人教A版高中数学选修1-1 教师用书

范围．
解：∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则f(x)≤0，x∈[－1,1]恒成立，
即x
2
－x＋a≤0，x∈[－1,1]恒成立，
即f(x)
max
≤0恒成立，
?
1＋1＋a≤0，
∴
?
即a≤－2.
?
1－1＋a≤0，
∴a的取值范围为(－∞，－2]．
题型三
充要条件的证明
11
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：
x
<
y
的充要条件是xy>0.
【思路探索】 ①利用定义证明p?q且q?p.②如果每一步的推理都是等价
的(?)，可以 把两个过程合并，用?写出证明．
【证明】 证法一：①充分性：由xy>0，及x>y，
xy1111
得
xy
>
xy
，即
y
>
x< br>，即
x
<
y
.
1111
②必要性：由
x< br><
y
，得
x
－
y
<0，
y－x
即
xy
<0.
∵x>y，∴y－x<0，∴xy>0.
11
由①②知，
x
<
y
的充要条件是xy>0.
y－x
1111
证法二：
x
<
y
?
x
－< br>y
<0?
xy
<0.
由条件x>y?y－x<0.
y－x
故
xy
<0?xy>0.
11
∴
x
<
y
?xy>0.
11
即
x
<
y
的充要条件是xy>0.
[名 师 点 拨]

(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时 应以q为“已
知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已
知条件”，即p?q.
(2)证明充要条件，即证明原命题为真命题(充分性)和逆命题为真命题(必要性).
求 证：关于x的方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要
条件是a－b＋c＝0 .
证明：①充分性：∵a－b＋c＝0，
∴a(－1)
2
＋b(－1)＋c＝0，
∴－1是方程ax
2
＋bx＋c＝0的一个根．
②必要性：∵ax
2
＋bx＋c＝0有一个根是－1，
∴a(－1)
2
＋b(－1)＋c＝0，
即a－b＋c＝0.
由①②知，方程ax
2
＋bx＋c＝0有一根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
题型四
充要条件的探求
设集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2 x＋3，x∈A}，M＝{z|z＝x
2
，x
∈A}，求使M?B的充要条件．
【思路探索】 由于B，M都与A有关，而A中含有参数a，且z＝x
2
，在－
2≤x≤a时的取值与a有关．因此应分情况讨论求解．
【解】 ∵A＝{x|－2≤x≤a}．
∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
当－2≤a<0时，M＝{z|a
2
≤z≤4}；
当0≤a≤2时，M＝{z|0≤z≤4}；
当a>2时，M＝{z|0≤z≤a
2
}．
故当－2≤a≤2时，M?B，
1
得2a＋3≥4，即a≥
2
.
1
∴
2
≤a≤2.
当a>2时，M?B，得
2a＋3≥a
2
，解得－1≤a≤3.

∴2综上知，M?B
?
?
?
1
的充要条件为
?
a
?
2
?
?
?

?
?
≤a≤3
?
.
?
?
[名 师 点 拨]
探求充要条件一般有两种方法：
(1)等价转化法．将原命题进行等价转化(变形)， 直至获得其成立的充要条
件．探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程中每一步都是等价的，所以
不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即把探求充要条 件的对象视为结论，寻
找使之成立的条件．然后证明此条件是该对象成立的充分条件，即从充分性和必< br>要性两个方面说明.
(2019·石室月考)直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
相切的充要条件是________．
解析： ∵直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2相切，
∴圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于2，
∴
|1＋1＋m|
＝2，∴m＝－4或m＝0.
2
当m＝－4或m＝0时，直线与圆相切．
答案：m＝－4或m＝0
< br>1．(2019·临川一中月考)设a>0，b>0，则“a
2
＋b
2
≥1”是“a＋b≥ab＋1”的
( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
?
a≥1，
解析 ：由a＋b≥ab＋1，得a－1＋b－ab≥0，即(a－1)(1－b)≥0，∴
?
?0
?
0或
?
∴a
2＋b
2
≥1，即a＋b≥ab＋1?a
2
＋b
2
≥1， 但当a＝b＝2时，有a
2
?
b≥1，
＋b
2
≥1，而a＋ b2
＋b
2
≥1”是“a＋b≥ab＋1”的必要不充分 条件，
故选B.

答案：B
2．已知命题p：函数f(x )＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数
g(x)＝log
a
( x＋1)(a>0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由p成立，得a≤1；由q成立，得a>1，∴当﹁p成立 时，a>1，∴﹁
p是q的充要条件．
答案：C
3．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l?α，反之，若m⊥α，l∥α，则l⊥m，
∴“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B.
答案：B
4．已知p：函 数f(x)＝|x－a|在(2，＋∞)上是增函数，q：函数f(x)＝a
x
(a>0，且a≠1)是减函数，则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若p为真，则a≤2；若q为真，则0则q?p，pq，
∴p是q的必要不充分条件，故选A.
答案：A
5．已知p：x
2
－8x－20≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分不

必要条件 ，求实数m的取值范围．
解：由x
2
－8x－20≤0，得－2≤x≤10，又p是q的充分不必要条件， < br>?
1＋m≥10，
∴
?
1－m≤－2，
?
m＞0，< br>
(等号不能同时成立)，解得m≥9.
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．

一、选择题
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l
1
：ax＋ 2y－1＝0与直线l
2
：x＋2y＋4＝0
平行”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
a2
－1
解析：易知当a＝1时，l
1
∥l
2
；当l
1
∥l
2
时，由
1
＝
2
≠
4
，得a＝1.
答案：C
2．(2019·三明月考)“x
2
－x≤0”是“x≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x
2
－x≤0，得0≤x≤1，则0≤x≤1是x≤1的充分不必要条件．
答案：A
3．设a，b∈R，则“2
a
－
b
<1”是“ln aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由2
a
－
b
<1，可得a－b<0，∴a当a、b有负值时，aa
－
b
<1，
∴“2
a
－
b
<1”是“ln a

答案：B
1
4．(2019·上 饶月考)不等式1－
x
>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．－11
C．x<－1或0B．x>－1
D．x>0
x－1
1
解析：由1－
x
>0得
x< br>>0，即x>1或x<0，
1
∴不等式1－
x
>0成立的一个充分不 必要条件是－11.故选A.
答案：A
5．(2019·杭州八校联考)已 知平面α，β，直线a?α，b?β，则“a∥b”是“α
∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由α∥β可推知，a∥b或a与b异面，而a∥b不能推出 α∥β，∴“a
∥b”是“α∥β”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
4
6．“直线y＝kx＋1与圆(x－2)
2
＋y
2
＝1相切”是“ k＝－
3
”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若直线与圆相切，则
|2k＋1|
4
＝1，解得k＝0或k＝－， < br>2
3
1＋k
4
∴“直线y＝kx＋1与圆(x－2)
2
＋y
2
＝1相切”是“k＝－
3
”的必要不充分条
件，故选C.
答案：C
二、填空题

7．若“x
2
－2x－3> 0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x
2－2x－3>0，得x<－1或x>3.∵“x
2
－2x－3>0”是“x>a”的必要不
充分条件，∴{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，∴a≥3，∴a的最小值为3.
答案：3
8．集合
?
?
x－2
?
?
??
，
x<0
A＝B＝{x|(x－a)(x－b)<0}，若“a＝－2”是“A∩B≠ ?”
x＋1
??
??
的充分条件，则b的取值范围是________． < br>解析：由题意可知A＝(－1,2)，当a＝－2，b<－2时，B＝{x|bA∩B＝?，不合题意；当a＝－2，b>－2时，B＝{x|－2 则b>－1.
答案：(－1，＋∞)
9．已知集合
?
?
?
1
A＝
?
x
?
2
<2
x
<8，x∈R< br>?
?
?

?
?
?
，B＝{x|－1?
?
x∈B
成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数 m的取值范围是________．
?
?
1
?
x
?
解析：A＝
x
?
2
<2<8，x∈R
?
?
??

＝{x|－1B， ∴m＋1>3，即m>2. x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A
答案：(2，＋∞)
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)a>b>0是a
2
>b
2
的充分条件；
11
(2)
a
<
b
是a>b>0的必要条件；
(3)a>b>0是a
3
>b
3
的充要条件；
(4)“a ＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的既不充分也不
必要条件．
解：(1)a>b>0?a
2
>b
2
，故(1)是真命题．
11
(2)a>b>0?
a
<
b
，故(2)是真命题． < br>(3)a>b>0?a
3
>b
3
，a
3
>b
3
a>b>0，故(3)是假命题．
(4)当a＝1时，两直线斜率分别为－1和1，所以两直线垂直；

当两直线 垂直时，直线x－ay＝0的斜率应为1，则a＝1.即“a＝1”是“直
线x＋y＝0和直线x－ay ＝0互相垂直”的充要条件．故(4)是假命题．
11．已知条件p：A＝{x|x
2
－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x
2
－3x＋2≤0}，
当实数a 为何值时：
(1)p是q的充分不必要条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件．
解：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|(x－ 1)(x－2)≤0}＝{x|1≤x≤2}．
(1)若p是q的充分不必要条件，则A
(2 )若p是q的必要不充分条件，则B
B，∴1≤a<2；
A，∴a>2；
(3)若p是q的充要条件，则A＝B，∴a＝2.
12．已知方程x
2
＋ (2k－1)x＋k
2
＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要
条件．
解：令f(x)＝x
2
＋(2k－1)x＋k
2
，由f(x)的图象(如图) 可知．

方程x
2
＋(2k－1)x＋k
2
＝0有两个大于1的实数根等价于
?
?
2k－1
?
－
2
>1，
?
?
f?1?＝1＋2k－1＋k
2
>0，
即k<－2.
Δ＝?2k－1?
2
－4k
2
≥0，

?
?
1
?
?
k<－
2
，
?
?
k<－ 2或k>0，
1
k≤
4
，


以上过程每一步都是 等价的，因此k<－2是方程x
2
＋(2k－1)x＋k
2
＝0有两个
大于1的实数根的充要条件．

13．(2019·天津卷)设x∈R，则“0A．充分不必要条件

B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由|x－1|<1，得0∴“0答案：B
1．3 简单的逻辑联结词
1．3.1 且(and)
1．3.2 或(or)
1．3.3 非(not)

目 标 导 学
1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．
2．理解形如p且q、p或q、非p的命题．
3．掌握含简单逻辑联结词的真假判断．
‖知识梳理‖
1．逻辑联结词
把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．
2．简单命题与复合命题
(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．
(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．
复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.
(3)复合命题的真假
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p∧q
真
假
假
假
p∨q
真
真
真
假
﹁p
假
假
真
真
此表称为“真值表”，从表中易知：

①p且q同真才真，其他均假；
②p或q同假才假，其他均真；
③非p与p真假相反．

1．对逻辑联结词“或”的理解
“或”与日常生 活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有
“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑 联结词中“或”含有“同时兼有”
的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：① p成立q不成立；
②p不成立q成立；③p与q同时成立．
2．对逻辑联结词“非”的理解
“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而
得出的新命题．一般 地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否
定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表 ：
正面词语 等于 大于
不大于
是
不是
都是
不都是
任意的 至多有一个
某一个 至少有两个 否定词语 不等于
3.逻辑联结词与集合的运算
集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或” 、“非”有
密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；
?
U
A＝{x|x∈U且x?A}＝{x|﹁p}．
4．命题的否定形式与否命题的关系
命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：
(1)定义不同
命题 的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结
论都否定后组成的新命题．
(2)构成形式不同
对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不 改变
条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和
结论都否 定．

(3)与原命题的真假关系
命题的否定的真假与原命题的真假总是相对 的，即一真一假；而否命题的真
假与原命题的真假没有必然联系．
(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．

