
,
180?x?680
.
1010
1
令
L
?
(x)??x?70?0
,解得
x?350
.
5
当
x?(180,350)
时,
L
?
(x
)?0
;当
x?(350,680)
时,
L
?
(x)?0<
br>.
因此,
x?350
是函数
L(x)
的极大值点,也是最大值点.
所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大.
2、设销售价为
x
元/件时,
b?x45b
利润
L(x)
?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x)
,
a?x?
.
4
bb
8c4ac?5bc4a?5b
令
L
?
(x)??x?
.
?0
,解得
x?
8
bb
4a?5b4a?5b5b
当
x?(a,)
时,
L
?
(x)?0
;当
x?(,
)
时,
L
?
(x)?0
.
884
4a?5b
当
x?
是函数
L(x)
的极大值点,也是最大值点.
8
4a?5b
所以,销售价为元/件时,可获得最大利润.
8
1.5定积分的概念
练习(P42)
8
.
3说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的
思想.
练习(P45)
ii1i12
1、
?s
i
??s
i
?
?v()?t?[?()
2
?2]???()
2
???
,
i?1,2,L,n
.
nnnnnn
i
于是 <
br>s?
?
?s
i
?
?
?s
i
?
?
?
v()?t
n
i?1i?1i?1
i12
?
?
[?()
2
???]
nnn
i?1
n
nnn
11n?1
2
1n
2
1
??()
2
??L?()??()??2
nnnnnn
1
??
3<
br>[1?2
2
?L?n
2
]?2
n
1n(n?1)(2n?1)
??
3
??2
n6
111
??(1?)(1?)?2
3n2n
取极值,得
n
1i1115
<
br>s?lim
?
[v()]?lim
?
[?(1?)(1?)?2]?<
br>
n??n??
n3n2n3
i?1
n
i?1
n说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
22
2、km.
3说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路
程的方法和步骤.
练习(P48)
?
2
0
x
3
dx?4
.
说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意
义.
从几何上看,表示由曲线
y?x
3
与直线
x?0
,
x?2
,
y?0
所围成的曲边
梯形的面
积
S?4
.
习题1.5 A组(P50)
1、(1)
?
(x?1)dx?
?
[(1?
1
i?1
2
100
i?11
)?1]??0.495
;
100100
i?11
)?1]??0.499
;
500500
i?11
)?1]??0.4995
.
10001000
(2)
?
(x?1)dx?
?
[(1
?
1
i?1
2
500
(3)
?
(x?1)dx
?
?
[(1?
1
i?1
2
1000
说明:体会通过
分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.
2、距离的不足近似值为:
18?1?1
2?1?7?1?3?1?0?1?40
(m);
距离的过剩近似值为:
27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67
(m).
3、证明:令
f(x)?1
. 用分点
a?x
0
?x1
?L?x
i?1
?x
i
?L?x
n
?b
将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间,在
每个小区间
[x
i?1
,x
i
]
上任取一点
?i
(i?1,2,L,n)
作和式
?
i
?1
n
f(
?
i
)?x?
?
i?1
nn
b?a
?b?a
,
n
从而
?
b
a
1dx?lim
?
n??
i?1
b?a
?b?a
,
n
说明:进一步熟悉定积分的概念.
4、根
据定积分的几何意义,
?
1
0
1?x
2
dx
表示由
直线
x?0
,
x?1
,
y?0
以及曲线
y?1?x
2
所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此
?
1
0
1?x
2
dx?
0
?1
?
4
.
5、(1)
?
x
3
dx??
1
.
43
0
?1
由于在区间
[?1,0]
上
x?0
,
所以定积分
?
x
3
dx
表示由直线
x?0
,
x??1
,
y?0
和
曲线
y?x
3
所围成的曲边
梯形的面积的相反数.
11
(2)根据定积分的性质,得
?
xdx?<
br>?
xdx?
?
x
3
dx????0
.
?1
?10
44
1
3
0
3
1
由于在区间
[?1
,0]
上
x?0
,在区间
[0,1]
上
x?0
,所
以定积分
?
x
3
dx
等于位于
x
轴
33<
br>?1
1
上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积.
202
115
(3)根据定积分的性质,得
?
x
3dx?
?
x
3
dx?
?
x
3
dx??
?4?
?1?10
44
由于在区间
[?1,0]
上
x
3
?0
,在区间
[0,2]
上
x
3
?
0
,所以定积分
?
x
3
dx
等于位于
x
轴
?1
2
上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积. <
br>说明:在(3)中,由于
x
3
在区间
[?1,0]
上是非正的
,在区间
[0,2]
上是非负的,如
果直接利用定义把区间
[?1,2]分成
n
等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又
有负项,而且无法抵挡一些项
,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分
?
x
3
dx
化
?1
2
为
?
xdx?
?
x
3
dx
,这样,
x
3
在区间
[?1,0]
和区间
[0,2]上的符号都是不变的,再利
?10
0
3
2
用定积分的定义,容易
求出
?
x
3
dx
,
?
x
3
dx<
br>,进而得到定积分
?
x
3
dx
的值.
由此可
?10?1
022
见,利用定积分的性质可以化简运算.
在(2)(
3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定
积分的几何意义.
习题1.5 B组(P50)
1、该物体在
t?0
到
t?6(单位:s)之间走过的路程大约为145 m.
说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯
形内包含单位正方形的个数来估计
物体走过的路程.
2、(1)
v?9.81t
.
i118?9
?88.29
(m)
(2)过剩近似值:
?
9.81???9.81??
;
2242
i?1
8
不足近似值:
?<
br>9.81?
i?1
8
i?1118?7
??9.81???68.67
(m)
2242
(3)
?
9.81tdt
;
0
4
?
4
0
9.81tdt?78.48
(m).
