[高一数学]人教版中职数学教材-基础模块上册全册教案[1-5章共41份教案]

人教版中职数学教材 基础模块上册全册教案
目 录
第三章 函数 ............................................... .................................................. .................................... 1
3.1.1 函数的概念 ............................................ .................................................. ..................... 1
3.1.2 函数的表示方法 ....... .................................................. .................................................. 5
3.1.3 函数的单调性 .............................. .................................................. ............................... 8
3.1.4 函数的奇偶性 ........................................... .................................................. ................ 13
3.2.1 一次、二次问题 ........... .................................................. ............................................ 17
3.2.2 一次函数模型 ................................ .................................................. ........................... 20
3.2.3 二次函数模型 . .................................................. .................................................. ........ 24
3.3 函数的应用 ....................... .................................................. ........................................... 28
第四章 指数函数与对数函数 ................................ .................................................. ..................... 30
4.1.1 有理指数(一) ...... .................................................. .................................................. .... 30
4.1.1 有理指数(二) ....................... .................................................. ..................................... 34
4.1.2 幂函数举例 ............................................ .................................................. ................... 38
4.1.3 指数函数 ........... .................................................. .................................................. ...... 41
4.2.1 对数 .......................... .................................................. ................................................. 45
4.2.2 积、商、幂的对数 ........................... .................................................. ........................ 48
4.2.3 换底公式与自然对数 . .................................................. .............................................. 52
4.2.4 对数函数 .................................. .................................................. ................................. 54
4.3 指数、对数函数的应用 ....................................... .................................................. ....... 57
第五章 三角函数 .......................... .................................................. ............................................... 60
5.1.1 角的概念的推广 ............................... .................................................. ........................ 60
5.1.2 弧度制 ....... .................................................. .................................................. .............. 64
5.2.1 任意角三角函数的定义 .......... .................................................. ................................. 67
5.2.2 同角三角函数的基本关系式 ..................................... ................................................ 71
5.2.3 诱导公式 ............................... .................................................. .................................... 75
5.3.1 正弦函数的图象和性质 ....................................... .................................................. .... 80
5.3.2 余弦函数的图象和性质 .................... .................................................. ....................... 84
5.3.3 已知三角函数值求角 .. .................................................. ............................................. 87

第三章 函数
3.1.1 函数的概念
【教学目标】
1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．
2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在 x＝a处的函数值．
3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
函数的概念及两要素，会求函数在 x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．
【教学难点】
用集合的观点理解函数的概念．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组 教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概
念，使学生更容易理解函数关系的实质 以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对
函数概念的理解．
【教学过程】
环节





导

入
教学内容
1．试举出各类学过的一些函数例子．





2．初中函数定义
在一个变化过程中，有两个变量 x
和 y，如果给定一个 x 值，就相应地确
定了唯一的y值，那么我们就称 y 是 x
的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量．



新

课


一、函数概念
师生互动
师：事物都是运动变化的，
如：气温随 时间在悄悄变化；
我国的国内生产总值在逐年增
长等．在这些变化中，都存在
着两个变 量，当一个变量变化
时，另一个变量随之发生变
化．在数学中，我们用函数来
描述两个 变量之间的关系．
师：提出问题．
生：回忆解答．
师生共同回忆初中函数定
义．
学生阅读课本，讨论并回问题一、二是为
突出本课重难点而设
计．
深度挖掘 教材提
出的两个问题，在回
顾了初中的函数知识
为知识迁移做准
备．在阅读适 量的例
子后再回顾引出初中
定义，由具体到抽象，
符合职校学生的认知
能力．

设计意图
1. 问题1 一辆汽车在一段平坦的道路答教师提出的问题．
上以100 kmh的速度匀速行驶2小时．
（1）在这个问题中，路程、时间、速度
这三个量，哪些是常量？哪些是变量？
（2）如何用数学符号表示行驶的路程s

新



课



























（km）与行驶时间t（h）的关系？
（3）行驶时间（th）的取值范围是什么？
（4）对于行驶时间中的每一个确定的t
值，你能求出汽车行驶的路程吗？
（5）根据初中知识，关系式s＝100 t
（0≤t≤2）表示的是函数关系吗？
2．问题2 如果一个圆的半径用r表
示，它的面积用A表示．







教师针对学生的回答进行
的基础上，进 一步讨
论自变量的取值范
围，以及自变量与因
变量的对应关系，为
顺利引出函 数定义做
准备．

通过阅读讨论分
析，利用学生原有知
识结构．

结合问题1、2的
实例，降低对函数概
念的理解难度．


分析两个实例，归
纳得出两个事实，为
引出函数的概念做最
后的准备．
用图形能更直观
地表示两个重要事
实．


借助问题1、问题2
加深对函数概念的理
解．强调“集合 A 是
一个非空的数集”、
“法则”、“唯一”
等关键词语．
师：函数的值域被函数的使学生理解函数关系
（1）你能用数学符号表示圆的面积A与点评．
它的半径r之间的关系吗？
（2）在A与r的关系式中，r的取值范
围是什么？
（3）关系式A＝? r
2
（r＞0）表达的是一
种函数关系吗？因变量是哪 个量？自变
量是哪个量？
3．两个事实





4．函数概念
A
x．
f：
对应法则

y.






师： 从问题1和问题2中，
可以看到两个重要的事实：
（1）在每个例子中都指出
了自变量的取值集合；
（2）都给出了对应法
则 ．对自变量的一个值，都有
唯一的一个因变量值与之对
设集合 A 是一个非空的数集，对 A 应．
内任意实数 x，按照某个确定的法则 f，教师引导学生学习函数的
有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称概念．
这种对应关系为集合 A 上的一个函学生阅读课本函数概念，
数．记作：y＝f (x)．其中 x 为自变量，在理解的基础上记忆函数概
y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A
叫做函数的定义域．对应的因变量 y 的
取值集合叫做函数的值域．
5．




A
x．
f：
对应法则

念．
师：函数关系实质是非空
数集到非空数集的对应关系．

.y.
定义域和对应法则完全确定． 实质是非空数集到非

空数集的对应关系．

使学生明确 6．函数两要素：定义域和对应法则．

新



课







要检验给定两个变量之间的关系是
不是函数，只要检验：
（1）定义域是否给出；



（1）函数值域不是函
数的要素的原因；
（2）函数两要素的作
用．
利用函数的两要
素来判断两变量的关
系 是否是函数关系还
需要在以后的学习中
学生讨论例题中的对应关
系是否满足函数的定义 ，并解
答之．
教师总结，一个自变量x
只能有唯一的y与之对应．
加以巩固．


通过本例，使学生进
一步理解函数关系的
实质．










在本节中首次引
入了抽象的函数符号
f (x)，学生往往只接受
具体的函数解析式，
而不能接受 f (x)，所
以应让学生从符号的

学生分组讨论求解的方
含义开始认识，这部
分教师必须讲解清
楚．

进一步加强学生对f
（2）对应法则是否给出，并且根据这个

对应法则，能否由自变量x的每一个值，

确定唯一的y值．
例1 判断下列图中对应关系是否是函
数：














7．有关符号：
(1) 函数y＝f (x)也经常写作函数 f (x)或
函数f．
(2) 也可以将 y 是 x 的函数记为 y＝
g(x)，或者 y＝h(x)，等．
二、求函数值
函数 y＝f (x)在 x＝a 处对应的函
数值y，记作 y＝f (a)．
1
例2 已知函数 f (x)＝．
2 x＋1

A
4
5
6
2倍
B
8
10
12
B
1
4
5
6
A
1
4
9
开平方
B
1
－1
2
－2
3
－3














教师讲解函数符号的含
义．



A
1
－1
2
－2
平方
求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a)．
法；
111
解 f (0)＝＝1，f (1)＝＝，
0＋12＋1
3
小组讨论后教师引导完
111
f (－2)＝＝－ ．f (a)＝．
3
－4＋12 a＋1
成．
教师引导学生求函数值． （a）的理解．

练习1 教材 P61，练习A组第2题．

三、函数的定义域
函数关系式中，函数的定义域有时
可以省略，如果不特别指明一个函数的
定义域，那么这个函数的定义域就是使
函数有意 义的全体实数构成的集合．
例3 求函数 y＝
x+3
的定义域．
x



教师强调函数的定义域是
一个集合．
总结求分式函数，偶次根式
函数的定义域的方法．



教师强调定义域的表示形
式．


学生讨论求解．


小
结
1. 函数概念．
2. 两要素．
3. 函数符号．
4. 定义域．
教材 P61，练习A 组第2(3)题；
练习B 组第2(3)题．
解 要使已知函数有意义，
当且仅当
?
x＋3≥0
?

?
x≠0
所以函数的定义域为
{x | x≥－3，x≠0}．

练习2 教材 P61，练习B组第2题．















求定义域题目不
必过难，重点在理解
定义域的概念．

师生合作．
梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结．
作
业


巩固拓展．

3.1.2 函数的表示方法
【教学目标】
1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．
2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．
3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．
【教学重点】
函数的三种表示方法；作函数图象．
【教学难点】
作函数图象．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要 介绍函数的三种表示方
法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析 函数性质以指导画图，
避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为 下面学习函数的单调性
和奇偶性做铺垫．
【教学过程】
环节
导
入






新


课












教学内容
1．函数的定义是什么？
2．你知道的函数表示方法有哪些呢？
1．函数的三种表示方法：
(1) 解析法


(2) 列表法


(3) 图象法


2．问题.
由3.1.1节的问题中所给的函数解析式
s＝100 t (0≤t≤2)
作函数图象．
解：列表(略)；
画图
师生互动
师：提出问题．
生：回忆思考回答．
学生阅读教材 P62，了解函
数的三种表示方法．
师：函数的三种基本表示方
法，各有各的优点和 缺点，有时把
这三种方法结合起来使用，即由已
知的函数解析式，列出自变量与对
应的 函数值的表格，再画出它的图
象．
师：你知道画函数图象的步骤
是什么吗？
生：第一步：列表；第二步：
描点；第三步：连线．
师：在问题及解答过程中，我
们分别用到了哪些函数的表示方
法？
设计意图
为知识
迁移做准备．
这一部
分内容简
单，可采用
阅读思考 等
方式进行教
学，充分利
用教材资源
发挥学生的
主动性．


培养学
生勤于思考
善于分析的
生：解析法、列表法、图象法
意识和能


力．
本题的

新



课


































3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：
(1) 在上例描点时， 是怎样确定一个点的位置
的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量
作为点的纵坐标？
(2) 函数的定义域是什么？
(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什
么？函数的值域是什么？
(4) 距离 s 随行驶时间 t 的增大有怎样的变
化？





教师引导学生利用函数图象
分析回答函数的性质．

师：由上例可以看出，我们在
设置起到了
承上启下的
作用．
为突破
本节课难点
而设计．问
题(4)为下节
引入函数的
单调性 做准
备．

列表、作图时，要认真分析函数，

避免盲目列表计算．函数的图象有

利于我们研究函数的性质，如本例

让学生
中函数的定义域、值域以及y随x
在作图过程
增大而增大等性质．
中体会函数
教师引导学生分析：
的性质，从
4．例1 作函数 y＝x
3
的图象．
3
函数 y＝x的定义域是R，
做中学．
解 列表

当 x＞0时，y＞0，这时函数的图


象在第一象限，y 的值随着 x 的


画图
值增大而增大；当 x＜0时，y＜0，

这时函数的图象在第三象限，y 的


值随着 x 的值减小而减小．
尽可能
教师引导学生完成列表、描点
把主动 权交
给学生，使
及连线，完成函数图象．
学生在自主
师生合作完成例1，让学生体
探索中发现

会取值前如何分析研究函数式的
问题解决问

题．
特点．
问题(3)(4)的
5．结合例1完成下列问题：
学生分组讨论完成，从讨论中
设置是为引
3
(1) 函数y＝x的定义域、值域是什么？
掌握分析函数性质的方法．
入函数的奇
偶性作准

