人教版高中数学必修课后习题答案详解

第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略. 2、
u
AB
uur
，
u
BA
uur
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.
3、
u
AB
uur
?2，
u
CD
uur
?2.5
，
u
EF
u ur
?3
，
u
GH
uur
?22
.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1、 （2
B
45°
O
30°
C
A
D
.
C
A
B
3、与
u
DE
uur
相等的向量有：u
AF
uur
,
u
FC
uur
；与
u
EF
uur
相等的向量有：
u
BD
uur
,
u
DA
uur
；
与
u
FD
uur
相等 的向量有：
u
CE
uur
,
u
EB
uur
.
4、与
r
a
相等的向量有：
u
CO
uur,
u
QP
uur
,
u
SR
ur
；与< br>r
b
相等的向量有：
u
PM
uuur
,
u< br>DO
uur
；
与
r
c
相等的向量有：
u< br>DC
uur
,
u
RQ
uur
,
u
S T
uur

5、
u
AD
uur
?
33
2
. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
习题2.1 B组（P78）
）

1、海拔和高度都不是向量.
uuuur
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6对，
uuuuruuuruuur
与
AM
反向的也有6 对；与
AD
同向的共有3对，与
AD
反向的也有6对；模为
2
的向量共有4对；模为2的向量有2对
2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
uuur
uuur
1、图略. 2、图略. 3、（1）
DA
； （2）
CB
.
r
urur
ur
4、（1）
c
； （2）
f
； （3）
f
； （4）
g
.
练习（P87）
ur
uuur
uuuuuur
uu
ruuur
1、图略. 2、
DB
，
CA
，
A C
，
AD
，
BA
. 3、图略.
练习（P90）
1、图略.
uuur
5
uuuruuurr2
uuu
2、
AC?AB
，
BC??AB
.
77
uuur
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
uuur
与
AB
反向.
rr
r rr
8
r
7
r
1
r
3、（1）
b?2a< br>； （2）
b??a
； （3）
b??a
； （4）
b?a
.
429
4、（1）共线； （2）共线.
rr
r
11
r
1
r
2ya
5、（1）
3a ?2b
； （2）
?a?b
； （3）. 6、图略.
123
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走
102
km；
（4）向西南走< br>52
km；（5）向西北走
102
km；（6）向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.

uuuruuur
3、解：如右图所示：
AB
表示船 速，
AD
表示河水
的流速，以
AB
、
AD
为邻边 作
□
ABCD
，则
B
C
uuur
AC
表示船实际航行的速度.
uuuruuur
在Rt△ABC中，
AB?8
，
AD?2
，
A
D
水流方向
uuur
所以
AC?
uuur
2
uuur
2
AB?AD?8
2
?2
2
?217

因为
tan?CAD?4
，由计算器得
?CAD?76?

所以，实际航行的速度是
217
kmh
，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
rrr
uuur
uuur
uuur
4、（1）
0
； （2）
AB
； （3）
BA
； （4）
0
； （5）
0
； （6）
CB
； （7）
r
0
.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三
个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段
一定能构成三 角形.
rr
rrrr
7、略. 8、（1）略； （2）当
a?b
时，
a?b?a?b

rrrrr
r
r
1
r
9、（1）
?2a?2b
； （2）
10a?22b?10c
； （3）
3a?b
； （4）
2(x?y)b
.
2
rrurrruruurrruruur
10、
a?b?4e
1
，
a?b??e
1
?4e
2
，
3a?2b??3e
1
?10e
2
.
uuu rruuurr
11、如图所示，
OC??a
，
OD??b
，
uuurrruuurrr
DC?b?a
，
BC??a?b
.

（第11题）
rrr
uuu
uuur
1
ruuu
uuur
3
r
r
1
rr
12、
AE?b
，
BC?b?a
，
DE?(b?a)
，
DB?a< br>，
44
4
uuur
3
r
uuur
1
rruuur
1
uuuur
1
rr
EC?b
，
D N?(b?a)
，
AN?AM?(a?b)
.
4
848
1 3、证明：在
?ABC
中，
E,F
分别是
AB,BC
的中点 ，
（第12题）

所以
EFAC
且
EF?
uuur
1
uuur
即
EF?AC
；
2
uuur
1
uuur
同理，
HG?AC
，
2
uuuruuur
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组（P92）
1
AC
，
2
G
D
C
F
H
E
A
（第13题）
B
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
乙
丙rr
2、不一定相等，可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
uu uuruuuruuuur
uuur
1
uuuruuuur
1
uuu r
3、证明：因为
MN?AN?AM
，而
AN?AC
，
AM ?AB
，
33
uuuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、（1）四边形
ABCD
为平行四边形，证略
（2）四边形
ABCD
为梯形.
（第1题）
甲
C
B
uuur
1
uuur
证明：∵
AD?BC
，
3
∴
ADBC
且
AD?BC

∴四边形
ABCD
为梯形.
（3）四边形
ABCD
为菱形.
D
（第4题(2)）
A
uuuruuur
证明：∵
AB?DC
，
∴
ABDC
且
AB?DC

∴四边形
ABCD
为平行四边形
C
B
A
D
（第4题(3)）
uuuruuur
又
AB?AD

∴四边形
ABCD
为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
M
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD

A
B
D
C
O
（第5题）

uuuruuuruuuruuur
而
OA?OC?OB?OD

uuuruuuruuuruuur
所以
OA?OB?OD?OC

uuuruuur
所以
BA?CD
，即
AB
∥
CD
.
因此，四边形
ABCD
为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
rrrrrrrr1、（1）
a?b?(3,6)
，
a?b?(?7,2)
； （2）
a?b?(1,11)
，
a?b?(7,?5)
；
rrrrrrrr
（3）
a?b?(0,0)
，
a?b?(4,6)
； （4）
a?b?(3,4)
，
a?b?(3,?4)
.
rrrr< br>2、
?2a?4b?(?6,?8)
，
4a?3b?(12,5)
.
uuuruuuruuuruuur
3、（1）
AB?(3,4)
，
BA?(?3,?4)
； （2）
AB?(9,?1)
，
BA?(?9,1)
；
uuuruuuruuuruuur
（3）
AB?(0,2)
，
BA?(0,?2)
； （4）
AB?(5,0)
，
BA?(?5,0)

uuuruuur
uuuruuur
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，4、 所以
AB?CD
.所以
AB
∥
CD
.
AB
∥
CD
. 证明：
1014
5、（1）
(3,2)
； （2）
(1,4)
； （3）
(4,?5)
. 6、
(,1)
或
(,?1)

33
uuur
3uuuruuurr
3
uuu
7、解：设
P(x,y)
，由点< br>P
在线段
AB
的延长线上，且
AP?PB
，得
AP? ?PB

22
uuuruuur

AP?(x,y) ?(2,3)?(x?2,y?3)
，
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x,?3?y )

3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?