3、(1)分割
在区间
[0,l]
上等间隔地插入
n
?1
个分点,将它分成
n
个小区间:
ll2l
(n?2)l
[0,]
,
[,]
,……,
[,l]
,
nnn
n
(i?1)lil
记第
i
个区间为
[
,其长度为
,]
(
i?1,2
,Ln
)
nn
il(i?1)ll
?x???
.
nnn
ll2l
(n?2)l
把细棒在小段
[0,]<
br>,
[,]
,……,
[,l]
上质量分别记作:
nnn
n
?m
1
,?m
2
,L,?m
n
,
则细棒的质量
m?
?
?m
i
.
i?1
n
(2)近似代替
(i?1)lil
,]
上,可以
认为线密度
?
(x)?x
2
nn
的值变化很小,近似地等于一个常数
,不妨认为它近似地等于任意一点
(i?1)lil(i?1)lil
?
i
?
[,]
处的函数值
?
(
?
i
)?
?
i2
. 于是,细棒在小段
[,]
上质量
nnnn
l
?
m
i
?
?
(
?
i
)?x?
?
i<
br>2
(
i?1,2,Ln
).
n
(3)求和
当
n
很大,即
?x
很小时,在小区间
[
得细棒的质量
m?
?
?m
i
?
?
?
(<
br>?
i
)?x?
?
?
i
2
i?1i?1i?1
nnn
l
.
n
(4)取极限
细棒的质量
m?lim
?
?
i
2
n??
i?1
nl
l
,所以
m?
?
x
2
dx
..
0
n
1.6微积分基本定理
练习(P55)
(1)50;
(2)
(5)
425
50
?
; (4)24; ;
(3)
33
3
3
1
?ln2
; (6);
(7)0; (8)
?2
.
2
2
说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
习题1.6 A组(P55)
40
19
1、(1);
(2)
??3ln2
; (3)
?ln3?ln2
;
3
22
3
?
2
17
?1
;
(6)
e
2
?e?2ln2
. (4)
?
;
(5)
8
6
说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
?
2、
?
sinxdx?[?cosx]
3
0
?2
.
0
3
?
它表示位于
x
轴上方的两个曲边梯形的面积与
x
轴下方的曲边梯形的面积之差. 或
表述为:位于
x
轴上方的两个曲边梯
形的面积(取正值)与
x
轴下方的曲边梯形的
面积(取负值)的代数和.
习题1.6 B组(P55)
?
1
2x1
e
2
1
113
4
1、(1)原式=
[e]
0
??
;
(2)原式=
[sin2x]
?
;
??
222
2246
2
x
3
6
]
1
?
(3)原式=
[
.
ln2ln2
cosmx
?
1
]
?
?
??[cosm
?
?cos(?m
?
)]?
0
;
?
?
mm
?
sinmx
?
1
(2)<
br>?
cosmxdx??
?
?
?[sinm
?
?sin
(?m
?
)]?0
;
?
?
mm
??
1?cos2mxxsin2mx
?
(3)
?
sin
2
mxdx?
?
dx?[?]
?<
br>?
?
?
;
?
?
?
?
224m??
1?cos2mxxsin2mx
?
2
(4)
?
cosmxdx?
?
dx?[?]
?
?
?
?
.
?
?
?
?
224m
3、(1
t
ggggg
g
s(t)?
?
(1?e
?kt
)dt?[t?
2
e
?kt
]
t
0
?t?
2
e
?kt
?
2
?49t?245e
?0.2t
?245
.
0kkkkkk
2、(1)
?
sinmxdx?[?
?
)
(2)由题意得
49t?245e
?0.2t
?245?5000
.
这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计
t
的取值范围.
根据指数函数的性质,当
t?0
时,
0?e
?0.2t<
br>?1
,从而
5000?49t?5245
,
因此,
因此
245e
?0.2?
5000
49
?
7
50005245
?t?
.
4949
?0.2?
524
5
49
?3.36?10
,
245e?1.24?10
?7
,
所以,
1.24?10
?7
?245e
?0.2t<
br>?3.36?10
?7
.
从而,在解方程
49t?245
e
?0.2t
?245?5000
时,
245e
?0.2t
可以忽略不计.
5245
(s).
49
说明:B组中的习
题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分,可视学生的具体
情况选做,不要求掌握.
1.7定积分的简单应用
练习(P58)
32
(1); (2)1.
3
说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.
练习(P59)
因此,.
49t?245?5000
,解之得
t?
1、
s?
?
(2t?3)dt?[t
2
?3t
]
5
3
?22
(m).
3
5
3
42、
W?
?
(3x?4)dx?[x
2
?4x]
0?40
(J).
0
2
习题1.7 A组(P60)
9
1、(1)2; (2).
2
b
qqqq
2、
W?
?
k
2
dr?[?k]
b
.
?k?ka
a
rrab
4
3、令
v(t)?0
,即
40
?10t?0
. 解得
t?4
. 即第4s时物体达到最大高度.
4
?80
(m). 最大高度为
h?
?
(40?1
0t)dt?[40t?5t
2
]
0
0
4
4、设
t
s后两物体相遇,则
?
t
0
(3t
2
?1)dt
?
?
10tdt?5
,
0
t
解之得
t?5
. 即
A,B
两物体5s后相遇.
此时,物体
A
离出发地的距离为
0.1
?
5
0
(
3t
2
?1)dt?[t
3
?t]
5
0
?130<
br>(m).
5、由
F?kl
,得
10?0.01k
.
解之得
k?1000
.
所做的功为
W?
?
100
0ldl?500l
2
?
0.1
0
?5
(J).
0
55
?0
,解之得
t?10
.
因此,火车经过10s后完全停止.
1?t
10
551
(2)
s?
?
(5?t?)dt?[5t?t
2
?55ln(1?t)]
1
0
0
?55ln11
(m).
