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高中数学2 1教学视频教学视频-高中数学会考必修几

第五章数列
第1课时数列的概念及其简单表示法
一、填空题
1. 已知数列1，3，5，7，…，2n－1，则35是它的第________项．
答案：23
解析：通过观察可知已知数列的通项公式是a
n
＝2n－1，
令a
n
＝2n－1＝35＝45，得n＝23.
2. 已知数列{a
n
}满足：a
n
≤a
n
＋
1
，a
n＝n
2
＋λn，n∈N
*
，则实数λ的最小值是________．
答案：－3
解析：因为a
n
≤a
n
＋
1
，所以n
2
＋λn≤(n＋1)
2
＋λ(n＋1)，所以λ≥－(2n＋1) ，n∈N
*
，所
以λ≥－3.
3. 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝3－3×2
n
，n∈N
*
，则a
n
＝________．
答案：－3×2
n1

－
解析：当 n＝1时，a
1
＝S
1
＝3－3×2
1
＝－3.当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(3－3×2
n
)－(3
－－－
－3×2
n1
)＝－3×2
n1
.当n＝1时也符合上式，故数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝－3 ×2
n1
.
4. 已知数列{a
n
}的前n项和S
n＝n
2
－9n，第k项满足5＜a
k
＜8，则k的值为________ ．
答案：8
解析：∵ S
n
＝n
2
－9n，∴ 当n≥ 2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2n－1 0，a
1
＝S
1
＝－8也符合上式，
∴ a
n
＝2n－10(n∈N
*
)，∴ 5＜2k－10＜8，即7.5＜k＜9.∴ k＝8.
5. 已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
－a
n
＋
1
＝nan
a
n
＋
1
(n∈N
*
)，则a
n ＝________．
答案：
2

n
2
－n＋2 111
－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝
a
n
a 1
a
n
＋
1
a
n
1
解析：由an
－a
n
＋
1
＝na
n
a
n
＋
1
得
2
n
2
－nn
2
－n＋2
1
n－n
2
.因为a
1
＝1，所以＝＋1＝，所以a
n＝
2
.
2a
n
22
n－n＋2
2
6. 已知数列{a
n }满足a
1
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
－2a
n
＋1(n∈N
*
)，则a
101
等于______ ____．
答案：1
解析：∵ a
1
＝1，∴ a
2
＝ (a
1
－1)
2
＝0，a
3
＝(a
2
－1 )
2
＝1，a
4
＝(a
3
－1)
2
＝0， …，可知数列
{a
n
}是以2为周期的数列，∴ a
101
＝a
1
＝1.

7. 已知数列{a
n
}满足a
1
＋2a
2
＋3a
3
＋…＋nan
＝n＋1(n∈N
*
)，则数列{a
n
}的通项公式为
________．
2，n＝1，
?
?
答案：a
n
＝ ?
1

，n≥2
?
?
n
解析：已知a
1
＋2a
2
＋3a
3
＋…＋na
n
＝n＋1，将 n＝1代入，得a
1
＝2；当n≥2时，将n
1
－1代入，得a
1 ＋2a
2
＋3a
3
＋…＋(n－1)a
n
－
1
＝n，两式相减得na
n
＝(n＋1)－n＝1，∴ a
n
＝，
n
2，n＝1，
?
?
∴ a
n
＝
?
1

?
?
n
，n≥2.
a
2
n
－2
8. 设数列{a
n
}满足a
1
＝a，a
n
＋
1
＝(n∈N
*
)．若数列{a n
}是常数列，则a＝________.
a
n
＋1
答案：－2
2
a
2
1
－2a－2
解析：因为数列{a
n
}是常数列，所以a＝a
2
＝＝，即a(a＋1)＝a
2
－2，解得a
a
1
＋1a＋1
＝－2 .
9. 数列{a
n
}的前n项积为n
2
，那么当n≥2时，a n
＝________．
n
2
答案：
（n－1）
2
T
n
n
2
解析：设数列{a
n
}的前n项积为T
n
，则T
n
＝n，当n≥2时，a
n
＝＝.
T n
－
1
（n－1）
2
2
2
10. (201 8·南通模拟)设{a
n
}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a
2
n＋
1
－na
n
＋a
n
＋
1
·a
n
＝0(n＝
1，2，3，…)，则它的通项公式a
n
＝________ ．
1
答案：
n
2
解析：∵ (n＋1)a
2
n
＋
1
＋a
n
＋
1
·a
n
－na n
＝0，
∴ (a
n
＋
1
＋a
n
)[(n＋1)a
n
＋
1
－na
n
]＝0.
又a
n
＋
1
＋a
n
＞0，∴ (n＋1)a
n
＋
1
－na
n
＝0，
即
a
n
＋
1
n－1n－2
na
n
a
n
－
1
a
2
11
＝，∴ a
n
＝··…··a
1
＝··…··a
1
＝.
a
n
n＋1
a
1
n2n
a
n
－
1 a
n
－
2
n－1
二、解答题
11. 数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝n
2
－7n＋6.
(1) 这个数列的第4项是多少？

(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？
解：(1) 当n＝4时，a
4
＝4
2
－4×7＋6＝－6.
(2) 令an
＝150，即n
2
－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即 150是数列的第
16项．
(3) 令a
n
＝n
2
－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)，∴ 该数列从第7项起各项都是正数．
12. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，数列{S
n
}的前n项和为T
n
，且满足T
n
＝2S
n
－n
2
，n∈
N
*
.
(1) 求a
1
的值；
(2) 求数列{a
n
}的通项公式．
解：(1) 令n＝1，则T
1
＝2S
1
－1，∵ T
1
＝S
1
＝a
1
，∴ a
1
＝2a
1
－1，∴ a
1
＝1.
(2) 当 n≥2时，T
n
－
1
＝2S
n
－
1
－(n －1)
2
，
则S
n
＝T
n
－T
n
－
1
＝2S
n
－n
2
－[2S
n
－1
－(n－1)
2
]＝2(S
n
－S
n
－1
)－2n＋1＝2a
n
－2n＋1.
因为当n＝1时，a
1
＝S
1
＝1也满足上式，
所以S
n
＝2a
n
－2n＋1(n≥1)，
当n≥2时， S
n
－
1
＝2a
n
－
1
－2(n－1)＋ 1，
两式相减得a
n
＝2a
n
－2a
n
－
1
－2，
所以a
n
＝2a
n
－
1
＋2 (n≥2)，所以a
n
＋2＝2(a
n
－
1
＋2)．因为a
1
＋2＝3≠0，所以数列{a
n
＋2}是以3为首项，公比为2 的等比数列．
所以a
n
＋2＝3×2
n1
，所以a
n＝3×2
n1
－2，当n＝1时也成立，
－－
所以a
n
＝3×2
n1
－2(n∈N
*
)．
－
11
*
13. 已知S
n
为正项数列{a
n}的前n项和，且满足S
n
＝a
2
n
＋a
n
( n∈N)．
22
(1) 求a
1
，a
2
，a
3
，a
4
的值；
(2) 求数列{a
n
}的通项公式．
111
2
1
*
解：(1) 由S
n
＝a
2
n
＋a
n
(n∈N)可得，a
1
＝a
1
＋ a
1
，
2222
11
解得a
1
＝1(a
1
＝0舍去)．S
2
＝a
1
＋a
2
＝a
2
2
＋a
2
，
22
解得a
2
＝2(负值舍去)；同理可得a
3
＝3，a
4
＝4.

11
(2) 因为S
n
＝a
2
n
＋a
n
①，
22 11
所以当n≥2时，S
n
－
1
＝a
2
n －
1
＋a
n
－
1
②，
22
11
2
① － ②得a
n
＝(a
n
－ a
n
－
1
)＋(a
2
n
－a
n
－
1
)，所以(a
n
－a
n
－
1
－1)(a
n
＋a
n
－
1
)＝0.
22
由于an
＋a
n
－
1
≠0，所以a
n
－a
n
－
1
＝1，
又由(1) 知a
1
＝1，所以数列{an
}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a
n
＝n.

第2课时等差数列
一、填空题
1. (2018 ·南通三模)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若公差d＝2，a5
＝10，则S
10
的值是
________．
答案：110
10（a
1
＋a
10
）
解析：由题可知a
6
＝a
5
＋d＝12，∴ S
10
＝＝5(a
5
＋a
6
)＝5×(10＋12)＝110.
2
2. 已知{a
n
}为等差数列，a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，a
2＋a
4
＋a
6
＝99，则a
20
＝________．
答案：1
解析：∵ a
1
＋a
3
＋a
5
＝105，即3a
3
＝105，解得a
3
＝35，同理，由a
2＋a
4
＋a
6
＝99，解得
a
4
＝33.∵ d＝a
4
－a
3
＝33－35＝－2，∴ a
20
＝a
4
＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.
3. (2018·江苏海安调研)已知数列{a
n
}是公差不为0的等差数列，其前 n项和为S
n
.若a
1
S
6
＋a
4
＋a 7
＝0，则的值为________．
a
5
答案：－3
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，由已知a
1
＋a
4
＋ a
7
＝0，得3a
1
＋9d＝0，∴ a
1
＝－3d，
∴
S
6
6a
1
＋15d－3d
＝＝＝－3.
a
5
d
a
1
＋4d
4. (2018·南京调研) 记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若a
m
＝10，S
2m
－
1
＝110，则m＝
________．

答案：6
解析：因为S
2m
－
1
＝
＝6.
5. 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝7，公差为d，前n项和为S
n
，当且仅当n＝8时，S
n
取最大
值，则d的取值范围是________．
7
答案：(－1，－)
8
7
解析：由题意得，a
8
＞0，a
9
＜0，所以7＋7d＞0，7＋8d＜0，即－1＜d＜－.
8
6. 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，则这四个数分别为
________．
答案：2，5，8，11或11，8，5，2
解析：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
?
? （a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，
?

?
（a－d）（a＋d）＝40，
?
（2m－1）（a
1
＋a
2m －
1
）
＝(2m－1)a
m
＝110，所以2m－1＝11，即m
2
1313
a＝，a＝，
?
22
?
4a＝26 ，
∴
?
22
解得或
33
?
a－d＝40.?
d＝d＝－.
22
?
?
?
?
?
? 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
7. 若一个等差数列{a
n
}的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有_ _______项．
答案：13
解析：a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
n
－
2
＋a
n
－
1
＋a
n
＝34＋146＝180，所以3(a
1
＋a
n
) ＝180，即a
1
＋a
n
＝60.
n（a
1
＋a n
）n×60
由S
n
＝390，知＝390，所以＝390，解得n＝ 13.
22
8. (2018·苏州质量监测)已知数列{a
n
}满足a 1
＝15，且3a
n
＋
1
＝3a
n
－2.若 a
k
·a
k
＋
1
＜0，则
正整数k＝______ __．
答案：23
解析：3a
n
＋
1
＝3a
n
－2
为a
k
·a
k
＋
1
＜0，
472
??
452
?
4547
－k－k
＜0，所以＜k＜. 因为k∈N
*
，所以k＝23. 所以
?
?
33
??
33
?
22
a
n
＋
1
＝a
n
－
22472
{a
n
}是等差数列，则a
n
＝15－(n－1 )＝－n.因
3333

S
2 020
9. (2018·江苏扬州中学检测)已知{a
n
}为等差数列，S
n
为其前n项和，公差为d，若
2 020
S
20
－＝100，则d的值为________．
20
1
答案：
10
S
n
1S
2 020
S
20
11
解析：因为＝a
1
＋(n－1)d，所以由－＝ 100，得(a
1
＋×2 019d)－(a
1
＋×19d)
n22 0202022
1
＝100，解得d＝.
10
10. (2018·苏州期末)已知{a
n
}是等差数列，a
5
＝15，a
10
＝－1 0，记数列{a
n
}的第n项到第
n＋5项的和为T
n
，则|Tn
|取得最小值时n的值为________．
答案：5或6
a
10
－a
5
解析：因为a
5
＝15，a
10
＝－10，所以公差d＝＝－5，所以a
1
＝a
5
－4d＝35，所
10－5 6（a
n
＋a
n
＋
5
）
以a
n＝a
1
＋(n－1)d＝35－5(n－1)＝－5n＋40，a
n
＋ 5
＝－5n＋15，T
n
＝＝15(11
2
－2n)，当11 －2n＝±1，即n＝5或6时，|T
n
|取得最小值15.
二、解答题
11. 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
3
＝－3.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 若数列{a
n
}的前k项和S
k
＝－35，求k的值．
解：(1) 设等差数列{a
n
}的公差为d，
由a
1
＝1，a
3
＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而a
n
＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2) 由(1)可知a
n
＝3－2n.
n[1＋（3－2n）]
所以S
n
＝＝2n－n
2
.
2
由S
k
＝－35，可得2k－k
2
＝－35，
即k
2
－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N
*
，故k＝7.
3
12. 已知公比为q的等比数列{a
n
}的前6项和S
6
＝21，且4a
1
，a
2，a
2
成等差数列．
2
(1) 求a
n
；

(2) 设{b
n
}是首项为2，公差为－a
1
的等差数列，记{b
n
}的前n项和为T
n
，求T
n
的最大值．
3
解：(1) ∵ 4a
1
，a
2
，a
2
成等差数列，∴ 4a
1＋a
2
＝3a
2
，即2a
1
＝a
2
， ∴ q＝2，
2
a
1
（1－2
6
）2
n1
1
∴ S
6
＝＝21，解得a
1
＝，∴ a
n
＝.
33
1－2
－
117
(2) 由(1) 可知{b
n
}是首项为2，公差为－的等差数列，∴ b
n
＝－n＋， 333
1
2
131
?
13
?
2
169
(解法1)T
n
＝－n＋n＝－
?
n－
2
?
＋，则T
n
的最大值为7，此时n＝6或7.
66624
1
(解法2)∵ 公差为－，是负数，∴ 数列{b
n
}是递减数列．
3
∵ b
7
＝0，∴ 当n＝6或7时，数列{b
n
}的前n项和T
n
取得最大值7.13. 在等差数列{a
n
}
中，公差d＞0，前n项和为S
n
，a
2 ·a
3
＝45，a
1
＋a
5
＝18.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式．
(2) 令b
n
＝
S
n
(n∈N
*
)，是否存在一个非零常数c，使数列{b
n
}也为等差数列？若存在，
n＋c
求出c的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) 由题设知{a
n
}是等差数列，且公差d＞0，
??
?
a
2
a
3
＝45，
?
（a
1
＋ d）（a
1
＋2d）＝45，
则由
?
得
?

?
a
1
＋a
5
＝18，
?
?
a
1
＋（a
1
＋4d）＝18，
?
?
a
1
＝ 1，
?
解得
?

?
d＝4.
?
∴ a
n
＝4n－3(n∈N
*
)．
n（1＋4n－3）
? n－
1
?
2n
2
?
2
?
S
n
(2) 由b
n
＝＝＝.
n＋cn＋cn＋c
1
∵ c≠0，∴ 可令c＝－，得到b
n
＝2n.
2
∵ b
n
＋
1
－b
n
＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N
*
)，
∴ 数列{b
n
}是公差为2的等差数列．
1
即存在一个非零常数c＝－，使数列{b
n
}也为等差数列．
2
第3课时等比数列

一、填空题
a
1
＋a
3
＋a
5
1
1. (2018·如东中学检测)已知等比数列{a
n
}的公比q＝－，则＝________．
2
a
2
＋a
4
＋a
6
答案：－2
a
1
＋a
3
＋a
5
a
1
＋a
3
＋a
5
1
解析：＝＝＝－2.
a
2
＋a
4
＋a
6
q（a
1
＋a
3
＋a
5
）
q
2. (2018·苏州期初)已知等比数列{a
n
}的公比大于1，若 a
5
－a
1
＝15，a
4
－a
2
＝6，则 a
3
＝
________．
答案：4
4
?
1 ??
?
a
1
q－a
1
＝15，
?
a
1
＝1，
?
解析：设等比数列{a
n
}的公比为q，由题意知
?
3
解得
?
或
?
1
?
a
1
q－a
1
q＝6，
?
q＝2
??
?
q ＝
a＝－16，
2
?
(舍去)，故a
3
＝a
1q
2
＝1×2
2
＝4.
3. 在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，若log
2
a
2
＋log
2
a 8
＝1，则a
3
a
7
＝________．
答案：2
解析：由log
2
a
2
＋log
2a
8
＝1，得log
2
(a
2
a
8
) ＝1，所以a
2
a
8
＝2，由等比数列性质，可得a
3
a 7
＝a
2
a
8
＝2.
4. 已知等比数列{an
}的前n项和为S
n
，且4a
1
，2a
2
， a
3
依次成等差数列．若a
1
＝1，则
S
5
＝__ ______ .
答案：31
解析：因为4a
1
，2a
2
，a
3
依次成等差数列，所以4a
2
＝4a
1
＋a
3
，所以4a
1
q＝4a
1
＋a
1
q
2
，
a
1
（1－q
5
）
所以q＝2.又a
1
＝1，所以S
5
＝＝31.
1－q
S
20
5. 设S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，若a
5
＋2a10
＝0，则的值是________．
S
10
5
答案：
4
解析：当q＝1时，a
5
＝a
10
＝0不合题意， 20
a
10
1S
20
1－q
15
10
∴ 公比q≠1.∴ q＝＝－，因而＝
10
＝1＋q＝1＋＝.
a
5
2S
10
1－q
44
5
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两
层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．
答案：3

解析：设塔的顶层共有灯 x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，
x×（1－2
7
）结合等比数列的求和公式有＝381，解得x＝3，即塔的顶层共有灯3盏．
1－2
7. (2018·海安中学测试)在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，a
m
＋
1
·a
m
－
1
＝2a
m
(m≥2)，数 列{a
n
}的前n项积为T
n
.若T
2m
－
1
＝512，则m＝________．
答案：5
解析：由等比数列的性质可知a
m
＋
1
·a
m
－
1
＝a
2
m
＝2a
m
(m≥2)，所以a
m
＝2，即数列{a
n }为
－
常数列，a
n
＝2，所以T
2m
－
1
＝2
2m1
＝512＝2
9
，即2m－1＝9，所以m＝5.
8. (2018·镇江模拟)已知S
n
是等比数列{a
n
}的前n 项和．若存在m∈N
*
，满足
5m＋1
＝，则数列{a
n
} 的公比为________．
m－1
答案：2
a
1
（1－q2m
）
1－q
S
2m
S
2m
解析：设公比为q ，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵ ＝
S
m
S
m
a
1
（1－q
m
）
1－q
2m1
5m＋1
a
2m
a
1
q
＝q＋1＝9，∴ q＝8.∴ ＝
m
－
1
＝q
m
＝8＝，∴ m＝3，∴ q
3
＝8，∴ q＝2.
a
m
a
1
qm－1－
S
2m
a
2m
＝9，
S
m
a
m
mm
3
9. 在等比数列{a
n
}中，已知a
1
＝1，a
4
＝8，设S
3n
为该数列的前3n项和，T
n
为数列{a
n
}
的前n 项和．若S
3n
＝tT
n
，则实数t的值为________．
答案：7
1－2
3n
n
解析： ∵a
4
＝a
1
q＝q＝8，∴ q＝2，S
3n
＝＝8－1 .由题意知，数列{a
3
n
}是首项为
1－2
33
1－8 n
1
n
1，公比为8的等比数列，∴T
n
＝＝(8－1)．由 S
3n
＝tT
n
，得t＝7.
1－8
7
10. (2018·泰州中学调研)设正项等比数列{a
n
}满足2a
5
＝a
3
－a
4
，若存在两项a
n
，a
m
，使
得a
1
＝4a
n
·a
m
，则m＋n＝________．
答案：6
解析：设等比数列{a
n
}的公比为q.正项等比数列{a
n
}满足2a
5
＝a
3
－a
4
，则2a
3
q
2
＝a
3
(1－
1
q)，可得2q
2
＋q－1＝0，q＞0，解得q＝.若存在两项a
n
，a
m
，使得a
1
＝4a
n
·a
m
，可得a
1
2
＝4a
2
1
?
1
?
?
2
?
m＋n －2
，所以m＋n＝6.
二、解答题
11. 设数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，a
1
＝1，且数列{S
n
}是以2为公比的等比数列．