3
2
?
y?3??(?3?y)
?
?2
?
x?8< br> ∴
?
，所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
?
y??15
习题2.3 A组（P101）
1、（1）
(?2,1)
； （2）
(0,8)
； （3）
(1,2)
.
说明：解题时可设
B(x,y)
，利用向量坐标的定义解题.

uuruuruur
2、
F
1
?F
2
?F
3?(8,0)

uuuruuur
3、解法一：
OA?(?1,?2)< br>，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

uuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuur
而
AD?BC
，
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的坐
标为
(1,5)
.
解法二：设
D(x,y)
，则
u
AD
uur
?(x?(?1),y?(?2) )?(x?1,y?2)
，
u
BC
uur
?(5?3,6?(?1))?(2,7)

由
u
AD
uur
?
u
BC
uur
可得，< br>?
?
x?1?2
?
y?2?7
，解得点
D
的 坐标为
(1,5)
.
4、解：
u
OA
uur
?( 1,1)
，
u
AB
uur
?(?2,4)
.

u
AC
uur
?
1
u
AB
uur
?(?1,2)
，
u
AD
uur
?2
u
AB
uur
?(?4,8)
，
u
AE
uur
1
uuu r

u
OC
uur
?
u
2
?? AB?(1,?2)
.
OA
uur
?
u
2
AC< br>uur
?(0,3)
，所以，点
C
的坐标为
(0,3)
；

u
OD
uur
?
u
OA
uur
?
u
AD
uur
?(?3,9)
，所以，点
D
的坐标为
(?3,9)
；

u
OE
uur
?
u
OA
uur
?
u
AE
uur
?(2,?1)
，所以，点
E
的坐标为
(2,?1)
. < br>5、由向量
r
a,b
r
共线得
(2,3)?
?
(x,?6)
，所以
2
?
3
，解得
x?
6、u
AB
uur
?(4,4)
，
u
CD
uur< br>?(?8,?8)
，
u
CD
uur
??2
u
AB
uur
x?6
?4
.
，所以
u
AB
uur
与
uuu
CD
r
共线.
7、
u
O A
uur
?
?2
u
OA
uur
?(2,4)
，所以点
A
?
的坐标为
(2,4)
；

u< br>OB
uur
?
?3
u
OB
uur
?(?3, 9)
，所以点
B
?
的坐标为
(?3,9)
；
u
A
u
?
u
B
ur
?
?(?3,9)?(2 ,4)?(?5,5)

习题2.3 B组（P101）
1、
u
OA
uur
?(1,2)
，
u
AB
uur
?(3, 3)
.
当
t?1
时，
u
OP
uur
?
u
OA
uur
?
u
AB
uur
?
u
OB
uur
?(4,5)
，所以
P(4,5)
；
当
t?
1
2
时，
u
OP
uur
?
u
OA
uur
?
1
u
AB
uur?(1,2)?(
3
,
3
)?(
5
,
7
)
，所以
P(
5
,
7
当
t??2
时 ，
u
OP
uur
?
u
OA
uur
2222 2
22
)
；
?2
u
AB
uur
?(1, 2)?(6,6)?(?5,?4)
，所以
P(?5,?4)
；
故

uuuruuuruuur
当
t?2
时，
OP? OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
，所以
P(7,8)
.
uuuruuur
uuuruuur
2、（1）因为
AB?(?4,?6)
，
AC?(1,1.5)
，所以
AB??4AC
，所以
A
、
B
、
C
三
点共线；
uuuruuuruuuruuur
（2）因为
PQ?(1.5,?2)
，
PR?(6,?8)
，所以
PR?4PQ
，所以
P
、Q
、
R
三
点共线；
uuuruuur
uuuruuu r
EF?(?8,?4)EG?(?1,?0.5)
（3）因为，，所以
EF?8 EG
，所以
E
、
F
、
G
三点共线.
ur ur
uruurr
?
2
u
3、证明：假设
?
1?0
，则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
，得
e
1
??e
2
.
?
1
uruururuur
所以
e
1
,e
2
是共线向量，与已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.
uuur
uuururuur
4、（1）
OP?19
. （2）对于任意向量
OP?xe
1
?ye
2
，
x,y
都是唯一确
定的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
urrurrurr
1
1、
p?q?p?q?c os?p,q??8?6??24
.
2
rrrr
2、当
a?b?0
时，
?ABC
为钝角三角形；当
a?b?0
时，
?ABC< br>为直角三角形.
3、投影分别为
32
，0，
?32
. 图略
练习（P107）
rr
rr
2222
1、
a?(?3)? 4?5
，
b?5?2?29
，
a?b??3?5?4?2??7
.
rr
rrrrrrrrr
2
2、
a?b?8
，
(a ?b)(a?b)??7
，
a?(b?c)?0
，
(a?b)?49
.

rr
rr
3、
a?b?1
，
a?13< br>，
b?74
，
?
?88?
.
习题2.4 A组（P108）
rr
2
r
2
rrr
2
rrrr
1、
a?b??63
，
(a?b)?a?2a?b?b?25?12 3
，
a?b?25?123
.
uuur
uuur
uuur uuur
2、
BC
与
CA
的夹角为120°，
BC?CA? ?20
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
r rr
2
3、
a?b?a?2a?b?b?23
，
a?b?a?2a? b?b?35
.
rr
4、证法一：设
a
与
b
的夹角为
?
.
（1）当
?
?0
时，等式显然成立；
rrr
r
（ 2）当
?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
?
，
所以
rrrr rr
(
?
a)?b?
?
abcos
?
?
?
abcos
?

rrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?

rrrrrr
a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
rrr
r
（3）当
?
?0
时，
?
a
与b
，
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
，
rrrrrr
则
(
?
a)?b?
?
abcos(180??
?
)??
?
abcos
?
rrrrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?
???
abcos
?

rrrrrr
a?(
?
b) ?a
?
bcos(180??
?
)??
?
abcos
?

