高中数学_向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计

课题

课授课时
2.2.3向量的数乘运算及1 40分钟
时 间
几何意义

课新授
高一年级 授课人
型 课

授课对象
1、知识与能力
通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实
数与 向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数
与向量积的运算律.
2、过程与方法
通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两
三维教学目标

向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平
行.
3、情感态度与价值观
通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的
思想 和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜
想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积 极进取精神；
通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.

教学重点：
教 学
重、难点

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；
2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；
3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。

教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。

以启发式教学为主，设置层层问题，采用多种探究方法相
结合的方式.
1.师生共同探究法
教学方法

2.学生独立自主探究法
3.学生分组合作探究法
培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识
和勇于探索创新的精神.



复习向量的加减法
探究数乘向量的定义
教学基本流程

探究数乘向量的运算律
探究向量共线定理
例题与练习



教学
环节
复习
回顾
教学内容

教师活动 学生活
动
设计意图
复习回顾：向量的加法、教师提问
向量的减法
学生复习回顾，引发
回答 新知
探究
1：向
作图：已知非零向量想一想：它们学生认识和理解向量

量的
数乘
运算
定义
极其
几何
意义
????
?
a
，作出
a
+
a
+
a
和（
?
a
）+
的大小和方向作数乘的几何意义
（
?
a
）+（
?a
）
??
有什么变化？ 图，必须从几何直观
观察入手，即通过让学
并思生自己作图，以及
考 独立观察、思考 ，
让学生对向量的
伸缩有一个初步
的感性认识，进而
为下一步对向量
的数乘的定义及
其几何意义的理
性认识作好铺垫。
得出
新知
实数与向量的积的定义： 问题1：请大家学生通过引出向量的
一般地，实数
?与向量根据上述问题思考数乘的定义，让学
r
a
的积是一个向量，记作
并 作一下类并单生体会从特殊到
r
?
a
，它的长度与方向规定
比，看看 怎样作答 一般的思想方法
如下：
rr
（1）
|
?
a|?|
?
||a|
；
定义实数与向
量的积？
r
（2）当
?
?0
时，
?
a
的方向
r
与
a
的方向相同；
r当
?
?0
时，
?
a
的方
r
向与
a
的方向相反；

rr
当
?
?0
时，
?
a?0
．
问题2：你能说学生从从直观入手，从
明它的几何意思考具体开始，逐步抽
义吗？ 交流象。通过师生互
并作动，得到向量数乘
答

的几何意义是把
r r
向量
a
沿
a
的方向
或反方向伸长或
缩短
?
倍。

探
究
作图：(1) 根据定义，教师启发学生学生通过具体 的计算
求作向量
3(2a)
和
6a
(
a
为非思考 作图初步感知向量数
并总乘的运算律，体会
结规从特殊到一般的
律 归纳的数学思想
2：零向量)，并进行比较。
运
算
律
(2) 已知向量
a
、
b
，
求作向量
2(a?b)
和
2a?2b，
并进行比较。

实数与向量的积的运算问题4：数的运小组数学中引进一个
律：
rr
算和运算律是交 流新的量自然要看
（1）
?
(
?
a)?(
??
)a
（结合
紧密相连的，探讨 看它的运算及其
律）；
rrr
（2）< br>(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
（第
运算律可以有
效地简化运
算。类比数的
运算律的问题。向
量运 算可以与学
生熟悉的数的运一分配律）；

rrrr
（a+b）=?
a?
?
b
（第二
乘法的运算
（3）
?
算进行类比，从中
得到启发。而书的
运算和运算律是
紧密相连的，运算
律可 以有效的简
化运算。类比数的
乘法的运算律引
出数乘向量的运
算律。
分配律）．

律，你能说出
数乘的运算律
吗？

问题5：你能解小组
释上述运算律交流
的几何意义探讨
吗？
典
型
例
题
例1 计算：
r
（1）
(?3)?4a
；
rrrrr
（2）
3(a?b)?2(a?b)?a
；
提问、及时评独立从心理学认为：概
价 完念一旦形成，必须
成，及时巩固，通过例
单独1加深学生对数乘
回答 向量运算律的理
解。
（3）
rrrrrr
(2a?3b?c)?(3a?2b?c)
．

