最新人教版高中数学选修2-3《二项式定理》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、二项式定理
1.公式 0n1n?11kn?kknn
(a+b)
n
=
C
n
a ?C
n
ab?
?
?C
n
ab?C
n
b(n∈N
*
).
对二项式公式，令a=1,b=x，则得一个比较常用的公式：
122rr
(1+x)
n
=1+
C
n
x?C
n
x???C
n
x
+…+x
n
.
k
（ 1）(a+b)
n
的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数
C
n
（ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做
二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.
方法归纳 （1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;
（2）由于二项式定理表 示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些
和的问题，可对照二项展开式，对ａ、 ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;
(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.
012n
（4）二项式系数
C
n
只与第n项有关，与a,b的大小无关.
,C
n
,C
n
?C
n
2.通项公式
kn?kkk
n-kk
二项展开式中第ｋ＋1项
C
n
ab.
ab
叫做二项展开式的通项，即T
k+1
=
C
n
（ 1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对
于一个具体的二 项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；
（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；
（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.
疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：
（1）求指定项；
（2）求特征项；
（3）求指定项、特征项的系数.
在应用通项公式时要注意以下几点：
（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；
（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；
（3）通项公式中含有a,b ,n,k,T
k+1
五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元
素，在有 关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问
题，这类问题一般是利 用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整
数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.
二、二项式系数及其性质
r
二项展开式中，各项系数
C
n
(r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项
式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1 个组合数，与a,b无关.其性质如下：
（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等.事实上，这一
性质可以由
C
n
?C
n
m n?m
得到.

（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶 数，那么其展开式中间一项，即
T
n
的
2
?1
二项式系数最 大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项
T
n?1
与
T
n?1的二项式系数相等且
22
?1
最大.
012n
（3）各二项式 系数的和：
C
n
=2
n
，且奇数项的二项式系数和等于偶数
?C
n
?C
n
???C
n
024135
项的二项式 系数和，即
C
n
+…=2
n-1
.
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
方法点拨 对形如(ax+b)
n
,(a
2
+bx+c)
m
的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即
n
可，对形如(ax+by)的式子求其展 开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.
辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念 .如(a-b)
n
的二项展开式的通项公式只需
r
n-rr
把-ｂ看 成ｂ代入原来的二项式定理可得：T
r+1
=(-1)
r
C
n
ab，则第ｒ＋1项的二项式系数为
rr
，而第ｒ＋1项的系数是(-1)
r
C
n
.
C
n
知识拓展 如求（a+bx）
n< br>展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中
各项系数分别为A
1
,A
2
,…，A
n+1
，设第ｒ＋1项系数最大，应有
?
?
A
r?1
?A
r
,
从而解出ｒ的
A?A.
r?2
?
r?1
值即可.
问题·探究
问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？
k
思路:(a+b)
n
的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数
C
n
(k∈{0,1,2,…，n})叫做二项式
系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面 加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)
n
的展
rr
n-rr
开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为
C
n
，而第ｒ＋1项的系数为
C
n
ab
探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和 联系，同
时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x）
7
的展开式中 ，第四项是
3
7-3
33
3
T
4
=
C7
·1·（2x）
3
，其二项式系数是
C
7
，则第4项 的系数是
C
7
·2=280，它们既有区别，
又有联系.求二项式系数的和是 2
n
，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.
问题2在数的整除问题中，我 们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，2
20
天后是星期几？
11
827
的末位数字是几？3
4n+2
+5
m+1
能被14整除吗？等等.你 能对此类问题提供一种较好的解
决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.
思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解
为两个数的和或 差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.
对二项式定理的理解应注意它是一 个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边
是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规 律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形
式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排 列，次数由ｎ减到0，字
母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：
C< br>n
,C
n
?
,C
n
，利用展开
式解决问题时 可以根据需要而选择.
01n

探究:上题中的“11827
的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）
827
，
012826
由二项式展开，得
C
827
?10?C
82 7
?10
2
?1?C
827
?10
3
?1
2
?C
827
?10?1
827

