高三数学毕业班课本知识点整理归纳之

高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十一
第十一章 圆锥曲线

一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个 定点之间的
距离）的点的轨迹，即|PF
1
|+|PF
2
|=2a (2a>|F
1
F
2
|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的 距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0点的轨迹（其中定点不在定直线上）， 即
|PF|
?e
(0d

222222+
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c
1
: x+y=a, c
2
: x+y=b, a, b∈R且a≠b。从原
点出发的射线交圆c
1
于P，交圆c
2
于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两
条线的 交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标 系，由定义
可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
x
2
y
2
??1
(a>b>0)，
a
2
b
2
?
x?acos
?
参数方程为
?
（
?
为参数）。
y?bsin
?
?
若焦点在y轴上，列标准方程为
y
2
y
2
?
2
?1
(a>b>0)。
2
ab
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
x
2
y
2
??1
，
a
2
b2
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别
为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为
a
2
a
2
c
222
x??
，与右焦点对应 的准线为
x?
；定义中的比e称为离心率，且
e?
，由c+b=a
c c
a
知0椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
x
2
y
2
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆
2
?
2
?
1(a>b>0), F
1
(-c, 0), F
2
(c, 0)是它的两焦
ab
点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF
1
|=a+ex, |PF
2
|=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x
0
, y
0
)的切线方程为
x
0
xy
0
y
?
2
?1
； a
2
b

2）斜率为k的切线方程为
y?kx?a
2
k
2
?b
2
；
3）过焦点F
2
(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
2ab
2
l?
2
。
a?c
2
cos
2
?
6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF
1
|-|PF
2
||=2a(2a<2c=|F
1
F
2
|, a>0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
x
2
y
2
?
2
?1
，
2
ab
参数方程为
?
?
x?asec
?
（
?
为参数）。
?
y?btan
?
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
y
2
x
2
?
2
?1
。
2
ab
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
x
2
y
2
??1
(a, b>0),
a
2
b
2
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、
a
2
a
2
,x?.
离心率右 焦点为F
1
(-c,0), F
2
(c, 0)，对应的左、右准线方程分别 为
x??
cc
x
2
y
2
ck
222
e?
，由a+b=c知e>1。两条渐近线方程为
y??x
，双曲线
2?
2
?1
与
ab
aa
x
2
y
2
?
2
??1
有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则 称为等轴双曲
2
ab
线。
x
2
y
2
9． 双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线
2
?
2
?1
，F< br>1
（-c,0）, F
2
(c, 0)
ab
是它的两个焦点。 设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF
1
|=ex+a,
| PF
2
|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF
1
|=-ex-a ，|PF
2
|=-ex+a.
2ab
2
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是
2
。
22
a?ccos
?
1 0．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x
轴与l相交于K ，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F
坐标为
(pp
,0)
，准线方程为
x??
，标准方程为y
2
=2 px(p>0)，离心率e=1.
22
p
；
2
2p
。
2
1?cos
?
11．抛物线常用结论：若P(x
0
, y
0
)为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=
x?
2）过点P 的切线方程为y
0
y=p(x+x
0
)；
3）过焦点倾斜角为θ的 弦长为
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯
一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的 距离的比为常数e的点P，若0则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一 支；若e=1，则点P的轨迹为抛
物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为
?
?二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
ep
。
1?ecos?
x
2
y
2
??1
的左焦点，点P为椭圆上的动点，当 例1 已知定点A（2，1），F是椭圆
2516
3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P的坐标。
[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=
5
2
?4
2
=3,
e?
c3
?
.椭圆左准线的方程为
a5
x??
2541
，又因为，过P作
??1
，所以点A在椭圆内部 ，又点F坐标为（-3，0）
32516
|PF|3
5
?e?
，则| PF|=|PQ|。
|PQ|5
3
PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+
5
|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3 |AM|(AM
?
左准线于M)。
3
所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时 ，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得
x??
515515
, 1)
，又x<0，所以点P坐标为
(?
44
x
2
y
2
例2 已知P，
P'
为双曲线C：
2
?
2
? 1
右支上两点，
PP'
延长线交右准线于K，PF
1
ab
延 长线交双曲线于Q，（F
1
为右焦点）。求证：∠
P'
F
1
K=∠KF
1
Q.
[证明] 记右准线为l，作PD
?
l于D ，
P'E?l
于E，因为
P'E
PD，则
|PK||P'K|
?
，
|PD||P'E|

又由定义
|PF
1
||P'F
1
|
|PF
1
|
|PD||PK|
? e?
，所以，由三角形外角平分线
??
|PD||P'E|
|P'F
1
|
|P'E||P'K|
定理知，F
1
K为∠PF
1P的外角平分线，所以∠
P'F
1
K
=∠KF
1
Q。
2．求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一] 利用定义 ，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
x
2
y
2
设椭圆方程：
2
?
2
=1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0 ).设另一焦点为
F'
。连结
AF'
，OP，
ab
则
OP
?
11
AF'
。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A
F'
|)=a.
22
c
,0)
2
所以点P的轨迹是以F， O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(
x
2
y
2
平移，得到中心在原点的椭圆：
2
?
2
?1
。由平移公式 知，所求椭圆的方程为
ab
44
c
4(x?)
2
2
2
?
4y
?1.