题型一
命题的构成
分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命
题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；
(3)p：方程x
2
－ 3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x
2
－3x＋2＝0的根是x＝2.
【思路探索】 利用逻辑联结词把p和q联结起来，写出各组命题构成的“p
∧q”，“p∨q”，“﹁p”命题．
【解】 (1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；
“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；
“﹁p”：π不是无理数．
(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；
“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；
“﹁p”：12不是3的倍数．
(3 )“p∧q”：方程x
2
－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x
2
－3x＋2 ＝0的根是x
＝2；
“p∨q”：方程x
2
－3x＋2＝0的根是x＝1或 方程x
2
－3x＋2＝0的根是x＝
2；
“﹁p”：方程x
2
－3x＋2＝0的根不是x＝1.
[名 师 点 拨]
(1)正确理解“且”“或”“非”这些逻辑联结词是解决这种问题的关键．给
定两个简 单命题，首先用“且”“或”“非”去联结，再调整句子，尽量使语句
通顺，千万不要直接简单地联结， 修饰一下语句会更好．
(2)本例(3)中“p∨q”形式的命题不能写成“方程x
2
－3x＋2＝0的根是x＝1

或x＝2”，显然p、q均为假命题，p∨q也应为假命 题，而上述命题是真命题.
试写出下列命题中的p，q.
(1)梯形有一组对边平行且相等；
(2)方程x
2
＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
(3)一元二次方程至少有三个根．
解：(1)是p且q形式的命题．
p：梯形有一组对边平行；
q：梯形有一组对边相等．
(2)是p或q形式的命题．
p：方程x
2
＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；
q：方程x
2
＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等．
(3)是﹁p的形式．
p：一元二次方程最多有两个根．
题型二 复合命题的真假判断
分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命
题的真假：
(1)p：π>3，q：π<2；
(2)p：若x≠0，则xy≠0，q：若y≠0，则xy≠0；
(3)p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直
于底边； < br>1
(4)p：函数y＝x
2
的定义域为R，q：函数y＝x
2
是偶函数．
【思路探索】 先判断简单命题p、q的真假，再判断复合命题“p∧q”，“p
∨q”，“﹁p”的真假．
【解】 (1)∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，
﹁p是假命题．
(2)∵p是假命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，p∨q是假命题，﹁p是真
命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∧q是真命题，p∨q是真命题，﹁p是假
命题． < /p>

(4)∵p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题，p∨q是真命题，﹁p是真
命题．
[名 师 点 拨]
判断复合命题真假的方法步骤：
(1)确定命题的构成形式，是p∧q，p∨q还是﹁p；
(2)判断p、q的真假；
(3)根据真值表判断复合命题的真假.
(1)命题p：若ac
2
>bc
2
，则a>b，命题q：在△ABC中，若
A≠B，则sin A≠sin B，下列选项正确的是( )
A．p假q真
C．“p或q”为假
B．p真q假
D．“p且q”为真
(2)(2019·武汉检测)已知命题p：不 等式－x
2
＋2x<0的解集是{x|x<0或x>2}，
命题q：在△ABC中，A >B是sin A>sin B的充要条件，则( )
A．p真q假
C．p∧q真
B．p∨q假
D．p假q真
解析：(1)p为真命题，q为真命题，∴p且q为真，故选D.
(2)由－x
2< br>＋2x<0，得x>2或x<0，故p为真命题，在△ABC中，A>B?sin A>sin
B，故q为真命题，所以p∧q为真，故选C.
答案：(1)D (2)C
题型三 命题的否定与否命题
写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．
(1)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；
(2)若x
2
＋y
2
＝0，则x，y全为0；
(3)等腰三角形有两个内角相等．
【思路探索】 利用非p与否命题的定义作答．
【解】 (1)命题的否定：若abc＝0，则a，b，c中都不为0，为假命题；
否命题：若abc≠0，则a，b，c都不为0，为真命题．
(2)命题的否定：若x
2
＋y
2
＝0，则x，y中至少有一个不为0，为假命题；
否命题：若x
2
＋y
2
≠0，则x，y中至少有一个不为0，为真命题．

(3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题；
否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．
[名 师 点 拨]
一个命题“若p，则q”的否定是“若p，则﹁q”；否命题是“若﹁p，则﹁
q”.
“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是
________________ ________；否命题是________________________．
解析：命题的否 定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或
3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原 命题的条件和结论，因此否命题是：
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
题型四 逻辑联结词“或”“且”“非”的应用
(2019·盐城月考)设命题p：ln a<0；命题q：函数y＝ax
2
－x＋a的定
义域为R.
(1)若命题q是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p或q是真命题，命题p且q是假命题，求实数a的取值范围．
【思路探索】 根据复合命题的“真值表”判断p与q的真假，再构造不等
式组，求解．
【解】 (1)对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax
2
－x＋a≥0恒成
立．
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；
当a≠0时，不等式恒成立的条件是@
?
a>0，
1
?
解得a≥
.
2
2
?
Δ＝?－1?
－4a×a≤0，
?
?
1
?
所以 命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝
?
a
?
a≥
2
?< br>.
?
?
?


(2)若命题p为真，则0命题p，q一真一假，

0< a<1，
?
?
当p真q假时，由
?
1
a<
，
?
?
2

1
得02
；
a≤0或 a≥1，
?
?
当p假q真时，由
?
1
a≥
，
?
?
2

得a≥1.
1
??
0，
综上，实数a的取值范围是
?
∪[1，＋∞)．
2
?
??
[名 师 点 拨]
解答此类题的方法步骤：
(1)求出命题p，q为真时参数满足的条件；
(2)根据命题p∧q，p∨q的真假判断命题p，q的真假；
(3)根据p，q的真假构造不等式组，解不等式组得出参数的取值范围.
(2019·上饶 月考)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log
a
(x＋1)在x
∈(0，＋∞) 内单调递减；q：二次函数y＝x
2
＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同
的两 点．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
解：若函数y＝log
a
(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，
则0若曲线y＝x
2
＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，
15
则( 2a－3)
2
－4>0，即a<
2
或a>
2
.
15
∴q：a<
2
或a>
2
.
若p∧q为假命题 ，p∨q为真命题，则p与q一真一假，若p真q假，由
0?
?
1 5
≤a≤
?
22
，
?
?
a>0且a≠1，

?
1
?
得a∈
?
2
，1
?
. < br>??
a≤0或a≥1，
?
?
15
若p假q真，由
?< br>a<
2
或a>
2
，
?
?
a>0且a≠1，< br>
?
5
?
得a∈
?
2
，＋∞
?
.
??

?
1
??
5
?
综上，a的取值 范围为
?
2
，1
?
∪
?
2
，＋∞
?
.
????

1．已知命题p：x∈A∪B，则﹁p是( )
A．x?A∪B
C．x?A且x?B
B．x?A或x?B
D．x∈A∩B
解析：由x∈A∪B，知x∈A或x∈B.﹁p是：x?A且x?B.故选C.
答案：C
2．(2019·鄱阳一中阶段性检测)已知p：|x＋1|>2，q：x>a，则﹁p是﹁q 的充
分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥1
C．a≥－3
B．a≤1
D．a≤－3
解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，
∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，
∴﹁p?﹁q，
∴q?p，
∴a≥1，故选A.
答案：A
3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )
A．p是真命题且q是假命题
B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是假命题且q是假命题
解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．
答案：D
4．(2019·大庆月考)下列三个结论：
①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；
②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．
其中正确结论的个数是( )

A．0个
C．2个
B．1个
D．3个
解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin
x ≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不
能推出p，所以﹁q能推 出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要
条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都 为真，所以p∨q为真；若p∨q
为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q 为真”的充分
不必要条件，即③错误．故选C.
答案：C
5．已知命题p：若a> b，则a
2
>b
2
，命题q：若a2
2
，下列命题为
真命题的是( )
A．p∧q
C．p∨(﹁q)
B．p∧(﹁q)
D．p∨q
解析：若a＝－1， b＝－2，满足a>b，但a
2
2
，∴p为假命题，
当c＝0，a2
＝bc
2
，q为假命题．
∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，
故选C.
答案：C

一、选择题
1．在一组“p或q”“p且q”“非p”形式的 命题中，“p或q”为真，“p
且q”为假，“非p”为真，那么( )
A．p真q真
C．p真q假
B．p假q真
D．p假q假
解析：由题意，非p为真，则p为假．又p或q为真，p且q为假，所以q
为真．故选B.
答案：B
2．下列命题：
①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5 的倍数；③方程x
2
＝
1的解为x＝±1；④3?{1,2}．其中使用逻辑联结词的 命题有( )

A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C.
答案：C
3．(2019·南通月考)命题p：若sin x>sin y，则x>y，命题 q：x
2
＋y
2
≥2xy，下
列命题为假命题的是( )
A．p或q
C．q
B．p且q
D．﹁p
π5π
解析：取x＝
3
，y＝
6
，可知命题p是假命题；由(x－y)
2< br>≥0恒成立，可知命
题q是真命题，故﹁p为真命题，p或q为真命题，p且q为假命题，故选B .
答案：B
4．已知α，β，γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α ∥γ；
命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结
论中 正确的是( )
A．命题“p且q”为真
B．命题“p或﹁q”为假
C．命题“p或q”为假
D．命题“﹁p或﹁q”为假
解析：若α⊥β，β⊥γ， α和γ还可能相交，所以p为假命题；对于命题q，α
和β可能相交，所以q也为假命题，故p或q为假 命题．故选C.
答案：C
1
5．命题p：若不等式x
2
＋x＋m >0恒成立，则m>
4
，命题q：在△ABC中，
A>B是sin A>sin B的充要条件，则( )
A．p真q假
C．“p∨q”为假
B．“p∧q”为真
D．“(﹁p)∨(﹁q)”为真
1
解析：若不等式 x
2
＋x＋m>0恒成立，则Δ＝1－4m<0，即m>
4
，∴p为真命题，
在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B，

∴q为真命题，
∴p∧q为真，故选B.
答案：B
π< br>?
3π
???
6．(2019·保定月考)已知命题p：函数y＝sin
?
2x＋
4
?
和y＝cos
?
2x－
4
?
的图象
????
关于原点对称；命题q：若平行线6x＋8y＋a＝0与3x＋by ＋22＝0之间的距离为
a，则a＝b＝4.则下列四个判断：“p∨q是假命题、p∧q是真命题、( ﹁p)∨q是
真命题、p∨(﹁q)是真命题”中，正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：由题可知，p，q均为真命题，则p∧q 为真，(﹁p)∨q为真，p∨(﹁q)
为真，故选C.
答案：C
二、填空题 < br>7．命题p：函数f(x)＝x
2
＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数 ，若﹁p
是假命题，则a的取值范围是________．
解析：∵﹁p为假命题，∴p为真 命题，即f(x)＝x
2
＋2(a－1)x＋2在区间(－
∞，4]上是减函数，∴只 要对称轴x＝－
答案：(－∞，－3]
8．若x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}是假命题，则x的取值范围是________．
?
x<2或x>5，
解析：由题意得
?
解得1≤x<2.
?
1≤x≤4，
答案：[1,2)
π
???
π
? ?
π
?
2x－
＋x
?
＝f
?
－x
?
，
??
9．命题p：函数f(x)＝sin
命题q：函数g(x)
6
?
＋1满足f
?
??
3
??
3
?
＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)，则命题“p或q”、“p且q”、“非
q”中 真命题的个数为________．
π
?
π
??
π
??< br>π
??
2ππ
?
解析：由f
?
3
＋x
?
＝f
?
3
－x
?
知，f(x)的图象关于x＝
3
对称．而f
?
3
?
＝sin
?
3
－6
?
????????
＋1＝2为最大值．∴p为真命题．易知q为假命题，∴“ p或q”为真，“p且q”
2?a－1?
＝1－a≥4，即a≤－3.
2×1

为假，“非q”为真．
答案：2
三、解答题
10．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的
命题的真假．
(1)p：a
2
>0，q：a≥0；
(2)p：9是质数，q：8是12的约数；
(3)p：1∈{1,2}，q：{1}?{1,2}；
(4)p：?{0}，q：?＝{0}．
解：(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
(2)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真．
(3)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
(4)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
11．(20 19·分宜中学月考)已知c>0且c≠1，设p：函数y＝c
x
在R上单调递
?1
?
减，q：函数f(x)＝x
2
－2cx＋1在
?
2
，＋∞
?
上为增函数，若p且q为假，p或q为
??
真，求实数c的 取值范围．
解：若p为真，则0－2c
11
若q为真，则由－≤，得02
，
2×1
2
若p且q为假，p或q为真，则p与q一真一假，
1
若p真q假，则
2
若p假q真，无解，
?
1
?
∴实数c的取值范围是
?
2
，1
?
.
??
12．已知命题p：关于x的方程x
2
－ax＋3＝0有实根；命题q： 关于x的函
数y＝2x
2
＋ax＋4在[2，＋∞)是增函数，若p∨q为真，p∧q 为假，求实数a的
取值范围．
解：关于x的方程x
2
－ax＋3＝0有实根，
则Δ＝a
2
－12≥0，a≤－23或a≥23，

