重点高中数学必修五知识点大全

重点高中数学必修五知识点大
全

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2

3

必修五
知识点串讲


24

第一章：解三角形
1．1．1正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA
2、已知
?
ABC中，
?
A
?60
0
，
a
?3
,求
?
b
sin
B
?
c
sin
C

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
a
?
b
?< br>c
证明出
???
sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
ab< br>c
解：设
???
k
(
k
>o)

s in
A
sin
B
sin
C
则有
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C

a
?
b?
c
k
sin
A
?
k
sin
B
?
k
sin
C
从而==
k

sin
A< br>?sin
B
?sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
3
a
a
?
b
?
c又，所以=2
?2?
k
?
0
sin
A
sin 60
sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
a
?
b
?
c
评述：在
?
ABC中，等式
????
k
?
k
?0
?

sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
恒成立。
3、已知
?
ABC中，
si n
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）



1.1.2余弦定理
1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?< br>c
2
?2
ac
cos
B

c
2?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?
2ac
24 4

b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
2、在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0< br>
=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)

0
∴
A?60.

a23
解法二：∵sin
A?sinB??sin45
0
,

b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。 < br>3、在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0
）




1．1．3解三角形的进一步讨论
1、在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的 情况 分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)
从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
24 5

1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
:
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
2、（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解 的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c< br>?
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的值 有
_____个。

2
（3）在
?
ABC中，
a< br>?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值
范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
3、在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
解：
Q7< br>2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
4、（1）在
?
ABC中，已 知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3< br>，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件< br>a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
5、在
?
ABC中，
A
? 60
0
，
b
?1
，面积为
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?< br>c

sin
A
?sin
B
?sin
C
13
解：由
S
?
bc
sin
A
?
得c
?2
，
22
则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
=3，即a
?3
，
从而



a
?
b
?
c
a
??2

sin< br>A
?sin
B
?sin
C
sin
A
24 6

1.2解三角形应用举例
1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
?< br>，灯塔B在观察
站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
解略：
2
a km
2、 某人在M汽车站的北偏西20
?
的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公
路的走向是M站的北偏东40
?
。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A
的距离缩短了10千米。 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米 后到达B处。在
?
ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由
余弦定理得
AC
2
?BC
2
?AB
2
23
cosC= =,
2AC?BC
31
432
则sin
2
C =1- cos
2
C =
2
,
31
123
sinC =,
31
所以 sin
?
MAC = sin（120
?
-C）= sin120
?
cosC - cos120
?
sinC =
24 7
353

62

在
?
MAC中，由正弦定理得
MC =
ACsin?MAC
31
353
?
==35
62
sin?AMC
3
2
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

3、S=
111
absin
C，
，S=bcsin
A,
S=acsinB
222
4、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b2
sin
2
A?sin
2
B
222
?;
（1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
abc
22
csinC
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinB
sinC
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k2
sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

5、如 图，在四边形ABCD中，
?
ADB=
?
BCD=75
?
，
?
ACB=
?
BDC=45
?
，DC=
3
，求：
24 8

（1）
（2）
AB的长
四边形ABCD的面积
略解（1）因为
?
BCD=75
?
，
?
ACB=45
?
，所以

?
ACD=30
?
，又因为
?
BDC=45
?
，所以

?
DAC=180
?
-（75
?
+ 45
?
+ 30
?
）=30
?
，
所以 AD=DC=
3

在
?
BCD中，
?
C BD=180
?
-（75
?
+ 45
?
）=60
?
，所以
BD
sin75
?
=
sin60
?

，BD =
3sin75
?

