2018高考数学(理)冲刺复习 教师用书 全国通用

|a|
2
－2a·b＋|b|
2
＝|b|＝2，选项B正确．
2π
3．(2016·重庆二测)设单位向量e
1
，e
2
的 夹角为，a＝e
1
＋2e
2
，b＝2e
1
－3e
2
，则b在a
3
方向上的投影为( )
3333
A．－ B．－3 C.3 D.
22
2π
1
解析：选A 依题意得e
1
·e
2
＝1×1×cos＝－，|a|＝
32
（e
1＋2e
2
）
2
＝
2
e
2
1
＋ 4e
2
＋4e
1
·e
2
9
－
2
9 a·b
2
＝3，a·b＝(e
1
＋2e
2
)·(2e
1
－3e
2
)＝2e
2
因此b在a方向上的投影为＝
1< br>－6e
2
＋e
1
·e
2
＝－，
2|a|3
33
＝－，选A.
2
4．(2016·天津高考)已知△ABC是边 长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC
的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF ，则
51111
A．－ B. C. D.
8848
·的值为( )


b
a－t
?
5．(2016·长春质检)已知向量 a＝(1，3)，b＝(0，t
2
＋1)，则当t∈[－3，2]时，
?
|b |
??
的取值范围是________．

b
bb
a －t
?
表示同起点的向量t的解析：由题意，＝(0，1)，根据向量的差的几何意义，
?
|b|
??
|b||b|
终点到a的终点的距离，当t＝3时，该距离取 得最小值1，当t＝－3时，该距离取得最大
b
a－t
?
的取值范围是[1， 13 ]． 值13，即
?
|b|
??
答案：[1，13 ]
[技法融会]
1．平面向量数量积运算的2种形式
(1)依据模和夹角计算，要注 意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通
过选择求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思
想解决问题 ，化形为数，使向量问题数量化．
2．(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向 量解决问题时要特别注意两
个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求 其数量积小于
零，还要求不能反向共线．

一、平面向量与其他知识的交汇
平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解
析几何、函数、 不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，
二是通过运算作为命题条件 ．
[新题速递]
1．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x) ＝－2x
3
＋3|a|x
2
＋6a·bx＋5在R
上单调递减，则向 量a，b夹角的取值范围是( )
ππ
A.
?
0，
?
B.
?
0，
?

6
?
3
???
π 2π
C.
?
0，
?
D.
?
，π
?

6
???
3
?
解析：选D 设向量a，b的夹角为θ，因为f(x) ＝－2x
3
＋3|a|x
2
＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝
－ 6x
2
＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上 恒成立，所以Δ＝36|a|
2
1
－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤ －|a|
2
，因为a·b＝|a|·|b|cos
θ
，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cos
4
θ
＝
2
|a|
2
·cos
θ
≤－
4
|a|
2
，解得cos
θ
≤－
2
，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值
范围是
?
111
?
2π
?
，π
?
，故选D.
3
? ?

2．(2016·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)， 且a∥b，若x，y均为正
32
数，则＋的最小值是( )
xy
85
A．24 B．8 C. D.
33
32
32
?
11
＋
×(2x＋3y)＝解析：选B ∵a∥b，∴－2x－3(y －1)＝0，即2x＋3y＝3，∴＋＝
?
xy
?
xy
?
3 3
9y4x1
(6＋＋＋6)≥
?
12＋2
xy3
?
是8.故选B.
[技法融会]
这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由 函数的性质把问题转化为平
面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平 面向量的知识得到
关于x和y的一个等式，再利用基本不等式求解．
二、新定义下平面向量的创新问题
近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数 量积运算的频率较大，其形
式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙 述的问题的本
质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．
[新题速递]
1．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b 是一个向量，
它的长度|a×b|＝|a||b|sin θ，若u＝(2，0)，u－v＝(1，－3)，则|u×(u＋v)|等于( )
A．43 B.3 C．6 D．23
解析：选D 由题意v＝u－(u－v)＝(1，3)，则u＋v＝( 3，3)，cos〈u，u＋v〉＝
3
，
2
332
9y4x
?
·
＝8，当且仅当2x＝3y＝
2
时，等号成立．∴
x
＋
y
的最小值
xy
?
11
得sin〈u，u＋v〉＝，由定义 知|u×(u＋v)|＝|u|·|u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×23×＝23.
22
故选D.
2．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈 a，b〉是a与b
的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a
2
＋b
2
；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a
－b)＝4a·b；③若|a|＝ |b|，则a⊙b≤2|a|
2
；④若a＝(1，2)，b＝(－2，2)，则(a＋b)⊙b ＝10.
其中真命题的序号是________．
解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则 a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a
2
＋b
2
，所以①成立；②中，
因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|× |2b|＝4|a||b|，所以②
不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×| a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－

|a＋b|
2
＋| a－b|
2
b|≤＝2|a|
2
，所以③成立；④中，因为a＝(1，2)， b＝(－2，2)，所以a＋b＝(－
2
3343344534
1，4)，sin〈( a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝35×5×＝，所以④不成立．
343434
答案：①③
[技法融会]
此类题目是新定义下平面向量的运 算，破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平
面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题的切 入口．
一、选择题
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
3553
A．－ B．－ C. D.
2332
解析：选A 因为c ＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，
3
解得k＝－.
2
2．(2016·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a －b)，则向量a与向量b的夹角为
( )
πππ2π
A. B. C. D.
6433
解析：选B ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a
2
－ a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉
π
2
＝，∴〈a，b〉＝ .
24
3．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则下列结论正确的是( )

π
3
4．(2016·贵州模拟)若单位向量e
1
，e
2
的夹角为，向量a＝e
1
＋λe
2
(λ∈R )，且|a|＝，
32
则λ＝( )
1313
A．－ B.－1 C. D.
2222
1131
解析：选A 由题意可得e
1
·e
2
＝，|a|
2
＝(e
1
＋λe
2
)2
＝1＋2λ×＋λ
2
＝，化简得λ
2
＋λ＋＝
224 4
1
0，解得λ＝－，选项A正确．
2
π
5．(2016·湖南六校联考)设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan
?
α－
?
4
??
＝( )
11
A．－ B. C．－1 D．0
33
?
π
?
tan
α
－1
解析：选B 由已知可得，a·b＝2cos
α
－sin
α
＝0，∴tan
α
＝2，tan
?
α－
?
＝＝
?
4
?1＋tan
α
1
，故选B.
3
6．已知向量a，b，c中任 意两个向量都不共线，但a＋b与c共线，b＋c与a共线，则
a＋b＋c＝( )
A．a B．b C．c D．0
解析：选D ∵a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴可设a＋b＝λc，b＋c＝μ a，两式作差
整理后得到(1 ＋λ)c＝(1＋
μ
)a，∵向量a，c不共线，∴1＋λ＝0，1＋μ＝0，即λ＝－1，< br>μ
＝－1，
∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.故选D.
11
7． (2016·山西质检)已知a，b是单位向量，且a·b＝－.若平面向量p满足p·a＝p·b＝，
22
则|p|＝( )
1
A. B．1 C.2 D．2
2
1
13
解析：选B 由题意，不妨设a＝(1，0)，b＝
?－，
?
，p＝(x，y)，∵p·a＝p·b＝，
2
?
22< br>?
??
∴
?
解得
?
∴|p|＝
1313?
－
2
x＋
2
y＝
2
，
?
y ＝
2
，
1
x＝，
2
1
x＝，
2
x
2
＋y
2
＝1，故选B.
8．(2016·石家庄一模)A，B， C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若
(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1，2 ] D．(－1，0)
解析：选B 由题意可得 (01
所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ 的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．
k
9．(2016·江西赣南五校联考)△ABC 的外接圆的圆心为O，半径为1，若
则向量
13
A. B.
22
13
C．－ D．－
22
解析：选A 由
所以
＝60°.所以向量
由题意知
方向 上的投影为|
可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，
＝1，故△OAB为等边 三角形，所以∠ABC
1
|cos∠ABC＝1×cos 60°＝.故选A.
2
D为边BC的中点，则||等于( )
方向上的投影为( )
10．已知△ABC中，
A．6 B．5 C．4 D．3