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?(a?b)?a?(
?
b)
；
综上所述，等式成立.
r r
证法二：设
a?(x
1
,y
1
)
，
b? (x
2
,y
2
)
，
rr
那么
(?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1)?(x
2
,y
2
)?
?
x
1
x2
?
?
y
1
y
2

rr
?< br>(a?b)?
?
(x
1
,y
1
)?(x
2< br>,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?< br>?
y
1
y
2

rr
a?(
?
b)?(x
1
,y
1
)?(
?
x
2
,< br>?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?(a?b)?a?(
?
b)
；
5、（1）直角三角形，
?B
为直角.
uuuruuur
证明：∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
，
BC?(3,4)? (5,2)?(?2,2)

uuuruuur
∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0
uuuruuur
∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?AB C
为直角三角形
（2）直角三角形，
?A
为直角
uuuruuur
证明：∵
AB?(19,4)?(?2,?3)?(21 ,7)
，
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)

uuuruuur
∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0

u uuruuur
∴
AB?AC
，
?A
为直角，
?ABC为直角三角形
（3）直角三角形，
?B
为直角
uuuruuur
证明：∵
BA?(2,5)?(5,2)?(?3,3)
，
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)

uuuruuur
∴
BA?BC??3?5?3?5?0

uuur uuur
∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?ABC
为 直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.
rr
rrrrr
2
rrr
2

(2a?3b) (2a?b)?4a?4a?b?3b?61
，于是可得
a?b??6
，
r r
a?b1
cos
?
?
rr
??
，所以
?
?120?
.
2
ab
23
，
?
?55?
.
40
uuuruuur
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)BC?(8,4)?(5,?2) ?(3,6)
， 9、证明：∵，
8、
cos
?
?
uuur
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

uuuruuur
uuur uuur
∴
AB?DC
，
AB?BC?4?3?(?2)?6?0

∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.

r
10、解：设
a?(x,y)
，
?
?< br>?
x
2
?y
2
?9
x?
35
x?< br>35
则
?
?
?
?
y
，解得
?
?
5
，或
?
?
?
?
5
.
?< br>x?
2
?
?
?
y?
65
?
5
?
?
y??
65
5
于是
r
a?(
356 5
r
3565
5
,
5
)
或
a?(?
5
,?
5
)
.
11、解：设与
r
a
垂 直的单位向量
r
e?(x,y)
，
?
则
?
22< br>?
x?
5
?
?
x??
5
?
x?y? 1
4x?2y?0
，解得
?
?
5
或
?
?< br>?
5
.
?
y??
25
?
y?
25
?
?
5
?
?
5
于是
r
e?(525
r
525
5
,?
5
)
或
e?( ?
5
,
5
)
.
习题2.4 B组（P108）
1、证法一：
r
a?
r
b?
r
a?
r
c ?
r
a?b
r
?
r
a?
r
c?0?
r
a?(b
r
?
r
c)?0?a
r
?(b
r
?
r
c)
证法二：设
r
a?(x
r?(x
r
1
,y
1
)
，
b
2
,y
2
)
，
c?(x
3
,y
3
)
.
先证
r
a?
r
b?
r
a?
r
c?
r
a?(
r
b?
r
c)

r
a?b
r
?x
rr
1
x
2
?y
1
y
2
，
a?c?x
1
x
3
?y
1
y
3

由
r
a?b
r
?
r
a?< br>r
c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0

而
r
b?
r
c?(x,y
rrr
2
?x
32
?y
3
)
，所以
a?(b?c)?0

再证
r
a?(
r
b?
r
c)?
r
a?
r
b?
r
a?
r
c

由
r
a?(
r
b?
r
c)?0
得
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
，
即
x
rrrr
1< br>x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
，因此
a?b?a?c

即

，

uuuruuur
OA?OB
2、< br>cos
?AOB?
uuuruuur
?
cos
?
co s
?
?
sin
?
sin
?
.
OAOB< br>rr
3、证明：构造向量
u?(a,b)
，
v?(c,d)
.
rrrrrr
rr
2222

u?v?uvcos? u,v?
，所以
ac?bd?a?bc?dcos?u,v?

rr
∴
(ac?bd)?(a?b)(c?d)cos?u,v??(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

222222
uuu ruuur
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关，与圆的半径无 关.
证明：取
AB
的中点
M
，连接
CM
， uuuur
AM
uuuruuuruuuruuur
又
AB?AC?AB ACcos?BAC
，而
?BAC?
uuur

A
ACuuuruuuruuuruuuur
1
uuur
2
所以
AB? AC?ABAM?AB

2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
5、（1）勾股定理：
Rt?ABC
中，
?C?90?< br>，则
CA?CB?AB

uuuruuuruuur
证明：∵
AB?CB?CA

uuuur
1
uuur
则
CM?AB
，
AM?AB

2
C
M
（第4题）
B
uuur
2
uuu ruuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
∴< br>AB?(CB?CA)?CB?2CA?CB?CA
.
uuuruuur
由< br>?C?90?
，有
CA?CB
，于是
CA?CB?0

uuur
2
uuur
2
uuur
2
∴
CA?CB ?AB

（2）菱形
ABCD
中，求证：
AC?BD

uuuruuuruuur
uuuruuuruuur
证明：∵
AC?AB? AD
，
DB?AB?AD,

uuuruuuruuuruuuruuuru uuruuur
2
uuur
2
∴
AC?DB?(AB?AD)?(A B?AD)?AB?AD
.
uuur
2
uuur
2
∵四边 形
ABCD
为菱形，∴
AB?AD
，所以
AB?AD?0

uuuruuur
∴
AC?DB?0
，所以
AC?BD

（3）长方形
ABCD
中，求证：
AC?BD

uuuruuur
证明：∵ 四边形
ABCD
为长方形，所以
AB? AD
，所以
AB?AD?0

uuur
2
u uuruuuruuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
∴
AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.
uuur2
uuur
2
uuuruuur
2
uuuruuur
2
∴
(AB?AD)?(AB?AD)
，所以
AC?BD
，所以
AC?BD

（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
1、解：设
P(x,y)
，
R(x
1
,y
1
)

uuur
uuur
则
RA?(1,0)?(x
1,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
，
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)

uuuruuur
?
x
1
??2x?3
由< br>RA?2AP
得
(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1 ,y)
，即
?