(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 求a
1
＋a
3
＋…＋a
2n
＋
1
.
解：(1) ∵ S
1
＝a
1
＝1，且数列{S
n
}是以2为公比的等比数列，∴ S
n
＝2
n1
.
－
又当 n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2 n1
－2
n2
＝2
n2
.
－－－
当n＝1时，a
1
＝1，不适合上式．
?
?
1，n＝1，
∴ a
n
＝
?
n
－
2

?
2，n≥2.
?
(2) ∵ a
3
，a
5
，…，a
2n
＋
1
是以2为首项，4为公比的等比数列，
2（1－4
n
）2（4
n
－1）
∴ a
3
＋a
5
＋…＋a
2n
＋
1
＝＝.
3
1－4
2（4
n
－1）2
2n1
＋1
∴ a
1
＋a
3
＋…＋a
2n
＋
1
＝1＋＝.
33
＋
12. 已知等差数列{a
n
}的公差d不为0，且ak1
，ak
2
，…，ak
n
，…(k
1
＜k2
＜…＜k
n
＜…)
成等比数列，公比为q.
a
1
(1) 若k
1
＝1，k
2
＝3，k
3
＝8，求的值；
d
a
1
(2) 当为何值时，数列{k
n
}为等比数列．
d
解：(1) 由已知可得a
1
，a
3
，a
8成等比数列，所以(a
1
＋2d)
2
＝a
1
(a
1
＋7d)，整理可得，4d
2
a
1
4
＝3a
1
d.因为d≠0，所以＝.
d3
(2) 设数列{k
n
}为等比数列，则k
2
2
＝k
1
k
3
.又ak
1，ak
2
，ak
3
成等比数列，
所以[a
1
＋(k
1
－1)d][a
1
＋(k
3
－1)d]＝[a1
＋(k
2
－1)d]
2
.
整理，得a
1 (2k
2
－k
1
－k
3
)＝d(k
1
k
3
－k
2
2
－k
1
－k
3
＋ 2k
2
)．
因为k
2
2
＝k
1
k
3
，所以a
1
(2k
2
－k
1
－k
3 )＝d(2k
2
－k
1
－k
3
)．
a1
因为2k
2
≠k
1
＋k
3
，所以a
1
＝d，即＝1.
d
a
1
当＝1时，a
n
＝a 1
＋(n－1)d＝nd，所以ak
n
＝k
n
d.
d
因为ak
n
＝ak
1
q
n1
＝k
1dq
n1
，所以k
n
＝k
1
q
n1
.
－－－
k
n
＋
1
k
1
q
n
所以＝＝q，数列{k
n
}为等比数列．
k
n
k
1q
n
－
1

a
1
综上，当＝1时，数列{ k
n
}为等比数列．
d
13. (2018·南京调研)已知数列{an
}的各项均为正数，记数列{a
n
}的前n项和为S
n
，数列
2*
{a
2
n
}的前n项和为T
n
，且3T
n
＝S
n
＋2S
n
，n∈N.
(1) 求a
1
的值；
(2) 求证数列{a
n
}为等比数列，并求其通项公式；
(3) 若k，t∈N
*
，且S
1
，S
k
－S
1
，S
t
－ S
k
成等比数列，求k和t的值．
222
(1) 解：由3T
1 ＝S
2
1
＋2S
1
，得3a
1
＝a
1
＋2a
1
，即a
1
－a
1
＝0.
因为a
1
＞0，所以a
1
＝1.
(2) 证明：因为3T
n
＝S
2
n
＋2S
n
①， 2
所以3T
n
＋
1
＝S
n
＋
1
＋2S
n
＋
1
②，
22
②－①，得3a
2 n
＋
1
＝S
n
＋
1
－S
n
＋2a
n
＋
1
.
因为a
n
＋
1
＞0，
所以3a
n
＋1
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋2 ③，
所以3a
n
＋
2
＝S
n
＋
2
＋S
n
＋
1
＋2 ④，
④－③，得3a
n
＋
2
－3a
n
＋
1
＝a
n
＋
2
＋a
n
＋
1
，即a
n
＋
2
＝2a
n
＋ 1
，
a
n
＋
1
所以当n≥2时，＝2.
a
n
22
由3T
2
＝S
2
2
＋2S
2
，得3(1＋a
2
)＝(1＋a
2
)＋2(1＋a
2 )，
即a
2
2
－2a
2
＝0.
a
2
因为a
2
＞0，所以a
2
＝2，所以＝2，
a
1
所以对
a
n
＋
1
n∈N
* ，都有＝2成立，故数列{a
n
}是首项为1，公比为2的等比数列，
an
－
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n1
，n∈N
*
.
(3) 解：由(2) 可知S
n
＝2
n
－1.
因为S
1
，S
k
－S
1
，S
t
－S
k
成等比数列，
所以 (S
k
－S
1
)
2
＝S
1
(S
t
－S
k
)，即(2
k
－2)
2
＝2
t－2
k
，
所以2
t
＝(2
k
)
2 －3·2
k
＋4，
即2
t2
＝(2
k1
)
2
－3·2
k2
＋1 (*)．
－－－

由于S
k
－S
1
≠0，所以k≠1，即k≥2.
当k＝2时，2
t
＝8，得t＝3.
当k≥3时，由(*)，得(2
k1
)
2
－3·2
k2
＋1为奇数，
－－
所以 t－2＝0，即t＝2，代入(*)得2
2k2
－3·2
k2
＝0，即2k
＝3，此时k无正整数解．
－－
综上，k＝2，t＝3.第4课时数列的求和
一、填空题
1. 数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝(－1)
n
(2n－1)，则该数列的前100项之和为________．
答案：100
解析：根据题意有S
100
＝－1＋3－5＋7－9＋11－ …－197＋199＝2×50＝100.
2
n
－1
321
2. 已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝
n
，其前n项和S n
＝，则项数n＝________．
264
答案：6
1111 1111
1－
?
＋
?
1－
?
＋
? 1－
?
＋…＋
?
1－
n
?
＝n－(＋＋＋… 解析：∵ a
n
＝1－
n
，∴ S
n
＝
?
?
2
??
4
??
8
??
2
?
2 248
n
1
?
?
1
?
?
1－
2 ?
?
2
?
?
113211
＋
n
)＝ n－＝n－1＋
n
.由S
n
＝＝n－1＋
n
，可得出n＝6 .
212642
1－
2
11111
3. 数列1，3，5，7，… ，(2n－1)＋
n
，…的前n项和S
n
＝________．
248162
1
答案：n
2
＋1－
n

2
111
解析：该数列的通项公式为a
n
＝(2n－1)＋
n
，则S
n
＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋
2
222
11
＋…＋
n
)＝n
2
＋1－
n
.
22
1
4. (2018·无锡期末)设公比不为1的等比数列{a
n
}满足a
1
a
2
a
3
＝－，且a
2
，a
4
，a
3
成等差
8
数列，则数列{a
n
} 的前4项和为________．
5
答案：
8
1
解析：设数列{ a
n
}的公比为q(q≠1)．由等比数列的性质可得a
1
a
2a
3
＝a
3
2
＝－，所以a
2
8
1 ＝－.因为a
2
，a
4
，a
3
成等差数列，所以2a
4
＝a
2
＋a
3
，即2a
2
q
2
＝a
2
＋a
2
q，化简得2q
2
－q－1
2

a
1
（1－q
4
）
1a
2
＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0，解得q＝－或q＝1(舍去)．因为a
1
＝＝1，所以S
4
＝
2q
1－q
1
?
4
??
?
1×
1－
－
2
?
??
?
5
＝＝ .
1
?
8
?
1－
?
－
2
?1
??
?
5. 已知数列{a
n
}的前n项和S
n＝n，则数列
a－1
?
的前n项和T
n
＝________．
?
n
＋
1
?
2
答案：
n

4n＋4
??
?
1，n＝1，
?
1，n＝1，
?
解析：因为a
n
＝
2
＝
?
所以a
n
＝2n －1.
2
?
?
n－（n－1），n≥2
?
?
2n －1，n≥2，
1
111
1
所以＝＝
?
n
－
n＋1
?
，
2
?
a
n
＋
1
－ 1（2n＋1）－1
4
?
11111
111n
所以T
n＝
?
1－
2
＋
2
－
3
＋…＋
n
－
n＋1
?
＝×(1－)＝.
4
??
4
n＋14n＋4
6. 已知函数f(x)＝x的图象过点( 4，2)，令a
n
＝
的前n项和为S
n
，则S
365
＝________．
答案：366－1
1
1
解析：由f(4)＝2可得4＝2，解得α＝，则f(x)＝x
2
.
2
α
α
1，n∈N
*
.记数列{a
n
}
f（n＋1）＋f（n）
11
所以a
n
＝＝＝n＋1－n，
f（n＋1）＋f（n）
n＋1 ＋n
S
365
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
365
＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(365－364)＋
(366－365)＝366－1.
7. 已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后
两项之和，则这个数列的前16项之和S
16
＝____ ____．
答案：7
解析：根据题意这个数列的前8项分别为5，6，1，－5，－6，－ 1，5，6，发现从第7
项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6 ＋1＋(－5)＋
(－6)＋(－1)＝0.因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16
＝2×0＋7＝7.
8. 对于数列{a
n
}，定义数列{a n
＋
1
－a
n
}为数列{a
n
}的“差数列 ”，若a
1
＝2，数列{a
n
}的
“差数列”的通项为2
n
，则数列{a
n
}的前n项和S
n
＝________．
答案：2
n1
－2
＋

解析：因为a
n＋
1
－a
n
＝2
n
，所以a
n
＝(a
n
－a
n
－
1
)＋(a
n
－
1 －a
n
－
2
)＋…＋(a
2
－a
1
)＋a
1
＝2
n1
＋
＋
2－2
n
2－2 n1
n
＋
1n
－
22nn
2＋…＋2＋2＋2＝＋2 ＝2－2＋2＝2，所以S
n
＝＝2－2.
1－21－2
－
9. 已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＋
1
＝(－1)
n
(a
n
＋1)，记S
n
为{a
n }的前n项和，则S
2 020
＝
________．
答案：－1 010
解析：由a
1
＝1，a
n
＋
1
＝(－1)
n
(a
n
＋1)可得a
2
＝－2，a
3
＝－1，a
4
＝0，a
5
＝1，a
6
＝－2，
a7
＝－1，…，故该数列为周期是4的数列，所以S
2 020
＝505(a1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＝505×(－2) ＝
－1 010.
二、解答题
10. 已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝2·3
n1
＋(－1)
n
·(ln 2－ln 3)＋(－1)
n
nln 3，求其前n
项和S
n
. －
解：S
n
＝2(1＋3＋…＋3
n1
)＋[－1＋1－1＋ …＋(－1)
n
]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋
(－1)
n
n]ln 3，
－
1－3
n
nn
当n为偶数时，S
n
＝2×＋ln 3＝3
n
＋ln 3－1；
2
1－3
2
1－3
n
n－1
n－1
?
当n为奇数时，S
n
＝2×－(ln 2－ln 3)＋
?
ln 3－ln 2－1.
－n
ln 3＝3
n
－
2
?
2
?
1－3
?
综上所述，S＝ ?

n－1
?
3－
2
ln 3－ln 2－1，n为奇数.
n
n
n
3
n
＋ln 3－1，n为偶数，
2
11. (2018·天津卷)设{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
(n∈N
*
)；{b
n
}是等比数列，公比
大于0，其前n项和为T
n
(n∈N
*
)．已知b
1 ＝1，b
3
＝b
2
＋2，b
4
＝a
3
＋a
5
，b
5
＝a
4
＋2a
6
.
(1) 求S
n
和T
n
；
(2) 若S
n
＋(T
1
＋T
2
＋…＋T
n
)＝a
n
＋ 4b
n
，求正整数n的值．

解：(1) 设等比数列{b
n
}的公比为q，由b
1
＝1，b
3
＝b 2
＋2，可得q
2
－q－2＝0.
因为q＞0，可得q＝2，故b
n
＝2
n1
，
－

1－2
n
n
所以T
n
＝＝2－1.
1－2
设等差数列{a
n
}的公差为d.由b
4
＝a
3
＋ a
5
，得a
1
＋3d＝4.由b
5
＝a
4
＋2a
6
，得3a
1
＋13d＝
n（n＋1）
16，从而a
1
＝1，d＝1，故a
n
＝n，所以S
n
＝.
2
2×（1－2
n
）
＋
(2) 由(1)，有T
1
＋T
2
＋…＋T
n
＝(2＋2＋…＋2)－n＝－n＝2
n 1
－n－2.
1－2
12n
由S
n
＋(T
1＋T
2
＋…＋T
n
)＝a
n
＋4b
n
可得
n（n＋1）
n
＋
1
＋
＋2－n－2＝n＋2
n1
，
2
整理得n
2
－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n ＝4.所以n的值为4.
12. 已知数列{a
n
}的前n项和为S
n，且满足S
n
＋n＝2a
n
(n∈N
*
)．
(1) 求证：数列{a
n
＋1}为等比数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
T
n
－2
(2) 若b
n
＝(2n＋1)a
n＋2n＋1，数列{b
n
}的前n项和为T
n
.求满足不等式＞2 020的
2n－1
n的最小值．
(1) 证明：因为S
n
＋n＝2 a
n
，所以S
n
－
1
＝2a
n
－
1
－(n－1)(n≥2，n∈N
*
)．
两式相减，得a
n
＝2a
n
－
1
＋1.
所以a
n
＋1＝2(a
n
－
1
＋1)(n≥2，n∈N*
)，所以数列{a
n
＋1}为等比数列．
因为S
n
＋n＝2a
n
，令n＝1得a
1
＝1.
a
1
＋1＝2，所以a
n
＋1＝2
n
，所以an
＝2
n
－1.
(2) 解：因为b
n
＝(2n＋1 )a
n
＋2n＋1，所以b
n
＝(2n＋1)·2
n
. 所以T
n
＝3×2＋5×2
2
＋7×2
3
＋…＋(2 n－1)·2
n1
＋(2n＋1)·2
n
①，
－
2T n
＝3×2
2
＋5×2
3
＋…＋(2n－1)·2
n
＋(2n＋1)·2
n1
②，
＋
①－②，得－T
n＝3×2＋2(2
2
＋2
3
＋…＋2
n
)－(2n＋1 )·2
n1

＋
2
2
－2
n1
＋
＝6＋2×－(2n＋1)·2
n1

1－2
＋
＝－2＋2
n2
－(2n＋1)·2
n1
＝－2－(2n－1)·2
n1
.
＋＋＋
所以T
n
＝2＋(2n－1)·2
n1
.
＋
T
n
－2（2n－1）·2
n1
＋
若＞2 020，则＞2 020，即2
n1
＞2 020.
2n－12n－1
＋
由于2
10
＝1 024，2
11
＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.

T
n
－2
所以满足不等式＞2 020的n的最小值是10.
2n－1
13. 在等差数列{a
n
}中，已知公差d＝2，a
2 是a
1
与a
4
的等比中项．
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 设b
n
＝a
n（n ＋1）
，记T
n
＝－b
1
＋b
2
－b
3 ＋b
4
－…＋(－1)
n
b
n
，求T
n.
2
解：(1) 由题意知(a
1
＋d)
2
＝a1
(a
1
＋3d)，
即(a
1
＋2)
2＝a
1
(a
1
＋6)，解得a
1
＝2，
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n.
(2) 由题意知b
n
＝a
n（n＋1）
＝n(n＋1)，
2
则b
n
＋
1
－b
n
＝2(n＋1)，
所以T
n
＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)
n
n(n＋1 )．
当n为偶数时，
T
n
＝(－b
1
＋b
2 )＋(－b
3
＋b
4
)＋…＋(－b
n
－
1
＋b
n
)
n
（4＋2n）
2
n（n＋2）
＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，
22
当n为奇数时，T
n
＝T
n
－
1
＋( －b
n
)
（n－1）（n＋1）（n＋1）
2
＝－n(n＋1)＝－，
22
（n＋1）
2
－，n为奇数，
2
所以T
n
＝
n（n＋2）
，n为偶数.
2
?
?
?
第5课时数列的综合应用
一、填空题
1. 数列{a
n
}满足a
n＝log
2
(n
2
＋3)－2，则log
2
3是这个数列的第________项．
答案：3
解析：令a
n
＝log
2
(n
2
＋3)－2＝log
2
3，解得n＝3.
a
9
＋a
10
1
2. 在等比数列{a
n
}中，各项都是正数，且a
1
，a
3
，2a
2
成等差数列，则＝________．
2
a
7
＋a
8

答案：3＋22
11
解析：∵ a
1
，a
3
，2a
2
成等差数列，∴ 2×a
3 ＝a
1
＋2a
2
，即a
3
＝a
1
＋ 2a
2
.设等比数列{a
n
}
22
的公比为q且q＞0，则 a
3
＝a
1
q
2
，a
2
＝a
1 q，∴ a
1
q
2
＝a
1
＋2a
1
q，∴ q2
＝1＋2q，解得q＝1＋
a
9
＋a
10
a
9
（1＋q）
2
2或1－2(舍)，∴＝＝q＝(2＋1)
2
＝3＋ 22.
a
7
＋a
8
a
7
（1＋q）
a n
3. 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝2
n －1，则满足≤2的正整数n的集合为________．
n
答案：{1，2，3，4}
解析：因为S
n
＝2
n－1，所以a
1
＝1，当n≥2时，S
n
－
1
＝2n1
－1，两式相减得a
n
＝2
n1
，
a
n －－－
且a
1
＝1也符合a
n
＝2
n1
，故 {a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n1
.由≤2，得2
n1
≤2n，所以有n＝1，
n
－－
2，3，4. 即正整数n的集合为{1，2，3，4}．
4. 等差数列{a
n
}的首项为1，公差不为0.若a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，则{a
n
}前6项的和
为________．
答案：－24
2
解析：设等差数列的公差为d，由a
2
，a
3
，a
6
成等比数列可得a
2
3
＝a
2
a
6
，即(1＋2d)＝(1＋d)(1＋5d)，整理可得d
2
＋2d＝0.因为公差不为0，所以d＝－2，数列的前6项和为S
6
＝6a
1
6×（6－1）6×（6－1）
＋d＝6× 1＋×(－2)＝－24.
22
5. (必修5P
47
练习5改编)现有2 00根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余
的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为__ ______．
答案：10
n（n－1）19×20
解析：1＋2＋3＋…＋n＜ 200，＜200.当n＝20时，剩余钢管最少，用去
22
＝190(根)，则剩余10根．
6. 在等差数列{a
n
}中，已知首项a
1
＞0，公差d＞0.若 a
1
＋a
2
≤60，a
2
＋a
3
≤100 ，则5a
1
＋a
5
的最大值为________．
答案：200
解析：由a
1
＋a
2
≤60，a
2
＋a
3
≤100得2a
1
＋d≤60，2a
1
＋3d≤100，a
1
＞0，d＞0，5a
1
＋
?
2x＋2y＝6，
?
a
5
＝6a
1
＋4d＝x(2a
1
＋d)＋y(2a
1
＋3d)，由
?