0
1?t2
y
习题1.7 B组(P60)
6、(1)令
v(t)?5?t?
1、(1)
?
a
?a
a
2
?
x
2
dx
表示圆
x
2
?y
2
?a
2
与
x
轴所围成的上
a
半圆的面积,因此
?
1<
br>?a
a?xdx?
22
?
a
2
2
O
1
x
(2)
?
[1?(x?1)
2
?x]dx
表示圆
(x?1)
2
?y
2
?1
与直线
0
(第1(2)题)
y?x
所围成的图形(如图所示)的面积,
因此,
?
[1?(x?1)?x]dx?
0
1
2
?
?1
2
4
1
?
1
??1?1??
.
242
O
x
h
b
y
b
3
2
0
2、证明:建
立如图所示的平面直角坐标系,可设抛物线的
b
4h
方程为
y?ax
2
,则
h?a?()
2
,所以
a?
2
.
b
2
4h
从而抛物线的方程为
y?
2
x
2
.
b
于是,抛物线拱的面积<
br>S?2
?
(h?
b
2
0
4h
2
4h
2
(第2题)
x)dx?2[hx?x]?bh
.
b
2
3b
2
3
?
y?x
2
?2
3、如图所示.解方程
组
?
?
y?3x
得曲线
y?x
2
?2
与曲线
y?3x
交点的横坐标
x
1
?1
,x
2
?2
.
于是,所求的面积为
?
[(x2
?2)?3x]dx?
?
[3x?(x
2
?2)]dx?1<
br>.
01
12
4、证明:
W?
?
R?h
R<
br>G
MmMm
R?h
Mmh
dr?[?G]?G
.
R
2
rrR(R?h)
第一章 复习参考题
A组(P65)
1、(1)3; (2)
y??4
.
2、(1)
y
?
?
x
2sinxcosx?2x
;
(2)
y
?
?3(x?2)
2
(3x?1)(5x?3)
;
2
cosx
2
x
2x?2x
2
(3)
y<
br>?
?2lnxln2?
;
(4)
y
?
?
.
4
x
(2x?1)
3、
F
?
??
2GMm
.
r
3
4、(1)
f
?
(t)?0
.
因为红茶的温度在下降.
(2)
f
?
(3)??4
表明在3℃
附近时,红茶温度约以4℃/min的速度下降. 图略.
5、因为
f(x)?
3
x
2
,所以
f
?
(x)?
2
3
3
x
.
当
f
?
(x)?
2
3x3
?0
,即
x?0
时,
f(x)
单调递增;
当
f
?
(x)?
2
3x
3?0
,即
x?0
时,
f(x)
单调递减.
6、因为<
br>f(x)?x
2
?px?q
,所以
f
?
(x)?2x
?p
.
当
f
?
(x)?2x?p?0
,即
x??
由
?
p
?1
时,
f(x)
有最小值.
2
p
?1
,得
p??2
.
又因为
f(1)?1?2?q?4
,所以
q?5
.
2
7、
因为
f(x)?x(x?c)
2
?x
3
?2cx
2
?c
2
x
,
所以
f
?
(x)?3x
2<
br>?4cx?c
2
?(3x?c)(x?c)
.
当
f
?
(x)?0
,即
x?
c
,或
x?c
时,函数f(x)?x(x?c)
2
可能有极值.
3
由题意当
x?2<
br>时,函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值,所以
c?0
.
由于
x
c
(??,)
3
+
c
3
0
c
(,c)
3
-
c
0
(c,??)
+
f
?
(x)
f(x)
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以,当x?
cc
时,函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值.
此时,
?2
,
c?6
.
33
8、设当点
A
的坐标为
(a,0)
时,
?AOB
的面积最小.
因为直线
AB
过点
A(a,0)
,
P(1,1)
,
y?0x?a1
,即
y??(x?a)
.
x?01?a1?a
aa
当
x?0
时,
y?
,
即点
B
的坐标是
(0,)
.
a?1a?1
所以直线
AB
的方程为
因此,
?AOB
的面积
S
?AOB
1aa
2
?S(a)?a?
.
2a?12(a?1)
1a
2
?2a
令
S
?<
br>(a)?0
,即
S
?
(a)???0
.
2
2(a?1)
当
a?0
,或
a?2
时,S
?
(a)?0
,
a?0
不合题意舍去.
x
(0,2)
2
(2,??)
由于
f
?
(x)
0
- +
f(x)
单调递减 极小值 单调递增
所以,当
a?2
,即直线
AB
的倾斜角为
135?
时,
?AOB
的面积最小,最小面积为
2.
9、
D
.
10、设底面一边的长为
x
m,另一边的长为
(x?0.5)
m.
因为钢条长为14.8m.
所以,长方体容器的高为
设容器的容积为
V
,则
14.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x
??3.2?2x
.
4
4
V?V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x
3
?2.2x
2
?1.6x
,
0?x?1.6
.
令
V
?
(x)?0
,即
?6x
2
?4.4x?1.6?0
.
所以,
x??
4
(舍去),或
x?1
.
15
当
x?(0,1)
时,
V
?
(x)?0
;当
x?(1,1.6)
时,
V
?
(x)?0
.
因此,
x?1
是函数
V(x)
在
(0,1.6)的极大值点,也是最大值点.
所以,当长方体容器的高为1
m时,容器最大,最大容器为1.8 m
3
.
11、设旅游团人数为
100?x
时,
旅行社费用为
y?f(x)
?(100?x)(1000?5x)??5x
2
?500?100000
(0?x?
80)
.
令
f
?
(x)?0
,即
?10x?
500?0
,
x?50
.
又
f(0)?100000
,
f(80)?108000
,
f(50)?112500
.
所以,
x?50
是函数
f(x)
的最大值点.
所以,当旅游团人数为150时,可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为
x
cm时,可使其打印面积最大.