(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？
备．

(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？



(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图

避免为
形？
作图象而作

新


课






1
6．例2 作函数y＝
2


的图象．
x
解 列表
学生小组合作分析课本例2
如何取值．
学生作出例2图象，教师针对
出现的情况进行点评或让学生互

评．

教师强调自变量的取值，即
{x | x≠0}．








学生分组讨论完成，从讨论中
掌握分析函数性质的方法．



画图



7．结合例2解答下列问题：
1
(1) 函数y＝
2
的定义域、值域是什么？
x
(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样
的变化？在第二象限中呢？
(3) f (a)与 f (－a)相等吗？有怎样的关系？
(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图
形？
图象，让学
生在画图的
过程中学
习．







让学生
进一步掌握
分析函数性
质 的方
法．并为下
一步学习函
数的单调性
与奇偶性做
准备．

小
结
1. 函数的三种表示方法．
2. 作函数图象．
学生畅谈本节课的收获，老师梳理总
引导梳理，总结本节课的知识点． 结也可针对
学生薄弱或
易错处进行
强调和总
结．

巩固拓
展．
作
业

教材 P65 ，练习 A 组第3题；
练习B 组第2题．

3.1.3 函数的单调性
【教学目标】
1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．
2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．
【教学难点】
利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．
【教学方法】 < br>这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减
函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代
数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．
【教学过程】
环
节

教学内容
从常见的美丽的建筑物图片入
师生互动
师：播放动画，师
设计意图
联系实际，
激发兴趣． 导 手，让学生感知数学的美，激发学生共同欣赏后，引导学
入 生的学习兴趣． 生观察部分曲线的变化
趋势，引入课题．









新

课



1．课件展示下列函数图象

y
师：提出问题，引
导观察思考：


从图象直观感知
函数的单调性．









通过观察函数图



O


y＝f(x)
A
f(x
1
)
x
1

f(x
2
)
x
2

B
1．观察图象的变化
趋势怎样？
2．你能看出当自变
x
量增大或减少时函数值
如何变化吗？
生：观察动画，思

A
y＝f(x)
B
f(x
1
)
x
1

y



考回答．


x

O



f(x
2
)
x
2



教师引导学生归纳2．增函数与减函数的定义：

增函数：在给定的区间上自变
量增大(减少)时，函数值也随着增
大(减少)．
减函数：在给定的区间上自变
量增大(减少)时，函数值也随着减
少(增大)．

3．例1 给出函数 y＝f (x)的图象，
增函数与减函数的定
义．





学生观察图象完成
象直接给出增函数、
减函数的定义，符合
学生的特点，容易被
学生接受．



从观察直观图象
如图所示，根据图象指出这个函数
在哪个区间上是增函数？在哪个区
间上是减函数？

y



-1

o
1 2 3 4
x


解 函数 y＝f (x)在区间[－1，0]，
[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，
[3，4]上是增函数．
4．练习1
(1) 观察教材P64 例1的函数
新 图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是
增函数还是减函数；
(2) 观察教材P65 例2的函数
图象，分别说出函数在(－∞，0)和
课 (0，＋∞)上是增函数还是减函数．
5．设 y＝f (x)，在给定的区间
上，它的图象如图．


y
y＝f(x)


B
A


f(x
1
)
f(x
2
)


O
x
1

x
2

x





在此图象上任取两点A(x
1
，y
1
)，
B(x
2
，y
2
)，记
此题，掌握用图象来判
断函数单调性的方法．
教师强调，在说明
函数单调性时，要指出
明确的区间．







学生回答，教师点
评．











教师带领学生结合
增函数图象分析如何利
用函数的解析式来判断
一个函数是增 函数．
入手，加深对单调性
定义的理解，掌握用
图象法判定函数单调
性的方 法，使学过的
知识及时得到应用．








通过练习1，让学
生进一步掌握利用函
数的图象来判断函数单调性的方法，从而
提高学生的读图能
力，并与前面学过的
知识结合，对学过的< br>函数有更新的认识．






将增函数、减函
数定义中的定性说明

?x＝x
2
－x
1
，?y＝y
2
－y
1
．


增函数






自变量增大(?x＞0)，


函数值增大(?y＞0)．






?y


?x
＞0
















减函数






自变量增大(?x＞0)，
函数值增大(?y＜0)．






?y


?x
＜0






6．例2 证明函数 f (x)＝3 x
＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
证明 设x
1
，x
2
是任意两个不
新 相等的实数，则
? x＝x
2
－x
1

? y＝f (x
2
)－f (x
1
)
＝(3 x
2
＋2)－(3 x
1
＋2)
课 ＝3(x
2
－x
1
)，
















学生类比分析如何
利用函数的解析式来判
断一个函数是减函数．

教师指出利用函数
图象判断单调性的局限
性，引导学生从函数解
析式入手证明单调性的
思路与步骤．


教师讲解例题2，
板书详细的解题过程．









转化为定量分析．从
而给出利用函数解析
式来判断函数单调性
的方法．


启发学生思考，
完成从直观到抽象、
从感性思维到理性思
维的升华．






在板书例题的过
程中，突出解题思路
与步骤．







通过例题解答，
加深对函数单调性定
义的 理解，并自然而
然地将定义运用到判
定函数单调性中，理
论与实践相辅相成．

?y
3(x
2
－x
1
)
＝ ＞0．
?xx
2
－x
1
教师引导学生总结突出重点，深化
解题步骤，可简记 为： 证明步骤，分解难点．

因此，函数 f (x)＝3 x＋2在区

间(－∞，＋∞)上是增函数．

7．总结由函数的解析式判定函

数单调性的步骤：

S1 计算 ?x和 ?y；

S2 计算 k＝
?y
?x
．

当 k＞0时，函数在这个区间上

是增函数；

当 k＜0时，函数在这个区间上

是减函数．


8．例3 证明函数 f (x)＝
1
x
在

区间(0，＋∞)上是减函数．

证明：设x
1
，x
2
是任意两个不

相等的正实数．

因为 ?x＝x
2
－x
1
，


?y＝f(xf(x
11
2
)－
1
)＝
x

2
－
x
1


＝
x
1
?x
2
x

1
x
2

＝－
x
2
?x
1

x
＝－
?x
．
1
x
2
x
1
x
2

又因为 x
1
x
2
＞0，

所以
?y
1

?x
＝－
x
＜0．
1
x
2

因此，函数 f (x)＝
1
新
x
在区间

(0，＋∞)上是减函数．
课
9．练习2

证明函数 f (x)＝
3
x
在区间

(－∞，0)上是减函数．

1. 函数单调性的定义；
小 2. 判定函数单调性的方法．
结
一设、二求、三判
定．







学生讨论并试解例
题．老师点拨、解答学
生疑难．













学生模仿练习．


学生阅读课本
P66～68，畅谈本节课的
收获．
老师引导梳理，总

通过学生讨论、
老师点拨，顺利帮助
学生判断
?y
?x
的正负．





巩固用函数解析
式来判定单调性的思
路和步骤．











巩固理解，形成
技能．

梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结．

结本节课的知识点．
作
业

教材 P 69，练习 A组第 2题；
练习B组第 1、2题．
巩固拓展．

3.1.4 函数的奇偶性
【教学目标】
1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．
2. 掌握判断函数奇偶性的方法．
3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩
证唯物主义思想．
【教学重点】
奇偶性概念与函数奇偶性的判断．
【教学难点】
理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．
【教学方法】
这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－

x的函数
值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象 特征．然后由学生
自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解 题过程中深化对概
念的理解．
【教学过程】
环节

导
入





新

课







1
已知：函数f (x)＝2 x和 g (x)＝ x
3
．
4
试求当 x＝±3，x＝±2，x＝±1，…，
时的函数值，并观察相应函数值的关系．

发现规律：对定义域R内的任意一个
x，都有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)．
证明：
f (－x)＝2 (－x)＝－2 x＝－f(x)；
11
g (－x)＝ (－x)
3
＝－ x
3
＝－g(x)．
44
一、奇函数
1. 定义．
如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内
的任意一个x都有
f (－x)＝－f (x)，



学生计算相应的函数值．
教师引导学生发现规律，总
结规律：自变量互为相反数时，
函数值互为相反数．
老师引导学生给出证明．

教师通过引例，归纳得到奇
函数定义．




教学内容
复习前面所学求函数值的知识．
师生互动
教师提出问题，学生回答．
设计意图
为学生理解奇、
偶函数的定义做好
准备．









由特殊到一
般，发挥学生自主
性．

新



课




















则这个函数叫做奇函数．
2. 图象特征．
1
课件展示函数f (x)＝2 x和 g (x)＝
4
x的图象，动画展示对称性．
奇函数的图象都是以坐标原点为对
称中心的中心对称图形．




(-x，f (-x))
O
x
y
(x，f (x))
3

师：播放动画．
生：观察动画，回顾轴对
称、中心对称图形的定义．
观察函数 f (x)＝2 x和f (x)
1
＝ x
3
的图象，它的对称性如
4
何？
总结奇函数的图象特征．









教师出示例题．
5

提高学生的读
图能力，渗透数形
结合的数学思想．

在奇函数的定
义中定义域对应的
区间关于坐标原点
对称是学生思维的
难点.本环节为突破这一难点而设
计．

通过分组讨论
探究，使学生深刻
理解定义中隐含的
对定义域的要求．


例题根据各种
不同情况进行设
计，作了层次处理．

在教师引导讲
解例题后紧跟相应
练习，使学生对每
一类型都有比较深
刻印象，符合学生
认知心理，为学生
更好地掌握定义奠
定基础．

规范解题步
骤,使学生模仿形
成技能．
通过例题与练
习的解答，加深对



一个函数是奇函数的充要条件是，它
的图象是以坐标原点为对称中心的中心
对称图形．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
1
(1) f (x)＝； (2) f (x)＝－x
3
；
x
(3) f (x)＝x＋1；(4) f(x)＝x＋x＋x＋
x．
1
解 (1) 函数 f (x)＝ 的定义域
x
A＝{x | x ≠ 0}，
所以当 x ? A时，－x ? A．
11
因为 f (－x)＝＝－＝－f (x)，
x
－x
1
所以函数 f (x)＝ 是奇函数．
x
(2) 函数 f (x)＝－x
3
的定义域为 R，
所以当 x ? R 时，－x ? R．
因为 f(－x)＝－(－x)
3
＝x
3
＝－f (x)，
所以函数 f (x)＝－x
3
是奇函数．
7
3
教师首先请学生讨论：判
断奇函数的方法．
学生尝试解答例题(1)，对
学生的回答给以补充、完善，师
生共同总结判断方法：
S1 判断当 x?A时，是否
有－x ?A，即函数的定义域对应
的区间是否关于坐标原点对称；
S2 当S1成立时，对于任
意一个 x?A，若f(－x)＝－f(x)，
则函数 y＝f(x)是奇函数．

板书解题过程；
其间穿插师生问答．





(3) 函数 f (x)＝x＋1的定义域为R，
所以当x ? R时，－x ? R．
因为 f (－x)＝－x＋1
－f (x)＝－(x＋1)＝－x－1，
所以 f (－x)≠－f (x)．

新



课





















所以函数 f (x)＝x＋1不是奇函数．
(4) 函数 f (x)＝x＋x
3
＋x
5
＋x
7
的定义
域为R，所以当x ? R时，－x ? R．
因为 f (－x)＝－x－x
3
－x
5
－x
7
＝－(x＋x
3
＋x
5
＋x
7
)
＝－f (x)．
所以函数f(x)＝x＋x
3
＋x
5
＋ x
7
是奇函
数．
练习1 教材 P 73，练习A组 第1题．
二、偶函数
1. 定义．
如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内
的任意一个x都有
f (－x)＝f (x)，
则这个函数叫做偶函数．
2. 图象特征．
偶函数的图象都是以y轴为对称轴的
轴对称图形．


f (x)) (-x，



一个函数是偶函数的充要条件是，它
O
x
y
(x，f (x))









