回归课本专题二数列

回归课本专题二:数列
一.数列的概念与通项公式
（一）求数列的通项公式
1．观察法：通过观察数列中前几项与项数之间的关系归纳总结出第
n
项
a< br>n
与项数
n
之间
的关系.
例1.（1）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，则前2010行中每一行第一个数之和为 ．
2．公式 法：利用等差、等比数列的通项公式或利用
a
n
?
?
的通项公式.
例2.(1) 数列｛
a
n
｝中,已知
S
n
?2n ?3n?1,求a
n
?

(2) 数列｛a
n
｝中,已知
a
1
?1
,S
n+1
= 4
a
n
+1，求数列
{a
n
}
的通项公式.
3.叠加法：适用于递推关系为
a
n?1
?a
n
?f(n)
型；
连乘法：适用于递推关系为
2
2.
a
n
?f (n)
研究函数
f(n)
的增减性;
3.令
n?x
,通过求导判断单调性.
例4.求数列中的最大或最小项：
n
9
n
(n?1)
2
（1）
a
n
??2n?29n?3
（2）
a
n
?
（3）
a?
n
2
n
n?156
10
（4）等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，
S
9
? S
17
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.
二.等差与等比数列
（一）判断和证明
1.
｛a
n
｝等差?a
n
? a
n?1
?d(常数)?2a
n
?a
n?1
?a
n ?1
(n?2,n?N*中项)

2
；
a,b,A,B?
？
?a
n
?an?b
（一次）
?S
n
?An?Bn< br>（常数项为0的二次）
2
?
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?2,n?N
*
)
a

{a
n
}
等比
?
?
?
n
?q
（
q< br>常数，
n?2,n?N
*
）
a
n?1
a
n
?0
?
?
S
1
n?1
?
S
n?S
n?1
n?2
直接写出所求数列
?a
n
?a
1
?q
n?1n
?S
n
?m?m?q;m??

n
a
n?1
?f(n)
型；
a
n
构造新 数列法：
a
n?1
?pa
n
?q;a
n?1
?pa
n
?b
n
(b
n
为等差数列或等比数列)
；
例5. (1)若
{a
n
}
是等比数列，且
S
n< br>?3?r
，则
r
＝ .
（2）已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
(Ⅰ) 若S
m
，
S
m
＋
2
，
S
m
＋
1
成等差数列，证明a
m
，
a
m
＋
2
，
a
m
＋
1
成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

（二）解决等差（等比）数列问题的常用方法：
1.基本量方法：抓住
a
1
,d(q)
及方程思想.
等差 数列中a
n
=a
1
+(n-1)d;S
n
=
na< br>1
?
n-1
作商法（
a
1
a
2
?a
n
?c
n
型）；（有时可以考虑两边同取对数）
数学归纳法，先猜后证.
例3.（1）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n
?a
n?1
?
n(n?1)
n(a
1
?a
n
)
d
=< br>na
n
?
n(n?1)
d
=
2
2
2
1
n?1?n
(n?2)
，则
a
n
=_____ ___.
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a< br>n
q
等比数列中a
n
= a
1
q;当q=1,S
n
=na
1

当q≠1,S
n
==
1?q
1?q
（2）已知
a
1
?1,a
n
?3a
n?1
?2
，则
a< br>n
＝ .
（3）数列｛
a
n
｝中,已知
a
1
?1
,
na
n?1
?(n?1)a
n
?2
,则
a
n
=________.
22
（4） 正项数列｛
a
n
｝中,已知
a
1
?1
,
( n?1)a
n?1
?na
n
?a
n?1
a
n
?0
，则
a
n
=________.
等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可 设aq,a,aq；四个数成等比的错误设法：aq
3
,aq,aq,aq
3
(为什么？)
(1) 数列
?
a
n
?
是公差不为零的等差 数列，并且
a
5
，
a
8
，
a
13
是等比数列
?
b
n
?
的相邻三项，若
b
2
?5
，则
b
n
等于 .
2.利用等差（比）数列的性质：
等差数列中,（1） a
n
=a
m
+ (n
－
m)d,
d?
(2)若，则
a
m
?a
n
；
m?n
a
n
（5）数列｛
a
n
｝中,已知
a
1
?1
,
a
n?1
?
，则
a
n
=________. 1?2a
n
111
（6）数列
{a
n
}
满足< br>a
1
?
2
a
2
???
n
a
n
?2n?5
，求
a
n
＝ .
222
（二）求数列{
a
n
}的最大、最小项的方法（函数思想）：
?
?0
?
?1
a
??
1.作差或作商：a
n+1
-a
n
=??
?
?0
，
n?1
?
?
?
?1
(a
n
>0)
a
n
?
?0
?
?1
??
；若
m? n?2p
，
则
a
m
?a
n
?2a
p