若函数y ＝2x
2
＋ax＋4在[2，＋∞)是增函数，则－
若p∨q为真，p∧q为假，则p 与q一真一假，
a
≤2，∴a≥－8.
2×2
?
a≤－23或a ≥23，
当p真q假时，
?
∴a<－8，
?
a<－8，
?
－23当p假q真时，
?
∴－23?
a≥－8，
∴实数a的取值范围为(－∞，－8)∪(－23，23)．

13．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命
题q：若S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，则S
m
，S
2m
，S
3m
(m∈N
*
)成等差数列，下
列命题 为真命题的个数是( )
①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q ③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧q
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个


解析：∵p为假命题，q为假命题，
∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁ p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假
命题．故选B.
答案：B
1．4 全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词
1．4.2 存在量词

目 标 导 学
1．理解全称量词与存在量词的意义，会用符号语言表达全称命题与特称命题，
并能判断全称命题与特称命题的真假．
2．通过对全称命题、特称命题的判断，掌握这两种命题的判定方法．
‖知识梳理‖
1．全称量词和全称命题

全称量词
符号表示
全称命题
所有的、任意一个、一切、每一
个…
?
含有全称量词的命题
对M中任意一个x，有p(x)成
表示形式
立，
可用符号简记为“?x∈M，
p(x)”

2.存在量词和特称命题
存在量词
符号表示
特称命题
表示形式


1．全称命题与特称命题的辨析
同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不 同的表述方法，
在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：
“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因
此，要判定一个命题 是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具
体意义去判断．
2．全称命题与特称命题的真假
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个 元素x验证
p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x
0< br>，使
得p(x
0
)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定 一个特称命题
为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x
0
，使得p(x0
)成立即可；否
则，这一特称命题就是假命题．
存在一个、至少有一个、有些…
?
含有存在量词的命题
“存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立”，
可用符号记为“?x
0
∈M，p(x
0
)”

题型一 全称命题与特称命题的判定
判断下列语句是全称命题还是特称命题：
(1)有一个实数a，a不能取对数；
(2)有的向量方向不确定；
(3)自然数的平方是正数；
(4)所有不等式的解集A，有A?R；
(5)y＝cos 2x是周期函数吗？
【思路探索】 利用全称命题与特称命题的概念来判断．
【解】 ∵(1)(2)含有特称量 词，∴命题(1)(2)是特称命题；又∵“自然数的平
方是正数”实际上是“任意一个自然数的平方都 是正数”，∴(3)(4)均含有全称量
词，故为全称命题；(5)不是命题．
综上所述，(1)(2)为特称命题，(3)(4)为全称命题，(5)不是命题．
[名 师 点 拨]
判断一个语句是全称命题还是特称命题的方法步骤：
①判断该语句是否是命题；
②看命题中是否含有量词，该量词是全称量词还是特称量词；
③对不含或省略量词的命题，要根据命题所涉及的实际意义进行判断.
下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
解析：D中含有特称量词“存在”．故选D.
答案：D
题型二 全称命题与特称命题的表述
(1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360°.试用不同的表述写出全
称命题“?x∈S，p(x)”；
(2)设q(x)：x< br>2
＝x，试用不同的表述方法写出特称命题“?x
0
∈R，q(x
0< br>)”．

【思路探索】 本题第(1)题表述为全称命题，第(2)题表述为特称命题，可选
择合适的量词用不同的方式表述．
【解】 (1)依题意可得以下几种不同的表述：
对所有的四边形x，x的内角和为360°；
对一切四边形x，x的内角和为360°；
每一个四边形x的内角和都为360°；
任一个四边形x的内角和为360°；
凡是四边形x，它的内角和都为360°.
(2)依题意可得以下几种不同的表述：
存在实数x
0
，使x
2
0
＝x
0
成立；
2
至少有一个x
0
∈R，使x
0
＝x
0
成 立；
对有些实数x
0
，使x
2
0
＝x
0
成立；
2
有一个x
0
∈R，使x
0
＝x
0
成立；
2
对某一个x
0
∈R，使x
0
＝x
0
成立 ．
[名 师 点 拨]
同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结 如下，在
实际应用中可以灵活选择：
命题
全称命题
“?x∈A，p(x)”
①所有的x∈A，
p(x)成立
②对一切x∈A，
p(x)成立
表述方法
③对每一个x∈A，
p(x)成立
④任意一个x∈A，
p(x)成立
⑤凡x∈A，都有
p(x)成立
①存在x
0
∈A，使p(x
0
)成立
②至少有一个x
0
∈A，使p(x
0
)
成立
③对某些x
0
∈A，p(x
0
)成立
④对某个x
0
∈A，p(x
0
)成立
⑤有一个x
0
∈A，使p(x
0
)成立
特称命题
“?x
0
∈A，p(x
0
)”

将下列各题用量词符号“?”或“?”表示．
(1)整数中0最小；
(2)对于某些实数x，有3x＋1>2；
(3)方程ax
2
＋2x＋1＝0(a<1)至少有一个负根；
(4)实数都能写成小数的形式．
解：(1)?x∈Z，x≥0.
(2)?x
0
∈R,3x
0
＋1>2.
(3)?x
0
<0，ax
2
0
＋2x
0
＋1＝0(a<1)．
(4)?x∈R，x能写成小数的形式．
题型三 判断全称命题与特称命题的真假
(1)(2019·曲靖月考)有四个关于三角函数的命题：
x
0
x0
1
p
1
：?x
0
∈R，sin
2

2
＋cos
2

2
＝
2

p2
：?x
0
，y
0
∈R，sin(x
0
－y< br>0
)＝sin x
0
－sin y
0

p
3
：?x∈[0，π]
1－cos 2x
＝sin x
2
π
p
4
：sin x＝cos y?x＋y＝
2

其中假命题的是( )
A．p
1
，p
4

C．p
1
，p
3

B．p
2
，p
4

D．p
2
，p
3

(2)(2019·江阴期中)已知命题 p：?x∈R，log
2
(x
2
＋x＋a)>0恒成立，命题q：
? x
0
∈[－2,2]使得2
a
≤2x
0
，若命题p∧q为真 命题，则实数a的取值范围为________．
【思路探索】 判断全称命题与特殊命题的真假时常用找一特例来判断．
x
0
x
0
【解析】 (1)∵sin
2

2
＋cos
2

2
＝1，∴p
1
为假；
π
当 x
0
＝
3
，y
0
＝0时，sin( x
0
－y
0
)＝sin x
0
－sin y
0
，∴p
2
为真；
1－cos 2x
2
＝sin
x＝sin x(x∈[0，π])，∴p
3
为真；
2
3πππ
当x＝
4
，y＝
4
时，sin x＝cos y，但x＋y≠
2
，∴p
4
为假，故选A.

(2)若命题p为真，则x
2
＋x＋a>1恒成立，
5
∴Δ＝1－4(a－1)<0，即a>
4
；
若q为真，则a≤2.
∵p∧q为真，
5
∴
4
?
5
?
【答案】 (1)A (2)
?
4
，2
?

??
[名 师 点 拨]
(1)全称命题的真假判断方法：
要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题， 需要对集合M中每个元素x，
证明p(x)成立；要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是假命题，只 需找到M中一个
元素x
0
，使得p(x
0
)不成立即可．
(2)特称命题的真假判断方法：
要判定特称命题“?x
0
∈M，p(x< br>0
)”是真命题，只需在集合M中找到一个元
素x
0
，使p(x
0
)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这
个特称命题是假命 题，即对于?x∈M，p(x)都不成立.
(1)(2019·北京海淀期中)已知a( )
A．?c<0，a>b＋c
C．?c
0
>0，a>b＋c
0

B．?c<0，aD．?c
0
>0，a0

5
(2)已知命题p：?x
0
∈R，使sin x
0
＝
2
；命题q：?x∈R，都有x
2
＋x＋1>0.
给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(﹁q)”是假命题；
③命题“(﹁p)∨q”是真命题；
④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题．
其中正确的是( )
A．②④ B．②③

C．③④ D．①②③
解析：(1)∵a0，则a(2)易知p为 假命题，q为真命题，所以﹁p为真命题，﹁q为假命题，故“p
∧q”为假命题．“p∧(﹁q)”为 假命题，“(﹁p)∨q”为真命题，“(﹁p)∨(﹁q)”
是真命题，故选②③.
答案：(1)D (2)B

1．命题“?x∈[1,2]x
2
－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
C．a≥5
B．a≤4
D．a≤5
解析：若?x∈[1,2]x
2
－a≤0为真命题，
则(x
2
－a)
max
≤0，∴4－a≤0，∴a≥4，
∴命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选C.
答案：C
2．(2019·西安月考)已知命题p：对任意x>0，总有sin x1
：
ax＋2y＋1＝0，l
2
：x＋(a－1)y－1＝0，若l
1
∥l
2
，则a＝2或a＝－1.则下列命题中
是真命题的是( )
A．p∧q
C．(﹁p)∨q
解析：命题p为真命题，
a21命题q中，若l
1
∥l
2
，则
1
＝≠，
a－1
－1
∴a＝2，∴q为假命题，
∴p∨q为真命题，故选D.
答案：D
3．下列命题中的假命题是( )
A．?x
0
∈R，lg x
0
＝0
C．?x∈R，x
3
>0
B．?x
0
∈R，tan x
0
＝1
D．?x∈R,2
x
>0
B．(﹁p)∧(﹁q)
D．p∨q
解析：当x∈R时，x
3
∈R，故选C.
答案：C

2
4．命题“?x
0
∈R，x
0
>3”不可以表述为( )
A．有一个x
0
∈R，使得x
2
0
>3
B．对一些x
0
∈R，使得x
2
0
>3
C．任取一个x∈R，使得x
2
>3
D．至少有一个x
0
∈R，使得x
2
0
>3
2< br>解析：原命题“?x
0
∈R，x
0
>3”是特称命题，“有一个x0
∈R”，“对一些
x
0
∈R”，“至少有一个x
0
∈ R”都与“?x
0
∈R”意义相同，而“任取一个x∈R，
使得x
2
>3”是全称命题，所以C表述不正确．
答案：C
5．(2019·启东期末)若“存在x
0
∈[－1,1]a·3x
0
＋2x
0
＋1>0成立”为真 命题，
则a的取值范围是________．
解析：若“存在x
0
∈[－1 ,1]a·3x
0
＋2x
0
＋1>0成立”为真命题，即存在x
0< br>∈[－
?
2
??
1
?
1,1]－a<
?3
?
x
0
＋
?
3
?
x
0成立，
????
??
2
??
1
??
∴－a<
??
3
?
x
0
＋
?
3
?
x
0
?
max
，
??????
9
?
2< br>??
1
?
∵函数y＝
?
3
?
x
＋< br>?
3
?
x
为减函数，即最大值为，
2
????99
∴－a<
2
，∴a>－
2
.
?
9
?
答案：
?
－
2
，＋∞
?

??