奇函数定义的理
解，并将定义运用
到解题中．




通过类比、自
学，培养学生的理
老师强调，引起学生重视． 性思维，提高学生
学生模仿练习．

学生探究：偶函数．
师：结合函数 f (x)＝x
2
的
图象，出示自学提纲：
1. 偶函数的定义是什么？
2. 偶函数的图象有什么特
征？一个函数是偶函数的充要
条件是什么？
3. 偶函数对定义域的要求
是什么？
生：自学教材P71~72——
偶函 数的有关内容，每四人为一
组，讨论并回答自学提纲中提出
的学习能力，加强
学生间的 合作交
流．

在掌握了奇函
数判断方法的基础
上，放手让学生自< br>己去进行偶函数的
判断，提高学生举
一反三解决问题的
能力．














根据学生做题
情况，了解学生对
的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形． 的问题．
例2 判断下列函数是不是偶函数：
(1) f (x)＝x
2
＋x
4
；
(2) f (x)＝x
2
＋1；
(3) f (x)＝x
2
＋x
3
；
(4) f (x)＝x
2
＋1，x??－1，3?.
解
(2) 函数 f (x)＝x
2
＋1的定义域为R，
所以当 x ? R时，－x ? R．
因为 f (－x)＝(－x)
2
＋1
＝x
2
＋1＝f (x)，
所以函数 f (x)＝x
2
＋1是偶函数．
师：以提问的方式检查学生
自学情况，订正学生回答的问题
答案，并出示各知识点．
给学生以赏识性评价．


师：出示例题．

生：分析解题思路．在黑
板上解答(1)(2)(3)．
师：引导学生订正黑板上
(4) 因为2??－1，3?，－2??－1，3?， 的答案，规范解题过程，梳理解

新

课

所以函数 f (x)＝x
2
＋1，x??－1，3?不是偶
函数．
题步骤．
教师结合图象讲解(4)．


对比(2)，(4)的解题过程，
发现判断函数奇偶性时，所给定
本节课知识的掌握
情况．

3. 对定义域的要求
一个函数为奇函数或者偶函数的前
提条件是这个函数的定义域关于原点对
称．
练习2 判断下列函数是不是偶函数： 义域的重要性．
(1) f (x)＝(x＋1)(x－1)；
(2) f (x)＝x
2
＋1，x?(－1，1]；
(3) f (x)＝
1
．
x－1
2
结合函数的图象强调定义
域关于原 点对称是一个函数为
奇函数或偶函数的前提．

学生模仿练习；
y

x




小

结
1. 函数的奇偶性

奇
函数
偶
函数


定义 图象特征

师生统一订正．
1. 学生读书、反思：

读教材 P 69～73——函数
的奇偶性，总结本节课收获．

2. 教师引导梳理
(1)出示表格，学生填表，
巩固所学内容．
(2)总结判断一个函数奇偶
通过对比，加
深理解，强化记忆．


梳理总结也可
针对学生薄弱或易
错处进行强调和总
结．
2. 判断函数奇偶性的步骤：
S1 判断当 x?A 时，是否有 －
x?A ；
S2 当S1成立时，对于任意一个
x?A：
若 f (－x)＝－f (x)，
则函数 y＝f (x)是奇函数；
若 f (－x)＝f (x)，
则函数 y＝f (x)是偶函数．
性的步骤．
作
业

教材 P74 ，习题第5题；
第6题(选做)．
学生课后完成． 巩固拓展．

3.2.1 一次、二次问题
【教学目标】
1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用．
2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．
3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．
【教学重点】
从实际问题中抽象简单的数学模型．
【教学难点】
从实际问题中抽象简单的数学模型．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法．教 师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后
抽象成一次函数和二次函数来研究， 通过教学，培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用
模型去解决实际问题的能力．
【教学过程】
环节

导
入
教学内容
1．分别写出一次函数、二次函数的一
般形式．
2．函数分类：
(1) y＝3 x； (2) y＝－3 x－2；
师生互动
生：同桌交流，合作完成．
师：引导学生观察这四个关
系式的等号右边，如果要将这 些
函数进行分类，如何分类比较合
唤醒对旧知识的
记忆．
设计意图
(3) y＝x
2
－3 x－4；(4) y＝－x
2
－2 x＋3． 理？引入课题．






新


课





例 用长为20 m 的绳子围成一个矩
形，写出两边长之间的函数关系.想想
看，两边长各是多少 时，围成的矩形面
积最大？

1．试填下面的表格(见课件)．
2．设矩形的一边长为 x m，另一边为 y
m，能用含 x 的代数式来表示 y吗？

3．x 的值可以任意取吗？有限定范围
吗？
结论：y＝10－x (0≤x≤10)是一次
函数．

师：投影例题．



对于求最值的问
题，历来是学生的难
点，不知从何处入手，
为了突破这一难点 ，把
师：提出问题，引导学生分该题进行了分解，分为
组交流，合作完成前3个问题． 5个小 问题．这样可降
生：分组交流，合作完成．然低学生分析问题的难
后每个小组都汇报交流结果， 如度．同时让学生进一步
果有疑义，其他小组可以补充，掌握函数的第一种表
最后教师给出正确 结论．


对于第4、5步师生共同分
示法：列表法．


从表格直观感知
面积的最值．

4．又设矩形的面积为 S，我们发现S 是 析，教师首先引导学生从表格中
x 的函数，试写出这个函数的关系式． 找到当 x＝5时，矩形面积最大

新



课




















5．从表中得出 x(x 为整数)为多长时，是25．
矩形面积获得最大值？


6．作函数图象，从图象中求出当x为何
值时，面积有最大值．
基本步骤：列表、描点、连线．

S
20











从图象直观感知
面积的最值．同时让
学生进一步掌握函数


学生依据上面的表格画出
函数的图象．



教师首先引导学生关注图象
的最高点，得出 x＝5时矩形面
积最大是25．

10

5
10
O
x



结论：
教师进一步引导学生观察图的第二种表示法：图
象，得出函数值的变化趋势．






师生共同解决．
教师引导学生关注配方法
的几个关键地方．



教师引导学生回忆得出二
象法．培养学生细心
观察、归纳、分析的
良好习惯和读图 能
力．


从解析式直观感
知面积的最值．同时
让学生进 一步掌握函
数的第三种表示法：
解析法． 培养学生用
多种方法分析问题、
解决问题的能力．

形式中当 x＝－
b
时，函数有最值的
2 a
理解是难点，此处的
设计目的是 为了突破
学生这一思维障
碍．加深对配方法的
理解．
当矩形的一边小于5 m 时，函数值
随边长增加而增加；
当矩形的一边等于5 m 时，矩形面
积获得最大值；
当矩形的一边大于5 m 时，函数值
随边长增加而减小．
7．用配方法分析，当x为何值时，面积
有最大值．
S＝x(10－x)
＝－x
2
＋10 x
＝－(x
2
－10 x)
＝－(x
2
－10 x＋25－25)
＝－[(x－5)
2
－25]
＝－(x－5)
2
＋25．
所以当 x＝5时，矩形面积获得最大值．
次函数配方后的形式．

结论：
4 a c－b
b
S＝a(x＋)
2
＋．
2 a4 a
b
当 x＝－ 时，函数有最值
2 a
4 a c－b
2
．
4 a

2

新


课




学生抢答．

通过练习1、2，
让学生逐 步掌握利用
配方法来研究二次函
数．同时进一步培养
学生细心观察、分析
问题 的能力．


练习1 求自变量 x 为何值时，函数取
得最大值或最小值？
(1) f (x)＝－x
2
＋3；
(2) f (x)＝－x
2
－8；
(3) f (x)＝x
2
－5；
(4) f (x)＝－(x－5)
2
－3．

练习2 求自变量x为何值时，函数取
得最大值或最小值．
(1) f (x)＝x
2
－
2 x
－
3；
(2) f (x)＝－x
2
＋4 x－8．



学生自行解决，教师巡视并
加以指导，同时有两名学生板
演．



小
结
1．进一步熟悉用列表、画图或公
式来表示某个函数关系．
2．用配方法求自变量 x 为何值
时，函数取得最值．
学生阅读课本畅谈本节课
的收获，老师引导梳理，总结本
节课的知识点．
梳理总结，也可
针对学生薄弱或易错
处进行强调和总结．
作
业

教材 P77，练习A 组第1题；
练习B 组第 1、2(选做)题．
巩固拓展．

3.2.2 一次函数模型
【教学目标】
1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．
2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．
3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．
【教学重点】
一次函数的性质．
【教学难点】
对正比例函数和直线的关系的理解．
【教学方法】
这节 课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与
方程的角 度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函
数的图象 也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次
函数的认 识上升到一般的理性结论.
【教学过程】
环节

导
入
教学内容 师生互动 设计意图
教师引导学生在
复习旧知识的同时，
让学生 自主探索新知
识，激发学生获取新
知的动力．


由学生的作图 过
程引发学生思考，然
后在教师的问题引导
下，从曲线与方程的
角度来描述正 比例函
数 y＝3x与直线OA
的关系；



画出示 意图使学
生更容易明确正比例
函数y＝3x与直线OA
上的点的一一对应关
系 ．


1. 一次函数的概念： 教师屏幕显示内容，学生
函数 y＝ (k，b 为常数，合作完成．
k )叫做一次函数． 结论：正比例函数是特殊
当 b＝ 时，函数y＝k 叫做正的一次函数．
比例函数． 师：函数 y＝3 x 的图象
2. 在直角坐标系中作出 y＝3 x 的图象． 是一条直线吗？
一、正比例函数
y
＝
k x
的图象是什么形
状？
以具体函数 y＝3 x 为例，
令x＝0，则 y＝0，所以函数y＝3 x
的图象过点O(0，0)．又 x＝1，y＝3是方
程的另一个解，作点 A(1，3)，过这两个
点 O，A 作直线 OA
．


y
y=3x
P

4

A
3

2

1

O
1
2
?1
? 2
x

-1

-2

-3

-4


师：你是怎么做出y＝3 x
的图象的？
生：列表，描了两个点，
连线．
师：由方程 y＝3 x 的两
个解我们做出了直线 OA
，
那
么方程 y＝3 x 的所有解都在
直线OA上吗？反过来，这条
直线上的所有点都满足 y＝3
x 吗？
即方程 y＝3 x 的解与直
线 OA 上的点是一一对应的
吗？










新


课

我们来说明直线OA是正比例函数y
＝3 x的图象． 这一部分，教师结合图
(1) 设点 P(x，y) 为直线 OA 任一示，用简洁明了的语言讲解二
点，用相似三角形的知识说明点 P(x，y)者之间的关系．学生了解即
也满足函数关系式 y＝3 x． 可，不宜过多强调．
(2) 以方程 y＝3 x 的解为坐标的点
P(x，y)一定在直线 OA 上．

直线

OA

正比例函数y＝3 x





点

P（x,y）

方程y＝3 x的解（x,y）

二、一次函数与正比例函数图象关系
例1 在同一直角坐标系内作出下列函数 师：正比例函数的图象是
y＝x，y＝x＋2，y＝x－2的图象． 直线，那么一次函数的图象也
新 步骤：列表、描点、连线． 是一条直线吗？它们的图象
y
之间有什么关系呢?一次函数
y=x+2
又有什么性质呢？
4
y=x

3
课
2
y=x-2

1

? 2
?1
O
1
2
x
-1

-2

-3

-4


师：出示观察与比较，提
观察与比较 正比例函数 y＝x 与一次
示学生，相同点可从图象形状
函数 y＝x＋2，y＝x－2图象有什么异
和倾斜度上分析．不同点可从

同？
三条直线的位置关系等方面．
填空 这 三个函数的图象形状都
生：观察图象，小组合作

是 ，并且倾斜程度 ，函数y＝x
讨论．然后每组选一名代表汇

的图象经过原点，函数 y＝x＋2的图象与
报各组的交流结果，最后师生

y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y＝x
一起汇总得出结论．

向 平移 个单位长度而得到．函数 y


＝x
－
2的图象与 y 轴交于点 ，即
师：动画演示．

它可以看作由直线 y＝x 向 平移 个


单位长度而得到．


学生讨论，得出结论．

讨论

(1) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与


正比例函数 y＝k x 图象有什么关系？

(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与x，


从更高的层次上
审视初中所学的一次
函数，培养 学生的理
性思维以及思维的严
密性．








通过例1，让学生
进一步掌握利用列表
描点，连线画 函数的
图象，并且根据图象
来分析一次函数和正
比例函数的关系，从
而提高学 生的读图能
力，及文字语言转化
为数学语言的能
力．并与前面学过的
知识结合 ，对学过的
这两个函数有更新的
认识．