11． 在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称．若向量a＝(1，k)，则满足不等式
的点A(x，y) 的集合为( )
A．{(x，y)|(x＋1)
2
＋y
2
≤1}
B．{(x，y)|x
2
＋y
2
≤k
2
}
C．{(x，y)|(x－1)
2
＋y
2
≤1}
D．{(x，y)|(x＋1)
2
＋y
2
≤k
2
}
解析：选C 由A(x，y)可得B(－x，y)，则
化为x
2
＋y
2
－2x≤0，即(x－1)
2
＋y
2
≤1，故选C.
1 2．(2016·广州五校联考)已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量
＝(－2x，0 )，不等式可

则
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A 如图，
的最大值为( )

设A(m，0)，B(0，n)，∴mn＝2，则a ＝(1，0)，b＝(0，1)，
(m－1，－2)，＝(－1，n－2)，
＝a＋2b＝(1 ，2)，＝
＝5－(m＋2n)≤5－22nm＝1，当且仅当m＝
2n，即m＝2，n＝1时，等号成立．
二、填空题
13．(2016·兰州模拟)已知m∈R，向量a＝(m，1)，b＝(2，－ 6)，且a⊥b，则|a－b|＝________.
解析：∵a⊥b，∴a·b＝2m－6＝0，m ＝3，∴a－b＝(1，7)，∴|a－b|＝
答案：52
14．已知a，b是非零向量，f (x)＝(ax＋b)·(bx－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|＝1，
则f(x)＝ ________.
解析：由f(x)＝a·bx
2
－(a
2
－b
2
)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，所
以a< br>2
＋b
2
＝4.
因为|a|＝1，所以a
2
＝1，b
2
＝3，所以f(x)＝2x.
答案：2x
15．(2016·合肥质检)已知等边△ABC的边长为2，若
＝________.
＝3，则
1＋49＝52.

答案：－2
2π
16．( 2016·福州模拟)已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉＝，3

|c|
则的最大值为________．
|a|
解析 ：设＝a，＝b，则
＝c，则
＝a－b.∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b |，
＝c－a，
2π
＝c－b.∵〈c－a，c－b〉＝，
3
∴ △OAB是等边三角形．设
|c|
∴点C在△ABC的外接圆上(如图所示)，∴当OC为△A BC的外接圆的直径时，取得最大值，
|a|
为
23
＝.
3
cos 30°
1

23
答案：
3


题型专题(四) 不等式


(1)一元二次不等式ax
2
＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b
2
－4ac>0)，如果a与ax< br>2
＋bx＋c同
号，则其解集在两根之外；如果a与ax
2
＋bx＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号
两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、 指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般
为一元二次不等式)求解．
[题组练透]
1．(2016·河北五校联考)如图，已知R是实数集，集合A＝{x|lo g
1
(x－1)>0}，B＝
2
?
2x－3
?
?< br>x|<0
?
，则阴影部分表示的集合是( )
x
??

A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1) D．(0，1]

3
??
解析：选D 由题意可知A＝{x|1?
x|02
?
，且图中阴影部分表示的是B∩(?RA)
? ?
＝{x|02．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不 等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0
的解集是( )
3131
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
B.
?
－，
?
A.
?
2
??
2
???
22
?
1313
－∞，－
?
∪
?
， ＋∞
?
D.
?
－，
?
C.
?
2
??
2
???
22
?
解析：选A 由f(x)>0，得ax
2
＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，
1－ab
?
?
a
＝2，
1
∴a<0，且
?
解得a＝－1或(舍去)，
3
b
?
?
－
a
＝－3 ，
∴a＝－1，b＝－3，
∴f(x)＝－x
2
＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x
2
－4x＋3，
由－4x
2
－4x＋3<0，得4x
2
＋4x－3>0，
13
解得x>或x<－，故选A.
22
?
?
lg（x＋1 ），x≥0，
3．(2016·泉州质检)设函数f(x)＝
?
3
则使得f( x)≤1成立的x的取值范
?
－x，x<0，
?
围是________． < br>??
?
x≥0，
?
x<0，
解析：由
?
得0 ≤x≤9，由
?
得－1≤x＜0，故f(x)≤1的解集为[－1，
3
?lg（x＋1）≤1
?
－x≤1
??
9]．
答案：[－1，9]
[技法融会]
1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次 项系数化为正数；第二步，解对应的一元
二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两 边，小于夹中间”得不等式
的解集．
2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax
2
＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或
错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.

a＋b
基本不等式：≥ab
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它 们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的
积有最大值．
[题组练透]
1．已知关于x的不等式2x＋
35
A．1 B. C．2 D.
22
22
解析：选B 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2
x－ax－a< br>2
2（x－a）·＋2a＝4＋2a，由题
x－a
2
≥7在x∈(a， ＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( )
x－a
33
意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为，故选B.
22
2．(2016·湖北七市联考)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x
2
＋y
2
－2x－4y＝0截得
的弦长为25，则ab的最大值是( )
95
A．9 B. C．4 D.
22
解析：选B 将圆的一般方程 化为标准方程为(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝5，圆心坐标为(1，2)，
9
半径r＝5，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2a·2b，可得ab≤， 当且仅当a＝
2
9
2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.
2
3．要制作一个容积为4 m
3
，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容 器的底面造价是每
平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
解析：选C 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方
4
体的容积为4 m
3
，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，
x
2×4
?
依题意，得y＝20×4＋10
?
2x＋

x
??
4
x＋
?
≥80＋20×2 ＝80＋20
?
?
x
?
4
x·
x
4
当且仅当x＝，即x＝2时取等号
?
. ＝160
?
x
??

所以该容器的最低总造价为160元． < br>11
＋
4．(2016·江西两市联考)已知x，y∈R，且x＋y＋＋＝5，则x＋y 的最大值是( )
xy
79
A．3 B. C．4 D.
22
x＋yx＋y
11
解析：选C 由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y ＋，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x
xyxy2
?
x＋y
?
??
?
2
?
4
＋y＋，∴(x＋y)
2
－5(x＋ y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.
x＋y
[技法融会]
1．利用不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法 直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而
可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分
开再利用不 等式求最值．
2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺 一
不可.

解决线性规划问题的一般步骤
(1)作图——画出约束条件所 确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意
一条直线l.
(2)平移——将l平 行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l和
可行域边界的斜率的大小进行比较．
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
[题组练透]
y≥1，
?
?
1．(2016·河南六市联考)已知 实数x，y满足
?
y≤2x－1，
如果目标函数z＝x－y的最小值
?
?
x＋y≤m，
为－1，则实数m＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移

?
?
y＝2x－1，
?
?
x＝2，
l可 知，当直线l经过A时，z＝x－y取得最小值－1，联立
?
得
?
即A(2，
?
?
x－y＝－1，
?
?
y＝3，
3)，又A(2 ，3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5，故选B.

x－y＋2≥0，
?
?
2．(2016·福建质检)若x，y满足约束条件
?
y＋2≥0，
则(x＋ 2)
2
＋(y＋3)
2
的最小值为
?
?
x＋y＋2 ≥0，
( )
9
A．1 B.
2
C．5 D．9
解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P(－2，
|－2－3＋2|
3
3
?
2
?
22
－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所 以(x＋2)＋(y＋3)的最小值为＝
?
2
?
22
9
，故 选B.
2

x－y＋1≥0，
?
?
3．(2016·全国 甲卷)若x，y满足约束条件
?
x＋y－3≥0，
则z＝x－2y的最小值为____ ____．
?
?
x－3≤0，
x－y＋1≥0，
?
?解析：不等式组
?
x＋y－3≥0，
表示的可行域如图中阴影部分所示．
?
?
x－3≤0

11
由z＝x－2y得y＝x－z.
22
1
平移直线y＝x，易知 经过点A(3，4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
2
答案：－5 2x＋y－2≤0，
?
?
y－1
4．(2016·山西质检)设实数x， y满足
?
x－y＋1≥0，
则的最小值是________．
x－1
?
?
x－2y－1≤0，
y－1
解析：画出不等式组所表示的可行域，如图 所示，而表示区域内一点(x，y)与点D(1，
x－1
y－1
141
1)连 线的斜率，∴当x＝，y＝时，有最小值为－.
332
x－1

1
答案：－
2
5．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、乙两种新型材料．生产
一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，
乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为
900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产
品 A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产产品A x件，产品B y件，由已知可得约束条件为
?
?
x＋0.3y≤90，
?
5x＋ 3y≤600，
?
?
x∈N，y∈N，
1.5x＋0.5y≤150，
?
?
10x＋3y≤900，
即
?