?
x＋3y＝4，
?
?解得
?
1
y＝
?
2
.
5
x＝，
2
5151
所以5a
1
＋a
5
＝(2a
1
＋d)＋(2a
1
＋3d)≤×60＋×100＝200，
2222

故5a
1
＋a
5
的最大值为200.
7. (必修5P 48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n行(n≥2)第
2个数是_____ ___．

n
2
－n＋2
答案：
2
解析：设第 n行的第2个数为a
n
，不难得出规律：a
3
－a
2
＝2， a
4
－a
3
＝3，…，a
n
－a
n
－1
n
2
－n＋2
＝n－1，累加得a
n
＝.
2
10
8. 数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝( n＋1)·()
n
(n∈N
*
)，则此数列的最大项是第________项．
11
答案：9，10
10
?
解析：∵ a
n
＋
1
－a
n
＝(n＋2)
?
?
11
?n＋1
?
10
?
＝
?
10
?
×
9－n
，－(n＋1)·
?
11
??
11
?
1 1
nn
当n＜9时，a
n
＋
1
－a
n
＞0 ，即a
n
＋
1
＞a
n
；
当n＝9时，a
n
＋
1
－a
n
＝0，即a
n
＋
1
＝a
n
；
当n＞9时，a
n
＋
1
－a
n
＜0，即a
n
＋
1
＜a
n
，
∴ 该数列中有最大项，且最大项为第9，10项．
9. (2018·苏州暑假测试)等差数列{an
}的前n项和为S
n
，且a
n
－S
n
＝n 2
－16n＋15(n∈N
*
)，
若对任意n∈N
*
，总有S
n
≤S
k
，则k的值为________．
答案：7 n（n－1）
?
d
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，则 a
n
－S
n
＝a
1
＋(n－1)d－
?
n a
1
＋d
＝－
2
n
2
2
??
d －＝1，
2
?
?
a
1
＝13，
3
2
??
＋
?
2
d－a
1
?
n＋a
1
－d＝n－16n＋15，所以
3
解得
?
所以S
n
＝13n＋
d－a
1
＝－16，
?
d＝－2，
?
2
?
?
?
?
?
a－d＝15，
1
n（n－1 ）
×(－2)＝－n
2
＋14n＝－(n－7)
2
＋49，所以(S
n
)
max
＝S
7
，所以S
n
≤S
7
对任意n∈N
*
2
恒成立，所以k的值为7.
10. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至

齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七
里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？答：________日．
答案：9
解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a
1
＝103，公差d
1
＝13的等差数列，
n（n－1）
13
前n天共跑的里程为S＝na
1
＋d
1
＝103n＋n(n－1)＝6.5n
2
＋96.5n；驽马每日行程
2 2
n（n－1）
构成一个首项b
1
＝97，公差d
2
＝－0 .5的等差数列，前n天共跑的里程为S′＝nb
1
＋
2
0.5
d 2
＝97n－n(n－1)＝－0.25n
2
＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，
2
则有6.5n
2
＋96.5n－0.25 n
2
＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇．
二、解答题
11. 设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a 5
＝－3，S
10
＝－40.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 若从数列{a
n
}中依次取出第2，4，8，…，2
n
，…项，按原来的顺序排成一个新数列
{b
n}，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解：(1) ∵ a
5
＝a
1
＋4d＝－3，
S
10
＝10a1
＋45d＝－40，解得a
1
＝5，d＝－2.
∴ a
n
＝－2n＋7.
(2) 依题意，b
n
＝a
2n＝－2×2
n
＋7＝－2
n1
＋7，
＋
故T
n
＝－(2
2
＋2
3
＋…＋2
n1
)＋7n ＋
2
2
－2
n1
×2
＋
＝－＋7n＝4＋7n －2
n2
.
1－2
＋
12. 设数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
2
＋a
5
＝14，且对任意n∈N
*
，函数f(x)＝a
n
＋
1
x
2
－(a
n
＋
2
＋a
n
)x
满足f′(1) ＝0.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
(2) 设b
n
＝
11
，记数列{b
n
}的前n项和为S
n
，求证：S
n
＜.
2
（a
n
－1）（a
n
＋1）
(1) 解：由f( x)＝a
n
＋
1
x
2
－(a
n
＋
2
＋a
n
)x，得f′(x)＝2a
n
＋
1
x－( a
n
＋
2
＋a
n
)，
由f′(1)＝0，得2a
n
＋
1
＝a
n
＋
2
＋a
n
，故{a
n
}为等差数列．
设等差数列{a
n
}的公差为d，由 a
1
＝2，a
2
＋a
5
＝14，得
(a
1
＋d)＋(a
1
＋4d)＝14，解得d＝2，

所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋ (n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N
*
)．
(2) 证明：b
n
＝
1
111
1
＝＝
?
2n－1
－2n＋1
?
，
?
（a
n
－1）（a
n
＋1）（2n－1）（2n＋1）
2
?
111111
111
所以S
n
＝
?
1－
3
＋
3
－
5
＋…＋
2n－1
－
2n＋1
?
＝
?
1－
2 n＋1
?
＜.
2
??
2
??
2
13. 已知等比数列{a
n
}的公比q＞1，且a
1
＋a
3
＝20 ，a
2
＝8.
(1) 求数列{a
n
}的通项公式；
nn
(2) 设b
n
＝，S
n
是数列{b
n
}的前n项和，对任意正整数n，不等式S
n
＋
n
＋
1
＞ (－1)
n
·a
a
n
2
恒成立，求实数a的取值范围．
2
?
?
a
1
（1＋q）＝20，
1
(1) 由已知得
?
∴ 2q
2
－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2.
2 ?
a
1
q＝8，
?
?
?
a
1
＝4，
＋
∵ q＞1，∴
?
∴ 数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n1
.
?
q＝2，
?
(2) 由题意，得b
n
＝
2
n
＋
1
，
n
123n
∴ S
n
＝
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
＋
1
，
222
2
n －1
112n
S
n
＝
3
＋
4
＋…＋
n
＋
1
＋
n
＋
2
，
222
2 2
11111n
两式相减，得S
n
＝
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
＋
1
－
n
＋
2 ，
2222
22
1
1
?
1－
n
?
2
?
2
?
n＋2
1111nn
∴ S
n ＝＋
2
＋
3
＋…＋
n
－
n
＋
1
＝－
n
＋
1
＝1－
n
＋
1
，
2222
2
1
22
1－
2
1
∴ (－1)
n
·a＜1－
n
对任意正整数n恒成立，
2
1
设f(n)＝1－
n
，易知f(n)单调递增，
2
111
① 当n为奇数时，f(n)的最小值为，∴ －a＜，即a＞－；
222
33
② 当n为偶数时，f(n)的最小值为，∴ a＜.
44
13
13
－，
?
. 由①②可知－＜a＜，即实数a的取值范围是
?
?
24
?
24

第六章不等式
第1课时一元二次不等式及其解法
一、填空题
1. 不等式－3x
2
＋5x－4＞0的解集为________．
答案：
解析：原不等式可变形为3x
2
－5x＋4＜0.因为Δ＝(－5)
2
－4×3×4＝－23＜0，
所以3x
2
－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x 2
－5x＋4的图象可知原不等式的解集为
x＋5
2. 不等式≥0的解集是 ____________．
x－1
答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)
x＋5
解析：由≥0，得(x＋5)(x－1)≥0且x－1≠0，解得x≤－5或x＞1.
x－1
3. 不等式2x
2
－x<4的解集为________．
答案：{x|－1＜x＜2}
解析：由题意得x
2
－x＜2－1＜x＜2，故不等式的解集为{x|－1＜x＜2}．

4. 记不等式x
2
＋x－6 ＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”
是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－3]
解析：由题意得A＝(－3，2)，B＝(a，＋∞)，AB，∴ a≤－3.
5. 若不等式mx
2
＋2mx－4<2x
2
＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是
__________．
答案：(－2，2]
解析：原不等式等价于(m－2) x
2
＋2(m－2)x－4＜0，①当m＝2时，对任意x不等式都
成立；②当m－2 ＜0时，Δ＝4(m－2)
2
＋16(m－2)＜0，∴ －2＜m＜2.综合①②，得m∈(－
2，2]．
11
6. 已知不等式ax
2
－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x
2
－bx－a＜0的解集是23
________．
答案：(2，3)

111
解析：由题意知－，－是方程ax
2
－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋
232
?
－
1
?
＝
b
，－
1
× ?
－
1
?
＝－
1
.解得a＝－6，b＝5，不等式x
2
－bx－a＜0即为x
2
－5x＋6＜0，
?
3
?
a2
?
3
?
a
解集为(2，3)．
7. 已知关于x的不等式kx
2
－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范
围是__________．
答案：[0，1]
解析：当k＝0时，不等式对任意的x∈ R恒成立；当k＜0时，不等式kx
2
－6kx＋k＋8≥0
不能恒成立；当k＞0时，要使不等式kx
2
－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方
程kx2
－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k
2
－4(k
2
＋8k) ≤0，得0＜k≤1.综上，实数k的取值范围是
[0，1]．
x
?
?
2
，x≥0，
8. 已知f(x)＝
?
则不等式f(x)2
?
?
－x＋3x，x<0，
答案：{x|x＜4}
4x
解析：f(4)＝＝2，不等式即为f(x)＜2，当x≥0时，由＜2，得0≤x＜4；当x＜0时，
22
由－x
2
＋3x＜2，得x＜1或x＞2，因此x＜0.综上，f(x) ＜f(4)的解集为{x|x＜4}．
2
?
?
x＋x（x≥0），
9. 已知f(x)＝
?
则不等式f(x
2
－x＋1)＜12的解集是________．
2
?
－x＋x（x＜0）.
?
答案：(－1，2)
解析：由题意得当x≥0时，f(x)≥0，且f(x)单调递增；当x＜0时，f(x)＜0，且f(x)单
调递增．因为0
2
＋0＝－0
2
＋0，所以f(x)在R上单调递增，又f( 3)＝12，所以f(x
2
－x＋1)
＜12f(x
2
－x＋1)＜ f(3) x
2
－x＋1＜3－1＜x＜2.
10. 要使不等式x
2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围是________．
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－ 3)a＋x
2
－6x＋9＞0.令f(a)＝(x－
3)a＋x
2
－ 6x＋9.因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以
① 若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
?
f（－1）＞0，
?
?
x
2
－7x＋12＞0，
?
② 若x≠3，则由一次函数的单调性，得
?
即
?
2
解得x＜2
??
f（1）＞0，x －5x＋6＞0，
??
或x＞4.
二、解答题
11. 已知f(x)＝－3x
2
＋a(6－a)x＋6.

(1) 解关于a的不等式f(1)＞0；
(2) 若不等式f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，求实数a，b的值．
解：(1) 由题意知f (1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a
2
＋6a＋3＞0，即a
2
－6a－ 3＜0，解得3
－23＜a＜3＋23，
∴ 不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}．
(2) ∵ f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，
∴ 方程－3x
2
＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
a（6－a）（－1）＋3＝，
?
3
?
?
a＝3±3，
∴
?
解得
?

6－b
?
b＝－3，
?
?
（－1）×3＝
－3
，
即a的值为3＋3或3－3，b的值为－3.
12. 已知f(x)＝2x
2
＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解：(1) ∵ f(x)＝2x
2
＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，
bc
∴ 0和5是方程2x
2
＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
22
∴ b＝－10，c＝0，f(x)＝2x
2
－10x.
(2) f(x)＋t≤2恒成立等价于2x
2
－10x＋t－2≤0恒成立，
∴ 2x
2
－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x
2
－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x) ＝2x
2
－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，
∴ g(x)
max
＝g(－1)＝10＋t，
∴ 10＋t≤0，即t≤－10.
∴ t的取值范围是(－∞，－10]．
13. 已知函数f(x)＝x
2
－2ax－1＋a，a∈R.
(1) 若a＝2，试求函数y＝
f（x）
(x＞0)的最小值；
x
(2) 对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．

f（x）x
2
－4x＋1
1
解：(1) 依题意得y＝＝＝x＋－4.
xxx
11
因为x＞0，所以x＋≥2.当且仅当x＝时，
xx
即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝
f（x）
的最小值为－2.
x
(2) 因为f(x)－a＝x
2
－2ax－1，
所以要使得“x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x
2
－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝ x
2
－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．
?
?
g（0）≤0，
?
?
0－0－1≤0，
3
所以
? 即
?
解得a≥.
4
?
?
g（2）≤0，
?
?
4－4a－1≤0，
3
?
则a的取值范围是
?
?
4
，＋∞
?
.
第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划
一、填空题
1. (2018·泰州模拟)若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
2
答案：(，＋∞)
3
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点
2
(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.
3
2. 已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是
___ _______．
答案：(－7，24)
解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12 －a)＜0，所以(a＋7)·(a－24)＜0，所以－7＜a＜
24.
?
?? x≥1，
?
?
?
?
?
，集合B＝{(x，y)|3x ＋2y－m＝0}．若A∩B≠3. 已知集合A＝
?
（x，y）
?
?
??
2x－y≤1
?
?
?
??
则实数m的最小值等于__ ______．
答案：5

?
?
x≥1，
解析：问题可转化为求当x，y满足约束条件
?
时，目标函数m＝3x＋2y的最
?
2 x－y≤1
?
小值．在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．可以求得在点(1，
1)处，目标函数m＝3x＋2y取得最小值5.

x＋y－2≥0，
?
?
4. 已知不等式组
?
x－2≤0，
表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
?
?
ax－y＋2≥0
1
答案：
2
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为
△ABC，

1
所以S＝×2AC＝3，所以AC＝3，即C(2，3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a 2
1
＝.
2
?
?
2x－y≤0，
1
－
5. 已知整数x，y 满足
?
则z＝4
x
·()
y
的最小值为________．
2
?
?
x－3y＋5≥0，
1
答案：
16
1
?
－
2x
－
y
－
2x
－
y 解析：z＝4·
?
＝2·2＝2.
?
2
?
－
x
y

设m＝－2x－y，要使z最小，则只需m最小．

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知当直线y＝－2x－m经过点B时，m最小，
?
2x－y＝0，
?
x＝1，
??
由
?
解得
?
即B(1，2)，此时m＝－2－2＝－4，
??
x－3y＋5＝0，y＝2，
??
1
?
1
－
4
所以z＝4·
?
的最小值为2＝.
?
2
?
16
－
x
y
x －y－3≤0，
?
?
y
6. (2018·南京三模)若实数x，y满足?
x＋2y－5≥0，
则的取值范围是________．
x
?
?
y－2≤0，
2
，2
?
答案： ?
11
??
x－y－3≤0，
?
?
解析：由实数x， y满足
?
x＋2y－5≥0，
作出可行域如图，
?
?
y－2≤0，

?
?
x＋2y－5＝0，y
联立
?
解得A(1，2).的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，
x
?
y－2＝0，
?
?
?
x－y－3＝0，
112
?
2
2y
，
.∴ k
OB
＝，∴ 的取值范围是
?
，2
?
. ∴ k
OA
＝2.由
?
解得B
?
?
33
??
11
?
11x
?
x＋2y－5＝0，
?
x－2y－5≤0，
?
?
7. 设实数x，y满足约束条件
?
x＋y－4≤0，
则z＝x
2
＋y2
的最小值为________．
?
?
3x＋y－10≥0，
x＋y－3≥0，
?
?
8. (2018·山东潍坊月考)直线x＋my＋1＝0与不等式组
?
2x－y≥0，
表示的平面区域
?
?
x－2≤0 有公共点，则实数m的取值范围是__________．
答案：10
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z＝x
2
＋y
2
表示区域内的点到原

点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时， z＝x
2
|3×0＋0－10|
2
＋y
2
取得最小值，所以 z
min
＝()＝10，垂足为点(3，1)，在平面区域内，所以z
3
2 ＋1
2
＝x
2
＋y
2
的最小值为10.

9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原
料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万
元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．

A原料吨
B原料吨

3
－3，－
?
答案：
?
4
??
解析：由题意，知直线x＋my＋1＝0过定点D(－1，0)，作出不等式组对应的平面区域
如图阴影部分所示，当m＝0时，直线为x＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0.x
111＋my＋1＝0的斜截式方程为y＝－x－，斜率k＝－.
mmm
甲产品
3
1
乙产品
2
2
原料限额
12
8

1
要使直线和平面区域有公共点，则直线x＋my＋1＝0的斜率k＞0，即k＝－＞0，即
m
m＜0，且满足k
CD
≤k≤k
AD
.
??
?
x＋y－3＝0，
?
x＝2，
?
2x－y＝0， 0－1
1
?
由
?
解得
?
即C(2，1)，C D的斜率k
CD
＝＝.由
?
解
－1－2
3
?
?
x－2＝0，
?
y＝1，
?
x－2＝0，
??
?
x＝2，
?
4－0
414114
得
?
即A(2， 4)，AD的斜率k
AD
＝＝，即≤k≤，则≤－≤，解得
333m3
2－（－1）
3
?
?
y＝4，
3
－3≤m≤－.
4

x－2y＋5≥0，
??
??
10. 设m为实数，若{(x，y)|
?
3－x≥0，
?
{(x，y)|x
2
＋y
2
≤25}，则m的取值范围
??
?
mx＋y≥0
? 是________．
答案：18
3x＋2y≤12，
?
?
x＋2y≤8，
解析：设每天甲、乙的产量分别为x吨、y吨，由已知可得
?
x≥0，
?
?
y≥0，
目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值．
?
?
x＋2y＝8，
由
?
得A(2，3)，
? 3x＋2y＝12，
?
则z
max
＝3×2＋4×3＝18(万元)．
二、解答题
11. 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天
往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为
1 600元辆和2 400 元辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多
于A型车 7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那
么应配备A型车、B型车各多少辆？
4
答案：[0，]
3
解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m＞ 0，则可行域取到x＜－5的点，
不在圆内，故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此
444
时－m＝－，∴ m＝，∴ 0≤m≤.
333

12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产
甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦·时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5
千瓦·时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天
用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦·时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产 品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
解：设A型、B型车辆分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝1 600x＋2 400y. x＋y≤21，
?
?
y≤x＋7，
由题意，得x，y满足约束条件?
36x＋60y≥900，

x≥0，x∈N，
?
?
y≥0，y∈N.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)， R(15，6)．

由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y
z
在y轴上的截距最小，即z取得最小值，
2 400
故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
?
?
4x＋5y≤200，
则线性约束条件为
?
3x＋10y≤300，
目标函数为z＝7x＋12y，作出可行域如图：
x≥15，
?
?
y≥15，
9x＋4y≤300，

作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最
大，z
max
＝7×20＋12×24＝428(万元)．

答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．
x－4y＋3≤0，
?
?
13. 变量x，y满足
?
3x＋5y－25≤0，

?
?
x≥1.
y
(1) 设z
1
＝，求z
1
的最小值；
x
(2) 设z
2
＝x
2
＋y
2
，求z
2
的取值范围；
(3) 设z
3
＝x
2
＋y
2
＋6x－4y＋13 ，求z
3
的取值范围．
x－4y＋3≤0，
?
?
解：由约束条件
?
3x＋5y－25≤0，
作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．
?
?
x≥1，

?
?
x＝1，
22
1，
?
. 由
?
解得A
?
5
??
?
3x＋5y－25＝0，
?
?
?
x＝1，
由
?
解得C(1，1)．
?
x－4y ＋3＝0，
?
?
?
x－4y＋3＝0，
由
?
解得B (5，2)．
?
3x＋5y－25＝0，
?
y
y－0
(1) ∵ z
1
＝＝，
x
x－0
2
∴ z
1
的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知(z
1
)
min
＝k
OB
＝.
5
(2) z
2
＝x
2
＋y
2
的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可
行域上的点到原点的距离中，d
min
＝OC＝2，d
max
＝OB＝29，
故z
2
的取值范围是[2，29]．
(3) z
3
＝x 2
＋y
2
＋6x－4y＋13＝(x＋3)
2
＋(y－2) 2
的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)
的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，
d
min
＝1－(－3)＝4，
d
max
＝（－3－5）
2
＋（2－2）
2
＝8，
故z
3
的取值范围是[16，64]．