一、选择题
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的实数的平方都是非负数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：①②④是全称命题，③是特称命题．

答案：D
1
2 ．(2019·厦门期末)已知命题p：若a>b，则a
2
>b
2
，命题q： ?x>0，x＋
x
≥2，
则以下为真命题的是( )
A．p∨q
C．p∨(﹁q)
B．p∧q
D．p∧(﹁q)
解析：命题p为假命题，命题q为真命题，∴p∨q为真命题，故选A.
答案：A
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．?x∈R，有ln(x＋1)>0
2
B．sin
2
x＋
sin x
≥3(x≠kπ，k∈Z)
C．函数f(x)＝2
x
－x
2
有三个零点
D．a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件
解析：当x＝0时，ln(x＋1)＝0，A错误；
2
当sin x＝－1时，sin
2
x＋
sin x
＝－1<3，B错误；
f(x)＝2
x
－x
2
有两个零点，C错误；
a>1，b >1?ab>1，反之不成立，∴a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件，D
正确，故选D.
答案：D
2
4．(2019·临川月考)已知命题p：?x
0
∈R ，x
0
＋2ax
0
＋a≤0.若命题p是假命
题，则实数a的取值范 围是( )
A．a<0或a>1
C．0≤a≤1
B．a≤0或a≥1
D．0解析：由题可知，Δ＝4a
2
－4a<0，
即0答案：D
5．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是
( )
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)

B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．?x
0
∈R，f(－x
0
)≠f(x
0
)
D．?x
0
∈R，f(－x
0
)≠－f(x
0
)
解析：若f(x)为偶函数，则有对?x∈R，f(－x)＝f(x)，若f(x)不是偶函数，举出反例即可，即?x
0
∈R，f(－x
0
)≠f(x
0
)，故选C.
答案：C
→
＝(3,4)，
6．下列命题：①在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B；②已知AB
→
＝(－2，－1)，则AB
→
在CD
→
上 的投影为－2；③已知p：?x
∈R，cos x＝1，q：CD
00
?x∈R，x< br>2
－x＋1＞0，则“p∧(﹁q)”为假命题．其中真命题的个数为( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：在△ABC中，由A＞B知，a＞b，由正弦定理可知，sin A＞sin B，故
→
·CD
→
－10
AB
→
在CD
→
上的投影 为①正确；对于②，AB＝＝－25，故②不正确；对于
→
5
|
CD
|
③，p为真命题，q为真命题，∴p∧(﹁q)为假命题，故③正确，∴其中真命题的
个数为 2个．
答案：C
二、填空题
π
??
7．若“?x∈
?
0，
4
?
，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值是________．
??
π
??
解 析：∵x∈
?
0，
4
?
，∴tan x∈[0,1]．又∵tan x≤m是真命题，∴m≥1，即m
??
的最小值是1.
答案：1
8．下列命题中的假命题是________．(填序号)
①?α
0
，β< br>0
∈R，使sin(α
0
＋β
0
)＝sin α
0
＋sin β
0
；
②?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；
3
③?x
0
∈R，使x
0
＋ax
2
0
＋bx
0
＋c ＝0(a，b，c∈R，且为常数)；
④?a>0，函数f(x)＝ln
2
x＋ln x－a有零点．

π
解析：取β
0
＝0，则sin(α
0
＋β
0
)＝sin α
0
＋sin β
0
＝sin α
0
.∴①正确；取φ＝
2
，
π< br>??
32
2x＋
??
函数f(x)＝sin＝cos 2x是偶函数， ∴②不正确；令f(x)＝x＋ax＋bx＋c，
2
??
则当x→－∞时，f(x)→ －∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，又f(x)在R上是连续的，
32
∴?x
0< br>∈R，使x
0
＋ax
2
0
＋bx
0
＋c＝0 ，∴③正确；当f(x)＝0时，a＝lnx＋ln x＝
1
?
2
11
?
2
ln x＋
??
－≥－，∴?a>0，f(x)＝ln
x＋ln x－a有零点，∴④正确．
2
?
44
?
答案：②
2
9．若命题“?x
0
∈R，使得x
0
＋(1－a)x
0
＋1<0”是真命题，则实数 a的取值
范围是________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)
2
－4>0，
解得a<－1或a>3.
答案：a<－1或a>3
三、解答题
10．选择合适的量词“?”、“?”，加在p(x)的前面，使其成为一个真命
题：
(1)x>π；
(2)|x|≥0；
(3)x是偶数；
(4)若x是无理数，则x
2
是无理数；
(5)a
2
＋b
2
＝c
2
(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示)．
解：(1)?x
0
∈R，x
0
>π.
(2)?x∈R，|x|≥0.
(3)?x
0
∈Z，x
0
是偶数．
4
2
(4)?x
0
∈R，若x
0
是无理数，则x
0
是无理数(如 x
0
＝2)．
22
(5)?a
0
，b
0
，c
0
∈R，有a
0
＋b
2
0
＝c
0.
11．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a
x
>0；
(2)对任意实 数x
1
，x
2
，若x
1
2
，则tan x
1
2
；
(3)?T
0
∈R，使|sin(x＋T
0
)|＝|sin x|；

(4)?x
0
∈R，使x
2
0
＋1<0.
解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵当a>0，且a≠1，?x∈R，a
x
>0恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x
1
＝0，x
2
＝π ，x
1
2
，但tan x
1
＝tan x
2
＝0，
∴命题(2)是假命题．
(3)∵y＝|sin x|是周期函数，π是它的一个周期，
∴当T
0
＝π时，|sin(x＋π)|＝|sin x|成立，故命题(3)是真命题．
(4)∵?x∈R，x
2
＋1>0，∴命题(4)是假命题．
12．(20 19·邵阳月考)已知p：?x∈R，ax
2
－x＋3>0，q：?x
0
∈[ 1,2]a·2x
0
≥1.
(1)若p为真命题，求a的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，－x＋3>0不恒成立；
?
a>0，
当a≠0时，
?

?
Δ＝1－12a<0，
1
∴a>，
12
∴若p为真命题 ，则a
?
?
?
1
的取值范围是
?
a
?a>
12
?
?
?


?
?
?
.
?
?
?
1
?
(2)若q为真命题，则a≥
?
2x
?
min
，x
0
∈[1,2]
?
0
?
1
∴a≥
4
，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q一真一假，
1
a>
?
?
12
，
当p真q假，则
?
1
a<
?
?
4
，
当p假q真，则
?
1
a≥
?
?
4
，
1
?
?
a≤
12
，


11
∴
12
4
；
无解．

∴a
?
?
?
11
的取值范围为
?
a
?
12
4
?
?
?

?
?
?
.
?
?

13．(2019·宣 城月考)已知命题p：对任意x∈R，不等式2
x
＋|2
x
－2|>a
2
－a恒
成立；命题q：关于x的方程x
2
＋2ax＋1＝0有两个不相等 的实数根，若“(﹁p)
∨q”为真命题，“(﹁p)∧q”为假命题，则实数a的取值范围是____ ____．
?
2，x≤1，
解析：令f(x)＝2＋|2－2|＝
?x
＋
1

?
2
－2，x>1，
xx

∴f(x)
min
＝2.
若命题p为真命题，则a
2
－a<2，∴－1若命题q为真命题，则Δ＝4a
2
－4>0，
∴a<－1或a>1.
∵(﹁p)∨q为真命题，(﹁p)∧q为假命题，
则﹁p与q一真一假，
?
a≤－1或a≥2，
若p假q假，则
?
∴a＝－1；
?
－1≤a≤1，
?
－1若p真q真，则
?
∴1< a<2.
a<－1或a>1，
?
故a的取值范围是{a|a＝－1或1＜a＜2}．
答案：{a|a＝－1或1＜a＜2}
1．4.3 含有一个量词的命题的否定

目 标 导 学
1．理解全称命题、特称命题与其否定之间的关系．
2．能正确的对含有一个量词的命题进行否定．
‖知识梳理‖
含有一个量词的命题的否定
全称命题
?x∈M，p?x?
否定
特称 命题
?x
0
∈M，綈p?x
0
?

1．全称命题的否定
对全称命题的否定应注意两点：一是更换量词，即把全称量词更换为存在量
词；二是否定结论．
全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反，因此，要证明一个
全称命题是假命题只 要举出一个反例即可．
2．特称命题的否定
特称命题的否定是全称命题，否定时也应注意两点：
一是把存在量词更换为全称量词，二是否定结论．其特称命题的否定与特称
命题真假性相反．

题型一
全称命题的否定
写出下列全称命题的否定，并判断真假．
(1)对任意x∈R，x
3
－x
2
＋1≤0；
(2)所有的正方形都是矩形；
(3)所有能被5整除的整数都是奇数；
1
(4)对任意的x∈Q，x
2
＋x＋
2
是有理数．
【思路探索】 全称命题的否定是特称命题，因此，更换全称量词为存在量
词，否定结论．特称 命题与全称命题真假性相反．
2
【解】 (1)命题的否定：至少存在一个x
0∈R，使x
3
0
－x
0
＋1>0成立．如：当
x
0
＝2时，2
3
－2
2
＋1＝5>0，是真命题．
(2)命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)命题的否定：至少存在一个能被5整除的整数不是奇数，是真命题．
1
2(4)命题的否定：?x
0
∈Q，x
0
＋x
0
＋
2
不是有理数．
因为有理数的加、减、乘、除的运算结果还是有理数．
所以，命题的否定是假命题．
[名 师 点 拨]
在写全称命题的否定时，要注 意两个方面：一是注意全称量词改写为存在量

词；二是结论的否定．如果命题中量词省略 了，应将量词补充之后再写它的否定.
(1)(2019·凌源期末)命题?x>0,2
x
>1的否定是( )
A．?x>0,2
x
<1
C．?x
0
>0,2x
0
<1
B．?x>0,2
x
≤1
D．?x
0
>0,2x
0
≤1
(2)(2019·江南十 校检测)已知命题p：?x>0,3
x
＋x
2
>1，则﹁p为( )
2
A．?x
0
>0,3x
0
＋x
0
≤1 B．?x
0
≤0,3x
0
＋x
2
0
≤1
D．?x≤0,3
x
＋x
2
≤1
C．?x>0,3
x
＋x
2
≤1
解析：(1)命题?x >0,2
x
>1的否定为?x
0
>0,2x
0
≤1，故选D .
(2)命题p的否定为?x
0
>0,3x
0
＋x
20
≤1，故选A.
答案：(1)D (2)A
题型二
特称命题的否定
写出下列特称命题的否定，并判断真假．
(1)?x
0
∈R,3x
0
＋1≤0；
(2)有一个奇数不能被3整除；
(3)存在实数m
0
，使方程x
2
＋x－m
0
＝0有实根；
(4)若a
n
＝－2n＋10 ，则存在n
0
∈N，使Sn
0
<0(S
n
是数列{a
n
}的前n项和)．
【思路探索】 特称命题的否定是全称命题，因此更换存在量词为全称量词，
否定结论即可．
【解】 (1)命题的否定：?x∈R,3x＋1>0，是假命题．
(2)命题的否定：任何奇数都能被3整除，是假命题．
(3)命题的否定：对任意实数m，方程x
2
＋x－m＝0无实数根，是假命题． < br>(4)命题的否定：若a
n
＝－2n＋10，则?n∈N，有S
n
≥0 (S
n
是数列{a
n
}的前n
项和)，是假命题．
[名 师 点 拨]
特称命题的否定是全称命题，在书写特称命题的否定时需把存在量词改为全
称量 词，同时也要否定结论．
(1)(2019·上饶月考)命题p：?x
0
∈(0， ＋∞)，x
2
0
≤x
0
－2，
则﹁p是( )
A．?x
0
∈(0，＋∞)，x
2
0
>x
0
－2

B．?x∈(0，＋∞)，x
2
≤x－2
2
C．? x
0
∈(0，＋∞)，x
0
≥x
0
－2
D．?x∈(0，＋∞)，x
2
>x－2
(2)(2019·永春月考)命 题“?x∈R，?n
0
∈N
*
，使得n
0
≤x
2< br>”的否定形式是
( )
A．?x∈R，?n
0
∈N
*，使得n
0
>x
2

B．?x∈R，?n∈N
*
，使得n>x
2

C．?x0
∈R，?n
0
∈N
*
，使得n
0
>x
2
0

2
D．?x
0
∈R，?n∈N
*
，使得n>x
0

答案：(1)D (2)D
题型三 含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)非负数的平方是正数；
(2)两条互相垂直的直线的斜率之积等于－1；
(3)?x
0
，y
0
∈Z，使得 2x
0
＋y
0
＝3.
【思路探索】 先分析是全称命题还是特称命题，然后进行否定，再判断真
假．
【解】 (1)否定形式：存 在一个非负数的平方不是正数．因为0
2
＝0，不是
正数，所以该命题是真命题． < br>(2)否定形式：存在两条互相垂直的直线的斜率之积不等于－1.因为当两条直
线分别平行于坐 标轴时，斜率之积不存在，所以是真命题．
(3)否定形式：?x，y∈Z，都有2x＋y≠3.
因为当x＝0，y＝3时，有2x
0
＋3＝3.所以是假命题．
[名 师 点 拨]
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还
是特称命 题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存
在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．
常见词语的否定形式
正面 是 都是 ＞ 至少 至多 对任意x∈A

