人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计

《二项式定理（一）》教学设计

一、教学内容解析
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章
第三部 分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，
也是后面内容的开始。在 计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用
到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个 应用。另一方面也是为后面学习随机变
量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维 训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算
问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二 项式定理不仅仅是初中多
项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例 ，在
组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数
学中有着十 分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学
生感受体验数学的简洁美、和谐 美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通
过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、
近似计算等方面形 成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重
视学生正确情感、态度和世界观的培养 和形成。
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式
系数 的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点．这是 因为证明中符号比较抽象、需要恰当地
运用组合数的性质。
二、学情分析
学生已经 学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的
归纳演绎和分析事件方法种数的能 力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问
题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节 知识的把握还不够好。本节课
二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方 法。因此
1

本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间 接地感受和体验知识
的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
在教学中，努 力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学
生活动的机会，以让学生在直接体验中 建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和
创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
三、教学目标设置
1.知识技能目标
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
（3）掌握对简单的二项式 进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并
能求出指定项。
2.过程与方法目标
通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及
化归的意识与方 法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。
3.情感、态度、价值观目标 < br>培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数
学语言的简捷和严 谨。
四、教学重点、难点
重点：用两个计数原理分析
(a?b)
3
的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的
通项公式；能应用它解决一些简单问题。
难点 ：用两个计数原理分析推导
(a?b)
3
的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。





五、教学过程
2

教学
程序
问 题
引出问题：如果今天是星期五，14天后的这
一天是星期几呢？23天后的这一天呢？
师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是
星期日。
算法：用各个数除以7，看余数是多少，
再用五加余数来推算
师：再过8
2016
天后是星期几，你知道吗？
不方便求出8
20 16
除以的余数，可以利用
8=7+1，得到8
2016
=(7+1)
2016
=?
如果不用计算器的话,此时就需要研究
设计意图 师生活动
提出问题激
发学生探索让学生用计
欲望，并引出算器计算
课题
(a?b)
n
??(n?N
*
)






从特殊开始
由(a+b)=a+b
(a+b)=(a+b)×(a+b)=a+2ab+b;
(a+b)=(a+b)×(a+b)=?
33223
32
222
1
体会多项式
乘法计算过
程,加深对因
式展开原理
的理解。
与学生一同
计算，得到计
算结果，为后
面做铺垫。
创设
结果：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

问题
探 究一：通过组合思想来分析(
a
+
b
)
3
的展开
情 境
式
(a?b)
3
?(a?b)(a?b)(a?b)
展开后
引入
①项的形式为：
a
3
,a
2
b,ab
2
,b
3

新课
②项的系数，考虑
b
，
a
3
：每个都不取
b
的情况有1种，即
C
3
,
0
则
a
3
前的系数为
C
3

恰 有1个取
b
的情况有
C
3
种，则
a
2
b< br>前
a
2
b
：
的系数为
C

恰有2个取
b
的情况有
C
3
种，则
b
2
前
ab
2
：
的系数为
C
3

b
3
：恰有3个取
b
的情况有
C
3
种， 则
b
3
前
3
2
1
3
1
0
考察学生对
因式展开的
各项形式及
系数的理解。
学生说出自
己的思路，老
师做分析与
讲解为后面
猜想做铺垫。
2
的系数为
C
3
所以
303122233
(a?b)?C
3
a?C
3
ab?C
3
ab?C
3
b

3
3

学生先观察
总结特点：
1.项数是指
探究二：观察展开式中的项数、指数变化以
数加1；
及系数变 化，你发现了什么？由此猜想（
a
+
b
）
让学生通过2.字母a按降
4
,(
a
+
b
)
n
的展开式中项数，指 数变化及系数
特例去观察幂排列，字母
变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。
相同之处与b按照升幂排
回答：

不同之处，以列，二者指数
及不同之处之和是二项


(a?b)4
?C
4
a?C
4
ab?C
4
ab?C
4
ab
3
?C
4
b
的处理方法，式指数；3、
0 n1n?1rn?rr
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab???C
n
ab??
nn
?C
n
b(n?N
*
)


从而提出猜每一项的系
想。 数有上面的
问题2给出，
这很好的突
破了本节的
难点。
探究三：
对于猜想
(a?b)
n1n?1
?C
n
0
a
n
?C
n
ab?C
n
2
a
n?2
b2
?...

