2020高中数学一轮教师用书一

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、 填空题
1. 下列命题：① 第二象限角为钝角；
② 锐角是第一象限角；③ 若α是第二象限
角，则α＋180°是第四象限角；④ 角α与π
＋α终边在一条直线上．其中正确的是
________．(填序号)
答案：②③④
解析：①不正确；②正确；将角α终边
绕原点逆时针方向旋转180° 可得180°＋α，
由此可知③④也正确．
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，
角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐
标为
4
5
，则cos α＝________．

答案：－
3
5

解析：因为点 A的纵坐标y
4
A
＝
5
，且点
A在第二象限．又圆O为单位 圆，所以点A
的横坐标x＝－
3
A
5
.由三角函数的定义可得
cos α＝－
3
5
.
?
sin
α
3. 若α 是第三象限角，则y＝
?
2
?
?
＋
sin
α
2
?
cos
α
?
2
?
?
的值为____ ____．
cos
α
2
答案：0
解析：由于α是第三象限角，∴
α
2
是第
二象限角或第四象限角，当
α
2
是第二象 限角
sin
α
－
α
时，y＝
2
cos
＋< br>2
＝1－1＝0；
α
sin
αα
当
2
是第< br>2
cos
2
－sin
α
α
四象限角时，y＝
2
cos
＋
2
＝－1＋1＝
sin
αα
2
cos
2
0.
4. 设α是第二象限角，P(x，4)为其终
边上的一点，且cos α＝
1
5
x，则tan α＝
________．
答案：－
4
3

解析：因为α是第二象限角，所以cos α
＝
1
5
x＜0，即x＜0.又cos α＝
x
x
2
＋16
，所
以
1
5
x＝
x
x
2
＋16
，解得x＝－3，所以tan α
＝
4
x
＝－
4
3
.
5. 函数y＝2sin x－1的定义域为
________．
答案：
?
?2kπ＋
π
6
，2kπ＋
5π
6
?
?
(k∈Z)
解析：∵ 2sin x－1≥0，
∴ sin x≥
1
2< br>.由三角函数线画出x满足
条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴
x∈
?
?
2kπ＋
π5π
6
，2kπ＋
6
?
?< br>(k∈Z)．

6. 若角α的终边经过点P(
34
5
，－
5
)，则
sinα·tanα的值是________．
答案：
16
15

解析：∵ OP＝ r＝
?
3< br>?
5
?
?
2
＋
?
?
－
4< br>5
?
?
2
＝1，
∴ 点P在单位圆上，sinα＝－
4
5
，tanα＝
－
4
3
，得sinα·tanα＝
?
?
－
4
5
?
?
×
?
?
－
4
3
?
?
＝
16
15
.
7. 点P从(1，0)出发，沿单位圆x
2
＋y
2
＝1按逆时针方 向运动
2π
3
弧长到达点Q，则
点Q的坐标为________．
答案：(－
1
2
，
3
2
)
解析：由弧长 公式l＝|α|r，l＝
2π
3
，r＝
1得点P按逆时针方向转过的角度为α ＝
2π
3
，所以点Q的坐标为
?
?
cos
2π2π
3
，sin
3
?
?
，
即(－
1
2
，
3
2
)．
8. 已知角α的终边经过点P(4a，3a)(a< br>＜0)，则25sinα－7tan2α的值为________．
答案：－39
解析：∵ 角α的终边经过点P(4a，3a)(a
＜0)，∴ x＝4a，y＝3a，r＝
（4a）
2
＋（3a）
2
＝－5a，∴ sinα＝
3a
－5a
＝－
33a3
2tanα
5
，tanα＝
4a
＝
4
，∴ tan2α＝
1－tan
2< br>a
2×
3
＝
4
24
，∴ 25sinα－7tan2 α＝
1－
?
3
?
4
?
2
＝
7?
25×
?
?
－
3
5
?
?
－ 7×
24
7
＝－39.
9. 已知扇形的面积为23，扇形的圆心
角的弧度数是3，则扇形的周长为________．
答案：4＋23
解析：设扇形的弧长为l，半径为R，
由题意可得
1
2
lR＝23，
l
R
＝3，解得l＝23，
R＝2，则扇形的周长 为l＋2R＝4＋23.
10. 已知角x的终边上一点的坐标为
(sin
5π6
，cos
5π
6
)，则角x的最小正值为
________．
答案：
5π
3

解析：∵ sin
5π
1
5
6
＝
2
，cos
π
6
＝－
3
2
，
∴ 角x的终边经过点(
1
2
，－
3
2
)，∴角x是
－
3
第四象限 角，tan x＝
2
1
＝－3，∴ x＝
2
2kπ＋
5π
3
，k∈Z，∴ 角x的最小正值为
5π
3
.(也可用同角基本关系式tan x＝
sin x
cos x
得
出)
11. 已知x，y为非零实数，θ∈(
ππ
4
，
2
)，
且同时满足：①
y
sinθ
＝
x
cosθ
，②
10
x< br>2
＋y
2
＝
3
xy
，则cosθ的值等于_____ ___．
答案：
10
10

解析：由
y< br>sinθ
＝
x
cosθ
，得
y
sinθ
x< br>＝
cosθ
＝tan
θ，又
103
22
＝，即3x< br>2
x＋y
xy
＋3y
2
＝10xy，所
以
x y101
y
＋
x
＝
3
，则
tanθ
＋ta nθ＝
10
3
，即3tan
2
θ－10tanθ＋3＝0，解得ta nθ＝3或tanθ
＝
1
3
.又θ∈
?
π
?
4
，
π
2
?
?
，所以tanθ＞1，所以
tan θ＝3，所以cosθ＝
10
10
.
二、 解答题
12. 如图 ，在平面直角坐标系xOy中，
以Ox轴为始边作角α和β，α∈(0，
π
2
)，
β∈(
π
2
，π)，其终边分别交单位圆于A，
B两点．若A， B两点的横坐标分别是
3
5
，
－
2
10
.
(1) 求tanα，tanβ的值；
(2) 求∠AOB的值．

解：(1) ∵ A，B两点分别是角α，β的
终边与单位圆的交点，
∴ A，B两点的坐标A(cosα，sinα)，
B(cosβ，sinβ)．
∵ A，B两点 的横坐标分别是
32
5
，－
10
，
且α∈
?
?
0，
π
2
?
π
?
，β∈
?
?
2
，π
?
?
，

∴ cosα＝
35
，cosβ＝－
2
10
，解得sin
α＝
4
5
，sinβ＝
72
10
，
∴ tanα＝
4
3
，tanβ＝－7.
(2) ∵ tan∠AOB＝tan (β－α)＝
tanβ－tanα
－7－
4
1＋tanβtanα
＝
3
＝1
1＋（－7）×
4
，
3
又0＜α＜
π
2
，
π
2
＜β＜π，∴ 0＜β－α
＜π，
∴ β－α＝
π
4
，即∠AOB＝
π
4
.
13. 已知扇形的圆心角为α，所在圆的
半径为r.
(1) 若α＝120°，r＝6，求扇形的弧长；
(2) 若扇形的周长为24，当α为多少弧
度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．
解：(1) ∵ α＝120°＝120×
π2π
180
＝
3
，r
＝6，∴ l＝α·r＝
2π
3
×6＝4π.
(2) 设扇形的弧长为l，则l＋2r ＝24，
即l＝24－2r(0＜r＜12)，扇形的面积S＝
1
2
l·r< br>＝
1
2
(24－2r)·r＝－r
2
＋12r＝－(r－6)
2
＋36，
∴当且仅当r＝6时，S有最大值36，此时l
＝24－2×6＝ 12，∴ α＝
l12
r
＝
6
＝2.