DC
sin60
?
=
6?2
2
在
?< br>ABD中，AB
2
=AD
2
+ BD
2
-2
?
AD
?
BD
?
cos75
?
= 5,
所以得 AB=
5

（3）
?AD
?
BD
?
sin75
?
=
3?23
4

同理， S
3?3
?BCD
=
4

所以四边形ABCD的面积S=
6?33
4






24 9
S
?ABD
=
1
2

第二章：数列
2．1数列的概念与简单表示法
1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2 ，4，
5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{
a
n}
2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列
4、

= 2 a
n-1
+ 1（n∈N，n>1），（※） 式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。


2．2 等差数列 1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2、个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。 < br>3、等差数列中，若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

4、通项公式：以
a
1
为首项，d为 公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a
1
?(n?1)d

5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
?a
n?1
?d,


a
n?1
?a
n?2
?d,


a
n?2
?a
n?3
?d,

……

a
2
?a
1
?d,

两边分别相加得
a
n
?a
1
?(n?1)d,

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

24 10

（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
?a
n?1
?d


?a
n?2
?d?d


?a
n?2
?2d


?a
n?3
?d?2d


?a
n?3
?3d

……

?a
1
?(n?1)d

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

6、 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
20
?8?(2 1?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
=-5，d=-9 -（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
??5?4(n?1)??4n?1 ,
由题
意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
7、某市出租车的计价标 准为1.2元km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。
如果某人乘坐该市的 出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当 该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所
以，我们可以建立一 个等差数列
{a
n
}
来计算车费.
令
a
1
=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时 需
要支付车费
a
11
?11.2?(11?1)?1.2?23.2(元)< br>
答：需要支付车费23.2元。






24 11

2．2 等差数列的前n项和
1、倒序相加法求和
我们用两种方法表示
S
n
：
（1）
S
n
?a
1
?(a
1
?d)?(a
1?2d)?...?[a
1
?(n?1)d],
①
S
n
?a
n
?(a
n
?d)?(a
n
?2d)?...?[a
n
?(n?1)d],
②
由①+②，得
2S
n
?

（a
1
?a
n
）+（ a
1
?a
n
）+（a
1
?a
n
）+... +（a
1
?a
n
）
44444444443
n个

?n(a
1
?a
n
)

由此得到等差数列
{a
n
}
的前n项和的公式
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
（2）
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
... ?a
n

=
a
1
?(a
1
?d)? (a
1
?2d)?...?[a
1
?(n?1)d]

=
na
1
?[d?2d?...?(n?1)d]

=
na
1
?[1?2?...?(n?1)]d

=
na
1
?
n(n?1)
d

2
2、已知 一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310，前20项的和是1220.由 这些条件能确定这个等差数
列的前n项和的公式吗？
解：由题意知
S
10
?310，

S
20
?1220
，
将它们代入公式
S
n
?na
1
?
得到
（nn?1）
d，

2

10a
1
?45 d?310，
20a
1
?190d?1220
解这个关于
a
1
与d的方程组，得到
a
1
=4，d=6，
24 12

（nn?1）
?6?3n
2
?n

2
a?a
n
另解：
S
10
?
1
?10?310

2
所以
S
n
?4n?
得
a
1
?a
10
?62； ①


S
20
?
a
1
?a
20
?20?1220

2
所以
a
1
?a
20
?122；
②
②-①，得
10d?60
，
所以
d?6

代入①得：
a
1
?4

（nn?1）
d?3n
2
?n

2
1
2< br>3、已知数列
{a
n
}
的前n项为
S
n
?n ?n
，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果
2
所以有
S
n
?a
1
n?
是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据
S
n
?a
1
?a
2
?.. .?a
n?1
?a
n

（n 1）
与
S
n?1
?a
1
?a
2
?...?a
n?

1
111
2
n?（[n?1）?（n?1）]?2n?
①
222
13
2
当n=1时，
a
1
?S
1
?1??1?
也满足①式.
22
1
所以数列
{a
n
}
的 通项公式为
a
n
?2n?
.
2
3
由此可知，数列
{a
n
}
是一个首项为，公差为2的等差数列。
2
可知，当n＞1时，
a
n
?S
n
?S< br>n?1
?n?
2
＞
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和
S
n
，可求出通项

a
n
?

a
1
（n?1）
S
n
?S
n?1
（n＞1）

4、如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.