教师扮演组织者
的角色， 鼓励学生大
胆的猜测和探究，以
培养学生的观察、归
纳能力，让学生从中
体验 独立获取知识的
愉悦感和成就感．

通过动画演示，
可调动学生学习的兴
趣和正确理解直线平
移变换的过程．





由练习1的两个

新



课
























y 轴的交点坐标是什么？
结论
(1) 一次函数 y＝kx＋b 的图象与正
比例函数 y＝k x 图象的关系：
一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直
线，我们称它为直线 y＝kx＋b， 它可以看
作由直线 y＝kx 沿y轴平移 |b| 个单位长
度得到．(当 b＞0时，向上平移；当 b＜0
时，向下平移．)
(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象是过










学生抢答练习1．
b
点(0，b)，(－，0)的一条直线．
k

练习1 指出下列直线是由哪个正比例函
数的图象平移得到的，并求下列直线与 x
轴，y 轴的交点坐标．

(1)直线 y＝5 x＋1；
(2)直线 y＝5x－3； 师生交流练习1后，教师
(3)直线 y＝x＋5； 提出问题：一次函数是由正比
(4)直线 y＝x－3． 例函数平移得到的，从图象上
三、一次函数的单调性 看，它们的单调性是怎样的？
当 k＞0时，函数 f(x)＝kx＋b是增函你能证明你的结论吗？
数．当 k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函
数．

例2 证明 一次函数f(x)＝kx＋b (k＞0)师生共同解决例2，教师
在(－∞，＋∞)上是增函数． 板书详细的解题过程．
证明 设 x
1
，x
2
是任意两个不相等的
实数，因为 Δ x＝x
2
－x
1
，而且
Δy＝k x
2
＋b－k x
1
－b
＝k(x
2
－x
1
)＝k Δx，

Δy
k?x

所以 ＝＝k＞0．
Δx
?x

所以当 k＞0时，函数 f (x)＝k x＋b

在(－∞，＋∞) 上是增函数．

同理我们可以证明：当 k＜0 时，函
教师引导学生归纳得出：
数 f(x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是减函
函数值的改变量与相应自变
数．
量的改变量成正比．
因为 ?y 是函数值的改变量，?x 是自

变量的改变量，所以由 ?y＝k ?x 还可知：

函数值的改变量与相应自变量的改变量成

正比．



四、总结一次函数的性质
师生共同总结得出一次函数
1．一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，
的性质．
b

b)，(－，0)的一条直线．
k
问题，从特殊到一般，
师生一起总结得出结
论．

改变 教师直接给
出结论的惯例，让学
生通过练习，由特殊
到一般，自己独立的
去获 取知识，培养学
生的归纳、概括能力．


练习1帮助学生理
解知识，形成技能．


培养学生的观察
能力和归纳总结能
力．





在学生具备函数
增减性的知识以后，
用单调性的概念重新
审视初中 所学的一次
函数，让学生对函数
的直观感知上升到理
性分析的层次上，同
时加 深对函数单调性
概念的理解．并且为
引出一次函数的性质
作铺垫．










通过练习2，加深

新


课



2．当 k＞0时，函数 f (x)＝kx＋b是增函
数．
当 k＜0时，函数 f (x)＝k x＋b是减
函数．
3．函数值的改变量与相应自变量的改变
量成正比．

练习2 说出下列直线与 x 轴，y 轴的交
点坐标，以及函数的增减性．
(1) y＝x＋2；
(2) y＝－2 x－1；
(3) y＝3 x＋1；
(4) y＝8 x．

1．一次函数 y＝k x＋b 与正比例函数 y
＝k x 的关系．
2．一次函数 y＝k x＋b 的性质．
教材 P 79，练习A组 第1，2题；
练习B组 第3题（选做）．

学生口答，师生共同点
评．





对函数性质的理解，
理论与实践相辅相
成．

小
结
作
业

学生阅读课本畅谈本节
课的收获，老师引导梳理，总
结本节课的知识点．

梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结．
巩固拓展．

3.2.3 二次函数模型
【教学目标】
1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；
2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；
3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．
【教学难点】
函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
二次函数的一般形式：
y＝a x
2
＋b x＋c (a≠0)，
定义域是 R．
导 练习1 下列函数中，哪些是二次函
数？若是，分别指出二次项系数，一次
入 项系数，常数项．
教师引导学生回忆二次函
数的一般式，并让学生举例．
教师在引导学生
复习旧知识的同时，让
学生口答． 学生自主探索新知识，
激发学生获取新知的
1

动力．
(1) y＝2 x
2
＋3 x－1； (2) y＝x＋；
x

(3) y＝3(x－1)
2
＋1； (4) y＝(x＋3)
2
－x
2
；

(5) s＝3－2 t
2
； (6) v＝4 π r
2
．
引例 在同一坐标系内作出下列
函数的图象．
y＝x
2
， y＝2 x
2
， y＝3 x
2
，
y＝
－
x
2
，y＝
－
2x
2
，y＝
－
3 x
2
．

师：如果 b＝c＝0，则一般
式变为 y＝a x
2
(a≠0)，下面我
们先来研究这类函数的性质．出
示引例．

学生在初中已经重点学过
二次函数的作图，所以教师只讲
述 y＝x
2
的图象画法，其余5个
函数的图象，学生分组合作解
答，教师巡回观察．最后通过 屏
幕演示，集体对照．




生：观察图象，小组合 作讨
论．然后每组选一名代表汇报各
通过引例，使学
生进一步掌握二次函
数图 象的描点作图
法，并根据所做图象
来分析函数 y＝a x
2

中系数 a 对图象的
影响，提高学生读图
能力．

学生合作，集体
回忆初中所学二次函
数的知识．










新


课








y?3x
2
y?2x
2
y?x
2
y??x
2
y??2x
2
y??3x
2

新



课

























观察图象并完成填空
函数 y＝a x
2
的图象，当a＞0时开
口 ．当a＜0时开口 ，对称轴
是 ，顶点坐标是 ．
函数是 函数（用奇或偶填空）．| a | 越
大，开口越 ．

例1 研讨二次函数
1
f (x)＝ x
2
＋4 x＋6的性质与图象．
2
解 (1) 因为
1
f (x)＝ x
2
＋4 x＋6
2
1
＝(x
2
＋8 x＋12)
2
1
＝(x＋4)
2
－
2．
2
由于对任意实数 x，
1
都有 (x＋4)
2
≥0，
2
所以 f (x)≥
－
2，
并且，当 x＝－4时取等号，
即 f(
－
4)＝－2．
得出性质：
x＝－4时，取得最小值－2．记为

y
min
＝－2．
点(－4，－2)是这个图象的顶点．
(2) 当y＝0时，
1
2
x＋4 x＋6＝0，
2
x
2
＋8 x＋12＝0，
解得 x
1
＝－6，x
2
＝－2．
故该函数图象与 x 轴交于两点
(－6，0)，(－2，0)．
(3) 列表作图．
y




x
-6
-4
-2
O

-2

以 x＝－4为中间值，取 x 的一些
值，列出这个函数的对应值表然后画出
函数的图象．

组的交流结果，最后师生一起汇
总得出结论．











师生共同解决例1，教师详
细板书解题过程，带领学生仔细
分析各个性质的由来．

















教师引导学生观察图象可
得出：函数的对称轴是直线
x＝－4．
师:这个结论是否是正确的
呢？
教师通过问题1、2，引导
学生证明上述结论正确．

















通过对例1中二
次三项式的代数分
析，使 学生对二次函
数的直观感知上升到
理性认识的高度，更
重要的是使学生掌握
数 形结合研究函数的
方法，初步培养学生
的画图、识图能力．





分析图象与x轴的
交点，一方面为描点
作图，另一方面为下节研究函数与方程，
不等式的关系做铺
垫．





对称性的教学设
计是为了启发学生完
成从直观到抽象、从
感性思维 到理性思维
的升华．教师让学生
经历“观察—发现
—验证—归纳”四
个过程， 感受数学的
严密性、科学性．

新



课


























观察上表或图形回答：
1．关于x＝－4对称的两个自变量的值
对应的函数值有什么特点？
答：相同．
2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于 x＝－
4对称吗？
分别计算－4－h与－4＋h的函数
值，你能发现什么？
答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．
得出性质：
直线 x＝－4为该函数的对称轴．
函数在(－∞，－4]上是减函数，在
[－4，＋∞)上是增函数．
小结例2中的函数性质：
1．开口．
2．最值．
3．顶点．
4．对称轴．
5．单调性．















学生模仿练习．老师巡回观
察点拨、解答学生疑难．



练习2(课本例3) 用配方法求函数

2
f (x)＝3 x＋2 x＋1的最小值和图象的

对称轴，并说出它在哪个区间上是增函


数，在哪个区间上是减函数？

解：f (x)＝3 x
2
＋2 x＋1

2
＝3(x
2
＋ x)＋1
3


211
2
＝3(x＋ x＋－)＋1
399


1
2
2
＝3(x＋)＋
33


12
所以 y＝f(－)＝，函数图象的对称轴
33


11
是直线 x＝－，在(－∞，－]上是减
33

例2是二次函数中a＜0的
1
函数，在[－，＋∞)上是增函数．
3
类型，学生可类比例1，自己得
例2 研讨二次函数f (x)＝－x
2
－4x＋3
出图象与性质．
例1与例2分别是二次函数
的性质与图象．
中 a＞0，a＜0的两种类型，教

师引导学生填表，自己总结出二


小结 二次函数的性质．(表格见
次函数的性质表格，对比记忆．

课件)


例3板书详细的解题过程．
例3 已知二次函数 y＝x
2
－x－6说出：
通过此例题，教师总结一元









小结函数性质，
将例1的分析条理化．






通过练习2，进一
步练习配方法以及巩
固二次函数的性质．


















以表格的形式整
理二次函数性质，使
知识结构一目了然．

本例题 有两种方
法，方法一：在图象
中用区间分析法，方
法二；求一元二次方

新



课






程或一元二次不等式
的解集的方法．教师
(2) x 取哪些值时，y＞0， 次函数之间的关系：
在讲解时可根据学生
2
x 取哪些值时，y＜0． 求二次方程ax＋bx＋c＝0
的实际情况进行讲解
解 (1)求使 y＝0的 x 的值，即
的解，就是求二次函数：y＝a x
2
和拓展．
求二次方程 x
2
－x－6＝0的所有根．
方法一：在图象
＋bx＋c(a≠0)的根；
方程的判别式
中用区间分析法是比
2
2
求不等式 a x＋b x＋c＜0
较简单的一种方法，
?
＝(－1)－4×1×(－6)＝25＞0，
解得：x
1
＝－2，x
2
＝3．
的解集，就是求使二次函 数：y
通过此法可进一步培
(2)画出简图，函数的开口向上．
养学生的读图，识图
＝ax
2
＋bx＋c(a≠0 )的函数值
从图 象上可以看出，它与x轴相交于两
能力，培养学生数形
小于0的自变量的取值范围；
点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成
结合的思想．
2
三段．
求不等式 a x＋b x＋c＞0

