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2019【人教A版】高中数学:必修4课本例题习题改编(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 18:59
tags:高中数学课本

初高中数学学科衔接的研究-高中数学函数在哪本书上


人教版高中数学必修精品教学资料
人教A版必修4课本例题习题改编

1.原题(必修4第十页A组第五题)改编1 下列说法中正确的是( )
A.第一象限角一定不是负角 B.-831°是第四象限角
C.钝角一定是第二象限角 D.终边与始边均相同的角一定相等
解:选C. -330°=-360°+30°,所以-330°是第一象限角,所以A错误;-831°=(-
3) ×360°+249°,所以-831°是第三象限角,所以B错误;0°角,360°角终边与始边均相
同,但它们不相等,所以D错误.
改编2 已知θ为第二象限角,那么
?
是( )
3
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
k360?90?
?
?k?360?180,k?z,?k?120?30??k?120?6 0,k?z

3
?
?
n?z
此时
,
(1) 当
k?3n
?
n?z
?
时,n?360?30??n?360?18 0,
为第一象限
3
3
?
?
角;(2)当
k?3n? 1
?
n?z
?
时,n?360?150??n?360?180,n?z,< br>此时为第二
3
3
?
?
,n?360?270??n?360? 300,
象限角;(3)当
k?3n?2
?
n?z
?
此时为第四象
3
3
解:选D.
限角。
改编3 设
?
角属于第二象限,且
cos
?
?
2
??cos
?< br>2
,则
?
2
角属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:
2k
?
?
?
2
?
?
?2k
?
?
?
,(k?Z), k
?
?
?
4
?
?
2
?k
?
?
?
2
,(k?Z),


k?2n,(n?Z)
时,
?
2
在第一象限;当
k?2n?1,(n?Z)
时,
?
2
在第三象限;

cos
?
2
??cos?
2
?cos
?
2
?0
,
?
?
2
在第三象限;答案:C
2.原题(必修4第十页B组第二题)改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过
141477
的弧度数为( ) A. π B.- π C. π D.- π
331818
1
解:选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了 两周又一周的,用弧度制
3
114
表示就是-4π-×2π=-π.故选B.
33


3.原题(必修4第十九页例6)改编 (1)已知
sin
?

?
(2)已知
sin
?
=
m

(m?0,m??1)
,求
tan
?

解:(1)
1
,且
?
为第二象限角,求
tan
?

3
sin
?
?
1
,且
?
为第二象限角,
3
?cos
?
??1?sin
2
?
=
?
(2)
22
sin
?
2

?tan
??

??
3
cos
?
4
sin
??m(m?0,m??1)
,
?
?
为象限角。当
?
为第 一或第四象限角
2
时,
cos
?
?1?sin
?
=
1?m
2
,
tan
?
?
m
1?m
2
m
1?m
2
;当
?
为第二或第三象限角
时,cos
?
??1?m
,
tan
?
??
2
,综上,
tan
?
的值为
m
1?m
2

?
m
1?m
2

4.原题(必修4第十九页例7)改编 若
asin
?
?cos
?
?1,bsin
?
?cos
?
?1,则ab

2
值是( )A. 0 B. 1 C. -1 D.
解:由已知有:
asi
?
n??1
?
cobs

?
,??sin
?
; 两式相乘得:
absin
2
?
?
?
1?cos
?
??
1?cos
?
?


?1?cos
2
?
?sin
?
2

??
ab?1
?
sin
2
?
?0
?ab?1又sin
?
?0
答案:B
5.原题(必修4第二十二页习题1.2B组第二题)改编 化简
1?sin2x1?sin2x
?

1?sin2x1?sin2x
( ) A.
2tanx
C.
?2tanx
B.
?2tanx
D. 不能确定
?
?
2tan2x
?
解:C .原式=
?
?
?2tan2x
?
?
??
??
x?
?< br>k
?
?,k
?
?
?
44
??
?
3
?
??
x?
?
k
?
?,k
?
?
?
44
??
2sin
?
?cos
?

sin
?
?2cos
?
6.原题(必修4第二十 二页B组第三题)改编 已知
tan
?
?2
,计算:(1)
22< br>(2)
sin
?
?sin
?
cos
?
?2c os
?


sin
2
?
?sin
?< br>cos
?
?2cos
2
?
2tan
?
?13
?
;解:(1)原式
?
(2)原式
?

tan?
?24
sin
2
?
?cos
2
?
t an
2
?
?tan
?
?24
??