5x＋3y≤600 ，
?
?
x∈N，y∈N.
3x＋y≤300，

目标函 数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．

作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点B时，z取得最大值 ，联立
?
?
10x＋3y＝900，
?
解得B(60，100)．
?
5x＋3y＝600，
?
则z
max
＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
[技法融会]
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
线性目标函数z＝ ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y
azz
＝－x＋ ，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么
bbb
情况 下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意 目标函数中y的系数的正负；
注意最优整数解．


1．不等式的可乘性
(1)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(2)a>b>0，c>d>0?ac>bd.
2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查 ，但在一些题的某一点可能考查，在今后复
习中应引起关注．
[题组练透]
11
1．(2016·河南六市联考)若<<0，则下列结论不正确的是( )
ab


A．a
2
2
B．ab2

C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D 由题 可知b错误，选D.
2．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac
2
>bc
2

ab
B．若>，则a>b
cc
11
C．若a
3
>b
3
且ab<0，则>
ab
11
D．若a
2
>b
2
且ab>0，则<
ab
解析：选C 当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；对于C，由a3
>b
3
11
且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正确；当a <0且b<0时，可知D不正确．
ab
[技法融会]
1．判断多个不等式是否成立 ，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用
特殊法排除．
2．利用不等式性质解决问题的注意事项
(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；
(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；
(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
一、选择题
1
－，＋∞
?
，1．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集 是(－∞，－1)∪
?
?
2
?
则a＝( )
11
A．2 B．－2 C．－ D.
22
1
解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax
2
＋x(a－1)－1
2
1
1
－
?
＝－，所以a＝－2，故选B. ＝0的两个根，所以－1 ×
?
?
2
?
a
2．(2016·北京高考)已知A(2，5 )，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大
值为( )
A．－1 B．3 C．7 D．8
解析：选C 作出线段AB，如图所示．

作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.
a
3．(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪ [4，＋∞)，则
x
a的值是( )
13
A. B. C．1 D．2
22
a
解析：选C 由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2 ≥2a＋2，当且仅当x＝a时
x
a
取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－ 2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以
x
?
?
2－2a＝0，
?
解得a＝1，故选C.
?
?
2a＋2＝4，
4．已知函数f(x )＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集
为( )
A．{ x | x >2或x <－2} B．{ x |－2< x <2}
C．{ x | x <0或x >4} D．{ x |0< x <4}
解析：选C 由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)(ax ＋b)，(2a－b)x
＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)( x＋2)．
又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0， 解得x<0或x>4.故选
C.
5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac
2
>bc
2
，且c≠0，则a>b；
②若a> b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a> b，c> d，则ac>bd；
11
④若a> b，则>.
ab
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B ①ac
2
>bc
2
，且c≠0，则a>b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正
确；③需满足a，b，c，d均为 正数才成立；④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1>

11
－2，但 <.故选B.
－1－2
?
?
x＋y－4≤0，
6．(2016·安 徽江南十校联考)若x，y满足约束条件
?
则z＝y－x的取值范围
1
??
y≥
2
x，
2
3x－y≥0，
为( )
1
－，2
?
A．[－2，2] B.
?
?
2
?
1
－，1
?
C．[－1，2] D.
?
?
2
?
解析：选B 作出可行域(图略 )，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y
1
＝0与x＋y－4＝0的 交点(1，3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝x
2
相切时，z取得最
2?
?
z＝y－x，
11
小值，由
?
1
消去y得 x
2
－2 x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－，故－≤z≤2，
22< br>y＝x
2
，
?
?
2
故选B.
1a
7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x，不等式
2
≤恒成立，则实数a的最小值< br>x＋1
x
为( )
12
A．1 B.2 C. D.
22
解析：选C 因为
1axx11
≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时 取等号)，
22
12
x
2
＋1
x
x＋1x＋1x＋
x
1
所以a≥.故选C.
2
x≥1，
?
?
8．(2016·河南八市联考)已知a>0，x，y满足约束条件
?
x＋y≤3，
若z＝3x＋2y的
?
?
y≥a（x－3），
最小值为1，则a＝( )
113
A. B. C. D．1
424
解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，

3z3z
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y 轴上的截距为，随z变化的一
2222
z
族平行直线，当直线z＝3x＋2y经过点B 时，截距最小，即z最小，又B点坐标为(1，－2a)，
2
1
代入3x＋2y＝1， 得3－4a＝1，得a＝，故选B.
2
9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料 ，已知生产1吨每种产品所需原料
及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分 别为3万元、4万元，
则该企业每天可获得最大利润为( )

A(吨)
B(吨)
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D 设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，
则有z＝3x＋4y，
甲
3
1
乙
2
2
原料限额
12
8
?
?
x＋2y≤8，
由题意 得x，y满足
?
x≥0，
?
?
y≥0，

3x＋2y≤12，


作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有 关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过
点B(2，3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大 利润为18万元．故选D.
10．(2016·湖北七市联考)设向量a＝(1，k)，b＝(x，y )，记a与b的夹角为θ.若对所有满

π
足不等式|x－2|≤y≤1的x，y ，都有θ∈
?
0，
?
，则实数k的取值范围是( )
2
??
A．(－1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
解析：选D 首先画出不等式|x－2|≤y≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，

令z＝a·b＝ x＋ky，∴问题等价于当可行域为△ABC时，z>0恒成立，且a与b方向不相
k＋1>0，
?
?
同，将△ABC的三个端点值代入，即
?
k＋3>0，
解得k >－1，当a与b方向相同时，1·y＝x·k，
?
k>0，
?
2＋0·y
则k＝∈[0，1]，∴实数k的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D.
x
14y
11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋2
－3m 有解，则实数m的取值范
xy4
围是( )
A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4，1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
14
解析：选B 由题可知，1＝＋≥2
xy
44y
＝，即xy≥4 ，于是有m
2
－3m>x＋≥xy
xy4
xy
≥4，故m
2
－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞) ．
12．设二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c的导函数为f′(x)．若?x∈ R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，
b
2
则
2
的最大值为( )
a＋2c
2
A.6＋2 B.6－2
C．22＋2 D．22－2
解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立 ，得ax
2
＋(b－2a)x＋c
b
2
－b≥0在R上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b≤4ac－4a，则
2
≤＝，
2
a＋2c
2< br>a
2
＋2c
2
c
?
2
?
?
a
?
＋1
cccb
2
4t
又4ac－4a≥0，∴4·－4 ≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，
2
≤
aaa
a＋2 c
2
2t
2
＋4t＋3
2
22
4ac－4a
2
c
－1
?
4
?
?
a
?