第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

一、 填空题
1. 若角α的终边落在直线y＝kx(k＜0)
上，则
sinα
2
＋
1－cosα
＝________．
2
1－sin
2< br>θ＝
θ)sin
?
122
1－＝，∴ sin(π－
933π
122
＝
－θ
?
＝－sinθcosθ＝－×
33
?
2
?
1－sinα
cosα
答案：0
解析：原 式＝
sinα|sinα
|cosα|
＋
|
cosα
，由题 意
知角α的终边在第二、四象限，sinα与cos
α的符号相反，∴ 原式＝0.
2. 若α∈(－
π
2
，
π
3
2
)，sin α＝－
5
，则
cos(－α)的值为________．
答案：
4
5

解析：因为α∈
?
?
－π
2
，
π
2
?
?
，sin α＝
－
3
5
，所以cos α＝
44
5
，即cos(－α)＝
5
.
3. 已知sin α＋2cosα＝0，则2sinαcos
α－cos
2
α的值是________．
答案：－1
解析：由已知可得sinα＝－2cosα，即
tanα＝－2，2si nαcosα－cos
2
α＝
2sinαcosα－cos
2
α2t anα－1－4－1
sin
2
α＋cos
2
α
＝
t an
2
α＋1
＝
4＋1
＝－1.
4. 已知sinθ＝< br>1
3
，θ＝(－
ππ
2
，
2
)，则
sin(π－θ)·sin(
3π
2
－θ)的值为________．
答案：－
22
9

解析：∵ θ∈
?
ππ
?
－
2
，
2
?
?
，∴ cosθ＝
－
22
9
.
5. 已知tanθ＝2，则
si n（
π
2
＋θ）－cos（π－θ）
＝________．
sin（
π
2
＋θ）－sin（π－θ）
答案：－2
si n
?
π
＋θ
?
－cos（π－θ）
解析：
?
2
?
＝
sin
?
π
?
2
＋θ
?
?
－sin（π－θ）
cosθ－（－cosθ）2cosθ
cosθ－si nθ
＝
cosθ－sinθ
＝
22
1－tanθ
＝
1－2
＝－2.
6. 已知θ是第三象限角，且sin θ－
2cos θ＝－
2
5
，则sin θ＋cos θ＝
________．
答案：－
31
25

解析：由sin θ－2cos θ＝－
2
，sin
2
5
θ＋cos
2
θ＝1，θ是第三象限角， 得sin θ
＝－
24
25
，cos θ＝－
7
25
，则sin θ＋cos θ
＝－
31
25
.
7. 已知sin(π－α)＝log
1
π
8
4
，且α∈(－
2
，
0)，则tan(2π －α)的值为________．
答案：
25
5

12
解析：sin(π－α)＝sin α＝log
8
＝－.
43
π
又α∈
?
－，0
?
，得cos α＝1－s in
2
α＝
?
2
?
5
，tan(2π－α)＝ta n(－α)＝－tan α＝－
3
sin α
25
＝.
5
cos α
8. 已知sin θ＝2cos θ，则sinθ＋sin
2
5π
＋θ
?
－sin
2
(θ
?
6
?
π
ππ
－)＝－cos
?
－θ
?
＋cos2
?
－θ
?
－1＝－
6
?
6
??6
?
解析：由题意可知cos
?
32
－.
33
二、 解答题
11. (1) 化简：
sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]
θcos θ－2cos
2
θ＝________．
答案：
4
5

解析：由sin θ＝2cos θ，得tan θ＝
2.
sin
2
θ＋sin θ cos θ－2cos
2
θ＝
sin
2
θ＋sin θcos θ－2cos
2
θ
sin
2
θ＋cos
2
θ
＝
tan
2
θ＋tan θ－2
2
tan
2
θ＋1
＝
2＋2－2
4
2
2
＋1
＝
5
.
9. 已知sinαcosα＝
1
8
，且
π
4
＜α ＜
π
2
，
则cosα－sinα的值是________．
答案：－
3
2

解析：1－2sinαcosα＝(cosα－si nα)
2
＝
3
4
，
∵
π
4
＜α＜
π
2
，则cosα＜sinα.
∴ cosα－sinα＝－
3
2
.
10. 已知cos(
π
6
－θ)＝
3
5π
3
，则cos(
6
＋
θ )－sin
2
(θ－
π
6
)＝________．
答案：
－2－3
3

sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）
(k∈Z)；
(2) 已知α是第 三象限角，且f(α)＝
tan（π－α）cos（2π－α）sin（－α＋
3π
2
）
cos（－α－π）tan（－π－α）
.
① 化简f(α)；
② 若cos(α－
3π
2
)＝
1
5
，求f(α)的值．
解：(1) 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
sin（2nπ－α）cos[（ 2n－1）π－α]
sin[（2n＋1）π＋α]cos（2nπ＋α）
＝
sin （－α）·cos（－π－α）
sin（π＋α）·cosα
＝
－sinα·（－co sα）
－sinα·cosα
＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原 式＝
sin[（2n＋1）π－α]·cos[（2n＋1－1）π－α]
sin[（2n＋1 ＋1）π＋α]·cos[（2n＋1）π＋α]
＝
sin（π－α）·cosα
si nα·cos（π＋α）
＝
sinα·cosα
sinα·（－cosα）
＝ －1.
综上，原式＝－1.
(2) ① f(α)＝

3π
tan（π－α）cos（2π－α）sin
?
－α＋
?
2
??cos（－α－π）tan（－π－α）
－tanαcosα（－cosα）
＝＝cosα .
－cosα（－tanα）
3π
11
② ∵ cos
?
α－
?
＝，∴ －sinα＝，
sin2x
的值；
1＋sinx＋cosx
(2) 求函数y＝(sinx＋1)(cosx＋1)(x∈R)< br>的最大值，并求y取得最大值时的x值的集
合．
6
?
2
?
55
∴ sinα＝－
1
5
.
又α是第三象限角，∴ cosα＝－
26
5
.
∴ f(α)＝cosα＝－
26
5
.
12. 已知tanα＝2.
(1) 求tan(α＋
π
4
)的值；
(2) 求
sin 2α
sin
2
α＋sinαcosα－cos2α－1
的值．
tanα＋tan
π
解：(1) tan
?
π
4
?
α＋
4
?
?
＝＝
1－tanαtan
π
4
tanα＋1
1－tanα
＝
2＋1
1－2
＝－3.
(2)
sin2α
sin
2
α＋sinαcosα－cos2α－1
＝
2sinαcosα
sin
2
α＋sinαcosα－（2cos2
α－1）－1

＝
2sinαcosα
sin
2α＋sinαcosα－2cos
2
α

＝
2tanα
tan
2
α＋tanα－2

＝
2×2
2
2
＋2－2
＝1.
13. (1) 若sinx＋cosx＝
6
5
，求
解：(1) 由sinx＋cosx＝5
及sin
2
x＋cos
2
x
＝1，
得到2 sinxcosx＝(sinx＋cosx)
2
－1＝
11
25
，
∴
sin2x
1＋sinx＋cosx
＝
2sinxcosx1＋sinx＋cosx
＝
11
25
＝
1
.
1 ＋
65

5
(2) 令t＝sinx＋cosx，x∈R，
则t＝ 2sin
?
π
?
x＋
4
?
?
∈[－2，2 ]，
sinxcosx＝
t
2
－1
2
，
∴ y＝ (sinx＋1)(cosx＋1)＝sinxcosx＋
＋1＝
t
2
－1（ t＋1）
2
(sinx＋cosx)
2
＋t＋1＝
2
.
∵ t∈[－2，2]，
∴ 当t＝2时，y取得最大值，最大值
为
3
2
＋2，
此时2sin< br>?
?
x＋
ππ
4
?
?
＝2，即sin
?
?
x＋
4
?
?
＝1，
∴ x＋
π
4
＝2kπ＋
π
2
，k∈Z，∴ x＝2k
π＋
π
4
，k∈Z.
∴ x值的集合为
?
?
?
x
?
?
x＝2kπ＋
π
?
4
，k∈Z
?
?
.

第3课时 三角函数的图象和性质

一、 填空题
1. 函数y＝sinx－cosx的定义域为
_____________．
答案：
?< br>?
?
x
?
?
2kπ＋
π
5π
?4
≤x≤
2kπ＋
4
，k∈Z
?
?