向量的加、减、数乘运算
统称为向量的线性运算。
对于任意的向量
a,b
，以及
任意实数
?
,
?
1
,
?
2
，恒有
?
(
?
1
a?
?
2
b)?
??
1
a?
??
2
b
??
?
a
(
a?
0)

本节作为向量线
性运算的最后一
节，有必要综合认
识向量线性运算。


?
对于向量、
b
，如果有问题6：引入数合师生共同活
?
?
一个实数
?
，使
b
?
?
a
，那
乘向量后，你作交动引出向量共线
么由向量数乘的定义知
a
能发现数乘向流， 的定理；引导学生
??
与
b
共线，且向量
b
是向量量与原向 量的独立理解向量共线只
??
?
a
(
a?
0)
模的
?
倍，而
?
的正
位置关系吗？ 作
??
?
?
b
的方向负由向量
a
(
a?
0)
、
?< br>需看这两个向量
的方向相同或是
相反，在向量
??
?
a
(
a?
0)
的前提下，
思考:
?
答.
所决定. 1)
a
为什
?
反过来，已知向量
a
与么要是非零向
??
?
?
b
共线，
a?
0
，且向量
b
的量?
?
??
?
向量
a
(< br>a?
0)
、
b
共
?
长度是向量
a
的 长度的
?
?
2)
b
可线，当且仅当有一
个实数
?
，使得
?
?
b
?
?
a
；且实数
?
?
?
?
倍，即
b
?
?
a
，那么当
a
与
以是零向量
?
?
?
?
b
同方 向时，有
b
?
?
a
；当
a
吗?
?
?
?
与
b
反方向时，有
b
??
?
a.
3) 怎样
理解向量平
的唯一性是由向
?
?
量a
和
b
的模和方从上述两方面可知
（板书）共线向量定理：行？与两直线向同时决定.

?
??
?
向量
a
(
a?
0)
、
b
共线，当且平行有什么异通过学生合
作交流，促进学生
合作的集体意识；
通过学生独立作答，提高学生分析
问题、解决问题的
能力.

仅当有一个实数
?
，使得同？
?
?
b
?
?
a
.


典
型
例
题
例2.如图，已知任意两个
向量
??
a,b,
C
b
b
b
学生这道例题是先让
试作 出
?
?
?
?
?
?
OA
?
a
?
b,OB
?
a
?
2b,OC
?
a
?< br>3b.
B
A
O
a
上黑学生猜想，再证
板上明；利用向 量共线
作图 证明点共线，具体
方法是先证明向
你能判断
A、B、C
三点之
间的位置关系吗？为什
么？
让学生完成作
图

量共线，再证明向
量有公共点；进而
引出利用向量共
线证明直线平行.
课
堂
练
习
设
a
、
b
是不共线的两个非零
引导学生思考 学生综合运用向量的
向量，若
OA
=2
a
-
b
，
OB
=3
a
+
b
，
OC?
a
- 3
b

?
??
思考加、减、数乘等向
作答 量的线性运算.
使学生明确：
有了向量的线性
求证：A、B、C三点共线。

运算，平面中的
点、线段（直线）
就可以得到向量
表示，这是利用向
量解决几何问题
的重要步骤.

课
堂
小
结

一、①
?
a
的定义及运算
引导学生体会
律； 本节学习 中用
?
1.知识性内
容的总结，可以把
课堂教学传授的
知识尽快转化 为
学生的素质.2.运
用数学方法，创新
素质的小结能让
学生更系统，更深< br>刻地理解数学理
想方法在解题中
的地位和作用，并
且逐渐培养学生
的良 好个性品
质.3.由学生口头
表述，不仅可以提
② 向量共线定理到的思想 方
?
?
?
?
?
(
a?
0)
，b?
?
a?
向量
a
与
法：特殊到一
?
b
共线. 般，归纳，猜
想，类比，分二、 定理的应用：
（1） 证明向量共类讨论，等价
线；
(2) 证明三点共
线；
AB?
?
BC?
A、B、C三
点共线；
（3） 证明两直线平
行：

转化.

AB?
?
CD,
AB与CD不在同一条直线上,
?
?
??
?
?
高学生的综合概
括能力，还能提高
学生的口头表达
直线
AB
∥直线
CD
.

三、你体会到了那些数学
能力.
思想.