a
2
b
2
[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x
1
, y
1
)，则
x?
x
1
?cy
,y?
1
，即x
1
=2x+c, y
1
=2y.
22
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2
又因为点A在椭圆
2
?
2
?1
上，所以
2
?
2
?1.
代入得关于点P的方程为
abab
c
??
4
?
x?
?
4y
2
2
?
?
c
?
?
。它表示中心为
??1
?
?,0
?
，焦点分别为F和O的椭圆。
a
2
b
2
?
2
?
例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此
动圆圆心P的轨迹。
[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-
y-2
aa
,0), B(x+,0), C(0,
22
bb
), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为22
a
2
b
2
a
2
?b
2
2 22
x??y?.
，即
x?y?
444
2
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；
当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；
当a

例5 在坐标平面内，∠AOB=
?
，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨
3
迹方程。
[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ< br>-
?
?
33
?
)),设外心为P(x,y)，由中点公式知O B中点为M
?
,tan
?
?
。
3
?
22
?
3
?
?
?
?
?
?tan
??tan
?
?.
再由
PM?OB
得
??
?
??
2
?
3
?
?
?
由外心性质知
y?
3
y?tan
?
2
×tanθ=-1。结合上式有
3
x?
2
2
?
3
?
?
tan(
?< br>?)
?tanθ=
?
?x
?
.
①
3
?
2
3
?
又 tanθ+
tan(
?
?
又
3?tan
?
3
)
=
2
y.
②
3
?
?
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?
?
?
?
?
.

3 3
?
??
?
所以tanθ-
tan(
?
?
?
?
?
?
?
?
)
=
3
?
1?tan
?
?tan
?
?
?
?
?
两边平 方，再将①，②代入得
3
3
?
?
?
?
(x?4)< br>2
y
2
??1
。即为所求。
412
3．定值问题。
x
2
y
2
例6 过双曲线
2
?
2
?1
(a>0, b>0)的右焦点F作B
1
B
2
?x
轴，交双曲线于B
1
，B
2
两 点，
ab
B
2
与左焦点F
1
连线交双曲线于B点，连结B< br>1
B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。
[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x
0
, 0), (c, 0 )，则F
1
，B
1
，B
2
b
2
b
2
的坐标分别为(-c, 0), (c,
?
), (c, )，因为F
1
，H分别是直线B
2
F，BB1与x轴
a
a
的交点，所以
c?
abab?acsin
?
,x
0
?.
①
2asin
?
?bcos
?
asin
?
?bcos
?
a
2
b(b?csin
?
)
所以
cx
0
?

2222
2asin
?
?ab sin
?
cos
?
?bcos
?

a
2
b(b?csin
?
)
?
2

2222
asin
?
?absin
?
cos
?
?b?csin
?
a
2
b(b?csin
?
)
?
。
a sin
?
(asin
?
?bcos
?
)?(csin
?
?b)(csin
?
?b)
由①得
asin
?
?bcos
?
?
a(b?csin
?
)
,

x
0
代入上式得
cx
0
?
a
2
b
a2sin
?
(csin
?
?b)
x
0
,

a
2
即
x??
（定值）。
c
注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
2
例7 设抛物 线y=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在
准线上，且BCx 轴。证明：直线AC经过定点。
?
y
1
2
[证明] 设
A
?
?
2p
,y
1
?
2
??
y< br>2
?
?
p
??
p
?
???
C?,y F
，则，焦点为
,B,y
???
,0
?
，所以
2< br>??
2p
2
?
2
???
2
?
???
2
?
y
2
?
y
1
2
y
1
2
p
p
?
p
?
?
OA?(,y
1
)
，
OC?
?
?,y
2
?
，
FA ?(?,y
1
)
，
FB?
?
?,y
2
?< br>。由于
?
2p2p2
?
2
?
?
2p2
?
2
?
y
1
y
2
p
?
y
1
2
y
2
pp
FAFB
，所以
y
1?
y
1
=0，即
(y
1
?y
2
)?
?
?
?y
2
-
y
2
?
??
=0。因为
2p22p2
2p2
??
?
y
1
y
2
p
?
y
1
y
2
p
y
1
2
?
p
?
?
??0
。所以
?
y?
y
1
?y
2
，所以
?y?0
，即
?< br>?
?
y
1
?0
。
2
1
??
2p22p
2
?
?
2
?
?
2p
所以
OAOC
，即直线AC经过原点。
x
2
y
2
11
?
例8 椭圆
2
?
2
?1
上有两点A，B，满足OA
?
OB，O为原点，求证：|OA|
2
|OB|
2
ab
为定值。
[证明] 设 |OA|=r
1
,|OB|=r
2
,且∠xOA=θ,∠xOB=
?
2
?
?
，则点A，B的坐标分别为A(r
1
cos
θ, r
1
sinθ),B(-r
2
sinθ,r
2
cos θ)。由A，B在椭圆上有
r
1
2
cos
2
?
r
1
2
sin
2
?
r
2
2
sin< br>2
?
r
2
2
cos
2
?
??1,? ?1.

2222
abab

1cos
2
?< br>sin
2
?
即
2
?
①
?
22
r
1
ab
1sin
2
?
cos2
?
??.
②
222
r
2
ab①+②得
1111
???
（定值）。
2222
|OA||OB|ab
4．最值问题。
22
例9 设A ，B是椭圆x+3y=1上的两个动点，且OA
?
OB（O为原点），求|AB|的最大值与< br>最小值。
[解] 由题设a=1，b=
r
3
11
,记|O A|=r
1
,|OB|=r
2
,
1
?t
，参考例8 可得
2
?
2
=4。设
3
r
1
r
2
r
2
m=|AB|=
r
1
?r
2
?
2
22
1
2
1111
(r
1
?r
22
)(
2
?
2
)?(2?t
2
?
2< br>)
,
44
r
1
r
2
t
1111cos
2
?
sin
2
?
1a
2
?b
2
22
2
??
因为
2
?
，且a>b，所以 ，所以
???sin
?
a
2
r
1
2
b2
r
1
a
2
b
2
a
2
a2
b
2
ba1
?
b
2
b≤r
1
≤a，同理b≤r
2
≤a.所以
?t?
。又函数f(x)=x+在
?
2
abx
?
a
?
,1
?
上单调递减，在
?
?
a
2
?
ba
1,
上单调递增，所以当 t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|
t?
?
2< br>?
ab
b
??
取最大值
23
。
3
3
3
22
，若圆C：
x?(y?)?
1
2
2
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为
上点与这椭圆上点的最大距离为
1 ?7
，试求这个椭圆的方程。
[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐 标为
?
0,
?
，半径|CA|=1，因
为|AB|≤|BC|+|C A|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最
大值
1?7
，所以|BC|最大值为
7.