446b
2
b
2
＝≤＝6－2(当且仅当t＝时等号成立)，当t＝ 0时，
2
＝0，故
22
32
a＋2ca＋2c
2
2 t＋＋4
26＋4
t
的最大值为6－2，故选B.
二、填空题
1 3．(2016·湖北华师一附中联考)若2
x
＋4
y
＝4，则x＋2y的最 大值是________．
解析：因为4＝2
x
＋4
y
＝2
x
＋2
2y
≥22
x
×2
2y
＝22
x
＋
2y
，所以2
x
＋
2y
≤4＝2
2，即x＋2y≤2，
当且仅当2
x
＝2
2y
＝2，即x＝2y＝ 1时，x＋2y取得最大值2.
答案：2
x＋y－2≥0，
?
?
y1
14．(2016·河北三市联考)如果实数x，y满足条件
?
x－1≤0，且z＝的最小值为，
2
x＋a
?
?
y－2≤0，
则正数 a的值为________．
解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝ 1，y＝1时，z
111
取最小值，即＝，所以a＝1.
2
1＋a
2

答案：1
x≥0，
?
?< br>x＋2y＋3
15．(2016·江西两市联考)设x，y满足约束条件
?
y≥ x，
则的取值范围是
x＋1
?
?
4x＋3y≤12，
___ _____．
x＋2y＋3x＋1＋2（y＋1）y＋1y＋1
解析：设z＝＝＝1＋2·， 设z′＝，则z′的几何意义为
x＋1x＋1x＋1x＋1
动点P(x，y)到定点D(－1， －1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z′∈[k
DA
，
k
DB
]，易得z′∈[1，5]，∴z＝1＋2·z′∈[3，11]．

答案：[3，11]
16．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x的不等 式ax
2
＋bx＋c>0的解集为
(－1，2)，解关于x的不等式ax
2< br>－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解：由ax
2
＋bx＋c>0的解集 为(－1，2)，得a(－x)
2
＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)，即
关 于x的不等式ax
2
－bx＋c>0的解集为(－2，1)．
x＋b11
k
－1，－
?
∪
?
，1
?
，则关于参考上述解法，若 关于x的不等式＋<0的解集为
?
3
??
2
??
x＋ax＋ c
bx＋1
kx
x的不等式＋<0的解集为________．
ax＋1c x＋1
1
b＋
bx＋1
x
kxk1111
解析：不等式＋< 0，可化为＋<0，故得－1<<－或<<1，解得－
11x32x
ax＋1cx＋1
a＋c＋
xx
3bx＋1
＋<0的解集为(－3 ，－1)∪(1，2)．
ax＋1cx＋1
kx
答案：(－3，－1)∪(1，2)
题型专题(五) 空间几何体的三视图、表面积与体积



1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长 度一样，侧(左)视图放在正(主)视
图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度 一样．即“长对正、高平齐、
宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先从俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．
[题组练透]
1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方
形，侧视 图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( )

A．1 B.2 C．2 D．22
解析：选C 依题意得，题中的长方体的侧视图的高等于2，正视图的长是2，因 此相
应的正视图的面积等于2×2＝2.
2．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三 个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的
正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

解析：选B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.

3．(201 6·兰州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体最 长的棱长等于( )

A.34 B.41 C．52 D．215
解析：选C 由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，
其中S C⊥平面ABC，AC⊥AB，所以最长的棱长为SB＝52.

[技法融会]
1．由三视图还原到直观图的三步骤
(1)根据俯视图确定几何体的底面．
(2) 根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应

的棱、面的位置．
(3)确定几何体的直观图形状．
2．(易错提醒)在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实虚线.

空间几何体的几组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式
①S
柱侧
＝ch(c为底面周长，h为高)；
1
②S
锥侧
＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
2
1
③S
台侧
＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．
2
(2)柱体、锥体、台体的体积公式
①V
柱体
＝Sh(S为底面面积，h为高)；
1
②V
锥体
＝Sh(S为底面面积，h为高)；
3
1③V
台体
＝(S＋SS′＋S′)h(S，S′分别为上下底面的面积，h为高．不要求记 忆)．
3
(3)球的表面积和体积公式
①S
球
＝4πR
2
(R为球的半径)；
4
②V
球
＝πR
3
(R为球的半径)．
3
[题组练透]
1．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相 等的圆及每个圆中两条互相垂
28π
直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
3

A．17π B．18π
C．20π D．28π
1
解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何
4
体如图．

4142873
设球的半径为R，则πR
3
－×π R
3
＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR
2
＋π
3833 84
R
2
＝17π.故选A.
2．(2016·兰州模拟)一个几何体的三 视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两
个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )

A.
33
π B. C．3π D．3
22
解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方34
?
3
?
3
3
体的外接球，其半径为，故体积为π＝ π.
23
?
2
?
2
3．(2016·广州模拟)一个六棱 柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，
顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
205π55π
A．20π B. C．5π D.
36
解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径
h
?
r＋
?
?
2
?
＝
2
2
为R＝
1
1＋＝
4
5445
，∴该球的体积V＝πR3
＝×
4334
55π
5
π＝.
46
4．(2016·重庆模拟)若正三棱锥A- BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A-BCD的高
为( )
A.
6326
B. C. D.
6323
解析：选A 设三棱锥A-BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC
＝AD＝
2 23311
BC＝，△BCD的面积为×1
2
＝.由V
A
?
BCD
＝V
B
?
ACD
得S
△
BCD
·h ＝S
△
ACD
·AB，
224433
1311
?
2
?
2
266
即××h＝×××，解得h＝，即三棱锥A- BCD的高h＝.选A.
3432
?
2
?
266

< br>5．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．

解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高（1＋2）×1
3
为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.
22
3
答案：
2
[技法融会]
1．求解几何体的表面积及体积的2大技巧
(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度 、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求
三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易 求，底面放在已知几何体的某
一面上．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想 ，将不规则几何体转化为规则几何体
以易于求解．
2．(易错提醒)对于简单组合体表面积与 体积的计算，由于不能准确分析组合体的结构，
以致得出错误结论.

与球有关的组 合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点
和接点的位置，确定有关元素间 的数量关系，并作出合适的截面图．
[题组练透]
1．(2016·全国丙卷)在封闭的直 三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
内有一个体积为V的球．若A B⊥BC，
AB＝6，BC＝8，AA
1
＝3，则V的最大值是( )
9π32π
A．4π B. C．6π D.
23
6＋8－10
解析：选B 设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴ R≤2.又2R≤3，
2
3
?
3
9π
34
?
∴R≤，∴V
max
＝×π×
?
2
?
＝.故选B.
232
2．(2016·石家庄一模)在三棱锥P- ABC中，PA＝BC＝4，PB＝AC＝5，PC＝AB＝11，
则三棱锥P- ABC的外接球的表面积为________．

解析：将三棱锥P- ABC放到长方体中，如图，

?
?
设长方体的长、宽、高分别是a，b， c，则
?
b＋c＝25
，相加解得a＋b＋c＝26，因
?
?
c＋a＝11
22
222
22
a
2
＋b
2
＝16
为三棱锥P-ABC的外接球即该长方体的外接球，所以外接球的直径2R＝
则三棱锥 外接球的表面积为4πR
2
＝26π.
答案：26π
[技法融会]
处理球与多面体切接问题的思路
a
2
＋b
2
＋c
2
＝26，
(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问 题；
(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心位置；
(3)建立几何量间关系，求半径r.