课
后
作
业

教材P91，A组9—13题
（选做）B组3、4、5
课后思考：
分层布置作
业，让每个学生都
得到发展。
课后的思考
题让学生通过思
考发现三点共线
的另一种形式。培
养学生的综合能
力。
板
书
设
计








2.2.3向量数乘的运算及其几何意义
1. 向量数乘的定义； 练习
2.数乘向量的运算律；
3.共线向量定理；
例题讲解 课堂小结
例1．
已知三点A、B、C共线，
O是平日面内任意一点，
若有OC
?
?
O A
?
?
OB，

试求证
?
?
?
?
1

教
学
反
思

1．向量数乘运算 及其几何意义是继向量的加法、减法之后的基本
运算，为了正确的认识向量数乘运算及其几何意义，首先 复习了向量
的加法、减法，然后通过学生比较熟悉的位移例子，引入主题。从实
际问题出发引入 新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学
生学习兴趣。
2．实数与向量的三个 运算律，为了降低难度课本上没有证明，可
以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出 证明，
证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
3．由于学生已理解平行向量，因此可以让 学生观察平行向量间的
关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的
充要 条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，
通常用来判断三点在同一条直线上或两 直线平行，要指出与平面中直
线间的平行的区别。
4.本节课总共设置三个探究题，目的是通 过学生自主探究、合作
释疑，参与知识形成的过程。本节课的教学理念是：体现学生的主体
地位 ，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，我想让学生在知
识上：掌握向量数乘的定义、运算律及其 几何意义，理解两个向量共
线的含义并能解决：向量共线、三点共线、直线平行等问题。在能力
上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作
交流的能力。通过对例题的分析，使 学生掌握解题的思想和方法；对
变式训练的操作，使学生巩固知识点的掌握；通过当堂检测，判断学生的收获；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。希望通

过本节课，能更 好的培养学生的创新能力。



《向量的数乘运算及其几何意义》学情分析

1. 知识结构
学生在学习 本节内容之前，掌握了向量的加减运算，具备了
位移等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方 法:即先
由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，
在与实数运算类比的 基础上研究运算律。这为学生学习向量数乘
运算做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

2. 认知结构
学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂< br>问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作
用，体现教师的点拨引领效果。
3. 授课班级学生特点
本节课教学对象是菏泽一中高一11班的学生，学生具有一定
的学习基础，具备一定的独立思考，合作探究的能力，因此本节
课采用“探究释疑”的授课方式，既能 充分发挥学生的主观能动
性，又能达到预期的学习目的。
《向量的数乘运算及其几何意义》效果分析

1、 目的明确、胸怀全局
一节课要完成什么教学任务、学生从这节课掌握什么知识、
本节课的知识难易程度如何、那些是本节课 的重点要反复强调、
哪些是本节课的难点学生难以掌握、哪些知识点学生自己读书就
可以掌握； 课堂上要预设什么样的问题才能调动起学生的思维，
什么样的例子可以举一反三，什么样的教学方法才能 达到最佳的
效果，这节课的内容学生课上能掌握多少，课下需要多长的时间
来复习巩固。授课老 师对这些能做到有的放矢。
2、 课堂设计精、结构巧
生动的导语、巧妙的点拨、对学生智 慧的启迪、富有节奏感
的设计、层次分明的环节、引人入胜的问题设置，会引起学生极

< br>大的学习兴趣，最大限度的减少学生的课上疲劳，达到最好的教
学效果。这节数学课，环环相扣， 节奏紧凑，张弛有度，学生的
兴奋点被充分的调动起来，学生的思维非常活跃，在轻松愉悦的
气 氛中掌握了相对枯燥的数学知识。通过练习以巩固刚刚学到的
新知识，之后再用应用题来引导学生进行实 际运用，分别配上相
应的变式，最后总结。 这样的课让学生紧张而快乐，“以人为本”
的教 学理念又充分调动了学生的潜能，学生真正成为了学习的主
人。
3、 课堂气氛活跃 教学方法灵活
对学生的反应能正确引导和评价，尊重学生的学习愿望，尊
重学生由不知到知之 的过程，允许学生有不懂的问题，允许学生
出现的思维错误，允许学生从错误里爬出来。以尊重学生为前 提，
课堂气氛的和谐。
4、课堂教学中还存在的问题
课堂缺乏必要的课堂教学环节 设置，缺乏对学生的启发，缺乏
课堂上的检测，学生没有时间消化所学知识，课堂效率低下。
课堂语言问题：没有抑扬顿挫，没有必要的停顿和节奏，很容
易造成学生的课堂疲惫。
《向量数乘运算及其几何意义》 教材分析