623.7
因为打印纸的面积为623.7,长为
x
,所以宽为,
x
623.7
?2?3.17)
打印面积
S(x)?(x?2?2.54)(
x
3168.396
?655.9072?6.34x?
,
5.08?x?98.38
.
x
2
令
S
?
(x)?0
,即<
br>6.34?
3168.396623.7
,(负值舍去),
?0?27.89<
br>.
x?22.36
x
2
22.36
x?22.
36
是函数
S(x)
在
(5.08,98.38)
内唯一极值点,且
为极大值,从而是最大值
点.
所以,打印纸的长、宽分别约为27.89cm,22.36cm时,可使其打印面积最大.
13、设每年养
q
头猪时,总利润为
y
元.
1
则
y?R(q)?20000?100q??q
2
?300q?20000
(0?q?400,q?N)
.
2
令
y
?
?0
,即
?q?300?0
,
q?300
.
当
q?30
0
时,
y?25000
;当
q?400
时,
y?20000
.
q?300
是函数
y(p)
在
(0,40
0]
内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点.
所以,每年养300头猪时,可使总利润最大,最大总利润为25000元.
14、(1)
23?2
; (2)
2e?2
;
(3)1;
?
?
22
cosx?sinx
dx?
?
2
(cosx?sinx)dx?[sinx?cosx]
0
2
?0
;
(4)原式=
?
2
00
cosx?sinx
?
?
(5)原式=
?
2
0
1?cosxx?sinx
?
?
?2
dx?[]
0
2
?
.
224
15、略.
说明:利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.
16、
22?2
.
17、由
F?kl
,得
0.049?0.01k
.
解之得
k?4.9
.
l
2
0.3
所做的功为 <
br>W?
?
4.9ldl?4.9??
0.1
?0.196
(J)
0.1
2
0.3
第一章 复习参考题
B组(P66)
1、
(1)
b
?
(t)?10
4
?2?10
3
t
. 所以,细菌在
t?5
与
t?10
时的瞬时速度分别为0和
?1
0
4
.
(2)当
0?t?5
时,
b
?
(t)?0
,所以细菌在增加;
当
5?t?5?55
时,
b?
(t)?0
,所以细菌在减少.
2、设扇形的半径为
r
,中
心角为
?
弧度时,扇形的面积为
S
.
1l
因为
S?
?
r
2
,
l?2r?
?
r
,所以
?
??2
.
2r
11l1l
S?
?r
2
?(?2)r
2
?(lr?2r
2
)
,<
br>0?r?
.
2
22r2
l
令
S
??0
,即
l?4r?0
,
r?
,此时
?
为2弧
度.
4
ll
r?
是函数
S(r)
在
(0,)
内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点.
42
l
所以,扇形的半径为、中心角为2弧度时,扇形的面积最大.
4
3、设圆锥的底面半径为r
,高为
h
,体积为
V
,那么
r
2
?
h
2
?R
2
.
1111
因此,
V?
?
r
2
h?
?
(R
2
?h
2
)h
?
?
R
2
h?
?
h
3
,
0?h?
R
.
3333
3
1
R
. 令
V
?<
br>?
?
R
2
?
?
h
2
?0
,
解得
h?
3
3
容易知道,
h?
3
R
是
函数
V(h)
的极大值点,也是最大值点.
3
所以,当
h?
3
R
时,容积最大.
3
把
h?
36
R
代入
r
2
?h
2
?R
2<
br>,得
r?R
.
33
26
?
.
3
由
R
?
?2
?
r
,得
?
?
所以,圆心角为
?
?
26
?
时,容积最大.
3
4
、由于
80?k?10
2
,所以
k?
4
.
5
4
2
2020
x???480
5xx
9600
?16x?
,
x?0
x
9600
令
y
?
?0
,即
16?
2
?0
,
x?24<
br>.
x
设船速为
x
km/h时,总费用为
y
,则
y?
容易知道,
x?24
是函数
y
的极小值点,也是最小值点.
当
x?24
时,
(16?24?
960020
)?()?941(元/时)
2424
所以,船速约为24km/h时,总费用最少,此时每小时费用约为941元.
390x
2<
br>130
(3?)??14
,5、设汽车以
x
km/h行驶时,行车的总
费用
y?
50?x?100
x360x
令
y
?
?0
,解得
x?53
(km/h).
此时,
y?114
(元)
容易得到,
x?53
是函数
y
的极小值点,也是最小值点.
因此,当
x?53
时,行车总费用最少.
所以,最经济的车速约为53km/h;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约
是114元. x442
6、原式=
?
edx?
?
e
?x
dx
?
?
e
x
dx?[?e
?x
]
0
?2?e?
0
?e?e?2
.
?2?20
4
x
04
?
y?kx
7、解方程组
?
2
?
y?x?x
得,直线
y?kx
与
抛物线
y?x?x
2
交点的横坐标为
x?0
,
1?k
.
x
2
x
3
1
111
抛物线与
x
轴所围图形的面积
S?
?
(x?x)dx?[?]
0
??
?
.
0
23236
1
2
1?k1?k
S
2
由题设得
?
?
(x?x)dx?
?
kxdx
0
2
0
?
?
1?k
0
1?k
2
x<
br>3
1?k
(x?x?kx)dx?[x?]
0
23
2
(1?k)
3
?
.
6
3
4
1
1
3
又因为
S?
,所以
(1?k)?
. 于是
k?1?
.
2
6
2
说明:本题
1?k<
br>0
也可
1?k
0
以由面积相等直接得到
?
1?k
0
(x?x
2
?kx)dx
?
?
kxdx?
?
(x?x
2
)dx
,由此求出<
br>k
的值. 但计算较为烦琐.
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
练习(P77)
1、由
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?1
,猜想
a
n
?1
.
2、相邻两行数之间的关
系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与
之相邻的两个数的和.