第3课时基本不等式
一、填空题
1. 若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋
答案：2
99
解析：∵ x＞－4，∴ x＋4＞0，∴ f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2
x＋4x＋4
－4＝2，
9
当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．
x＋4
2. 设0＜x＜2，则函数y＝x（4－2x）的最大值为________．
答案：2
x＋2－x
解析：∵ 0＜x＜2，∴ 2－x＞0，∴ y＝x（4－2x）＝2·x（2－x）≤ 2·
2
＝2，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴ 当x＝1时，函数y＝x（4－2x）的最大值
为2.
12
3. 若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．
ab
答案：22
12
解析：依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2
ab
22212
＝，当且仅当＝，即b＝2a时等号
abab
ab
9
（x＋4）·
x＋4
9
的最小值为________．
x＋4
1222
成立．因为＋＝ab，所以ab≥，即ab≥22，所以ab的最小值为22.
ab
ab
4. 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为__________．
答案：26－3
解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝
4－2x
66，则x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥26
x＋1x＋1x＋1
6
－3，当且仅当x＋1＝，即x＝6－1时等号成立．所以x＋y的最小值为26－3.
x＋1
5. (必修5P102习题9改编)某民营企业生产的一种电子产品，2019年的年产量在2018
年基础上增长率为a；2020年计划在2019年的基础上增长率为b(a，b＞0)，若这两年的平
a＋b
均增长率为q，则q与的大小关系是__________．
2

a＋b
答案：q≤
2
解析：设2018年的年产量为1，则2020年的年产量为(1＋a)(1＋b)，∴ (1＋q)
2
＝(1＋
1＋a＋1＋ba＋ba＋b
a)(1＋b)，∴ 1＋q＝（1＋a）（1＋b）≤＝1＋，∴ q≤，当且仅当a
222
＝b时，取等号．
6. (必修5P107测试题题10改编)给出下列结论：
① 若x∈(0，π)，则sinx＋
1
≥2；
sinx
② 若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b；
4
x＋
?
≥4； ③ 若x∈R，则
?
?
x
?
④ 函数y＝
x
2
＋3
x
2
＋2
的最小值为2.
其中正确的结论是________．(填序号)
答案：①③
解析：① 因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①正确；
② 只有在lg a＞0，lg b＞0，即a＞1，b＞1时才成立，所以②不正确；
44
x＋
?
＝|x|＋
??
≥2③
?
?
x
??
x
?
④ y＝
x
2 ＋3
x
2
＋2
＝x
2
＋2＋
?
4 ?
＝4，当且仅当x＝±|x|·2时“＝”成立，所以③正确；
?
x
?
11
2
≥2，当且仅当x＋2＝时“＝”成立，显然
x
2
＋2x
2
＋2
此式不成立，所以取不到“＝”，所以④不成立．
ab
7. (2018·江苏重点中学冲刺卷)已知正实数a，b满足9a
2
＋b
2
＝1，则的最大值为
3a＋b
________．
答案：
2

12
abab
解析：≤，当且仅当3a＝b时等号成立，又9a
2
＋b
2
＝1，a＞0，b＞0，所以
3a＋b23ab
当a＝
22ab2
，b＝时，取得最大值.
6212
3a＋b
8. 已知x＞0，y＞0，若不等式x
3
＋y 3
≥kxy(x＋y)恒成立，则实数k的最大值为________．
答案：1 

（x＋y）（x
2
－xy＋y
2
）
解析：由题设知k≤，
（x＋y）xy
x
2
－xy＋y
2
xy
∴ k≤＝＋－1恒成立．
xyyx
xy
∵ ＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝y时等号成立，从而k≤1，即k的最大值为1.
yx
11
9. 已知x，y∈R
＋
，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是________．
xy
答案：4
x＋y
11
解析：由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋.
xyxy
∵ x＞0，y＞0，∴ 5≥x＋y＋
x＋y
4
＝x＋y＋，∴ (x＋y)
2
－5(x＋y)＋4≤0，
2
x＋y
?
x＋ y
?
?
2
?
解得1≤x＋y≤4，∴ x＋y的最大值是4.
11
10. 已知函数f(x)＝ln(x＋x
2
＋1)，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则＋的最
ab
小值是________．
答案：3＋22
解析：f(x)＝ln(x＋x
2
＋1)的定义域为R，且 f(x)＋f(－x)＝ln(x＋x
2
＋1)＋ln(－x＋
x
2
＋1)＝ln(x
2
＋1－x
2
)＝0，所以若f(2a)＋f(b－1)＝ 0，则一定有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝
1.
11
2a＋b2a＋b
b2ab2a
故＋＝＋＝2＋＋＋1.又a＞0，b＞0，所以＋≥22，当且仅当b＝
aba babab
11
2a时等号成立，所以＋的最小值为3＋22.
ab
二、解答题
x
2
＋3
11. 已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数)．
x－a
(1) 当a＝1且 x＞1时，求f(x)的最小值；
(2) 设x＞a时，f(x)有最小值6，求a的值．
x
2
＋3（x－1）
2＋2（x－1）＋4
4
解：(1) 当a＝1且x＞1时，f(x)＝＝＝x－1＋＋x－1x－1x－1
2≥2
44
（x－1）·＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x ＝3时，等号成立，故f(x)的最
x－1x－1
小值为6.

(2) 设t＝x－a，则x＝t＋a(t＞0)．
t
2
＋2at＋a
2
＋3a
2
＋3
∴ f (t)＝＝t＋＋2a≥2
tt
a
2
＋3
t·＋2a＝2a
2
＋3＋2a.
t
a
2
＋3
当且仅当t＝，即t＝a2
＋3时，等号成立，即f(x)有最小值2a
2
＋3＋2a.
t
依题意有2a
2
＋3＋2a＝6，解得a＝1.
12. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积
为 900 m
2
的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形
区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区
域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块
种植植物的矩形区域的总面积为S(m
2
)．
(1) 求S关于x的函数解析式；
(2) 求S的最大值．

900
?
7 200
－2
＝－2x－解：(1) 由题设，得S＝(x－8)
?
＋916，x∈(8，450)．
?
x
?
x
7 200
(2) 因为8＜x＜450，所以2x＋≥2
x
立．
从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m
2
.
13. (2018·江苏名校联考)为更好地进行天象观测和天文学研究，某研究所计划建造一个
天文台，其整体轮廓如图所示(长度单位：米)，其中下部为圆柱体，上部为半球体．
(1) 若天文台的高度为15米，且h＝4r，求天文台的体积；
(2) 若天文台的体积为
704π
立方米，假设墙的厚度忽略不计，建造该天文台的费用仅
3
7 200
2x×＝240，当且仅当x＝60时等号成
x
和表面积有关．已知圆柱体部分每平方米的建造费用为3万元，半球体部分每平方米的建造
15
费用为万元，设该天文台的总建造费用为y万元．
2
① 求y关于r的函数表达式；
② 问：当r为何值时，天文台的总建造费用最少？

解：(1) 因为天文台的高度为15米，且h＝4r，
所以4r＋r＝15，r＝3，h＝12，
14 14
所以该天文台的体积V＝×πr
3
＋πr
2
h＝××3
3
×π＋π×3
2
×12＝126π(立方米)．
2323
(2) ① 因为天文台的体积为
704π
立方米，
3
704π704－2r3
14
3
3
2
所以×πr＋πrh＝，解得h＝，r＜244，
2
2333r
704－2r1 408＋11r
15
所以y＝2πr h×3＋2πr×＝6πr×＋15πr
2
＝π×(0＜r＜
2
23rr2
33
3
244)．
3
704704
1 408＋11r
3
704704
2
② 由①得y＝π×＝π×(＋＋11r )≥π×××11r
2
＝16
rrrrr
3
π×11×11×11＝ 176π，当且仅当r＝4时等号成立．
所以当r＝4时，天文台的总建造费用最少，且最少建造费用为176π万元．
第4课时不等式的综合应用
一、填空题
1. 已知log
2
x＋log
2
y＝1，则x＋y的最小值为________．
答案：22
解析：由log
2
x＋log
2
y＝1得x＞ 0，y＞0，xy＝2，x＋y≥2xy＝22.
a
2. 已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
x
答案：36

a
解析：f(x)＝4x＋≥2
x 知a＝4×3
2
＝36.
aa
4x·＝4a，当且仅当4x＝，即a ＝4x
2
时取等号，则由题意
xx
3. (2018·无锡期初测试)定义在 R上的运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1
对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．
13
－，
?
答案：
?
?
22
?
解析：∵ (x－y)*(x＋y)＝(x－y) (1－x－y)＝x－x
2
－y＋y
2
＜1.∴ －y＋y
2
＜x
2
－x＋1，要
313
使该不等式对一切实数x恒成立，则需有－y＋ y
2
＜(x
2
－x＋1)
min
＝，解得－＜y＜.
422
4. (2018·常州高级中学模拟)在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD
→→→
上，则PA(PB＋PC)的最小值为________．
1
答案：－
2
→
→→
?
2
?
| PA
|AD|
2
→→→→→→→
|＋|PD|
解析：由题意得PA· (PB＋PC)＝2PA·PD＝－2|PA|·|PD|≥－2
??
＝－
2
＝
2
??
1
→→
1
－，当且仅当|PA|＝|PD|＝时取等号，
22
1
→→→
因此PA·(PB＋PC)的最小值是－.
2
x－y≥0，
?
?
1
5. (2018·常州调研)已知实数x，y满足条件
?
x＋y≥0，
则y－()
x
的最大值为___ _____．
2
?
?
x≤1，
1
答案：
21
??
1
?
的图象，解析：令z＝y－
?
，作出不等式组对应的区域如图，作出指数函数y＝
?
2
??
2
?
1??
1
?
＋z的图象经过点A时z取最大值．由平移函数y＝
?
的图象，可知当函数y＝
?
2
??
2
?
?
?
x－y＝0，
1
?
x
1
?
?
得A(1，1)，所以x＝y＝1时，y－
?
2
?
取最大值.
2
?
?
x＝1，
xx
xx

6. (20 18·苏北七市三调)已知实数a，b，c成等比数列，a＋6，b＋2，c＋1成等差数列，
 则b的最大值为________．

3
答案：
4
解析：由题意，b
2
＝ac，且2(b＋2)＝(a＋6)＋(c＋1)，即a＋c＝2b－3，所以 a，c是一
3
元二次方程x
2
－(2b－3)x＋b
2
＝0 的两根，因而有判别式(2b－3)
2
－4b
2
≥0，解得b≤，故b
4
3
的最大值为.
4
7. 已知正数x，y满足x＋y＝1，则
9
答案：
4
411411
解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(＋)(x＋2＋y＋1)＝[4
4
x＋2y＋ 1
4
x＋2y＋1
4（y＋1）x＋2
1
4（y＋1）x＋2
921
＋]≥(5＋4)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等
433
x＋2y＋1
4
x＋2y＋1
419
号．即(＋)
min
＝.
4
x＋2y＋1
＋1＋
8. (2018·盐城中学月考)已知函数f(x) 是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x
2
－3x，则不等式f(x－1)＞－ x＋4的解集是________．
答案：(4，＋∞)
2
?
?
－x－3x，x≤0，
解析：由题意得f(x)＝
?
2

?
x－3x，x＞0，
?
2
?
?
－（x－1）－3（x－1），x－1 ≤0，
f(x－1)＝
?

2
?
（x－1）－3（x－1），x－1＞0，
?
2
?
?
－x－x＋2，x≤1，
即f(x －1)＝
?
2

?
x－5x＋4，x＞1，
?
41
＋的最小值为________．
x＋2y＋1
所以不等式f(x－1)＞－x＋4可化为
22
?
?
－x－x＋2＞－x＋4，
?
?
x－5x＋4＞－x＋4，
?
或
?
解得x＞4.
??
x≤1，x＞1，
??
3x－y －6≤0，
?
?
x－y＋2≥0，
9. 设x，y满足约束条件
? 若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值
x≥0，
?
?
y≥0，

32
为12，则＋的最小值为________．
ab
答案：4
解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋
aza
by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y
bbb
z
轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在 y轴上的截距最大，从而z也最大，
b
4a9b
32
2a＋3b
? 32
?
1
?
所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝· ?
a
＋
b
?
＝
?
6＋6＋
b
＋
a
?
?
≥4，当且
ab66
332
仅当a＝， b＝1时等号成立．所以＋的最小值为4.
2ab

10. 设x，y为实数，若4 x
2
＋y
2
＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
210
答案：
5
3
解析：(解法1)∵ 4x
2
＋y
2
＋xy＝1，∴ (2x＋y)
2
－3xy＝1，即(2x＋y)
2
－·2xy＝1，
2
3
?
2x＋y
?
2
8210
∴ (2x ＋y)－·≤1，解得(2x＋y)
2
≤，即2x＋y≤.当且仅当2x＝y＞0，
2
?
2
?
55
2
即x＝
1010
，y＝时等号成立．
105
(解法2)令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x
2
＋y
2
＋xy＝1，得6x
2
－3tx＋t
2
－1＝0，由于
8210210
x是实数，故Δ＝9t
2
－24(t
2
－ 1)≥0，解得t
2
≤，即－≤t≤，即t的最大值也就是
555
2102x＋y的最大值为.
5
1
?
2
15
2
11 5
?
(解法3)化已知4x＋y＋xy＝1为
?
2x＋
4
y
?
＋(y)＝1，令2x＋y＝cosα，y＝
444
22
30sinα，则y＝sinα，则2x＋y＝2x＋y＋y＝cosα＋sin α＝sin(α＋φ)≤.
4544555
二、解答题
11. 已知二次函数f(x)＝ax
2 ＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，
1
且当x∈( 1，3)时，有f(x)≤(x＋2)
2
成立．
8

(1) 求证：f(2)＝2；
(2) 若f(－2)＝0，求f(x)的解析式．
1
(1) 证明：由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立，又取x＝2时，f(2)＝ 4a＋2b＋c≤×
8
(2＋2)
2
＝2恒成立，
∴ f(2)＝2.
?
?
4a＋2b＋c＝2，
(2) 解：∵
?
∴ 4a＋c＝2b＝1，
?
4a－2b＋c＝0，
?
1
∴ b＝，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax
2
＋(b－1)x＋c≥0恒成立．∴ a＞0，Δ＝
2
?
1
－1
?
－4a(1－4a)≤0，解得 a＝
1
，b＝
1
，c＝
1
，∴ f(x)＝
1
x
2
＋
1
x＋
1
.
?
2
?
822822
12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：
3
百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其
x＋1
他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元千克(即16百元
百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)．
(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域；
(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
3
48
解：(1) L(x)＝16
?
4－
x＋1
?
－x－2x＝64－－3x(0≤x≤5)．
??
x＋1
(2) L(x )＝64－
48
48
－3x＝67－
?
x＋1
＋3（x＋1 ）
?
≤67－2
??
x＋1
48
·3（x＋1）＝43.当
x＋1
2
48
且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．故L(x)
max
＝43.
x＋1
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300
元．
13. 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角
A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱
笆．
(1) 若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
(2) 已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙
用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

13
解：(1) 设A P＝x米，AQ＝y米，则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin120°＝
24
xy.
3
?
x＋y
?
2
所以S≤＝2 5003. 4
?
2
?
?
?
x＝y，
当且仅当
? 即x＝y＝100时取等号．
?
x＋y＝200，
?
(2) 由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，
所以PQ
2
＝x
2 ＋y
2
－2xycos120°＝x
2
＋y
2
＋xy ＝(200－1.5y)
2
＋y
2
＋(200－1.5y)y＝1.75y 2
800
?
2
120 000
?
400
?
0＜y＜
?
，－400y＋40 00 0＝1.75
?
y－
7
?
＋
3
?
7
?
当y＝
8
时，PQ有最小值，此时x＝.
777
200800
所以当AP为米，AQ为米时，用料最省．
77

第七章推理与证明
第1课时合情推理与演绎推理
一、填空题
1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，
则预计第10年树的分枝数为________．

答案：55
解析：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所
以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
2. 演绎推理“因为对数函数y＝log
a
x(a＞0 且a≠1)是增函数，而函数y＝log
1
x是对数
2
函数，所以y＝log
1
x是增函数”所得结论错误的原因是________．(填序号)
2
① 大前提错误； ② 小前提错误；
③ 推理形式错误； ④ 大前提和小前提都错误．

答案：①
解析：因为当a＞1时，y＝log
a
x在定义域内单调递增，当0＜a＜1时，y＝log
a
x在定义
域内单调递减，所以大前提错误．
3. 观察：(x
2
)′＝2x，(x
4
)′＝4x
3
，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函
数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g (x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．
答案：－g(x)
解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
4. “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300
多年．如图是杨辉三角数阵，记a
n
为图中第n行各个数之和，则a
5
＋a
11
的值为___ _______．

答案：1 040
解析：a
1
＝1，a2
＝2，a
3
＝4＝2
2
，a
4
＝8＝23
，a
5
＝16＝2
4
，…，所以a
n
＝2 n1
，a
5
＋a
11
＝2
4
＋2
1 0
＝1 040.
－
sin 30°＋sin 90°sin 15°＋sin 75°sin 20°＋sin 40°
3
5. 观察等式：＝3，＝1，＝.
cos 30°＋cos 90°cos 15°＋cos 75°cos 20°＋cos 40°
3
照此规律，对于一般的角α，β有等式____________________．
sin α＋sin β
α＋β
答案：＝tan
2
cos α＋cos β
解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故
sin α＋sin β
α＋β
＝tan .
2
cos α＋cos β
6. (2018·常州模拟)观察下列各式：5
5
＝3 125，5
6
＝15 625，5
7
＝78 125，5
8
＝390 625，
5
9
＝1 953 125，…，则5
2 019
的末四位数字为________．
答案：8 125
解析：5
5
＝3 125，5
6
＝15 625，5
7
＝78 125，5
8
＝390 625，5
9
＝1 953 125，…，可得5
9
＋
与5
5
的后四位数字相同，由此可归纳出5
m4k
与5
m
(k∈N
*
，m＝5，6，7，8)的后四位数字
相同，又2 019＝4×503＋7，所以5
2 019
与5
7
的后四位数字相同，为8 125.
7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连结着等腰直角三角形，
等腰直角三角形边上再连结正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方
形的边长为
2
，则最小正方形的边长为________．
2

1
答案：
32
解析：设1＋2＋4＋ …＋2
列
n
－
1
1－2
n
＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.正方形边长构成数
1－2
222221
，()
2，()
3
，…，()
10
，从而最小正方形的边长为()
10 ＝.
2222232
8. (2018·江苏通州高级中学月考)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D
f（x
1
）＋f（x
2
）＋…＋ f（x
n
）x
1
＋x
2
＋…＋x
n
内的任意x
1
，x
2
，…，x
n
，都有≤f()．若y＝
nn
sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．
33
答案：
2
f（x
1
）＋f （x
2
）＋…＋f（x
n
）
?
x
1
＋x 2
＋…＋x
n
?
解析：由题意知，凸函数满足≤f
n
n
??
，
A＋B＋Cπ
又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则s inA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝
33
33
.
2
9. 已知“整数对”按如下规律排成一行：
(1，1)，(1，2)，(2，1 )，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…
则第60个“整数对”是________．
答案：(5，7)
解析：依题意，把 “整数对”中和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”
n（n＋1）
的和均为n＋ 1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，
2
10×（10＋1） 11×（11＋1）
注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整
22 数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各
整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是 (5，
7)．
10. 如图，椭圆中心在坐标原点，A，B分别为椭圆与x轴、y轴正半轴的交点，F为左
5－1
→→
焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，
2

可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于___ _____．

答案：
5＋1

2
x
2
y
2
→
解析：设双曲线方程为
2
－
2
＝1(a＞0 ，b＞0)，则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，∴ FB
ab
→→→→→
＝(c，b)，AB＝(－a，b)．∵ FB⊥AB，∴ FB·AB＝b
2
－ac＝0，∴ c
2
－a
2
－ac＝0，
1＋51－5
∴ e
2
－e－1＝0，∴ e＝或e＝(舍去)．
22
11. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：
从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一
个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划过的点不会成
为确定折线的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图②所给线路中可以成为屏幕
解锁图案的是________．(填字母)

答案：a，b
解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路
的作用．a，b均满足题意，c中第二排第三列的点至少起到两次确定线路的作用．
二、解答题

12. 已知函数f(x)＝
1
，先分别求f (0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后
3
x
＋ 3
归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝
13
＝，
3（1＋3）
3
同理可得f(－1)＋f(2)＝
33
，f(－2) ＋f(3)＝.
33
3
.证明如下：
3
111
＋
1
＝＋
3＋33＋31＋3
0
1
＝
3（1＋3）
3
＋
3（1＋3）
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝
f(x)＋f(1－x )＝
11
＋
1
－
x

3＋33＋3
x13
x
13
x
＝
x
＋＝＋
3＋33＋3·3
x
3
x
＋33（3＋3
x
）
3＋3
x3
＝
x
＝
3
.
3（3＋3）
13. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①②③④为他们刺绣最简单的四个图案，
这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方
形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f (n)个小正方形．

(1) 求出f(5)的值；
(2) 利用合情推理的“归纳推理”思想，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你
得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3) 当n≥2时，求
解：(1) f(5)＝41.
1111
＋＋＋…＋的值．
f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1

(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由此式规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋ 1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋
4(n －2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－ 2)＋4(n－3)＋…
＋4＝2n
2
－2n＋1.
(3) 当n≥2时，
1
111
1
＝＝
?
n－1
－
n
?
，
?
f（n）－12n（n－1）
2
?
11111111 11
＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…
222334
f（1）f（2）－1f（ 3）－1f（n）－1
1
31111
1－
?
＝－. ＋－)＝1＋ ?
n
?
22n2
?
n－1
n
所以
第 2课时直接证明与间接证明
一、填空题
1. (2018·扬州质检)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少
有一个能被5整除”，那么假设的内容是
_________________________________________________ _______________________．
答案：a，b中没有一个能被5整除
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a，b中没有一个能被5
整除”．
2. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b
2
－ac
＜3a”索的因应是________．(填序号)
① a－b＞0；② a－c＞0；
③ (a－b)(a－c)＞0；④ (a－b)(a－c)＜0.
答案：③
解析：b
2
－ac＜3ab
2
－ac＜3a
2
(a ＋c)
2
－ac＜3a
2
a
2
＋2ac＋c
2－ac－3a
2
＜0
－2a
2
＋ac＋c
2
＜ 02a
2
－ac－c
2
＞0(a－c)(2a＋c)＞0(a－c)(a－b )＞0.