立体几何与函数最值的交汇
近几 年，高考对立体几何的考查，正逐步由简单的计算问题向与最值问题交汇命题转变，
强化了函数思想在立 体几何中的应用，加大了题目的难度．
[新题速递]
2x
1．(2016·河南六 市联考)一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝(x>0)的图
1＋x
2
象上 ，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )

πππ
A．π B. C. D.
342
2x
2
解析：选A ∵y＝(x>0)，∴yx－2x＋y＝0，将其 视为关于x的一元二次方程，设
2
1＋x
4－4y
2
＝
y
x
1
，x
2
是其两根，∴绕x轴旋转而成的几何体的体积V＝πy< br>2
|x
1
－x
2
|＝πy
2
·
1< br>?
2
1
?
2
12
－
?
y－
2
?
≤π，当且仅当y
2
＝，即y＝时等号成立，故选A.
422

2π
2．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当 正棱柱的体积取最大值时，
其高的值为( )
A．33 B.3
C．26 D．23
h
2
h
2
2
解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a，高为 h，则可得a＋＝9，即a＝9－，那
44
2
33
?
h
?< br>33
?
h
3
9－
h＝
－＋9h
?
， 么正六棱柱的体积V＝
?
6×a
2
?
×h＝
4
??
2
?
2
?
4
4
??
h
3
3h
2
令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，
44
令y′＝0，解得h＝23，易知当h＝23时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．
[技法融会]
解答此类问题的一般思路是把所求空间几何体的面积和体积表示为关于线段长x 或某一
角θ的函数，有时还要利用导数求取最值．
23
一、选择题
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )

解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视
图可知选项D正确．
2．(2016·广州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2
的直角 三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )

A.
3333
π B.π C.π D.π
12643
1
解析：选A 由题意可知，该几何体是个圆锥，圆锥的底面半径是1，高 是3，故该几
4
113
何体的体积V＝××π×1
2
×3＝π.
3412
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

13π7π5π
1
A.＋2π B. C. D.
3632
解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体
13π
11
2
积为π×1×2＋×π×1×1＝.
236
2
4．(2016·江西两市联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )

93
A．2 B. C. D．3
22
解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x，∴该几何 体的体
11
积V＝××(1＋2)×2×x＝3，解得x＝3.
32
5．( 2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体
的体积为( )

1212
A.＋π B.＋π
3333
122
C.＋π D．1＋π
366
解析：选C 由三 视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图
21
2
1422
?
3
1
?
可得半球半径为，从而该几何体的体积为×1×1＋ ×π×＝＋π.故选C.
2323
?
2
?
36
6．(20 16·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为
半圆弧，则该几何 体的表面积为( )

A．4π＋16＋43 B．5π＋16＋43
C．4π＋16＋23 D．5π＋16＋23
解析：选D 由三视图可知该几何体是一个 正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的
1
两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面 面积之和为2××2×3＝23；半圆柱的侧面
2
1
积为π×4＝4π，两个底面面积 之和为2××π×1
2
＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋
2
23，故 选D.
7．(2016·昆明七校调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图， 则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

1111
A. B. C. D.
5678
解析：选A 依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC- A
1
B
1
C
1
(其底面边长
是2)中截去三棱锥E ?A
1
B
1
C
1
(其中E是侧棱BB
1
的中点)，因此三棱锥E?A
1
B
1
C
1
的体积为
133
＝××2
2
×1＝，剩余部分的体积为
343
－
35 31
＝，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选A.
335
8．(2015 ·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则
截去部分体积与剩余部 分体积的比值为( )
＝
3
2
×2×2
4

1111
A. B. C. D.
8765
解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部
分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．

设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
111
V
1
＝××1×1×1＝，
326
15
剩余部分的体积V
2
＝1
3
－＝.
66
1
V
1
6
1
所以＝＝.
V
2
55
6
9．(2016·江西赣州二模)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它 的俯视图的直观图是矩
形O
1
A
1
B
1
C
1
，如图(2)，其中O
1
A
1
＝6，O
1
C1
＝2，则该几何体的侧面积为( )


A．48 B．64 C．96 D．128
解析：选C 由几何体的三视图可知该几何体为一个四棱柱．因为它的俯视图 的直观图
是矩形O
1
A
1
B
1
C
1
，其中O
1
A
1
＝6，O
1
C
1
＝2， 所以俯视图的直观图的面积为12，由平面图形
的直观图与原图形面积的关系可知俯视图的面积为242 ，易知俯视图是边长为6的菱形，又
几何体的高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选 C.
10．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面 角

B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )
20
A．5π B.π C．10π D．34π
3
解析：选D 依题意，在三棱锥B- ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝
CD＝3，因此可将三棱锥B-ACD补形 成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3、3、4，
且其外接球的直径2R＝
34π，选 D.
11．(2016·唐山模拟)三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是 边长为3的
等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
4π
A. B．4π C．8π D．20π
3
解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即为以△A BC为底面，以PA为高的正三棱柱
的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝
的距离d＝1， 所以外接球的半径R＝
π，故选C.
12．(2016·海口调研)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )
32
×3×＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心
23
3
2
＋ 3
2
＋4
2
＝34，故三棱锥B-ACD的外接球的表面积为4πR
2
＝
r
2
＋d
2
＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4π R
2
＝8

A.33 B.17 C.41 D.42
解析：选C 依题意，题中的几何体是四棱锥E-ABB
1
A
1
，如 图所示(其中ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为4的正方体，C
1
E＝1)，

EA＝3
2
＋ 4
2
＋4
2
＝41，EA
1
＝1
2
＋4< br>2
＋4
2
＝33，EB＝3
2
＋4
2
＝5， EB
1
＝1
2
＋4
2

＝17，AB＝BB
1
＝B
1
A
1
＝A
1
A＝4，因此该几何 体的最长棱的棱长为41，选C.
二、填空题
13．(2016·四川高考)已知某三棱锥 的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

1
1
3
×23×1
?
×1＝. 解析：由三视图可得三棱锥 如图所示，则V＝×
?
?
3
?
2
3

答案：
3

3
14．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，
2π< br>14
3
所以长方体的体积为2×2×1＝4，半球的体积为×π×1＝，所以该几何体的 体积是4
233
2π
－.
3
2π
答案：4－
3
15．(2016·海口调研)半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底
面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．
解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有16＝2a
2
＋h
2
≥22ah，
即4ah≤162，该正四棱柱的侧面积S＝4ah≤162，当且仅当h＝2 a＝22时取等号．因

此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧 面积之差是4π×2
2
－162
＝16(π－2)．
答案：16(π－2)
16．(2016·山西质检)某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是________．


解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，

y
CD＝，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，
2
∴BP
2
＝BC
2
＋CP
2
，
即x
2
＝25－y
2
＋7，x
2
＋y
2
＝32≥2xy，
则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．
1
2＋4
此时该几何体的体积V＝××3×7＝37.
32
答案：37

题型专题(六) 算法、复数、推理与证明



1．复数的除法
复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．

2．复数运算中常见的结论
(1)(1±i)
2
＝±2i，
1＋i1－i
＝i，＝－i；
1－i1＋i
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i
4n
＝1，i
4n1
＝i，i
4n2
＝－1，i
4n3
＝－i；
＋＋＋
(4)i
4n
＋i
4 n1
＋i
4 n2
＋i
4 n3
＝0.
＋＋＋

[题组练透]
1．(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C 因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以
i.故选C.
3＋i
2．(2016·广 州模拟)已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应
1－i
的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3＋i（3＋i）（1＋i）2＋4i
解析：选D ∵z＝＝＝＝1＋2i，∴z＝1－2i， ∴z所对应的点
2
1－i（1－i）（1＋i）
(1，－2)在第四象限．
3．(2016·武昌调研)已知(1＋2i) z＝4＋3i(其中i是虚数单位，z是z的共轭复数)，则z的
虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
4＋3i（4＋3i）（1－2i）10－5i
解析：选A 因为z＝＝＝＝2－i，所以z＝ 2＋i，故选
5
1＋2i（1＋2i）（1－2i）
A.
2－i
4 ．(2016·河南六市联考)已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋
a＋i
2i的模等于( )
A.2 B.11
＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则
4i
＝＝
4
＝( )

C.3 D.6
?
?
?
t＝－2，
2－ i
?
－t＝2，
解析：选C 由题意得，＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai， ∴
?
解得
?
1
∴z
a＋i
?
ta＝－1，
?
?
?
a＝
2
，
＝2a＋2i＝1＋2i，|z| ＝3，故选C.
[技法融会]
复数问题的解题思路
(1)以复数的基本概念、几 何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数
形式列方程或方程组解决问题．
(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题.