所以当x?(－2，3)时，y＜0．

的解集，就是求使二次函数
当x?(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．

y＝a x
2
＋b x＋c(a≠0)的函数值

大于0的自变量的取值范围．
y





-2
ｏ

3

x



学生模仿练习．老师巡回观
巩固用图象法解
察点拨、解答学生疑难．
-6
一元二次不等式的步
骤．


练习3 下列函数自变量在什么范围内

取值时，函数值大于0、小于0或等于
利用表格总结，
0．
使所学知识系统化．
(1) x 取哪些值时，y＝0； 二次方程、一元二次不等式与二
(1) y＝x
2
＋7 x－8；
(2) y＝－x
2
＋2 x＋8．
总结二次函数，二次方程，二次不
等式三者之间的关系(表格见课件)．

小
结
1．二次函数的性质．
学生阅读课本畅谈本节课
2．一元 二次方程、一元二次不等
的收获，老师引导梳理，总结本
式与二次函数的关系．
节课的知识点．
3．数形结合研究二次函数的方法．
教材 P 84，练习 A组第

1、2题；
教材 P 85，练习 B

组1、2题（选做）．

梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结．
作
业

巩固拓展．

3.3 函数的应用
【教学目标】
1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题．
2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力．
3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．
【教学重点】
应用函数知识解决一些简单的实际问题．
【教学难点】
从实际问题中抽象出函数模型．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．教师 将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，
培养学生的审题能力，以及从实际问题 中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．
【教学过程】
环节

导
入
教学内容
我们前面学习了一次函数，二次函
数的图象与性质，下面学习几个函数应
用的例子．
例1 一种商品，如果单价不变，购买
8件商品需付120元，写出这种商品件
数 x 和总价值 y 之间的函数关系式．
y＝15 x， x?N
例2 火车从北京站开出12 km 后，以
80 kmh 匀速行使．试写出火车总路程
s与作匀速运动的时间t之间的函数关
系式．
s＝12＋80 t， t≥0

练习1 教材 P 87，练习第1、2题．

例3 某单位计划建筑一矩形围墙．现
有材料可筑墙的总长度为l，如果要使墙围出的面积最大，问矩形的长、宽各
等于多少？
解 设矩形长是 x，
1
则宽为 (l
－
2 x)，
2
得矩形的面积为
S＝x
l
－
2 x
l
＝－x
2
＋ x
22
师生互动 设计意图

开门见山，直接进
入课题．









新

课










师：提出问题，引导观察思
考：
1. 购买一件商品须付多少
元？
2. 路程、速度与时间之间
的函数关系是什么？
生：同桌交流，合作完成．

关键：找等量关系、列函数
关系式、确定自变量的取值范
围．





例3教师引导学生画图分
析题意：
(1)设矩形长是 x，则宽为多
少？
(2)面积如何表达？它是个
什么函数？如何求它的最大


例1、例2是一次
函数模型的应用，难
度较小，可让学生自
己解决．
培养学生的阅
读能力、文字语言转
化为数学语言的能
力．








例3是二次函数最
值问题，以学生为主
题分析解题思路．

新


课








值？
教师简单点拨，学生合作完
成．教师屏幕显示具体过程．
l
2
l
2
＝－(x－)＋．
416

教师引导学生回忆二次函
l
所以该函数在 x＝ 时取最大值，
4
数的配方过程．并强调配方法的
几个关键步骤：
l
2
l
且 S
max
＝，这时宽也为 ．即这个矩
164
(1) 提系数；
(2) 所配常数为一次项系
l
形是边长等于 的正方形时，所围出
4
数一半的平方．
的面积最大．
例3结束后，教师引导学生
练习2 教材P88，练习第5题． 总结解函数应用题的一般步骤：

1. 设未知数(确定自变量
例4 一家旅社有客房300间，每间房和函数)；
租20元，每天都客满．旅社欲提高档2. 找等量关系，列出函数
次，并提高租金．如果每间房租增加2关系式；
元，客房出租数会减少10间．不考虑3. 化简，整理成标准形式
其他因素旅社将房间租金提高到多少(一次函数，二次函数等)；
时，每天客房的租金收入最高． 4. 利用函数知识，求解(通
解：设提高 x 个2元，则将有10 x常是最值问题)；
间客房空出，则客房租金总收入为： 5. 写出结论．
y＝(20＋2 x)(300－10 x)
＝－20 x
2
＋600 x－200 x＋6 000
＝－20(x
2
－20 x＋100
－
100)＋6 000 对例4，老师须带领学生详
＝－20(x－10)
2
＋8 000． 细分析题意，解题时只点拨如何
由此可得当 x＝10时，y
max
＝8 000，假设未知量，启发学生讨论并尝
即每间租金为20＋10×2＝40元时，每试解答．
天租金的总收入最高为8 000元．

练习3 教材P88，练习第8题．
lll
＝－[x
2
－ x＋( )
2
－
( )
2
]
244
解函数应用题的一般步骤：
1. 设未知数(确定自变量和函数)；
2. 找等量关系，列出函数关系式；
学生阅读课本畅谈本节课
3. 化简，整理成标准形式(一次函
的收获，老师引导梳理，总结本
数，二次函数等)；
节课的知识点．
4. 利用函数知识，求解(通常是最
值问题)；
5. 写出结论．
教材 P 88，习题第3、4、7题．







函数最值问题是
函数应用中的重点同
时也是难点，此题的
设计目的是为了突破
学生这一思维障
碍．提高学生的建模
能力，同时进一步巩
固配方法在二次函数
中的应用．
在板书例题的过
程中，突出解题思路
与步骤．


对于例4的教学，让
学生读懂题意是解决
问题的关键．

每个例题 之后，
分别设计练习1，2，3，
让学生模仿例题解
答，强化数学建模思
想以 及熟练掌握函数
应用题的解题步骤．



小

结
梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结．
作
业


巩固拓展．

第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 有理指数(一)
【教学目标】
1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．
2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
零指数幂、负整指数幂的定义．
【教学难点】
零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．
【教学方法】
这节课主 要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，
既体现数学 的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的
a
m
m-n
(m＞n，a ≠ 0)
n
＝a
a
这一法则出发，通过取消m＞n 的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数
指数幂．在本节教学中，要以 取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与
意识，从而提高学生的学习 兴趣．
【教学过程】
环节







导

入
教学内容
在一个国际象棋棋盘上 放一些米
粒，第一格放1粒，第2格放2粒，
第3格放4粒……一直到第64格，那
么 第64格应放多少粒米？
第1格放的米粒数是1；
第2格放的米粒数是2；
第3格放的米粒数是2×2；

2个2

第4格放的米粒数是2×2×2；

3个2

第5格放的米粒数是2×2×2×2；
……
4个2

第64格放的米粒数是2×2×2×…×2.

63个2


师生互动 设计意图
学生在教师的引导下观察通过问题的引入
图片，明确教师提出的 问题，通激发学生学习的兴
过观察课件，归纳、探究答案． 趣．



在问题的分析过
师：通过上面的解题过程，程中，培养学生归纳推
你能发现什么规律？ 那么第64理的能力．

格放多少米粒，怎么表示？
学生回答，教师针对学生的

回答给予点评．并归纳出第64为引出a
n设下伏
格应放的米粒数为2
63
． 笔．

师：请用计算器求2
63
的值． 用计算器使问题
学生解答． 得到解决．

新
课


















新



课



















一、正整指数幂
1．定义
一般地，a
n
(n?N
+
) 叫做a的n次
幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指
数．并且规定：
a
1
＝a．

指数 (n?N
＋
)
a
n


幂
学生在初中已学过

此概念，用投影的形

式展现，学生容易联
学生理解概念． 想起以前的内容．


明确各部分的名
教师强调n是正整数． 称．通过强调n是正

整数，为零指数和负

整指数的引入作铺

垫．
底数


当n是正整数时，a
n
叫正整指数幂．



练习1 填空

(1) 2
3
×2
4
＝ ；a
m
?a
n
＝ ； 学生回顾正整指数幂的运
(2) (2
3
)
4
＝ ；(a
m
)
n
＝ ； 算法则，并尝试解决练习1、2． 通过练习，让学
练习1，学生分小组抢答；生回顾正整指数幂的2
4
a
m
(3)
3
＝ ；
n
＝ (m＞n，
2a
练习2，学生通过约分解得 运算律．

a≠0)；
2
3
3
＝1．
2

m
3
(4) (xy)＝ ；(ab)＝ ．

m
－
n

2
3
a
m
练习2 计算
3
． 师：如果取消
n
＝a
2a


(m＞n，a ≠ 0) 中m＞n的限制，


如何通过指数的运算来表示？ 由特殊到一般，
3
－
3

由具体的例子入手，
2
3
＝2
0

3
＝2
2
二、零指数幂 引出零指数幂的定
规定： 教师板书： 义．

a
0
＝1 (a≠0) 零指数幂

a
0
＝1 (a≠0)．

练习3 填空 师：请同学们结合零指数幂突破思维困境，
(1) 8
0
＝ ； 的定义完成练习3． 引入零指数幂．

(2) (－0.8)
0
＝ ； 学生解答．
练习4 式子 (a－b)
0
＝1是否恒成教师强调练习4中，等式成


立？为什么？ 立的条件，即a ≠ b．

练习5 计算 第2题的目的是

要让学生记住
2
3
2
3
(1)
4
； (2)
5
．
22
练习5，学生可通过约分解a
0
＝1 (a≠0)

答． 中的a≠0这一条件．

师：实数m与n的大小关


系除了m＞n，m＝n还有m＜


a
m
n．当m＜n时，运算法则
n
＝
a

三、负整指数幂

我们规定：
m
－
n
a一定成立吗？

教师板书课题．

新



课

1
a
－
1
＝ (a≠0)
a
1
a
－
n
＝
n
(a≠0, n?N
+
)
a

练习6 填空
(1) 8
–2
＝ ；(2) (0.2)
－
3
＝ ．
练习7 式子(a－b)
－
4
＝
1
是否
(a－b)
4
学生尝试解决教师提出的
问题．


教师板书：负整指数幂
1
a
－
n
＝
n
(a≠0, n?N
+
)，
a
并强调a的取值．

练习6由学生解答，练习7
要求小组合作探究解决．
教师针对学生的解答进行
点评，并强调练习7中的等式成
立的条件，即a ≠ b．

师：从数的分类可知，在定
义了零指数幂和负整指数幂以
后，我们就把正整 指数幂推广到
了整数指数幂的范围．


师：正整指数幂的运算法
则，对整数指数幂的运算仍然成
立．
板书运算法则．
a
m
通过演示将
n
的运算归
a
结到a
m
?a
n
中去，即
a
m
m
－
nm +(–n)
＝a
m–n
．
n
＝a?a＝a
a

学生解答，练习8要求小组
合作解决．

教师在讲解上述题目时，应
再现每题运算过程中用到的运
算律．



回顾本节主要内容，加深理
解零指数和负整指数幂的概念、
牢记运算律．






类比零指数的引
入，负整指数的引入
就顺理成章了．




练习7是为了让
学生注意，在负整指
数幂中底数a的取值
范围．

重新回顾实数的
分类，展示幂指数的
推广过程，帮助学生
理解“把 正整指数幂
推广到了整数指数幂
的范围”这句话．

使学生对幂的运
算法则给予重新认
识．







突出本节知识，
突出运算法则．





简洁明了地概括
本节课的重要知识，
使学生易于理解记
忆．

恒成立？为什么？

四、实数系

正整数

零
整数
有理数

负整数
分数
实数

无理数



五、整数指数幂的运算法则
a
m
?a
n
＝a；
(a
m
)
n
＝a
mn
；
(ab)
m
＝a
m
b
m
．





练习8
(1) (2x)
–2
＝ ；
(2) 0.001
–3
＝ ；
x
3
–2
(3)
(
2
)
＝ ；
r
x
2
(4)
2
＝ ．
bc
m+n



小

结

1．指数幂的推广
零指数幂

正整指数幂

负整指数幂

整数指数幂

2．正整指数幂的运算法则对整数指数
幂仍然成立：

(1) a
m
?a
n
＝a
m+n
；
(2) (a
m
)
n
＝a
mn
；
(3) (ab)
m
＝a
m
b
m
．



作
业
必做题：P98，练习A 第1题，
选做题：P103，习题第1题(9)．


标记作业．


针对学生实际，对课
后书面作业实施分层
设置，安排必做习题
和选 做习题两层．

4.1.1 有理指数(二)
【教学目标】
1. 了解根式的概念和性质； 理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．
2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
【教学重点】
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．
【教学难点】
对分数指数幂概念的理解．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决教学法． < br>在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算
性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对
根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有
理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的
实际情况，并没有给出严格的推证．
【教学过程】