rn?rrnn
?C
n
ab?...?C
n
b
我们如何进行证明呢？
师生讨论证
让学生体会明思路，通过
利用组合思阅读课本上
想从特殊到的证明过程，
一般，对猜想老师最后做
给出 严谨的出方法归类，
理解如何用明的思路。并
“说理”的方留下课下演
式阐述证明练二 项式定
过程。 理的数学归
纳法证明。
证明：每个
(a?b)
(a ?b)
n
是n个
(a?b)
相乘，
在相乘时，有两种选择，选a或选 b，由分
步计数原理可知展开式共有
2
n
项（包括同类
项），其中每 一项都是
a
n?r
b
r
(r?0,1,?n)
的形
证明过程。并提示学生证
式，对于每一项
a
n?r
b
，它是由r个< br>(a?b)
选
r
了b，n－r个
(a?b)
选了a得到的，它 出现
的次数相当于从n个
(a?b)
中取r个b的组
r
合数
C
n
，将它们合并同类项，就得二项展开
式，这就是二项式定理．
4

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有
何特点，谁最具代表性？
(1)项：二项展开式共有
n?1
项；
(2)次数：各项的次数都等于n；
字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字
母b按升幂排列，次数由0递增到n
思考
(3)二项式系数：
C(k?{0,1,2,???,n})

k
n
学生继续总
结这三点，以
考察学生的强化已有的
观察力，以及认 识，同时老
分析问题的师强调：二项
能力。 式系数，与二
项展开式系
数的区别。
对二项式定
理的简单应
用，同 时也是
告诉学生二
项式定理在
解决问题时
的方法：赋值
或是赋表达< br>式。
学生自主完
成，老师进行
检查，通过投
影仪将学生
的结 果进行
展示，错误时
做出点拨与
分析。
学生提出解
决思路，老师< br>破解疑惑让点评分析，怎
学生感受计么才能被7整
观察
(4)二项展开式的通 项：
T
=
C
k
a
n?k
b
k

k?1
n

学习
特殊的情况
新课
1.用-b代替b.
（a?b）
的展开式 写出
n

2.令a=1,b=2x.
5
（1?2x）
写出的展开式

今天是星期五, 再过8
2016
天后是星期几，你
知道吗？


破解
疑惑



8
2016
?(7?1)
2016

?
C
2016
7
2016
?
C
2016
7
2015???
0
1
C
2015
2016
7?
C
2015
2016
2016
2016

算的简单与除好计算呢?< br>快捷，增强对联想二项式
数学学习的定理的表达
热情， 形式，问题得
到解决，留为
课下计算。
熟悉二项式
定理，以及对教师板演过
二项式系数，程，给学生以
展开式系数，示范，为后面
?7(
C
20 16
7
0
2015
?
C
1
2016
72014
???
C
)?
1

即8
2016
除以7余数是1。
故再过8
2016
天后的那一天是星期六。
5
精讲
再探索对于
（1?2x）
的展开式
精析
思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多
巩固
少？
以及x的系数步骤的整洁
新知
思考3：你能否直接求出展开式的第2项？
问题的理解做铺垫。
与记忆。
5

熟悉二项式
定理，二项式
课堂练习

反馈
6
练习
2、求
(y?2x)
的展开式的第三项 系数，二项展学生自主练
开式系数，以习，反馈教学
及通项的初效果，老师巡
步应 用，理解视做个别辅
二项式展开导。
式的项的顺
序。
学生说，教师
让学生回顾课件演示，并
1、求
(2x?y)
6
的展开式的第三项

课堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点，观强调：二项式
小结 呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？ 察学生掌握系数与二项
情况。 展开式系数
的区别。
课本37页 习题1.3 A组 2、4
布置
作业 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理