?
?
3
?
2
?
因为
e?
3
；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长 分别为2t,
3t
,t，椭圆方程为
2

x
2
y
2
2
??1
，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC |=(2tcos
22
4tt
91
2
3
??
222 2
θ)+
?
tsin
?
?
?
=3tsinθ-3t sinθ++4t=-3(tsinθ+)+3+4t.
42
2
??
22
19
22
，则当sinθ=-1时，|BC|取最大值t+3t+
?7
，与题设不符。
24
11
222
若t>,则当sinθ=
?
时，|BC|取最大值3+4t，由3+4t=7得t=1.
22t
若
t?
x
2
?y
2
?1
。 所以椭圆方程为
4
5．直线与二次曲线。
2
例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
2
[解] 抛物线y=ax-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y =0对称两点的
条件是存在一对点P(x
1
,y
1
)，
P'
(-y
1
,-x
1
)，满足y
1
=a
x< br>1
?1
且-x
1
=a(-y
1
)-1，相减得
2
2
1
.

a
113
2
所以
a y
1
?y
1
??1?0.
此方程有不等实根，所以
??1? 4a(?1)?0
，求得
a?
，
aa4
x
1
+y< br>1
=a(
x
1
?y
1
),因为P不在直线x+y=0 上，所以x
1
+y
1
≠0,所以1=a(x
1
-y
1
)，即x
1
=y
1
+
22
即为所求。
x
2
?y
2
?1
相交，例12 若直线y=2x+b与椭圆（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，
4
求b的值。
22
[解] 二方程联立得17x+16bx+4(b-1)=0.由Δ>0，得
?1 7
17
；设两交点为
417?b
2
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)，由韦达定理得|P Q|=
1?k|x
1
?x
2
|?5?
。所以当b=0
17
2
时，|PQ|最大。
三、基础训练题
1．A为半径是R的定圆⊙ O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点
P的轨迹是________. 2
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m(>0)，则动点的轨迹是________.
x
2
y
2
??1
上有一点P，3．椭圆它到左准线的距离是 10，它到右焦点的距离是________.
10036
x
2
y
2
??1
，则k的取值范围是________. 4．双曲线方程
|k|?25?k

x
2
y
2
??1
，焦点为F
1，F
2
，椭圆上的点P满足∠F
1
PF
2
=60
0
，则ΔF
1
PF
2
的面积是5．椭圆
10064
________.
x
2
?y
2
?1
所截的线段MN恰 被点A6．直线l被双曲线（3，-1）平分，则l的方程为________.
4
7．ΔA BC的三个顶点都在抛物线y=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线
的焦点重合 ，则直线BC的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和 3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，
则双曲线方程为________.
2
9．已知曲线y=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交
0
点的直线的倾斜角为45，那么a=________.
10.P为等轴双曲线x-y= a上一点，
222
2
|PF
1
|?|PF
2
|的取值范围是________.
|PO|
x
2
y
2
x
2
y
2
11．已知椭圆
2
?
2
?1与双曲线
2
?
2
?1
有公共的焦点F
1
，F< br>2
，设P是它们的一个
a
1
b
1
a
2
b
2
焦点，求∠F
1
PF
2
和ΔPF
1
F
2
的面积。
12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为
r
)；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离 |MP|，|NQ|
2
|MP||NQ|
满足
??1.
求证：|AM |+|AN|=|AB|。
AMAN
T，设|AT|=2a(2a<
y
2< br>?1.
过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P
1
和P
2< br>，求13．给定双曲线
x?
2
2
线段P
1
P
2
的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x+4y=64共焦 点，它的一条渐近线方程是
x?3y
=0，则此双曲线的标
22
准方程是__ _______.
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的 射影分别
是A
1
，B
1
，则∠A
1
FB
1
=_________.
x
2
y
2
3．双曲线
2
?
2
?1
的一个焦点为F
1
，顶点为A
1
，A
2
，P是双曲线上任一点，以|PF
1
|为
ab
直径的 圆与以|A
1
A
2
|为直径的圆的位置关系为_________.
4．椭圆的中心在原点，离心率
e?
1
，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为
3
-1，M到此准线异侧的焦点F
1
的距离为_________.
x
2
y
2
5．4a+b=1是直线y=2x+1与椭圆
2< br>?
2
?1
恰有一个公共点的_________条件.
ab
22