利用循环结构表示算法要注意的3个问题
(1)要选择准确的表示累计的变量；
(2)要注意在哪一步结束循环；
(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
[题组练透]
1． (2016·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，
y 的值满足( )

A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x
2
＋y
2
≥36；
1
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x
2
＋y
2
≥36；
2
3
运行第三次，x＝，y＝6，满足x
2
＋y
2
≥36，
2

3
输出x＝，y＝6.
2
3
?
由于点
?
?
2
，6
?
在直线y＝4x上，故选C .
2．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )

6384
A. B. C. D.
7799
1
解析：选B 第一次循环：S＝，i＝2；
1×3
11
第二次循环：S＝＋，i＝3；
1×33×5
111
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，
1×33×55×7
满足循环条件，结束循环．
故输出S＝
1111111113
＋＋＝(1－＋－＋－)＝.
33557 7
1×33×55×7
2
3．(2016·河南六市联考)运行如图所示的程序，若结 束时输出的结果不小于3，则t的取
值范围为( )

11
，＋∞
?
B.
?
，＋∞
?
A.
?
?
4
??
8
?
11
－∞，
?
D.
?
－∞，
?
C.
?
4
?
8
???
解析：选B 依次运行程序框图中的语 句可得，n＝2，x＝2t，a＝1；n＝4，x＝4t，a＝3；
1
n＝6，x＝8t，a＝ 3.此时结束循环，输出的a
x
＝3
8t
≥3，则8t≥1，t≥，故选B.
8
4．(2016·河北五校联考)如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内 应填的
是( )

A．i≤7 B．i>7 C．i≤9 D．i>9
解析：选B 第一次运行，i＝10，满足条件，S＝1×10＝10，i＝9；第二次运行，i＝9< br>满足条件，S＝10×9＝90，i＝8；第三次运行，i＝8满足条件，S＝90×8＝720，i＝7 ；此时
不满足条件，输出的S＝720.故条件应为i＝8，9，10满足，i＝7不满足，所以条件应 为i>7.
[技法融会]
1．解答程序框图(流程图)问题的方法
(1)首先要 读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累
加求和、累乘求积、多次输 入等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件， 弄清在哪一步结束循环；弄清循
环体和输入条件、输出结果．
(3)对于循环次数比较少的可 逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结
果，找出规律．
2．(易错提醒)循环结构的两个注意点：
(1)注意区分计数变量与循环变量．
(2)注意哪一步结束循环.

1．合情推理的解题思路
(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联
系， 从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比 ，推导出类
比对象的性质．
(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．
2．类比推理和归纳推理在近几年高考题中未单独考查，学生在复习时，应重点关注归纳
推理．
[题组练透]
1．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1， 0)处标b
1
，点
(1，－1)处标b
2
，点(0，－1)处标b< br>3
，点(－1，－1)处标b
4
，点(－1，0)处标b
5
， 点(－1，1)
处标b
6
，点(0，1)处标b
7
，…，以此类推， 则b
963
处的格点的坐标为________．

解析：观察已知点(1 ，0)处标b
1
，即b
1
×
1
，点(2，1)处标b
9
，即b
3
×
3
，点(3，2)处标b
25
，< br>即b
5
×
5
，…，由此推断点(n，n－1)处标b
(2n< br>－
1)
×
(2n
－
1)
，因为961＝31×31时 ，n＝16，故b
961
处的格点的坐标为(16，15)，从而b
963
处 的格点的坐标为(16，13)．
答案：(16，13)
131151117
2． (2016·贵阳模拟)已知不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，照此规律总结出
42493491 64
第n个不等式为________________________________．
1
2×2－1
11
2×3－1
11
解析：由已知，三个不等式可以 写成1＋
2
<，1＋
2
＋
2
<，1＋
2
＋
2
＋
2223323
1
2×4－1
1111
，所以 照此规律可得到第n个不等式为1＋
2
＋
2
＋…＋
2
＋2
<
4423n
（n＋1）
2
2（n＋1）－12n＋1
<＝.
n＋1n＋1
2n＋1
1111
答案：1＋
2
＋
2
＋…＋
2
＋
2
<
23n
（n＋1）n＋1
[技法融会]

破解归纳推理题的思维步骤
(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特殊的共性或一般规律)；
(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．
一般地，“求同存异”“逐步细化”“ 先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创
新题的基本技巧．

一、选择题
1．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.2 C.3 D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋x i＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴| x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B.
2
2．(2016·郑州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z＝( )
z
A．i B．2－i C．1－i D．0
2（1－i）
22
解析：选D 因为－z＝－1＋i＝－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D.
z
1＋i（1＋i）（1－ i）
3．(2016·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一< br>名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一
名 ；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、
乙、丙、丁中 只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，
故甲猜 测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不
符，故仅有丁猜测正 确，所以选D.
4．(2016·福建质检)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3， 则输入的x
的值可以是( )

A．1 B．2 C．8 D．9
x
2
－1，x≤1，
x
解析：选C
?
?
由程序框图可知，其功能是运算分段函数y＝
?
3，1因为y＝3 ，
?
?
logx，x>2，
2
??
?
x≤1，?
1?
?
x>2，
所以
?
或
?
或
?
解得x＝－2或x＝8，故选C.
2x
??
?< br>x－1＝3
?
?
3＝3
?
log
2
x＝3，
z
2
5．设复数z
1
＝1－i，z
2
＝a＋2i， 若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为( )
z
1
A．6 B．－6 C．2 D．－2
解析：选A
a＋2
虚部是.
2
a＋2a－2
由题意，知＝2×.
22
解得a＝6.故选A.
a＋i
7
6．(2016·广东3月测试)若z＝(a－2)＋ai为纯虚数，其中a ∈R，则＝( )
1＋ai
A．i B．1 C．－i D．－1
解析：选C ∵z为纯虚数，∴a＝2，
－3i
∴＝＝＝＝－i.
31＋ai1＋2i（1＋2i）（1－2i）
7．(2016·南昌一模)从1，2，3，4，5， 6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示
的程序框图，则输出的x不小于40的概率为( )
a＋i
7
2－i（2－i）（1－2i）
a－2
z
2
a＋2i（a＋2i）（1＋i）a－2＋（2＋a）i
＝＝＝，故该复数的实部是，
z1
1－i（1－i）（1＋i）
22

3571
A. B. C. D.
4882
解析：选B 依次执行程 序框图中的语句，输出的结果分别为13，22，31，40，49，58，
5
67，76，所 以输出的x不小于40的概率为.
8
8．(2016·郑州质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )

A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析：选D 分析程序框图可知，当i为偶数时，S＝2 017，当i为奇数时，S＝2 016，
而程序在i＝0时跳出循环，故输出的S＝2 017，故选D.
9．(2016·长春质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )

2
9
－12
9
＋1
A.
9
B.
9

22
2
10
－1
2
10
C.
10
D.
10

2
2＋1

11
解析：选A 由程 序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项
22
2
9
－ 1
和，即为
9
，故选A.
2
10．(2016·全国丙卷)执行如 图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n
＝( )

A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.
11．(2016·山西模拟) 运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y＝x上，
则判断框中可填写的条件是( )

A．i>6 B．i>7 C．i>8 D．i>9
解析：选D 依次执行程序框图中的语句：x＝1，y＝1，i＝2，输出(1，1)(1次)；x＝0 ，
y＝1，i＝3，输出(0，1)；x＝－1，y＝0，i＝4，输出(－1，0)；x＝0，y＝0 ，i＝5，输出(0，
0)(2次)；x＝1，y＝1，i＝6，输出(1，1)(3次)；x＝0，y ＝1，i＝7，输出(0，1)；x＝－1，y
＝0，i＝8，输出(－1，0)；x＝0，y＝0，i ＝9，输出(0，0)(4次)；x＝1，y＝1，i＝10，输出
(1，1)(5次)，此时跳出循环 ，故判断框中可填写的条件是“i>9？”，故选D.
12．(2016·石家庄一模)如图所示的数 阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此
规律A(8，2)为( )
1