（3）任意连续m项的和构成的数列S
m
、
S
2m
-S
m
、
S
3m
-S
2m
、
S
4m< br> - S
3m
、
??仍为等差数列.
等比数列中，（1）
a
n
?a
m
q
n?m
;（2）若，则;若
m?n?2 p
，
则
a
m
?
（3）等比数列
{a
n}
的任意连续
m
项的和且不为零时构成的数列
a
n
?a
p
；
S
m
、S
2m
?S
m
、S< br>3m
?S
2m
、S
4m
?S
3m
?
仍为等比数列.
2
如：公比为-1时，
S
4
、
S
8
-
S
4
、
S
12
-
S
8
、?不成等比数列.
回归课本专题二 数列 第1页

三.数列的求和：
数列求和的常用方法：―――关键找通项公式，确定项数.
公式法: 等差数列的求和公式（三种形式），等比数列求和公式.
分组求和法： 在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，
再运用公式法求和（如：通 项中含
(-1)
因式，周期数列等等）
倒序相加法：在数列求和中，如果和式到 首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组
合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数 列求和公式）
错位相减法：（“差比数列”的求和）
裂项相消法：如果数列的通项 可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常
选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：
n
1111

?(?)
(a
n
? 1)(a
n?1
?1)a
n
?1a
n?1
?1a
n ?1
?a
n
11111
1111111
?(?)

???
2
???
(2)
2
?
2
kk ?12k?1k?1
kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
1
?2(n?n? 1)
(3)
n?n!?(n?1)!?n!
（4）
2(n?1?n)?
n
例8．求下列数列的前
n
项和
⑴
（1）a
n
=2n+3
n
；（2）
1?
为 .
8.(必修⑤P46.13)观察： 1
1+2+1
1+2+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1

??

则第n行的所有数的和为 .
9.等差数列的通项公式的推导方法为 ；等差数列的求和公式的推导方法
为 ；等比数列的通项公式的推导方法为 ；等比数列的求和公式的推
导方法为 .
10. 已知{a
n
}为递增数列，且对于任意正整数n，a
n+1>a
n
恒成立，a
n
=－n
2
+λn恒成立，
则λ的取值范围是________
11.(必修⑤P52.10) 已知
?
a
n
?
是等差数列，且公差
d?0
，又
a
1,a
3
,a
9
依次成等比数列，则
a
1
?a< br>3
?a
9
= .
a
2
?a
4
?a
6
12.(必修⑤P52.13)设
?ABC
中角A ,B,C的对边分别为a,b,c.（1）若a,b,c成等差数列，则可得
到 ；（2）若a,b,c成等比数列，则又可得到 .
13.(必修⑤P58.6)

1?2x?3x?4x???nx?
.
14. (必修⑤P58阅读)13世纪意大利最杰出的数学家斐波那契由一对兔子繁殖问题得出一 串数：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，
?
，人们为了纪念他，把这种数列称为
23n?1
111
??
?
??
.
1?21?2?31?2?3?
?
?n
012 n
（3）求证：
C
n
?3C
n
?5C
n
? ??(2n?1)C
n
?(n?1)?2
n
；
四、练习
1. (必修⑤P32.6（1）改编）已知数列
{a
n
}
的通项公 式
a
n
?n
2
?9n?5
，则这个数列中的最小
项 为 .
2.(必修⑤P38.4)