2
?
?
x?m?2t
6．若参数方程
?
（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条
?
?
y?2m?22 t
直线的方程是_________.
x
2
y
2
??1< br>总有公共点，则m的范围是7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
5m
___ ______.
x
2
y
2
??1
的左焦点，且被双曲线截 得线段长为6的直线有_________条. 8．过双曲线
96
(x?3)
2y
2
??1
相交于A，B两点，若以AB为直径的圆9．过坐标原点的直线l与椭 圆
62
恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.
222 2
10．以椭圆x+ay=a(a>1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三
角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.
x
2
y
2
11．求椭圆
2
?
2
?1
上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。
ab
x
2
y
2
12．设F，O分别为椭 圆
2
?
2
?1
的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，< br>ab
点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。
x
2
y
2
?1
(a>0)，抛物线C
2
的顶点在原点O，C
2
的焦点是C
1
的左13．已知双曲线C
1
：
2
?< br>2
a2a
焦点F
1
。
（1）求证：C
1
，C
2
总有两个不同的交点。
（2）问 ：是否存在过C
2
的焦点F
1
的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值 ？若存在，
求直线AB的方程与S
ΔAOB
的最值，若不存在，说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=( x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取
值范围是_________.
2．设O为抛 物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积
为___ ______.
x
2
y
2
?
2
?1
2< br>b
3．给定椭圆
a
，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP< br>?
OQ，
则离心率e的取值范围是_________.
x
2
y
2
?
2
?1
2
b
4．设F1，F2分别是双曲 线
a
(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过
F1作∠F1PF2平分 线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.

1
5．ΔABC一 边的两顶点坐标为B（0，
2
）和C（0，
?2
），另两边斜率的乘积为2
，
?
若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_____ ____.
6．长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M 到x轴的最
短距离等于_________.
7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b ),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直
线AM，BM与抛物线的另一 个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，
此定点坐标为_________ .
x
2
y
2
a
2
?2b
2
?< br>2
?1
2
3
b
8．已知点P（1，2）既在椭圆
a< br>内部（含边界），又在圆x2+y2=外部
（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_ ________.
x
2
y
2
??1
3
9．已知 椭圆
4
的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、
右顶 点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨
迹。
x
2
?y
2
?1
2
10．设曲线C1：
a
（a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。
（1）求实数m的取值范围（ 用a表示）；
1
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当02< br>时，试求ΔOAP面积的最大值
（用a表示）。
11．已知直线l过原点，抛物线C的 顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）
和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直 线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1．在四边形ABCD中，对角线AC平分 ∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长
DF交BC于G，求证：∠GAC=∠EAC 。
2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶
点坐标都是有理数。
3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1 )，在AB0的延长线上任取
点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧
P
0Q
0
交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0
为半径作圆弧Q0P1 交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的
延长线于Q1；以 C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1
点
P
0
'
，交AB0的延长 线于
P'
0
。求证：（1）
P'
0
与点P0重合，且圆弧P 0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。
4．在坐标平面内，从原点出 发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之
?
间 的夹角）α(α∈[0,π ],α≠
2
)射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所

有这 些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这
个交点为正交点。证 明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的
方程（确定变量取值范围）。 5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。若CP
?
BP，求证：PD=AE+AP。
6．已知BC
?
C D，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，
CQ上找一 点S，使QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基础训练题
1．圆 。设AO交圆于另一点
A',A''
是A关于
A'
的对称点。则因为AB?BA',AP?A''P
，
所以P在以
AA''
为直径的圆上。 2．圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点，则
?
|kx?y|
??
|?kx?y|
?
??
?
??
? m
2
???
22
?
?
k?1
??
1?k< br>?
。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。
22
8
3．12．由题设a =10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×
10
=8,所以P到右焦点的
距离为20-8=12。
4．-25或-2 643
.
3
5.设两条焦半径分别为m,n，则因为|F1F2|=12,m+n=2 0.由余弦定理得
mn?
122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3m n=144.所以
256
3
，
S
?PF
1
F
2
?
13643
mn??.
223

2
x
1
2
x
2
22
?y
1
?1,?y
2?1.
4
6．3x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
4
两式相减得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
4
-(y1+y2)(y1-y2)=0.由
x
1?x
2
y?y
2
?3,
1
??1
22
，得
y
2
?y
1
3
3
??
?
4< br>。故方程y+1=
4
(x-3).
x
2
?x
1

y
1
?y
2
?8
3
7.-4.设B(x 1,y1),C(x2,y2)，则=0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为
y
2< br>?y
1
y
2
?y
1
32
?
2
???4.
2
x
2
?x
1
y
2
y
1
y
1
?y
2
?
3232

?
3x?4y?2?0,
(y?1)
2
(x?2)
2
?
?3x?4y?10?0
得
916
8．=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组
?
(y?1)
2
(x?1)
2
4
?
y??
2
ab
2
=1。
5
中心为(2,1)，又准线为，知其实轴 平行于y轴，设其方程为
y?1x?1aa3
???
b
=0。所以y-1=< br>b
(x-1).由题设
b4
，将双曲线沿向量其渐近线方程为
a
m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为
y
2
x
2
?
22
ab
?
x'?x?2,
?
y'?y?1
平移后 =1。由平移公式
?
9a
2
a3
y???
?
5c< br>b4
，解得a2=9，b2=16，故双曲线为准线为，再结合
(y?1)
2< br>(x?2)
2
?
916
=1。
9．2．曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),
2< br>?
?
y?ax,
y
1
?y
2
?
k?
?
(2?y)
2
?a(2?x)
x
1
?x
2
=
?
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而
a(y1
?y
2
)
aa
??
2
y
1
2
?y
2
y
1
?y
2
2
=1，所以a=2 .
|PF
1
|?|PF
2
|
?t
|PO|
10．（2，
22
]。设P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
22x
1
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以< br>2x
1
2
?a
2
?t
a
2
t
2
x?
2
22
x?a
2t?8
1
，即。因，2
1
a
2
t
2
t
2
2
?a( a?0)?1
22
2t?82t?8
所以，所以即22
.
2222
(a?b)?4(a?b)
=4c2，
1122
11.解： 由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设|F1F2|2=4
又根据椭圆与双曲线定义