3
11

66
111

101210
1111

15222215
11111

2137443721
…
1111
A. B. C. D.
4586122167
111
解析：选C 由数阵知A(3，2)＝，A(4，2)＝ ，A(5，2)＝，…，
6＋66＋6＋106＋6＋10＋15
则A(8，2)＝
1
＝，选项C正确．
6＋6＋10＋15＋21＋28＋36
122
1
二、填空题

（2＋i）
2
13．(2016·山西模拟)若复数z满足＝i，则z＝_____ ___.
z
（2＋i）
2
3＋4i
解析：由题意得，z＝＝＝4－3i.
ii
答案：4－3i
14．(2016·山东高考)执行如图所示的程序框图，若输 入n的值为3，则输出的S的值为
________．

解析：第一次循环：S＝2－1，1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝3－1，2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝4－1＝1，3≥3，输出S＝1.
答案：1
ACAE
15．在平面几何中：△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这
BCBE
个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A-CD- B且与AB相交
于E，则得到类比的结论是________．

AE
解析 ：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：
EB
＝
S
△
ACD
S
△
BCD
.
AE
S
△
ACD
答案：＝
EB
S
△
BCD
16．(2016·山东高考)观察下列等式：

?
sin
π
?
3
??
?
sin
π
?
5
??
?
sin
π
?
7
??
?
sin
π
?
9
??
……
－2
2π
?
－2
4
?
＋
sin
＝×1×2；
3
3
??
－2
2π
?
－2
?
3π
?
－2
?
4π
?
－2
4< br>?
＋
?
sin
5
?
＋
?
sin
5
?
＋
?
sin
5
?
＝×2×3； < br>3
－2
2π
?
－2
?
3π
?
－2< br>6π
?
－2
4
??
＋
?
sin
7
?
＋
?
sin
7
?
＋…＋
?
sin
7
?
＝×3×4；
3
－2
2π
?
－2
?
3π
?
－2
8π
?
－2
4
??
＋
?
sin
9
?
＋
?
sin
9
?
＋…＋
?
sin
9
?
＝×4×5；
3
照此规律，
?
sin
π
?
?
2n＋ 1
?
??
－2
2π
?
－2
?
3π
?
－2
2nπ
?
－2
??
＋
?
sin
?
＋
?
sin
2n＋1
?
＋…＋
?
sin
2n＋1
?
＝________．
?
2n＋1
?????
44
解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等
33
4
式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是
3
44
第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
33
4
答案：n(n＋1)
3
题型专题(七) 统计与统计案例



抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，这三种抽样 方法各自适用于
不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样 本
容量与总体容量的比值．
[题组练透]
1．(2016·兰州模拟)为了解城市 居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、
80名中年人、60名老年人中，用分层抽样 方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老
年人抽取了3名，则n＝( )
A．13 B．12 C．10 D．9
n
解析：选A 由分层抽样可得×60＝3，解得n＝13，选A.
120＋80＋60
2．高三某班有学生 56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量

为4的样本，已知5 号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A．13 B．17 C．19 D．21
解析：选C 从56名学生中抽取4人，用系统抽样方法，则分段间隔为14， 若第一段
抽出的号码为5，则其他段抽取的号码分别为：19，33，47.
3．(2016·兰州模拟)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机
编号1，2，…，1 000.适当分组后在第一组采用 简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到
的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A， 编号落入区间[401，750]的人做问卷B，
其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为 ( )
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：选A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公
1 000
差d＝＝2 0的等差数列{a
n
}，∴通项公式a
n
＝8＋20(n－1)＝20n－1 2，令751≤20n－12≤1
50
763253
000，得≤n≤，又∵n∈N
*
，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人，故选A.
205
[技法融会]
解决抽样问题的策略
(1)随机抽样的方法有三种， 其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当
总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系 统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使
用分层抽样．
(2)在系数抽样的过程中，要注 意分段间隔，需要抽取n个个体，样本就需要分成n个组，
N
则分段间隔即为(N为样本容量) ，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每
n
组中按规则抽取每个个体.

频率频率
1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.
组距组距
2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者的含义：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“ 重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘
以小长方形底边中点的横坐标之和．
[题组练透]
1．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位 ：小时)，制成了如图

所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30 ]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，
22.5)，[22.5，25)，[25，27. 5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不
少于22.5小时的人数 是( )

A．56 B．60
C．120 D．140
解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋
0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.
2．(2016·湖南东部六校联考)如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎
叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．

解析：把10场 比赛的所得分数按顺序排列：5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，
14＋16< br>中间两个为14与16，故中位数为＝15.
2
答案：15
3．(2016 ·江苏高考)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5
1
解析：5个数的平均数x＝＝5.1，所 以它们的方差s
2
＝[(4.7－5.1)
2
55
＋(4.8－5. 1)
2
＋(5.1－5.1)
2
＋(5.4－5.1)
2
＋ (5.5－5.1)
2
]＝0.1.
答案：0.1
4．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行 统
计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0. 1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1× 2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝
0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3 (2)6 000
[技法融会]
1．方差的计算与含义
(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．
(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．
2．(易 错提醒)混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何
意义当成频率，导致样 本数据的频率求错．

1．回归分析
^^^^
方程y＝bx＋a称为线性 回归方程，其中b＝错误!，错误!＝y－错误!x；(错误!，错误!)
称为样本点的中心．
2．独立性检验
（a＋b＋c＋d）（ad－bc）
2
K＝，
（ a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
若k
0
>3.841，则有95 %的把握认为两个事件有关；
若k
0
>6.635，则有99%的把握认为两个事件有关．
[题组练透]
1．(2016·河南八市联考)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5
天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10 20 30 40 50

75 81 89
销售额天(万元)
62
^
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y＝0.67x＋54.9，由于表中有一个
数据 模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
A．67 B．68 C．68.3 D．71
10＋20＋30＋40＋50
解析：选B 设表中模糊看不清的数据为m.因为x＝＝30， 又样本
5

m＋307
^
点的中心(x，y)在回归直线y＝0 .67x＋54.9上，所以y＝＝0.67×30＋54.9，得m＝68，
5
故选B. < br>2．(2016·重庆模拟)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验算得K
2
的观测值为5，又已知P(K
2
≥3.841)＝0.05，P(K
2
≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析：选A 依题意，K
2
＝5，且P(K
2
≥3.841)＝0. 05.因此有95%的把握认为“X和Y有
关系”，选A.
[技法融会]
1．求回归直线方程的关键
^^
(1)正确理解b，a的计算公式并能准确地进行运算．
(2)根据样本数据作 出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关
系，则可通过线性回归方程估计和预 测变量的值．
2．独立性检验的关键
(1)根据2×2列联表准确计算K
2
，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．
(2)K
2
的观测值k
0
越大，对应假设事件H
0
成立的概率越小，H
0
不成立的概率越大.

一、选择题
1．某 校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
在抽取的样本中，青 年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
A.90 B．100 C．180 D．300
x320
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，
9001 600
故x＝180.
人数
900
1 800
1 600
4 300

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试 中的成绩(单位：分)．已
知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分 别为( )

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
解析：选C 由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y
＝8.
3． (2016·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数
据的分组依 次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该
班的学生人数是( )

A．45 B．50 C．55 D．60
解析：选B ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3， ∴该班的学生人数
是
15
＝50.
0.3
4．为了解某社区居民的 家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到
如下统计数据表：

收入x(万元)
支出y(万元)
8.2
6.2
8.6
7.5
10.0
8.0
11.3
8.5
11.9
9.8
^^^^^
－
^
－
根据上表可得回归直线方程y＝ bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－bx.据此估计，该社区一户
年收入为15万元家庭的年支出为 ( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：选B 由题意知，x＝
－
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95
＝10，
－
6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8
y＝
5
＝8，

^
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
^
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
5．(20 16·贵州模拟)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位
数为( )

100
A．13 B．12 C．11.52 D.
9
解析：选D 由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第 三
0.1100
组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋× 4＝，选项
0.369
D正确．
6．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估 计该月的销售总额．先将该月的全部
销售发票的存根进行了编号：1，2，3，…，然后拟采用系统抽样 的方法获取一个样本．若从
编号为1，2，3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再 按系统抽样的方法依
编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的 发票存
根，其编号不可能是( )
A．13 B．17 C．19 D．23
解析：选D 因为第一组的编号为1，2，3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第
二组 的编号为11，12，13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.
7．(20 16·山西质检)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，将每个小
矩形上方线段的中 点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)，据此估计此次考试成绩的众
数是( )

A．100 B．110 C．115 D．120
解析：选C 分析频率分布折线图可知众数为115.