3. (2018·扬州模拟)若a
1
＜a
2，b
1
＜b
2
，则a
1
b
1
＋a2
b
2
与a
1
b
2
＋a
2
b
1
的大小关系是
_______________________________ _________________________________________．
答案： a
1
b
1
＋a
2
b
2
＞a
1b
2
＋a
2
b
1
解析：作差可得(a
1b
1
＋a
2
b
2
)－(a
1
b
2
＋a
2
b
1
)＝(a
1
－a
2
)·(b
1
－b
2
)．
因为a
1
＜a
2
，b
1
＜b
2
，所以(a
1
－a
2)(b
1
－b
2
)＞0，即a
1
b
1
＋a
2
b
2
＞a
1
b
2
＋a
2 b
1
.
f
2
（1）＋f（2）f
2
（2）＋f（4）
4. 已知函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋＋
f（1）f（3）
f
2
（3）＋f（6）f
2
（4）＋f（8）
＋＝________ ．
f（5）f（7）
答案：16
解析：根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)得 f(2n)＝f
2
(n)，又f(1)＝2，则
f（n＋1）
＝2，故
f（n）
f
2
（1）＋f（2）f
2
（2）＋f（4）f
2
（3）＋f（6）f
2
（4）＋f（8）2f（2）
＋＋＋＝＋
f （1）f（3）f（5）f（7）f（1）
2f（4）2f（6）2f（8）
＋＋＝16.
f（3）f（5）f（7）
5. 设a，b是两个实数，给出下列条件：
① a＋b＞1；② a＋b＝2；③ a＋b＞2；
④ a
2
＋b
2
＞2；⑤ ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
答案：③
12
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b
23
＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a
2
＋b
2
＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，
则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设
a≤1且b≤1，则a＋b≤2 与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6. 已知实数a，b，c满足b ＋c＝6－4a＋3a
2
，c－b＝4－4a＋a
2
，则a，b，c的大小关
系是________．
答案：c≥b＞a
解析：∵ c－b＝4－4a＋a
2
＝(2－a)
2
≥0，∴ c≥b.已知两式作差得 2b＝2＋2a
2
，即b＝1
1
?
2
3
22
?
＋a.∵ 1＋a－a＝
?
a－
2
?
＋＞0，∴ 1＋a
2
＞a.∴ b＝1＋a
2
＞a.∴ c≥b＞a.
4
7. 对实数a和b，定义运算“”：a
?
?
a，a－b≤1， b＝
?
设函数f(x)＝(x
2
－2)
?
b，a－b >1.
?
(x－x
2
)，
x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

________________．
3
－1，－
?
答案：(－∞，－2]∪
?
4
??
222
?
?
x－2，x－2－（x－x）≤1，
解析：由题意可得f (x)＝
?

222
?
x－x，x－2－（x－x）＞1
?
?
x－2，－1≤x≤
2
，
＝
?
函数图象如图所示．
3
?
x－x，x＜－1或x＞
2
，
2
2
3

函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)与y＝c的图象有2个交
3
点，由图象可得c≤－2或－1＜c＜－.
4
8. 对于一切实数x，不等式x
2
＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
______ __________．
答案：[－2，＋∞)
1
1
|x|＋
?
(x≠0)，而|x|＋≥2，∴ 解析：当x＝0 时不等式成立；用分离参数法得a≥－
?
|x|
??
|x|
a≥－2 .
9. 若二次函数f(x)＝4x
2
－2(p－2)x－2p
2
－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，
使f(c)>0，则实数p的取值范围是
__________________________________________________ ______________________．
3
－3，
?
答案： ?
2
??
2
?
?
f（－1）＝－2p＋p＋1≤0，
3
解析：令
?
解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的取值
22
?
f（1）＝－2p－3p＋9≤0，
?
3
－3，
?
. 范围是
?
2
??
10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，
1
如果对于任意不同的x1
，x
2
∈[0，1]，都有|f(x
1
)－f(x
2
)|<|x
1
－x
2
|，求证：|f(x
1
)－f (x
2
)|<.那么
2
他的反设应该是________．
答案：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x
1
，x
2
∈[0，1]，使得|f(x
1
)

1
－f(x
2
)|＜|x
1
－x
2
|，则|f(x
1
)－f (x
2
)|≥
2
解析：要证明的问题是全称命题的形式，则其结论的否定应该是特称命题的形式，即“函
数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x
1
，x
2
∈[0，1]，使得|f(x
1
)－f(x
2
)|＜|x
1
1
－x
2
|，则|f(x
1)－f(x
2
)|≥”．
2
二、解答题
11. 在△AB C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B
＝1.
(1) 求证：a，b，c成等差数列；
2π
(2) 若C＝，求证：5a＝3b.
3
答案：证明：(1) 由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin
2
B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，
再由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
2π
(2) 由C＝， c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)
2
＝a
2
＋b
2
＋ ab，即有5ab－3b
2
＝0，所以
3
5a＝3b.
12. 已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.
(1) 求证：SA⊥平面ABCD；
(2) 在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD ？若存在，确定F点的
位置；若不存在，请说明理由．
答案：(1) 证明：如图，

由已知得SA
2
＋AD
2
＝SD
2
，
故SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，
∴ SA⊥平面ABCD.
(2) 解：假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.

∵ BC∥AD，BC平面SAD.
∴ BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴ 平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴ 假设不成立．
故在棱SC上不存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
13. (2018·盐城调研)已知数列{a
n
}满足a
n
＝
6n＋5
.
2
n
(1) 求a
1
，a
2
，a
3
的值，猜想并证明a
n
的单调性；
(2) 请用反证法证明数列{a
n
}中任意三项都不能构成等差数列．
111723
答案：(1) 解：计算得a
1
＝，a
2
＝， a
3
＝.猜想该数列{a
n
}为单调递减数列. 证明如
248
下：
6（n＋1）＋56n＋51－6n
a
n
＋
1
－a
n
＝－
n
＝
n
＋
1 ，
＋
2
2
n1
2
因为n>1，故1－6n＜0，所以a
n
＋
1
－a
n
＜0恒成立，即数列{a
n}为单调递减数列．
(2) 证明：假设{a
n
}中存在三项成等差数列，不妨设为a
p
，a
q
，a
r
(p＜q＜r)这三项，
6q＋56p＋56r＋5
由(1)证得数列{a
n
}为单调递减数列，则2a
q
＝a
p
＋a
r
，即2×
q
＝
p
＋
r
，
222
两边同时乘2
r
，则等式可以化为(6q ＋5)·2
r
－
q
＋
1
＝(6p＋5)·2
rp ＋(6r＋5) (※)．
－
－
q
＋
1
因为p，q ，r为正整数，所以r－q＋1，r－p均为正整数，故(6q＋5)·2
r
－
p为偶数，
与(6p＋5)·2
r
而(6r＋5)为奇数，因此等式(※)两边的奇偶性不同，故等式(※)不可能成立，
所以假设不成立，故数列{a
n
}中任意三项都不能构成等差数列．
第3课时数学归纳法
一、填空题
1. 设n∈N
*
，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n＝n
2
＋n时，第一步应证明：左边＝
______ __．
答案：2
2. 用数学归纳法证明不等式
11113
＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k
n＋1n＋2n＋n
24

＋1时，不等式的左边增加的式子为________________．

答案：
1

（2k＋1）（2k＋2）
1111
＋－＝，故应填
2k＋12k＋2k＋1 （2k＋1）（2k＋2）
解析：不等式的左边增加的式子是
1
.
（2k＋1）（2k＋2）
3. 若f(n)＝1
2
＋2
2
＋3
2
＋…＋(2n)
2
，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式为___ _____．
答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)
2
＋(2k＋2)
2

11111111
4. 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应
2342n
2n－1
2n
n＋1n＋2
验证的等式是________．
11
答案：1－＝
22
5. 在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点．设这n条
直线将平面分成f(x)个部分，则f(k＋1)－f(k)＝__ ______．
答案：k＋1
解析：一条直线分成1＋1＝2(个)部分，两条直线分成1 ＋1＋2＝4(个)部分，三条直线
分成1＋1＋2＋3＝7(个)部分，f(n)＝1＋1＋2＋3＋ 4＋…＋n，则f(k＋1)－f(k)＝[1＋1＋2＋3
＋4＋…＋k＋(k＋1)]－(1＋1＋ 2＋3＋4＋…＋k)＝k＋1.
6. 对于不等式n
2
＋n＜n＋1(n∈N
*
)，某学生证明过程如下：
(1) 当n＝1时，1
2
＋1＜1＋1，不等式成立；
(2) 假设当n ＝k(k∈N
*
)时，不等式成立，即k
2
＋k＜k＋1(k∈N
*
)，则当n＝k＋1时，
（k＋1）
2
＋（k＋1）＝k
2
＋3k＋2＜（k
2
＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）
2
＝(k＋1)
＋1，所以当n＝k＋1时，命题成立．
上述证法的错误在于________________．
答案：从n＝k到n＝k＋1的推理过程不正确，没有用归纳假设
7. (2018·常熟中学期末)用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)”时，
由n＝k (k≥1，k∈N
*
)时等式成立推证n＝k＋1时，左边应增加的项为________．
答案：4k＋5
解析：∵ 假设n＝k时，命题成立，左端为1＋2＋3＋…＋(2k＋1)；
当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋[2(k＋1)＋1]，

∴ 两式相减可得由n＝k时等式成立推证n＝k＋1时需增添的项是(2k＋2)＋( 2k＋3)＝
4k＋5，故答案为4k＋5.
8. (2018·徐州期末)凸n边形有f( n)条对角线，则凸(n＋1)边形对角线的条数f(n＋1)为
________．(用f(n)和n 来表示)
答案：f(n)＋n－1
解析：由题意，凸(n＋1)边形的对角线条数f(n＋ 1)可看作凸n边形的对角线f(n)加上从
第n＋1个顶点出发的n－2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1
＝f(n)＋n－1.
n（n＋1）
1
2
2
2
n
2
9. 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝；当推证n
1×33×5（2n－1）（2n＋1）2（2n＋1）
＝ k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式为________．
k（k＋1）（k＋1）
2
（k＋1）（k＋2）
答案：＋＝
2（ 2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）2（2k＋3）
（k＋1）
2
1
22
2
k
2
解析：当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝
1×33×5（ 2k－1）（2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）
k（k＋1）（k＋1）
2
k（k ＋1）（k＋1）
2
＋，故只需证明＋＝
2（2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）2 （2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）
（k＋1）（k＋2）
即可．
2（2k＋3）
10. 若数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
1
，记c
n
＝2(1－a
1
)·(1－a
2
)·…·(1－a
n
)，试
（n＋1）
2
通过计算c
1 ，c
2
，c
3
的值，推测c
n
＝_________ ___．
n＋2
答案：
n＋1
1
3
11
41－
?
＝，c
2
＝2(1－a
1
)(1－a
2
)＝2×
?
1－
?
×
?
1－
?
＝，c
3
解析：c
1
＝2(1－a
1
)＝2×
??
4
?
2
?
4
??
9
?
3 111n＋2
5
1－
?
×
?
1－
?
×
?
1－
?
＝，故由归纳推理得c
n
＝＝2(1－a
1
)(1－a
2
)(1－a
3
)＝2×
?
. ?
4
??
9
??
16
?
4
n＋1 二、解答题
11
11. (2018·南通学科基地密卷)设函数f
n(x)＝1＋x＋x
2
＋…＋x
n
，n∈N
*
.求证：当
2！n！
x∈(0，＋∞)时，e
x
＞f
n
(x)．
证明：(用数学归纳法证明) 当x∈(0，＋∞)时，e
x
＞f
n
(x)；
(ⅰ) 当n＝1时，令f(x)＝e
x
－f
1
(x)＝e
x
－x－1，则f ′(x)＝e
x
－1＞0，x∈(0，＋∞)恒
成立，所以f(x)在区间(0，＋∞ )上为增函数．因为f(0)＝0，所以f(x)＞0，即e
x
＞f
1
(x) ．
(ⅱ) 假设n＝k时，命题成立，即当x∈(0，＋∞)时，e
x
＞f
k
(x)，

则n＝k＋1时，令g(x)＝e
x
－f
k
＋
1
(x)＝e
x
－(1＋x＋
1
2
11
＋
x＋…＋x
k
＋x
k1
)，
2！k！（k＋1）！
1 2
1
k
则g′(x)＝e
x
－
?
1＋x＋ 2！
x＋…＋
k！
x
?
＝e
x
－f
k
(x)＞0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为
??
增函数．又因为g(0)＝ 0，所以 g(x)＞0，x∈(0，＋∞)恒成立，即e
x
＞f
k
＋
1
(x)，x∈(0，＋∞)．所
以n＝k＋1时，命题成立．
由(ⅰ)(ⅱ)及归纳假设可知，当x∈(0，＋∞)时，e
x
＞f
n
(x)．
12. (2018·徐州期末)将正整数作如下分组(1) ，(2，3)，(4，5，6)，(7， 8，9，10)，(11，
12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，… .分别计算各组包含的正整数的和如下：
S
1
＝1，
S
2
＝2＋3＝5，
S
3
＝4＋5＋6＝15，
S
4
＝7＋8＋9＋10＝34，
S
5
＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S
6
＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
(1) 求S
7
的值；
(2) 由S
1
，S
1 ＋S
3
，S
1
＋S
3
＋S
5
，S 1
＋S
3
＋S
5
＋S
7
的值，试猜测S1
＋S
3
＋…＋S
2n
－
1
的结
果，并用数学归纳法证明．
解：(1) S
7
＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.
(2) S
1
＝1；S
1
＋S
3
＝16；S
1
＋S
3
＋S
5
＝81；S
1
＋S
3
＋S
5
＋S
7
＝256；
猜测S
1
＋S
3
＋S
5
＋…＋S
2n
－
1
＝n
4
.
证明如下：记M
N
＝S
1
＋S
3
＋S
5
＋…＋S
2n
－
1
，
① 当n＝1时，猜想成立．
② 设当 n＝k时，命题成立，即M
k
＝S
1
＋S
3
＋S
5
＋…＋S
2k
－
1
＝k
4
.
下面证明当n＝k＋1时，猜想也成立．
n（n－1）
事实上，由题设可知S
n
是由1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝＋1开始的n个连续
2
自然数的和． n（n－1）
??
n（n－1）
?
n（n－1）
?
n （n＋1）
所以S
n
＝
?
，
＋1
＋
＋2
＋…＋
?
＋n
＝
2
222
??????
2

（2k＋1）[（2k＋1）
2
＋1]
所以S
2k ＋
1
＝＝(2k＋1)(2k
2
＋2k＋1)＝4k
3
＋6k
2
＋4k＋1，
2
从而M
k
＋
1
＝M
k
＋S
2k
＋
1
＝k
4
＋4k3
＋6k
2
＋4k＋1＝(k＋1)
4
，
所以猜想在n＝k＋1时也成立．
综合(1)(2)可知猜想对任何n∈N
*
都成立．
13. 已知(x＋1 )
n
＝a
0
＋a
1
(x－1)＋a
2
(x －1)
2
＋a
3
(x－1)
3
＋…＋a
n
(x－1)
n
(其中n∈N
＝a
1
＋a
2
＋a3
＋…＋a
n
.
(1) 求S
n
；
(2) 求证：当n≥4时，S
n
>(n－2)2
n
＋2n
2
.
(1) 解：取x＝1，则a
0
＝2
n
；取x＝2，则a
0
＋a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
＝3
n
，∴ S
n
＝a
1
＋a
2
＋a3
＋…＋a
n
＝3
n
－2
n
.
(2) 证明：要证S
n
＞(n－2)2
n
＋2n
2
，只需证3
n
＞(n－1)2
n
＋2n
2
，
当n＝4时，81＞80；假设当n＝k(k≥4)时，结论成立，即3
k
＞(k－1)2k
＋2k
2
，
两边同乘3 得3
k1
＞3[(k－1 )2
k
＋2k
2
]＝k·2
k1
＋2(k＋1)
2
＋[(k－3)2
k
＋4k
2
－4k－2]．
＋＋
)，S
n
而(k－3)2
k
＋4k
2
－4k－2＝(k－ 3)2
k
＋4(k
2
－k－2)＋6＝(k－3)2
k
＋4 (k－2)(k＋1)＋6＞0，
∴ 3
k1
＞[(k＋1)－1]2
k1
＋2(k＋1)
2
，即n＝k＋1时结论也成立，
＋＋
∴ 当n≥4时，3
n
＞(n－1)2
n
＋2n
2
成立．
综上，原不等式成立．

第八章立体几何初步
第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系
一、填空题
1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表
示)
答案：ABα
α.
β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的
解析：由公理1可知AB
2. 已知α∩β＝l，m
符号表示为________．
答案：P∈l
α，n

解析：因为α∩β＝l，m
β，所以P∈l.
α，n β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈
3. 如图，平行六面体ABCDA
1 B
1
C
1
D
1
中，既与AB共面又与CC
1
共面的棱有________
条．

答案：5
解析：与AB和C C
1
都相交的棱为BC；与AB相交且与CC
1
平行的棱为AA
1 ，BB
1
；
与AB平行且与CC
1
相交的棱为CD，C
1
D
1
.故符合条件的棱有5条．
4. 若直线l
1
和 l
2
是异面直线，l
1
在平面α内，l
2
在平面β内，l是平面α与平面β的交
线，则下列命题正确的是________．(填序号)
① l与l
1
，l
2
都不相交；② l与l
1
，l
2
都相交；③ l至多与l
1
，l
2
中的一条相交；④ l至
少与l
1
，l
2
中的一条相交．
答案：④
解析：若l与l
1
，l
2
都不相交，则l∥l
1
，l∥l 2
，所以l
1
∥l
2
，这与l
1
和l
2
是异面直线相矛
盾，所以l至少与l
1
，l
2
中的一条相交．故④正确．
5. 如图，在长方体ABCDA
1
B
1
C1
D
1
中，点E，F分别为B
1
O和C
1
O的中点，长方体的
各棱中，与EF平行的有__________条．