3、设V
O?PQ
和
V
O?P
2
Q
2
R2
分别是四面体
O?PQ
11
R
1
和
O?P<
br>2
Q
2
R
2
的体积,
11
R
1<
br>则
V
O?PQ
11
R
1
V
O?P
2
Q
2
R
2
?
OP
1
OQ
1
OR
1
.
??
OP
2
OQ
2
OR
2
练习(P81)
1、略.
2、因为通项公式为
a
n
的数列
{a
n
}
,
若
a
n?1
?p
,其中
p
是非零常数,则
{a
n
}
是等比数列; ……………………大前提
a
n
a
n?1
cq
n?1
又因为
cq?0
,则
q?0
,则
??q
;
……………………………小
a
n
cq
n
前提
所以,
通项公式为
a
n
?cq
n
(cq?0)
的数列
{a
n
}
是等比数列. ……………………
结论
3、由
AD?BD
,得到
?ACD??BCD
的推理是错误的. 因
为这个推理的大前提是
“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“
AD?BD
”
,而
AD
与
BD
不在同
一个三角形中.
习题2.1
A组(P83)
2
(n?N
?
)
.
1、
a
n
?
n?1
2、
F?V?E?2
.
3、当
n?6
时,
2
n?1
?(n?1)
2
;当
n?7
时,
2
n?1
?(n?1)
2
;当
n?8
时,
2
n?1
?(n?1)
2
(n?N
?<
br>)
.
111n
2
4、
?
(
n?2
,且
n
?
N
?
).
?
LL
?
A
1
A
2
A
n
(n?2)
?
5、
b
1
b
2
Lb
n
?b
1
b
2
Lb
17?n
(
n?17
,且
n?N
?
). <
br>6、如图,作
DE
∥
AB
交
BC
于
E
.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
又因为
AD
∥
BE
,
AB
∥
DE
.
所以四边形
ABED
是平行四边形.
A
D
B
E
(第6题)
C
因为平行四边形的对边相等.
又因为四边形
ABED
是平行四边形.
所以
AB?DE
.
因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等,
又因为
AB?DE
,
AB?DC
,
所以
DE?DC
因为等腰三角形的两底角是相等的.
又因为△
DEC
是等腰三角形, 所以
?DEC??C
因为平行线的同位角相等
又因为
?DEC
与
?B
是平行线
AB
和
DE
的同位角,
所以
?DEC??B
因为等于同角的两个角是相等的,
又因为
?DEC??C
,
?DEC??B
,
所以
?B??C
习题2.1 B组(P84)
23456n?1
1、由
S
1
??
,
S
2
??
,
S
3
??
,
S
4
??
,
S
5??
,猜想
S
n
??
.
34567n?2
2、略. 3、略.
2.2直接证明与间接证明
练习(P89)
1、因为
cos
4
?
?sin
4
?
?(cos
2
?
?sin
2
?
)(co
s
2
?
?sin
2
?
)?cos2
?
,所
以,命题得证.
2、要证
6?7?22?5
,只需证
(6?7)
2
?(22?5)
2
,
即证
13?242?13?410
,即证
42?210
,
只需要
(42)
2
?(210)
2
,即证
42?40
,这是显然成立的. 所以,命题得证.
3、因为
(a
2
?b
2
)
2
?(a?b)
2
(a?b)
2
?(2sin
?
)
2
(2tan
?
)
2
?16sin<
br>2
?
tan
2
?
,
又因为
16ab?
16(tan
?
?sin
?
)(tan
?
?sin
?
)?16
sin
?
(1?cos
?
)sin
?<
br>(1?cos
?
)
?
cos
?
cos?
sin
2
?
(1?cos
2
?
)sin2
?
sin
2
?
?16?16sin
2
?tan
2
?
,
?16
22
cos
?
cos
?
从而
(
a
2
?b
2
)
2
?16ab
,所以,命题成立.
说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.
练习(P91)
1、假设
?B
不是锐角,则
?B?90?
.
因此
?C??B?90??90??180?
.
这与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以,假设不成立.
从而,
?B
一定是锐角.
2、假设
2
,
3
,5
成等差数列,则
23?2?5
.
所以
(23)
2
?(2?5)
2
,化简得
5?210
,从而
5
2
?(210)
2
,即
25?40
,
这是不可能的.
所以,假设不成立.
从而,
2
,
3
,
5
不可能成等差数列.
说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.
习题2.2 A组(P91)
b
1、由于
a?0
,因此方程至少有一个跟
x?
.
a
假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设
x
1
,x<
br>2
是它的两个不同的根,
则
ax
1
?b
①
ax
2
?b
②
①-②得
a(x
1
?x
2
)?0
因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
?x
2
?0
,从而
a?0
,这与已知条件矛盾,故假设不成立.
2、因为
(1?tanA)(1?tanB)?2
展开得
1?tanA?t
anB?tanAtanB?2
,即
tanA?tanB?1?tanAtanB
.
①
cosAcosB?sinAsinBcos(A?B)
假设
1?tanAtanB?0
,则
?0
?0
,即
cosAcosB
cosAcosB
所以
cos(A?B)?0
.
因为
A
,
B
都是锐角,所以
0?A?B?
?
,从而
A?B?
因此
1?tanAtanB?0
.
tanA?tanB
①式变形得
?1
, 即
tan(A?B)?1
.
1?tanAtanB
又因为
0?A?B?
?
,所以
A?B?
?
2
,与已知矛盾.
?
4
说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.
1?tan
?
3、因为
?1
,所以
1?2tan
?
?0
,从而
2sin
?
?cos
?
?0
.
2?tan
?
另一方面,要证
3sin2
?
??4cos2
?
,
只要证
6si
n
?
cos
?
??4(cos
2
?
?sin
2
?
)
即证
2sin
2
?
