回归教材做什么

回归教材做什么？
吴国建（浙江省东阳中学322100）

到了高考复习的最后阶段，也就是自主复习阶段，老师们都会提醒学生复习要回归教材，即通 过对教
材的重新阅读与理解，为高考的有效增分作最后的努力。但是，如何回归教材，回归教材做什么， 却是一
个需要思考的问题。笔者以为，数学高考复习最后阶段的回归教材，必须做好以下四个方面的工作 ：
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一、理清知识网络
新课改的实施，首先变化的是教材的编写体 系。数学知识的呈现往往不是一步到位，而是充分体现出
新课程“螺旋上升”的理念，这就要求教师在复 习教学中帮助学生理清教材各独立板块内容的知识网络，
建立知识结构体系。尤其到了复习最后阶段，知 识的系统性、网络化对于命题所青睐的主干知识和知识交
叉点的把握显得更为重要。以立体几何为例，空 间几何体，点、直线、平面之间的位置关系和空间直角坐
标坐标系等知识分布在必修2的第一、第二、第 四章第3 节、选修2-1第3 章，涉及的内容、定理、性质
和结论众多，通过回归教材构建立一个清 晰的知识网络，可以让人一目了然。如图：
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DXDiTa9E
棱柱
多
面
体
棱锥
棱台
结构特征
三视图

























简
单
几
何
体
直观图
圆柱
旋
转
体
圆锥
圆台
球
公理1
表面积
体积
平面的基本
性质
公理2
公理3
空间的平行
关系
直线与直线平
行
直线与平面平
行
公理4
线面平行的定义
线面平行的判定
线面平行的性质
面面平行的定义
证
明
平面与平面平
行
直线与直线垂
直
面面平行的判定
面面平行的性质
线面垂直的定义
线面垂直的判定
线面垂直的性质
面面垂直的定义
空间位置
关系
空间的垂直
关系
直线与平面垂
直
平面与平面垂
直
异面直线所成的角
计
算
利用空间向量方
法计算和证明
直线和平面所成的角
二面角的平面角

面面垂直的判定
面面垂直的性质
空间
直角
坐标
系

以上知识网络可以用四句话来概括：平行垂直角距离，柱锥台球面体积，想象推理加计算，垂直关系
是主 题。第一句话概述了立体几何的主要内容，第二句突出了主要的空间几何体，第三句话说明了立体几
何学 习的主要思想方法，第四句话阐述了垂直关系在立体几何学习中的重要性。
RTCrpUDG
回归教材，通过横向联系纵向深入，通过组合类比，沟通知识，构建网络，实现教材知识由“厚”到
“薄 ”、由“散乱”到“有序”的转化，可以促进学生对数学知识的理解“螺旋式上升”，明确考查的知识
内 容，重点关注 “知识交叉点”，从而提高复习效率。
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二、重温例题习题
前苏联数学教育家奥加涅相说过“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性…”，课本例题习题不仅是教师施教、学生学习的主要材料，也是高考命题的重要依据。最< br>近几年的浙江省高考命题充分体现高考试题源于教材、略高于教材的特点，许多试题设计时有意识地将教< br>材中的例题习题进行了移植与改编。如2011年浙江省高考文理科第4 题：下列命题中错误的是：
jLBHrnAI
（A）如果平面
?
?
平面
?
，那么平面内一定存在直线平行于平面
?

（B） 如果平面
?
不垂直于平面
?
，那么平面
?
内一定不存在直线垂直于平 面
?

（C） 如果平面
?
?
平面
?
，平 面
?
?
平面
?
，
?
?
?
?l，那么
l?
平面
?

（D） 如果平面
?
?< br>平面
?
，那么平面
?
内所有直线都垂直于平面
?