解析：要使函数有意义，必须使sinx－
cosx≥0.
(解法1)利用图象，在 同一坐标系中画
出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如
图所示．在[0，2 π]内，满足sinx＝cosx的
x的值为
π5π
4
，
4
，再结合正弦、余弦函数的
周期是2π，所以原函数的定义域为
{x
?
?2kπ＋
π
4
≤x≤
2kπ＋
5π
4
，k∈Z }．

(解法2)sinx－cosx＝2sin
?
π
?
x－
4
?
?
≥0，
将x－
π
4
视为一个整 体，由正弦函数y＝sinx
的图象和性质可知2kπ≤x－
π
4
≤π＋2k π，
k∈Z，解得2kπ＋
π
4
≤x≤2kπ＋
5π
4，k∈
Z.所以定义域为
?
?
?
x
?
?
2kπ＋
π
4
≤x≤
2kπ＋
5π
?
4
，k∈Z
?
?
.
2. 设点P是函数f(x)＝sinωx(ω≠0)图< br>象C上的一个对称中心，若点P到图象C
的对称轴的距离的最小值是
π
4
，则f(x)的最
小正周期是________．
答案：π
解析：由正弦函数的 图象知对称中心与
对称轴的距离的最小值为最小正周期的
1
4
，
故f (x)的最小正周期为T＝4×
π
4
＝π.
3. 函数f(x)＝sin( 2x＋φ)(|φ|＜
π
2
)向左
平移
π
6
个单位 长度后是奇函数，则函数f(x)
在[0，
π
2
]上的最小值为______ __．
答案：－
3
2

解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)
?
π
?
|φ|＜
2
?
?
向
左平移
π
6
个单位长度后得到函数f
?
?
x＋
π
6
?
?
＝sin[2
?
ππ
?
x＋
6?
?
＋φ]＝sin
?
?
2x＋
3
＋φ
?
?
，∵
此时函数为奇函数，∴
π
3
＋φ＝kπ(k∈Z)，
∴ φ＝－
π
3
＋kπ (k∈Z)．∵ |φ|＜
π
2
，∴
当k＝0时，φ＝－
π
3
，∴ f(x)＝sin
?
π?
2x－
3
?
?
.
当0≤x≤
πππ2π2
时，－
3
≤2x－
3
≤
3
，即当
2 x－
π
3
＝－
π
3
时，函数f(x)＝sin
?< br>?
2x－
π
3
?
?
有
最小值为sin
?
π
3
?
－
3
?
?
＝－
2.
4. 函数y＝cos
2
x－2sin x的最大值与最
小值分别是________．

答案：2，－2
解析：y＝cos
2
x－2sin x＝1－sin
2
x－2sin
x＝－(sin x＋1)
2
＋2.由－1≤sin x≤1知，当
sin x＝－1时，y取最大值2；当sin x＝1时，
y取最小值－2.
5. 已知函数f(x )＝3sin(ωx－
π
6
)(ω＞0)
和g(x)＝3cos(2x＋φ) 的图象的对称中心完
全相同，若x∈[0，
π
2
]，则f(x)的取值范围< br>是________．
答案：
?
3
?
－
2
，3
?
?

解析：由两三角函数图象的对称中心完
全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，
∴ f(x)＝3sin
?
?
2x－
π
6
?
?
，那么当x∈
?
π
?
0，
2
?
?
时，－< br>ππ5π
1
6
≤2x－
6
≤
6
，∴ －2
≤
sin
?
π
?
2x－
6
?
?
≤1，故f(x)∈
?
?
－
3
2
，3
?
?
.
6. 已知函数f(x)＝2sin(
ππ
2
x＋
5
)，若对
任意的实数x，总有f(x
1
)≤f(x)≤f(x2
)，则|x
1
－x
2
|的最小值是________．
答案：2
解析：由f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)可 知，x
1
为
函数f(x)最小值点，x
2
为函数f(x)最大值点，
函数f(x)的最小正周期为T＝
2π
π
＝4，∴ |x
1
2
－x
T
2
|的最小值为
2
＝2.
7. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞
0，|φ|＜π)的部分图象如图 所示，则函数
f(x)的解析式为______________．

答案：f(x )＝2sin
?
?
2x＋
π
3
?
?

解析：由图可知A＝2，
(解法1)
T
4
＝
7π
12
－
π
3
＝
π
4
，∴ T＝π，
故ω＝ 2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又
?
π
?
3
，0
?
?
对应五点法作图中的第三个点，因
此2×
π
3
＋φ＝ π，∴ φ＝
π
3
，故f(x)＝2
sin
?
π
?
2x＋
3
?
?
.
(解法2)以
?
π?
3
，0
?
?
为第二个“零点”，
?
7π?
12
，－2
?
?
为最小值点，列方程组
?
ω ·
π
?
3
＋φ＝π，
?
ω＝2，
解得
?< br>?
π
f(x)
?
ω·
7π
12
＋φ＝
3π
2
，
?
?
φ＝
故
3
.
＝2 sin
?
π
?
2x＋
3
?
?
.
8. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，
π
3
]上的 最大值是2，则ω的值为________．
答案：
3
4

解析： 由0≤x≤
π
ωπ
3
，得0≤ωx≤
3
＜
π
3
，则f(x)在
?
π
?
0，
3
?
?< br>上单调递增，且在这个
区间上的最大值是2，所以2sin
ωπ
3
＝ 2，
且0＜
ωπ
3
＜
π
3
，所以
ωπ3
＝
π
4
，解得ω＝
3
4
.

9. 已知函数y＝sin(x＋
π13
3
)(x∈[0，< br>π
6
])
的图象与直线y＝m有且只有两个交点，且
交点的横坐标分别 为x
1
，x
2
(x
1
＜x
2
)，那么x
1
＋x
2
＝________．
答案：
7π
3

解析：∵ 当x＝0时，y＝
3
13π
2
，当x＝
6
时，y＝1，∴ 若函数y＝sin
?
π
?
x＋
3
?
?
?< br>x∈
?
0，
13π
??
6
?
?
?< br>?
的图象与直线y＝m有且只
有两个交点，则m＝1或－1＜m＜
3
2
，此
时两交点显然关于直线x＝
7π
6
对称，则x
1
＋x＝
7π7π
2
6
×2＝
3
.
10. 若函 数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间[0，
π
3
]上单调递增，在区间[
ππ
3
，
2
]上单调递减，
则ω＝ ________．
答案：
3
2

解析：由于函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的图
象经过坐标原点，由题意知f(x)的一条对称
轴为直线x＝
π
3
， 和它相邻的一个对称中心
为原点，则f(x)的周期T＝
4π
3
3
， 从而ω＝
2
.
11. 已知f(x)＝sin(ωx＋
ππ
3)(ω＞0)，f(
6
)
＝f(
π
3
)，且f(x)在 区间(
ππ
6
，
3
)上有最小值，
无最大值，则ω＝___ _____．
答案：
14
3

π
解析：依题意，x＝6
＋
π
3
π
2
＝
4
时，y
有 最小值，∴ sin
?
π
?
4
ω＋
π
3
?
?
＝－1，∴
π
4
ω
＋
π
3
＝ 2kπ＋
3π
2
(k∈Z)．∴ ω＝8k＋
14
3
(k ∈Z)．∵f(x)在区间
?
π
?
6
，
π
3
?
?
上有最小值，
无最大值，∴
π
3
－
π4
＜
π
ω
，即ω＜12，令k
＝0，得ω＝
14
3
.
二、 解答题
12. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ－
π
6
)(0
＜φ＜π，ω＞0)的图象过点(0，1)，且函数
y＝f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
.
(1) 求f(x)的最小值，并写出此时x的
值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，
求g(x)的单调递减区间．
解：∵ f(x)＝2sin
?
π
?
ωx＋φ－
6
?
?
，由条件
得T＝π，∴ ω＝2.
且sin
?
?φ－
π
6
?
?
＝
1
2
，而0＜φ＜π ，∴ φ
＝
π
3
.
∴ f(x)＝2sin
?
π
?
2x＋
6
?
?
.
(1) f(x)2x＋π
min
＝－2，此时
6
＝2kπ－
π
2
，即 x＝kπ－
π
3
，k∈Z.
(2) g(x)＝2sin
?
?
2
?
?
x－
π
6
?
?
＋π
6
?
?
＝
2sin
?
π
?
2x－
6
?
?
.
∴ 当2kπ＋
ππ
2
≤2x－
3π
6
≤2kπ＋
2
，

π5πk∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，
36
g(x)单调递减，
∴ g( x)的单调递减区间为
?
kπ＋
π
，kπ＋
5π
?
(k∈Z)．
36
??
13. 如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，< br>π
0≤φ≤)的部分图象与y轴交于点(0，3)，
2
最小正周期是π.
(1) 求ω，φ的值；
π
(2) 已知点A(，0)，点P是该函数图
2
象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，当y
0π
3
＝，x
0
∈[，π]时，求x
0
的值．
22
∵ 最小正周期T＝π，且ω＞0，
2π
∴ ω＝＝2.
T
π
(2) 由(1)知y＝2cos
?
2x＋
?
.
6
??
π
∵ A
?
，0
?
，y
0
)是PA的中点，
?
2
?
Q(x
0
，
y< br>0
＝
3
，
2
π
∴ P
?
2x
0
－，3
?
.
2
??
π
∵ 点P在y＝2cos
?
2x＋
?
的图象上，
6
??
π
∴ 2cos
?
4x
0
－π＋
?
＝3，
6
??
5π
3
∴ cos
?
4x
0
－
?
＝.
6
?
2
?
∵ x
0
∈
?
π
，π
?
，
?
2
?