?
y
1
??2y
代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以，点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解：（1）易知，
?OFD
∽
?OBC
，
DF?
A
1
BC
,
2
D
O
F
2
所以
BO?BF
. 3
uuuruuuruuur
2
uuurr
21
rrr
1
rr
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)

332 3
B
uuur
1
rr
（2）因为
AE?(a?b)

2
uuur
2
uuur
AO
所以
AO?AE
，因此
A,O,E
三点共线，而且
?
2

OE
3
BOCOAOBOCO
同理可知：
?
2,
?
2
，所 以
???2

OFODOEOFOD
ruuruur
3、解：（1）
v?v
B
?v
A
?
(
?
2,7)
；
ruur
v?v
A
13
r
uur
（2）
v
在
v
A
方向上的投影为
uur
?
.
5
v
A
urur
uuur
uur
ur
FF
4、解：设
F
1
，
F
2
的合力为，与
F
1
的夹角为
?
，
E
（第2题）
C
（第4题）
uruur
uur
uur
则
F?3 ?1
，
?
?30?
；
F
3
?3?1
，
F
3
与
F
1
的夹角为150°.
习题2.5 B组（P113）
uur
uuruur
1、解：设
v
0
在 水平方向的速度大小为
v
x
，竖直方向的速度的大小为
v
y
，

uuruuruuruur
则
v
x
?v
0
cos
?
，
v
y
?v
0
sin
?
.
设在时刻
t
时的上升高度为
h
，抛掷距离为
s
，则
uur
1
?
h?vtsin
?
?gt,(g 为重力加速度)
0
?
2

?
uur
?
s? v
0
tcos
?
?
所以，最大高度为
ur
uur< br>2
2
v
0
sin
?
2g
，最大投掷距离为< br>r
uur
uur
2
v
0
sin2
?
g
.
2、解：设
v
1
与
v
2
的夹角为< br>?
，合速度为
v
，
v
2
与
v
的夹角 为
?
，行驶距离为
d
.
r
ur
v
v1
sin
?
10sin
?
0.5
d1
?
则
sin
?
?
，
d?
. ∴
r
?
.
?
rr
sin
?
20sin< br>?
v
20sin
?
vv
uur
r
所以当?
?90?
，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
(0,?1)

uuuruuur
解：设
P(x,y)
，则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
uuuruuur
?
7
将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转到
AP
，相当于沿逆时针方向旋转< br>?
到
4
4
uuur
AP
，
uuur
7777
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2s in
?
?22cos
?
)?(?1,?3)

4444
所以
?
（2）
y??
?
x?1??1
，解得
x?0,y??1

y?2??3
?
3

2x
uuur
?
解：设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
，
O P
绕
O
逆时针旋转后，点
P
的坐
4
标为
( x
?
,y
?
)

?
??
?
?x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44< br>，即
?
则
?
?
??
?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?
44
?
?
2
(x?y)
2

2
(x?y)
2< br>113
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
，所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
，化简得
y??

222x

第二章 复习参考题
A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）
D
； （2）
B
； （3）
D
； （4）
C
； （5）
D
； （6）
B
.
uuur
1
rruuur
1
rr3、
AB?(a?b)
，
AD?(a?b)

22
uu uruuuruuuruuur
2
r
1
r
4、略解：
DE? BA?MA?MB??a?b

33
uuur
2
r
2
ruuur
1
r
1
r
AD?a?b
，
BC?a? b

3333
uuuruuuruuur
1
r
2
r
1
r
1
r
EF??a?b
，
FA?DC?a?b< br>
3333
uuurr
2
r
1
r
1
r
2
ruuu
CD??a?b
，
AB?a?b

3333
uuurrr
CE??a?b

uuur
uuur
5、（1）
AB?(8,?8)
，
AB?82
；
uuuruuur
uuuruuur
（2）
OC?(2,?16)
，
OD?(?8,8)
； （3）
OA?OB?33
.
（第4题）
r
uuur
uuu
6、
AB
与
CD
共线.
uuuruuur
uuuruuur
r
uuur
uuu
证明：因为
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB? CD
. 所以
AB
与
CD
共线.
7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?

55
rurur
rururrurur
2
11、证明：
(2n?m)?m?2n? m?m?2cos60??1?0
，所以
(2n?m)?m
.
rrrr
519
12、
?
??1
. 13、
a?b?13
，
a?b?1
. 14、
cos
?
?,cos
?
?

820
第二章 复习参考题
B组（P119）
1、（1）
A
； （2）
D
； （3）
B
； （4）
C
； （5）
C
； （6）
C
； （7）
D
.
rrrrrr
2、证明：先证
a?b?a?b?a?b
.
rrrr
2

a?b?(a?b)?
r2
r
2
rr
a?b?2a?b
，

rrr r
a?b?(a?b)
2
?
r
2
r
2
rr
a?b?2a?b
.
r
2
r
2
rr
a?b?a?b
.
rrrr
rr
因为
a?b
，所以
a?b?0
，于是
a?b?
rrrrrr
再证
a?b?a?b?a?b
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
rrr
2
由于
a?b?a?2a?b?b
，
a?b?a?2a?b?b

rrrr
rrrr
由
a?b?a?b
可得
a?b?0
，于是
a?b

rrrrrr
所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
rrrur
3、证明：先证
a?b?c?d

rurrrrrr
2
r
2

c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

rurrur
rr
又
a?b
，所以
c?d?0
，所以
c?d

rurrr
再证
c?d?a?b
.
rrrrr
2
r
2
rurrur
由
c?d
得
c?d?0
，即
(a?b)?(a?b)?a?b?0< br>
（第3题）
rr
所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所
示】
uuuruuuruuuruuur
1
rruuur
1
r
1
r
4、
AD?AB?BC ?CD?a?b
，
AE?a?b

242
uuuur
1r
uuur
3
ruuuuruuuruuuur
1
r
1
r
1
r
1
rr
而
EF?a
，
EM?a
，所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)

4
4 4242
uuuruuuruuuuruuuruuuuruuurr
?OPOP?OP
5、证明：如图所示，
OD?OP
，由于
1212
?OP
3
?0
，
uuuruuur
uuur
所以
OP
3
??OD
，
OD?1

P
3
O
P
2
uuuruuuruuur
所以
OD?OP

?PD
11
P
1
所以
?OPP
12
?30?
，同理可得
?OP P
13
?30?