24 13

5、 已知等差数列
5，4，3，....
的 前n项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值.
2
7
4
7
4
7
n5

S
n
?[2?5?（n?1）（?）]

27
解：由 题意知，等差数列
5，4，3，....
的公差为
?
2
7
5
，所以
7
75n?5n
2
515
2
1125??（n?）?
=
1414256
于是，当n取与
15
最接近的整数即7或8时，
S
n
取最大值. < br>2
6、已知数列
?
a
n
?
,
是等差数列，S
n
是其前n项和，且S
6
，S
12
-S
6
，S
18
-S
12
成等差数列，设
k?N
?
,S< br>k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2 k
成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题.
解：设
?
a
n
?
,
首项是
a
1
，公差为d
则：
S
6
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4< br>?a
5
?a
6

S
12
?S
6?a
7
?a
8
?a
9
?a
10
?a< br>11
?a
12
?(a
1
?6d)?(a
2
? 6d)?(a
3
?6d)?(a
4
?6d)?(a
5
?6d )?(a
6
?6d)
?(a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?a
6
)?36d?S
6
?36d
S
18
?S
12
?a
13
?a< br>14
?a
15
?a
16
?a
17
?a
18
?(a
7
?6d)?(a
8
?6d)?(a
9
?6d)?(a
10
?6d)?(a
11
?6d)?(a
12?6d)
?(a
7
?a
8
?a
9
?a
10
?a
11
?a
12
)?36d
?S
12
?S
6
?36d
?S
6
,S
12
?S
6
,S
18
?S
12
为等差数列
同理可得
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k成等差数列.
7、求集合
mm?7n,n?N
*
,且m?100
的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得
n?
100
?14
2

77
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14
即：7，14，21，28，…98
24 14

??

这个数列是等差数列，记为
?
a
n
?
,
其中
a
1
?7,a
14
?98 ?S
14
?
解由m=100，得
n?
100< br>?14
2

77
14?(7?98)
?735

2
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为
?
a
n
?
,
其中
a
1
?7,a
14
?98 ?S
14
?
答：集合m中共有14个元素，它们和等于735














14?(7?98)
?735

2
2. 3等比数列
1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同< br>一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），
a
n
即：
a
n?1
=q（q≠0）
2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
a
n
?
a
1
?
q
n?1
(
a
1
,
q均不为
0)
3、等比数列的通项公式1:
a
n
?a
m
?q< br>n?m
(a
m
，
q?0)
等比数列的通项公式2:
4、若
{a
n
}
为等比数列，
m?n?p?q
(m,n, q,p?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?ap
?a
q
．
由等比数列通项公式得：
a
m
? a
1
q
m?1
, a
n
?a
1
q
n?1
，
a
p
?a
1
q
p?1
,a
q
?a
1
?q
q?1
，
故
a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
且
ap
?a
q
?a
1
q
p?q?2
，
∵
m?n?p?q
，∴
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
．
24 15
2
2

5、已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
a
解：由题意可以设这三个数分别为
,a,aq
，得：
q
?
a
a?3
?
?
q
?a?aq?27
?
?

?
?
2
1
?
2
2
a(?1?q )?91
?
a
?a
2
?a
2
q
2
?91
?
q
2
?
2
?
?
q
∴9q
4
?82q
2
?9?0
，即得
q
2
?9
或
q
2
?
1
，
9
1
∴
q??3
或
q??
，
3< br>故该三数为：1，3，9或
?1
，3，
?9
或9，3，1或
? 9
，3，
?1
．
a
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为
,a,aq
．
q
6、数列
?
a
n
?
为各项均为正数的等比数列，它的前
n
项和为80，且前
n
项中数值最大的项为54，它
的前
2 n
项和为6560，求首项
a
1
和公比
q
。
解： 若
q?1
，则应有
S
2n
?2S
n
，与题意不符合 ，故
q?1
。依题意有：
?
a
1
?
1?q
n
?
?
?80??????????????????????(1)
1? q
?