?
?
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
1
,
?
?
?
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
2
,
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
|PF
1
|
2
?|PF< br>2
|
2
?|F
1
F
2
|
2
cos?F
1
PF
2
?
2|PF
1
|?|PF2
|

(a
1
?a
2
)
2
? (a
1
?a
2
)
2
?(2c)
2
?
2(a
1
?a
2
)(a
1
?a
2
)
22
(a
1
2
?c
2
)?(c
2< br>?a
2
)b
1
2
?b
2
??
2.
222
a
1
?a
2
b
1
?b
2

2
b
1
2
?b
2
?F
1< br>PF
2
?arccos
2
.
2
b
1
?b
2
从而
1?cos
2
?F
1
PF
2
?
又sin∠F1PF2=
2b
1
b
2
,
2
b
1
2
?b
2

所以
S
?F< br>1
PF
2
?
1
|PF
1
|?|PF
2
|sin?F
1
PF
2
?b
1
b
2.
2

12．解：以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由 定义知M，N两点既
在抛物线y2=4ax上，又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上，两方程联 立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，
设点M，N坐标分别为(x1,y1),(x2,y 2)，则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，
|AN|=|NP|=x2+a . |AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得证。
13．解：若直线l垂直于x轴，因其过点A(2,1)，根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。
若l不垂直于x轴，设l的方程为y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k. ①
将①代入双曲线方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ②
这里
k??2
且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k +3)>0,
设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理
x
1
?x
2
??
2k(2k?1)2k(2k?1)
?.
2?k
2
k
2
?2
③
由①，③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
4(2k?1)
.
2< br>=k(x1+x2)+2(1-2k)=
k?2
④
设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点公式及③，④得

x?
x
1
?x
2
k(2k?1)
y?y
2
2(2k?1)
?
2
,y?
1
?
2
,
22
k?2 k?2

消去k得
1
2
(y?)
(x?1)
2< br>2
?1.?
77
84

点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
x
2
y
2
x
2
y
2
??1.?
2
? 1
2
(?43,0)
3612
ab
1．由椭圆方程得焦点为，设双曲 线方程，渐近线为
y??
b1
b
?
x.
3
，所以a 2=3b2,又
c?43
,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.
a
由题设
a
2. 900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB |=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=
∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠ 4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，设F1为左焦点，F2 为右焦点，M为PF1中点，则
11
|MO|=
2
|PF2|=
2< br>(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和
11
2
(-a- ex)+a=
2
(a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得 两圆内切。
10
.
4．
3
与F1对应的另一条准线为x=-11， 因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e，且
|MF
1
|
110
?
.
3
，所以|MF1|=
3
d1=|xm+1 1|=10.所以
10
5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a 2x+a2 (1-b2)=0. ①
若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1- b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反
之，4a2+b2=1，直线与椭 圆有一个公共点。
?
x?m?1,
?
y?2m,
它在直线y=2(x-1)上。 6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m)，焦点为
?
?
7 ．1≤m<5。直线过定点(0,1)，所以0
1
m
≤1.又因为焦点在x轴上，所以 5>m,所以1≤
m<5。
8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条 ，在同支上有二条，一共有
三条。

?
5
?
9．6
或
6
。设直线l: y=kx与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2) ，把y=kx代入椭圆方程得
(1+3k2)x2-6x+3=0，由韦达定理得
x
1
?x
2
?
6
,
2
1?3k
①
x
1
x
2
?
3
.
2
1?3k ②
因F（1，0），AF
?
BF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③
13
?
5
k
2
?,k??
?
.
33
6
6
把①，②代入③得，所以倾斜角为或
10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A，B分别位于 y轴左、右两侧，设CA斜率为
k(k>0)，CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2 k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或
2a
2
k
x?
22< br>ak?1
2a
2
k1?k
2
2a
2
k
.
A(?
22
,0)
22
ak?1
ak?1
，于 是，|CA|=
2a
2
k1?k
2
22
由题设，同理可得 |CB|=
ak?1
,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得 k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
对于①，当13
时，①无解； 当
a?3
时，k=1；当a>
3
时，①有两个不等实根，
故最多有3 个。
11．解 设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ,
又| PF1|+|PF2|=2a，则4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cosθ),再将|P F1|=a+ex0，
|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e22
x
0
)(1+cosθ).
2b
2
cos
?
?
2
?1.
22
a?ex
0
于是有
2 b
2
?a
2
?cos
?
?1
22
2
?x
0
?a
2
b
2
?a
2
?e
2
x
0
?a
2
a
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，?
2b
2
?a
2
?
??
?
?
?arccos
?
a
2
?
.
??
所以cosθ为 减函数，故0