解：(1) 将点(0，3)代入y＝2cos(ωx
＋φ)，得cos φ＝
3
.
2
5π
7π19π
?
∴ 4x
0
－∈
?
，
，
6
6
??
6
5π11π5π13π
∴ 4x
0
－＝或4x
0
－＝，
6666
2π3π
∴ x
0
＝或x
0
＝.
34


ππ
∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.
26
第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、 填空题
1. 计算：
________．
1
答案：
2
cos85°＋sin2 5°cos30°
＝
cos25°
cos85°＋sin25°cos30°
解析：＝
cos25°
cos（60°＋25°）＋sin25°cos30°
< br>cos25°
133
cos25°－sin25°＋sin25°
222
＝＝
cos25°

1
.
2
2. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin
18°＝__________．
1
答案：
2
解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos
16
答案：
65
π
π
解析：由题意可得α＋∈
?
，π
?
，
6
?
2
?
5π
ππβ－∈
?
－，0
?
，所以cos
?
α＋
?＝－
6
?
26
???
5π
312
，sin(β －)＝－，所以sin(α－β)＝－
5613
48°sin 18°＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝
1
2
.
3. 已知 sinα＝
5
5
，sin(α－β)＝－
10
10
，
α，β均为锐角，则角β等于________．
答案：
π
4

解析：∵ α，β均为锐角，∴ －
π
2
＜α
－β＜
π2
.又sin(α－β)＝－
10
10
，∴ cos(α－
β) ＝
310
10
.又sinα＝
525
5
，∴ cosα＝
5
，
∴ sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β )
－cosαsin(α－β)＝
5
5
×
310
10
－
25
5
×(－
102
π
10
)＝
2< br>，∴ β＝
4
.
4. 在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3
tanA·tanB，则C＝________．
答案：
π
3

解析：由已知得tanA＋tanB＝3
(tanA·tanB－1)，∴ tan(A＋B) ＝
tanA＋tanB
1－tanA·tanB
＝－3.又0＜A＋B＜π，∴
A＋B＝
2
3
π，∴ C＝
π
3
.
5. 已知α，β∈(
π5ππ
3
，
6
)，若sin(α＋
6)
＝
4
5
，cos(β－
5π
5
6
) ＝
13
，则sin(α－β)＝
__________．
sin[(α＋< br>π
6
)－(β－
5π
6
)]＝－[
45
5< br>×
13
－
?
?
－
3
5
?
?
×
?
?
－
12
13
?
?
]＝16
65
.
6. 已知α，β均为锐角，且tanβ＝
cosα－si nα
cosα＋sinα
，则α＋β＝________．
答案：
π
4

解析：∵ tanβ＝
cosα－sinα
cosα＋sinα
，∴ tan
β＝
1－tanα
1＋tanα
＝tan
?
π
?
4
－ α
?
?
.∵ α，β均为锐
角，∴ β＝
π
4
－α，即α＋β＝
π
4
.
7. 已知t an(α＋β)＝
2
5
，tan(β－
π
1
4
)＝
4
，
则
cosα＋sinα
cosα－sinα
的值为__ ______．
答案：
3
22

解析：因为
cosα＋s inα1＋tanα
cosα－sinα
＝
1－tanα
＝
tan< br>π
4
＋tanα
＝tan
?
α＋
π
1－ta n
π
?
4
?
?
，
4
·tanα
且tan
?
?
α＋
π
4
?
?
＝tan?
?
（α＋β）－
?
?
β－
π
4
?< br>?
?
?
＝
tan（α＋β）－tan
?
π
?
β－
4
?
?
，将tan(α＋
1＋tan（α＋β）·ta n
?
π
?
β－
4
?
β)
?
＝2
5
，

tan
?
?
β－
π< br>1
cosα＋sinα
4
?
?
＝
4
代入可得
cosα－sinα
＝
21
5
－
4
＝
3< br>1＋
2122
.
5
×
4
8. 若tanα＝3，α ∈(0，
π
2
)，则cos(α
－
π
4
)＝___ _____．
答案：
25
5

解析：∵ sin
2
α＋cos
2
α＝1，∴ tan
2
α＋1＝
11
cos
2
α
，∴ cos
2
α＝
tan
2
α＋1
.∵ α
∈
?
π
11
?
0，
2
?
?
，tanα＝3， ∴ cos
2
α＝
3
2
＋1
＝
10
，解得cosα＝
10
，于是sinα＝1－cos
2
10
α＝1－（
10
10
）
2
＝
310
10
，∴ cos
?
?
α－
π
4
?
?
＝
2
2
(cosα＋sinα)＝
25
5
.
9. 若ta nα＝3tanβ(0≤β＜α＜
π
2
)，则
α－β的最大值为______ __．
答案：
π
6

解析：∵ tanα＝3tanβ
?
?
0≤β＜α＜
π
2
?
?
，
∴ tanβ＞0，
∴ tan(α－β)＝
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
＝
2tanβ
1＋3tan
2
β
＝
2
1< br>.
tanβ
＋3tanβ
∵ tanβ＞0，∴
1
tan β
＋3tanβ≥
2
1
tanβ
×3tanβ＝23.
∴ 0＜tan(α－β)≤
3
3
.又y＝tanx在
?
?
0，
π
?
上单调递增，当且仅当3tan
2
2
?
β＝1 ，
即tanβ＝
3
π
3
时取等号，此时β＝
6
，t anα
＝3tanβ，即tanα＝3，此时α＝
π
3
，则α
－β的 最大值为
π
3
－
π
6
＝
π
6
.
10. 设直线2x－y＋4＝0的倾斜角为α，
则tan(α＋
π
4
)的值为________．
答案：－3
解析：由题得tanα＝2，所以tan
?
?
α＋
π
4
?
?
＝
tanα＋11－tanα
＝
2＋1
1－2
＝－3.
二、 解答题
11. 在△ABC中，已知sin(A＋B)＝
2sin(A－B)．
(1) 若B＝
π
6
，求角A的大小；
(2) 若tan A＝2，求tan B的值．
解：(1) 由条件，得sin
?
?
A＋
π
6< br>?
?
＝2sin(A
－
π
6
)，
∴
313
2
sin A＋
2
cos A＝2(
2
sin A－
1
2
cos
A)．
化简，得sin A＝3cos A，∴ tan A＝
3.
又A∈(0，π)，∴ A＝
π
3
.
(2) ∵ sin(A＋B)＝2sin(A－B)，
∴ sin Acos B＋cos Asin B＝2(sin Acos
B－cos A·sin B)．

化简，得3cos Asin B＝sin Acos B.
又cos Acos B≠0，∴ tan A＝3tan B.
又tan A＝2，∴ tan B＝
2
3
.
12. 已知α∈(
π
αα
2
，π)，且sin
2
＋cos
2
＝
6
2
.
(1) 求cos α的值；
(2) 若sin(α－β)＝－
3
5
，β∈(
π
2
，π)，
求cos β的值．
解：(1) 已知sin
αα
6
2
＋cos
2
＝
2
，两边同
时平方，
得1＋2si n
αα
31
2
cos
2
＝
2
，则sin α＝
2
.
又
π
2
＜α＜π，所以cos α＝－
1－sin
2
α＝－
3
2
.
(2) 因为
π
2
＜α＜π，
π
2
＜β＜π，所以
－
π π
2
＜α－β＜
2
.
又sin(α－β)＝－
3
5
，所以cos(α－β)＝
4
5
.
则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α
cos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－
341
2
×
5
＋
2
×
?
?
－
3 43＋3
5
?
?
＝－
10
.
13. 已知函数f (x)＝2cos
2
ωx
2
＋3sinωx
－1(ω＞0)在一个周 期内的图象如图所示，A
为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交
点，且△ABC为等腰直角 三角形．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移2个
单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩
短为原来的
1
2
，纵坐标 不变，得到函数y＝g(x)
的图象，求g(x)在[1，2]上的值域；
(3) 若f(x
6410
0
)＝
5
，且x
0
∈(
3
，
3
)，求f(x
0
＋1)的值．