8．将参加夏令营的600名学生编号为：0 01，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个
容量为50的样本，且随机抽得的号码为003 .这600名学生分住在三个营区，从001到300
在A营区，从301到495在B营区，从496 到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次
为( )
A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9
解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每
一组各有12名学生，第k (k∈N
*
)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300，得k≤
103
，
4
因此A营区被抽中的人数是25.
103
令300<3＋12(k－1)≤495，得4
因此B营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.
9．(20 16·南昌一模)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4
次试验，得到4组 数据(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)， (x
3
，y
3
)，(x
4
，y
4
)．根据 收集到的数据可知x
1
＋x
2
^
＋x
3
＋x
4
＝160，由最小二乘法求得回归直线方程为y＝0.75x＋62，则y
1
＋y
2
＋y
3
＋y
4
的值为
( )
A．75 B．155.4 C．368 D．466.2
^
解析：选C 由 x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＝160，得x ＝40，代入回归直线方程y＝0.75x＋62，得y
＝92，则y
1
＋y
2
＋y
3
＋y
4
＝368.
10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰
好是A样本数据每个都减5后所 得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
275
解析：选B A样本数据的平均数x＝，B样本数据的平均数 x′＝x－5.A样本数据的
6
11
方差s
2
＝[(42－x)2
＋(43－x)
2
＋…＋(50－x)
2
]，B样本数据的方 差s′
2
＝[(42－x)
2
＋(43－x)
2
66
＋…＋(50－x)
2
]，∴A，B两样本的标准差相同．
11．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：

男生
女生
认为作业量大 认为作业量不大 总计
18
8
9
15
27
23

总计
26 24 50
若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )
A．0.01 B．0.025 C．0.10 D．0.05
2
50×（18×15－8×9）
解析：选B K
2
＝≈5.059 >5.024，因为P(K
2
>5.024)＝0.025，所以
26×24×27× 23
这种推断犯错误的概率不超过0.025.
12．(2016·开封模拟)下列说法错误的是( )
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关
关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分 析中，R
2
为0.98的模型比R
2
为0.80的模型拟合的效果好
解析：选B 根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0
时， r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差
点分布的带状区域 越窄，拟合效果越好．二是R
2
越大，拟合效果越好，所以R
2
为0.98的 模
型比R
2
为0.80的模型拟合的效果好，C，D正确，故选B.
二、填空题
13．(2016·海口调研)如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么 这8位学生得分
的众数和中位数分别为________．

解析：依题意，结合茎 叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，
91＋93
93， 93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是＝92.
2
答案：93，92 < br>14．(2016·广州模拟)一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序< br>平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，
若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是________．
60
解析：∵间隔为＝10，∴在第5组中抽取的号码是3＋(5－1)×10＝43.
6
答案：43
15．(2016·湖北优质高中联考)某单位为了了解用电量y(度 )与气温x(℃)之间的关系，随

机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表 如下：
气温(℃)
用电量(度)
18
24
13
34
10
38
－1
64
^^^^
由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为
________．
18＋13＋10＋（－1）24＋34＋38＋64< br>解析：回归直线过(x，y)，根据题意得x＝＝10，y＝
44
^^^^^
＝ 40，将(10，40)代入y＝－2x＋a，解得a＝60，所以y＝－2x＋60，当x＝－4时，y＝(－ 2)×
(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．
答案：68度
16．为了 研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把
这些城市分成甲、乙、丙三 组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，
且4，y，z＋4成等比数列，若用分 层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为
________．
z
?
?
?
y＝2＋
2
，
?
2y＝4＋z，
解析：由题 意可得
?
即
?
解得z＝12，或z＝－4(舍去)，故
2
2
?
?
y＝4×（z＋4），
?
?
y＝4z＋16，
y＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4，8，12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样
61 1
比为＝.故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.
4
4＋8＋12
4
答案：2
题型专题(八) 排列组合与二项式定理



分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果
需要通过若干 步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
[题组练透]
1．某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，但去何工厂
可自由选择，甲 工厂必须有班级要去，则不同的分配方案共有( )
A．16种 B．18种

C．37种 D．48种
解析：选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共 有4
3
种，甲工厂没有班级去的分配方
案共有3
3
种，因此满足条件 的不同的分配方案共有4
3
－3
3
＝37种．
2．(2016·全 国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位
于G处的老年公寓参加志愿者 活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A．24 B．18
C．12 D．9
1
解析：选B 由题意可知E→F有C
2
4
种走法，F→G有C
3
种走法，由分步乘法计数原理
1
知，共C2
4
·C
3
＝18种走法，故选B.
3．如果一个三位正整数 “a
1
a
2
a
3
”满足a
1
2
且a
3
2
，则称这样的三位数为凸数(如120，
3 43，275)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204
C．729 D．920
解析：选A 分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；
当中间数为3时，有2×3＝6个；
当中间数为4时，有3×4＝12个；
当中间数为5时，有4×5＝20个；
当中间数为6时，有5×6＝30个；
当中间数为7时，有6×7＝42个；
当中间数为8时，有7×8＝56个；
当中间数为9时，有8×9＝72个．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．
[技法融会]
1．两个计数原理的应用技巧
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先 分类再分步，每一步当中又
可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合 应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、

直观化．
2．(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键.

名称
相同点
排列 组合
都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复
①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关；
②两个组合相同，当且仅当这
两个组合的元素完全相同
不同点 ②两个排列相同，当且仅当这两个排
列的元素及其排列顺序完全相同

[题组练透]
1．(2016·兰州模拟)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学
校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．12种
C．10种 D．9种
1
解析：选B 第一步，为甲校选1名女 教师，有C
2
＝2种选法；第二步，为甲校选2名
男教师，有C
2
4
＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不
同的安排方案共有 2×6×1＝12种，选B.
2．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数 字的五位数，其中奇数的个数
为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
解析：选D 第一步，先排个位，有C
1
3
种选择；
第二步，排前4位，有A
4
4
种选择．
4
由分步乘法计数 原理，知有C
1
3
·A
4
＝72(个)．
3．(2016 ·长春质检)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只
能取出3瓶或4瓶啤酒 ，那么小明取出啤酒的方式共有( )
A．18种 B．27种
C．37种 D．212种
解析：选C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只< br>有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶

和4次3瓶，取法为C
3
7
，有35种方式．共计37种取法．故选C. < br>4．(2016·河南八市联考)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友
至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为
( )
A．15 B．20
C．30 D．42
解析：选C 四个篮球中两个分 到一组有C
2
4
种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与
3
其余两 个篮球全排列有A
3
3
种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A
3
种分法，所
33
以有C
2
4
A
3
－A< br>3
＝36－6＝30种分法．
[技法融会]
解答排列组合问题的4个角度
解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；
(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解
决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，
然后 逐步解决.

1．通项公式与二项式系数
nkk
T
k
＋
1
＝C
k
b(k＝0，1，2，…，n)，其中C
k
na
n
叫做二项式系数．
－
提示：T
k
＋
1< br>是展开式中的第k＋1项，而不是第k项．
2．各二项式系数之和
012n
(1)C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＋C
n
＝2
n
.
1302
(2)C
n
＋C
n
＋…＝ C
n
＋C
n
＋…＝2
n1
.
－
[题组练透]
1．(2016·河北五校联考)在二项式(1－2x)
n
的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，
则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)
n
的展开式
中 ，二项式系数之和为256，即2
n
＝256，n＝8，则(1－2x)
8
的 展开式的中间项为第5项，且