最新高中数学必修五全套学案

§1.1.1正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备
试验：固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动．

思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？




显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关
系精确地表示出来？



二、新课导学
※ 学习探究

探究1：在 初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直
角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt
?
ABC中，设BC=a，
AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
ab
c
有
?sinA
，
?sinB
，又
sinC?1?
，
cc
c

从而在直角三角形ABC中，

abc
．
??
sinAsinBsinC
(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
ab
有CD=
asinB?bsinA
，则，
?
sinAsinB
cb
同理可得，
?
sinCsinB
c
ab
从而．
?
?
sinAsinB
sinC

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.





新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
c
ab
．
?
?
sinAsinB
sinC

试试：
（1）在
?ABC
中，一定成立的等式是（ ）．
A．
asinA?bsinB
B.
acosA?bcosB

C.
asinB?bsinA
D.
acosB?bcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角 形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数k使
a?ksinA， ，
c?ksinC
；
cac
abcb
（2）等价于 ，，．
????
sinAsinB
sinC
sinCsinB
sinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：
bsinA
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他 边，如
a?
；
b?
．
sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a
如
sinA?sinB
；
sinC?
．
b
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在
?ABC
中，已知
A ?45
?
，
B?60
?
，
a?42
cm，解三角形 ．


变式：在
?ABC
中，已知
B?45
?< br>，
C?60
?
，
a?12
cm，解三角形．

例2. 在
?ABC中，c?6,A?45
?
,a?2,求b和B,C
．














变式：在
?ABC中，b?3,B?60
?
,c?1,求a和A,C
．












三、总结提升
※ 学习小结

c
ab

?
?
sinAsinB
sinC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
1. 正弦定理：

※ 知识拓展

abc
???2R
，其中
2R
为外接圆直径.
sinAsinBsinC
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

cosAb
1. 在
?ABC
中，若
?
，则
?ABC
是（ ）.
cosBa
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶
3

D．2∶2∶
3

3. 在 △ABC中，若
sinA?sinB
，则
A
与
B
的大小关系 为（ ）.
A.
A?B
B.
A?B

C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC 中，
sinA:sinB:sinC?1:2:3
，则
a:b:c
= ．
5. 已知
?
ABC中，
?
A
?60?
，a?3
，则
a?b?c
= ．
sinA?sinB?sinC

课后作业

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，解此三角形．
















2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k
≠
0)，求实数k的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 =
= ．

复习2：在△ABC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，解此三角形．







思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？




二、新课导学
※ 探究新知

问题：在
?ABC
中，AB
、
BC
、
C
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
.
b
A
c
a
B

????
∵
AC?
，
????????
∴
AC?AC?






2bccos
，
A
同理可得：
a
2
?b
2
?c
2
?

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．


新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它
们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2
， ，
cosA?
2bc
．
[理解定理]
（1）若C=
90?
，则
cosC?
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：
（1）△ABC中，
a?33
，
c?2
，
B?150
?
，求
b
．

（2）△ABC中，
a?2
，
b?2
，
c?3? 1
，求
A
．






※ 典型例题

例1. 在△ABC中，已知
a?3
，
b? 2
，
B?45
?
，求
A,C
和
c
．

变式：在△ABC中，若AB＝
5
，AC＝5，且cosC＝< br>9
，则BC＝________．
10








例2. 在△ABC中，已知三边长
a?3
，
b?4
，
c?37
，求三角形的最大内角．

变式：在
?
ABC中，若
a
2
?b
2< br>?c
2
?bc
，求角A．





















三、总结提升
※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展
在△ABC中，
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是直 角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是钝角；
若
a
2
?b
2
?c
2，则角
C
是锐角．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a＝
3
，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
3422
A. B.
34
C. D.
22

22
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A．
60
?
B．
75
?
C．
120
?
D．
150
?

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5
????????????
????????????
ABABAB
4. 在 △ABC中，||＝3，|
AC
|＝2，与
AC
的夹角为60°，则|－AC
|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
，则∠C等于 ．

课后作业

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝






13
，求最大角的余弦值．
14

????????
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求
AB?BC
的值.















§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形．

学习过程

一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC中，已知 A＝
?
，a＝25
2
，b＝50
2
，解此三角形．
6








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
?
① A＝，a＝25，b＝50
2
；
6
?
506
② A＝，a＝，b＝50
2
；
6
3
?
③ A＝，a＝50，b＝50
2
.
6

思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
已知边a,b和
?
AC
a
A
H
a无解
B
a=C H=bsinA
仅有一个解
b
a
A
b
a
B1
H
a
B2
a?b
仅有一个解
A
H
B
C< br>b
C
a
C
b
A
CH=bsinA有 两个解

试试：
1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？




2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？

※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，已知
a?80
，
b?100
，
?A ?45?
，试判断此三角形的解的情况．

















变式：在
?
ABC中，若
a?1
，
c?







