高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

数系的扩充和复数的概念 教学设计
【学习目标】
1．知识与技能： < br>了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的
有关概 念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．
2过程与方法：
通过问 题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数
形式的合理性，使学 生对数的概念有一个初步的、完整的认识．
3．情感、态度与价值观：
通过问题情境，体会 实际需求与数学内部矛盾在数学扩充过程中的作用，以及书与现实世界
的联系。
【教学目的】
（1） 了解引进复数的必要性，理解并掌握复数的有关概念；
（2） 教学同时传授学生转化的数学思想；
（3） 教会学生提出问题、解决问题，学会学习。
【教学重点】
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
【教学难点】
虚数单位
i
的引进及复数的概念。
【教学方法】
采用了预习准备；引导探索，多媒体演示，练习多种手法相结合的教学方法
【授课形式】新授课 （1课时）
【教学过程】
引入新课
请同学们回答以下问题：
(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？
(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？
(3)在有理数集Q中，方程x－2＝0有解吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．
活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；
2

问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；
问题(3)在有理数集中，方程x－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．
数集的每 一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分
数解决了在整数集中不 能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解
决了开方开不尽的矛盾．
提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？
每一次扩充的 共同特征是什么？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．
活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．
扩充 特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换
律和结合律，乘法 对加法满足分配律．
设计意图
回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．

探究新知
提出问题：方程x＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x＋1＝ 0在新的
数集中有解？
活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．
学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．
类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特 点，在实数集中方程x＋1＝0无解，需要引进“新
数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i 满足两个条件：(1)i是方程x＋1＝0
的根，即i＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法 的交换律、结合律以及乘法对加法
的分配律．
设计意图
面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．

提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数
a与 实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？
活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘 法的运算，然后教师引导，更正不
正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．
2
2
2
22
2

活动成果：a＋i，bi，a＋bi.
根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从
而 都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．
提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？
写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.
活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．
活动成果：形如a＋bi (a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a和
新数i可以看作是a＋bi (a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.
实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．
我们把形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C
叫做复数集，即C＝{a ＋bi|a，b∈R}．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
设计意图
让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道 复数的
代数形式及有关概念．

理解新知
提出问题：对于复数z＝a＋ bi，当且仅当a，b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，
为纯虚数？
活动设计：学生思考、讨论，师生总结．
活动结果：当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi是 实数；当且仅当a＝b＝0时，复数z＝a＋
bi为0；当且仅当b≠0时，复数z＝a＋bi是虚数； 当且仅当a＝0且b≠0时，复数z＝a
＋bi为纯虚数．
设计意图
让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z＝a＋bi为实数、虚数和纯虚数的充要条件
．
提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R与复数集C有怎样的关系？你能类比实数的 分
类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的
关 系．

活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．
活动结果：实数集R是复数集C的真子集，复数z＝a＋bi可以分类如下：
?
?< br>实数
复数z
?
?
虚数
?
b＝0
b≠0当a＝ 0时为纯虚数


复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：

设计意图
让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．
提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？
活动设计：学生讨论探究a＋bi＝c＋di时，实部和虚部应满足的条件，教师补充．
活动 结果：若a＋bi＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则a＝b且c＝d，即两个复数相等的充
要 条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0
?
a＝0且b＝0.

设计意图
通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两 复数相
等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a，b的值．
提出问题：任意两个复数可以 比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请
说明理由．
活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．
学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大
小．
活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，
两 个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．

练一练：
1、断下列命题是否正确
(1)当
z
∈C 时,
z
≥0
2

（2） 若
a>b
, 则
a+
i
>b+
i
.

（3）若a,b 为实数，则Z=a+bi为虚数
（4）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
2.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出实部和虚部
1
①2＋3i；②－3＋i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
2

例1实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
思路分析：首先要在变化中认识复数代数形式的结 构，正确判断复数的实部和虚部，因为
m∈R，所以m＋1，m－1都是实数，分别为实部、虚部；然后 由复数z＝a＋bi是实数、虚数
和纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m的取值．
解：(1)当
m
－1=0，即
m
=1时，复数
z
是 实数；
(2)当
m
－1≠0，即
m
≠1时，复数
z
是虚数；
(3)当
m
+1=0，且
m
－1≠0时，即
m
=－1时，复数
z
是纯虚数。
学生总结归纳
巩固练习:当m为何实数时，复数 m?+m-2+(m?-1)i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

例2 已知(2
x
－1)+
i< br>=
y
－(3－
y
)
i
，其中
x
，< br>y
∈R，求
x
与
y
.
思路分析：根据两复数相等的 定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并
确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的 充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方
程组，然后解方程组求出参数的值．
?
?
2x－1＝y，
解：根据复数相等的定义可得，
?
?
?
1＝－3－y，