环节



导

入
教学内容
1．整数指数幂的概念．
a
n
＝a
×
a
×
a
×
…
×a (n个a连乘)；
a
0
＝1 (a≠0)；
1
－
n
a＝
n
(a≠0，n?N
+
)．
a
2．运算性质：
a
m
?a
n
＝a
m+n
；
(a
m
)
n
＝a
mn
；
(ab)
m
＝a
m
b
m
．

一、根式有关概念
定义：一般地，若 x
n
＝a (n＞1，n?N)，则 x 叫
做a 的 n 次方根．

例如：
(1) 由3
2
＝9知，3是9的二次方根(平方根)；
由(－3)
2
＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；
(2) 由(－5)
3
＝－125知，－5是－125的三次方根
(立方根)；
(3) 由6
4
＝1 296知，6是1 296 的4次方根．
有关结论：
师生互动
师：上节课我们把正整
指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数
指数幂推广到分数指数幂，
进而推广到有理指数幂和
实 数指数幂呢？这节课我
们就来探讨这个问题．
师：首先来复习一下上
节课所学的内容．
学生回答教师提出的
问题，教师及时给予评价．
教师板书课题．


学生理解方根概念．



教师通过举例让学生
进一步理解方根的概念．


设计意图
以旧引新
提出问题，引入
本节课题．



复习上节
所学内容．


引入方根
的概念为下一
步引入分数指
数做基础．


使学生加
深对方根概念
的理解，为总
结出结论作铺
垫．




新

课

新



课

























(1) 当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数
的n次方根为负数．记作： 由方根的
概念引入其数
n
x＝a．
学生在教师的引导下学记法，为引入
(2) 当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为进一步理解根式的概念． 根式的概念作

相反数)．记作： 准备．

n
x＝±a．


(3) 负数没有偶次方根． 引入根式、

(4) 0的任何次方根都为0． 根指数的概念．

nn
当a有意义时，a叫做根式，n叫根指数．
学生重新构建根式、根

n
正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．
指数的概念，教师强调当a

n
4
有意义时，a叫做根式．

3
例如：2叫做2的3次算术根；－2不叫根



式，因为它是没有意义的．


二、根式的性质



n
n
(1) (a)＝a．


5
学生理解根式的性质，

3
35
例如，(27)＝27，(－3)＝－3．
将数学语
通过实例演示，将性质应用
言(符号)转化为
到运算之中．
n
n
(2) 当n为奇数时，a＝a；
使学
教师用语言叙述根式< br>文字语言，
生加深对性质
?
a（a≥0）
n
性质：
当n为偶数时，a
n
＝|a| ＝
?
.
?
－a（a＜0）
(1) 实数a的n次方根的n
的理解．

3
次幂是它本身；
3
3
3
例如：(－5)＝－5，
2
＝2；
(2) n为奇数时，实数a的n

4
次幂的n次方根是a本身；

24
5＝5，(－3)＝|－3|＝3．
n为偶数时，实数a的n次

观察下面的运算： 设置障碍，
幂的n次方根是a的绝对
11
使学生积极寻
值．
3
33
?3
(a)＝a＝a ①
找解决途径，从

22
而调动学生思

3
3
3
?3
2
(a)＝a＝a ②
维的积极性．
学生认真观察．

上面两式的运算，用到了法则 (a
m
)
n
＝a
mn
，

但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是

通过教师
11
学生 找到
在教师的引导下，学生
引导，
33
a连乘3次得到a，所以a可以看作是 a的3次方
使运算合理的
寻找解惑途径．
22
途径．

33
2
根；②式的含义是a连乘3次得到a，所以a可



以看作是a
2
的3次方根．


因此我们规定

12
引入正分

3
2
3
3
3
a＝a，a＝a，
数指数幂的概

以使运算合理． 念．

三、分数指数幂
学生在教师的引导下，

新



课


由特殊到一般，积极构建分
1
数指数幂的概念．
n
n
a＝a (a＞0)；

m

n
m
n
n
m
a＝a＝(a) (a＞0，m，n?N
+
，


m
且 为既约分数)．
n

m

－
1
n
a＝
m
(a＞0，m，n?N
+
，
师：负整数指数幂是怎
n
a
么定义的？如何来定义负
分数指数幂呢？
m
且 为既约分数) ．
n
学生在教师的引导下，

类比负整指数幂的定义，形

成负分数指数幂的概念．

四、实数指数幂的运算法则
(1) a
α
?a
β
＝a
α+β
； 师：至此，我们把整数
(2) (a
α
)
β
＝a
α β
； 指数幂推广到了有理指数
(3) (a b)
α
＝a
α
b
α
． 幂．有理指数幂还可以推广
以上a
α
，a< br>β
中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数． 到实数指数幂．使学生形成

实数指数幂的概念．

练习1
3＋2
32

555
8×8 ＝8＝8
1
＝8；

21
学生做练习．
33
22
8＝(8)＝2＝4；

111

1
＋
1
＋
1
＋
1
36
236236
2
33×3 ×3＝3×3×3×3
＝
3＝3＝


9；
213
21

3
3
4
3
34
32
4
(ab)＝(a)·(b)＝ab．



例1 利用函数型计算器计算(精确到0.001)：
2

2
3
－
1.52
(1) 0.2； (2) 3.14； (3) 3.1．
教师讲解例1第(1)题

的操作方法．

学生结合教材，完成例
例2 利用函数型计算器计算函数值． 1第(2)、(3)题，学习用计算
已知 f (x)＝2.71
x
，求 f (－3)，f (－2)，f(－1)，工具来求指数幂 a
b
的值．

f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)．

请同学们结合教材在小组内合作完成．


练习2
教材 P 98，练习A组 第3题，练习B组第3题．
1．
根式

学生在教师的引导下
回顾本节课的主要内容，加
一般地，我们规定：



类比负整
数指数幂的定
义，引入负分数
指数幂的概念．

将有理指
数幂推广到实
数指数幂，并给
出实数指数幂
的运算法则．


加深对有
理指数幂的理
解，并使学生进
一步掌握指数
幂的运算法则．






使学生掌
握函数型计算
器的使用．










使学生进
一步巩固函数
计算器的使用
方法．

简洁明了
地概括本节课


分数指数幂

小

结

2．
正整指数幂
零指数幂
负整指数幂

整数指数幂


有理指数幂

分数指数幂


实数指数幂


3．利用函数型计算器求 a
b
的值．
深理解根式和分数指数 幂
的概念；理顺实数指数幂的
推广过程；回顾计算器的使
用方法．

的重要知识，便
于学生理解记
忆．


理顺本节
指数幂的推广
思路，使学生思
维清晰．


作
业
必做题：教材 P 98，练习 B 组第1题；
选做题：教材 P 98，练习 B 组第2题．
针对学生
实际，对课后书
面作业实施分
层 设置，安排基
本练习题和选
做题两层．

4.1.2 幂函数举例
【教学目标】
1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．
2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
【教学重点】
幂函数的定义．
【教学难点】
会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．
【教学方法】
这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．
1
从函数 y＝x，y＝x
2
，y＝等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念 ．在
x
例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式， 讲解时，注意引
导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具 ，教师在讲授例
2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的 某些性质．
【教学过程】

环节






导

入
教学内容
1．指数幂
a
n
＝a×a×a×…×a (n个a连乘)
a
0
＝1；
师生互动 设计意图
复习上
节内容，为本
节学习做准
备．





通过实
例引入本节
课题，确定本
节的学习目
标．
学生在教师的引
导下，回顾指数幂的
有关定义及运算法
则．
1
a
-n
＝
n
(a≠0, n?N
+
)；
a

1

n
n
a＝a (a>0)；

m

m
n
m
n
a＝a (a>0，m，n∈N
+
，且为既约分数)；

n
m

－
1m
n
a＝
m
(a>0，m，n∈N
+
，且为既约分数)．
师：以上函数表
n
n
a
达式的共同特征是什
2．观察函数 么？你还能举出类似
1
－
的函数吗？
y＝x
2
，y＝x
3
，y＝x 及 y＝x．

学生观察函数的

表达式，回答教师提
出的问题．
一、幂函数的概念
一般地，形如
y＝x
?

的函数我们称为幂函数．

学生在教师的引
导下归纳幂函数的概
念．




新
课

由学生
自己归纳幂
函数的概念，
有利于 他们
把握和理解

新



课


























练习1 判断下列函数是不是幂函数
新概念．
学生回答练习1，

3
进一步理解幂函数的使学生
5
(1) y＝2 x； (2) y＝2 x；
概念． 针对学生的回加强对幂函
7
答， 教师结合定义点数概念的理
8
2
(3) y＝x； (4) y＝x＋3．
评． 解．


例1 写出下列函数的定义域：
1
在教师的引导下通过例
2
3
(1) y＝x； (2) y＝x；
利用指数幂的有关定题演示，使学
3
义，师生共同完成例生进一步掌
－
2
2
－
(3) y＝x； (4) y＝x．
题． 握求幂函数
解：(1) 函数y＝x
3
的定义域为R； 学生寻找规律，定义域的方
1
形成解题规律． 法．
2
(2) 函数y＝x，即y＝x ，定义域为[0，＋∞)；

师：由上例我们

1
－
2
(3) 函数y＝x，即y＝
2
，定义域为(－∞，0)∪(0，
x
可以看出，当幂函数

＋∞)； 的指数
?
为负整数

时，一般是先将函数

3
－
1
2
(4) 函数 y＝x，即 y＝其定义域为(0，＋∞)．
表达式转化为分式形

3
，
x
式；当幂函数的指数


?
为分数时，一般是总结规
练习2 求下列函数的定义域： 先将函数表达式转化律．
41
为根式，然后再来求

－－
32
－
3
(1) y＝x； (2) y＝x； (3) y＝x
．


函数的定义域．

教师根据学生的

二、幂函数的性质 解答进行点评，并给


例2 作出下列函数的图象： 予相应评价．
1
师：函数图象可

2
(1) y＝x； (2) y＝x；
以直观反映函数性

1
－
质，是研究函数性质使学生
(3) y＝x
2
； (4) y＝x．

的有利工具，请同学应用刚学过

们回顾一下，作函数的新知识．

(1)列表： 图象分为哪三步？

学生回答．


x … －3 －2 －1 0 1 2
…

学生分组完成列

y＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …

表．
1

… 1 1.41 1.73 …
y＝x
2


回顾作
y＝x
2
… 9 4 1 0 1 4 9 …

图过程，进一

步明确函数
1111
-1
y＝x …
－ －
－1 1 …

3223

图象是研究

函数性质的


有利工具．


(2)描点；

2




新


课





小
结

(3)连线．
幂函数的性质
幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质 和图
象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函
数都通过点(1，1)，都经过第一象 限等．

练习3 画出函数y＝x的图象，并指出其奇偶性、单
调性．
3
4
师生共同完成描
点和连线，有条件的
学校可利用计算机进
行作图 ．
教师结合函数图
象说明幂函数的性
质．



学生在教师的引
导下完成练习．

师生共同回顾幂
函数的概念，定义域
的求法以及幂函数的
图象和性质．



在画图
过程中，学会
与人合作．
使学生
对幂函数的
性质有简单
的了解．

复习作
图过程，并强
化学生读图
能力培养．
简洁明了概
括本节课的
重要知识，学
生易于理解
记忆．
基 于学
生实际，对课
后书面作业
实施分层设
置的同时设
置了计算机上的练习，让
学生自己在
操作过程中
寻找学习的
乐趣．

1．幂函数的定义
2．求幂函数的定义域
3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质
1．教材 P 100，练习A 第1题．