词语
否定
词语
不
是
有一个
一个也
没有
有一个
至少有
两个
使p(x)真
存在x
0
∈
A，
使p(x
0
)假
不都是 ≤
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)?x
0
∈R，使x
2
0
＝1；
(2)?x∈R，x
2
－3x＋2＝0；
(3)?x
0
， y
0
∈R，如果x
0
＋|y
0
|＝0，则x
0＝0且y
0
＝0；
(4)所有能被5整除的整数都是奇数．
解：(1)命题的否定是：?x∈R，使x
2
≠1.是假命题．
(2)命题 的否定是：?x
0
∈R，x
2
0
－3x
0
＋2≠0 .是真命题．
(3)命题的否定是：?x，y∈R，如果x＋|y|＝0，则x≠0或y≠0.是假命题．
(4)命题的否定是：存在能被5整除的整数不是奇数．是真命题．
题型四 由含量词的命题求参数
已知m∈R，设p：?x∈[－1,1]x
2
－2x－4 m
2
＋8m－2≥0成立；q：?
1
x
0
∈[1,2]lo g
2
(x
2
0
－mx
0
＋1)<－1成立，如果“ p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数
m的取值范围．
【思路探索】 分别求出命题p和命题q为真命题时m的取值范围，再根据
题意列不等式组求解．
【解】 若 p为真，设f(x)＝x
2
－2x－4m
2
＋8m－2＝(x－1)
2
－4m
2
＋8m－3，
∴x∈[－1,1]f(x)
min
＝－4m
2
＋8m－3≥0，
13
∴
2
≤m≤
2
.
1
2
若q 为真，?x
0
∈[1,2]log
2
(x
2
0
－m x
0
＋1)<－1，即x
0
－mx
0
＋1>2，
2
x
2
－1
?
0
－1
?
x
0?
max
，
∴m<
x
，只需m<
?
0
?
x
0
?
x
2
－1
1
∵g(x)＝x
＝x－
x
在[1,2]为增函数，
3
?
x
2
0
－1
?
?
max
＝.
∴当x
0
＝2时，
?< br>2
?
x
0
?

3
∴m<
2.
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假，
13
≤m≤
?< br>?
22
，
当p真q假时，
?
3
m≥
?
?
2
，
当p假q真时，
?
3
m<
?
?< br>2
，
综上，m的取值范围是
13
m<
或m>
?
?
22
，


3
∴m＝
2
；
1
∴m<
2
，
[名 师 点 拨]
全称量词“?”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题， 而
特称量词“?”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，含参数的问题
可以利用参数 分离法求参数的取值范围.
若命题“?x
0
∈R，使得x
2
0< br>＋mx
0
＋2m－3<0”为假命题，
则实数m的取值范围是( )
A．[2,6]
C．(2,6)
B．[－6，－2]
D．(－6，－2)
2
解析：∵命题“?x
0
∈R，使得x
0
＋mx
0
＋2m－3<0”为假命题，∴命题“?x
∈R，使得x
2
＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ＝m
2
－4(2m－3)≤0，∴2≤m ≤6.
答案：A

1．命题“?x∈R，x
2
≠x”的否定是( )
A．?x?R，x
2
≠x
B．?x∈R，x
2
＝x
C．?x
0
?R，x
2
0
≠x
0

D．?x
0
∈R，x
2
0
＝x
0

解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：D

2
2．(2 019·闽侯二中期末)“?x
0
∈R，x
0
－x
0
＋1≤ 0”的否定是( )
A．?x
0
∈R，x
2
0
－x
0
＋1<0
B．?x∈R，x
2
－x＋1<0
C．?x
0
∈R，x
2
0
－x
0
＋1≥0
D．?x∈R，x
2
－x＋1>0
解析：特称命题的否定是全称命题．
答案：D
3．(2019·分宜月考)若命题：对任意x∈R，kx
2
－k x－1<0是真命题，则实数
k的取值范围是( )
A．(－4,0) B．(－4,0]
D．(－∞，－4]∪[0，＋∞) C．(－∞，－4]∪(0，＋∞) 解析：由题可知，当k＝0时，不等式可化为－1<0，恒成立，符合题意；当
?
k<0，
k≠0时，若对任意x∈R，kx
－kx－1<0是真命题，则
?
即－4?
Δ＝k
2
＋4k<0，
2

综上，实数k的取值范围是(－4,0]．
答案：B
2
4．若存在x0
∈R，使ax
0
＋2x
0
＋a<0，则实数a的取值范围是_ _______．
2
解析：当a≤0时，显然存在x
0
∈R.使ax
0
＋2x
0
＋a<0成立．
当a>0时，需满足Δ＝4－4a
2
>0，解得－1综上，知a<1.
答案：(－∞，1)
5．已知命题p：“?a
0
>0，使函数f(x)＝a
0
x
2
－4x在(－∞，2)上单调递减”，< br>命题q：“?a
0
∈R，使?x∈R,16x
2
－16(a
0
－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真
命题，求实数a
0
的取值范围．
－4
2
解：若p为真，则对称轴x＝－
2a
＝
a
≥ 2，又∵a
0
>0，
00
∴00
≤1.
若q为真，则方程16x
2
－16(a
0
－1)x＋1＝0无实根，
∴Δ＝[16(a
0
－1)]
2
－4×16×1<0，即4a
2
0
－8a
0
＋3<0，
13
∴
2
0
<
2
.

00
≤1，
?
?
∵命题“p∧q”为真命题，∴
?
13
0
?
2
，
?
2
?
1
?
∴实数a
0
的取值范围是
?
2
，1< br>?
.
??

1
∴
2
0
≤1.

一、选择题
1．设命题p：?x∈R，x
2
＋1>0，则﹁p为( )
A．?x
0
∈R，x
2
0
＋1>0
B．?x
0
∈R，x
2
0
＋1≤0
C．?x
0
∈R，x
2
0
＋1<0
D．?x∈R，x
2
＋1≤0
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：B
2．命题“?n∈N
*
，f(n)∈N
*
且f( n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N
*
，f(n)∈N
*
且f(n)>n
B．?n∈N
*
，f(n)∈N
*
或f(n)>n
C．? n
0
∈N
*
，f(n
0
)∈N
*
且f(n
0
)>n
0

D．?n
0
∈N
*
，f(n
0
)?N
*
或f(n
0
)>n
0

解析：全称命题的否定是特称命题，“且”的否定是“或”，故选D.
答案：D
3．命题“?x>0，x－1－ln x≥0”的否定是( )
A．?x>0，x－1－ln x<0
B．?x
0
≤0，x
0
－1－ln x
0
≥0
C．?x
0
>0，x
0
－1－ln x
0
<0
D．?x
0
≤0，x
0
－1－ln x
0
<0
答案：C
4．(2019·鄱阳一中检测)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x
2
＝1，则x＝1”的否命题为“若x
2
＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x
2
－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“?x
0
∈R，使得x
2
均有x
2
＋x－1> 0”
0
＋x
0
－1<0”的否定是“?x∈R，
D．命题“若x＝ y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：命题“若x
2
＝1，则 x＝1”的否命题为“若x
2
≠1，则x≠1”，A错；
由x
2
－5 x－6＝0，得x＝－1或x＝6，故“x＝－1”是“x
2
－5x－6＝0”的充分不
必要条件，B错；命题“?x
0
∈R，使得x
2
0
＋x
0
－1<0”的否定为“?x∈R，使得
x
2
＋x－1≥0”，C错；“若x＝ y，则sin x＝sin y”是真命题，则其逆否命题也为
真，D正确，故选D.
答案：D
5．下列命题是全称命题，并且是真命题的是( )
A．无论m取何正数，方程x
2
＋x＋m＝0必无实根
B．存在实数大于等于3
C．对任意x∈R，有x
2
－4x＋5≥0
D．有的三角形没有外接圆
解析：C为全称命题，且x
2
－4x＋5＝(x －2)
2
＋1≥0，故选C.
答案：C
6．已知命题p“对?x∈R，? m
0
∈R，使4
x
＋m
0
2
x
＋1＝0” ．若命题﹁p是
假命题，则实数m
0
的取值范围是( )
A．[－2,2]
C．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
D．[－2，＋∞)
解析：∵﹁p是假命题，∴p是真命题，即求原命题为真时m
0
的取值范围．
x
4
＋1
1
由4
x
＋m
0
2
x
＋1＝0，得－m
0
＝
2
x
＝2
x
＋2
x
≥2.
∴m
0
≤－2.故选C.
答案：C
二、填空题
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是________．
答案：有些偶函数的图象不关于y轴对称
8．(2019·焦作月考)已知命题p：?x
0
∈R，使tan x
0＝1；命题q：x
2
－3x＋2<0
的解集是{x|1①命题“p且q”是真命题；②命题“p且﹁q”是假命题；③命题“﹁p或

q”是真命题；④命题“﹁p或﹁q”是假命题．其中正确结论的序号为________．
解析：∵p，q均为真命题，∴①②③④均为真命题．
答案：①②③④
9．已知下列命题，其中是真命题的是________．
2
①命题“?x
0
∈R，x
0
＋1>3x
0
”的否定是“?x∈R，x
2< br>＋1<3x”
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(﹁p)∧(﹁q)”为真命
题
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题
2
解析：命题“?x0
∈R，x
0
＋1>3x
0
”的否定是“?x∈R，x
2
＋1≤3x”，①错
误；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，∴(﹁p)∧(﹁q)为 真命题，②正确；
“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，③错误；若xy＝0，则x＝0且y＝0 ，是假命题，
故逆否命题为假命题，④错误．
答案：②
三、解答题
10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)存在一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形；
(2)?a∈R，函数f(x)＝ax
2
＋3的值域是[3，＋∞)；
x< br>0
x
0
1
(3)?x
0
∈R，sin
22
＋cos
2
2
＝
2
；
(4)不论m取何值，方程x
2
＋x－m＝0必有实数根．
解：(1)是真命题．命题的否定：所有三棱锥的侧面不都是直角三角形．
(2)假命题．命 题的否定：?a
0
∈R，函数f(x)＝a
0
x
2
＋3的值 域不是[3，＋∞)．
xx1
(3)假命题．命题的否定：?x∈R，sin
2＋cos
2
≠
.
222
(4)假命题．命题的否定：存在实数 m
0
，使得方程x
2
＋x－m
0
＝0没有实数根．
11．若命题：“对任意实数x,2x>m(x
2
＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知，不等式2x>m(x
2
＋1)恒成立，即不等式mx
2
－2x＋m<0恒成立．
①当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意． < br>?
m<0，
②当m≠0时，要使不等式mx－2x＋m<0恒成立，则
?
解得m<
2
4－4m<0，
?
2

－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)．
4
?
1
?< br>12．(2019·沙市月考)已知函数f(x)＝x＋
x
，g(x)＝2
x< br>＋a，若?x
1
∈
?
2
，1
?
，?
??
x
2
∈[2,3]f(x
1
)≥g(x
2
)恒 成立，求实数a的取值范围．
解：由题可知，f(x)
min
≥g(x)
max
，
?< br>1
?
∵f(x)在
?
2
，1
?
上为减函数，
??
∴f(x)
min
＝f(1)＝5，
∵g(x)在[2,3]上为增函数，
∴g(x)
max
＝g(3)＝8＋a，
∴8＋a≤5，
∴a≤－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．

?
x＋ y≥6，
13．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组
?
表示的平面区域为D.命题p： ?
?
2x－y≥0
(x
0
，y
0
)∈D,2x0
＋y
0
≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命 题：
①p∨q ②(﹁p)∨q ③p∧(﹁q) ④(﹁p)∧(﹁q)
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③
C．②③
解析：可取(6,1)∈D，
∵6×2＋1＝13>9，∴命题p为真命题，
∵2×6＋1＝13>12，∴命题q为假命题，
∴p∨q为真命题，p∧(﹁q)为真命题，故选A.
答案：A
B．①②
D．③④