1、教材内容及所处的地位
本节内容是数学必修四第二章第二节的第三课时的内容，在本章
节中起着承前启后的作用。学生在掌握向 量加法、减法的基础上，学

习实数与向量的积的运算已无多大困难。通过前面学习两个向 量的运
算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的
基础。
2、教材作用
向量，具有“数”与“形”的双重身份，是处理问题的一种工具，
作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中。
同时，向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟 通几何、代数、
三角等内容的桥梁，是重要的数学模型。在本模块的教学中，应鼓励
学生使用计 算器和计算机探索并解决问题。
3、设计理念
体现素质教育的要求和新课程理念，融合‘知 识与技能'、‘过程
与方法'、‘情感态度与价值观'三维教学目标，注重学生学习过程的
体验 ，体现自主、合作、探究的学习方式；注重数学基本能力的培养
和基础知识的掌握，又注重数学思想与方 法的教育，教学过程中体现
过程性评价对学生发展的作用，体现教师的有效指导作用。
4. 高考解读
平面向量的线性运算、向量共线的条件是高考考查的热点内
容，常与后面的知识结合 进行综合考查。
《向量的数乘运算及其几何意义》评测练习

一、选择题
r
rrr
r
1．若
3x?2
?
x?a
?
?0
，则
x
=( )
A．2
a
B．-2
a
C．
a
D．-
a

r r
2
r
5
2
r
5

2．下面给出四个 命题：
r
r
r
r
r
r
① 对于实数m和向量a
,
b
,恒有m(
a
-
b
)=m
a?
m
b
；
② 对于实数m,n和向量
a
，恒有(m-n)
a
=m
a
-n
a
；
r
rr
r
③ 若m
a
= m
b
( m ∈ R), 则有
a
=
b
；
r
r
rr
④ 若m
a
= n
b
(m, n ∈ R,
a
≠
0
), 则m = n.
rrrr
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1
vv
v
v
3．若
a??b,b?0
，则（ ）。
2
vv
v
v
v
v
vv
A．
a和b
方向相同，
a?2b
B．
a和b
方向相同，
b?2a

??
vv
v
v
v
v
v v
C．
a和b
方向相反，
a?2b
D．
a和b
方向相反，
b?2a

2
v
v
1
vv
4．已知
a??e,b?e
，则下列式子正确的是（ ）。
33
v
1
v
v
vv
1
v
v v
A．
b?a
B．
b??a
C．
b?2a
D．
b??2a

22

二、填空题

v
v
vv
v
v
5．已知向 量
a,b,b?0,
如果存在唯一实数
?
,使a?
?
b，则两向量的关系
是________________。
1
v
vv
v
6．
2a?3b?3a?b?
________________。
3
????

三、解答题

7．已知△
OAB< br>中，点
C
是点
B
关于点
A
的对称点，点
D< br>是线段
OB
的

uuurruuurr
一个靠近
B
的三等分点，设
AB?a,AO?b
．
rruuur
uuur< br>（1）用向量
a
与
b
表示向量
OC
,
CD< br>；
uuur
4
uuur
（2）若
OE?OA
，求证 ：
C
、
D
、
E
三点共线．
5


《向量数乘运算及其几何意义》教学反思
作为重点培养学生创新意识、实践能力的一种教学模 式——“问
题解决”的课堂教学模式越来越受到人们的重视。所以，对于“向量
数乘运算及其几 何意义”这节课的教学内容，进行了以下处理：
在教学过程中努力将问题的难易程度落在学生的“最近 发展区”，
既不是太容易，学生不费劲就轻易够到而无所提高，又不能太难，学
生怎么努力也毫 无结果而丧失信心。同时，所选问题中所蕴涵的基础
知识在发展中可以前后联系，可以与其他知识左右沟 通，具有典型性。
问题中还隐含有适当的“陷阱”，可以较好地暴露学生思维中的不足、
方法中 的欠缺、知识中的漏洞，帮助学生查漏补缺，以“误”养“正”；
问题可以引发学生强烈的认知矛盾和冲 突，给学生留下了深刻的印象
与体验。
经过学生与课堂的教学实践，体会如下：