2b
2
?a
2
2b
2
?a
2
??
?0?,
?
?[0,]
22
22
，sinθ为增
aa
当2b2>a2即
a?2b
时，，arccos
?
?
2b
2
?a
2
?
sin
?
arccos
?
a
2
?
?
函数，sinθ取最大值
?
?
2bc
?
?
?
?
a
2
??
；当2b2≤a2时，
2b
2
?a
2
?
?< br>2
2
,θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。
a
arccos
12．解 设A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不 为0，设为k，直线AB方程为y=k(x+c)，代
入椭圆方程并化简得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①
则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得
2a
2
k
2
c
x
1
?x
2
??
2
,
22
b? ak
②
a
2
(k
2
c
2
?b< br>2
)
x
1
x
2
?.
222
b?ak
③
?b
2
k
2
y
1
y
2
?
22
.
2
ak?b
因为y1y2=k2(x1+c)(x 2+c)，再由②，③得
k
2
(a
2
c
2
?b< br>4
)?a
2
b
2
a
2
k
2
?b
2
所以
OA?OB
=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内 ，等价
OA?OB
<0，即k2(a2c2-b4)-a2b2<0对任意k∈R成立，等价于 a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,
5?1
.
即e2+e-1≤0.所以02

b
2
?c.
e?
若斜率不存在，问题等价于
a
即
13．解 （1）由双曲线方程得
b?
线的距离
5? 1
0?e?
2
，综上
5?1
.
2

2a, c?3a
，所以F1(
?3a
,0)，抛物线焦点到准
p?23a
， 抛物线
y
2
??43ax.
①
把①代入C1方程得
2x
2
?43ax?2a
2
?0.
②
Δ=64a2>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2< 0，所以

y??2?3ax
1
（因为x1②必有一个负根设为x1,把 x1代入①得y2=
?43ax
1
,所以
≠0），所以C1，C2总有两个不 同交点。
2
?
?
y??43ax,
?
3
a),由
?
?
my?x?3a
得（2）设过F1(
?3a
,0)的直 线AB为my=(x+
y2+4
3
may-12a2=0，因为Δ=48m2a2+4 8a2>0，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则
y1+y2=
43ma
,y1y 2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔ
3
1
22 22
43
m?1?6am?1?6a
2
2
AOB=|y1-y2|? |OF1|=a?a?，当且仅当m=0时，S
ΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→ +∞，无最大值。所以存在过F的直线
x=
?3a
使ΔAOB面积有最小值6a2.
联赛一试水平训练题
x
2
?(y?1)
2
x?2y?3< br>1．m>5.由已知得
?
5
m
，说明(x,y)到定点（0,-1）与 到定直线x-2y+3=0
1
2
?(?2)
2
55
的距离比 为常数
m
，由椭圆定义
m
<1，所以m>5.
2.
aab .
因为
2a2a4a
??
2
1?cos
?
1?co s(
?
?
?
)
sin
?
,所以b=|PQ|=|P F|+|QF|=
sin
?
?2
a
1
b
。所以SΔ OPQ=
2
absinθ=
aab
.
?
5?1
?
,1
?
?
?
2
??
。设点P坐标为(r1cosθ ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ)，因为3.
r
1
r
2
1111
?
?
2
?
2
?
222
2
rr
2
ab
，RtΔOPQ斜边上的高为
r1
?r
2
P，Q在椭圆上，可得
1
5?1
≤|OF|= c. 所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得
2
≤e<1.
ab
a2
?b
2
OM
4.以O为圆心，a为半径的圆。延长F1M交PF2延长 线于N，则
|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
?
1
2
F2N，而

1
2
2?t5.t∈(0,1]时|AT|min=,t>1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB?kAC= -
2
,设A(x,y)，
y?2y?21
x
2
y
2
??
?
xx2
(x≠0)，整理得
42
=1(x≠0)，所 以则
?
x
2
?
1
?
?
2?
2?
?
?
2
?
|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+
?
(x-2t)2+2-t2.因为|x|≤2,所以当t∈(0,1]时
取x=2t ,|AT|取最小值
2?t
。当t>1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
2
l
2
11
.
x
0
?cos
?
,y
0
?sin
?
22
6.
4
设点M(x0,y0 ) ，直线AB倾斜角为θ，并设A(x0-),
11
cos
?
,y
0
?sin
?
2
B(x0+
2
),因为A，B在抛物线上 ，所以
11
y
0
?sin
?
?(x
0
? cos
?
)
2
,
22
①
11
y0
?sin
?
?(x
0
?cos
?
)
2
,
22
②
由①，②得 2x0cosθ=sinθ. ③
所以
11111
y
0
?(x
0
?cos
?
)
2
?sin
?
?(
2
?l
2
cos
2
?
)?.
224
cos
?
4

1
2
?lx
因为l2<1，所以函数f(x)=
x
.在（0 ，1]在递减，
11l
2
l
2
2
y
0
? (1?l)??.
4444
所以。当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小值
2
?
y
0
?
?
y
1
2
?
2pa
?
M
?
,y
0
?
,M
1
?
?
a,
?
.
?
2p
,y
1
??< br>2p
b
?
设
?
?
?
7．
?
2
??
y
2
?
??
,M,y
?
2
?
2p
2
?
?
???
，由A，M，M1共线得
by
0
?2pa
2pa
y
2
?
y
0
? b
，设(x,y)是直线M1M2上的点，则y1=
y
0
?b
，同理 B，M，M2共线得
y1y2=y(y1+y2)-2px，将以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
?2pa
?
2pa
?
a,
?
.
b
? 当x=a,y=
b
时上式恒成立，即定点为
?