（第5题）
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
，同理可得
?PP
12
P< br>3
?60?
，
?P
2
P
3
P
1?60?
，所以
?PP
12
P
3
为
正三角形.
6、连接
AB
.
N
M
B

uuuuruuurrr
由对称性可知 ，
AB
是
?SMN
的中位线，
MN?2AB?2b?2a
.
7、（1）实际前进速度大小为
4
2
?(43)
2
?8（千米／时），
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为
42
千米／时，
6
的方向前进.
3< br>uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
8、解 ：因为
OA?OB?OB?OC
，所以
OB?(OA?OC)?0
，所以OB?CA?0

沿与水流方向成
90??arccos
uuuruuuruuuruuur
同理，
OA?BC?0
，
OC?AB?0
，所以点
O
是?ABC
的垂心.
9、（1）
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
?a
2
x
0
?0
； （2）垂直；
（3）当
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
时，
l
1
∥
l
2
； 当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0时，
l
1
?l
2
，
夹角
?
的余弦< br>cos
?
?
Ax
0
?By
0
?C
A ?B
22
A
1
A
2
?B
1
B
2< br>A?B
2
1
2
1
A
2
?B
2
22
；
（4）
d?





第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
???
1、
cos(
?
?
)< br>?
coscos
?
?
sinsin
?
?
0< br>?
cos
?
?
1
?
sin
?
?sin
?
.
222

cos(2
?
?< br>?
)?cos2
?
cos
?
?sin2
?
s in
?
?1?cos
?
?0?sin
?
?cos
?
.
34
3
?
2、解：由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
；
55
52
???
23242
所以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?
. < br>?(?)???
444252510

3、解：由
sin
?
?
158
15
，
?
是第二象限角，得
cos?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
；
1717
17
???
81153?8?153
所以< br>cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin ?????
.
?
33317217234
25
23
?4、解：由
sin
?
??,
?
?(
?
,)，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)2
??
；
33
32
37
33
?
又由
cos
?
?,
?
?(,2
?
)
，得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
? ?
.
44
42
所
3572?35?27
.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
??(?)?(?)?(?)?
4343 12
以
练习（P131）
1、（1）
6?26?26?2
； （2）； （3）； （4）
2?3
.
444
34
3
?
2、解：由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)< br>2
?
；
55
52
???
41334?33
所以
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin???(?)?
.
?
333525210
3、解：由
sin
?
??
所
125
12
，得
cos
?
??1?sin
2?
??1?(?)
2
??
；
?
是第三象限角，
1313
13
以
???
35112?53?12
.
co s(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
??(?) ??(?)?
66621321326
?
4
?
3?1
??2
. 4、解：
tan(
?
?)?
4
1?tan
?< br>?tan
?
1?3?1
4
3
1
5、（1）1； （2）； （3）1； （4）
?
；
2
2
tan
?
?tan
?
1
（5）原 式=
?(cos34?cos26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)?? cos60???
；
2
（6）原式
=
?sin20?cos7 0??cos20?sin70???(sin20?cos70??cos20?sin70?)??sin9 0???1
.

???
6、（1）原式=
coscos
x?
sinsin
x?
cos(
?x
)
；
333
31
???
（2）原式=
2(sinx?cosx)?2 (sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22666
22
???
（3）原式=
2(sinx?cosx) ?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22444
13
???
（4）原式=
22(cosx?sinx )?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解：由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?< br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?
，
5
33
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
，
sin(?
?
)?

55
3
所以
sin
?
??
. 又
?
是第三象限角，
5
34
于是
cos< br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55
因
sin(
?
?
5
?< br>5
?
5
?
324272
.
)?sin
?< br>cos?cos
?
sin?(?)(?)?(?)(?)?
444525210
此
练习（P135）
1、解：因为
8
?
?
??12
?
，所以
?
?
?
8
?
3
?

2
sin
3
?
?
43
?
4
8
?
5
?
3
又由
cos??，得
sin??1?(?)
2
??
，
tan?
8
cos
?
?
4
4
855
85
85
??
???
3424

?sin(2?)?2sincos?2?(?)? (?)?
48885525
????
437

cos?cos(2?)?cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?

48885525
所以
si n
3
??
8
?
4
?
3
?
16?
24

tan?tan(2?)?
48
1?tan
2
?
1?(
3
)
2
277
8 4
2tan
2?
?
?
33316
2、解：由
sin (
?
?
?
)?
，得
sin
?
??
，所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?(?)
2
?

5
5525
1637
所以< br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
???(?)
2
?

25525
1
3、解：由
s in2
?
??sin
?
且
sin
?
?0
可 得
cos
?
??
，
2

又
tan< br>?
?
由
?
?
?
(,
?
)
2
，得
13
sin
?
?1?cos
2
?
?1 ?(?)
2
?
22
，所以
sin
?
3
?? (?2)??3
.
cos
?
2
12tan
?
1< br>4、解：由
tan2
?
?
，得
. 所以
tan2
?
?6tan
?
?1?0
，所以
?
2
31?tan
?
3
tan
?
??3?10

?? ?
2
11
5、（1）
sin15?cos15??sin30??
； （2）
cos
2
?sin
2
?cos?
；
8842
24
2
12tan22.5?11
（3）原式=
?
； （4）原式=
.
cos45??
?tan 45??
2
2
21?tan22.5?22
习题3.1 A组（P137）
3
?
3
?
3
?
?
?
)?cosc os
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?(?1)?si n
?
??sin
?
；
222
3
?
3
?
3
?
（2）
sin(?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1 ?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；
222
1、（1）
cos(
（3）
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
??1?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；
（4）
sin(
?
?
?
)?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
?0?co s
?
?(?1)?sin
?
?sin
?
.
34< br>3
2、解：由
cos
?
?,0?
?
?
?，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()
2
?
，
55
5
???
433143?3
所以
cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin??
.
???
666525210
25
2
?
3、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
，
33
32
37
33
?
又由
cos
?
??,
?
?(
?
,)
，得< br>sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2??
，
44
42
所
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?
??
532735?27
.
?(?)??(?)?
3 43412
以
143
1
4、解：由
cos
?
?，
?
是锐角，得
sin
?
?1?cos
2
?< br>?1?()
2
?