解：(1) f( x)＝2cos
2
ωx
2
＋3sinωx－1＝
3sinωx＋co sωx＝2sin
?
π
?
ωx＋
6
?
?
( ω＞0)，
由题设得BC＝4，∴ f(x)的周期为8，
∴ ω＝
2ππ
8
＝
4
，
∴ f(x)＝2sin
?
π
?
4
x＋
π
6
?
?
.
(2) 由题设得g(x)＝f(2x－2)＝2sin[
π
4
(2x－2) ＋
π
6
]＝2sin
?
π
?
2
x－
π
3
?
?
，
x∈[1，2]时，
π
6
≤
ππ2π
2
x－
3
≤
3
，
∴
1
2
≤sin
?
π
?
2
x－
π
3
?
?
≤1，1≤
2sin
?
π
?
2x－
π
3
?
?
≤2，
∴ g(x)在[1，2]上的值域为[1，2]．
(3) ∵ f(x＝
6
5
，∴ sin
?
π
?
4
x< br>π
3
0
)
0
＋
6
?
?
＝< br>5
.
∵ x∈
?
410
0
?
3
，
3
?
?
，∴
πππ
2
＜
4
x< br>0
＋
6
＜π，
∴ cos
?
π
?
4
x
π
4
0
＋
6
?
?
＝－
5
，

ππ
∴ f(x
0
＋1)＝2si n
?
（x
0
＋1）＋
?

6
??
4
π
ππ
＝2sin
?
?
x
0
＋
?
＋
?

6
?
4
??
?
4


＝2
?
sin
?
?
ππππ
x
0
＋
?
＋cos
?
x
0
＋
??

6
?
6
???
4
?
4
＝－
2
.
5
第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、 填空题
1. 已知sinα＝－
3
5
，且α是第三象限角，
则tan2α的 值为________．
答案：
24
7

解析：由题意得，根据三 角函数的平方
关系cosα＝－1－sin
2
α＝－
4
5
， 所以tan
α＝
sinα
cosα
＝
3
4
，tan 2α＝
2tanα
24
1－tan
2
α
＝
7
.
2. 已知sin2α＝
1
3
，则cos
2
(α－< br>π
4
)＝
________．
答案：
2
3

1＋cos
?
2α－
π
解析：cos
2
?
2
?
?
α－
π
??
4
?
?
＝2
1＋
1
＝
1＋sin2α
3
2
2
＝
2
＝
3
.
3. 若
cos 2α
＝－
2
，则sin α
sin（α＋
7π
2
4
）
＋cos α＝__________．
答案：
1
2

解析：由已知得cos
2
α－sin
2
α
2
2
（sin α－cos α）
＝－
2
2
，整理得sin α＋cos α＝
1
2
.
4. 已知sin(α－45°)＝－
2
10
，且0°＜α
＜90°，则cos 2α的值为________．
答案：
7
25

解析：由sin (α－45°)＝－
2
10
，展开得
sin α－cos α＝－
1
.又sin
2
5
α＋cos
2
α＝1，
得sin α＝
3
，cos α＝
4
5
，则cos 2α＝cos
2< br>5
α－sin
2
α＝
7
25
.
5. 已知 sinα＋cosα＝
1
3
，则sin
2
(
π
4< br>－α)
＝________．
答案：
17
18

解 析：由sinα＋cosα＝
1
3
两边平方得1
＋sin2α＝
18
9
，解得sin2α＝－
9
，∴
1－cos
?
π
sin
2
?
π
?
2
－2α
?
?< br>1
?
4
－α
?
?
＝
－sin2α
2
＝
2
1＋
8
＝
9
17
2
＝
18
.

6. 若sin(
π
6
－α)＝
1
3
，则cos(
2π
3
＋2α)
＝________．
答案：－
7
9

解析：(解法1)cos
?
2π< br>?
3
＋2α
?
?
＝
cos
?
2π< br>?
3
＋
π
3
－
?
π
?
3< br>－2α
?
?
?
?
＝
cos
?
?π－
?
π
?
3
－2α
?
?
?
?
＝－cos
?
?
2
?
π
?
6
－ α
?
?
?
?
＝－
?
?
1－2sin
2
?
π
?
6
－α
?
?
?
?＝－
7
9
.
(解法2)∵
?
π
?
3
＋α
?
?
＋
?
π
?
6
－α?
?
＝
π
2
，∴
sin
?
π
?
6
－α
?
?
＝sin
?
π
?
2
－
?
π
?
3
＋α
?
?
?
?
＝cos
?
π
?
3
＋α
?
?
，
∴ cos
?
π
1
2π
?
3
＋α?
?
＝
3
，则cos
?
?
3
＋2α< br>?
?
＝
2cos
2
?
π
?
3
＋α
?
?
－1＝－
7
9
.
7. 设α为锐角， 若cos(α＋
π
6
)＝
4
5
，则
sin(2α＋
π
12
)的值为________．
答案：
172
50

解析：∵ α为锐角且cos
?
?
α＋
π
6
?
4
?
＝
5
，
∴ sin
?
π
3
π
?
α＋
6
?
?
＝
5
.∴ sin
?
?
2α＋
12?
?
＝
sin[2
?
?
α＋
π
ππ
π
6
?
?
－
4
]＝sin[2
?< br>?
α＋
6
?
?
]cos
4
－
cos [2
?
?
α＋
π
6
?
π
?
]si n
4
＝2sin
?
?
α＋
π
6
?
?
cos
?
π
2
π
3
?
α＋
6< br>?
?
－
2
[2cos
2
(α＋
6
) －1]＝2×
5
×
42
?
4
?
2
5
－
2
?
?
2×
?
5
?
－1
?< br>?
＝
122
25
－
72
50
＝
17 2
50
.
8. 若α∈(0，
π
2
)，cos(
π
4
－α)＝22cos2
α，则sin2α＝________．
答案：
15
16

解析：cos
?
π
?< br>4
－α
?
?
＝22cos2α＝22
sin
?
π
?
2
－2α
?
?
＝42sin
?
π< br>?
4
－α
?
?
cos
?
π
?
4
－α
?
?
，即
cos
?
π
?
4
－α
?
?
＝42sin
?
π
?
4
－α
?
π
?
cos
?
?
4
－α
?
?
.又
α∈
?
π
πππ
?
0，
2
?
?
，－
4
＜
4
－α＜
4
，所 以
cos
?
π
?
4
－α
?
π
?< br>≠0，于是42sin
?
?
4
－α
?
?
＝1 ，
sin
?
π
2
π
?
4
－α
?< br>?
＝
8
，所以sin2α＝cos
?
?
2
－ 2α
?
?
＝1－2sin
2
?
π
?
4－α
?
15
?
＝
16
.
9. 若tan2θ ＝－22，π＜2θ＜2π，
2cos
2
θ
－sinθ－1
则
2
＝________．
2sin（θ＋
π
4
）
答案：3＋22
解析：原式＝cosθ－sinθ1－tanθ
sinθ＋cosθ
＝
1＋tanθ
，
又tan2θ＝
2tanθ
＝－22，即2tan
2
1－tan2
θ
θ
－tanθ－2＝0，解得tanθ＝－
1
2
或 tan
θ＝2.∵ π＜2θ＜2π，∴
π
2
＜θ＜π.
1＋
1
∴ tanθ＝－
1
2
2
，故原式＝＝3< br>1－
1
2
＋22.
10. 已知θ∈(0，
ππ
2
2
)，且sin(θ－
4
)＝
10
，
则tan 2θ＝________．
答案：－
24
7

解析：由sin?
π
2
?
θ－
4
?
?
＝
10
，得sin θ－

π
1
cos θ＝①， θ∈
?
0，
?
，①平方得2sin
5
2
??
247
θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，
(解法3：从“幂”入手，利用降幂公式
先降次)
255
∴ sin θ＝
4
5
，cos θ＝
3
5
，∴ tan θ＝
4
3
，
tan 2θ＝
2tan θ
24
1－tan

2θ
＝－
7
.
11. 计算：sin
2
αsin
2
β＋cos
2
αcos
2
β－
1
2
cos2αcos2β＝________．
答案：
1
2

解析：(解法1：从“角”入手，复角化
单角)
原式＝sin
2
α sin
2
β＋cos
2
αcos
2
β－
1
(2cos
2
2
α－1)(2cos
2
β－1)
＝sin
2
αsin
2
β＋cos
2
αcos
2
β －
1
2
(4cos
2
α
cos
2
β－2c os
2
α－2cos
2
β＋1)
＝sin
2
αs in
2
β－cos
2
αcos
2
β＋cos
2α＋cos
2
β－
1
2

＝sin
2
αsin
2
β＋cos
2
αsin
2
β＋cos
2
β－
1
2

＝sin
2
β＋cos
2β－
111
2
＝1－
2
＝
2
.
(解法2：从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin
2
αsin
2
β＋(1－sin
2
α)cos
2
β－
1
2cos2αcos2β
＝cos
2
β－sin
2
α(cos< br>2
β－sin
2
β)－
1
2
cos2α
co s2β
＝cos
2
β－cos2β
?
?
sin
2
α＋
1
2
cos2α
?
?