答案：4
解析：∵ EF是△OB
1
C
1
的中位线，∴ EF∥B
1
C
1
.∵ B
1
C
1
∥BC∥AD∥A
1
D
1
，∴ 与EF
平行的棱共有4条．
6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB， CD，EF，GH所在的直
线在原正方体中互为异面直线的有________对．

答案：3
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， AB，CD，EF和GH在原正
方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而A B与EF相交，CD与
GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
7. 已知ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，点O是B
1
D
1
的中点，直线A
1
C交平面AB
1
D
1
于点
M，则下列结论中错误的是________．(填序号)
① A，M，C
1
三点共线；
② M，O，A
1
，A四点共面；
③ A，O，C，M四点共面；
④ B，B
1
，O，M四点共面．
答案：①④
解析：作出图形，可知②③正确．
8. 在长方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，过点A，C，B
1
的平面与底面A
1
B
1
C
1
D
1
的交线为l，
则 l与AC的位置关系是________．
答案：平行
解析：平面ABCD∥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，平面ABCD∩平面ACB 1
＝AC，平面A
1
B
1
C
1
D
1
∩平面ACB
1
＝l，由面面平行的性质定理得AC∥l.
9. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，
其中正确的命题是_____ ___．(填序号)
① P∈a，P∈α
② a∩b＝P，b
③ a∥b，a
a
β
α；
aβ；
b
P∈b.
α； α，P∈b，P∈α
④ α∩β＝b，P∈α，P∈β
答案：③④
解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，∴ ①错；

a∩β＝P时，②错；
如图，∵ a∥b，P∈b，∴ Pa，∴ 由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，
但γ经过直线a与点P，∴ γ与α重合，∴ bα，故③ 正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
10. (2018·上饶模拟)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线
交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP 与DC的延长线交于点K.给出以下命题：

① 直线MN平面PQR；② 点K在直线MN上；③ M，N，K，A四点共面．
其中正确的结论为________．(填序号)
答案：①②③
解析：由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面P QR.所以直线
MN平面PQR，故①正确．
同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M ，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，
即点K在直线MN上，故②正确．因为A
故③正确．
二、解答题
11. 如图，在正方体ABCDA
1
B
1 C
1
D
1
中，点E，F分别为D
1
C
1，B
1
C
1
的中点，AC∩BD
＝P，A
1
C
1
∩EF＝Q.
(1) 求证：D，B，E，F四点共面；
(2) 作出直线A
1
C与平面BDEF的交点R的位置．
直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，

(1) 证明：由于C C
1
和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC
1
＝C
1
C.同理直线DE与CC
1
也相交，设交点为O′，则O′C
1 ＝C
1
C，故O′与O重合．由此可
证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．

(2) 解：由于AA
1
∥CC
1
，所以A
1
，A，C，C
1
四点共面(设为β)．P∈BD，而BD
故P∈α.
又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，
α，
所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ.
因为A
1
Cβ，所以A
1
C与平面α的交点就是A
1
C与PQ的交点，如图，连结A
1
C，
与平面BDEF交于点R，则R就是所求的交点．
12. 如图，在正方体ABCD A
1
B
1
C
1
D
1 中，点E，F分别为A
1
A ，C
1
C的中点，求证：
四边形EBFD
1
是菱形．

证明：如图，取B
1
B的中点G，连结GC
1
，EG.
∵ GB∥C
1
F，且GB＝C
1
F，
∴ 四边形C
1
FBG是平行四边形，

∴ FB∥C
1
G，且FB＝C
1
G.
∵ D
1
C
1
∥EG，且D
1
C
1
＝EG，
∴ 四边形D
1
C
1
GE为平行四边形，
∴ GC
1
∥D
1
E，且GC
1
＝D
1
E，
∴ FB∥D
1
E，且FB＝D
1
E，

∴ 四边形EBFD
1
为平行四边形．
∵ FB＝FD
1
，∴ 四边形EBFD
1
是菱形．
1
AD，BE
2
1
FA，G，H分别为
2
13. 如图，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC
FA，FD的中点．
(1) 求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2) C，D，F，E四点是否共面？请说明理由．

1
(1) 证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊AD.
2
1
AD，∴ GH
2
又BCBC，∴ 四边形BCHG是平行四边形．
(2) 解：C，D，F，E四点共面，理由如下：
1
AF，G为FA的中点知BE
2
由BEGF，
∴ 四边形BEFG为平行四边形，∴ EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，∴ EF∥CH，
∴ EF与CH共面．
又D∈FH，∴ C，D，F，E四点共面．

第2课时直线与平面的位置关系(1)
一、填空题
1. 直线a，b为异面直线，关于过直线a 且与直线b平行的平面的情况，下列说法正确
的是________．(填序号)
① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在．
答案：①

解析：在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝A，所以a
与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确．
2. 对于不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①
③

n∥α
?
?
m
? ?
α
?
m∥n；②

?
?
m∥β
?
m∥n
?
?
n∥β； n∥β
?
?
?
mα
?
?
nβ
?
?
?
m，n不共面；④

m∥α
?
?
m∥n.
其中假命题的个数是__________．
答案：4
解析：①中m与n可能平行，也可能异面；②中可能nβ；③中可能m∥n或m与
n相交或异面；④中不知道α与β的位置，无法判断m与n的位置关系．故四个命题都不
正确．
3. 若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)
① α内的所有直线都与直线l异面；② α内不存在与l平行的直线；③ α内的直线与l
都相交；④ 直线l与平面α有公共点．
答案：④
解析：直线l与平面α不平行，则直线l与平面α有如下关系：lα或l∩α＝A，故①②③
均不正确，④正确．
4. 在三棱锥PABC中，PB ＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个
截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．
答案：8
解析：过点G作EF∥AC，分别交PA，PC 于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM
EF
∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连结MN，则四边形EFMN是平行四边形，所以＝
3
2FMFM1
，即EF＝MN＝2 ，＝＝，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
3PB63
5. 如图，四棱锥 PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA
⊥底面ABCD，E为 PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．

答案：平行

1
解析：取PD的中点F，连结EF，AF，在△PCD中，EF綊CD.又∵ AB∥CD且CD＝
2
2AB，∴ EF綊AB，∴ 四边形ABEF是平行四边形，∴ EB∥AF.又∵ EB
AF平面PAD，∴ BE∥平面PAD.
平面PAD，
6. 如图，在正方体ABCDA
1
B
1
C 1
D
1
中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若
EF∥平面AB
1
C，则线段EF的长度为________．

答案：2
平面ABCD，平面AB
1
C∩平面ABCD＝AC，所以
1
EF∥AC.又点E是AD的中点，所以点F是DC的中点．所以EF＝AC＝2.
2
7. 已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论正确的是________．(填序号)
① 若a∥b，bβ，则a∥β；
解析：因为EF∥平面AB
1
C，EF
② 若a∥β，b∥β，则a∥b；
③ 若aβ，b∥β，a，b共面，则a∥b；
④ 若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
答案：③
解析：对于①，可能有aβ，故①错；对于②，a 与b可能平行、相交或异面，故②
错；根据线面平行的性质定理知，③正确；对于④，a与b可能平行、相交或异面，故④错．
8. 过三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB
1
A
1
平行的直线
共有________条．
答案：6
解析：记AC，BC，A
1
C
1
，B
1
C
1
的中点分别为E，F，E
1
，F
1
，则直线EF，E
1
F
1
，EE
1
，
FF
1
，E
1
F，EF
1
均与平面ABB1
A
1
平行，故符合题意的直线共有6条．
9. 如图，正方体ABC DA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 cm，过AC作平行于体对角线BD
1
的截面，
则截面面积为________cm
2
.

答案：
6

4
解析：如图，截面ACE∥BD
1
，平面BDD
1
∩平面ACE＝EF，其中F为AC与 BD的交
136
点，∴ E为DD
1
的中点，∴ S
△
ACE
＝×2×＝(cm
2
)．
224

二、解答题
10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F 分别是棱PC和
PD的中点．求证：EF∥平面PAB.

答案：证明：因为点E，F分别是棱PC和PD的中点，
所以EF∥CD.
又在平行四边形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB.
又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF∥平面PAB.
11. 如图，在三棱柱AB CA
1
B
1
C
1
中，点E，F分别为BB
1
，AC的中点．求证：BF∥平
面A
1
EC.

证明：如图，连结AC
1
交A
1
C于点O，连结OE，OF.

在三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
中，四边形ACC
1
A
1
为平行四边形，所以OA＝OC
1
.

1
因为点F为AC的中点，所以OF∥CC
1
且OF＝CC
1
.
2
1
因为点E为BB
1
的中点，所以BE∥CC 1
且BE＝CC
1
.
2
所以BE∥OF且BE＝OF，
所以四边形BEOF是平行四边形，
所以BF∥OE.
又BF平面A
1
EC，OE平面A
1
EC，
所以BF∥平面A
1
EC.
12. (2018·南京、盐城、连云港二模 )如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面
互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE ，AB，BE的中点．求证：MN∥平面BEC.

答案：思路分析：证明线面平行的常见思路有两种，思路1：由“线线平行”推出“线
面平行”，如何在平面BEC中找到一条直线与直线MN平行是解决本题的关键，通过把线
段MN向平面BEC投影知，找CE的中点F即可；思路2：由“面面平行”推出“线面平
行”，取AE中点G，证明平面GMN∥平面BEC即可．
证明： (证法1) 取CE的中点F，连结FB，MF.
因为M为DE的中点，F为CE的中点，
1
所以MF∥CD 且MF＝CD.
2
因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，
1
所以BN∥CD且BN＝CD，
2
所以MF∥BN 且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN∥BF.

又MN平面BEC，BF平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
(证法2) 取AE的中点G，连结MG，GN.
因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD.
因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC.
因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG∥平面BEC.
因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE.
因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN∥平面BEC.
平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC. 因为MG∩GN＝G，MG，GN
因为MN平面GMN，所以MN∥平面BEC.
13. ( 2018·苏锡常镇调研(一))如图，正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的高为6，其底面边长为2.
已知点M，N分别是棱A
1
C
1，AC的中点，点D是棱CC
1
上靠近C的三等分点．求证：B
1
M∥平面A
1
BN.

证明：如图，连结MN，在正三棱柱ABCA1
B
1
C
1
中，四边形A
1
ACC
1
是矩形．
因为M，N分别是棱A
1
C
1
，AC的中点，
所以四边形A
1
ANM也是矩形，从而MN綊A
1
A.
因为A
1
A綊B
1
B，所以MN綊B
1
B.
所以四边形B
1
BNM是平行四边形，则B
1
M∥BN.
因为B
1
M平面A
1
BN，BN平面A
1
BN，所以B1
M∥平面A
1
BN.

第3课时直线与平面的位置关系(2)
一、填空题
1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________
条件．
答案：充分不必要
解析：l⊥α
l⊥α.
l⊥m且l⊥n.反之，因为 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出
2. 下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．(填序号)
① l与平面α内的两条直线垂直；
② l与平面α内的无数条直线垂直；
③ l与平面α内的某一条直线垂直；
④ l与平面α内的任意一条直线垂直．
答案：④
解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确．
3. 下列说法正确的是________．(填序号)
① 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面；
② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；
③ 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面．
答案：②
解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，①错误；②正确；③中垂直于这条直
线的另一条直线可能平行于这个平面或与平面相交，③错误．
4. 已知平面α，β和直线m，给出条件：① m∥α；② m⊥α；③ m
当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)
答案：②④
解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.
5. 如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面
BB
1
C
1
C的中心，则AD与平面BB
1
C
1
C所成角的大小是________．
α；④ α∥β.

π
答案：
3
解析：如图，取BC的中点 E，连结AE，DE，则AE⊥平面BB
1
C
1
C，所以∠ADE为
直线AD与平面BB
1
C
1
C所成的角．

3aAEa，DE＝，所以tan∠ADE＝
22DE
ππ
＝3，则∠ADE＝.故AD与平面BB
1
C
1
C所成角的大小为.
33
设三棱柱的所有棱长都为a，在Rt△AED中，AE＝
6. 如图，在直三棱柱 ABCA
1
B
1
C
1
中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ ACB＝90°，点D
是A
1
B
1
的中点，F是BB
1上的动点，AB
1
，DF交于点E.要使AB
1
⊥平面C
1DF，则线段B
1
F
＝________．

1
答案：
2
解析：设B
1
F＝x，因为AB
1 ⊥平面C
1
DF，DF平面C
1
DF，所以AB
1
⊥ DF.
1
由已知，得A
1
B
1
＝2.设Rt△AA
1
B
1
斜边AB
1
上的高为h，则DE＝h.
2
233
又2×2＝h2
2
＋（2）
2
，所以h＝，DE＝.
33

在Rt△DB
1
E中，B
1
E＝ 6
×
6
（
2
2
36
）－（）
2
＝.
236
2
2
211
）＝x，解得x＝.即线段B
1
F的长为.
2222
由面积相等，得x
2
＋（
7. 如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

答案：4
解析：

PA⊥平面ABC
?
?
BC ?
?
平面ABC
?

PA⊥BC
?
?
?
?
AC⊥BC
?
BC⊥平面PACBC⊥PC，∴ 直角三角形有
△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.
8. 在正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C 1
与平面ABC
1
D
1
所成角的正弦值为________．
1
答案：
2
解析：如图，在平面ADD
1
A
1 中作A
1
E⊥AD
1
于点E，连结C
1
E，因为正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，AB⊥平面ADD
1
A
1
，所以A
1
E⊥AB.因为AD
1
∩AB＝A，AD
1
，AB
平面ABC
1
D 1
，则A
1
E⊥平面ABC
1
D
1
，所以∠ A
1
C
1
E就是A
1
C
1
与平面ABC 1
D
1
所成的角，
11
在Rt△AA
1
D 1
中，AA
1
＝A
1
D
1
，A
1 E⊥AD
1
，所以点E为AD
1
的中点，且A
1
E＝ AD
1
＝A
1
C
1
，
22
A
1 E1
所以sin∠A
1
C
1
E＝＝.
A
1
C
1
2

9. 设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线．从“①
m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你
认为正确的一个命题：____________．(填序号)
答案：①③④②或②③④①
解析：因为当n⊥ β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或
互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④②正确；同理②③④①也正确．
10. 如图，在直三棱柱ABC A
1B
1
C
1
中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，

AC＝2a，BB
1
＝3a，D是A
1
C
1
的中点，点F在线段AA
1
上，当AF＝________时，CF⊥平
面B
1 DF.

答案：a或2a
解析：由题意可得B
1
D⊥平面A
1
ACC
1
，∴ CF⊥B
1
D，∴ 为了使CF⊥平面B
1
DF，只
要使CF⊥DF (或CF⊥B
1
F)．设AF＝x，则CD
2
＝DF
2
＋F C
2
，∴ x
2
－3ax＋2a
2
＝0，∴ x＝a
或x＝2a.
二、解答题
11. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，
点E是PA的中点，点F是PC的中点，求证： AF⊥平面BDE.

证明：连结OE，因为PA＝AC，所以△PAC是等腰三角形．
又点F是PC的中点，所以AF⊥PC.
又易知OE∥PC，所以AF⊥OE.
因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA ⊥BD.
因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC⊥BD.
又PA∩AC＝A，AC
又AF
平面PAC，PA平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
平面PAC，所以AF⊥BD.
平面BDE，BD平面BDE，又OE∩BD＝O，OE
所以AF⊥平面BDE.
12. 如图，在四棱锥P－ABCD中， AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的
1
中点，F是DC上的点，且DF＝ AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
2

(1) PH⊥平面ABCD；
(2) EF⊥平面PAB.

证明：(1) 因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，AB，AD
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如图，取PA的中点M，连结MD，ME.
平面ABCD，

1
因为E是PB的中点，所以ME∥AB，ME＝AB.
2
1
因为DF∥AB，且DF＝AB，所以ME綊DF，
2
所以四边形MEFD是平行四边形，
所以EF∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
13. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝
60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1) 求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2) 求证：AE⊥平面PCD.

(1) 解：在四棱锥P － ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2) 证明：在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.
由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
又AE平面PAC，所以AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.第4课时平面与平面的位置关系
一、填空题
1. 设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
① 若m∥n，n
② 若mα，n
α，则m∥α；
α，m∥β，n∥β，则α∥β；
α，nβ，则m∥n；
α，n⊥m，则n⊥β.
③ 若α∥β，m
④ 若α⊥β，α∩β＝m，n
其中正确的命题是________．(填序号)
答案：④

解析：①中没有强调m在平面α外；②中没有强调m，n相交；③中m与n有可能异
面；④正确．
2. 设α，β为两个不同的平面，直线l
条件．
答案：充分不必要
解析：依题意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l
因此，“l⊥β”是“ α⊥β”成立的充分不必要条件．
α不能推出l⊥β.
α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的 ____________
3. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法中，正确的
是________．(填序号)
① 若m∥α，α∩β＝n，则m∥n；
② 若m⊥α，n⊥m，则n∥α；
③ 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；
④ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.
答案：③
解析：对于①，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故①错误；

对于② ，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n
对于③，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n
α，故②错误；
α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正确；
对于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m也可能与β相交、平行或在β内，故④错
误．
4. 已知α和β是两个不重合的平面．在下列条件中，可判定 α∥β的是________．(填
序号)
① α内有无数条直线平行于β；
② α内不共线的三点到β的距离相等；
③ l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β；
④ l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
答案：④
解析：由面面平行的判定定理可以推出．

5. 设m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的是
________．(填序号)
① 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
② 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；
③ 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β；
④ 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.
答案：②
解析：②选项，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.
6. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：① α∩β＝b；
② aβ；③ a∥b；④ a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为
正确的命题：__．
答案：①②③④或①②④③
解析：若α∩β＝b，aβ，a∥b，则a∥α，即①②③④；若 α∩β＝b，a
α，则a∥b，即①②④③.
β，a∥
7. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中，正确的是
________．(填序号)
① 若α∥β，m
② 若m∥α，n
α，则m∥β；
α，则m∥n；
③ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④ 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
答案：①④
解析：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：
在 ①中，若α∥β，m
在②中，若m∥α，n
α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；
α，则m∥n或m与n异面，故②错误；
β，故③错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n， m⊥n，则m与β相交、平行或m
在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正确．
8. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

答案：5
解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面AB CD，平面PAB⊥平面ABCD.又
AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴DA⊥平面PA B，∴ 平面DPA⊥平面PAB.又BC∥
AD，∴BC⊥平面PAB，∴ 平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴ 平面PDC⊥
平面PDA.
9. 平面α过正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的面对角线AB
1
，且平面α⊥平面C
1
BD，平面α∩
平面AD D
1
A
1
＝AS，则∠A
1
AS的正切值为_______ _．
1
答案：
2
解析：如图，连结AC，A
1
C，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，BD ⊥AC，BD⊥AA
1
，∵
AC∩AA
1
＝A，∴ BD⊥平面AA
1
C，∴ A
1
C⊥BD，同理，得A
1
C⊥BC
1
.∵ BD∩BC
1
＝B，
∴ A
1
C⊥平面C
1
BD.
以AA
1
为侧棱补作一个正方体AEFG －A
1
PQR，使得侧面 AGRA
1
与平面ADD
1
A
1
共
面，

连结AQ，则AQ∥CA
1
，连结QB
1
，交A
1
R于S，则平面AQB
1
就是平面α.∵ AQ∥CA
1
，
A
1
S1
∴ AQ⊥平面C
1
BD.∵ AQ平面α，∴ 平面α⊥平面C
1
BD，∴ tan∠A
1
AS＝＝.
AA
1
2
10. 如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，BC＝AC，AC
1
⊥A
1
B，M，N分别是A
1
B
1
，
A B的中点，给出下列结论：① C
1
M⊥平面A
1
ABB
1
；② A
1
B⊥NB
1
；③ 平面AMC
1
⊥平面
CBA
1
.其中正确结论的个数为________．

答案：3

解析：① 在直三棱柱ABC － A
1
B
1
C1
中，平面A
1
B
1
C
1
⊥平面ABB
1
A
1
.因为BC＝AC，
所以B
1
C
1
＝A
1
C
1
.因为M为A
1
B
1
的中点，所以C
1
M⊥A
1
B
1
.因为平面A
1
B
1
C
1
∩平面ABB
1
A
1
＝A
1
B
1
，所以C
1
M⊥平面ABB
1
A
1
.故①正确．② 由①知，C
1
M⊥A
1
B，因为AC
1
⊥A
1
B，
C
1
M∩AC
1
＝C
1
，所以A
1
B⊥平面AMC
1
，所以A
1
B⊥A M.因为M，N分别是A
1
B
1
，AB的
中点，所以四边形ANB 1
M是平行四边形，所以AM∥NB
1
.因为A
1
B⊥AM，所以A
1
B⊥NB
1
.
故②正确．③ 由②知A
1
B⊥平面AMC
1
，因为A
1
B平面CBA
1
，所以平面A MC
1
⊥平面
CBA
1
.故③正确．综上所述，正确结论的个数为3 .
二、解答题
11. 如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1 C
1
中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．求
证：平面A
1
DE⊥平面ACC
1
A
1
.