1.四种命题的形式及关系

2．四种命题的真假关系
原命题与逆否命题 为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，它们具有相同
的真假性．因此，当一个命题不易判断真假时， 可转化为其等价命题进行判断．从
而达到化难为易的目的，同时也体现了等价转化的思想．
(2019·吉林月考)给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x
2
＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
π
④若tan α＝1，则α＝
4
.
其中为真命题的是(写出所有真命题的序号)________．
【思路探索】 判断命题真 假时可以利用已有的数学公式、定理、结论进行
正面直接判断，也可以利用互为逆否的等价关系进行判断 命题．
【解析】 命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互
为相 反数，则x＋y＝0”，①为真命题；不全等的三角形的面积不相等，②为假命
题；③的原命题为真，所 以它的逆否命题为真，③为真命题；若tan α＝1，则α＝
π
kπ＋
4
(k∈Z)，④为假命题．
【答案】 ①③

1.定义法
条件(符号表示)
p?q且qp
p与q的关系
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件
p与q互为充要条件
p与q互为既不充分也不必要
条件
pq且q?p
p?q且q?p (p?q)
pq且qp
2.集合法：令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}

条件(符号表示)
AB
p与q的关系
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件

BA
p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件
p与q互为充要条件
p与q互为既不充分也不必要条件
A＝B
A

B且BA

3．等价法：利用四种命题的等价关系判断
“p?q”?“﹁q?﹁p”，“q?p”?“﹁p?﹁q”．
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝a
n
＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{a< br>n
}是
等比数列的充要条件．
a
1
?1－q
n?
a
1
a
1
n
【思路探索】 先由等比数列前n项和公 式S
n
＝
＝－
q
，
1－q1－q1－q
对比知，b ＝－1.再证明b＝－1时，{a
n
}是等比数列．
【解】 当n＝1时，a
1
＝S
1
＝a＋b；
当n≥2时，a
n< br>＝S
n
－S
n
－
1
＝a
n
－
1
(a－1)．
∵a≠0且a≠1，
a
n
＋
1
a
n
?a－1?
∴
a
＝
n
－
1
＝a.
a
?a－1?
n
a
2
a
n
＋1
若{a
n
}为等比数列，则
a
＝
a
＝a，
1n
a?a－1?
∴＝a，∴a－1＝a＋b，∴b＝－1.
a＋b
这是{a
n
}为等比数列的必要条件．
再证b＝－1是{a
n
}为等比数列的充分条件．
当b＝－1时，a
1
＝a－1，也适合a
n
＝a
n
－
1
(a－1) ．
∴a
n
＝a
n
－
1
(a－1)(n∈N
＋
)．
a
n
＋
1
则
a
＝a(n∈N< br>＋
)．∴{a
n
}是等比数列．
n
故b＝－1是{a
n
}为等比数列的充要条件．

1. 常用的逻辑联结词有“且”“或”“非”．用其联结命题p，q，可构成形
式分别为“p且q”“p或q ”“非p”的命题．

2．“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定为非p，只 否定命题p
的结论；否命题既否定它的条件，又否定它的结论．
3．命题p，q的运算“且”“或”“非”与集合P，Q的运算“交”“并”“补”
相对应．
?
1
?
(2019·六安月考)已知p：关于x的不等式x
2< br>－2x＋3>m在
?
2
，2
?
上
??
恒成立 ，q：关于x的方程x
2
＋mx＋m＝0无实根，若p∨q为真命题，p∧q为假
命题 ，求实数m的取值范围．
【思路探索】 先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围，再根据复< br>合命题的真假确定各个简单命题的真假情况，写出满足条件的参数的取值范围．
【解】 若p为真，则(x
2
－2x＋3)
min
>m，
∵x
2< br>－2x＋3＝(x－1)
2
＋2，当x＝1时，x
2
－2x＋3有最小 值2，
∴m<2.
若q为真，则Δ＝m
2
－4m<0，即0若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p与q一真一假．
?
m<2，
若p真q假，则
?
则m≤0，
?
m≥ 4或m≤0，
?
m≥2，
若p假q真，则
?
则2≤m＜4，
?
0综上，实数m的取值范围为{m|m≤0或2≤m<4}.

1.含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．由于
自然语言的不同， 它们可能有不同的表述形式，在实际判断中要视情形而定．
2．判断全称命题为真时，需要推理证明， 而判断全称命题为假时，只需举出
反例．判断特称命题为真时，需要举出正例，而判断特称命题为假时， 需要推理
证明．
3．对于含有一个量词的命题进行否定时，既要更换量词，也要否定结论．因
此，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
判断下列命题是全称命题，还是特称命题，写出命题的否定，并判
断其真假．

< /p>

(1)有一个实数x
0
，使sin
2
x
0＋cos
2
x
0
≠1；
1
(2)?x∈R，x
2
－x＋
4
≥0；
(3)存在实数x
0
，使得
1
＝2；
x
2
0
－x
0
＋1
(4)任何一条直线都存在斜率；
(5)与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
【思路探索】 本题中既有全称命题又有特称命题，对它们进行否定，先要
改变量词，再否定结论．
【解】 (1)是特称命题．否定：?x∈R，sin
2
x＋cos
2
x＝1，它是真 命题．
1
(2)是全称命题．否定：?x
0
∈R，x
2
－ x＋
00
4
<0.
1
?
1
?
∵x
2
－x＋
4
＝
?
x－
2
?
2
≥ 0，∴它是假命题．
??
(3)是特称命题．否定：?x∈R，
1
≠2.
x
2
－x＋1
?
1
?
31
∵x
2
－x＋1＝
?
x－
2
?
2
＋
4
>
2
，∴它是真命题．
??
(4)是全称命题．否定：存在一条直线不存在斜率，它是真命题．
(5)是全 称命题．省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的
角相等的直线平行”，否定：存在两 条与同一平面所成的角相等的直线不平行，
是真命题．
阶段性测试题一
第一章 常用逻辑用语
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，< br>真命题的个数是( )
A．0
C．3
B．2
D．4 < /p>

解析：原命题假，逆命题“若A＝B，则A?B”为真．所以否命题为真，逆
否命 题为假．
答案：B
2．(2019·蕉岭期中)“m<2”是“一元二次不等式x
2
＋mx＋1>0的解集为R”的
( )
A．充要条件
C．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
解析：若一元二次不等式x
2
＋mx＋1>0的解集为R，
则m
2
－4<0，∴－2∴“m<2”是“一元二次不等式x< br>2
＋mx＋1>0的解集为R”的必要不充分条件，
故选D.
答案：D
3．(2019·宁德月考)下列四个命题中真命题是( )
A．?n∈R，n
2
≥n
B．?n
0
∈R，?m∈R，m·n
0
＝m
C．?n∈R，?m
0
∈R，m
2
0
D．?n∈R，n
2
111
解析：当n＝
2
时，
4
<
2
，A为假；
当n
0
＝1时，m·n
0
＝m，B为真；
2
当n<0时，不存在m
0
∈R，m
0
当n＝1时，n
2
＝n，D为假，故选B.
答案：B
4．(20 19·白山联考)“m＝－3”是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋
2)y＋2＝0 互相平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋2)y＋2＝0互相平行，

m＋1
1
由
2
＝，得m＝0或m＝－3，
m＋2
当m＝0时，两直线为x＋y＋1＝0与2x＋2y＋2＝0，两直线重合，
当m＝－3时，两直线为－2x＋y＋1＝0与2x－y＋2＝0，两直线平行，
∴m＝－3 是“直线(m＋1)x＋y＋1＝0与直线2x＋(m＋2)y＋2＝0互相平行”
的充要条件，故选C .
答案：C
5．(2019·枣庄期中)已知命题p：N?Q；命题q：?x>0，e
ln x
＝x，则下列命
题中的真命题为( )
A．p∧q
C．(﹁p)∧q
B．p∧(﹁q)
D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：p，q均为真命题，∴p∧q为真命题．故选A.
答案：A
6．下列命题中是假命题的是( )
A．命题“若x≠1，则x
2
－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x
2
－3x＋2＝0，则
x＝1”
B．若命题 p：?x∈R，x
2
＋x＋1≠0，则﹁p：?x
0
∈R，x
20
＋x
0
＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x>2”是“x
2
－3x＋2>0”的充分不必要条件
解析：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．
答案：C
7．给出下列命题：
①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分不必要条 件；②已知平面向
量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；③ 已知a，b∈R，
“a
2
＋b
2
≥1”是“|a|＋|b|≥1”的 充分不必要条件；④命题p：“?x
0
∈R，使
ex
0
≥x
0
＋1且ln x
0
≤x
0
－1”的否定为﹁p：“?x∈R，使e
x
x－1”，
其中正确命题的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：由a>1且b>1?ab>1，但当a＝ －2，b＝－1时，ab>1，此时a<1且

b<1，∴a>1且b>1是ab>1的充 分不必要条件，①正确；|a|>1，|b|>1是|a＋b|>1
的既不充分也不必要条件，②错误； a
2
＋b
2
≥1?|a|
2
＋|b|
2
≥ 1?(|a|＋|b|)
2
－2|a||b|≥1
24
?|a|＋|b|≥1 ，但|a|＋|b|≥1A?a
2
＋b
2
≥1，比如a＝b＝
3，|a|＋|b|＝
3
≥1，但是a
2
8
＋b
2
＝
9
<1，∴a
2
＋b
2
≥1是|a|＋|b|≥1的充 分不必要条件，③正确；﹁p：?x∈R，
使e
x
x－1，④错误，故选C.
答案：C
5
8．(2019·沙市中学期末)已知命题p：?x
0
∈R，cos x< br>0
＝
4
；命题q：?x∈R，
x
2
－x＋1>0.则 下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧(﹁q)是真命题
C．命题(﹁p)∧q是真命题
D．命题(﹁p)∨(﹁q)是假命题
解析：p为假命题，q为真命题，则(﹁p)∧q为真命题，故选C.
答案：C
9 ．(2019·永春一中期末)命题p：?x
0
∈R，(a－2)x
2
0＋2(a－2)x
0
－4≥0，若命
题p为假命题，则a的取值范围是( )
A．(－2,2)
C．(－∞，2]
B．(－2,2]
D．(－∞，－2)
解析：若p为假命题，则﹁p为真命题，
即?x∈R，(a－2)x
2
＋2(a－2)x－4<0恒成立，
当a＝2时，－4<0恒成立；
?
a－2<0，
当a≠2时，
?

2
?
Δ＝4?a－2?
＋16?a－2?<0，
即－2∴a的取值范围为(－2,2]故选B.
答案：B
10．下列说法正确的是( )
A．a＝1是直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直的充要条件

π
?
π
?
B．直线x＝
12
是函数y＝2sin
?
2x－
6
?
的图象的一条对称轴
??
C．已知 直线l：x＋y＋2＝0与圆C：(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝2，则圆心 到直线的距
离是22
D．若命题p：“存在x
0
∈R，x
2
0
－x
0
＋1>0”，则命题p的否定：“任意x∈
R，x
2－x＋1≤0”
解析：分析四个选项易知，D正确．
答案：D
11．设p： 2x－1≤1，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分
条件，则实数a的取 值范围是( )
1
??
A.
?
0，
2
?

??
1
??
0，
B.
?

2
?< br>??
?
1
?
C．(－∞，0]∪
?
2
，＋∞
?

??
?
1
?
D．(－∞，0)∪
?< br>2
，＋∞
?

??
1
解析：由p得，
2≤x≤1，由q得，a≤x≤a＋1，又q是p的必要不充分条
1
?
?
a ≤
，
件，所以
?
2
?
?
a＋1≥1
答案： A
12．已知函数f(x)＝x
2
＋bx，则“b<0”是“f[f(x)]的最小 值与f(x)的最小值相等”
的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

1
(等号不能同时成立)，即0≤a≤
2
.
b
???b
?
解析：当b<0时，f(x)＝x
2
＋bx在
?
－ ∞，－
2
?
上单调递减，在
?
－
2
，＋∞
?
上
????
2
b
2
?
b
??
b
?
2
?
b
??
b
?
单调递增，∴f(x)
min
＝f
?
－
2
?
＝
?
－2
?
＋b×
?
－
2
?
＝－
4
，∴f(x)∈
?
－
4
，＋∞
?
.又－
????? ???
b
?
b
2
b
2
b
2
??< br>b
?
?
－，＋∞
?
，∴f[f(x)]
min
＝f
?
－
2
?
＝－
4
，∴f[f(x)]与f( x)有相等的最小值－
4
；
2
∈
?
4
???