2
tan
?
?15
7.原题(必修4第二十三页探究)改编1 化简
1?2sin(??2)?cos(??2)
得( )
A.
sin2?cos2
B.
cos2?sin2
C.
sin2?cos2
D.±
cos2?sin2

解:选C
1?2sin(??2)?cos(??2)
?[sin(??2)? cos(??2)]
2

?|sin(??2)?cos(??2)|=|sin2?cos2|


sin2?0
,
cos2?0
,∴
sin2?cos2?0
,∴1?2sin(??2)?cos(??2)
=sin2?cos2

改编2 设函数
f(x)?asin(?x?
?
)?bcos(?x?
?
)? 4
(其中
a、b、
?

?
为非零实数),

f(2001)?5
,则
f(2010)
的值是( )
A.5 B.3 C.8 D.不能确定
解:.B f(2001)?asin(2001
?
?
?
)?bcos(2001? ?
?
)?4?asin(??
?
)?bcos(??
?
)< br>
??asin
?
?bcos
?
?4?5
,
??asin
?
?bcos
?
?1
,
f(2010)?a sin(2010??
?
)?bcos(2010??
?
)?4?asin< br>?
?bcos
?
?4??1?4?3

8.原题(必修4第二十七页例4)改编 已知角x终边上的一点P(-4,3),则
??
?
cos
?
?x
?
sin
?
??
?x
?
?
2
?
的值为 . < br>?
9
????
cos
?
?x
?
sin
?
?
?x
?
?
2
??
2
?
?< br>?
?
cos
?
?x
?
sin
?
?< br>?
?x
?
?sinx?sinx
?
2
?
?? ?tanx
,根据三角函数的定义,可知解:
?
?
??
9
?
sinx?cosx
cos
?
?x
?
sin
??
?x
?
?
2
??
2
?
tanx?< br>y33
??,所以原式=-tanx?

x44
9.原题(必修4第四十一页练习题6)改编 函数
y?log
1< br>?
cos
?
?
2
?
?
?
x
?
?
?
?
?
?
的单调递增区
34
?
?
?
间为 .


解:
?
?
x
?
?
??
?
x
?
?
?
y?log
1
?
cos
?
??
?
?
?l og
1
?
cos
?
?
?
?
,∴所求的递增 区间就是使
?
34
?
?
?
34
?
?
2
?
2
?
x
??
?
x
?
?y?cos
?
?
?
的值为正值的递减区间,由
2k
?< br>????2k
?
,k?z
得:
342
?
34
?
33
?
?
?6k
?
?x?
?
?6k?
,k?z.
44
∴所求的递增区间为
3
?
3
?
?
?
?6k
?
,
?
?6k
?
?
?
4
?
4
?
3
?
3
?
答案:
k?z?
?
?6k
?
,
?
?6k
?
??
?
?
4
?
4
?
?
k?z< br>?

π

ωx+
?
的图象向右平移个单10.原题 (必修4第五十三页例1)改编 设ω>0,函数y=sin
?
3
??
3< br>位后与原图象重合,则ω的最小值是( )
243
A. B. C. D.3
332
π

ωx+
?
的图象向右平移个单位所得的函数解析式为y=解:选C.函数y=sin
?
3
??
3

π
π

π

x-
?

?
=sin
?
?
ωx+
?

ω
?
,又因为函数y=sin
?
ωx+
?的图象向右平移个单位sin
?
ω
?
3
?
3
?
3
?
3
?
3
??
?
?
?
?
3

33
后与原图象重合,∴
ω=2kπ?ω=
k(k ∈Z),∵ω>0,∴ω的最小值为,故选C.
322
11.原题(必修4第五十六页练习题3)改编
y?sin
?2x?
初相分别为
______
,
______

解:2
?
?
?
?
?
的振幅为
_ _____
,频率和
4
?
1
?

?
?
4

12.原题(必修4第六十页例2)改编 在函数
y?sinx

y?sinx

y?sin(2x?
2
?
)

3
y?tan(2x?
A.
1

2
?
)
中,最小正周期为
?
的函数的个数为( )
3
B.
2
个 C.
3
个 D.
4

解:
y?sinx
中,利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下,


可知
y?sinx
不是周期函数;
y? sinx
的最小正周期为
?
,课本上已有解答;由公式可知
y?sin(2x ?
?
2
?
2
?
)
的最小正周期为
?
,
y?tan(2x?)
的最小正周期为.故答案选B
2
33
1
是关于
x

tan
?
13.原题(必修4第六十九页复习参 考题A组第八题)改编 已知
tan
?