77
7
因为?
,
?
是锐角，所以
?
?
?
?(0,
?
)
，

又因为
cos(
?
?
?
)??
11
2
53

)?
1414
11
14
，所以
sin(
?
?
?
)?1? cos
2
(
?
?
?
)?1?(?
所以
cos
?
?cos[(
?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?

?(?
11153431
)????

1471472
5、 解：由
60??
?
?150?
，得
90??30??
??180?

34
3
又由
sin(30??
?
)?
，得
cos(30??
?
)??1?sin
2(30??
?
)??1?()
2
??

55
5
所以
cos
?
?cos[(30? ?
?
)?30?]?cos(30??
?
)cos30??sin(30??
?
)sin30?

4331?43?3

??????
525210
6?22?6
6、（1）
?
； （2）
?
； （3）
?2?3
.
44
25
2
?
7、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?< br>)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1 ?()
2
??
.
33
32
又由
cos
?
??
3
4
，
?
是第三象限角，得
37
si n
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??< br>.
44
所以
cos(
?
?
?
)?cos< br>?
cos
?
?sin
?
sin
?

5327
?(?)??(?)

3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
2357
??(?)?(?)?(?)

3434
?6?35

?
12
53
8、解：∵sinA?,cosB?
且
A,B
为
?ABC
的内角
135
?
124
∴
0
?A?
?,0
?B?
，
cosA??,sinB?

2135

当
cosA??
12
时，
sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

13
5312433
???(?)????0

13513565

A?B?
?
，不合题意，舍去
∴
cosA?
124
,sinB?

135
∴cosC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)

1235416
?(???)??

13513565
34
3
?
9、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
?? 1?()
2
??
.
55
52
∴
tan
?
?
sin
?
353
??(?)??
.
cos?
544
31
??
tan
?
?tan
?
42
??
2
.
?
∴
tan(
?
??
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3< br>)?
1
11
42
31
??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?

tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1 ?(?
3
)?
1
42
10、解：∵
tan
?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个实数根. < br>37
∴
tan
?
?tan
?
??
，
tan
?
?tan
?
??
.
22
∴
ta n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?1
???
.
1?tan
?
?tan
?
1?( ?
7
)
3
2
?
3
2
11、解：∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5

∴
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
??
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
??
)
1?3?57
tan(
?
?
?
)?tan (
?
?
?
)
3?51
tan2
?
?tan [(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
???

1?tan(
?
?
?
)?tan(
??
?
)
1?3?58
B
D
12、解：∵
BD: DC:AD?2:3:6

∴
tan
?
?
BD1DC1?,tan
?
??

AD3AD2
α
A
β
（第12题）
C

11
?
tan
?
?tan
?
?
32
? 1
∴
tan?BAC?tan(
?
?
?
)?
1? tan
?
?tan
?
1?
1
?
1
32又∵
0???BAC?180?
，∴
?BAC?45?

27
?
?
?
x
?
13、（1）
（2）
3sin(?x)
； （3） （4）
sin(?x)
；
6 5sin(
x?
)
；
2sin(?)
；
212
63 26
2
1
（5）； （6）； （7）
sin(
?
?
?
)
； （8）
?cos(
?
?
?
)
； （9）
?3
； （10）
2
2
tan(
?
?
?
)
. ?
14、解：由
sin
?
?
0.8,
?
?(0,)
，得
cos
?
?1?sin
2
?
?1 ?0.8
2
?0.6

2
∴
sin2
?
? 2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.96

c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0 .6
2
?0.8
2
??0.28

15、解：由
c os
?
??
36
3
得
sin
?
??1?c os
2
?
??1?(?)
2
??

,180??< br>?
?270?
，
33
3
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
6
)?(?
3
3
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?(?)
2
?(?
3
tan2
?
?
sin2
?
22
??(?3)??22

cos2
?
3
322

)?
33
6
2
1
)??

33
1 6、解：设
sinB?sinC?
512
，且
0??B?90?
，所 以
cosB?
.
1313
512120
∴
sinA?si n(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2???

1313169
125119
cosA?cos(180??2B)??cos2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
?()
2
)??
1 313169

tanA?
sinA120169120

??(? )??
cosA169119119
2?
113
?
2tan
?
3tan
?
?tan2
?
374
?1
.
??
，
tan(
?
?2
?
)??
17、解：tan2
?
?
2
1?tan
?
1?(
1
)
2
41?tan
?
?tan2
?
1?
1
?
3
374
18、解：
cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
?
111
?
cos[(
?
?
?
)?
?]?
，即
cos
?
?

333

又
?
?(
122
3
?

,2
?
)
，所以
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
??
33
2
∴
sin2
?
?2sin< br>?
cos
?
?2?(?
22142

)???
339
122
2
7
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
?(?)??

339
∴
???
72422?72?8

cos(2
?
?)?cos2
?
cos?sin2
?
sin????(?)? ?
444929218
1
19、（1）
1?sin2
?
； （2）
cos2
?
； （3）
sin4x
； （4）
tan2
?
.
4
习题3.1 B组（P138）
1、略.
2、解：∵
tanA,tanB
是
x
的方程x
2
?p(x?1)?1?0
，即
x
2
?px?p?1 ?0
的两个实
根
∴
tanA?tanB??p
，
tanA?tanB?p?1
∴
tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??由于
0?C?
?
，所以
C?
3
?
.
4
tanA?tanB?p
????1

1?tanA?tanB1?(p?1)
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一） < br>sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?s in
?
cos(
?
?30?)?
3
（证明略）
4
本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
sin
2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?
3

4
3

4< br>sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?< br>?15?)?sin(
?
?15?)cos(
?
?15?)?
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?
co s
?
?
3
，其中
?
?
?
?30?
，等等
4
思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从
而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能
力的提高.

4、因为
PA?PP
则
(cos(
?
?
?
)?1 )
2
?sin
2
(
?
?
?
)?(cos< br>?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin< br>?
)
2

12
，
即
2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin< br>?
sin
?