?3s
in
?
cos
?
?2cos
2
?
?0
,
即证
(2sin
?
?cos
?
)(sin
?<
br>?2cos
?
)?0
由
2sin
?
?co
s
?
?0
可得,
(2sin
?
?cos
?
)(sin
?
?2cos
?
)?0
,于是命题得证.
说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用
.
进行证明的思路更清晰.
4、因为
a,b,c
的倒数成等差数列,所以
假设
B?
211
??
.
bac
?
2
不成
立,即
B?
?
2
,则
B
是
?ABC
的最大
内角,
所以
b?a,b?c
(在三角形中,大角对大边),
从而
11112211
????
. 这与
??
矛盾.
acbbbbac
所以,假设不成立,因此,
B?
习题2.2
B组(P91)
?
2
.
s
2
1、要证
s?2a
,由于
s?2ab
,所以只需要
s?
,即证
b?s
.
b
2
因为
s?
1
(a?b?c)
,所以
只需要
2b?a?b?c
,即证
b?a?c
.
2
由于
a,b,c
为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立.
2、由已知条件得
b
2
?ac
①
2x?a?b
,
2y?b?c
②
要证
ac
??2
,只要证
ay?cx?2xy
,
只要证
2ay?2cx?4xy
xy
由①②,得
2ay?2cx?a(b?c)?c(a?b)?ab?2ac?bc
,
4xy?(a?b)(b?c)?ab?b
2
?ac?bc?ab?2ac?bc,
所以,
2ay?2cx?4xy
,于是命题得证.
3、由
tan(
?
?
?
)?2tan
?
得
sin(
?
?
?
)2sin
?
?
,即sin(
?
?
?
)cos
?
?2cos(
?<
br>?
?
)sin
?
. ……①
cos(
?
?
?
)cos
?
要证
3sin
?
?sin(2
?
?
?
)
即证
3sin[(
?
?
?
)?
?
]?sin[(
?
?
?
)?
?
]
即证
3[sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
]?sin(
?
??
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin?
化简得
sin(
?
?
?
)cos<
br>?
?2cos(
?
?
?
)sin
?
,这就是
①式.
所以,命题成立.
说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用.
2.3数学归纳法
练习(P95)
1、先证明:首项是
a
1
,公差是
d的等差数列的通项公式是
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
(1)当
n?1
时,左边=
a
1
,右边=
a1
?(1?1)d?a
1
,
因此,左边=右边.
所以,当
n?1
时命题成立.
(2)假设当
n?k
时,命题成立,
即
a
k
?a
1
?(k?1)d
.
那么
,
a
k?1
?a
k
?d?a
1
?(k?1)d?d
?a
k
?[(k?1)?1]d
.
所以,当
n?k?1
时,命题也成立.
根据(1)和(2),可知命题对任何
n?N
?
都成立.
n(n?1)
d
.
2
1?(1?1)
(1)当n?1
时,左边=
S
1
?a
1
,右边=
1?a
1
?d?a
1
,
2
因此,左边=右边.
所以,当
n?1
时命题成立.
k(k?1)
(2)假设当
n
?k
时,命题成立,即
S
k
?ka
1
?d
. 2
k(k?1)
那么,
S
k?1
?S
k
?a<
br>k?1
?ka
1
?d?a
1
?[(k?1)?1]d
2
(k?1)
?(k?1)a
1
?k[?1]d
2
(k?1)k
?(k?1)a
1
?d
2
所以,当
n?k?1
时,命题也成立.
再证明:
该数列的前
n
项和的公式是
S
n
?na
1
?
根据(1)和(2),可知命题对任何
n?N
?
都成立.
2、略.
习题2.3 A组(P96)
1、(1)略.
(2)证明:①当
n?1
时,左边=1,右边=
1
2
?1
,
因此,左边=右边. 所以,当
n?1
时,等式成立.
②假设当
n?k
时等式成立,即
1?3?5?L?(2k?1)?k
2
.
那
么,
1?3?5?L?(2k?1)?(2k?1)?k
2
?(2k?1)?(k?1
)
2
.
所以,当
n?k?1
时,等式也成立.
根据①和②,可知等式对任何
n?N
?
都成立.
(3)略.
11
2、
S
1
??1?
,
1?22
111111
S
2
???(1?)?(?)?1?
,
1?22?32233
111111111
S
3
????(1?)?(?)?(?)?1?
.
1?22?33?4223344
1
由此猜想:
S
n
?1?
.
n?1
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
111111
(1)当
n?1
时
,左边=
S
1
??1??
,右边=
1??1??
,
1?222n?122
因此,左边=右边.
所以,当
n?1
时,猜想成立.
(2)假设当
n?k
时,猜想
成立,即
11111
???
L
??1?
.
1?22?33
?4k(k?1)k?1
1111111
???
L
???1??
那么,
.
1?22?33?4k(k?1)(k?1)(k?2)k?1(k?1)(k?2
)
11
(1?)
k?1k?2
1k?2?11
?1???1?
k?1k?2k?2
所以,当
n?k?1
时,猜想也成立.
?1?
根据(1)和(2),可知猜想对任何
n?N
?
都成立.
习题2.3
B组(P96)
1、略
1
2、证明:(1)当
n?1
时,左边=
1?1?1
,右边=
?1?(1?1)?(1?2)?1
,
6
因此,左边=右边. 所以,当
n?1
时,等式成立.
(2)假设当
n?k
时,等式成立,
1
即
1?k?2?(k?1)
?3?(k?2)?L?k?1?k(k?1)(k?2)
.
6
那么,
1?(k?1)?2?[(k?1)?1]?3?[(k?1)?2]?L?(k?1)?1.
?[1?k?2?(k?1)?3?(k?2)?L?k?1]?[1?2?3?L?(k?1
)]
11
?k(k?1)(k?2)?(k?1)(k?2)
62
1
?(k?1)(k?2)(k?3)
6
所以,当
n?k?1
时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何
n?N
?