方程
x
2
?kx?k
2
?3?0
的两个实根,且
3
?
?
?
?
解:
7
?
,求
sin
?
cos
?
?sin
2
?
的值.
2
tan
?
?< br>11
7
?k
2
?3?1,?k??2
,而
3
?
?
?
?
?
,则
tan
?
??k?2,< br>得
tan
?
tan
?
2
2
sin
?
cos
?
?sin
2
?
tan
?
?tan
2
?
tan
?
?1
,则
sin
?
cos
?
?sin
?
???1

cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
14.原题(必 修4第七十一页复习参考题B组第六题)改编 已知
x
2
?y
2
? 1,则u?
解:
12y
?
的值域为 .
x
2
x

x
2
?y
2
?1,1
?
x?sec
?
?
?
?可设
?
co s
?
?
?
y?tan
?
12tan
?
22
?u???cos
?
?2sin
?
??sin
?
? 2sin
?
?1

2
sec
?
sec
?< br>??
?
sin
?
?1
?
?2,其中?1?sin?
?1
2
时,u??2,当sin
?
?1时,u?2

u随sin
?
的增大而增大。
又当sin
?
??1
∴所求值域为(-1,2).
15.原题(必修4第九十二页习题2.2B组第四题)改编 设向量
a,b

足:
|a|?3
,
|b|?4
,
a?b?0
.以
a,b,a?b
为边长构成三角形,则它的边与半径为
1的圆的
公共点个数最多为 个.
解:可得
a?b?a< br>2
?b
2
?2a?b?5
,设该三角形内切圆的半径为
r,则
(4?r)?(3?r)?5?r?1
,∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角 形的内切圆,此
时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交 点.答
案:4
Oy
是平面内相交成
60
16.原题(必修4第一百 零二页习题2.3B组第四题)改编1 设
Ox

0


角的两 条数轴,
e
1

e
2
分别是与
x
轴、y
轴正方向同向的单位向量,若向量
OP?xe
1
?ye
2,
则把有序数对
(x,y)
叫做向量
OP
在坐标系
xO y
下的坐标。假设
OP?3e
1
?2e
2
,(1)计算(2)由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理?
|OP|
的大小;
解:(1)
|OP|?19
;(2)对于任意向量
OP?xe
1
? ye
2
,
x
,
y
都是唯一确定的,分解唯一,
所以 向量的坐标表示的规定合理。
改编2 给定两个长度为1的平面向量
OA

OB
,它们的夹角为
90
.点C在以O为圆心的
圆弧
AB
上变动,若
OC?xOA?yOB
,其中
x,y?R
,则
xy
的范围是________.
解:由
OC?xOA?yOB?OC?x
2
OA?y
2
OB?2xyOA?OB
222
,又
OC?OA?OB? 1,OA?OB?0
,∴
1?x?y?2xy
,得
22
xy?
1
2
,而点C在以O为圆心
的圆弧
AB
上变动,得
x,y ?[0,1]
,于是
0?xy?
1
2
.
0
改编3 如图,在平面直角坐标系xoy中,向量
OP?(11,)
,将数轴Oy绕着O点顺时针旋转< br>30

Oy
?
,设
e
1
?
,e2
?
分别是与Ox轴、
Oy
?
轴正方向同向的单位向量,若向量
OP
?
?e
1
?
?e
2
?
,求< br>cos?POP
?
的值.
解:由已知,

OP?i?j .(i,j是x轴,y轴正方向上的单位向量,且i=e
1
?

y
y
?
P
OP?OP
?
?(i?j)?(e
1?
?e
2
?
)


?i?e< br>1
?
?j?e
1
?
?i?e
2
?
? j?e
2
?

O
P
?

x
13

?1+0++

22

=
3+3

2
2,OP
?
?(e
1
?
?e
2
?
)
2
?3

OP?


3?3
OP ?OP
?
6?2
2

cos?POP
?
?cos? OP,OP
?
??

??
4
2?3
OPOP
?
17.原题(必修4第一百零五页例4)改编 已知
a?
?
cosx,s inx
?
,b?
?
cos
?
,sin
?
?
,ka?b?3a?kb
(k>0)(1)求证:
a?b?a?b
;(2)将
a与b
数量积表示为关于k的函数f(k);(3)求f(k)
的最小值及相应
a
,
b
夹角θ
解:(1)
????
a?
?cos
?
,sin
?
?
,b?
?
cos
?
,sin
?
?
????
?
?
a?b
?
?
?
a?b
?
?a?b?a?b?a?b?a?b?0
22 22
(2)
ka?b?3a?kb?ka?b
??
2
?3a?kb< br>
??
2
k
2
?11
?
1
?
?a?b?故f
?
k
?
?
?
k?
?
4 k4
?
k
?
(3)
?f
?
k
?
? 4?2k?
?
k?0
?