容易发现，其个位数字即为1.
二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据 需要对其赋值，利用二项式定理来
122rnn
n
解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ =ｘ，则（1+x）=1+
C
n
x?C
n
x???C
nxr
2
???C
n
x
这也为我们解决问题提供了“取特例”的思 想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特
殊的值还可以得到许多有用的结果.
典题·热题
例1(2005全国高考)(2x-
1
x
)
9
的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.
r
2思路分析:二项展开式的通项为T
r+1
=
C
(2x)(-
令9 -r-
r
9
9-r
1
x
)=(-1)2
C
x
rr9-r
r
9
9?r?
.
r
6
=0 ，得ｒ=6.故常数项为T
7
=(-1)
6
×2
3
C
9
=672.
2
答案:672
方法归纳 凡涉及到展开式的项 及其系数等问题时，常是先写出其通项公式
r
n-rr
T
r+1
=< br>C
n
ab，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.
拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x
?
1
3
x
2
)
n
的展开式中各项系数之和为128，则展开式
中
1
的系数是（ ）
x
3
A.7 B.-7 C.21 D.-21
思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数 是否相同，常规解法是利用通项公式
r
n-rr
T
r+1
=
C
n
ab，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)
n
=128，得 ｎ=7.
由通项公式，得T
r+1
=
C
(3x)(
?r
7
7-r
1
3
x
2
)=(-1)·3·C
·
x
rr7-r
r
7
7?
5r
3< br>，
由7-
5r1
6
=-3.解得r=6.故
3
的系 数是(-1)
6
·3·=21.
C
7
3
x
答案:C
深化升华 在求二项式中参数 的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项
与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙 构造方程，利用方程的思想求解.
例2（1+2x）
n
的展开式中第六项与第七项的 系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.
565
5
6
6
解:T
6
=
C
n
(2x)
5
,T
7
=
C
n
(2x)
6
，依 题意有
C
n
·2=
C
n
·2，解得n=8.
< /p>

4
所以(1+2x)
n
的展开式中，二项式系数最大的项为T< br>5
=
C
8
·（2x）
4
=1 120x
4
.
rrr?1r?1
?
?
C
8
?2?C
8
?2,
设第ｒ＋1项系数最大，则有
?
r
.解 得5≤r≤6.
rr?1r?1
?
?
C
8
?2?C
8
?2,
由于r∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.
则系数最大的项为T
6
=1 792x
5
,T
7
=1 792x
6
.
方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，
中间两项的二项 式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
误区警示 求展开式中系数最大项与 求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的
正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.
例3求(1+2x-3x
2
)
6
展开式中含x
5
的 项.
思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x
2
)
6
乘开为多项
式，再从中取出含x
5
的项，但是计算量较 大.如果把1+2x-3x
2
中的两项结合起来，则可看成
二项式，从而可利用二项式 定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x
5
的
系数.
1 236
解:原式=［1+(2x-3x
2
)］
6
=1+
C< br>6
(2x-3x
2
)+
C
6
(2x-3x
2
)
2
+
C
6
(2x-3x
2
)
3
+…+
C
6
(2x-3x
2
)
6
. 345
可以看出，继续将右端展开后，在
C
6
(2x-3x
2< br>)
3
,
C
6
(x-3x
2
)
4,
C
6
(2x-3x
2
)
5
这三部分的展开式 中
都含有x
5
的项，它们分别是：
1
350
55
×2
3
×(-3)x
5
,
C
6
2x.把这三项合并 后，就得到(1+2x-3x
2
)
6
展开式
C
6
C
3
2
×2×(-3)
2
x
5
,
C
6
4
C
4
C
5
中含的项是-168x
5
.
方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.
通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题.
例4求0.998
6
的近似值，使误差小于0.001.
思路分析:因为直 接对0.998
6
进行求值难度较大，而0.998
6
=(1-0.002)
6
，故可用二项式定理展
开计算.
解:0.998
6
=( 1-0.002)
6
=1+6×（-0.002）
1
+15×(-0.002 )
2
+…+（-0.002）
6
.
2
因为T
3< br>=
C
6
·（-0.002）
2
=15×(-0.002)2
=0.000 06<0.001，
且第三项以后的绝对值都小于0.001，
所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.
则0.998
6
=(1-0.0 02)
6
≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.
12
2
n
n
深化升华 由(1+x)
n
= 1+
C
n
x+
C
n
x
+…+
C
n
x，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，
x
2
,x
3
, …，x
n
等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用
近似计算公式：(1+x)
n
≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求， 来确定对
展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：
(1+x)
n
≈1+nx+
n(n?1)
2
x.
2
例5求证：对任何非负整数ｎ，3
3n
-26n-1可被676整除. < br>思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于

26
2
，而3
3n
=27
n
=(2 6-1)
n
.可以用二项式展开，看各项中是否均能含有26
2
.
解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.
当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.
当ｎ≥2时，原式=27
n
- 26n-1=(26+1)
n
-26n-1
1n?2n?11n?2
=(2 6
n
+
C
n
26
n-1
+…+
C
n
26
2
+
C
n
26+1)-26n-1=26
n
+
C
n
26
n-1
+…+
C
n
2 6
2
.
每一项都含有26
2
这个因数，故可被26
2
=676整除.
综上所述，对一切非负整数ｎ，3
3n
-26n-1可被676整除.
方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰
当的变形.使其能 写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整
除.