普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-3[苏教版]§3.1独立性检验(1)

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-3[苏教版]

§3.1 独立性检验（1）
教学目标
（1）通过 对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求
2?2
列联表）的基本思想、方法
及初步 应用；
（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
教学重点、难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点．
教学过程
一．问题情境
5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病， 例如：心脏病、癌症、脑
血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全 球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：
1． 某医疗机构为 了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515
个成年人，其中吸烟者220 人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37
人患呼吸道疾病（简称患病），183人 未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295
人中有21人患病，274人未患病．
问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？
二．学生活动
为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：

吸烟
不吸烟
合计
患病
37
21
58
未患病
183
274
457
合计
220
295
515
（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：
在吸烟的人中，有
3721
?16.82%
的人患病，在不吸烟的人中，有
?7.12%
的人患
220295
病．
问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？
三．建构数学
1．独立性检验：
（1）假设
H
0
：患病与吸烟没有关系．
若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：

吸烟
不吸烟
合计
患病
a

未患病 合计
c

a?c

b

d

b?d

a?b

c?d

a?b?c?d

（近似的判断方法：设
n?a?b?c?d
，如果
H
0
成立，则在 吸烟的人中患病的比例与
不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得
ac
，即?
a?bc?d
a(c?d)?c(a?)b?
弱，否则，关系越强．）
设
n?a?b?c?d
，
a?d
，因此，
b?0c|ad ?bc|
越小，患病与吸烟之间的关系越
在假设
H
0
成立的条件下， 可以通过求 “吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟
但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观 测频率），将各种人群的估计人数用
a,b,c,d,n
表示出来．
例如：“吸烟且患病”的估计人数为
n?P(AB)?n?
a?ba?c
；
?
nn
a?bb?d
“吸烟但未患病” 的估计人数为
n?P(AB)?n?
；
?
nn
c?da?c
“不吸烟但患病”的估计人数为
n?P(AB)?n?
；
?
nn
c?db?d
“不吸烟且未患病”的估计人数为
n?P(AB)?n?
．
?
nn
如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能
否定假设
H
0
．否则，应认为假设
H
0
不能接受，即可作 出与假设
H
0
相反的结论．
（2）卡方统计量：
为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（
χ
??
行估计．
卡方
χ
统计量公式：
2
22
2
(
观测 值?预期值
)
2
预期值
）来进
a?ba?c
??
a ?bb?d
??
a?n??b?n??
????
nnnn
????< br>2
?
χ
?

a?ba?ca?bb?d
n??n??
nnnn
c?da?c
??
c?db?d
??
c?n??d ?n??
????
nnnn
????
??

c?da?cc ?db?d
n??n??
nnnn
22

n
?
ad?bc
?
?
（其中
n?a?b?c?d
）
a?bc? da?cb?d
????????
由此若
H
0
成立，即患病与吸烟没 有关系，则χ
2
的值应该很小．把
2
a?37,b?183,c?21,d? 274
代入计算得χ
2
?11.8634
，统计学中有明确的结论，在
H
0
成立的情况下，随机事件“
?
?6.635
”
发生 的概率约为
0.01
，即
P(
?
?6.635)?0.01
，也就是说，在
H
0
成立的情况下，对
统计量χ
2
进行多次 观测，观测值超过
6.635
的频率约为
0.01
．由此，我们有99%的把 握
认为
H
0
不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．
象以上这种用
?
统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检
验．
说明：
（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2
进行独立性
检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据
a,b,c, d
取值越大，效果越好．在
实际应用中，当
a,b,c,d
均不小于5，近似 的效果才可接受．
（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽 烟
的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．
（ 3）在假设
H
0
下统计量χ
2
应该很小，如果由观测数据计算得到χ
2
的观测值很大，则
在一定程度上说明假设不合理（即统计量χ
2
越 大，“两个分类变量有关系”的可能性就
越大）．
2
．
独立性检验的一般步骤：
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两 类取值：类
A
和类
B
（如吸烟与不吸烟），
Ⅱ也有两类取值：类1
和类
2
（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：




Ⅰ

类
A

类
B

合计
类
1

a

Ⅱ
类
2


合计
2
2
2
c

a?c

b

d

b?d

a?b

c?d

a?b?c?d

推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：
第一步，提出假设
H
0
：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；
第二步，根据2×2列联表和公式计算χ
2
统计量；

第三步，查对课本中临界值表，作出判断．
3．独立性检验与反证法：
反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；
独立性检验 （假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事
件发生，就推断这个假设不成 立．
四．数学运用
1．例题：
例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作 用，把他们一年中的感冒记录与另外500
名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种 血清能否起到预防感冒的
作用？

使用血清
未使用血清
合计
未感冒
258
216
474
感冒
242
284
526
合计
500
500
1000 分析：在使用该种血清的人中，有
人中，有
242
?48.4%
的人患过 感冒；在没有使用该种血清的
500
284
?56.8%
的人患过感冒，使用 过血清的人与没有使用过血清的人的患病率
500
相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与 没有使用过血清的人的患感冒的可能性存
在差异．
解：提出假设
H
0
：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得
1000?(258?284?24 2?216)
2
?
??7.075

474?526?500?50 0
2
∵当
H
0
成立时，
?
?6.635
的 概率约为
0.01
，∴我们有99%的把握认为：该种血清能
起到预防感冒的作用．
例2
．
为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进
行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出
药的效 果与给药方式有关的结论？


口服
注射
合计
有效
58
64
122
无效
40
31
71
合计
98
95
193
2
分析：在口服的病人中，有
5864
?59%
的人有效；在注射的病人中，有
?67%
的人9895
有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明．
解：提出假设
H
0
：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得

193?(58?31?40?64)
2
?
??1.3896 ?2.072

122?71?98?95
2
当
H
0
成立时，
?
?1.3896
的概率大于
15%
，这个概率比较大， 所以根据目前的调查
数据，不能否定假设
H
0
，即不能作出药的效果与给药方 式有关的结论．
说明：如果观测值
?
?2.706
，那么就认为没有充分的 证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但
也不能作出结论“
H
0
成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有 关系．
2．练习：课本第91页 练习第1、2、3题．
五．回顾小结：
1．独立性检验的思想方法及一般步骤；
2．独立性检验与反证法的关系．
六．课外作业：
课本第93页 习题3.1 第1、2、3题．
2
2