＝
1 ＋cos2β
2
－
11
2
cos2β＝
2
. 原式＝
1－cos2α1－cos2β
2
·
2
＋
1＋c os2α1
2
·
＋cos2β
2
－
1
2
c os2α·cos2β
＝
1
4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α －cos2β)
＋
1
4
(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos 2β)－
1
2
cos2α·cos2β＝
111
4
＋
4
＝
2
.
(解法4：从“形”入手，利用配方法，
先对二次项配方)
原式＝(sinαsin β－cosαcosβ)
2
＋2sinα
sinβ·cosαcosβ－
1< br>2
cos2αcos2β
＝cos
2
(α＋β)＋
1
2
sin2α·sin2β－
1
2
cos2
α·cos2β
＝cos
2
(α＋β)－
1
2
cos(2α＋2β) ＝cos
2
(α＋β)－
1
[2cos
2
1
2
(α＋β)－1]＝
2
.
二、 解答题
12. 已知函数f(x )＝sin(2x＋
π
3
)＋sin(2x
－
π
3
)＋2cos
2
x－1，x∈R.
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间[－
ππ
4
，
4
]上的最< br>大值和最小值．
解：(1) ∵ f(x)＝sin 2xcos
π
3
＋cos
2xsin
πππ
3
＋sin 2x·cos
3
－cos 2xsin
3
＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin
?
π
?
2x＋
4
?
?
，

2π
∴ 函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
ππ
(2) ∵ 函数f(x)在区间
?
－，
?
上是
?
48
?
ππ
增函数，在区间
?
，
?
上是减函数，
?
84
?
πππ
又f
?
－
?
＝－1，f
??
＝2，f
??
＝1，
?
4
??
8
??
4
?
ππ
∴ 函 数f(x)在
?
－，
?
上的最大值
?
44
?
为2，最小值为－1.
13. 在平面直角坐标系xOy中，锐角α，
β的顶点为坐标原点 O，始边为x轴的正半
轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.
27
已知点P的横坐 标为，点Q的纵坐标为
7
33
.
14
(1) 求cos2α的值；
3
.
2
1
∴ cos2α＝2cos
2
α－1＝.
7
33
(3) ∵ 点Q的纵坐标为，
14
33
∴ sinβ＝.
14
13
∵ β为锐角，∴ cosβ＝.
14
27
∵ cosα＝，且α为锐角，∴ sin
7
α＝
21
，
7
43
∴ sin2α＝2sinαcosα＝，
7
∴ sin(2α－β)＝
4313133
×－×＝
714714
∵ α为锐角，∴ 0＜2α＜π.
(2) 求2α－β的值．
解：(1) ∵ 点P的横坐标为
单位圆上，α为锐角，
27
∴ cosα＝，
7



第6课时 简单的三角恒等变换

一、 填空题
2
1. 已知cos
4
α－sin
4
α＝，则cos 4α
3
＝________．
1
答案：－
9
解析：∵ cos
4
α－sin
4
α＝(sin
2
α＋cos
2
2
α)(cos
2
α－sin
2
α)＝cos 2α＝，∴ cos 4
3
2
?
2
1
2
?
α＝2cos2α－1＝2×
?
3
?
－1＝－.
9
π
2. 已知a＝sin15°cos15°，b＝cos
2
6< br>27
，P在
7
π
又cos2α＞0，∴ 0＜2α＜.
2
ππ
又β为锐角，∴ －＜2α－β＜，
22
π
∴ 2 α－β＝.
3

－sin
2
πtan30°
，c＝，则 a，b，c的大
6
1－tan
2
30°
的值等于________．
答案：
π
2
解析：由tan
?
α－
?
＝
10
4
??
小关系是________．
答案：a＜b＜c 11
解析：a＝sin15°cos15°＝sin30°＝，
tanα－1
＝2 ，解得tanα＝－3.
1＋tanα
24
b＝cos
2
π
6
－sin
2
π
6
＝cos
π
3
＝1
2
，c＝
tan30°
1－tan
2
30°
＝
1
2
tan60°＝
3113
2
，由
4
＜
2
＜
2
，
可知a＜b＜c.
3. 若
cosα
cos（α＋60°）
＝－
3
5
，则tan(α＋
30°) ＝________．
答案：－43
解析：由题意知
cosα
cos（α ＋60°）
＝－
3
5
，
整理得
133
2
c osα－
3
2
sinα＝0，所以tanα＝
133
9
，则 tan(α＋30°)＝
tanα＋tan30°
1－tanαtan30°
＝
1333
9
＋
3
1－
133
＝－43.
9
×
3
3
4. 已知tan(α－π)＝－
4
3< br>，则
sin
2
α－2cos
2
α
sin2α
＝________．
答案：
1
12

解析：根据题意得tanα＝－
4
3
，∴
sin
2
α－2cos
2
α
2
α－2cos
2
α
sin2 α
＝
sin
2sinαcosα
＝
2
tan
2α－2
?
?
－
4
3
?
?
－2
2tanα
＝
2×
?
4
＝
1
12
.
?
－
3
?
?
5. 已知tan(α－
π
4
)＝2，则sin(2α－
π
4
)
因为sin
?
?
2α－
π
4
?
?
＝
2
2
(sin 2α－cos2α)
＝
2
(2sinαcosα－cos
2
α＋si n
2
2
2
α)＝
2
×
2sinαcosα－cos
2
α＋sin
2
α
cos
2
α＋sin
2
α
＝
2
2
×
2tanα－1＋tan
2
α
2
1＋tan
2
α
＝
2
×
2×（－3）－ 1＋（－3）
2
2
1＋（－3）
2
＝
10
.
6. 已知0＜x＜
π
2
，且sinx－cosx＝
1
5< br>，
则4sinxcosx－cos
2
x的值为________．
答案：
39
25

解析：∵ 0＜x＜
π
1
2
，且sinx－cosx＝
5

①，
两边平方可得1－2sinxcosx＝
1
25
，解得
2sinxcosx＝
24
25
，∴ sinx＋cosx＝
sin
2
x＋cos
2
x＋2sinxcosx＝1＋
247
25
＝
5

②，
∴ 联立①②解得sinx＝
43
5
，cosx＝
5
，∴
43
?
3
?
2
4sinxcosx－cos
2
x＝4×
5
×
5
－
?
39
5
?
＝
25
.
7. 在斜三角形ABC中，若
11
tanA
＋
t anB
＋tanC＝0，则tanC的最大值是________．
答案：－22
解析：在斜三角形ABC中，∵ A＋B
＋C＝π，

∴ C＝π－(A＋B)，
∴ tanC＝tan(π－(A＋B))＝－tan(A＋
B)＝－
tanA＋tanB
1－tanAtanB
.
∵
1
tanA
＋
1
tanB
＋tanC＝0，∴ tanC＝ －
?
1
tanA
＋
1
tanB
?
?
＝－
tanA＋tanB
?
tanAtanB
，
∴ －
tanA＋tanBtanA＋tanB
tanAtanB
＝－
1－tanAtanB
.∴
tanAtanB＝1－tanAtanB，∴ tanAtanB＝
1
2
.
∵ tanAtanB＝
1
2
＞0，tanA与tanB同号，
∴ 在△ABC中，∴ tanA＞0，tanB＞0，
∴ tanC＝－2(tanA＋tanB)≤－
2×2tanAtanB＝－2×2×
2
2
＝－22，当
且仅当ta nA＝tanB＝
2
2
时“＝”成立，∴
tanC的最大值为－22.
8. 已知f(x)＝－
1
3
＋sinx，x
1
，x
2
是f(x)
在[0，π]上的相异零点，则cos(x
1
－x
2
)的值
为________．
答案：－
7
9