?
2n
?
a
1
?
1?q< br>?
?6560???????????????????(2)
?
1?q
?
(2)
1?q
2n
2nn
?82
q?82q?81?0
得即
n
1?q
(1)
n
得
q?81
或< br>q?1
（舍去），
?q?81
。
nn
由
q?81< br>知
q?1
，
?
数列
?
a
n
?
的前
n
项中
a
n
最大，得
a
n
?54< br>。
n
n
将
q?81
代入（1）得
a
1?q?1
（3），
n?1n
由
a
n
?a
1
q?54
得
a
1
q?54q
，即
81a
1
?54q
（4），
24 16

联立（3）（4）解方程组得
?
?
a
1
?2
。
?
q?3








2.4等比数列的前n项和
1、等比数列的前n项和公式：
一般地，设 等比数列
a
1
,a
2
?a
3
,?a
n?

它的前n项和是
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
?
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
?
a
n
?a
1
q
n?1
?
由
2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1< br>q??a
1
q?a
1
q
?
?
qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q< br>3
??a
1
q
n?1
?a
1
q
n< br>?
得
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1q
n

a
1
(1?q
n
)
a ?a
n
q
S
n
?
S
n
?
1
1?q
① 或
1?q
② 论同上）∴当
q?1
时，当q=1时，
S
n
?na
1

11
,,1,L
S
2、已知等比数列
93
，求使得
n
大于100的最小的n 的值.
答案：使得
3、设数列
S
n
大于100的最小的n的值为7. 的前n项和为
{a
n
}
S
n
?3
n
? a
．当常数
a
满足什么条件时，
{a
n
}
才是等比 数列？
24 17

答案：
a??1

4、已知等比数列
?
a
n
?
中,
S
4< br>??20,S
8
??1640
,求
S
12
.
1
5、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货 款的
3
，
剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已 知欠款的月利率为0.5%
到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
22
?
解(1)因为购买电脑时,货主欠商店
3
的货款,即6000
3< br>=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的
欠款数应为4000(1+0.5%)= 4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.
(2)设第i个月底还款后的欠款数为y
i
,则有
y
1
=4000(1+0.5%)-
a

y
2
=y
1
(1+0.5%)-
a

=4000(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a

y
3
=y
2
(1+0.5%)-
a

y
3
=y
2
(1+0.5%)-
a

=4000(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a


??

y
i
=y
i?1
(1+0.5%)-
a
=4000(1+0 .5%)-
a
(1+0.5%)
-
a
(1+0.5%)
整理得
i?2
2
3
2
i
i?1

-
L
-
a
,
(1?0.5%)
i
?1
a
i
i
0.5%
y =4000(1+0.5%)-.(
i
=1,2,
?,
36)
(3)因为y
36
=0,所以
24 18

(1?0.5%)
36
?1
a
36
0.5%
4000(1+0.5%)-=0
即每月还款数
4000(1?0.5%)
36
?0.5%
?121.69
36
(1?0.5%)?1

a
=(元)
所以每月的款额为121.69元.





第三章不等式
3.1不等式与不等关系
1、不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

cc
?
。
ab
1
证明：以为
a?b?0
，所以ab>0,
?0
。
ab
1111
?b?
，即
?
于是
a?
ababba
cc
由c<0 ，得
?
ab

2、已知
a?b?0,c?0,
求证



3.2 一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式的定义
24 19

象
x
2
?5x?0
这样，只 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不
等式．
2、设一元二 次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，则不等式的解的
各种情况如下表：

??0

??0

??0


二次函数
y?ax
2
?bx?c

(a?0)
的图象

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的解集

有两相等实根
b
x
1
?x
2
??

2a
?b?
?
xx??
?

2a
??

有两相异实根
x
1
, x
2
(x
1
?x
2
)

无实根
?
xx?x或x?x
?