另一方面，当b＝0时，f(x)＝x
2
与f[f(x)]＝x
4< br>有相等的最小值0，故选A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线
上)
1 3．(2019·天水一中月考)设命题p：?x
0
∈R，ex
0
>1，则﹁ p为________．
答案：?x∈R，e
x
≤1
14．下列说法正确的是________．
①命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是真命题；
2
②命题“?x< br>0
∈R，x
0
－x
0
－1<0”的否定是“?x∈R，x2
－x－1≥0”；
③a<0时，幂函数y＝x
a
在(0，＋∞)上单调递减；
④若|a|＝1 ，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则b在向量a上的投影
为1.
解析：易知 ②③正确．对于①，命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题
是“若x≤0或y≤0，则x＋ y≤0”是假命题，∴①错．对于④，向量b在向量a
?
1
?
上的投影为|b |cos 120°＝2×
?
－
2
?
＝－1，∴④错．
??
答案：②③
15．已知p：(x－m)
2
>3(x－m)是q ：x
2
＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数
m的取值范围为________．
解析：由(x－m)
2
>3(x－m)
得(x－m)(x－m－3)>0，得xm＋3，
由x
2
＋3x－4<0得－4若p是q的必要不充分条件，
则q?p，∴m≥1或m＋3≤－4，
∴m≥1或m≤－7，
∴实数m的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)
16．已知命题p：(a－2)
2
＋ |b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x
2
－3x＋2＜0的解
集是{x|1＜x ＜2}，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(﹁q)”是假命题；
③命题“(﹁p)∨q”是真命题；
④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题．
其中正确的序号是________．
解析：∵命题p为真命题，命题q也为真命题，
∴p∧q为真命题，p∧(﹁q)为假命题， (﹁p)∨q为真命题，(﹁p)∨(﹁q)为假
命题，故①②③④均正确．
答案：①②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证
明过程或演算步骤 )
17．(10分)已知命题“若a>c，b>c，则a＋b>2c”，试写出该命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若a＋b>2c，则a>c，b>c.假命题．
否命题：若a≤c或b≤c，则a＋b≤2c.假命题．
逆否命题：若a＋b≤2c，则a≤c或b≤c.假命题．
18．(12分)已知p：x2
＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根，q：方程4x
2
＋
(4m－ 2)x＋1＝0无实数根．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p为假q为真，求实数m的取值范围．
?
Δ＝m
2
－4> 0，
?
解：(1)由题意知，∴m>2.∴实数m的取值范围是(2，＋∞)．
?< br>－m<0，
13
(2)若q为真，Δ＝(4m－2)
2
－16<0，∴ －
2
2
.
m≤2，
?
?
当p为假q为真时，
?
1

3
－
，
?
2
?
2
13
∴－
2
2
.
?
13
?
综上可知，m∈
?
－
2
，
2
?
.
??

19．(12分)(2019·铜陵一中期中)已知m∈R，命题p：对任意 x∈[0,1]不等式
2x－2≥m
2
－3m恒成立，命题q：存在x
0∈[－1,1]使得m≤ax
0
成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
解：(1)∵对任意x∈[0,1]不等式2x－2≥m
2
－3m恒成立，
∴(2x－2)
min
≥m
2
－3m，∵x∈[0,1]时，(2x－2)< br>min
＝－2，∴m
2
－3m≤－2，解
得1≤m≤2.∴p为真命题 时，m的取值范围是[1,2]．
(2)命题q为真命题时，∵a＝1，且存在x
0
∈[－1,1]使得m≤ax
0
成立，∴m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，∴q与p一真一假．
?
1≤m≤2，
当p真q假时，则
?
∴1?< br>m>1，
?
m<1或m>2，
当p假q真时，则
?
∴m<1.
m≤1，
?
综上知，m的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．
20．( 12分)(2019·江阴一中期中)命题p：函数y＝lg(－x2＋4ax－3a2)(a>0)有
x－3
意义，命题q：实数x满足
<0.
x－2
(1)当a＝1时，若p、q都是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，函数y＝lg(－x2＋4x－3)有意义，
则－x2＋4x－3>0，得1∴若p为真，则1由
x－3
<0，得2x－2


∴若q为真，则2∴若p，q都是真命题，则2(2)由－x2＋4ax－3a2>0，得a?
a≤2，
若q是p的充分不必要条件，则
?
且等号不能同时成立，
3a≥3，
?
∴1≤a≤2.

21．(12分)已知命题p：|4－x|≤6，
1
??
1
?
1
?
x－m＋x－m－2
???
≤0. q：
?
22
?
?
2
??
(1)若p是﹁q的充分不必要条件，求实 数m的取值范围；
(2)若﹁q是﹁p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得，
命题p：－6≤x－4≤6，即－2≤x≤10，
m11
命题q：
2
－
2
≤x≤
2
m＋2，
m11
∴﹁q：x<
2
－
2
或x>
2
m＋ 2，
又∵p是﹁q的充分不必要条件，
m11
∴
2
－
2
>10或
2
m＋2<－2，
∴m<－8或m>21，
∴实数m的取值范围为(－∞，－8)∪(21，＋∞)．
(2)由(1)知﹁p：x<－2或x>10；
m11
﹁q：x<
2
－
2
或x>
2
m＋2；
又∵﹁q是﹁p的必要不充分条件， < br>11
?
?
2
m－
2
≥－2，
∴
?< br>1
?
?
2
m＋2≤10，
∴－3≤m≤16.

且等号不能同时成立．
∴实数m的取值范围为[－3,16]．
22．(12分) (2019·福州月考)命题p：|4x－3|≤1；命题q：x
2
－(2a＋1)x＋a(a ＋
1)≤0.
(1)若x＝1时，﹁q为真，求a的取值范围；
(2)若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)﹁q：x
2
－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，
因为x＝1，所以a
2
－a>0，
解得a>1或a<0，

故所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
1
(2)由|4x－3|≤1，得p：
2
≤x≤1；
解x
2
－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
得q：a≤x≤a＋1.
由﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，
1
?
?< br>a≤
，
所以
?
2
?
?
a＋1≥1，
1
解得0≤a≤
2
.
1
??
故所求实数a的取值范围是< br>?
0，
2
?
.
??
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆
2．1.1 椭圆及其标准方程

目 标 导 学
1．了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
‖知识梳理‖
1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F
1
，F
2
的距离的和等于常数(大于|F1
F
2
|)的点的轨迹叫做
椭圆(ellipse)．
(2)这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(3)设点M是椭圆 上任意一点，点F
1
，F
2
是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，
椭圆就 是集合P＝{M||MF
1
|＋|MF
2
|＝2a,2a>|F
1< br>F
2
|>0}．
2．椭圆的标准方程
焦点位置
标准方程
在x轴上
x
2
y
2
a
2
＋
b< br>2
＝1(a>b>0)
在y轴上
y
2
x
2
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)

且等号不能同时成立，

图形

焦点坐标
a，b，c的
关系


1．椭圆的定义
定义中的条件2 a>|F
1
F
2
|>0不能少，这是根据三角形中两边之和大于第三边得出来的，否则：
(1)当2a＝|F
1
F
2
|时，其轨迹为线 段F
1
F
2
；
(2)当2a<|F
1
F
2
|时，其轨迹不存在．
因此， 应用定义解题时，不要漏掉|MF
1
|＋|MF
2
|＝2a>|F
1
F
2
|这一条件．
2．椭圆的标准方程
x
2
y
2
y
2
x
2
椭圆
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)和
a
2
＋
b
2
＝ 1(a>b>0)，它们：
(1)形状、大小相同，焦距相等，且都有a
2
＝b2
＋c
2
；
(2)椭圆的位置不同，椭圆的焦点在x轴上?标准方程中 x
2
项的分母较大；椭
圆的焦点在y轴上?标准方程中y
2
项的分母 较大．
3．标准方程的一般形式
方程Ax
2
＋By
2
＝ 1(A>0，B>0，且A≠B)含焦点在x轴上或在y轴上两种情况，
x
2
y
2
方程可变形为
1
＋
1
＝1.
AB
11
当
A
>
B
时，表示焦点在x轴上的椭圆；
11
当
A
<
B
时，表示焦点在y轴上的椭圆．
4．求椭圆标准方程的常用方法
(1)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹是什么图 形，然后根据定义
确定方程，这种方法称为定义法．
(±c,0)
a
2
＝b
2
＋c
2

(0，±c)

(2)待定系数法：由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条 件
确定方程中的参数(如a，b)，这种方法称为待定系数法．其主要步骤可归纳为“先
定型， 再定量”．

题型一 考查椭圆的标准方程
x
2
y
2
(2019·石家庄月考)“0m
＋＝1表示椭圆”的
2－m
( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【思路探索】 根据椭圆方程写出m符合的条件．
x
2
y
2
【解析】 若方程
m
＋＝1表示椭圆，
2－m
?
m>0，
则
?
2－m>0，
?
m ≠2－m，

∴0x
2
y
2∴“0m
＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.
2－m
【答案】 C
[名 师 点 拨]
xy
方程
m
＋
n
＝1
22
?
m>0，
表示椭圆的条件是
?
n>0，
?
m≠n.
?
m>0，
?
n>0，< br>?
m>n，

?
m>0，
表示焦点在y轴上的椭圆是
?
n>0，
?
m


表示焦点在x轴上的椭圆是
x
2
y
2
已知椭圆＋＝1焦点在y轴上，若焦距为4，则
10－mm－2
m等于________．

解析：由2c＝4，得c＝2.又焦点在y轴上，
所以m－2＝10－m＋4，m＝8.
答案：8
题型二 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，经过点(5,0)；
?
14
?
?
. (2)经过两点(2，－2)，
?
－1，
2
??
【思路探索】 (1 )本题有三种解法，一是根据焦点坐标和椭圆的定义求出c，
a；二是用待定系数法求解；三是充分利用 坐标(5,0)直接得a＝5.
(2)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两 种情况求
解，也可利用椭圆的一般方程求解．
【解】 (1)解法一：∵椭圆焦点在x轴上，
x
2
y
2
∴设椭圆的标准方程为
a
2
＋< br>b
2
＝1(a>b>0)．
依椭圆的定义得
2a＝ ?5＋4?
2
＋?0－0?
2
＋ ?5－4?
2
＋?0－0?
2
＝10，
∴a＝5.又c＝4，∴b
2
＝a
2
－c
2
＝9.
x
2
y
2
故所求椭圆的方程为
25
＋
9< br>＝1.
x
2
y
2
解法二：依题意可设椭圆的标准方程为a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)，
25
∵点 (5,0)在椭圆上，∴
a
2
＝1，a
2
＝25.
又c＝4，∴b
2
＝a
2
－c
2
＝9.
x
2
y
2
故椭圆的方程为
25
＋
9
＝1.
x
2
y
2
(2)解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)．由已知
42
?
?
a
2
＋
b
2
＝1，
条件，得
?
114
?
?
a
2
＋
4b
2
＝1 ，

11
?
?
a
2
＝< br>8
，
解得
?
11
?
?
b
2
＝
4
，

即a
2
＝8，b
2
＝4， x
2
y
2
所以所求椭圆的标准方程为
8
＋
4< br>＝1.
y
2
x
2
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)．
42
?< br>?
b
2
＋
a
2
＝1，
由已知条件，得
?
114
?
?
b
2
＋
4a
2
＝ 1，

11
?
?
b
2
＝
8
，解得
?
11
?
?
a
2
＝
4
.


即a
2
＝4，b
2
＝8，则a
22
，与a>b>0矛盾，舍去．
x
2
y
2
综上，所求椭圆的标准方程为
8
＋
4
＝1.
解法二：设椭圆的一 般方程为Ax
2
＋By
2
＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－
4A＋2B＝1，
?
?
?
14
?
?
代入， 得
?
2)，
?
－1，
14
2
??
A＋4
B＝1，
?
?