此题直接移植于人教A版必修2 第二章2．3．4节教材练习题。又如2011年浙江省高考理科第5 题
也从人教A版必修5教材中线性规划例题改编而成，给人以“题在书外，根在其中”的感觉。
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也有一些试题，表面上看并不来源于书本，但稍加分析转化或者将条件逐一分解，可 以发现其核心内
容全都来看自于教材。如2010年浙江省理科第22题第（2）小题：
LDA YtRyK
设
x
1
,x
2
,x
3
是f(x)
的三个极值点，问是否存在实数
b
，可找到
x
4
?R
，使得
x
1
,x
2
,x
3
,x4
的某种排
列
x
i
1
,x
i
2
,x
i
3
,x
i
4
（其中
?
i
1
,i
2
,i
3
,i
4
?
?
?< br>1,2,3,4
?
）依次成等差数列？若存在，求所有的
b
及相应的< br>x
4
；若不
存在，说明理由。
Zzz6ZB2L
问题经过分 析后可转化为：已知三个数，再插入一个数，使四个数成等差数列。进一步分析，这样的
情况有且只有四 种：
dvzfvkwM
① a-d，a，a+d，( ) ； ② ( )，a-d，a，a+d ；
③ a-d，a， ( )，a+2d； ④ a-d，( )，a+d，a+2d
然后逐一进行讨论就可以解决了。
特别值得一提的是，近两年一些省份出现了直接来自于教材的高考题，如：
2010年四川卷文理第19题：
（1）①证明两角和的余弦公式
C
(?
?
?
)
:cos(
?
?
?
)?co s
?
cos
?
?sin
?
sin
?
； < br>②由
C
(
?
?
?
)
推导两角和的正弦公式< br>S
(
?
?
?
)
:sin(
?
??
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
。
2011年陕西文理卷第18题：叙述并证明余弦定理。
在“高考资料 满天飞、教辅用书代教材”的今天，这些试题的出现，起到了很好的导向作用，复习教

学 中应当引起高度重视。回归教材，重温例题习题，并不是去猜题押题，而是通过发掘教材例题习题潜在
的 教育教学功能，最大化地体现数学教材在高考复习中的重要地位，减轻学生学习负担，真正体现高考对
中 学数学教学正确的导向作用。
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三、领悟思想方法
数学考试是通过解题的方式展现学生的知识水平，反映学生对数学本质的理解程度，体
现数学 思想和方法的掌握与运用能力。《浙江省普通高考考试说明》指出；数学科的命题，在考查基础知识
的基 础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。函数方程思想、数形结合思想、分类
讨论 思想、等价转化思想等数学思想每年必考，常考常新；配方法、换元法、递推法、定义法、反证法、
等积 法、向量法、参数法等解题方法屡有表现，各有千秋，这些数学思想和解题方法都蕴含于教材中。以
人教 A版必修5第二章《数列》为例，主要的解题方法有：
EmxvxOtO
1．基本量法：在解 等差数列（或等比数列）问题时，可以把求问题中的其他量转化为求基本量
a
1
和d
（或
q
），使求解的数列问题转化为求关于
a
1
和< br>d
（或
q
）的等式或不等式问题；
SixE2yXP
2．知 三求二法：在等差数列（或等比数列）的研究中，常常会涉及到的五个相关量
a
1
,a
n
,n,s
n
,d
（或
q
）之间有一些运算公式， 已知其中三个量就可以求出另外两个量；
6ewMyirQ
3．递推法：阅读与思考材料《斐 波那契数列》和《九连环》在展示数学文化的同时体现了递推的思想
n?1
?
a
1
,
与方法，而简单的递推关系经常出现在考题中，如已知
S
n
， 可求得
a
n
?
?
等；
kavU42VR
S?S, n?2
n?1
?
n
4．归纳猜想证明法：教材中根据数列前几项写出通项公式 的例子和习题体现了递推和归纳的方法，这
样得到的通项公式可以用数学归纳法加以证明；
y6 v3ALoS
5．倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡与首末两项等距离的任意两项之和总 等于同一个常
数”的特点，则此数列的求和可用倒序相加法，这种方法运用了“对称性”的解题思路，展 现了“求齐”
的思想，可以避免因项数奇偶问题引起的讨论，教材中等差数列的求和公式就是这样推导的 ；
M2ub6vST
6．错位相减法：教材中等比数列前
n
项和的运算是通 过错位相减法实现的，这种方法普遍适用于“由
等差数列和等比数列对应项相乘而生成的新数列”，即如 果数列
?
a
n
?
是等差数列，数列
?
b
n
?
是等比数列，则
数列
?
a
n
b
n
?
的前
n
项和可以通过“乘公比错位相减”求得；
0YujCfmU
7．函数法：由于数列可以看作以正整数集
N
（或它的有 限子集
?
1,2,3,?n
?
）为定义域的函数
*
a
n
?f(n)
，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一系列函数值，因此许多 数列问题可以用
函数的方法来处理，通过函数图像与性质的研究来解决数列问题，这就是函数法．教材《 等差数列前
n
项
的和》一节中的探究与例4都体现了这种方法；
eUts8Z QV
8．裂项相消法：教材通过一个研究性问题展现了裂项相消的求和技巧：
数列
?
?
1111
1
?
S????
?
?
的前项 和
，研究一下，能否找到求
S
n
的
n
?
n
1?22?33?4n?(n?1)
n(n?1)
??
一个公式．你能对这个问题作一 些推广吗？（习题2．3B组第4题）
因此，回归数学教材，不是仅从认知的角度熟悉教材，不能仅停 留在表面重复“昨天的故事”，而是
要从理解数学本质的角度审视教材，从知识综合运用的角度拓宽教材 ，从升华思想方法的角度用活教材，