12
R
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车 数量x（辆）与创
造的价值y（元）之间有如下的关系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该
生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我
们得到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0

因为
△?100?0，所以方程
x
2
?110x?3000?0
有两个实数根
x1
?50, x
2
?60
．
由二次函数的图象，得不等式的解为：
50?x?60
．
因为x只能取正整 数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59
辆之间时，这家工厂能 够获得6000元以上的收益．
4、 设
A?{x|x
2
?4x?3?0}
，
B?{x|x
2
?2x?a?8?0}
，且
A?B
，求
a
的取值范围．
24 20

解：令
f(x)?x
2
?2x?a? 8
由
A?B
，及二次函数图象的性质可得
?
f(1)?0
?
1?2?a?8?0
，即，解之得
?9?a?5
．
??
f(3)?09?6?a?8?0
??
因此
a
的取值范围是
?9?a ?5
．













3． 3二元一次不等式（组）与平面区域．
1、画出不等式2
x
+y－6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2
x
+y－6＝0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2
x
+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，
∴ 原点在2
x
+y－6＜0表示的平面区域内，不等式2
x
+y－6＜0表示的 区域如图：
2
、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中 ，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关
于x、y的一次不等式，故又称线性约束 条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及 的变量x、y的解析式，叫线性目标
函数．
24 21

③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
3、有粮食和石油两种物资， 可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见
表．

效
种
方
粮食
石油
轮船运输量／
t
飞机运输量／
t

300

250

150

100

现在要在一天内运输至少
2 000t
粮食和
1 500t
石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排
x
艘轮船和
y
架飞机，则
?
6x?3y≥40，
?
300x?150y≥2 000，
?
5x?2y≥30，
?
250x?100y≥1 500，
?
?
即
?

?
x≥0，
x≥ 0，
?
?
?
?
?
y≥0．
?
y≥0．目标函数为
z?x?y
．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直 线
x?y?t
（
t
为参数）中经过可行域
内某点且和原点距离最小的 直线，此直线经过直线
y

5x?2y?30?0

x
< br>?
20
?
0
?
，直线方程
6x?3y?40?0和
y?0
的交点
A
?
，
?
3
?
为：
x?y?
20
．
3
由于
20
?
2 0
?
0
?
不是最优解．不是整数，而最优解
(x，y)
中< br>x，y
必须都是整数，所以，可行域内点
?
，

3
3
??
0)
， 经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点） 且与原点距离最近的直线经过的整点是
(7，
即为最优解．则至少要安排
7
艘 轮船和
0
架飞机．

24 22

3．4基本不等式
1、一般地，对于任意实数
a
、
b
，我们有
a?b?2a b
，当且仅当
a?b
时，等号成立。
2、如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a、b,可得a?b?2ab
,也可写成
22
ab?
a?ba?b

(a?0,b?0)
两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab?
22
yx
?
≥2；
xy
3、已知x、y都是正数，求证：
（1）
（2）x＞0，当x取何值时x+
1
有最小值，最小值是多少
x
51
4、已知
x
＜，则函数
f
（
x
） ＝4
x
＋的最大值是多少？
44
x
－5
5、证明：（x＋ y）（x
2
＋y
2
）（x
3
＋y
3
）≥８ x
3
y
3
.
6、（1）用篱笆围一个面积为100
m2
的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36
m
的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大。
最大面积是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则
xy
由
?100,
篱笆的长为2（
x?y
）
x?y
?xy
，
2
可得
x?y?2100

2（
x?y
）
?40

等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?10
，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所
用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则2（
x
由
xy?
?y
）
x?y
=18，=36，矩形菜园的面积为
x y

m
2
，
x?y18
??9,
可得
xy?81
,
22
24 23

可得等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?9

7、用长为
4a
的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设 矩形的长为
x(0?x?2a)
，则宽为
2a?x
，矩形面
S?x( 2a?x)
，且
x?0,2a?x?0
．
由
x(2a?x)?x?(2a?x)
（当且近当
x?2a?x
，即
x?a
时取等号 ），
?a
．
2
22
由此可知，当
x?a
时，S?x(2a?x)
有最大值
a
．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积a
．
例2（教材
P
89
例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮 水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每
3
1m的造价为150元，池壁每1m的造 价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多
少元？
解：设水池底面一边 的长度为
xm
，水池的总造价为
l
元，根据题意，得
22
l?240000?720(x?
1600
1600

)
?240000?720?2x?
x
x
?240000?720?2?40 ?297600

1600
当
x?,即x?40时,l有最小值2976000.

x
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是
29760 0元
24 24