1
，
?C?40?
，则符合题意的b的值有
_____个
．
2

例2. 在
?
ABC中，
A?60?
，
b?1
，
c?2
，求

















a?b?c
的值．
sinA?sinB?sinC
1
变式：在
?
ABC中，若
a?55
，
b?16< br>，且
absinC?2203
，求角C．
2

三、总结提升
※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有
一解 、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在
?
ABC中，已知
a,b,A
，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须
a?b
才能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a?b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a?bsinA
，则有两解；
（2）若
a?bsinA
，则只有一解；
（3）若
a?bsinA
，则无解．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且
A.
a?b
sinA2
则的值=（ ）.
?
，
b
sinB3
24
15
B. C. D.
33
33
2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝ ．
5. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC的形状 ．

课后作业

1. 在
?
ABC中，
a? xcm
，
b?2cm
，
?B?45?
，如果利用正弦定理解三角形有 两解，
求x的取值范围．

1a
2
?b
2
?c
2
2. 在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足
absinC?
，求角C．
24

§1.2应用举例—①测量距离

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

学习过程

一、课前准备
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋ b＝
23?2
，c＝2
2
，则∠A为 .



复习2：在△ABC中，sinA＝
sinB?sinC
，判断三角形的形状.
cosB?cosC





二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测 量者在A的同侧，在
所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
. 求A、B
两点的距离(精确到0.1m).

提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？


提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？


分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.






新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.
例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的
方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内 角与一边既可求出另两边的方法，分别求出
AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?< br>BCA=60°，
?
ACD=30°，
?
CDB=45°，
?
BDA =60°.







练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，
灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升
※ 学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标 ，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，
建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.



学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用
锐角
45?
的等 腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，
一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如
果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）.
A．5cm
B．
52cm

C．
5(2?1)cm


P
A C
D．6cm
2. 台风中心从A地以每小时 20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地
区为危险区，城市B在A的正东40千米处 ，B城市处于危险区内的时间为（ ）.
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
3. 在
?ABC
中，已知
(a
2
?b
2
)sin(A?B)?(a
2
?b
2
)sin(A?B)
，

则
?ABC
的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在
?ABC
中，已知
a?4
，
b?6
，
C?120
?
，则
sinA
的值是 ．
5. 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东
60
?
，行驶
４h后 ，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
15
?
，这时船与灯塔的距离为 km．

课后作业

1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸 边选取相距
3
km的C、D两点，并测得
∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠A DC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个
平面，求两目标A、B间的距离.














2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距
103
海里，且在北偏东
30?
方向；测得灯塔B
与A相距
156
海里，且在北偏西
75?
方向. 船由
A
向正北方向航行到D处，测得灯塔B
在南偏西
60?
方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？

§1.2应用举例—②测量高度

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测
量的问题；
2. 测量中的有关名称.

学习过程

一、课前准备
复习1：在
?
ABC中，










cosAb5
??
，则
?
ABC的形状是怎样？
cosBa3

复习2：在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?
A、
?
B、
?
C的对边，若a:b:c
=1:1:
3
，求
A:B:C的值.









二、新课导学
※ 学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角--- 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；

坡度--- 沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角--- 视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线
之下时，称为俯角.


探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量 建筑物
高度AB的方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE
在
?ACE
中，可测得角 ，关键求AC

在
?ACD
中，可测得角 ，线段 ，又有
?

故可求得AC



















※ 典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54
?40< br>?
，在塔底C处测得A
处的俯角
?
=50
?1
?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)

例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测 得公路南侧远处一
山顶D在东偏南15
?
的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山 顶在东偏南25
?
的方向
上，仰角为8
?
，求此山的高度CD.
问题1：
欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

问题2：
在
?
BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？












变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A 在南偏西
57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

三、总结提升
※ 学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审 题及根据题意画方位图，要懂得从所给
的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

※ 知识拓展
sin(
?
?
?
)
在湖 面上高h处，测得云之仰角为
?
，湖中云之影的俯角为
?
，则云高为
h
?
.
sin(
?
?
?
)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A．
a?bsinA
B．
a?bsinA

C．
a?bsinA
D．
a?bsinA

2. 在
?
ABC中，AB=3，BC=
13
，AC=4，则边AC上的高为（ ）.
3
3233
A． B． C． D．
33

2
22
3. D、C、B在地面同一直线上，DC=10 0米，从D、C两地测得A的仰角分别为
30
?
和
45
?
，
则A点离地面的高AB等于（ ）米．
A．100 B．
503

C．50
(3?1)
D．50
(3?1)

4. 在地面上
C
点，测得一塔塔顶
A
和塔基
B
的仰角分别是
60?
和
30?
，已知塔 基
B
高出
地面
20m
，则塔身
AB
的高为____ _____
m
．
5. 在
?
ABC中，
b?22
，
a?2
，且三角形有两解，则A的取值范围是 ．

课后作业

1. 为测某塔AB的高度，在 一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为
30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔A B的高度为多少m？










2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25° 西300米的
地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.