让学生巩固
本节课的所
学内容和知
识。


六、板书设计
1.3.1二项式定理
0n1n?1rn?rrnn
(a? b)
n
?C
n
a?C
n
ab?
?
?Cn
ab?
?
?C
n
b(n?N
*
)
例 题1
例题2
练习1
练习2
作业：课本37页 习题1.3 A组 2、4
课后探究：用数学归纳法证明二项式定理
（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。）
(1)项：二项展开式共有
n?1
项；
(2)次数：各项的次数都等于n；
字母a按降幂排列，次数由n递减到0；
字母b按升幂排列，次数由0递增到n
(3)二项式系数：
C(k?{0,1,2,???,n})

kn?kk< br>(4)二项展开式的通项：
T
k?1
=
C
n
ab
k
n


6

关于《1.3.1二项式定理（一）（执教者沈琦）》点评分析


《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书- 数学》选修2-3第一章
第三部分第一节的内容，在《普通高中课程标准实验教科书- 数学》选修2-3教师教学
用书建议3课时，本节课为第一课时。
执教者坚持“以人为本，以 学定教”的教学理念，通过自已的精心设计和认真思
考，把对教材的深刻认识，通过灵活的教学方法，将 新课程的理念充分地体现在课堂
中，实现了预期的教学目标，充分展示了知识的形成过程，引导学生体验 了二项式定
理的生成过程和应用过程，具有良好的教学效果。这节课主要有以下特点：
1、 以问题为主线， 充分激发学生的学习动力和兴趣
本节课精心设计了数学问题，教学活动开始时，就提 出了人们的生活安排往往成
周期变化，提出了推算星期几的问题，从而引出对二项式定理的研究，最后通 过所得
结论解决提出的问题。一是以问题为载体，有机渗透德育，结合数学知识的特点对学
生进 行思想教育，这正是数学新课程理念所期待的目标 《普通高中数学课程标准（实
验）》（以下简称《标 准》）指出：“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的
作用，逐步形成正确的数学观为此，高 中数学课程提倡体现数学的文化价值??”。二
是发挥问题的魅力，激发学生的学习兴趣与动力。众所周 知，思维是从问题开始的，
没有问题就没有思维，由此可见，课堂教学中问题的质量直接影响到教学效果 ，正因
为如此，《标准》强调数学教学应结合具体的数学内容采用“问题情景一建立模型一解
释 、应用与拓展”的模式展开，所以在数学教学中，要让学生通过问题的吸引，积极
思考，发掘新知识的各 个方面，最大限度地实现问题的教学价值。
2、 注重教学中的引导，强化数学思想方法的渗透和应用
《标准》 指出不仅要考虑数学自身的特点， 更应遵循学生学习数学的心理规律，
强调从学 生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行
解释与应用的过程，抽象数学 概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程， 帮助
学生克服机械记忆概念的学习方法从中不难看出 ：过程教学观是新课程理念的灵魂，
本课例特别突出了过程教学，以过程为载体，强化数学思想方法的教 学。
（1）注重课题的引入过程，上课开始提出实际问题，捕捉到实际应用与新知识的
衔接点 ，突出了建模的思想方法。
7

（2）注重了二项式定理的生成过程，在此 环节中充分展示了系列过程：“乘法公
式(a+b)
1
，(a+b)
2
，(a+b)
3
, (a+b)
4
到(a+b)
n
的展开 式”中出现的规律时，又突出了三
个过程：一是引导学生找每一项的次数、项数规律；二是找系数规律， 这是问题的关
键； 三是找组合数的实际意义，这是解决求二项式指定项系数问题的出发点。通过这些过程教学，突出了以下数学思想方法：由特殊到一般的不完全归纳法；类比联想。
由此可见，从公 式定理的形成过程中可以学到重要的数学方法， 可谓“过程即方法”，
学习数学的过程比学习结论更重要。
3、以人为本，因材施教，突出学生的个性化选择
高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展，
高中数学课程 应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来
人生规划的思考这是新课程理念中 对学生成才的立体轨道所作的具体要求。按照这样
的观点来看数学教学，必须体现因材施教的教学原则， 教学内容应有较大的弹性， 为
各种学生提供发展空间。在此教学设计中，例题和练习的选择和教学也突 出了这一点，
题目的设置成由浅入深，层层递进，不断拓展，并根据学生实际情况对书上的例题进
行了改编。
本教学设计较好地体现了数学内容的弹性要求，适合不同学生的需求。本节课较
好地体现了数学新课程理念，教学方法力求实现讲授式、探究发现式和启发式的交融，
教学要求力求体现 立体化、个性化的选择；教学过程力求做到层次分明、衔接自然的
展现。





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