证明：在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CC
1 ⊥底面ABC，
又DE底面ABC，所以CC
1
⊥DE.
又BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点，即DE∥BC，所以DE⊥AC.
又CC 1
，AC平面ACC
1
A
1
，且CC
1
∩A C＝C，
所以DE⊥平面ACC
1
A
1
.
又DE平面A
1
DE，所以平面A
1
DE⊥平面ACC
1
A
1 .
12. 如图，在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CC
1
＝CA，点E，F分别为AC
1
，BC
1的中点，
(1) 若B
1
C
1
上存在一点G，使得平面EFG ∥平面AA
1
B
1
B，求证：G为B
1
C
1
的中点；
(2) 若AC
1
⊥AB，求证：平面CEF⊥平面ABC
1
.

证明：(1) 如图，连结AB
1
，因为平面EFG∥平面AA
1
B
1
B，所以EG∥平面AA
1
B
1
B.
因为EG 平面AB
1
C
1
，平面AB
1
C
1
∩平面 AA
1
B
1
B＝AB
1
，所以EG∥AB
1
.

因为点E为AC
1
的中点，
所以点G为B
1
C
1
的中点．

(2) 因为CC
1
＝CA，点E为AC
1
的中点，
所以CE⊥AC
1
.
因为点E，F分别为AC
1
，BC
1
的中点，
所以EF∥AB.
因为AC
1
⊥AB，所以EF⊥AC
1
.
又CE∩EF＝ E，CE，EF
因为AC
1
平面CEF，所以AC
1
⊥平面CEF.
平面ABC
1
，所以平面CEF⊥平面ABC
1
.
13. 在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，M为CC
1
的中点，N为AB的中点，平面ABC⊥平
面ABB
1
A
1
.
(1) 求证：MN∥平面A
1
BC
1
；
(2) 若AB⊥BC，AB＝BB
1
，求证：AC
1
⊥A
1
B.

证明：(1) 如图，连结AB
1
交A
1
B于点O，连结ON，C
1
O，
在平行四边形ABB
1
A
1
中，O，N分别为A
1
B，AB的中点，
1
所以ON∥AA
1
，ON＝AA
1
.
2

在平行四边形AA
1
C
1
C中，AA
1
∥CC
1
，AA
1
＝CC
1
，
又M为CC
1
的中点，
所以ON∥C
1
M，ON＝C
1
M，
所以四边形ONMC
1
是平行四边形，
所以MN∥OC
1
.
因为MN平面A
1
BC
1 ，OC
1
平面A
1
BC
1
，
所以MN∥平面A
1
BC
1
.
(2) 在平行四边形ABB
1
A
1
中，AB＝BB
1
，
所以四边形ABB
1
A
1
为菱形，所以AB
1
⊥A
1
B.
因为平面ABC⊥平面ABB
1
A
1
，平面ABC ∩平面ABB
1
A
1
＝AB，AB⊥BC，所以BC⊥
平面ABB 1
A
1
，
所以A
1
B⊥BC，所以A
1 B⊥B
1
C
1
.
又AB
1
∩B
1
C
1
＝B
1
，
所以A
1
B⊥平面AB
1
C
1
.又AC
1
平面AB
1
C
1
，所以A
1
B⊥AC
1 .
第5课时空间几何体的表面积和体积
一、填空题
1. 若正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm，则它的体积为________cm
3
.
43
答案：
3 1
解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c＝8，ch′＝8，所2
143
以斜高h′＝2，所以正四棱锥的高h＝3，所以正四棱锥的体积为×2
2
×3＝.
33
2. (2018·镇江期末)已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为
________．

8
答案：
3
解析：正四棱锥的底面边长为 2，可知底面正方形对角线长为22，所以正四棱锥的高18
为（6）
2
－（2）
2
＝2，所以正四棱锥的体积V＝×2 ×2×2＝.
33
2π
3. (2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为 3π且圆心角为的扇形，则此圆锥
3
的体积为________．
22
答案：π
3
1
2π
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则由··l
2
＝3π，得l＝3.又
23
2π
1 22
由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝l
2
－r
2
＝22，所以体积V＝·πr
2
·h＝π.
333
4. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．
4
答案：
3
4
解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.
3
5. 设M，N分别为三棱锥P ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P ABC的体积记为
V
2
V
1
，三棱锥P AMN的体积记为V
2
，则＝________．
V
1
1
答案：
4
11
解析：设△AMN的面积为 S，点P到平面AMN的距离为h，则V
2
＝Sh，而V
1
＝2×
3 3
V
2
1
×2S×h，则＝.
V
1
4
6. (2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到
的圆台体积是7，则该圆台的高为________．
答案：3
1
解析：设截得的小圆锥的高为h
1
，底面半径为r1
，体积为V
1
＝πr
2
h；大圆锥的高为
3
11
1
2
πrh
1
2
r
1
h
1 V
1
3
11
h＝6，底面半径为r，体积为V＝πrh＝8.依题意有＝，V
1
＝8－7＝1，∴ ＝
3rhV1
2
πrh
3h
1
?
11
＝
?
＝，得h＝h＝3，所以圆台的高为h －h
1
＝3.
1
?
h
?
82
3

7. (2018·苏北四市期末)已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，
则这个正四棱柱的体积是________cm
3
.
答案：54
解析：设该正四棱柱的侧棱长为h cm，则(35)
2
＝3
2
＋h
2
，解得h＝6(负值舍去)，从而
这个正四棱柱的体积是V＝3
2
×6＝54(cm
3
)．
8. 若一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体
的棱长为________．
答案：2
解析：底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.
9. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球
的体积为_____ ___．
9π
答案：
2
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3.设该正方体外接球的半径为R，
4π4π
27
9π
3
则2R＝ 3，R＝，所以这个球的体积为R
3
＝×＝.
23382
10. (201 8·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯
结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四
棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该
鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略
不计，结果保留π)

答案：30π
解析：球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝1
2
＋2
2
＋5
2
＝30，得4R
2
＝30.从而S
球
＝4πR
2
＝30π.
二、解答题
11. 如图，在三棱锥 D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC
＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC.求三棱锥D－ABC的体积．

解：因为△BC D是正三角形，且BC＝a，所以S
△
BCD
＝
3
2
a.
4
1133
因为AB⊥平面BCD，所以V
D
－
ABC＝V
A
－
BCD
＝×S
△
BCD
×AB＝×a
2
×a＝a
3
.即三
33412
棱锥D－ABC的体积为 3
3
a.
12
12. 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，点D
为线段AC的中点，点E为线段PC上一点．
(1) 求证：PA⊥BD；
(2) 求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3) 当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．

(1) 证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝B，AB
所以PA⊥平面ABC.
因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.
平面ABC，BC平面ABC，
(2) 证明：因为AB＝BC，点D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC
平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3) 解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
1
因为点D为AC的中点，所以DE＝PA＝1.又因为AB＝BC＝2，AB⊥BC，所以BD⊥AC，
2
AC＝22 ，BD＝DC＝2.
平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD

111
所以三棱锥E BCD的体积V＝×BD·DC·DE＝.
323
13. (2018·莆田质检)如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的
中点，SA＝SB＝2，AB＝23，BC ＝3.
(1) 求证：SC∥平面BDE；
(2) 若BC⊥SB，求三棱锥C－BDE的体积．

(1) 证明：如图，连结AC，设AC∩BD＝O，
∵ 四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点．
在△ASC中，E为AS的中点，∴ SC∥OE.
又OE平面BDE，SC平面BDE，∴ SC∥平面BDE.

(2) 解：∵ BC⊥AB，BC⊥SB，AB∩SB＝B，AB，SB
∴ BC⊥平面SAB.又BC∥AD，∴ AD⊥平面SAB.
∵ SC∥平面BDE，
∴ 点C与点S到平面BDE的距离相等，
∴ V
C
－
BDE
＝V
S
－
BDE
＝V
D
－
SBE
.
在△ABS中，SA＝SB＝2，AB＝23，
1
∴ S
△
ABS
＝×23×1＝3.
2
13
∵ E为AS的中点，∴ S
△
BES
＝S
△
ABS
＝.
22
又点D到平面BES的距离为AD，
平面SAB，

1133
∴ V
D
－
BES
＝S
△
BES
·AD＝××3＝，
3322
∴ V
C
－
BDE
＝
33
，即三棱锥C－BDE的体积为.第6课时空间向量在立体几何中的
22
应用
一、填空题
→→→
1. 已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OA＝ a，OB＝b，OC
→→
＝c，用a，b，c表示MN，则MN＝________．
1
答案：(b＋c－a)
2
11
→→→
1
解析： MN＝ON－OM＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)．
222
2. (2018·武汉调研 )已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β
的一个法向量 n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
答案：α∥β
8
3. 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________．
9
2
答案：－2或
55
6－λ
a·b82
解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
|a||b|
3λ
2
＋5
955
→→→→→
4. (2018·西安调研)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)．若AB⊥BC，BP＝(x－1 ，y，
－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝__________．
25
答案：
7
5. 在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B( 2，2，2)，点P在z轴上，且满足PA
＝PB，则P点坐标为______．
答案：(0，0，3)
解析：设P(0，0，z)，则有
（1－0）
2
＋（－2－0）
2
＋（1－z）
2
＝
（2－0）
2
＋（2－0）
2
＋（2－z）
2
，解得z＝3，即P(0，0，3)．
→→
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，

→→
2，0)，AP＝(－1 ，2，－1)．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ AP是平面ABCD
→→
的法向量；④ AP∥BD.其中正确的是__________．(填序号)
答案：①②③
→→→→→→
解析：AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥ ·AD
→→→→→→→→→
＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD.∵ AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴ AP⊥平面
→
ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量．
7. 如图，在直三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝ 2，A
1
A＝4，点D是BC
的中点，则异面直线A
1
B与C
1
D所成角的余弦值为________．

310
答案：
1 0
解析：以A为坐标原点，以AB，AC，AA
1
所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1， 0)，A
1
(0，0，4)，C
1
(0，
→→
2，4)，所以A
1
B＝(2，0，－4)，C
1
D＝(1，－1，－4)．
→ →
A
1
B·C
1
D
18310
→→
因为c os〈A
1
B，C
1
D〉＝＝＝，所以异面直线A
1
B与C
1
D所
10
→→
20×18
|A
1
B|| C
1
D|
310
成角的余弦值为.
10
→→→
8. 已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝
→→→
(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动．当QA·QB取得最小值时，OQ 的坐标是________．
448
?
答案：
?
?
3，
3
，
3
?

→
解析：∵ 点Q在直线OP上，∴ 设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
→→→ QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋( 3－2λ)(2－2λ)＝6λ
2
4
?
2
2
448
?
42
→→→
?
－16λ＋10＝6
?
λ－
3?
－.当λ＝时，QA·QB取得最小值－，此时OQ＝
?
?
3
，
3
，
3
?
.
333
9. 如图，在大小为45 °的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的
正方形，则B，D两点间的距离是________．

答案：3－2
→→→→→→→→→→→→
解析：∵ BD＝BF＋FE＋ED，∴ |BD|
2＝|BF|
2
＋|FE|
2
＋|ED|
2
＋2BF·F E＋2FE·ED＋
→→→
2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD|＝3－2.
二、解答题
10. 在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝A C＝a，PB＝PD＝2a，
PE
F为PC的中点，点E在PD上，且＝2，求证：BF∥平面 AEC.
ED
3
→→
1
→→
1
→→→
1
→
3
→→
1
→→
证明：∵ BF＝BC＋CP＝AD＋(C D＋DP)＝AD＋CD＋DE＝AD＋(AD－AC)＋
222222
3
→
1
→→→
(AE－AD)＝AE－AC，
22
→→→
∴ BF，AE，AC共面．
又BF平面AEC，∴ BF∥平面AEC.
11. (2018 ·镇江期末)如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知
AC＝BC＝ DC＝BE＝2.
(1) 求直线AD与CE所成的角；
(2) 求二面角O－CE－B的余弦值．

解： (1) 因为AC⊥CB，且DC⊥平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA
为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AC＝BC＝DC＝BE＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2， 0)，O(1，1，0)，
→→
E(2，0，2)，D(0，0，2)，AD＝(0，－2，2 )，CE＝(2，0，2)．
→→
AD·CE41
→→
所以cos〈AD，CE〉＝＝＝.
2 →→
|AD||CE|
22×22
所以直线AD与CE所成的角为60°.

(2) 易知平面BCE的一个法向量为m＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n＝(x
0
，
y
0
，z
0
)．
→→→→
由CO＝(1，1，0)，CE＝(2，0，2)，n⊥CO，n⊥CE，
→
?
??
CE＝0，
?
n·
?
2x
0＋2z
0
＝0，
?
z
0
＝－x
0
， 得
?
则
?
解得
?

??
→x＋y＝ 0，y＝－x，
?
00
?
?
n·CO＝0，
?
00
令x
0
＝－1，则n＝(－1，1，1)．
由题意知二面角O－CE－B为锐角二面角，设为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝
3
.
3
12. (2018·南通一调)如图，在四棱锥P－ABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，
且 AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.
(1) 求二面角P－CD－A的余弦值；
PH
(2) 已知点H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．
PC
|m·n|
＝
|m||n|

→→→
解：以{ AB，AD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，
0)，B( 4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

→→
(1) 由题意可知，DP＝(0，－4，4)，DC＝(4，－2，0)．

设平面PCD的法向量为n
1
＝(x，y，z)，
→
?
?
n
1
·DP＝0，
?
?
－4y＋4z＝0，
则
?
即
?
令x＝1，
?
→4x－2y＝0.?
?
?
n
1
·DC＝0，
则y＝2，z＝2.
所以n
1
＝(1，2，2)．
易知平面ABCD的一个法向量为n
2
＝(0，0，1)，
n
1 ·n
2
2
所以cos〈n
1
，n
2
〉＝＝，
|n
1
||n
2
|3
由图可知，二面角P－CD－A为锐二面角．
2
所以二面角P－CD－A的余弦值为.
3
→→→
(2) 由(1)知，PC＝(4，2，－4)，DP＝(0，－4，4)，DC＝(4，－2，0)，
→→
设PH＝λPC＝(4λ，2λ，－4λ)，
→→→
则DH＝DP＋PH＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．
因为DC＝DH，所以（4λ）
2
＋（2λ－4）
2
＋（4－4λ）
2
＝20，
1
化简得3λ
2
－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝.
3
1PH1
因为点H异于点C，所以λ＝.即＝.
3PC3
13. (2018·南京学情调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AD ∥BC，AP＝AB＝AD＝1.
π
(1) 若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；
3
(2) 求二面角B－PD－A的余弦值．

→→→
解：(1) 以{AB，AD，AP}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

因为AP＝AB＝AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
→→
设C(1，y，0)，则PB＝(1，0，－1)，CD＝(－1，1－y，0)．
π
因为直线PB与CD所成角的大小为，
3
→→
??
PB ·CD
1
→→
所以|cos〈PB，CD〉|＝
?
＝，
?
2
→→
|CD|
??
|PB|·
即
11
＝，解得y＝2或y＝0(舍去)，
2×1＋（1－y）
2
2
所以C(1，2，0)，所以BC的长为2.
(2) 设平面PBD的一个法向量为n
1
＝(x，y，z)．
→→
因为PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，1，－1)，
→
?
?
n
1
＝0，
?
PB·
?
x－z＝0，
则
?
即
?

?
→y－z＝0.
?
?
?
PD·n
1
＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n
1＝(1，1，1)．
因为平面PAD的一个法向量为n
2
＝(1，0，0)，
n
1
·n
2
3
所以cos〈n
1
，n2
〉＝＝，
|n
1
||n
2
|3
由图可知二面角B － PD－A的余弦值为

3
.
3

第九章平面解析几何
第1课时直线的倾斜角与斜率
一、填空题
1. 已知过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率不存在，则m的值为________．
答案：－2
解析：由题意可知，点P和Q的横坐标相同，即m＝－2.
2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________．
答案：120°
－15－9
解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝＝－3，∵ 0°≤α＜180°，∴ α
63＋23
＝120°.
3. 如果图中的三条直线l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，那么k
1
，k
2
，k
3
从小到大
的排列顺序为__________．

答案：k
3
＜k
1
＜k
2

π
解析：由图知，k
1
＜0，k
2
＞0，k
3
＜0.另外，ta n α
1
＝k
1
＜0，α
1
∈
?
，π?
，tan α
3
?
2
?
ππ
＝k
3
＜0，α
3
∈
?
，π
?
，而α
3
＜α
1
，正切函数在
?
，π
?
上单调递增，所以 k
3
＜k
1
.综上，
?
2
??
2
?
k
3
＜k
1
＜k
2
.
π
4. 直线l：xtan＋y＋1＝0的倾斜角α＝________．
5
4π
答案：
5
解析：∵ α∈[0，π)，k＝tan α＝－tan
π4π4π
π
＝tan
?
π－
?
＝tan ，∴ α＝.
555
5
??
5. 已知某直线l的倾斜角α＝45°，且P
1
(2，y
1
)，P
2
(x
2
，5)，P
3
(3，1)是此直线上的三点，
则x
2
＋y
1
＝___ _____．

答案：7
解析：由α＝45°，得直线l的斜率k＝tan 45°＝1.
5－y
1
1－5
又P
1
，P
2，P
3
都在此直线上，故kP
1
P
2
＝kP
2
P
3
＝k，即＝＝1，解得x
2
＝7，
x
2
－23－x
2
y
1
＝0，∴ x
2
＋y
1
＝7.
6. 设P为曲线C：y＝x
2
＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围
π
是[0，]，则点P横坐标的取值范围是________．
4
1
－1，－
?
答案：
?
2
??
解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x
0
，y
0
)，则k＝2x
0
＋2.因为曲线C在点P处的切线倾
π
1斜角的取值范围是
?
0，
?
，所以0≤k≤1，即0≤2x
0 ＋2≤1，故－1≤x
0
≤－.
2
4
??
7. 若直线l
1
：3x－y＋1＝0，直线l
2
过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l
1
的倾斜角的2
倍，则直线l
2
的方程为__________ __．
3
答案：y＝－(x－1)
4
2tan α
3
解析：由tan α＝3可求出直线l
2
的斜率k＝tan 2α＝2
＝－，再由l
2
过点(1，
4
1－tanα
3
0)即可求得直线方程为y＝－(x－1)．
4
π
8. 已知p：“直线l的倾斜角α＞”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的__________
4
条件．
答案：必要不充分
πππ
解析：当＜α≤π时，tanα≤0，即k≤0，而当k＞ 1，即tanα＞1时，则＜α＜，
242
所以p是q的必要不充分条件．
9. 直线l经过A(2，1)，B(1，m
2
)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是__ ______．
ππ
答案：
?
0，
?
∪
?
，π
?