§1.2应用举例—③测量角度

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

学习过程

一、课前准备
复习1：在
△ABC
中，已知
c?2
，
C?









复习2：设< br>?ABC
的内角A
，
B
，
C的对边分别为a，b，c，且A=
60
?
，
c?3
，求
?
1
，且
a bsinC?3
，求
a，b
.
3
2
a
的值.
c








二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然
后从B出发，沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A

出发到达C，此船 应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1
?
，距离
精确到0. 01n mile)

分析：
首先由三角形的内角和定理求出角
?
ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB.

例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45
?< br>相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向我海 岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线
方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少 时间才追赶上该走私船？

※ 动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(
3
＋1)km的速度向正东航行，乙
船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航 行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两
点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.














练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离 渔轮9海里，并发现鱼群正沿南
75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海 里的速度沿着直线
方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？

三、总结提升
※ 学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；
2．已知量与未知量 涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，
再逐步在其余的三角形中求出问题的 解.

※ 知识拓展

已知
?
ABC的三边长均为有理 数，A=
3
?
，B=
2
?
，则
cos5
?
是有理数，还是无理数？
因为
C?
?
?5
?
，由余弦定理知
a
2
?b
2
?c
2
为有理数，
cosC ?
2ab
所以
cos5
?
??cos(
?
?5?
)??cosC
为有理数.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 从A处望B处的仰角为
?
， 从B处望A处的俯角为
?
，则
?
，
?
的关系为（ ）.

A．
?
?
?
B．
?
=
?

C．
?
+
?
=
90
?
D．
?
+
?
=
180
?

2. 已知两线 段
a?2
，
b?22
，若以
a
、
b
为边作 三角形，则边
a
所对的角A的取值范
围是（ ）.
A．
(,)
B．
(0,]

636
C．
(0,)
D．
(0,]

24
3. 关于
x
的方程
sinA?x
2
?2si nB?x?sinC?0
有相等实根，且A、B、C是
?
的三个内角，
则三角 形的三边
a、b、c
满足（ ）.
A．
b?ac
B．
a?bc

C．
c?ab
D．
b
2
?ac

4. △ABC中，已知a:b:c=(
3
+1) :(
3
-1):
10
，则此三角形中最大角的度数
为 .
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在
(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°
(4)当A＜90°，a(5)当A＜90°，且bsinA其中正确说法的序号是 .

??
?
?
?
课后作业

1. 我舰在敌岛A南偏西
50?
相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西
10?的方向以
10海里小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.






§1.2应用举例—④解三角形

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：在
?
ABC中
（1）若
a?1,b?3,B?120?
，则
A
等于 ．
（2）若
a?33
，
b?2
，
C?150?
， 则
c?
_____．

复习2：
b?2
，C?150?
，
a?33
，在
?ABC
中，则高BD= ，三角形面积= ．








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在
?< br>ABC中，边BC上的高分别记为h
a
，那么它如何用已知边和角表示？
h
a
=bsinC=csinB
根据以前学过的三角形面积公式S=
1
ah，
2
代入
可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC
，


或S= ，

同理S= ．


新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．


※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
2
）：

1
2

（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5
?
；
（2）已知B=62.7
?
，C=65.8
?
，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别
为
a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．


















变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量
得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精
确到 0.1cm
2
）

例2. 在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
?；
c
2
s in
2
C
（2）
a
2
+
b
2
+< br>c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）．

小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”
化“边”．

※ 动手试试

练1. 在
?
ABC中，已知
a?28cm
，< br>c?33cm
，
B?45
?
，则
?
ABC的面积是 ．




练2. 在
?
ABC中，求证：
c(acosB?bcosA)?a
2
?b
2
．

三、总结提升
※ 学习小结

1. 三角形面积公式：
1
S=absinC= = ．
2
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”
化“边”．
※ 知识拓展

三角形面积
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
，
1
这里
p?(a?b?c)
，这就是著名的海伦公式．
2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?ABC
中，
a?2,b?3,C?60
?
，则
S
?AB C
?
（ ）.
3

2
9
3
2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为，面积为，那么这个三角形的两边长分别
2
5
是 （ ）.
A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在
?ABC
中，若
2cosB?sinA?sinC
，则
?ABC< br>一定是（ ）三角形．
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4.
?ABC
三边长分别为
3,4,6
，它的较大锐角 的平分线分三角形的面积比是 ．
A.
23
B.
3
D.

3
C.
2

5. 已知三角形的三边的长分别为
a?54cm
，
b?61cm
，
c?71cm
，则
?
ABC的面积是 ．

课后作业

2. 已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
，b=6，c=6
3
，求a及< br>?
ABC的面积S．











2. 在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC?(cosA?cosB)
，试判断△ABC的形状.