都成立.
第二章 复习参考题
A组(P98)
1、图略,共有
n(n?1)?1
(
n?N
?
)个圆圈.
n个
678
2、
33
L
3
(
n?N
?
).
3、因为
f(2)?f(1)
2
?4
,所以f(1)?2
,
f(3)?f(2)f(1)?8
,
f(4)?f(3)
f(1)?16
……
猜想
f(n)?2
n
.
4、运算的结果总等于1.
5、如图,设
O
是四面体
A?BCD<
br>内任意一点,连结
AO
,
BO
,
CO
,
DO
并延长
交对面于
A
?
,
B
?
,
C
?
,
D
?
,则
A
OA
?
OB<
br>?
OC
?
OD
?
????1
AA
?
BB
?
CC
?
DD
?
用“体积法”证明:
C'
OA
?
OB
?
OC
?
OD
?
???
D'
AA
?
BB
?
CC
?
DD
?
B'
?
V
O?BCD
V
O?CDA
V
O?DAB
V
O?ABC
???
V
A?BCD
V
B?CDA
V
C?DAB
V
D?ABC
B
A'
C
(第5题)
D
V
?
A?BCD
?1
V
A?BCD
6、要证
(1?tanA)(1?tanB)?2
只需证
1?tanA?tanB?tanAtanB?2
即证
tanA?tanB?1?tanAtanB
5
由
A?B?
?
,得
tan(A?B)?1
. ①
4<
br>?
tanA?tanB
又因为
A?B?k
?
?
,所以
?1
,变形即得①式. 所以,命题得证.
21?tanAtanB
7、
证明:(1)当
n?1
时,左边=
?1
,右边=
(?1)
1
?1??1
,
因此,左边=右边.
所以,当
n?1
时,等式成立.
(2)假设当
n?k
时,等式成立,
即
?1?3?5?L?(?1)
k
(2k?1)?(?1)
k
k
.
那
么,
?1?3?5?L?(?1)
k
(2k?1)?(?1)
k?1
[2(k?1)?1]
.
?(?1)
k
k?(?1)
k?1
[2(k?1)?1]
?(?1)
k?1
[?k?2(k?1)?1]
?(?1)
k?1
(k?1)
所以,当
n?k?1
时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何
n?N
?
都成立.
第二章
复习参考题
B组(P47)
1、(1)25条线段,16部分;
(2)
n
2
条线段;
1
(3)最多将圆分割成
n(n?1)?1
部分.
2
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当
n?1
时,结论成立.
②假设当
n?k
时,结论成立,
1
即:
k
条线段,两两相
交,最多将圆分割成
k(k?1)?1
部分
2
当
n?k?1
时,其中的
k
条线段
l
1
,l
2
,L,l
k
两两相交,最多将圆分割成
1
k(k?1)?1
部分
,第
k?1
条线段
a
k?1
与线段
l
1
,
l
2
,L,l
k
都相交,最多增加
k?1
个部
2<
br>分,因此,
k?1
条线段,两两相交,最多将圆分割成
11
k(k?1)?1?(k?1)?(k?1)(k?2)?1
部分
22
所以,当
n?k?1
时,结论也成立.
根据①和②,可知结论对任何
n?N
?
都成立.
2、要证
cos4
?
?4cos4
?
?3
因为 <
br>cos4
?
?4cos4
?
?cos(2?2
?
)?
4cos(2?2
?
)
?1?2sin
2
2
?
?4?(1?2sin
2
2
?
)
?1?8
sin
2
?
cos
2
?
?4?(1?8sin
2<
br>?
cos
2
?
)
?1?8sin
2
?
(1?sin
2
?
)?4?[
1?8sin
2
?
(1?sin
2
?
)]
只需证
1?8sin
2
?
(1?sin
2
?
)?4?[1?8sin
2
?
(1?sin
2
?
)
]?3
由已知条件,得
sin
?
?
sin
?
?cos
?
,
sin
2
?
?sin
?<
br>cos
?
,
2
代入上式的左端,得
1?8sin2
?
(1?sin
2
?
)?4?[1?8sin
2?
(1?sin
2
?
)]
??3?8sin
?
cos
?
(1?sin
?
co
s
?
)?32sin
2
?
(1?sin
2
?
)
??3?8sin
?
cos
?
?8sin
2
?
cos
2
?
?
2(1?2sin
?
cos
?
)(3?2sin
?
cos<
br>?
)
??3?8sin<
br>?
cos
?
?8sin
2
?
cos
2
?
?6?8sin
2
?
cos
2
?
?8sin<
br>?
cos
?
?3
因此,
cos4
?
?4cos4
?
?3
新课程标准数学选修2—2第三章课后习题解答
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
练习(P104)
1、实部分别是
?2
,
2
,
2
,0,0,0;
2
1
虚部分别是,1,0,
?3
,1,0.
3
2、
2?7
,0.618,0,
i
2
是实数;
2
i
,
i
,
5i?8
,
3?92i
,
i(1?3)
,
2?2i
是虚数;
7
2
i
,
i
,
i(1?3)
是纯虚数.
7
?
x?y?2x?3y
?
x?4
3、由
?
,得?
.
y?1?2y?1y??2
??
练习(P105)
1、
A
:
4?3i
,
B
:
3?3i
,
C
:
?3?2i
,
D
:
4?3i
,
5<
br>11
E
:
??3i
,
F
:,
G
:<
br>5i
,
H
:
?5i
.
2
2
2、略. 3、略.
习题3.1 A组(P106) <
br>?
3x?2y?17
?
x?1
1、(1)由
?
,得<
br>?
.
?
y?7
?
5x?y??2
?
x?y?3?0
?
x?4
(2)由
?