一个直角三角形的长组成等差数列，则这个直角三角形的三边长的比
为 .
3.(必修⑤P39.8) 已知两个数列
x,a
1
,a
2,a
3
,y
与
x,b
1
,b
2
,y< br>都是等差数列，且
x?y
，则
1?5
n
1?5
n()?()
22
,n?N
斐波那契数列，它是数学中的一个有趣问题，它的通项公 式为
5
（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）则
(a
2 n?1
)
2
?a
2n
?a
2n?2
?
.
15.(必修⑤P62.8)等差数列
?
a
n
?
中，前 m项（m为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且
a
1
?a
m
?18
，则其通项公式为 .
1
??
的前n项和为 .
n?
2
??
1
??
17.(必修⑤P627改编)数列
?
2
?
的前n项和为 .
n?4n?3
??
18. 数列
{a
n
}
的前n项 和
s
n
?n
2
?2n?1,则a
1
?a
3
?a
5
?????a
25
?
.
19 .在等差数列
{a
n
}中a
10
?0,a
11
?0 ,且a
11
?|a
10
|
，则在
S
n
中最 大的负数项为 .
f(n)?1
20.已知
f(n?1)?
(n?N*)，
f(1)?2
，则
f(2007)?
_______.
f(n)?1
16. (必修⑤P54例3) 数列
?
n ?
21.设
f(x)?(x?1)
3
?1
，利用课本中推导等差数列 的前
n
项和的公式的方法，可求得
f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)
的值为： .
22. 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若 年
利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所
有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ．
a
2
?a
1
的值为 .
b
2
?b
1
4.(必修⑤P40.12)1934年东印度（今孟加拉国）学者德拉姆（S undaram）发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16
?

7 12 17 22 27
?

10 17 24 31 38
?

13 22 31 40 49
?

16 27 38 49 60
?


?

?

?

?

?

?

则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是 .
5. (必修⑤P45.练习3) 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为
5
的等差数列，且最小角 是
0
120
0
，则它是 边形.
6.(必修⑤P45.7) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的 和之比
为32：27，则公差d= .
7.(必修⑤P45.12) 已知等 差数列
{a
n
}
中，
a
1
??3,11a
5
?5a
8
，则前n项和
S
n
的最小值
回归课本专 题二 数列 第2页

23. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项 与它后一项的积都是同一常数，那么这
个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列
{a
n
}
是等积数列，且
a
1
?2
，公积为5，则这个数列的前
n
项和
S
n
的计算公式为： ．
五、

品味经典
1.(必修⑤P59.8改编)设
S
n
是等比数列
{a
n
}
的前n项和，公比为q，且
S
3
,S
9
,S
6
成等差数列.
（1）求
q3
的值；（2）若数列
{b
n
}
满足
b
1?a
2
,b
2
?a
8
,b
3
?a5
，求证：
a
2
,a
8
,a
5
成等差 数列；







2.在数列{a
n
}
中，
a
1
?2,a
n?1
? 4a
n
?3n?1,n?N
?
.
（1）证明：数列
{a
n
?n}
是等比数列；
（2）求数 列数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
；
（3 ）证明：不等式
S
n?1
?4S
n
对任意
n?N
都 成立.







3.（08山东卷19) 将数列｛a
n
｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
??

4过曲线
C:y?x
3
上的点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>作曲线
C
的切线l
1
与曲线
C
交于点
P2
(x
2
,y
2
)
，
C
的切线l2
与曲线
C
交于点
P
3
(x
3
,y< br>3
)
，依此类推，可得到点列：过点
P
2
作曲线
P< br>1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
),P
3
(x
3
,y
3
),?,P
n
(x
n
,y
n
),?,已知x< br>1
?1
.
（1）求点P
2
、P
3
的坐标； （2）求数列
{x
n
}
的通项公式；
（3）记点
Pn
到直线
l
n?1
(即直线P
n?1
P
n?2
)
的距离为
d
n
，求证：
1
?
1
?
?
?
1
?
4
．
d
1
d
2
d
n
9















5.已知二次函数
y?f(x)
的图像经过坐标原点，其导函数 为
f
'
(x)?6x?2
，数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
?
，点
(n,S
n)
(n?N*) 均在函数
y?f(x)
的图像上．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
?
3
m
，
T
n
是数列
{bn
}
的前
n
项和，求使得
T
n
?
对所 有n?N*都成立的最
20
a
n
a
n?1
小正整数
m
；














记表中的第一列数a
1，
a
2
，
a
4
，
a
7
，?< br>构成的数列为｛b
n
｝,b
1
=a
1
=1. Sn
为数列｛b
n
｝的前n项和，
2b
n
=1（n≥2） .
b
n
S
n
?S
n
2
1
(Ⅰ) 证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛b
n
｝的通项公式；
S
n
且 满足
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为
同一个正数.当
a
81
??




4
时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
91
回归课本专题二 数列 第3页