当k?
1
k
11
?
k2
?
k?0
?
k?1
时,取等号,此
时,
cos?
a?b
ab
?
1
,又∵
o?
?
?
?
2
?
?
?60

18.原题( 必修4第一百零六页练习2)改编1已知△ABC中,向量
AB?(x,2x),AC?(3x,2)< br>,
且∠BAC是锐角,则x的取值范围是 。
?
?
ABA C?0
解:本题容易忽视向量
AB,AC
方向相同的情况。由
?
可得 x的取值范
?
?
AB?
?
AC(
?
?0)
411
围是
(??,?)?(0,)?(,??)
.
333
改编2 已知△ABC中,向量
AB?(x,2x),AC?(?3x,2)
,且∠BAC是钝角,则x 的取值范围
是 。
?
?
ABAC?0
解:本题容易忽视 向量
AB,AC
方向相反的情况。由
?
可得x的取值范
?
?
AB?
?
AC(
?
?0)
114
围是
(? ?,?)?(?,0)?(,??)
.
333
19.原题(必修4第一百零八页习题2.4B组第四题)改编1 如图,在圆
C
中,点
A,B
在圆


上,
AB?AC
的值 ( )
(A)只与圆C的半径有关;(B)只与弦
AB
的长度有关
(C)既与圆C的半径有关,又与弦
AB
的长度有关
(D)是与圆
C
的半径和弦
AB
的长度均无关的定值
解:答案为B。




改编2 如图2,在半径为r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,那么
??????
A B?AC
的值可由下列哪些量唯一确定。请写出所有满足题意的选项的序号
???
2< br>_________________.①.
r
②. 弦AB的长 ③.
?BAC
④.
?BCA

解:根据数量积的意义,
AB?AC?ABACcos?BAC?
???
????????????
AB
2
,
C
r
B
故②正确;而
AB?2rcos?BA C
,故③正确;在
?ABC
中根据余弦定理可求得
A
???2
AB?r
2
?r
2
?2r?rcos?BCA
,故④ 正确。答案:②③④ (图2)
??????
改编3 如图2,在半径为
r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,
AB? AC
的取值范围为_________________.
2
解:当B点和A点重合 时
AB?0
,
?AB?AC?0
;当
AB
为圆的直径时AB?AC?2r
,
????
????????????
答案:
0,2r
?
2
?

??????
改编4 如图4,在半径为
r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若
???
AB? AC?AD
,且点D也圆C上,则
AB?AC?
_________________.
??????

(图4)
A
解:根据向量加法的平行四边形法则,四边形
ABCD
为平行四边形,
????????????
??????
r
C
D
B < br>r
2
r
2

CD?AC?BC?AB?r
,
?
?ABC
为正三角形
?AB?AC?
,答案:
22
改编5 如图5,在半径为
r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆 上的一个动点,若
AC?CB?AC?CB
,则
AB?AC?
_________________.

A
C
????????????
??????
r
B



(图5)
解:由
AC?CB
??????
2
???
2
?AC?CB
,得
AC?CB?0
,
?AC?CB?AB?AC ?r
2
,答案:
r
2

???
??????????????????
改编6 如图,在半径为
r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点。若点D也
圆C上,且
CA, CB,CD
两两所成的角相等,则
AB?AC?
_________________.




(图6)
??????????????????
?????????
??????
D
C
r
A
0
B
解:
?CA,CB,CD两两所成的角相等,
?CA,CB,CD
两两所成的角为零角或
120
角 ,且
3r
2
3r
2
,答案:0或
CA?CB?CD?r< br>,易知
AB?AC?
0或
22
?????????
????? ?
改编7 如图,在半径为
r
的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动 点。若点A、B、
C不共线,且
AB?tAC?BC

?t?
?0,??
?
恒成立,则
AB?AC?
______________.
解:根据数乘向量与向量减法的意义,点D在射线AC上,
?????????
?? ????
?AB?tAC?DB
,由
DB?BC
恒成立,则
AC?C B?AB?AC?r
2

A
答案:
r
(图7)
2
?????????
??????
????????????
D
C
r

B
20.原题(必修4第113页复习参考题B组第三题)改编 已知对任意平面向量AB=(x,y) ,
把向量a,b绕其起点沿顺时针方向旋转a角得到向量AP=(xcosa-ysina,xsina +ycosa),叫
做把点B绕点A沿顺时针方向旋转a角得到点P。已知平面上的点A(1,2),点 B(3,4),
把点B绕点A沿逆时针方向旋转45°后得到点P,则向量BP的坐标为_______ _.
解:AB向量坐标为(2,2),旋转后得到AP向量坐标为(22,0),所以P(22+1,2) 故
BP向量坐标为(22-2,2)
21.原题(必修4第一百二十页复习参考题B组第五题)改编 在△
ABC
所在的 平面内有一
→→→→