2．计算机上的练习
在同一坐标系中画出函数y＝x
3
与y＝x 的图象，
作业 并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系
(操作步骤参照教材172页)．

3

4.1.3 指数函数
【教学目标】
1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．
2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．
【教学重点】
指数函数的图象与性质．
【教学难点】
指数函数的图象性质与底数a的关系．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．
本节课由生活中 的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先
通过列表——描点 ——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数
的性质．为了加强 学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，
体现练为主线，讲 练结合的教学方法．
【教学过程】

环节


导

入
教学内容
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经
过1年 剩留的质量约是原来的84%．试写出这种
物质的剩留量随时间变化的函数解析式．

师生互动
教师分析解题的
过程，得到y＝0.84
x
．



设计意图
通过实例引
入，让学生得到
指数函数的一些
特征，从而有了
感性认识，对理
解和掌握指数函
数的定义、性质
会起 到很好的帮
助作用．
由实例的引
入，进而归纳出
这种自变量在指
数 位置上的函数
——指数函数．





对于a＞0，
且a≠1这一点，
学生容易忽略，
通过讨论研究，





新

课






一、指数函数的定义
一般地，函数
y＝a
x
(a＞0且a?1，x?R)
叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．

探究1
y＝2×3
x
是指数函数吗？


探究2
为什么要规定a＞0，且a≠1呢？
(1) 若a＝0，
则当x＞0时，a
x
＝0；
当x≤0时，a
x
无意义．
教师板书课题．




通过探究问题，教
师强 调指数函数的解
析式y＝a
x
中，a
x
的系
数是1．

学生分组合作探
究教师提出的问题．教
师在学生分组探究的
过程中 要注意巡视指

新



课























(2) 若a＜0，
则对于x的某些数值，可使a
x
无意义．
导．


11
如 (－2)
x
，这时对于x＝ ，x＝ ，…等等，
42


在实数范围内函数值不存在．

(3) 若a＝1，
则对于任何x?R，a
x
＝1，是一个常量，没有


研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且


a?1．
在规定以后，对于任何x?R，a
x
都有意义，

且 a
x
＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是


(0，＋∞)．



练习1 指出下列函数哪些是指数函数：

(1) y＝4?3
x
； (2) y＝?
x
；

(3) y＝0.3
x
； (4) y＝x
3
．

师：函数的图象是
二、指数函数的图象和性质 研究函数性质的有力
那么指 数函数的
1
x
工具，
x
在同一坐标系中分别作出函数y＝2和y＝( )
2
图象是怎样的？如何
的图象． 作指数函数的图象
(1)列表：略． 呢？

(2)描点：略．
(3)连线：略． 教师引导学生一
起把描出的点用光滑
y
的曲线连接起来，得到
x
1
x
x
指数函数y＝2的图
y＝()
y＝2
2
9
象．
8

7
重复描点、连线的
6
步骤，在同一坐标系中
5
4
3
2
1
O
－3
－2
－1
1
2
3
x

1
练习2 作函数y＝3
x
与y＝()
x
的图象．
3





可以加深学生的
印象，从而把新
旧知识衔接得更
好．同时又可以
强化学生对指数
函数的定义的理
解记忆．
















让学生完成
画图过程，从画
图过程中加深对
指数函数的感性
认识．


有条件的学
校可以让学生通
过计算机画图软
1
完成指数函数y＝()
x
2
件上机操作．

的图象．


请同学分组完成

练习2，教师巡查指导．

学生完成题目后，

利用实物投影将学生


的解答投影到屏幕．


师：指数函数：

1
y＝2
x
，y＝()
x
，y＝3
x
2

新



课

























探究3 11
观察y＝2
x
，y＝()
x
，y＝3
x
与 y＝()
x
的图象，
23
么共同的特征？又有
哪些不同？
找出图象特征．

(1) 图象向左右无限延伸；

(2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接
师：你能用学过的
近于x轴；
数学语言来表示这些
函数的性质吗？
(3) 图象都经过点(0，1)；
教师引导学生用
(4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；
数学语言来表示这些
11
a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降．
函数的性质．
23

探究4

(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义


域为R”；

(2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限
学生分组，采用小
接近 于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)；
组合作形式完成．
(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，


a
x
＝1”；

(4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；

11
a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降”揭

23

示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a

＜1时，指数函数是减函数”．

表4-1 指数函数的图象与性质
师生共同完成该
a＞1 0＜a＜1
表．


y y

图

象

(0,1)
y＝1 y＝1
(0,1)

x x
O O


定义

R
域

值域

(0，＋?)

(0，1)
定点

增函数 减函数
单调

x≥0时，y≥1； X≥0时，0＜y≤1；
性

x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1


全体学生一起回
练习3
答．
(1) 指数函数y＝a
x
，当 时，函数是增

函数；当 时，函数是减函数．
1
与y＝()
x
的图象有什
3
为了学 习指
数函数的性质，
先引导学生观察
四个函数的图象
特征，从而顺理
成章地总结出指
数函数的性质，
这符合人认识问
题的一般规律：
由特殊到一般 ，
学生很容易接
受．

锻炼学生的
口头表达能力以
及文字语言与数
学语言的转化能
力．

























设置本练习
其目的为了进一
步强化学生对指

新



课



(2)若函数f(x)＝(a＋1)
x
是减函数，则a的取值范围
是 ．

例1 用指数函数的性质，比较下列各题中两个值
的大小：
(1) 1.7
2.5
和1.7
3
； (2) 0.8和0.8．
解 (1) 考察函数y＝1.7
x
，
它在实数集上是增函数．
因为 2.5＜3，所以 1.7
2.5
＜1.7
3
．
请同学们用函数的图象来验证一下答案是否
正确？
(2) 考察函数y＝0.8
x
，
它在实数集上是减函数．
因为 －0.1＞－0.2，
所以 0.8＜0.8．
请同学们用计算器验证一下答案是否正确？
练习4 比较下列各题中两个值的大小：
(1) 0.7
0.8
0.7
0.7
；
(2) 1.1 1.1；
(3) 如果2
n
＜2
m
，则n m．
例2 求函数 y＝3
x
－3 的定义域．
解：要使函数有意义，则有
3
x
－3≥0，
所以 3
x
≥3，
所以 x≥1．
所以函数的定义域为 [1，＋∞)．

－
2.1
－
2< br>－
0.1
－
0.2
－
0.1
－
0.2



小

结
练习5 求函数 y＝2
x
－4 的定义域．
1．指数函数的定义；
2．指数函数的图象与性质；
3．应用：
(1) 比较大小；
(2) 求函数的定义域．
1． 必做题：教材 P102，练习 A 组 第2题；
选做题：教材 P102，练习 B 组 第2题．

2．计算机上的练习
1
在同一坐标 系中画出函数y＝10
x
与y＝()
x
的图
10
象，并指出 这两个函数各有什么性质以及它们的
图象关系(操作步骤参照教材167页)．
数函数性质的掌
握．
教师强调：对于比

较大小的问题，若是底通 过构造指
数相同，通过构造一个数函数来比较两
指数函数，用指数函数值的大小，并让
单调性来解决． 学生采用不同的

途径来进行检
学生画图验证． 验．


学生用计算器验

证．




学生练习并解答．





学生体会求定义增加本例为
域的方法． 学生顺利解答课

后相关练习及习

题做基础．


加深训练．

师生共同回顾本
节主要内容，加深理解
指数函数的概念、图象
与性质．

标记作业．


简洁明了概
括本节课的重要
知识，学生易于
理解记忆．

针对学生实
际，对课后书面
作业实施分层设
置，安排基本练
习题和计算机上< br>的练习两层．
作

业

4.2.1 对数
【教学目标】
1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．
2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．
3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．
【教学重点】
对数的概念，对数式与指数式的相互转化．
【教学难点】
对数概念及性质的理解掌握．
【教学方法】
这节课主要采用启发式和分组合作教 学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提
供各种可能的参与机会，调动学生学习的 积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生
从实例出发，认识对数的模型，体会引入 对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，
通过课堂练习、学生讨论的方式来加深 理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导
下，充分地动手、动口、动脑，掌握学 习的主动权．
【教学过程】
环节


导

入
教学内容
1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万
世不竭．
(1)取5次，还有多长？
(2)取多少次，还有0.125尺？
2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细
胞的个数为4 096个？
2
x
＝4 096．





新

课







一、对数的概念
师生互动
学生通过课件的演
示，在教师的带领下明确
问题内涵．
师：这两个问题都是
已知底数和幂的值求指
数的问题．


设计意图
通过生活实例引
入，体现数学的应用性，
引发学生的好奇心．

展示分析问题的过
程，化解问题的难度，
使学生通过寻找规律，
归 纳问题的答案．









准确理解对数定义
中底数的限制，为以后
对数函数定义域的确定
作 准备．同时注意对数
的书写，避免因书写不
规范而产生的错误．
教师给出对数的定
一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b
义，并举例说明：
因为4
2
＝16，所以2
次幂等于N，即 a
b
＝N，那么幂指数 b
是以4为底16的对数；
叫做以a为底 N的对数．
因为4
3
＝64，所以3
是以4为底64的对数．


“以a为底 N的对数b”记作


b＝log
a
N (a＞0且a≠1)，
教师强调规范的书
其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
写格式，底数的限制，并
引导学生讨论真数N的取
注意：
值．
(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；

新



课




























(2) 对数的书写格式；
(3) 对数的真数大于零．

二、对数式与指数式的关系

由对数的定义可知， a
b
＝N与b＝
让学生了解对数式
教师启发引导学生与指数式的关系，明确< br>归纳指数式与对数式的对数式与指数式形式的
log
a
N两个等式所表示的是a ，b，N三
转换关系． 区别；a，b和N位置的
个量之间的同一关系的两种不同表示

不同，及它们的含义．互

化体现了等价转化的数
形式．例如：3
2
＝9
?
2＝log
3
9．
学生分组合作并抢学思想．
对数式与指数式的互化：

答．
a
b
＝N ? b＝log
a
N

练习1
本练习由学生独立让学生在解决问题的同
(1) 将下列指数式写成对数式：
思考完成，从而使学生熟时归纳总结其中的规
2
2
＝4； 6
2
＝36；
悉对数式与指数式的相律，为学习对数的性质
7.6
0
＝1； 3
4
＝81．
互转化，加深对对数的概做准备．
(2) 将下列对数式写成指数式：
念的理解．并要求每位学

log
3
9＝2； log
4
16＝2；

生会对数式与指数式互
log
5
125＝3； log
7
49＝2．

化．
练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其


中 a＞0且 a≠1)：


2
1
＝2； a
1
＝a；

6
0
＝1； a
0
＝1．


三、对数的性质
师：通过练习二，你

(1) log
a
a＝1，即底数的对数等于1；

能得到什么结论？
(2) log
a
1＝0，即1的对数等于零；

学生分组讨论得出

(3) 0和负数没有对数．
结论．

1
例1 求log2
2，log
2
1，log
2
16，log
2
．

2

解 (1) 因为 2
1
＝2，
学生解答． 由学生从特殊到一
所以 log
2
2＝1；

般，归纳出对数的性质．
(2) 因为 2
0
＝1，所以 log
2
1＝0；

对提出的问题要求
(3) 因为 2
4
＝16，所以 log
2
16＝4；

小组合作解决．
11
－
1
(4) 因为 2＝，所以 log
2
＝－1．

22
师：强调lg
N的底数是

四、常用对数

10，而不是没有底数
．

以10为底的对数叫做常用对数．为

了简便，log
10
N简记作 lg
N
．

例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．

1
解 (1) 因为 10＝10，

掌握常用对数的特
所以 lg10＝1；

殊表示．
2
(2) 因为 10＝100，所以 lg100＝2；

－
2
(3) 因为 10＝0.01，所以lg0.01＝－2．

学习应用计算器求
例 3 利用计算器求对数(精确到
学生抢答． 对数，让学生体会常用

新

课





小
结
0.000 1)．
lg2 001； lg0.618；
lg0.004； lg396.5．
练习3 求下列各式的值
(1) lg1＋lg10＋lg100；
(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．
一、对数
二、指数式与对数式的关系式
a
b
＝N ? b＝log
a
N
三、常用对数
以10为底的对数叫做常用对数，简
记作 lg
N
．