1
A＝
?
?
8
，
解得
?
1
B＝
?
?
4
.< br>

x
2
y
2
所以所求椭圆的标准方程为
8
＋
4
＝1.
[名 师 点 拨]
(1)用定义法求椭圆标准方程的步骤：
①由焦点坐标确定方程的形式；
②由椭圆的定义求出a；
③由b
2
＝a
2
－c
2
求出b；
④写出椭圆的方程．
(2)用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
①依据题设条件判断焦点所在坐标轴，设出相应的标准方程；
②将已知条件代入，求出a，b (a
2
＝b
2
＋c
2
，a>b>0)；
③写出椭圆的标准方程．
(3)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和焦点在y轴 上分情况解
答，也可以设椭圆方程为Ax
2
＋By
2
＝1(A>0， B>0，A≠B)求解.

(2019·上饶月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝5，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)；
x
2
y
2
(2)过点(22，23)，且与椭圆
25
＋
9
＝1有相同焦点．
解：(1)椭圆的焦点为(0，－3)，(0,3)，焦点在y轴上，
∴c＝3，∵a＝5， ∴b
2
＝a
2
－c
2
＝16，
x
2y
2
∴椭圆的标准方程为
16
＋
25
＝1.
x
2
y
2
(2)椭圆
＋＝1的焦点为(4,0)，(－4,0)，
259
∴c＝4，且椭圆的焦点在x轴上，
∴2a＝?22－4?
2
＋?23?
2
＋?22＋4?
2
＋?23?2
＝36－162＋36＋162
＝29－42＋29＋42
＝2?22－1?
2
＋2?22＋1?
2

＝82. ∴a＝42，∴b
2
＝a
2
－c
2
＝32－16＝16 ，
x
2
y
2
∴椭圆的标准方程为
32
＋
16
＝1.
题型三
椭圆定义的应用
x
2
y
2
椭圆
9
＋
4
＝1的 左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上的动点，
当∠F
1
PF
2
为钝角时，求|PF
2
|的取值范围．
【思路探索】 在△F
1
PF
2
中，利用椭圆的定义及余弦定理求解．
【解】 设|PF
1
|＝m，|PF
2
|＝n，
则m＋n＝6，c＝5.
在△F
1
PF
2
中，由余弦定理，
m
2
＋n
2
－20
22
得cos ∠F
1
PF
2
＝<0，∴m
＋n
<20.
2mn
∴(6－n)
2
＋n
2
<20，
解得2

故|PF
2
|的取值范围是(2,4)．
[名 师 点 拨]
在椭圆中，△F
1
PF
2
常称为焦 点三角形，解决焦点三角形问题，可利用椭圆的
定义，正弦定理和余弦定理求解.
x
2
y
2
(2019·沈阳期末)若椭圆
36
＋
16
＝1上一点P与椭圆的两个
焦点F
1
，F
2
的 连线互相垂直，则△PF
1
F
2
的面积为( )
A．36
C．20
B．16
D．24
解析：由椭圆的方程，可知a＝6，b＝ 4，c
2
＝a
2
－b
2
＝20.
∴|PF
1
|＋|PF
2
|＝12，①
又PF
1
⊥PF
2
，
∴|PF
1
|2
＋|PF
2
|
2
＝|F
1
F
2|
2
＝4c
2
＝80，②
①
2
－②得，2|PF
1
||PF
2
|＝64，
∴|PF
1
||PF
2
|＝32，
1
∴S
△
PF
1
F
2
＝
2
|PF
1
| |PF
2
|＝16，故选B.
答案：B
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
平面内一动点到直线x＝3的距离与它到点A(1,0)的距离之比为3，
则动点的轨迹方程为( )
x
2
y
2
A.
3
＋
2
＝1 < br>?x＋1?
2
y
2
C.
3
＋
2
＝1
x
2
y
2
B．
3
－
2
＝1
x
2
y
2
D．
2
＋
3
＝1
【思路探索】 设动点坐标为(x，y)，利用条件建立x，y的关系式，可求出
轨迹方程．
【解析】 设动点的坐标为(x，y)，
则
|x－3|
22
＝3，化简得2x＋3y＝6，
?x－1?2
＋y
2
x
2
y
2
∴
3
＋< br>2
＝1，故选A.

【答案】 A
[名 师 点 拨] < br>在求动点的轨迹方程时，若没有坐标系，则需先建立直角坐标系，建立适当
的坐标系，可使求得的 轨迹方程形式简单.
x
2
y
2
已知点M在椭圆
36＋
9
＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的
直线，垂足为P′，并且M为线段PP ′的中点，求P点的轨迹方程．
解：设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x
0
，y
0
)，
∵点M在椭圆上，
x
2
y
2
00
∴
36
＋
9
＝1.
∵M是线段PP′的中点，
x＝x，
??
0
x
2
y
2
x
2
y
200
∴
?
代入
36
＋
9
＝1，得
36
＋
36
＝1，
y
y＝
，
?
?
0
2
即x
2
＋y
2
＝36.
∴P点的轨迹方程为x
2
＋y
2
＝36.

x< br>2
y
2
1．(2019·会泽一中月考)椭圆
4
＋
1 2
＝1的焦点坐标为( )
A．(±2,0)
C．(0，±22)
B．(±22，0)
D．(0，±23)

解析：由椭圆方程可知，椭圆的焦点在y轴上，
c＝a
2
－b
2
＝12－4＝22，
故焦点坐标为(0，±22)．
答案：C
x
2
y
22．椭圆
16
＋
7
＝1的左、右焦点分别为F
1
，F< br>2
，一直线过F
1
交椭圆于A，B
两点，则△ABF
2
的周长为( )
A．3
C．8
B．16
D．4

解析：由椭圆的方程可知a＝4，
△ABF
2
的周长为|A B|＋|AF
2
|＋|BF
2
|＝|AF
1
|＋|BF1
|＋|AF
2
|＋|BF
2
|＝4a＝16，故
选B .
答案：B
x
2
y
2
3．设F
1
，F
2
是椭圆
9
＋
4
＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|P F
1
|∶|PF
2
|
＝2∶1，则△F
1
PF2
的面积等于( )
A．5
C．3
B．4
D．1
x
2
y
2
解析：由椭圆
9
＋
4
＝ 1知，a＝3，b＝2，∴c＝a
2
－b
2
＝5，∴|PF
1
|＋|PF
2
|
＝2a＝6，
又∵|PF
1
|∶|PF
2
|＝2∶1，∴|PF
1
|＝4，|PF
2
|＝2， < br>∵|PF
1
|
2
＋|PF
2
|
2
＝ 4
2
＋2
2
＝(25)
2
＝(2c)
2
，
1
∴△F
1
PF
2
是直角三角形，∴△F
1
PF
2
的面积为
2
×4×2＝4.
答案：B
x
2
y
2
4．(2019·遂宁月考)设P是椭圆
25
＋
1 6
＝1上一点，F
1
，F
2
是椭圆的焦点，若
|PF
1
|＝4，则|PF
2
|等于( )
A．4
C．6
B．5
D．8
x
2
y
2
解析：∵P是椭圆25
＋
16
＝1上一点，
∴|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a＝10，
∴|PF
2
|＝10－|PF
1
|＝6，故选C.
答案：C
5．已知两圆C
1
：(x－4)
2
＋y
2
＝169，C
2
：(x＋4)
2
＋y
2
＝9，动 圆在圆C
1
的内部
且和圆C
1
内切，和圆C
2
外切 ，求动圆圆心的轨迹方程．

解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.
由题意得，动圆M内切于圆C
1
，
∴|MC
1
|＝13－r.
圆M外切于圆C
2
，
∴|MC
2
|＝3＋r.
∴|MC
1
|＋|MC
2
|＝16>|C
1
C
2
|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是 以C
1
，C
2
为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
b
2
＝a
2
－c
2
＝64－16＝48，
x
2
y
2
故所求轨迹方程为
64
＋
48
＝1.

一、选择题
1．(2019·上饶月考)椭圆5x
2
＋ ky
2
＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于( )
A．－1
C．－5
2
B．1
D．5
y
2
解析：椭圆的方程可化为x＋
5
＝1，
k
∵椭圆的焦点为(0,2)，
5
则
k
－1＝4，∴k＝1，故选B.
答案：B
2．在 平面内，已知两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＋|PB|＝4，
若∠APB＝60°， 则△APB的面积为( )
A.
3

2
B．3
D．33 C．23
解析：由|PA|＋|PB|＝4>|AB|，
可知P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝4,2c＝2，
∴a＝2，c＝1，b＝
若∠APB＝60°，
a
2
－c
2
＝3，

∴|PA|
2
＋|PB|
2
－2|PA||PB|cos 60°＝|AB|
2
，
∴(|PA|＋|PB|)
2
－3|PA||PB|＝|AB|
2
，
∴16－3|PA||PB|＝4，
∴|PA||PB|＝4，
1
∴S
△
APB
＝
2
|PA||PB|sin 60°＝3，故选B.
答案：B
x
2
y
2
3．若方程
4
＋
8sin α
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是
( )
?
ππ< br>?
A.
?
6
，
2
?

??
?
ππ
?
C.
?
3
，
2
?

??
?
ππ
?
B．
?
6
，
2?

??
?
ππ
?
D．
?
3
，
2
?

??
x
2
y
2
解析：∵ 方程
4
＋
8sin α
＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
1πππ
∴8sin α>4，∴sin α>
2
.又0<α<
2< br>，∴
6
<α<
2
.故选A.
答案：A
4．过点( 3,2)且与椭圆3x
2
＋8y
2
＝24有相同焦点的椭圆方程为( )
x
2
y
2
A.
5
＋
10
＝1
x
2
y
2
C.
15
＋
10
＝1
22
x
2
y
2
B．
10
＋
15< br>＝1
x
2
y
2
D．
10
＋
5
＝1 < br>x
2
y
2
解析：椭圆3x＋8y＝24可化为
8
＋< br>3
＝1，
∴c
2
＝8－3＝5，焦点坐标为(±5，0)，
x
2
y
2
设过点(3,2)的椭圆方程为
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)，
a
2
－b
2
＝5，
?
?
?
a
2
＝15，
则
?
94
解得
?
2

b
＝10，
＋＝1，
?< br>?
?
a
2
b
2


x
2< br>y
2
∴椭圆的方程为
15
＋
10
＝1，故选C.
答案：C

x
2
y
2
5．(2019·凌源 联考)在以F
1
，F
2
为左、右焦点的椭圆
m
2
＋
2
＝1(m>0)上有
m
－9
2sin ∠PF
1
F
2
一点P，且满足m＝，则实数m的取值范围为( )
sin ∠PF
2
F
1
A．3C．m≥4
B．3D．m>3
2sin ∠PF
1
F
2< br>2|PF
2
|2|PF
2
|
＝
|PF|
＝< br> (其中|PF
1
|＋
sin ∠PF
2
F
1
2m－|PF
2
|
1
解析：由正弦定理，可得m＝
|PF
2
|＝2m)，
2m
2
得|PF
2
|＝
， m＋2
由椭圆方程可知a
2
＝m
2
，b
2
＝m
2
－9，c
2
＝a
2
－b
2
＝9，
∴m－3<|PF
2
|2m
2
∴m－3<
m＋2
解得－1又m
2
－9>0，即m>3，
∴3答案：A
x
2
y
2
6．设P是椭圆
25
＋
16＝1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的
2倍，则P点的坐标为( )
?
54
?
A.
?
3
，
3
14
?
??
?
258
?
C.
?
9
，9
14
?

??
4
?
5
?
B．
?
－
3
，－
3
14
?

??
8
?
25
?
，±
14
??
D．
99
??
解析：解法一：由题意及椭圆的对称性知，P点在y轴右侧，且有两个点 适
合题意，故选D.
解法二：c
2
＝a
2
－b
2
＝25－16＝9，∴c＝3.则椭圆的左焦点F
1
(－3,0)，右焦点
2
y
2
?
x
?
25
＋
16
＝1，< br>F
2
(3,0)．设P点的坐标为(x，y)，则
?
?
??x＋3?
2
＋y
2
＝2?x－3?
2
＋y
2
，