高一数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
abc
???2R
(
R
为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
2.正弦定理的一些变式：
ab
c
；
,sinB?,sinC
?
2R
2R2R
a?b?c
（4）
?2R

?
iii
?
a?2RsinA,b?2RsinB ,b?2RsinC
；
sinA?sinB?sinC
?
i
?
a?b?c?sinA?sinB?sinC
；
?
ii
?
sinA ?
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】
?
a
2
?b
2
?c
2?2bccosA
?
222
1．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB

?
c
2
?b< br>2
?a
2
?2bacosC
?
2.推论：
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
. ?
cosB?
2ac
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90
；
③若
a?b?c
，则
C?90
．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
222
o
222
o
222
o

【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.
S?
1< br>ah
a
?
1
absinC?
1
r(a?b?c)（其中
r
为三角形内切圆半径）
222

1

2.设
p?
1
(a?b?c)
,
S?
2
p (p?a)(p?b)(p?c)






【三角形中的常见结论】

）
A?B?C?
?
（1(2)
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sin
A?BCA?BC
?cos
,
cos?sin
;
sin2A?2sinA?cosA
,
2222
（3）若
A?B ?C?a?b?c
?
sinA?sinB?sinC

若
sinA? sinB?sinC
?
a?b?c
?
A?B?C

（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于
60
，最小角小于等于
60

(6) 锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值?
任两角和都是钝角
?
任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形
?
最大角是钝角
?
最大角的余弦值为负值
（7）
?ABC
中，A,B,C成等差数列的充要条件是
B?60
.
(8)
?ABC
为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用 三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现
边角转化，统一成边的 形式或角的形式.
?
??
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
（2）在
?ABC
中，由余弦定理可知:
a
2
?
b
2
?c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角?? ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
(3) 若
sin2A?sin2B
，则A=B或
A?B?
?
2
.
例1.在
?ABC
中，
c?2bcosA
，且
(a?b?c )(a?b?c)?3ab
，试判断
?ABC
形状.

2

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几
个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2 .在
?ABC
中，
a?1
，
b?3
，
?A?30< br>0
，求的值
例3.在
?ABC
中，内角
A,B,C
对边的边长分别是
a,b,c
，已知
c?2
，
C?
?
3
．
（Ⅰ）若
?ABC
的面积等于
3
，求
a,b
；

（Ⅱ）若
sinC?sin(B?A)?2sin2A
，求
?ABC
的面积．






题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左
?
右，（2）右
?
左，（3）左右互相推.
例4.已知
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b ,c
，求证：
a?bcosC?ccosB
.



题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示，货轮在海上以40kmh的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目
标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船
在B点观测灯塔A的方位角为110° ，航行半小时到达C点观测
灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是
多 少？


3

数列知识点

1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n?1
?a
n?d
（
d
为常数），
a
n
?a
1
?< br>?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1< br>?
d

2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；

（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n? 1
?
仍为等差数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为
等差数列，公差为n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0
的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值； 或者求出
?
a
n
?
中的正、负
分界项，
?
a
n
?0
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a ?0
?
n?1
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d?0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的n
值.
?
a
n?1
?0
(6)项数为偶数
2n
的等差数列
?
a
n
?
，
有
S
2n
?n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a2n?1
)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，


S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
4

（7）项数为奇数
2n?1
的 等差数列
?
a
n
?
，
有
S
2n?1?(2n?1)a
n
(a
n
为中间项)
，
< br>S
奇
?S
偶
?a
n
，
S
奇
S
?
n
偶
n?1
.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n?1
a
?q
（
q
为常数，
q ?0
），
a
n
?a
n?1
1
q
.

n
等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy
，或
G??xy
.
?
na
1
(q?
前n
项和：
S
?
1)
n
?
?
a
?
1
?
1?q
n
?
?
1?q
(q?1)< br>（要注意！）
性质：
?
a
n
?
是等比数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
·a
n
?a< br>p
·a
q

（2）
S
n
，S
2n< br>?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等比数列 ,公比为
q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.