5
解得x＝，y＝4.
2
学生总结归纳：转化的数学思想

课堂小结：
给学生5钟的时 间回顾总结，亦可讨论，落实课堂初设立的三个学习目标是否达成，然后提
问，学生总结
1．内容知识：

2．解题规律方法：
3．思想方法：

当堂小测：
1、若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a＝______.
2、若复数 (a-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数, 则实数a的值为 ( )
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
2
2
3、x-y+(y-1)i=2 i,则x=（ ），y=（ ），其中x，y?R。

课后作业：课本 习题3.1 P119：A组1.2

从心理特征来说，这一阶段的学生逻辑思维从经验型逐渐像理论型发展，观察能力、记
忆能力和 想象能力也随着迅速的发展。一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，一方
面，要创造条件和机会 ，使他们的注意力始终集中在课堂上。
从学生的知识技能基础来看，在之前学习经历过三次 数系的扩充，在这些基础上，对于
学习复数的引入及相关概念都是很好的铺垫性知识。
从学生活动经验基础来看，在相关的知识学习的过程中，学生已经具有解决一些实际问
题的能力，获得了 探究新的知识的基础；同时，在以前的学习中学生经历了很多合作学习的
过程，具有了一定的合作学习的 经验，具备了一定的合作交流能力。
但本节内容对学生来说是陌生的，因此很多学生对此学习表现出困 惑．复数的概念如果
单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，要使学生通过学习本节内容 后，达
到《新课标》所规定的要求并非易事，因此在教学中要根据学生的实际情况通过大量的实例，将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数
集的扩充 是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了
解数的发展过程和规律 ，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容
易积极主动地建构虚数的概念、复数 的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．不可期待
一蹴而就．要通过解题，逐步理解掌握有关方法与 思想的内涵，避免陷入烦琐的计算与人为
技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程．教师要 充分阅读《新课标》，深刻
理解本节的编写意图．

< br>本课题从提出问题(用什么方法解决方程x
2
＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学 生的
认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望。
本课题的教学重点是复数概念、复数分类、复数相等，学生在学习中思考、应用。
本课题的难 点在复数概念的理解，如何引导学生开展探索，通过设置问题，引导学生讨
论合作探究，运用幻灯片、采 用类比的手段，逐步引导学生深入探究，课堂探究过程很顺利，
较好的完成了设计的教学任务。让学生参 悟道理，领会精神。
一、“教”的效果分析：
1、在本课题的教学中，紧密联系生活实际， 本课时设计注重以学生为主体，改变学生学习
方式，提高学习质量．为了发挥教学过程的整体教育功能， 保持教学系统的最大活力，在教
学中综合运用多种教学方法，形成良好的整体结构，发挥教学的最大效益 ．
2、本课时设计根据近几年高考特点适当对例题、习题做了一些拓展，目的是让学生进一步
理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．但严格控制了题目难度及题目数量，
以大多数学 生的接受水平作为参考依据．
3、本课时设计没有单纯从教学内容出发而进行设计，而是注重了对深 层次的教学目的的考
虑．这正是值得我们深思的问题，否则，我们的教学将只停留在知识内容或方法上， 而忽视
能力和素质要求，缺乏深层次的思考．
二、“学”的效果分析：
1、学生通 过本节课的学习，认识到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展
的需要，解决了在原有数 集中某种运算不是永远可以实施的矛盾。
2、学生思维不灵活对于解题的思路步骤，需要教师进行点拔以后才能有所领悟。
总之，本课 时设计体现新课标理念．由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思
考交流与动手实践，让学生养 成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、
培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精 神．

1、本节课是高中数学人教A版选修2-2 第3.1.3数系的扩 充和复数的概念。从
内容上看它是学生首次接触的新概念新内容。从思想层面看，本节课突出本现了类比、转化等数学思想。从重要性来看，复数的概念是复数这一章的基础，复数的几
何意义及基础运 算都是围绕复数的代数表示形式展开的．
2、本节为1个课时．教材通过三个环节完成了对实数系的扩 充过程：(1)提出问题(用什么
方法解决方程x＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲 突，激发学生扩充实数
系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满 足原来的运算
律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i＝－1成立， 满足
原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．而复数的
概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、
实部、虚部 的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中通过例题的
探究和变式训练，以促进 对复数实质的理解，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．通
过问题情境，体会实际需求与数学内 部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的
作用以及数与现实世界的联系．

2
2

1、若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a＝______.
2、若复数 (a-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数, 则实数a的值为 ( )
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
2
2
3、x-y+(y--1)i=2 i,则x=（ ），y=（ ），其中x，y?R。

教学就是教与学，两者是相互联系，不可分割的，有 教者就必然有学者。学生是被教
的主体。因此，了解和分析学生情况，有针对性地教，对教与学的情况， 我作了以下反思。
在教学的设计中要充分为学而教，以学生如何有效获取知识，提高能力的标准来设计 教
学，在教学中，备课是一个必不可少，十分重要的环节，备学生，又要备教法。根据我们学
生 的实际情况，和备课组其他老师商量后决定通过实例，复习前三次数系的扩充，引导学生
思考每一次扩充 的主要原因是什么，每一次扩充的共同特征是什么，后提出问题(用什么方
法解决方程x
2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系
的欲望。