只有这样，才能使数学高考复习事半功倍。
sQsAEJkW
四、关注细节规范
高考是一场全方位的竞争，比拼的不仅是知识的掌握程 度和运用能力，还有心理、习惯等综合素质。
高三复习教学和考试训练中经常发现许多学生会产生“会而 不对、对而不全”的现象，这主要是与平时的
思维习惯、解题规范甚至与心理品质有关。其实教材中有许 多细节，对培养学生的思维习惯、提升心理品
质很有帮助，这就要求回归教材时重点关注这些细节，充分 发挥这些细节的教学功能，努力达到有效增分
的复习目的。以下是教材中解析几何部分一些值得关注的细 节，其中有些内容是教材直接呈现的，有此内
容蕴含在例题习题中，有些内容相对集中，有些内容比较分 散，回顾教材时需要归纳整理。
GMsIasNX
1．倾斜角的范围，特别要注意倾斜角为< br>90
时，直线的斜率不存在；直线的五种方程形式（点斜式、
斜截式、两点式、截距式、 一般式）各自有自己的适用范围以及特殊直线的方程；截距可正可负也可以为0，
两坐标轴上截距相等< br>?
直线的斜率为-1或过原点；到两点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
等距离的直线可以平行于直
线AB ，也可以过AB中点；两条直线的位置关系判别应当注意斜率不存在的特殊直线方程；
TIrRGchY
2．解析几何中的对称问题（中心对称和轴对称），通常可用代入法解决。当对称轴方程形如
y ??x?b
时可直接代入，当斜率不为
?1
时需要通过中垂线的性质进行代入；
7EqZcWLZ
3．方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey? F?0
表示圆的条件；已知圆的一条直径的两个端点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
的圆的方程为
(x?x1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
；当点P
(x
0
,y
0
)
位置不同时方程< br>0
(x?a)(x
0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?r< br>2
的不同含义；过圆外一点作圆的切线一定有2 条，注意其中一条斜
率可能不存在；两 圆相交时相交弦（根轴）所在直线的方程；
lzq7IGf0
4．平面上到两定点的距离之和 （或差的绝对值）等于定长的点的轨迹的不一定是椭圆（或双曲线）；
离心率在图形中的表示；如何根据 双曲线方程求渐近线和如何根据渐近线假设双曲线，渐近线的夹角范围，
等轴双曲线；形如
y? ax
的抛物线的焦点确定；
zvpgeqJ1
5．与圆锥曲线只有一个交点的直线与 切线的区别与联系；已知过
x
轴上一点
A(x
0
,0)
，假 设直线
2
y?k(x?x
0
)
还是
x?my?x
0
要视不同情况而定。
另外，回归教材也是学习解题过程、培养解题规范的一个有效手段。在高 考阅卷中发现，很多学生因
答题不规范而造成的丢分现象是屡见不鲜的，比如概念符号的书写不正确、结 论表达不准确、证明推理不
严密、分类讨论不完全、条件转化不等价、几何作图不合理、解题过程不流畅 、卷面表达不清楚等，这样
的丢分是十分可惜的。回归教材，就是要充分发挥教材的示范作用，引导学生 掌握三种数学语言（文字语
言、符号语言、图形语言）的准确表述，学习推理计算过程的严密科学，追求 答题书面表达的清楚规范，
从而达成“关注细节多得分、注意规范少丢分”的目标。
NrpoJ ac3
参考文献：
1． 浙江省高考命题咨询委员会．2010年浙江省高考命题解析（数学）．杭州：浙江摄影出版社，2010．
2． 浙江省高考命题咨询委员会．2011年浙江省高考命题解析（数学）．杭州：浙江摄影出版社，2011．
3． 虞涛．高中数学课本中的基本解题方法．上海：华东师范大学出版社，2007．
4．
5．

6．

7．