所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

3．2简单的三角恒等变换
练习（P142）
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?4、（1）
y?sin4x
. 最小正周期为
，递增区间为
[
? ?
,
?
],
k?Z
，最大
2
28282
1
值为；
2
（2）
y?cosx?2
. 最小正周期为
2< br>?
，递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?
?2k
?
],k?Z
，最大值
为3；
?
?
5< br>?
k
??
k
?
（3）
y?
2sin(4x?
)
. 最小正周期为
，递增区间为
[??,?],k?Z
， 最
32242242
大值为2.
习题3.2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；
（ 4）提示：用
sin
2
?
?cos
2
?
代替1，用
2sin
?
cos
?
代替
sin2
?
；
（5）略； （6）提示：用
2cos
2
?
代替
1? cos2
?
；
（7）提示：用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
，用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
； （8）略.
2、由已知可有
sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?
?
11
……①，
sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
?
……②
23
（1）②×3－①×2可得
sin
?
cos
?
?5cos
?
sin
?

（2 ）把（1）所得的两边同除以
cos
?
cos
?
得
tan< br>?
?5tan
?

注意：这里
cos
?
co s
?
?0
隐含与①、②之中

1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4

?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan 2
?
?
2
1?tan
?
1?(?
1
)2
3
2
2
1
??1
?
1
4
?
2
tan(
?
?)??

4
1?tan
?
?tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
ta n
?
?tan
?
?
∴
tan2
?
??4tan(
?
?
)

4
4、由已知可解得
x? sin
?
，
y?cos
?
，于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
?
?
?
k
?
7
?
k
?5、
f
(
x
)
?
2sin(4
x?
)
，最小正周期是
，递减区间为
[?,?],k?Z
.
32242242
习题3.2 B组（P143）
1、略.
2、由于< br>76?2?7?90
，所以
sin76??sin(90??14?)?cos14?? m

即
2cos
2
7??1?m
，得
cos7 ??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?< br>?
m?1

2
2
?
??
?
，所以< br>?
?
?
，
tan(?
?
)?3
，
23
32
又
tan
?
2
tan
??
2
?
3
，又因为
tan(
?
2
ta n
?
?
)?
?
2
?tan
?
1?tan< br>?
2
，
tan
?
所以
tan
?
?
tan
?
?
tan(
?
?
)(1
?
tantan
?
)
?
3
?
3

222
??
由此可解得
tan
?
?1
，
?
?
经检验
?
?
?
4
，所以
?
?
?
6
.
?
6
，
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos< br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
) )
. 过
M
作
MM
1
垂
22
11
y
直于
x
轴，交
x
轴于
M
1
，
? MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??< br>?
?
C
在
Rt?OMA
中，
OM?OA
co s
.
?
cos
M
22
A
?
?
? ?
?
?
在
Rt?OM
1
M
中，
OM
1
?OMcos?MOM
1
?cos
，
cos
22
O
M
1
x
（第4题）

?
?
??
?
?
M
1
M?OMsin?MO M
1
?sin
2
cos
2
.
于是有
1
2
(cos
?
?cos
?
)?cos
?
?
??
?
?
2
cos
2
，
1
?< br>?
??
?
?
2
(sin
?
?sin
?
)?sin
2
cos
2

5、当
x?2
时，
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
当
x?4
时，
f(
?
)? sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?

?1?
11
2
sin
2< br>2
?
，此时有
2
≤f(
?
)≤1
；
当
x?6
时
f(
?
)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)

?1?
3
4
sin
2
2
?
，此时有
1< br>4
≤f(
?
)≤1
；
由此猜想，当
x
?
2k,k
?
N
1
?
时，
2
k?1≤f(
?
)≤1

6、（1）
y?5(
3434
5
sinx?
5
cosx)?5sin(x?
?
)
，其中
cos
?
?
5
,sin
?
?
5

所以，
y
的最大值为5，最小值为﹣5；
（2）
y ?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
，其中
c os
?
?
ab
a
2
?b
2
,sin
?
?
a
2
?b
2

所以，
y
的最大值为
a
2
?b
2
，最小值为
?a
2
?b
2
；
复习参考题
A组（P146）
1、
16
65
. 提示：
?
?(
?
?
?
)?
?

2、
565
??
65
. 提示：
sin(
?
?
?
)??sin[
?
?(
?
?
?
)] ??sin[(
4
?
?
)?(
4
?
?
)]

3、1.
4、（1）提示：把公式
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
变形；
（2）
3
； （3）2； （4）
?3
. 提示：利用（1）的恒等式.
5、（1）原式=
co s10??3sin10?4sin(30?
sin10?cos10?
?
?10?)
sin20?
?4
；
，
第三章

（2）原式=
sin40?(
sin10?sin10??3cos10?

?3)?sin40??
cos10?cos10?
?2sin40?cos40??sin8 0?
=
???1
；
cos10?cos10?
3sin20?3sin20??cos20?

?1)?tan70?cos10??
cos20?cos20?
sin70??2sin10 ??sin20?
=
?cos10?????1
；
cos70?cos20?cos70?
（3）原式=
tan70?cos10? (
3sin10?cos10??3sin10?

)?sin50??
co s10?cos10?
2cos50?sin100?
?sin50????1

cos10?cos10?
9
24
6、（1）； （2）；
5
25
（4）原式=
sin50??(1?
22
. 提 示：
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2?
cos
2
?
；
3
17
（4）. 25
sin
?
sin
?
1
21
7、由已知可求 得
cos
?
cos
?
?
，
sin
?
sin
?
?
，于是
tan
?
tan
?
? ?
.
cos
?
cos
?
2
55
（3 ）
?
8、（1）左边=
2cos
2
2
?
?1?4c os2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)

?2(cos2
?
?1)
2
?2(2co s
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边 sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?
（2）左边=
2cos
2
?
?2sin
?
c os
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
sin
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右边
2cos
?
22
sin(2
?
?
?
)?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(< br>?
?
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
)sin
?
?
（3）左边=
sin
?
2c os
?
(cos
?
?sin
?
)
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
??
?
)sin
?
sin
?
=右边
?
sin
?
sin
?
3?4cos2A?2cos
2
2A?1 2(cos
2
2A?2cos2A?1)
?
（4）左边=
22
3?4cos2A?2cos2A?12(cos2A?2cos2A?1)
(1?cos2A )
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边
222
(1?cos2A)(2cosA)
?
9、（1）
y?
1
?
sin2
x?
1
?
cos2x?
sin2
x?
cos2
x?
2
?
2sin (2
x?
)
?
2

4
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z

88
（2）最大值为
2?2
，最小值为
2?2
.