学生独立完成．
对数的方便性．


知识强化训练．


用最简洁的语言归纳本
节课的要点，使学生更
加明确本节课的要点．


师生共同回顾本节主要
内容，加深理解对数的概
念、牢记指对关系式．



作
业


必做题：教材P108，练习B组第1题；

选做题：教材P108，练习B组第3题．
结合学生实际，书
面作业实施分层设置，
安排基本练习题和选做
题．

4.2.2 积、商、幂的对数
【教学目标】
1. 掌握积、商、幂的对数运算法则，并会进行有关运算．
2. 培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．
3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
【教学重点】
积、商、幂的对数运算法则的应用．
【教学难点】
积、商、幂的对数运算法则的推导．
【教学方法】
本节教学采用引导发现式教学方 法，并充分利用多媒体辅助教学，体现“教师为主导、学生为主体”的
教学原则．通过教师在教学过程中 的点拨启发，使学生主动思考．通过分组合作的教学方式，使学生在合
作中快乐学习,培养学生的团结协 作能力和集体主义情操．通过设置三组“低台阶，小坡度”的练习，满足各
层次学生的学习需求，从而培 养学生的计算能力和学习数学的兴趣．
【教学过程】
环节



导

入
教学内容
1．指数式与对数式的关系：
师生互动 设计意图
通过学生抢
答，使全体学生回
顾有关旧知识，为
对数性质的推导铺
平道路．
在探究积、商、
幂的对数过程中，
主要运用指 数式与
对数式的相互转
换，因此在复习中
要强化这一知识
点．






小组讨论的过
程，是一个团结协
作的过程，培养学
生的团队精神和团
结合作能力．

师：以前，我们学习过数的
加、减、乘、除、乘方、开方，
若指数式 a
b
＝N，则 log
a
N＝b． 数的加减乘除乘方开方都有自
2．指数幂的运算法则 己的运算规律和运算法则，那
(1) a
m
?a
n
＝a
m
＋
n
；
么，我们刚学习的对数运算有什
(2) (a
m
)
n
＝a
mn
； 么样的运算法则呢？
(3) (ab)
m
＝a
m
b
m
． 学生在教师的引导下，明确

教师提出的问题后，学生抢答．




新

课





探究1 已知 log
a
M，log
a
N (M，N＞
0)，求 log
a
MN．
解 设 log
a
M＝p，log
a
N＝q，
根据对数的定义，可得
M＝a
p
，N＝a
q
，
＋
因为 MN＝a
p
a
q
＝a
pq
，
所以 log
a
(MN)
＝p＋q＝log
a
M＋log
a
N．
探究2 已知 N
1
，N
2
… N
k
都是大于
0的数，log< br>a
(N
1
N
2
… N
k
)等于什么？
结论：
log
a
(N
1
N
2
…N
k
)
教师提出探究问题，学生通
过小组讨论，归纳，探究问题的
答案．

在学生探究后，教师给出问
题的解答过程．




学生解答，分组合作．教师
巡视并给予指导．

新



课
























＝log
a
N
1
＋lo g
a
N
2
＋…＋log
a
N
k
．

探究3
已知 log
a
M，log
a
N (M，N＞0)．
M
求 log
a
．
N
解 设 log
a
M＝p，log
a
N＝q．
根据对数的定义，可得
M＝a
p
，N＝a
q
．







学生通过讨论后，教师给出
解答过程．

Ma
p
pq
因为 ＝
q
＝a
－

，
Na


M
所以 log
a

N


＝p
－
q＝log
a
M－log
a
N．


探究4
已知 log
a
M (M＞0)，求 log
a
M
b
．



解 设 log
a
M＝p，
由对数的定义，可得 M＝a
p
．


因为 M
b
＝(a
p
)
b
＝a
bp
，
所以 log
a
M
b
＝b p＝b log
a
M．


即 log
a
M
b
＝b log
a
M．

结论：

(1) log
a
M N＝log
a
M＋log
a
N
．
(M＞0，N＞0) 教师引导学生对探究问题
引申：log
a
(N
1
N
2
…N
k
) 做总结，并写出结论，学生在总
＝log
a
N
1
＋log
a
N
2
＋…＋loga
N
k
． 结的过程中理解、记忆公式．

(N
1
＞0，N
2
＞0，…N
k
＞0)
正因数积的对数等于各因数对数


的和．

M
(2) log
a
＝log
a
M－log
a
N
．
N


(M＞0，N＞0)
两个正数商的对数等于被除数的


对数减去除数的对数．
(3) log
a
M
b
＝b log
a
M
．
(M＞0，N＞0)

正数幂的对数等于幂的指数乘以


幂的底数的对数．
例1 用 log
a
x，log
a
y，log
a
z 表示下

列各式： 学生解答，教师对学生的解
答给予评价．
xy
(1) log
a
；
z

35

(2) log
a
(x y)；

x
(3) log
a
；
yz


























板书结论，有
利于学生比较记
忆．
明确各部分的
名称，通过强调各
部分的名称使学生
正确理解公式．








通过练习，让
学生理解对数的运
算法则．并会熟练
应用．

新



课

x
2
y
(4) log
a
．
3
z
解 (1) log
a
3
5
xy
＝log
a
(x y)
－
log
a
z
z
＝log
a
x＋log
a
y
－
log
a
z；
35
(2) log
a
(x y)＝log
a
x＋log
a
y
＝3 log
a
x＋5 log
a
y；
(3) log
a
x
＝log
a
x －log
a
(y z)
yz
＝log
a
x
－(log
a
y＋log
a
z)
1
＝ log
a
x－log
a
y－log
a
z；
2
x
2
y
2

－


(4) log
a
＝log
a
(x y
2

z
3
)
3
z
＝log
a
x＋log
a
y＋log
a
z
2
1

2
1
－


3
11
1
2

11
＝2 log
a
x＋ log
a
y
－
log
a
z．
23
练习1 请用 lg x，lg y，lg z，
lg(x＋y)，lg(x－y) 表示下列各式：
(1) lg(x y z)； (2) lg (x＋y) z；
x y
2
(3) lg (x－y) ； (4) lg ．
z
22























教师用投影仪显示练习，对
照对数的运算法则，要求学生分
组合作，并抢答．













学生解答，对问题3、4要
求小组合作解决．
教师点评突出本节知识点，
突出运算法则．






















培养学生的竞
争意识，勇于显示
自己．















例2 计算：
5
lg100； log
2
(4
7
×2
5
)．
解 lg100
12
＝ lg 100＝；
55
log
2
(4
7
×2
5
)
＝log
2
4
7
＋log
2
2
5

＝7 log
2
4＋5 log
2
2
＝14＋5
＝19．

练习2 计算
(1) log
3
(27×9
2
)；
(2) lg 100
2
；
(3) log
2
6－log
2
3；
(4) lg 5＋lg 2．
5

小
结
1．log
a
M N＝log
a
M＋log
a
N
M
2．log
a
＝log
a
M－log
a
N
N
3．log
a
M
b
＝b log
a
M
师生共同回顾本节主要内
容，加深理解、牢记运算律．

简洁明了概括
本节课的重要知
识，学生易于理解
记忆．

针对学生实
际，对课后书面作
业实施分层设置．
作
业

必做题：
教材P110，练习B组第 1、2题；
选做题：
教材P110，练习B组第3题．

4.2.3 换底公式与自然对数
【教学目标】
1. 掌握换底公式，了解自然对数，能利用换底公式求对数值．
2. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力．
3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
【教学重点】
换底公式．
【教学难点】
利用换底公式求值、化简及证明．
【教学方法】
本节采用启发引导式教学，并利用多媒体以体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则．
通 过一个特殊例子导出课题．针对本节课的特点，教师应多引导，多启发，与学生之间进行适当交流
和讨论 ，在应用换底公式时可设定不同层次的题目，让各层次同学都能掌握公式，从而培养学生学习数学
的兴趣 和运用公式的能力．
【教学过程】
环节






导

入
教学内容
在生物科学中，常常要研究
某种细胞的分裂问题：
某种细胞第1次分裂，1个
分裂为2个，第二次分裂，2个
分裂为4个……，问经过多少次
分裂，1个这样的细胞分裂的 总
数为4 096个？
将对数式转化为指数式：
4 096＝2
x
．
两边取常用对数得
lg 4 096＝lg 2
x
．

即 lg 4 096＝x lg 2
x＝
lg 4096

lg 2
师生互动
教师通过课件展示回顾4.2.1节
的引入实例，并提出问题．
师：该问题也就是如果知道最终
分裂得到的细胞y ＝ 4 096个，我们
能否求出分裂的次数x？
生：log
2
y＝x．
师：像 log
2
4 096 这样的对数值，
是不能直接从常用对数表中查出也不
能用计算器求出的．怎么办？
学生探究问题的解决方式．
师：我们可以利用计算器求常用
对数的值，那么能否将所 求以2为底
的对数换成以10为底的常用对数？
师：如何换底？
设计意图
＝12
通过对数的应用
例子，提出新的问题
激发学生好奇心，提
高学生学习兴趣．


提出和本节课密
切相关的问题，让学
生思考，充分发挥学
习小组的作用，展开
热烈的讨论．


特殊例子的推导
学生分组 讨论，思考求
x
的思路，
找出解决问题的方法． 为学习后面的换底公
教师在学生探究的基础上给出问式打好基础．

题的解答过程．
教师板书课题．




换底公式的证明
不做教学要求，教师
可针对学生的情况取
舍．

使学生对换底公
式的底数有清醒的认
识即大于零且不等于
1．



新

课



一、对数的换底公式
一般地，有下面的公式
log
a
N
log
b
N＝．
log
a
b
注意
(1) 成立前提：
教师强调使用换底公式要注意的
两个问题，使学生对两项注意有深刻
b＞0且 b≠1，a＞0，且a≠1．
认识．
(2) 公式应用：对数换底公式的

新



课

作用在于“换底”，这是对数恒
等变形中常用的工具．通常换成
以10为底．
二、自然对数
在科学技术中常常使用以





教师直接给出自然对数定义，注
意e是一个常数，是一个无理数．
无理数 e＝2.718 28…为底的对

数，以e为底的对数叫做自然对


数，记作：ln N．

探究
师：换底公式的第一次应用，换
1．利用换底公式如何得到自然
成以10为底．
对数和常用对数的关系？
lg Nlg N

ln N＝≈ ．
lg e0.4343


2．利用计算器直接计算：
教师指导学生使用计算器求解．
ln 34≈3.526 4．


练习1、2学生独立完成，教师巡
练习1 将下列对数换成以10
视指导．
为底的常用对数．

log
2
6； ln 10．

练习2 求下列各式的值

e
ln x
； ln e
2
．
练习3、4、5有一定难度，需要
练习3 求值：
小组合作完成，教师巡视指导．
log
8
9?log
27
32； log
5
4?log
8
5．

练习4 化简：log
5
3?log
27
125．

练习5 求证：
log
x
y?log
y
z＝log
x
z．











使学生了解自然
对数与常用对数的关
系，揭示数学知识的
普遍联系．




将例题直接转化
为练习，同时增加同
类练 习，由学生自己
寻找解题方法，让学
生感觉自己是最棒
的．






小
结
1．换底公式：
log
a
N
log
b
N＝
log
a
b
2．自然对数：ln N
教师总结本节内容之一：换底公
点明本节课的重
式，要理解推导过程，掌握公式内容，
点知识，便于学生记
会用公式进行比较简单的计 算和化
忆．
简．
面对学生实际，
对课后书面作业实施
分层设置． 作
业

必做题：
教材P112，练习A组第2题，
练习B组第3题．
选做题：
教材P112，练习B组第1、2
题．