解 析：因为f(x)＝－
1
3
＋sinx，x
1
，x
2
是
f(x)在[0，π]上的相异零点，所以x
1
＋x
2
＝
π，不妨设0＜x
π
1
1
＜
2
＜x
2
＜ π，则sinx
1
＝
3
，
cosx
22
1
＝
3
，sinx
122
2
＝
3
，cosx
2
＝－
3
，所
以cos(xx
8
1
－
2< br>)＝cosx
1
cosx
2
＋sinx
1
sinx< br>2
＝－
9
＋
1
9
＝－
7
9
.
9. 已知sin 2α＝－
24
3π
25
，且α∈(
4
，π)，
则sin α＝________．
答案：
3
5

解析：∵ α∈
?
3π
?
4
，π
?
?
，∴ cos α＜0，
sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋
cos α)
2
＝1＋sin 2α＝1－
241
25
＝
25
，∴ sin
α＋cos α＝－
1
5
，同理可得sin α－cos α
＝
7
5
，∴ sin α＝
3
5
.
10. 已知sin α＝
1
2
＋cos α，且α∈(0，
πcos 2
2
)，则
α
的值为________．
sin（α－
π
4
）
答案：－
14
2

解析：由sin α＝
1
2
＋cos α，得sin α
－cos α＝
1
，∴ (sin α－cos α)
2
1
2
＝
4
，∴
2sinαcosα＝
3
4
，∴ (sin α＋cos α)
2< br>＝1＋
2sinαcosα＝
7
4
.又α∈
?
?0，
π
2
?
?
，∴ sin α＋
cos α＝
7
cos 2α
2
，∴
sin
?
?
α－
π
4
?
＝
?
cos
2
α－sin2
α
2
＝－2(sin α＋cos
2
（sin α－cos α）
α)＝－
14
2
.
二、 解答题
11. 已知函数f(x)＝tan(3x＋
π
4
)．
(1) 求f(
π
9
)的值；
(2) 设α∈(π，
3π
2
)，cosα＝－
25
5
.
若f(
α＋β
3
＋< br>π
4
)＝2，求tanβ的值．

解：(1) ∵ f(x)＝tan
?
?
3x＋
π
4
?
?
，
∴ f
?
π
3＋1
?
9
?
?
＝t an
?
ππ
?
3
＋
4
?
?
＝1－3
＝－2
－3.
(2) ∵ α∈
?
?
π，3π
25
2
?
?
，cosα＝－
5
，
∴ sinα＝－
5
5
，∴ tanα＝
1
2
.
∵ f
?
α＋β
π
?
3
＋
4
?< br>?
＝2，
∴ tan
?
?
3
?
α＋βπ
?
3
＋
4
?
?
＋
π
4?
?
＝2，
∴ tan(α＋β)＝2，
1
＋tanβ
∴
2
1－
1
＝2，∴ tanβ＝
3
4
.
2
tanβ
(另解：∴ tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
2－
1
2
＝
3
.)
1＋2×
14
2
12. 已知sin(α＋
π
2
π
4
)＝
10
，α∈(
2
，π)．
(1) 求cos α的值；
(2) 求sin(2α－
π
4
)的值．
解：(1) (解法1)因为α∈
?
π
?
2
，π
?
?
，所
以α＋
π
4
∈
?
3π5π
?
4
，
4
?
?
.
又sin
?
?
α＋
π
4
?
?
＝
2
10
，所以c os
?
π
?
α＋
4
?
?
＝
－1－ sin
2
?
π
2
?
α＋
2
4
?< br>?
＝－1－（
10
）
＝－
72
10
.
所以cos α＝cos
?
?
?
?
α＋
π
π
4
?
?
－
4
?
?
＝
cos?
?
α＋
π
4
?
?
cos
π
π
π
4
＋sin
?
?
α＋
4
?
?
sin
4
＝－
722
10
×
2
＋2
10
×
2
2
＝－
3
5
.
(解法2)由sin
?
?
α＋
π
2
4
?
?
＝
10
，得sinα
cos
π
4
＋cosαsin
π
4
＝
2
10
，
即sin α＋cos α＝
1
5
①.
又sin
2
α＋cos
2
α＝1 ②，
由①②解得cos α＝－
3
5
或cos α＝
4
5
.
因为α∈?
π
?
2
，π
?
3
?
，所以cos α＝－
5
.
(2) 因为α∈
?
π
?
2
，π
?
3
?
，cos α＝－
5
，
所以sin α＝1－cos
2
α＝
2
1－
?
?
－
3< br>5
?
?
＝
4
5
.
所以sin 2α＝2s inαcosα＝2×
4
5
×
?
?
－
3
5
?
?
＝－
24
25
，
cos 2α＝2cos< br>2
2
α－1＝2×
?
?
－
3
5
?< br>?
－1＝
－
7
25
.
所以sin
?
?
2α－
π
4
?
?
＝sin2αcos
π
4
－cos2
αsin
π
4
＝
?
?
－< br>24
25
?
?
×
2
2
－
?
?
－
7
25
?
?
×
2
2
＝－172
50
.
13. 如图，半圆形O是某景区的平面图，
其中AB长为4 km.现规划在景区内铺设一
条观光道路 ，由线段AB，BC，CD和DA
组成，其中C，D两点在半圆弧上，且BC

＝ CD.
(1) 设∠BOC＝θ，试将观光道路的总长
l表示为θ的函数，并写出定义域；
(2) 求观光道路的总长l的最大值．
∴ l＝AB＋BC＋CD＋DA＝4＋8sin< br>π
＋4cosθ，θ∈
?
0，
?
.
2
??
θ
(2) l＝4＋8sin＋4cosθ
2
θ< br>θ
＝4＋8sin＋4
?
1－2sin
2
?

2
?
2
?

θ
2
解：(1) 连结DO，
∵ ∠BOC＝θ，BC＝CD，
∴ ∠COD＝θ，∠AOD＝π－2θ.
∵ AB＝4，取BC中点M，连结OM，
θ
则OM⊥BC，∠BOM＝，
2
θ
∴ BC＝CD＝2BM＝4sin，AD＝
2
π－2θ
4sin＝4cosθ，
2



＜
θ
1
θθ
＝－8si n
2
＋8sin＋8＝－8
?
sin－
?
2
22< br>?
22
?
＋10.
π
θ
π
θ
∵ θ∈
?
0，
?
，∴ 0＜＜，0＜sin
242
2
??
2
，
2
π
θ
1
∴ 当sin＝，即θ＝时，l
max
＝10，
223
即观光道路的总长l的最大值为10 km.
第7课时 正弦定理和余弦定理

一、 填空题
1. 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，
BC＝32，则AC＝________．
答案：23
ACBC
解析：由已知及正弦定理得＝，
sin Bsin A
sin 45°
BC·sin B
32·
即AC＝＝＝23.
sin A
sin 60°
2. 设△ABC的内角A，B，C的对边分
别为 a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝
且b＜c，则b＝________．
3
，
2
答案：2
解析：由余弦定理得a
2
＝b< br>2
＋c
2
－
2bccosΑ，∴ 2
2
＝b
2
＋(23)
2
－2×b×23
×
3
，即b
2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝
2
4.∵ b＜c，∴ b＝2.
3. 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且
△ABC的面积为
____________．
答案：3
11
解析：因为S＝AB·ACsin 60°＝×
22
3
，则BC的长为
2

2×
33
×AC＝，所以AC＝ 1，所以BC
2
22
239
答案：
13
π
解析：∵ 在△ABC中，BC＝1，B＝，
3
1
△ABC的面积S＝3，∴ S
△ABC
＝
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·AC ·cos 60°＝3，所
以BC＝3.
4. 已知在△ABC中，内角A，B，C所
对边的长分别为a，b，c，a
2
＝b
2
＋c
2
－bc，
bc＝4，则△ABC的面积为________．
答案：3
解析：∵ a
2
＝b
2
＋c
2
－bc，∴ cos A＝
1
2
，
∴ A＝
π
3
.又bc＝4，∴ △ABC的面积为
1
2
bcsin A＝3.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对边的
长分别是a，b，c，若满足2bcos A＝2c－3
a，则角B的大小为________．
答案：
π
6