3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列
?
a
111
n
?
，
2
a
1
?
22
a
2
?……?
2
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

解
n?1
时，
1
2
a
1
?2?1?5
，∴
a
1
?14

n?2
时，
111
2
a
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n? 1?5

①—②得：
1
n?1
?
14(n?1)
2
n
a
n
?2
，∴
a
n< br>?2
，∴
a
n
?
?
?
2
n?1(n?2)

［练习］数列
?
a
5
n
?
满足
S
n
?S
n?1
?
3
a
n?1，a
1
?4
，求
a
n


5
①
②

注意到< br>a
n?1
?S
n?1
?S
n
，代入得
Sn?1
∴
?
S
n
?
是等比数列，
S
n
?4
n

?4
又
S
1
?4
，S
n
；
·4
n?1

n?2
时，
a< br>n
?S
n
?S
n?1
?……?3
（2）叠乘法
a
n
如：数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?
，求
a
n

a
n
n?1
解
a
a
2
a
312n?1
3
a
1
·……
n
?·……
，∴n
?
又
a
1
?3
，∴
a
n
?
a
1
a
2
a
n?1
23n
n
.
a
1
n
（3）等差型递推公式
由
a
n
? a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求
a
n
，用迭加法
?
a
3
?a
2
?f(3)
?
?
n?2
时，
?
两边相加得
a
n
?a< br>1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………
?
a< br>n
?a
n?1
?f(n)
?
?
∴
a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］数列< br>?
a
n
?
中，
a
1
?1，a
n?3
（4）等比型递推公式
a
n
?ca
n?1
?d< br>（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d?0
）
n?1
a
2
?a
1
?f(2)
?a
n?1
?
n ?2
?
，求
a
n
（
a
n
?
1n
?
3?1
?
2
）
可转化为等比数列，设
a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?
?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x

令
(c?1)x?d
，∴
x?
列
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
? ?
?
?
a
1
?·ca?a?c?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1
?
c?1c?1
??
d
?
dd
?
，c
为公比的等比数，∴
?
a
n
?
?
是首项为
a
1
?
c?1
c?1c?1
??
（5）倒数法
如：
a
1
?1，an?1
?
2a
n
，求
a
n

a
n
?2

6

由已知得：
a?2
111111
?
n
??
，∴
??

an?1
2a
n
2a
n
a
n?1
a
n< br>2
?
1
?
111
1
1
·?
?
n?1
?
， ∴
??
为等差数列，
?1
，公差为，∴?1?
?
n?1
?
a
n
22
2
a1
?
a
n
?
∴
a
n
?
(
附：
2
n?1

公式法、利用
a
n
?< br>?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n?1
?pa
n< br>?q
或
a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定 系数法、对数变换法、迭代法、数学归
纳法、换元法
)

4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解：由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?< br>
a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
?
111
?
11
?
1
?
?11
?
?
11
?
1
?
?
?
?
?
?
∴
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?
aadaadaaaaaa
k?1
kk?1
k?1
k?1?
2
?
?
23
?
n?1
?
?
?
k
?
n
?
?
1
1
?
11
?
?
?
?
?

d
?
a
1
a
n?1
?
［练习］求和：
1?
111
??……?

1?21?2?31?2?3?……?n
1
a
n
?……?……， S
n
?2?

n?1
（2）错位相减法
若
?a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比 数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前
n
项和，
可由
S
n
?qS
n
，求
Sn
，其中
q
为
?
b
n
?
的公比.

7

如：
S
n
?1?2x?3x
2
?4x
3
?……?nx
n?1


①
x·S
n
?x?2x
2
?3x
3< br>?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1?nx
n

①—②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1
?nx
n

x?1
时，
S
n
②
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?< br>2
1?x
，
x?1
时，
S
n
?1?2?3? ……?n?
n
?
n?1
?