,得
?
?
y??1
?
x?4
?0
2、(1)当
m
2
?3m?0
,即
m?0
或<
br>m?3
时,所给复数是实数.
(2)当
m
2
?3m?0
,即
m?0
或
m?3
时,所给复数是虚数.
2
?
?
m?5m?6?0
(3)当
?
2
,即
m?2
时,所给复数是纯虚数.
??
m?3m?0
3、(1)存在,例如
?2?i
,
?2?3i<
br>,等等.
1
(2)存在,例如
1?2i
,
??2i
,等等.
2
(3)存在,只能是
?2i
.
4、(1)点
P
在第一象限.
(2)点
P
在第二象限.
(3)点
P
位于原点或虚轴的下半轴上. (4)点
P
位于实轴下方.
2
?
?
m?8m?15?0
5、(1)当
?
2,即
?2?m?3
或
5?m?7
时,复数
z
对应的点位
于第
?
?
m?5m?14?0
四象限.
22
??
?
m?8m?15?0
?
m?8m?15?0
(2)当
?
2
,或
?
2
,即
m??2
或
3?m?5
或
m?7
时,
??
?
m?5m?14?0
?
m?5
m?14?0
复数
z
对应的点位于第一、三象限.
(3)当
m
2
?8m?15?m
2
?5m?14
,即
m?
上.
6、(1)
2?i
; (2)
?2?i
.
习题3.1 B组(P55)
1、复数
z
对应的点位于如图所示的图形上.
2、由已知,设
z?a?3i
(
a?R
).
则
a
2
?(3)
2
?4
解得
a??1
所以
z??1?3i
3、因为
z
1
?1
2
?2
2
?5
,
z
2
?(2)
2
?(3)
2
?5
29
时,复数
z
对应的点位于直线
y?x
3
z
3
?(3)
2
?(?2)
2
?5
z
4
?(?2)
2
?1
2
?5
所以,
Z
1
,
Z
2
,
Z
3
,<
br>Z
4
这4个点都在以原点为圆心,半径为
5
的圆上.
3.2复数代数形式的四则运算
练习(P109)
1、(1)5;
(2)
2?2i
; (3)
?2?2i
; (4)0.
2、略.
练习(P111)
1、(1)
?18?21i
;
(2)
6?17i
; (3)
?20?15i
;
2、(1)
?5
; (2)
?2i
; (3)5.
3、(1)
i
; (2)
?i
;
(3)
1?i
; (4)
?1?3i
.
习题3.2
A组(P112)
75
1、(1)
9?3i
;
(2)
?2?3i
; (3)
?i
;
(4)
0.3?0.2i
.
612
uuur
2、
AB对应的复数为
(?3?4i)?(6?5i)??9?i
.
uuur
BA
对应的复数为
9?i
.
3、
3?5i
.
uuur
向量
BA
对应的复数为
(1?3i)?(?i)?1?4i
.
uuur
向量
BC
对应的复数为
(2?i)?(?i)?2?2i
.
uuur
于是向量
BD
对应的复数为
(1?4i)?(2?2i)?3?6i
,
点
D
对应的复数为
(?i)?(3?6i)?3?5i
.
4、(1)
?21?24i
; (2)
?32?i
;
(3)
?
5、(1)
?
3?13?1
13
i
.
?i
;
(4)
??
22
22
2418134
?i
;
(2)
?i
; (3)
?i
; (4)
1?38i
.
5565652525
6、由
2(2i?3)
2
?p(2i?3)?
q?0
,得
(10?3p?q)?(2p?24)i?0
.
?
10?3p?q?0
于是,有
?
,解得
p?12
,
q?26
.
?
2p?24?0
习题3.2 B组(P112)
1、(1)
x
2
?4?(x?2i)(x?2i)
.
(2)
a
4
?b
4
?(a?b)(a?b)(a?bi)(a?bi
)
, 2、略.
第三章
复习参考题
A组(P116)
1、(1)
A
;
(2)
B
; (3)
D
; (4)
C
.
2、由已知,设
z?bi
(
b?R
且
b?0
);
则
(z?2)
2
?8i?(bi?2)
2
?8i?(
4?b
2
)?(4b?8)i
.
?
4?b
2
?0
由
(z?2)?8i
是纯虚数,得
?
,解得
b??2
.
因此
z??2i
.
4b?8?0
?
2
3、由已知,可得<
br>z
1
?z
2
?8?6i
,
z
1
z<
br>2
?55?10i
.
又因为
zz
111
z1
?z
2
55?10i5
????5?i
. ,所以
z
?
12
?
zz
1
z
2
z
1
z2
z
1
?z
2
8?6i2
第三章
复习参考题
B组(P116)
1、设
z?a?bi
(
a,b?R<
br>),则
z?a?bi
.
由
(1?2i)z?4?3i
,得
(1?2i)(a?bi)?4?3i
,
化简,得
(a?2b)?(2a?b)i?4?3i
.
?
a?2b?4
根据复数相等的条件,有
?
,解得
a?2
,
b?1
.
?
2a?b?3
于是
z?2?i
,
z?2?i
,则
2
、
z2?i34
???i
.
2?i55
z
(1)
i
1
i
2
i
3
i
4
1
i
5
i
6
i
7
i
8
1
i
?1
?i
i
?1
?i
(2)
对任意
n?N
,有
i
4n?1
?i
,
i
4
n?2
??1
,
i
4n?3
??i
,
i
4
n?4
?1
.
?
m?2cos
?
3、由
z
1
?z
2
,得
?
2
?
4?m?
?
?3sin
?
消去
m
可得
?
?4sin
2
?
?3sin
?
39
?4(sin
?
?)
2
?
.
816
由于
?1?sin
?
?1
,可得
参考答案:
在六名同学,甲乙在一起的情况有所以符合条件的有
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