14??1
22
3?6
b
8．。由题设
a
且a2+2b2≤ 15，解得5≤b2≤6.
t?4
b
2
t?4
?t?4
? b??t?4
2
t
t
所以a+b≥
b?4
(t=b2-4∈ [1,2])，而
?6?3?t?4?6?3?
得上式成立。
t?4t?22(t ?2)
??
t
t?4?63t?t(t?4)
，又t≤2可
9．解 设A(2cosθ,
3sin
?
), B(2cosα,
3
sinα ),C(2cosβ,
3
sinβ)，这里α≠
3(sin
?
?si n
?
)
(x?2cos
?
)?3sin
?
?y2(cos
?
?cos
?
)
β，则过A，B的直线为lAB：， 由于直线
AB过点F1(-1,0)，代入有
3
(sinθ- sinα)?(1+2cosθ)=2
3
sinθ(cosθ- cosα)，即
sin
2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2
?
?< br>?
2
?
cos
?
?
?
2
,故
2cos
?
?
?
2
?cos
?
?
?2
?3coscos?sinsin?0tantan??3
22

22 2
?
2
，即。又
?
33
2tan
(x?2)
，同理得
??
??
?
?
3sin
?
3
?
y?(x?2)?tan
2(1?cos
?
)22
?(x+2)= lBD:
3sin
?
1
y?
tan?tan??
2(cos
?
?1)
(x-2)=
223
。lCE:
?
2
??
3
(x?2)
33
?
?
2
?tan< br>?
22
tan
2
?(x-2).
?
??
2
?
2tan?2?63tan
?
22
?
,
????
?
22
?
tan?1tan?1
?
tan
?
22
??
，消去
2
得点P(x,y)在两直线方程联立，得P点坐 标为
?
x
2
y
2
??1
27
椭圆
4
上（除去点(-2,0),(2,0)）.

?
x
2
2
?
2
?y?1,
?
a
?
y
2
?2(x?m)
10.解 （1）由
?
消去y得x2+2a2x+2a2m-a2= 0,①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，
问题（1）转化为方程①在x∈(-a,a)上 有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：
m?
10．Δ=0，得
a
2?1
2
，此时xp=-a2，当且仅当-a<-a2f(a)?f(-a)<0，当且仅当-a-aa
2
?1
m?
2
或-aS?
(2)ΔOAP的面积
11
ay
p
.
2
aa?1?2m?a
,由
22
因为0唯一性得xp= -a2+.当m=a时，xp取最小值。由于xp>0，从而
x
p
?1?
x< br>2
p
a
2
时取值最大，
a
2
?1
m ?
2
x
p
?2a?a
2
S?aa?a
2
2
时，xp=-a2，yp=
1?a
,此时此时，故；当
S?
111< br>22
2
a1?a
2
.a1?aaa?a?a1?a
2
aa?a
22
以下比较与
2
的大小。令，
1111
aa(1 ?a)?a1?a
2
S
max
?a1?a
2
3
，故 当03
时，
22
，此时；当
a?
得
111< br>2
?a?a1?a
2
S?aa?a.
aa(1?a)?
max
32
时，有
2
，此时
?
x
2
?1y2
A
2
?
?
2
,
2
11．解：设A， B关于l的对称点分别为A1(x2,y2),B1(x1,y1)，则AA1中点
?
在l上，
所以 y2=k(x2-1) ①
又l
?
AA1,所以
?
?
?
?
y
2
1
??.
k
②
x
2
?1
由①，②得

?
k
2
?1
x?,
?
?
2
k
2
?1
?< br>?
y??
2k
.
2
?
k
2
?1
?
16k
?
x?,
1
?
?1?k
2
?
2
?
x
1
8?y
1
?
8(k? 1)
?
??
B
2
?
?,
y
1
?.
?
2
?
22
?
1?k
?
?
同理， 由BB1中点在l上，且l
?
BB1,解得
设抛物线方程为y2=2px，将A1，B1坐标代入并消去p得k2-k-1=0.
k?< br>所以
1?51?5
2
k?
p?5.
2
，由题设k>0 ，所以
2
，从而
5

y?
1?5
4
xy
2
?5x.
2
5
，抛物线C的方程为 所以直线l的方程为
联赛二试水平训练题
1．以A为原点，直线AC为x轴，建立直角坐标系 ，设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，
则直线DF的方程为
x?f?
f?x
D
y?0.
kx
D
①
x?c?
c?x
B
y?0.
?kx
B
② 直线BC的方程为
c×①-f×②得
1
?
11
?
?
[cf
?
?
?
?(c?f)]y?0.
k
?xx
B
??
D
(c-f)x+ ③
③表示一条直线，它过原点，也过DF与BC的交点G，因而③就是直线AG的方程。
同理
，直线AE的方程为
1
?
11
?
?
[cf
?
??(c?f)]y?0.
?
k
?
?
x
Dx
B
?
(c-f)x+ ④
③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC。
2．证明 假设这样的闭折线存在， 不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A0，其他顶
?
a
n
c
n< br>?
?
a
1
c
1
?
a
i
c< br>i
??
?
A
1
?
,A?,
,
n?
bd
?
?
bd
?
b
1
?
，
?
nn
?
，点坐标为：
?
1
…，其中
i< br>d
i
都是既约分数，并记An+1=A0.
若p与q奇偶性相同，则记p≡q， 否则记p≠q，下面用数学归纳法证明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

?
a
1?
?
b
当k=1时，由
?
1
22
??
c
1
?
a?d
11
?
?d
1
2
? c
1
2
?
?
?
?
d
?
?
?1
2
??
1
?
，得
b
1
，因为a1,b 1互质，所以d1被
22
b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
2222b?d?a?c.a
1
,c
1
不可能都是偶数（否则b1也是偶数，与互 质
1111
因此b1=±d1，从而
矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和 模8余2不是4的倍数，也不可能是完全
平方数，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1 ≠0=a0+c0.
a
m
a
m?1
a
c
m
c
m?1
c
??,??.
bd

