高中数学必修五知识点归纳

第十九周集体备课


高中数学必修5知识点
1、正 弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别 为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
? ??C
的外
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，c?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
sin? ?
，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
接圆的半径，则有
4、余弦定理 ：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2 accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b< br>2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a< br>2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、< br>?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90< br>；
②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则
C?90
．
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一 项的数列．
a
n?1
?a
n
?0

12、递减数列 ：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
a
n?1
?a
n
?0

13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
222
o
222
o
2 22
o

16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它 的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称
为等差数列，这个常数称为等差数列的 公差．
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数 列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的
等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
19、若等差数列
?
a
n
?< br>的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
20、通项公 式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?< br>d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1?
d
；③
d?
④
n?
a
n
?a
1
；
n?1
a
n
?a
1
a?a
m
．
?1
；⑤
d?
n
dn?m
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
*
若
?
a< br>n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
．
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?n?1
?
d
． ；②
S
n
?na
1
?
22
23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??*
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
??
S
偶
?S
奇
?nd< br>，
S
奇
a
?
n
．
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1n??
*
，则
S
2n? 1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
（其中
S
奇
?n a
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
an
）．
??
S
奇
n

?
S
偶
n?1
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列称
为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
25、在
a与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中
项．若
G?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．注意：
a
与
b
的等比中项可能是
?G
n?1
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
2

aa
?
?
n?1
?
n?m
n?1n?m
?
n
． 27、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
q
；②
a
1
?a
n
q< br>；③
q?
n
；④
q
a
1
a
m
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p ?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
）， 则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；< br>2
若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n< br>?a
p
?a
q
．
*
?
na
1?
q?1
?
?
n
29、等比数列
?
a
n
?
的前项和的公式：
S
n
?
?
a
1?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数列的前< br>n
项和的性质：①若项数为
2nn??
?
*
?
，则< br>S
S
偶
奇
?q
．
n
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
．③
S
n
，S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

二次函数
2
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

一元二次方程
ax?bx

2
有两个相异实数根
有两个相等实数根
?c?0
?
a?0
?
的根
?b ??
x
1,2
?
?
x
1
?x
2
?

2a
x
1
?x
2
??
b

2a
没有实数根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0
?< br>xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx?x?x
2
?

?b?
xx??
??

2a
??
R

?
a?0
?

1
?

?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的 集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y ?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y< br>0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域． ②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C? 0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上 方的区域．
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组 成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束
条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设
a
、
b
是两个正数，则
几何平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b? 2ab
，即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的 算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a ?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
43、常用 的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab ?
?
a,b?R
?
；
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?< br>?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
2
?
2
??
2
?44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
22
s< br>2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．