2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?相加
2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
x
2
［练习］已知
f(x)?
，则
1?x
2< br>?
1
?
f(1)?f(2)?f
??
?f(3)?
?
2
?
?
1
?
f
??
?f(4)?
?
3
?
2
?
1
?
f
??
?

?
4
?
?
1
?
??
x< br>2
x
2
1
x
?
?
1
?
?< br>由
f(x)?f
??
?????1
2
222
?
x
?
1?x
?
1
?
1?x1?x
1?
? ?
?
x
?

?
∴原式
?f(1)?
?
f(2)?
?
(附： < br>?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(3)?
?
2
?
??
?
1
?
??
f
??
?
?
?
f(4)?
?
3
?
??
1
?
1
?
?1
f
??
?
? ?1?1?1?3

2
?
4
?
?
2
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序
相加法。我们在学知 识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识
的源头，也是研究同一类知识的工具，例如： 等差数列前n项和公式的推导，用
的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列的前n项和
公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公
式适用于这个数列之后， 再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消，留下有限
项，从而求出数列的前n项和。

8

d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法， 应用于等比数列与等差数列相乘的
形式。即若在数列{a
n
·b
n
} 中，{a
n
}成等差数列，{b
n
}成等比数列，在和式的两边同
乘 以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭 加法主要应用于数列{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+f(n )，其中f(n)是等差数列或等比数列
的条件下，可把这个式子变成a
n+1
-a< br>n
=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有
的式子加到一起，经过整理，可求出 a
n
，从而求出S
n
。
f.用分组求和法求数列的前n项和 < br>所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将
这类数列适当拆开，可 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将
其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列 的通项的特
征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。












不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较：
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
二、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a ?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
nn
?
n??,n?1
?
；

9

⑧
a?b?0?
n
a?
n< br>b
?
n??,n?1
?
．
三、基本不等式定理
a
2
?b
2
1、整式形式：①
a?b?2ab
?
a, b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
22
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b ?0
?
；④
?
?
a,b?R
?

2
?
2
??
2
?
a?b
?ab
（
a?0< br>，
b?0
）②a+b
?
（2a
2
?b
2)

2
ba
3、分式形式：+
?
2（a、b同号）
ab
11
4、倒数形式：a>0
?
a+
?
2 ；a<0
?
a+
?
-2
aa
2、根式形式：①
2 2
a?b
四、公式：
?
ab
??
11
2
?
ab
2
a
2
?b
2

2
五、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
s< br>2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
六、解不等式
bb
；当a<0时，x<；
aa
2、一元二次不等式：只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
1、一元一次不等式： ax>b（a
?
0）的解：当a>0时，x>



3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

没有实数根

2
一元二次方程
ax?bx?c?0

有两个相异实数根 有两个相等实数根

10

?
a?0
?
的根
?b??
x
1,2
?

2a
x
1
?x
2
??
b

2a
?
x
1
?x
2
?

ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
解集
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
?
xx??
?

2a
??
R

?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判 断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：
根据图像写出不等式的 解集
5、解分式不等式：
?
f(x)g(x)?0
f(x)f(x)>0
?
f(x)g(x)>0
?
0
?
?
g(x)g(x)
g(x)?0
?
6、解高次不等式：(x-
a< br>1
)(x-
a
2
)…（x-
a
n
）>0
7、解含参数的不等式：解形如a
x
+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（ 1）讨论a与
0的大小（2）讨论
?
与0的大小（3）讨论两根的大小
七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对 称轴、函数值三个角度列出不等
式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。
2

11

?
?
f(k)?0
1、
x
?
b
1
<
x
2
?
?
??k
?
2a
?
?
??0
?
?
f(k )?0
2、k <
xx
?
b
1
<
2
??
?
2a
?k
?
?
?
??0

12

3、
x
1
x
2
?
f(k)<0
?
?
f（k
1
)?0
f(k)
4、
k
?
?
2
?0
1
<
x
1
<
x
2
<
k
2
?
?
?
??0
?
?
?
k
1
??
b
2a
?k
2

13