bbdd
m?1 mm?1
设结论对k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
m
?
a
? ?
c
?
ac
??
?
??
,
?
d< br>?
=1，与k=1情况类似：a这里
bd
是既约分数，因为每一段的长为1，所 以
?
b
?
22
a
m
a
a
m?1< br>ab
m?1
?ba
m?1
a
m
???
bb
m?1
bb
m?1
≡c,d≡b≡1，又因为
b
m< br>，分数
b
m
既约，所以bm是bbm-1
的一个因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-a m-1-cm-1)≡
am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡ 1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时，an+1+c n+1≠a0+c0，故
折线不可能是闭的。
3．证明 （1）由已知B0P0=B0Q0 ，并由圆弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1
分别相内切于点Q0，P1 ，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及
C0Q1= C0B0+
B
0
P'
0
，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1 C0+C0B0，以及
P'
。在B0P0或其延长
线上，有B0P0=B0
P '
0
，从而可知点
P'
0
与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C 0，圆弧P0Q0
的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。
（2）现分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1
引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1，连接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠
Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠ Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠
1
P0Q1P1=π-
2
(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
1
同理得∠P0Q0P1=π-
2
(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圆。
4．证明 引理：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.
引理的证明：设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入抛物线方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ①
又
2
y
0
?ax
0
?bx
0
?c

故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ②
因为②只有一个实根，所以k=2ax0+b.引理得证。
?
1
?设P(x0,y0)为任一正交点，则它是由线y=x?tan
g
2
2v
0
cos
2
?
1
?x2与y=x?
?
2
?
tan
g
2
2v
0
cos
2
?
2
?x2的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）
k??
gx
0
gx
0
?tan
?
,k???tan
?
2
.
12
222
v
0
cos
?
1
v
0
cos
?
2

??
gx
0
??
tan< br>?
?
2
2
??
v
0
cos
2
?
2
??
?
?
?
??1.
?
③
又由题设k1k2=-1，所以
?
gx
0
?
tan
?
?
1
?
v
0
cos
2
?
1< br>?
y
0
gx
?tan
?
1
?
20
2
,
x2vcos
?
01
又因为P(x0,y0) 在两条抛物线上，所以
0
y
0
gx
?tan
?
2< br>?
2
0
2
,
x
0
2v
0
c os
?
2
代入③式得
?
2y
0
?
?x
?tan
?
1
?
0
??
2y
0?
??
??
x
?tan
?
2
?
???1.
??
0
?
（※）
gx
0
y
0
gx
0
?
2
又因为tanα1,tanα2是方程
2v
0
?t2-t+
x
0
2v
0
=0的两根，所 以
2v
0
,
tanα1+tanα2=
gx
0
④
2v
0
gx
0
?
y
0
gx
0
?
?
x
?
2v
2
0
?
0
?
?
?
?
。 ⑤
2
tanα1?tanα2=
把④，⑤代入（※）式得
?
v
?
?
y?
0
?
?
2
4g
?
v< br>0
?
??
?
x
0
?1
?
??
0?y?
22
??
.
2g
vv
v
22
0 0
??
2y
0
?
0
y
0
?x
0< br>?0
2
g
8g
2
，即
16g

5．证明 以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设∠ADC=θ，|PD|=r.各 点
坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1 -rcosθ,rsinθ).
xy
??1
xx
1
tan
?
则lAB方程为
0
，即x1x+x0?cotθ?y-x1x0=0,因为lAB与 圆相切，可得x1

2
x
1
2
?x
0
?cot
2
?
|x
1
2
?
?=x0x1?cotθ -x1x0|，约去x1,再两边平方得
x?xcot
?
?x?2x
1x
0
(cot
?
?1)?x(cot
?
?1)
2
2
1
2
0
22
1
2
0
2
，所以
x
0
?
2(cot
?
?1)
2cot?
?1
?x1. ①
又因为点P在圆上，所以(rcos
?
)2+(x1-rsin
?
)2=
x
1
，化简得r=2x1sin< br>?
. ②
x
1
tan
?
要证DP=AP+AE
?
2DP=AD+AE
?
2r=
sin
?
+x1t an
?
-x1
?
1+sin
?
-cos
?
=4sin
?
cos
?
.
③
又因为
CP?PB
，所以
CP?BP?0.

因为
BP
=(x1-x0-rcosθ,rsinθ),
CP
=(x1-rc osθ,rsinθ),
所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④
把②代入④化简得
x
1
2
[(1?sin2
?
)
2
?(1?cos2
?
)
2
]?x
1
x< br>0
(1?sin2
?
).
⑤
2?2(cos2
?
?sin2
?
)
.
由①得x0=x1?
2?2cos2
?
?sin2
?

3
代入⑤并约去x1,化简得4sin2 2
?
-3sin2
?
=0，因为sin2
?
≠0，所以si n2
?
=
4
，又因为
ACCD
?
sin
?
=
ADAD
=cos
?
，所以sin
?
-cos< br>?
>0.
1?sin2
?
?
13
2
，所以 1+sin
?
-cos
?
=
2
=4sin
?
cos
?
，即③成立。所以sin
?
-cos
?
=
所以DP=AP+AE。
c
6．证明 设BC=d，CD=b，BD=c，则AC=CQ =
2
，取BC中点M，则AM
?
BC，以M为原点，
ddd
B(?,0)C(,0)D(,b)
2
，
2
，
2
直线BC为 x轴建立直角坐标系，则各点坐标分别为，
b521dc
A(0,)S(d?c,0)CR?( d?c)R(?,0)
2
，
63363
，因为，所以点，所以
tan ?DRC?
b
1
(d?c)
3
?
3b3b
,tan ?ASQ?.
(d?c)5d?4c

?
因为0<∠DRC<
2
，0<∠ASQ<π，所以只需证tan∠ASQ=tan2∠DRC,即
6b3b
d?c
?
2
5d?4c
?
3b
?
1?
??
d?c
??
，化简得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c 2，显然成立。所以命题得证。