P
,满足
PA

PB

PC

AB
,则△
PBC
与△
ABC
的面积之比是( )
1
A.
3

12
B. C.
23

3
D.
4
→→→→→→→→→→解:由
PA

PB

PC

AB
,得
PA

PB

BA

PC
=0,即
PC
=2
AP
,所以点
P

CA
边上的三等分点 ,


如图所示.故
S

PBC
PC
2
==.
S

ABC
AC
3
22.原题(必修4第一百二十 页复习参考题B组第六题)改编 如图,已知
M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为OA?a,OB?,b|a|?2,|b?|
任意点
3
N,点C为线段AB中点, 则
MN?OC?
____________.
解:
OM?OS?2OA
,
ON?OS?2OB

M
N
A
C
?MN?ON?OM?2(OB?OA)


OC?
B
1
OA?OB

2
22
MN?OC?(OB?OA)?(OB?OA)?OB?OA?5

故答案为5
23.原题(必修4第一百二十七页例
O
S
2)改编 已知
4
co
?
s??
5
?
?
?
?
,?
?
3
?
2
?
?
?
3
?
,
?
?
2
?
1
?
??
?
?
?
,
?

,,t
?
?a?n
??
?

,
cos
?
?
?
3
?
2
?
43
,

?sin
?
??

55
解:
?
?
?
?
,
?
?
,
cos
?
??
1
31010
?
?
?< br>。
,sin
?
?
?
?
?
,
??
,
tan
?
??,

?cos
?
??
3
1010
2
??
310
?
3
?10310
?
4
?

?cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
?
?
?
?
?(?)?
?
?
?
??
1010
?
5
??
5
?
1 0
2
24.原题(必修4第137页A组第十题)已知:
tan
?
,
tan
?
是方程
x?8x?3?0
的两根,
试求
t an(
?
?
?
)
的值.
2
改编 已知:
tan
?
,
tan
?
是方程
x?8x?3?0
的 两根,

sin(
?
?
?
)?3sin(
??
?
)cos(
?
?
?
)?2
的值。
解:由题意有
tan
?
?tan
?
?8
,
tan
?
tan
?
??3
,

tan(
??
?
)?
2
tan
?
?tan
?
8< br>??2
,
1?tan
?
tan
?
1?(?3)
sin(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?2

2


sin
2
(
?
?
?
)?3sin(
??
?
)cos(
?
?
?
)?2[sin
2(
?
?
?
)?cos
2
(
?
?
?
)]

?
22
sin(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
3tan
2
(
?
?
?
)?3tan(
?
?
?
)?23?2
2
?3?2?28
???
.
22
tan(
?
?< br>?
)?12?15
25.原题(必修4第一百三十九页例1)改编 化简:
21?sin4?2?2cos4
的结果
是 .
解:2sin2
26.原题(必修4第147页复习参考题B组第七题)改编 如图, 正方形ABCD的边长为1,P、
Q分别为AB、DA上的点,当∠PCQ=
45
0< br>时,求△APQ的周长.
解:设
?DCQ?
?
,?BCP?
?
,DQ?x,BP?y


tan
?
?x,tan
?
?y,
?
?
?
?45
0

D
C
tan(
?
?
?
)?
x?y
?1

1?xy
Q

x?y?1?xy

∴△APQ的周长为AP+AQ+PQ
22

?1?x?1?y?(1?x)?(1?y)

A
B
P
22

?2?(x?y)?2?x?y?2(x?y)


?2?(x?y)?x
2
?y
2
?2xy


?2?(x?y)?(x?y)

=2
27.原题(必修4第一百四十七页复习参考题B组第六题)改编 若函数
?
f(x )?3sin2x?2cos
2
x?m
在区间
[0,]
上的最小值为 3,求常数
m
的值及此函数当
2
x?[a,a?
?
]
(其中
a
可取任意实数)时的最大值.
x?[0,]
f(x)?3sin 2x?cos2x?m?1?2sin(2x?)?m?1
,
2
6
??
7
??
1
]
,
sin(2x?)?[?,1]
,
?m?3
,由于
f(x)
最小正周期为
?
,所以当
a
时,
2x??[,
66662
解:
?
?


取 任意实数时,
f(x)
区间
[a,a?
?
]
上的最大值是6 .

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