?
10、
f(x)?(cos
2
x?sin
2< br>x)(cos
2
x?sin
2
x)?2sinxcosx?cos2x ?sin2x?2cos(2x?)

4
（1）最小正周期是
?
；
?
??
5
?
?
3
?
（2）由
x?
[0,]
得
2x??[,]
，所以当
2x??
?
，即
x?
时，
f(x)
的
244448
3
?最小值为
?2
.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{}
.
8
?
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x ?sin2x?2sin(2x?)?1

4
（1）最小正周期是
?
，最大值为
2?1
；
??
（2）
f(x)
在
[
?
,]
上的图象如右图：
2 2
?
12、
f
(
x
)
?
3sin
x?
cos
x?a?
2sin(
x?
)
?a
.
6
（1）由
2?a?1
得
a??1
；
2
?
（2）
{x2k
?
≤x≤?2k
?
,k?Z}
.
3
（第12（2）题）
13、如图，设
?ABD?
?
，则
?CAE?
?
，

AB?
所以
S
?ABC
当
2
?
?
h
2
h
，
AC?
1
cos
?
sin
?
1hh
?
??AB?AC ?
12
，
(0?
?
?)

2
2sin2< br>?
E
C
h
1
l
1
A
h
2< br>?
2
，即
?
?
?
4
D
?
（ 第13题）
时，
S
?ABC
的最小值为
h
1
h< br>2
.
B
l
2
第三章 复习参考题
B组（P147）
1
?
4
?
sin
?
?cos
?
?
1、解法一：由
?
5
，及
0≤
?
≤
?，可解得
sin
?
?
，
5
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
13247
，< br>cos2
?
??
，
cos
?
?sin
?< br>??
，所以
sin2
?
?
25
5525
?? ?
312
.
sin(2
?
?)?sin2
?
co s?cos2
?
sin?
44450
1124
解法二：由
sin
?
?cos
?
?
得
(sin< br>?
?cos
?
)
2
?
，
sin2
?
?
，所以
25
525
49
.
cos
2< br>2
?
?
625
?
2
1
又由
sin< br>?
?cos
?
?
，得
sin(
?
?)?.
410
5

因为
?
?[0,
?
]
，所以
?
?
而当
?
?
当
?
?
??
3
?
?[?,]
.
444
?
??
[
?
,0]
时，
sin(
?
?)≤0
；
444
?
?
?
22
?
3
?
. < br>?
?[,]
时，
sin(
?
?)≥
4210
444
所以
?
?
?
?
(0,)
，即
??(,)

4442
?
??
?
312
?
7
所以
2
?
?
(,
?
)
，
co s2
?
??
.
sin(2
?
?)?

45 0
225
11
2、把
cos
?
?cos
?
?
两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2cos
?
cos
?
?

24
11
把
sin
?
?sin
?
?
两边分别平方得
sin< br>2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin?
?

39
13
把所得两式相加，得
2?2(c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
)?
，
36
1359
即
2?2cos(
?
?
?
)?
，所以
cos(
?
?
?
)??
< br>3672
?
433343
?
4
3、由
sin(
?
?)?sin
?
??
可得
sin
?
?
，
sin(
?
?)??
. < br>cos
?
??
35225
65
?
???
?< br>3
又
??
?
?
0
，所以
??
?
??
，于是
cos(
?
?)?
.
2
36665
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?

661 0
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2 sinxcosx(cosx?sinx)
4、
??
sinx
1?tanx cosx?sinx
1?
cosx
1?tanx
?
?sin2x?s in2xtan(?x)

1?tanx4
17
?
7
?5
??
?
3
由
得
?x??x??2
?
，又
cos(?x)?
，
1243445
?
4
?
4
所以
sin(?x)??
，
tan(?x)??

4543
??????
2
所以
cosx?cos[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??
，
44444410
72
sin2x?2sin
2
x28
7< br>，
sin2x?2sinxcosx?
, 所以
sinx??
??
，
10
1?tanx75
255、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?( sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
c os
?
?1
，得
(2sin
?
)
2
?2s in
2
?
?1
.
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?cos2
?
)?1
，
2cos2
?
? cos2
?
，
4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?

本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含
?
的三角函

数.
考虑
sin
?
? cos
?
，
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系 ？及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法
?
6、
f
(x
)
?
3sin2
x?
1
?
cos2
x?m?
2sin(2
x?
)
?m?
1
.
6
?
??
7
?
由
x?
[0,]
得
2x??[,]
，于是有
2?m?1?6
. 解得
m?3
.
2666
?

f
(
x< br>)
?
2sin(2
x?
)
?
4(
x?R)
的最小值为
?2?4?2
，
6
?
3
?2
?
此时
x
的取值集合由
2x???2k
?
( k?Z)
，求得为
x??k
?
(k?Z)

623
7、设
AP?x
，
AQ?y
，
?BCP?
?
，?DCQ?
?
，则
tan
?
?1?x
，
tan
?
?1?y

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)

(x?y)?xy
又
?APQ
的周长为2，即
x?y?x2
?y
2
?2
，变形可得
xy?2(x?y)?2

于是
tan(
?
?
?
)?
又
0?
?
?
?
?
2?(x?y)
?1
.
(x?y)?[2(x?y)?2]
?
2
，所以
?
?
?< br>?
?
4
，
?PCQ?
?
2
?(
?< br>?
?
)?
?
4
.
1
?
?
sin
?
?cos
?
?
8、（1）由
?
5
，可得
25sin
2
?
?5sin
?
?12?0

?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
43
解得
sin
?
?
或
sin
?
??
（由
?
?(0,
?
)
，舍去）
5
5
134
所以
cos
?
??sin?
??
，于是
tan
?
??

553
（2）根据所给条件，可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan?
表示的三角函数式的值，
sin
?
?cos
?
si n
?
?cos
?
?
例如，
sin(
?
?< br>)
，
cos2
?
?2
，
，，等等.
2tan
?
3sin
?
?2cos
?
3