解析：由正弦定理得2sin Bcos A＝2sin
C－3sin A2sin Bcos A＝2sin(A＋B)－
3sin A2sin Acos B＝3sin A．∵ A∈(0，
π)，∴ cos B＝
3
2
.∵ B∈(0，π)，∴ B＝
π
6
.
6. △ABC的三个内角A，B，C所对的
边分别为 a，b，c，且asinAsinB＋bcos
2
A＝
2a，则
b
a
＝________．
答案：2
解析：∵ asinAsinB＋bcos
2
A＝2a，∴
由正弦定理，得sinAsinAs inB＋sinB(1－
sin
2
A)＝2sinA，即sinB＝2sinA，∴
b
a
＝
2.
7. 在△ABC中，BC＝1，B＝
π
3
，△
ABC的面积S＝3，则sin C＝________．
BC·BAsinB＝3，即
1
2
×1×BA×< br>3
2
＝3，
解得BA＝4.又由余弦定理，得AC
2
＝BC< br>2
＋BA
2
－2BC·BAcosB，解得AC＝13，由
正弦定理， 得
BA
sinC
＝
AC
sinB
，解得sinC＝
239
13
.
8. 在△ABC中，三个内角A，B，C所
对边的长分别为 a，b，c.若S
△
ABC
＝23，a
＋b＝6，
acos B＋bcos A
c
＝2cos C，则c＝
________．
答案：23
解析：∵
acos B＋bcos A
c
＝2cos C，由
正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin
Ccos C，∴ sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C.
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴ cos C＝
1
2
，
∴ C＝
π
3
.
∵ S
13
△
ABC
＝23＝
2
absin C＝
4
ab，
∴ ab＝8.
又a＋b＝6，∴
?
?< br>?
a＝2，
?
或
?
?
a＝4，
?
b ＝4
?
?
?
b＝2，

∴ c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝4＋16－8＝
12，∴ c＝23.
9. 在△ABC中，已知AB＝3，A＝120 °，
且△ABC的面积为
153
4
，则BC边的长为
_______ _．
答案：7

解析：由△ABC的面积为
1
2
A B·ACsin120°＝
33153
2
×
2
×AC＝
4< br>，解
得AC＝5.由余弦定理得BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－
2AB·ACcos120°＝9＋25＋15＝49，∴ BC
＝7.
10. 在△ABC中，若(a
2
＋b
2
)sin(A－B)
＝(a
2
－b
2
)sinC，则△ABC的形状是
_______ _三角形．(选填“锐角”“直
角”“等腰”或“等腰或直角”)
答案：等腰或直角
解析：由已知(a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－
b
2
)sinC，得b
2
[sin(A－B)＋sinC]＝a< br>2
[sinC－
sin(A－B)]，即b
2
sinAcosB＝a< br>2
cosAsinB，
即sin
2
BsinAcosB＝sin
2
AcosAsinB，∴ sin2B
＝sin2A，由于A，B是三角形的内角，故0
＜2A＜2π，0＜2B＜2π. 故只可能2A＝2B
或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝
π
2
.故
△ABC为等腰三角形或直角三角形．
二、 解答题
11. 设△ABC的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，a＝btanA.
(1) 求证：sinB＝cosA；
(2) 若sinC－sinAcosB＝
3
4
，且B为钝
角，求A，B，C.
(1) 证明：由a＝btanA及正弦定理，得
sinA
cosA
＝
a
b
＝
sinA
sinB
，∴ sinB＝cosA.
(2) 解：∵ sinC－sinAcosB＝sin[180°
－(A＋B)]－sinA cosB＝sin(A＋B)－
sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB－sinAc osB
＝cosAsinB，∴ cosAsinB＝
3
4
.
由(1) 知sinB＝cosA，∴ sin
2
B＝
3
4
.又B
为钝角，∴ sinB＝
3
2
，故B＝120°，
由cosA＝sinB＝
3< br>2
知A＝30°，从而C
＝180°－(A＋B)＝30°，
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝
30°.
12. 在△ABC中，a， b，c分别为角A，
B，C所对的边长，且c＝－3bcosA，tanC
＝
3
4
.
(1) 求tanB的值；
(2) 若c＝2，求△ABC的面积．
解：(1) 由正弦定理，得 sinC＝－
3sinBcosA，
即sin(A＋B)＝－3sinBcosA.
∴ sinAcosB＋cosAsinB＝－
3sinBcosA.
从而sinAcosB＝－4sinBcosA.
∵ cosAcosB≠0，∴
tanA
tanB
＝－4 ①.
又tanC＝－tan(A＋B)＝
tanA＋tanB
tanAtanB－1
，
由①可得，
3tanB
4tan
2
B＋1
＝
3
4
，
解得tanB＝
1
2
.
(2) 由(1)得， sinA＝
2
5
，sinB＝
1
5
，
sinC＝
3
5
.
2×
2
由正弦定理，得a＝
csinA
5
s inC
＝
3
＝
5
45
3
.

1145
∴ △ABC的面积为acsinB＝×
223
14
×2×＝.
5
3
13. 如图，已知A，B分别在射线CM，
2π
CN(不含端 点C)上运动，∠MCN＝，在
3
△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b， c.
(1) 若a，b，c依次成等差数列，且公
差为2，求c的值；
(2) 若c＝3，∠ABC＝θ，试用θ表示
△ABC的周长，并求周长的最大值．
（c－4）
2
＋（c－2）
2
－c
2
1
∴ ＝－，
2
2（c－4）（c－2）
恒等变形得c
2
－9c＋14＝ 0，解得c＝7
或c＝2.
∵ c＞4，∴ c＝7.
(2) 在△ABC中，
AC
＝
sin∠ABC
BCAB
＝，
sin∠BACsin∠ACB
∴
ACBC3
＝＝＝2，
sin θπ2π
??
sin
－θsin
3
?
3
?
π
∴ AC＝2sinθ，BC＝2sin
?
－θ
?
，
?
3
?
∴ △ABC的周长f(θ)＝AC＋BC＋AB
π
＝2sinθ＋2sin
?
－θ
?
＋3＝
?
3
?< br>π
13
2
?
sinθ＋cosθ
?
＋3＝2sin< br>?
θ＋
?
＋
3
?
2
?
?
2
?
3.
ππ2π
π
∵ θ∈
?
0，
?
，∴ ＜θ＋＜，
333
3
??
πππ
∴ 当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取
326
得最大值2＋3.



第8课时 解三角形应用举例

一、 填空题
1. 在相距2 km的A ，B两点处测量目
标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，
C两点之间的距离是 ________km.
答案：6
解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦
AC223
定理得＝，∴ AC＝×
sin 60°sin 45°
2
2
2
＝6.
2. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A
测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜

解：(1) ∵ a，b，c依次成等差数列，
且公差为2，
∴ a＝c－4，b＝c－2.
2π
1
∵ ∠MCN＝，∴ cosC＝－，
32
∴
a＋b－c
1
＝－，
2ab2
222

度为15
向山顶前进100 m后，又从点B测
得斜度为假设建筑物高50 m，设山
坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝
________．

答案：3－1
解析：在△ABC中，AB ＝ 100 m , ∠
CAB ＝15°， ∠ACB ＝ 45°－15°＝ 30°.
由正弦定理得
100BC
＝，∴
sin 30°sin 15°
BC ＝ 200sin 15°.
在△DBC中，CD＝50 m，∠CBD＝45°，
∠CDB＝90°＋θ，
由正弦定理得
200sin 15°
50
＝，
sin 45°sin（90°＋θ）
∴ cos θ＝3－1.
3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，
CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平
面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD
的张角为________．

答案：45°
解析：依题意可得AD＝2010 m，AC
＝305 m，又CD＝50 m，所以在△ACD
中，由余弦定理，得cos∠CAD＝
AC
2
＋AD
2
－CD
2
＝
2AC·AD
（305）2
＋（2010）
2
－50
2
6 000
＝＝
2×305×20106 0002
2
.
2