4
??
2
??
m
2
－ 1
解析：直线l的斜率k＝＝1－m
2
≤1.若l的倾斜角为α，则tanα≤1.因为α∈[0，
1－2
ππ
π)，所以α∈
?
0，
?
∪
?
，π
?
.
4
??
2
??
y
10. 若实数x，y满足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，则的最小值为__________．
x

答案：－1
yy
解析：设k＝，则表示线段AB：3x－ 2y－5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．
xx
y
?
如图，取两点A(1，－1)，B(3，2)，作图易知
?
?
x
?
＝kOA
＝－1.
min

二、解答题
11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
解：① 当点P在x轴上时，设点P(a，0)．
0－2－2
∵ A(1，2)，∴ 直线PA的斜率k＝＝.
a－1a－1
∵ 直线PA的倾斜角为60°，
－2
23
∴ tan 60°＝，解得a＝1－.
3
a－1
23
∴ 点P的坐标为(1－，0)．
3
② 当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－3，∴ 点P的坐标为(0，2－3)．
23
综上，点P的坐标为(1－，0)或(0，2－3)．
3
12. 在△ABC中，A(1，－1)，B(1，1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．
解：因为A，B两点的横坐标相同，
π
所以边AB垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在；
2
因为A，C两点的纵坐标相同，所以边AC平行于x轴，
即垂直于y轴，倾斜角和斜率均为0；
B，C两点横坐标不同，纵坐标也不同，

－1－13π
由tanα＝＝－1，得BC边所在直线的倾斜角为，斜率为－1.
4
3－1
y＋3
13. 已知实数x，y满足y＝x
2
－2x＋2(－1≤x≤1)．试求的最大值与最小值．
x＋2
y＋3
解：如图，由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一
x＋2
点(x，y)的直线的斜率k，由图可知k
PA
≤k≤k
PB
.
由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，
4
∴ ≤k≤8，
3
故
y＋3
4
的最大值为8，最小值为.
3
x＋2

第2课时直线的方程
一、填空题
3
1. 斜率与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是
2
________________．
3
答案：y－3＝(x＋4)
2
3333
解析：∵ 直线y＝x的斜率为，∴ 过点(－4，3)且斜率为的直线方程为y－3＝(x
2222
＋4)．
2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x轴上的截距为________．
3
答案：－
2
y－1x＋1
解析：由两点式，得所求直线的方程为＝，即2x－y＋3＝0，令y ＝0，得x＝
9－13＋1
3
－.
2
3
3. 过点A(0，2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为________．
5

答案：3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
33
解析：设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝，所以tanα＝±，所以所求直线方程为y
54
3
＝±x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.
4
4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
答案：三
AC
解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y＝－x－，∵ A·C＜0，B·C＜0，∴ A·B
BB
AC
＞0，∴ 其斜率k＝－＜0，在y轴上的截距b＝－＞0，∴ 直线过第一、二、四象限．
BB
1
5. 斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为
6
______________．
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
1
解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距6
是－6b，由已知得|－6b·b|＝6，∴ b＝±1.∴ 直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
6. (2018·南师附中)若直线x－2 y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那
么b的取值范围是________．
答案：[－2，0)∪(0，2]
b1
b
?
1
2
解析：令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为
?
·|－b|＝b，
22
?
2
?
4
1
且b≠0，因为b
2≤1，所以b
2
≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
4
7. 已知方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)的直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝
__________．
答案：0或2
a－2a－2
解析：令x＝0，得y＝a－2，令y＝0，得x＝(a≠－1)．∵ 截距相等，∴ a－2＝，
a＋1a＋1
解得a＝2或a＝0.
8. 已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点直线的方程是
________．
答案：y＝2x
解析：已知直线变形为y＋2＝－a(x＋1)，所以直线恒过点(－1，－ 2)．故所求的直线方
程是y＋2＝2(x＋1)，即y＝2x.

9. 已知直线l过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在 x轴上的截距的2倍，则直
线l的方程为______________________．
答案：2x＋y－3＝0或x＋2y＝0
xy21
解析：当截距不等于零时，设l的方程为＋＝1.∵ 点P在l上，∴ －＝1，则a
a2aa2a
3
＝，∴ l的方程为2x＋y－3＝0；当截距等于零时，设l的方程为y＝kx，又点P在l上，
2
1
∴ k＝－，∴ x＋2y＝0.综上，所求直线l的方程为2x＋y－3＝0或x＋2y＝0.
2
10. 已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线
的一般式方程为__________________．
答案：3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0 xy13
解析：由直线经过A，B知方程为＋＝1，又过点C(1，3)，所以＋＝1.因为a，b
abab
b3a
均为正整数，所以a＝＞0，所以b＞3，b＝＞0，所以a＞1.由整除性可知a－1＝3
b－3a－1
?
?
a＝4，
?
?a＝2，
xyxy
?
或a－1＝1，所以或
?
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－4
4426
?
b＝4
?
b＝6. ??
＝0或3x＋y－6＝0.
二、解答题
11. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1) 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的一般式方程；
(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
所以a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得
a－2
＝a－2，即a＋1＝1，
a＋1
所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2) 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
?
?
－（a＋1）＞0，
?
?
－（a＋1）＝0，
所以
?
或
?
所以a≤－1.
?
a－2≤0
?
a－2≤0.
??
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]．

12. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1) 当a＝1时，直线l分别与x 轴、y轴交于A，B两点．若动点P(m，n)在线段AB
上，求mn的最大值；
(2) 若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，求△OMN面积取最小值时，直
线l的方程．
2xy
解：(1) 当a＝1时，直线l的方程化为2x＋y－3＝0，可化为＋＝1.由动点 P(m，n)
33
32mn
在线段AB上可知0≤m≤，0≤n≤3，且＋＝1，∴ 1≥2
233
2mn339
当＝时等号成立，解得m＝，n＝，∴ mn的最大值为.
33428
2mn9
·，∴ mn≤.当且仅
338
1
2＋ a
?
2＋a
，0
?
，N(0，2＋a)．又a＞－1，∴ S(2) 由直线方程可求得M
?
×(2
?
△
OMN
＝×
2 a＋1
?
a＋1
?
2
1
1
（a＋1）＋2（ a＋1）＋1
1
?
1
＋a)＝×＝×
（a＋1）＋
a＋1 ＋2
?
≥×(2
22
??
2
a＋1
1
（a＋1）×
a＋1
＋2)＝2，
1
当且仅当a＋1＝，即a＝0或a＝－2(舍去)时等号成立．
a＋1
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
13. 在△ABC中，已知C(2， 5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高
线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．
?
?
y＝2x－1，
解：如图，依条件，由
?

?
y＝x
?

解得A(1，1)．
因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，
所以点C(2，5)关于y＝x的对称点C′(5，2)在AB边所在的直线上．
2－1
AB边所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0.
5－1
又BC边上的高线所在的直线方程是y＝2x－1，
1
所以BC边所在的直线的斜率为－.
2

1
BC边所在的直线方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0.
2
5
7，
?
. 联立x－4y＋3＝0与x＋2y－12＝0，解得点B
?
?
2
?
第3课时直线与直线的位置关系
一、填空题
1. 过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是____________．
答案：x－2y－1＝0
解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋c ＝0，将点(1，0)代入x－
2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.
2. 已知直线l
1
：ax＋y－1＝0，直线l
2
：x－y－3＝ 0.若l
1
⊥l
2
，则a＝________．
答案：1
解析：若l
1
⊥l
2
，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1.
3. 在直角坐标系中，过点P(－1，2)且与原点O距离最大的直线方程为____________．
答案：x－2y＋5＝0
解析：由题意知，所求直线过点P且与OP垂直时满足条件，因为直线OP的斜率为k
OP
11
＝－2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为y－2 ＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
22
4. 已知点A(1，－2)，B(m，2)．若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则
实数m的值是________．
答案：3
解析：∵ 点A(1，－2)和B(m，2)的中点C
?
－2＝0，∴ m＝3.
5. (20 18·泰兴中学)若直线l
1
：x＋ay＋6＝0与l
2
：(a－2)x＋3 y＋2a＝0平行，则l
1
与l
2
间的距离为________．
82
答案：
3
a（a－2）＝3，
?
?
2a≠1 8，
1a6
解析：因为l∥l，所以＝≠，所以
?
解得a＝－1，所以l：x
a－2
32a
a≠2，
?
?
a≠0，
2
1 21
1＋m
1＋m
?
，0
在直线x＋2y－2＝0上，∴
2
?
2
?

2
－y＋6＝0，l
2
： x－y＋＝0，所以l
1
与l
2
之间的距离d＝
3
?
6－
2
?
?
3
?
82
2
＝
3 .
6. 直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．
答案：2x＋y－5＝0
解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为( 1，3)，直线2x－y＋1＝0
的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x－y＋1＝0
的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x －1)，即2x＋y
－5＝0.
7. 若直线l
1
：y＝k(x－4)与直线l
2
关于点(2，1)对称，则直线l
2
恒过定点________．
答案：(0，2)
解析：由于直线l
1
：y＝k(x－4)恒过定点(4， 0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又
由于直线l
1
：y＝k(x－4 )与直线l
2
关于点(2，1)对称，故直线l
2
恒过定点(0，2)．
8. 直线l
1
：ax＋y＋2＝0，l
2
：3x＋(a－2)y＋ 2a＝0，则“a＝3”是“l
1
∥l
2
”的____________条件．
答案：充分不必要
解析：直线l
1
：ax＋y＋2＝0，l 2
：3x＋(a－2)y＋2a＝0，若l
1
∥l
2
，则a( a－2)＝3且a
2
≠3a＝3或－1.故“a＝3”是“l
1
∥l
2
”的充分不必要条件．
9. (2018·哈尔滨模拟)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们
之间的距离是________．
答案：
13

2
解析：由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7 ＝0互相平行，得m＝4，所以两直线分别为
?
7
＋3
?
?
2
?
713
3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0.它们之间的距离是
22
＝.
22
3＋2
10. 已知b＞0，直线(b
2
＋1) x＋ay＋2＝0与直线x－b
2
y－1＝0互相垂直，则ab的最小
值为_____ ___．
答案：2
解析：由题意知，b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线(b
2
＋1)x＋ay＋2＝0与直线x
11
－b
2
y－1＝0互相垂直，所以(b
2
＋1)－ab
2
＝0，ab＝b＋≥2，当且仅当b＝，即b＝ 1时等
bb
号成立．
二、解答题

11. 已知点A(3 ，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l
1
：3x－y－1
＝0和l
2
：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．
?
?
3x －y－1＝0，
解：设直线l
1
，l
2
的交点为P，解方程组
?
得交点P(1，2)．
?
?
x＋y－3＝0，
① 若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而k
AB
＝
3－2
11
＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
22
3－5
5
4，
?
， ② 若点A，B在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点
?
?
2
?
y－2x－1
由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0.
5
4－1
－2
2
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
12. 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1) 点P(4，5)关于l的对称点；
(2) 直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
y′－y
∵ k
PP
′
·k
l
＝－1，即×3＝－1 ①.
x′－x
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
x′＋xy′＋y
∴ 3×－＋3＝0 ②.
22
－4x＋3y－9
③，
5
由①②得
3x＋4y＋3
y′＝ ④.
5
?
?
?
x′＝
(1) 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴ P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)．
－4x＋3y－9
(2) 用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于直线l对称的直线方程为
5
3x＋4y＋3
－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.
5
13. 已知直线l经过直线l
1
：2x＋y－5＝0与l
2
：x－2y＝0的交点P.

(1) 若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2) 求点A(5，0)到l的距离的最大值．
?
2x＋y－5＝0，
?
解：(1) 由
?
解得交点P(2，1)．
?
x－2y＝0，
?
当直线的斜率不存在时，其方程为x＝2，成立；
若斜率存在，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.
由已知点A(5，0)到l的距离为3，得
此时l的方程为4x－3y－5＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由(1)可知交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，
|3k＋1|
4
＝3，解得k＝.
3
k
2
＋1

设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．
所以d
max＝PA＝（5－2）
2
＋（0－1）
2
＝10.第4课时圆的方程
一、填空题
1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________．
答案：1
解析：因为圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1) ＋2＋a＝0，解得a
＝1.
2. 已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则
圆C的方程为________________．
答案：(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝5
解析：由题意知圆心纵坐标y＝－3，代入直线2x－y－7＝0得圆心C(2，－3)，r
2
＝2
2
＋1
2
＝5，所以圆的方程为(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝5.
3. 已知圆x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝ 0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝
________

4
答案：－
3
解析：由x
2
＋y
2
－2x－8y＋13＝0配方得(x－1)
2
＋(y－4)
2
＝4 ，所以圆心为(1，4)，半径
|a＋4－1|
r＝2.因为圆x
2
＋y2
－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，所以
2
＝
a＋1
2
4
1，解得a＝－.
3
4. 若点(1，－1) 在圆x
2
＋y
2
－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是_________ ___．
1
0，
?
答案：
?
?
2
? ?
（－1）
2
＋1
2
－4m＞0，
?
1解析：由题意可知
?
解得0＜m＜.
2
2
?
1＋（－1）－1－1＋m＞0，
?
5. 若圆的方程为x
2
＋y
2
＋kx－4y＋k
2
＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________．
答案：(0，2)
k
3k
x＋
?
＋(y－2)
2
＝4－.解析：将圆的方程x＋y＋kx－4y＋k＝0化为标准方程为
?
?
2
?
4
222
2
23k
2
∵ r＝4－≤4，∴ k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，2)．
4
2
6. 已知实数x，y满足(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1，则2x－y的最大值为________．
答案：5＋5
解析：令b＝2 x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b
|2×2＋1－b| 与圆相切时，b取得最值．由＝1，解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5.
5
3
??
7. (2018·盐城一中)若a∈
?
－2，0 ，1，
4
?
，则方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋ 2a
2
＋a－1＝0表示
??
的圆的个数为________．
答案：1
解析：方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋2a 2
＋a－1＝0表示圆的条件为a
2
＋4a
2
－4(2a2
＋a－1)＞0，
3
?
2
?
即3a
2
＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.又a∈
?
－2，0，1，
4
?
，所以仅当a＝0时，方程x
2
＋y
2
3
??
＋ax＋2a y＋2a
2
＋a－1＝0表示圆．
8. 在圆x
2
＋y
2
－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四
边形ABC D的面积为________．
答案：102
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3 )，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故

过点E(0，1)的最短弦长BD＝ 210－（1
2
＋2
2
）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该
点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC＝210，且AC⊥BD，因
1 1
此四边形ABCD的面积为AC×BD＝×210×25＝102.
22
9. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C满足AC＝2BC，则
△ABC 的面积的最大值是________．
答案：22
解析：设满足条件AC＝2BC的C点坐标为(x，y)，则(x＋1)
2
＋y
2
＝2(x－1)
2
＋2y
2
，化
1
简得(x－3)
2
＋y
2
＝8.其中y≠0，从而S＝×2×|y|≤22，所以△ABC的面积的最大值是22.
2
10. (2018·洛阳统考)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x
2
＋y
2
＋4x＋
2y＋1＝0的周长，则a
2
＋b
2
－2a－2b＋3的最小值为________．
9
答案：
5
解析：由题意知直线l过圆M的圆心，圆心坐标为(－2，－1)，则2a＋b＝1，又a 2
＋
b
2
－2a－2b＋3＝(a－1)
2
＋(b－ 1)
2
＋1，故a
2
＋b
2
－2a－2b＋3的最小值为点 (1，1)到直线2a
29
＋b＝1的距离的平方加1，即()
2
＋1＝.
5
5
二、解答题
11. 已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和 B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P
于点C和D，且CD＝410.
(1) 求直线CD的方程；
(2) 求圆P的方程．
解：(1) 直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2) 设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0 ①.
∵ 直径CD＝410，∴ PA＝210，
∴ (a＋1)
2
＋b
2
＝40 ②.
?
a＝－3，
?
?
a＝5，
?
由①②解得
?
或
?

??
b＝6b＝－2.
??
∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴ 圆P的方程为(x＋3)
2
＋(y－6 )
2
＝40或(x－5)
2
＋(y＋2)
2
＝40.

y
12. 已知实数x，y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．
x
答案：解：原方程可化为(x－2)
2
＋y
2
＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．
y
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
x
y
所以设＝k，即y＝kx.
x

当直线y＝kx与圆相切时，如图所示，
斜率k取最大值或最小值，
此时
|2k－0|
＝ 3，解得k＝±3.
k
2
＋1
y
所以的最大值为3，最小值为－3.
x
13. (2018·启东检测)已知圆M过C(1，－1)，D(－1，1)两点，且圆心 M在直线x＋y－2
＝0上．
(1) 求圆M的方程；
(2) 设P是直线3x＋ 4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，
求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1) 设圆M的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r＞0)，
（1－a）＋（－1－b）＝r，a＝1，
??
? ?
222
根据题意得
?
（－1－a）＋（1－b）＝r，
解得
?
b＝1，

??
?
a＋b－2＝0，
?
r＝2 ，
故所求圆M的方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.
1
(2) 由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S
△
PAM
＋S
△
PBM
＝(AM·PA＋BM·PB)．
2
又AM＝BM＝2， PA＝PB，所以S＝2PA，而PA
2
＝PM
2
－AM
2
＝PM
2
－4，
所以S＝2PM
2
－4.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小，所以PM
min
＝
|3×1 ＋4×1＋8|
3
2
＋4
2
222

＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为2PM
2
－4＝25.第5课时直线与圆的位置关系
一、填空题
1. 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为
______________．
答案：x＋2y－5＝0 2－0
解析：由点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为x
2
＋y
2
＝5，k
PO
＝
1－0
1
＝2，所以该圆在点P处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
2
2. 圆x
2
＋y
2
＋x－2y－20＝0与圆x
2
＋y
2
＝2 5相交所得的公共弦长为 ________．
答案：45
解析：公共弦所在直线的方程为 (x
2
＋y
2
＋x－2y－20)－(x
2
＋y
2
－25)＝0，即x－2y＋5
|0－2×0＋5|
＝0，圆x
2
＋ y
2
＝25的圆心到公共弦的距离d＝＝5，而半径为5，故公共弦长
5
为2 5
2
－（5）
2
＝45.
3. (2018·安阳二模)已知圆C
1
：x
2
＋y
2
－kx＋2y＝0与圆C
2
：x
2
＋y
2
＋ky－4＝0的公共弦
所在直线恒过定点P(a， b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是__________．
1
－∞，
?
答案：
?
4
??
解析：x 2
＋y
2
－kx＋2y＝0与x
2
＋y
2
＋ ky－4＝0相减得公共弦所在直线的方程为kx＋(k
?
2y＋4＝0，
?
?
x＝2，
?
－2)y－4＝0，即k(x＋y)－(2y＋4)＝0.由
?
得
?
即P(2，－2)，因此2m＋
??
x＋y＝0y＝－2，??
2
1
11
m－
?
＋≤. 2n－2＝0，∴ m＋n＝1，mn＝m(1－m)＝－
?
2
?
44
?
4. 过点P(2，4)引圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1的切线，则切线方程为______________．
答案：x＝2或4x－3y＋4＝0
解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，
直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y
|k－1＋4－2k|
＋4 －2k＝0，∵ 直线与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径，即d＝
22
＝
k＋（－1）
|3－k|
444
＝1，解得k＝，∴ 所求切线方程为x－y＋4－2×＝ 0，即4x－3y＋4＝0.综上，
2
333
k＋1
切线方程为x＝2或4x －3y＋4＝0.
5. 过点P(4，2)作圆x
2
＋y
2
＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB

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