2019年对数学B版教材选修2.doc

对数学B版教材选修2—2微积分部分的初步认识及教学建议






山东省日照市五莲县第一中学 段智红 舒艳妮 郑泽法
微 积分学在数学以至整个自然科学中占有重要的地位，微积分学是人类思维的伟大
成果之一，它的产生和发 展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若
干极其成功的﹑对以后数学的发展起决定性 作用的思想”。微积分的思想方法是17世
纪产生的关键性的数学思想方法，不仅是学生以后学习许多数 学分支的基础，而且对于
培养学生的数学思维，增强学生的解题能力有很大的促进作用。微积分作为一个 强大的
工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题。其中导数和
积 分是微积分学中最重要的两个概念，它们是研究函数和解决实际问题的重要工具。本
书第一章的重点是导 数及其应用，以及定积分和微积分基本定理。由于中学生的认知水
平和其他原因，数学B版教材对微积分 的处理突出了概念的本质，略去了极限，直接通
过实际背景和具体应用实例，抽象概括导数的概念，重视 了几何直观。由于上述原因，
对于本章的教学有很大难度，对此我们做出如下教学建议。
一、让学生直观感知微积分的必备知识：函数的连续性和极限
教材对微积分的定位比较好，充 分考虑到学生的实际水平，略去了函数的连续性和
极限。但由于教学的实际，笔者认为在授课之前应用适 当的形式让学生感知函数的连续
性和极限。例如：如果函数是连续的，那么它的图象是一条连绵不断的曲 线；在一定条
件下极限与某个常数A的差的绝对值越来越小，可以小于预先给定的任意正数，可以通过表格来定性分析和定量分析，把“无限趋近”给以确切的描述，或者举例说明求函数
的极限，例如 数学B版教材第17页的
二、概念的挖掘
《课程标准》对这部分内容的定位──强调对导数本 质的认识，不仅作为一种规则，
也作为一种重要的思想﹑方法来学习。教材直接通过实际背景和具体应用 实例──速度
﹑膨胀率﹑效率﹑增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括
出导数的概念 。
（一）函数的平均变化率
教材中以用数量表示登山路线的平缓及陡峭程度为例引出平均变 化率的概念，直观
形象，易于理解。在引例中要注意当山路弯曲时，将弯曲山路分成许多小段，每一小段
可视为平直的，体现了一种逼近的思想。
平均变化率的概念应注意以下几点：
（1）函数f（x）在x
0
处有定义；
（2）x
1
是x< br>0
附近的任意一点，即Δx=x
1
-x
0
≠0，但可正可负；
（3）改变量的对应：若Δx=x
1
-x
0
，则Δy=f（x
1
）-f（x
0
），而不是Δy=f（x
0
）-f（x
1
）；
可提前介绍。

（4）平均变化率可正可负也可为零。
（二）瞬时变化率
教材通过具体实例和给定时间变化量Δ
t
的具体值分析了 瞬时速度与平均速度的关
系：瞬时速度是当Δ
t
趋近于0时平均速度所趋近的常数值。 这一分析过程所体现的无
限逼近思想，实际是一种极限思想。
瞬时变化率概念的教学应注意对 Δx→0时，
即｜Δx-0｜小于给定的任意小的正数，但Δx≠0。同理可理解
→f′（x< br>0
）。
（三）定积分的概念
定积分概念的教学应注意以下两点：
1.定积分是一种“和”的极限。
2.定积分的几何意义。
→f′（x
0
）
的理解。授课时可先让学生参照数学Ｂ版教材第7页的表格体会Δx与0要多近有多近，
图1
（1）若f（x）≥0，则定积分 f（x）dx在几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a，
f（x）dx。 x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S（如图1），即S=

图2
（2）若f（x）≤0，x∈［a，b］，那么曲边梯形位于轴下方（如图2），
f（x）dx= f（ζ
i
）Δx
i
，
∵Δx
i
＞0，f（ζ
i
）≤0，

图3
∴f（ζ
i
）Δx
i
≤0。
∴
∴
f（x）dx≤0。
f（x）dx=-S。
f（x）dx表示=-S
1
+S
2
-S
3
（如（3）当f（x）在区间［a，b］上有正有负时，积分
图3）。
三、例题的变式和处理
1.讲解1.13节“导数几何意义”后，例3变式引申如下：已知曲线y=x+：
（1）求点P（2，4）处的切线方程；
（2）求过点P（2，4）的切线方程。
分析：（1）问点P（2，4）处的切线即P为切点，所以切线易求得为4x-y-4=0。
（2）问过点P（2，4）的切线，P可为切点，此时切线方程为4x-y-4=0；若P不
为切点， 可设切点为，
3
因为f ' （x）=x，所以
2
。解得x
0
=-1。所以切点为（-1，1）。
所以切线方程为y-1=x+1，即x-y+2=0。
通过本小题的练习可使学生明确“点P处的切线”与“过点P的切线”的不同意义。
2.讲解第26页1.3.1利用导数判断函数的单调性。
例题运用了一个充分条件：x∈（a，b），f ' (x)＞0（f' (x)＜0）
3
f '(x)在（a，b）
递增（递减）。在解题时容易导致学生误解 。例如，第38页习题1—3A中的第1题的
第(3)小题求y=（x-1）的增减区间，若采用课本例 题做法易出现如下错误。
解：定义域（-∞，+∞），f ' （x）=3（x-1）。
2

令f ' （x）＞0，得x≠1，∴所以=（x-1）的单调增区间为（-∞，1）和（1，+
∞）。
而本来是一个单调增区间（-∞，+∞）却分成了两个。
建议运用定理“若函数f （x）在（a，b）可导，则f (x)在（a，b）递增（递减）
f ' (x)≥0（f ' (x)≤0），x∈（a，b）”。
求函数的单调区间，简单明了。上题解法如下：
解：定义域（-∞，+∞），f ' （x）=3（x-1），
令f ' （x）≥0， 得x∈R。
所以y=（x-1）的单调增区间为（-∞，+∞）。
四、习题规律寻找 课本第49页习题1—4B的第2题的第（2）、第（3）小题以及第53页“巩固与提
高”的第1 2题均是关于求两曲线所围成的区域面积的问题。
由此可得规律如下：如果图形由曲线y
1< br>=f
1
（x），y
2
=f
2
（x）（不妨设f
1
（x）≥f
2
（x）
≥0）及直线x=a，x=b（a＜b）围成（如图 4），那么所求图形的面积为：
S
ABCD
= f
1
（x）dx-
公式为：
S=｜f
1
（x）-f
2
（x）｜dx（可以让学生用特例验证）。
f
2
（x）dx。
3
2
3
推广：由y
1
=f
1
（x），y
2
=f
2
（x），x=a，x =b（a＜b）所围成（如图5）的区域面积

图4

图5
如何进行微积分教学在高中数学中是一个全新的课题，相对于代数和几何等经典内
容已经臻于完 善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段。但也正因
为如此，探讨微积分的教学才更 有价值和意义。以上是我们在教学中的经验和体会，希
望与同仁们共同探讨，并请提出宝贵意见