人教版高中数学选修2-2《数学归纳法》教案和教案说明

课题：2.3数学归纳法（1）

教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2

一、教学目标
1.知识与技能
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.过程与方法
（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑
推理能力 。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感、态度与价值观
（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的 科学态度和不怕困难，勇
于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二、教学重、难点
1.重点
（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难 点
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
三、教学方法与手段 < br>本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师
组织启发下 ，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌
倒下的原理，并类比多米 诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、

类比推理的能力，进 而应用数学归纳法，证明一些与正整数
n
有关的简单数学命题；提高学
生的应用能力， 分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教
师的组织引导，又强调学生的 主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
四、教学过程
（一）创设问题情景
情景一：观察下列等式，1
2
+1+17＝19，2
2
+2+17＝ 23，3
2
+3+17＝29，4
2
+4+17＝37……你能
得出 形如n
2
+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入
检验，（得出猜想是错的）
说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。
情景二：数列 {a
n
}的第1项a
1
=1且
a
n?1
?
猜想数列的通项公式.
学生通过计算得出：
a
1
?1,a2
?
1111
,a
3
?,a
4
?
由此猜想：
a
n
?

234n
a
n
(n=1,2,3 …),通过对n=1,2,3,4前4项的 归纳，
1?a
n
由此引导学生分析，因不完全归纳得出的结论不可靠，哪能不能把n的 所有取值代入检
验行吗？因n的取值是无穷的不可能逐一验证，这需要我们寻找新的解决方法――引入课 题
《数学归纳法（1）》。
（二）探索解决问题的方法
1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
（1）第一块要倒下;
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。
2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出问题情景二的证明（建立数学模型）。
多米诺骨牌原理
（1）第一张骨牌倒下
（2）若第K张骨牌倒下，则相邻的第K+1
张骨牌一定倒下
数列通项
a
n
?
1
的证明探究
n
（1）n=1时，a
1
=1猜想成立
（2）假设n=k是ak
=
1
成立，则证明n=k+1是有
k

a
k+1
=
1
成立。
k?1
由（1）（2）知，不论多少张骨牌一 定都能由（1）（2）知，对所有的正整数n，猜想都成立
倒下。
1
事实上在证明 a
n
=的探究中，只要（1）（2）成立，当n=1成立，就有n=2时成立；n=2
n
时成立，就有n=3时成立；n=3时成立，就有n=4时成立……以至对所有的n都成立。
3、由类比获得数学学归纳法主要步骤
（1）（归纳奠基）n取第一个值n
0
(例如n
-0
=1)时命题成立;
（2）（归纳递推）假设 n=k(k
?
N
*
,k≧n
0
)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。
满足这两个条件后，命题对一切n
?
N
均成立。
（三）方法尝试
1. 师生共同用探究出的方法尝试证明书本P94例1
例1：用数学归纳法证明
1
2
+2
2
+… +n
2
=
n(n?1)(2n?1)

6
*
其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由
学生完成。
注意:（1）.证明等式时第一步中
n?1
时左右两边的形式，第二步中
n? k?1
时应增加的式子；
（2）.第二步中证明
n?k?1
命题成立是全局 的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”
n?k
时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“ 凑”目标式。
2.课堂练习
（1）用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)，
当n＝1时，左边所得项是 ；
当n＝k时，等式成立，即
当n从k增加到k+1时，等式左边增加的项为：______________
（2）用数 学归纳法证明等式1+a+a+…+a
（3）用数学归纳法证明等式
2n+1
1?a< br>n?2
=,在验证n=1成立时左边＝________.
1?a
11113
??
?
??
(n≥2,n∈N )过程中 ,由“n=k”变到
n?1n?22n24
“n=k+1”时，不等式左边的变化是_____ __________________.

11111
（4）
求证： ＋
2
＋
3
＋?＋
n
?1?()
n

2
2
2
22
教师主要引导学生参与讨论的内容是：
（1） 当
n?k?1
时，证明的目标是什么？
（2 ）当n=k到
n?k?1
时，左边增加了的项是什么？
（四）理解升华
1.置疑
对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。
2.论证（说理）
师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理
性认识。
3.错例分析（让学生在改错中理解数学归纳法、提高数学归纳法的应用能力）
错例1：用数学归纳法证明1+3+5+ …+（2n-1)= n
2
-1 进行证明时采用了如下的方法
证明：假设当n=k是等式成立，即
1+3+5+…+（2k－1）=k
2
-1
那么，n=k+1时有
1+3+5+…（2k-1）+(2k+1)= k
2
-1+(2k+1)=(k+1)
2
-1
所以n=k+1时等式成立。
所以等式对一切自然数n均成立。
说明：数学归纳法中第一步是基础，不能缺少，缺少了第一步，就失去了保证。
错例2：用数学归纳法证明，当
n?N
*
1+3+5+ …+（2n-1)= n
2

证明：①当n=1时，左边＝1， 右边＝1 等式成立。
2
1?3?5?.........?(2k?1)?k
②当n=k时
本例证明过程中缺少
递推基础这一步，事实
上，当n=1时，左边
＝1，右边 ＝0，左边≠
右边。本题本身是错误
的。
当
n?k?1
时，能否这样证明：


1?3?5??1?3?5?
?
(2k?1)?
?
2(k?1)?1
?
(2k?1)?(2k?1)
1?(2k?1)
?n?k?1
时，等式成立
(k?1)
2

?(k?1)
2
根据①②问可知，对n∈N*，等式成立
第二步中没有用到归纳
假设，没有证明递推关
系，是错误的。
※在第二步中 ,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破
数学归纳法步骤之间 的逻辑严密关系,造成推理无效

(五）小结（师生共同完成）
1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。
2数学归纳法证明命题的两个步骤。
3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。
4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。
5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。
（六）布置作业
选修2－2 P96习题2.3A 1（必做题） B 2（选做题）


教案说明
四会市四会中学 谭术明
1.数学归纳法是一种用于证明与 正整数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步
骤简单、明确，教学重点应该是数学归纳法的理解 和方法的应用．我设想强化数学归纳法产
生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识 当中，把数学归纳法的产生
与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的 背景，从一开
始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对
中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归
纳法 产生的过程分两个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，
再到不完全归纳法 可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想
开始，到认识递推思想，运用递 推思想，直到归纳出两个步骤结束．把递推思想的介绍、理
解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳 法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努
力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n＝k+1命题成立时必须用
到n＝k时命题成立这个条件．例如用数学归纳法，其中第二步采用下面证法：设n＝k时，
等式成立， 即，则当n＝k+1时，即n＝k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思
想要求的不是n＝k ，n＝k+1时命题到底成立不成立，而是n＝k时命题成立作为条件能否保
证n＝k+1时命题成立这 个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改
为 ……以下理解不仅是正确认识数 学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确

的思维方向。因为没有步骤（1 ）命题成立就失去了基础；没有步骤（2）命题成立就失去了
保证。
3.
在教学方法 上
，
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学
生出发。在 教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同
探究多米诺骨牌倒下的原 理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；
培养学生归纳、类比推理的能力，进 而应用数学归纳法，证明一些与正整数
n
有关的简单数
学命题；提高学生的应用能力， 分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结
合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的 主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和
合作性。
同时，我把这节课的内容作出层次分明 的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容
落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方 法予以解决，并获得新的发展．本
节课的教学设计就想在这方面作些研究。