§1.2应用举例（练习）

学习目标

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．


二、新课导学
※ 典型例题

例1. 某观测站C在目标A的南偏西
25
?
方向，从A 出发有一条南偏东
35
?
走向的公路，
在C处测得与C相距31
km
的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20
km
到达D，
此时测得CD距 离为21
km
，求此人在D处距A还有多远？

例2. 在某点B处测得 建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m，至点C处
测得顶端A的仰角 为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，测得顶端A的仰角为4
?，求
?
的大小和建筑物AE的高．

例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S
△
ADC
=
求AB的长．













153
，
2
D
A
2
1
60
0

B C

※ 动手试试

练1. 为测某塔AB的高度，在一 幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为
30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m？

练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，
灯塔B在观察 站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升
※ 学习小结

1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.

※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：

1
?
22
?
c
2
?a
2
?b
2
?
?
ca?
?
S?
?
4
?
2
??
?
2
?
?
?
?
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 某人向正东方向走
xkm
后，向右转
150
?
，然后 朝新方向走
3km
，结果他离出发点恰
好
3km
，则
x等于（ ）.
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．3
2.在200米的山上顶，测得山下 一塔顶与塔底的俯角分别为
30
?
,60
?
，则塔高为（ ）米．
200400
20034003
B． C． D．
33
33
3. 在
?
ABC中，
?A?60?
，< br>AC?16
，面积为
2203
，那么
BC
的长度为（ ）.
A．
A．
25
B．
51
C．
493
D．
49

4. 从200米高的山顶A处 测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30?和45?，且∠
BAC＝45?，则这两个景点B、C 之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距 20里处，随后货轮按北偏
西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东
45?
，则货轮的速
度 ．

课后作业

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米

的地方，求堤对地面的倾斜角.











1
），n＝（cosA，2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（
3,?
sinA）. 若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，求角B.











第一章 解三角形（复习）

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

学习过程

一、课前准备
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.
则斜坡长变为___ ．







二、新课导学
※ 典型例题

例1. 在
? ABC
中
tan(A?B)?1
，且最长边为1，
tanA?tanB
，
tanB?
小及△ABC最短边的长．




1
，求角C的大
2

例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险< br>等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
?
，相距10海里C 处
的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1
?
） ？














北
A
10
?
C
20
B
?

例3. 在
?
ABC中，设


















tanA2c?b
?,
求A的值．
tanBb

※ 动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，
向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向
再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．


















北
B
60°
30°
C
A
6 0°
P

练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无
解？













三、总结提升
※ 学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．

※ 知识拓展

设在
?ABC
中，已知三边
a
，
b，
c
，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是
abc
R?

p(p?a)(p?b)(p?c)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，则△ABC的面积为（ ）.
A．9 B．18 C．9 D．18
3

2.在△ABC 中，若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
，则∠C =（ ）.
A． 60° B． 90° C．150° D．120°
3. 在
?
ABC中，
a?80
，
b?100
，A =30°，则B的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
1
4. 在△ABC中，
a?32
，
b?23
，
cosC?
，则
S
△ABC
?
_______
3
5. 在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?A、
?
B、
?
C的对边，若
a
2
?b
2
?c
2
?2bcsinA
，
则A=___ ____.

课后作业

1. 已知
A
、
B
、
C< br>为
?ABC
的三内角，且其对边分别为
a
、
b
、c
，若
1
cosBcosC?sinBsinC?
．
2
（1）求
A
；
（2）若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．

2. 在△ABC中，
a,b,c
分别为角A
、
B
、
C的对边，
a
2
?c< br>2
?b
2
?
面积为6，
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.

8bc
，
a
=3， △ABC的
5
§2.1数列的概念与简单表示法(1)


学习目标

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
28
~ P
30
，找出疑惑之处）
复习1：函数，当x依次取1，2，3，?时，其函数值有什么特点？
复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，?时，其函数值有什么特点？

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？

3. 数列的一般形式：< br>a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项与n之间的关系可以用 来
表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
⑵一个数列的通项公式是唯一？
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，
数列， 数列和 数列.
※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1
1
1
⑴ 1，－，，－；
24
3
⑵ 1， 0， 1， 0.
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
14916
⑴ ，，，；
251017
⑵ 1， －1， 1， －1；

小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规
律，将项表示为项数的函数关系.
7
an
2
?b
例2已知数列 2，，2，?的通项公式为
a
n
?
，求这个数列的第四项和第五项. 4
cn
变式：已知数列
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，?，则5
5
是它的第 项.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

11
1
，， ；
7
35
⑵ 1，
2
，
3
，2 .
练2. 写出数列
{n
2
?n}
的第20项，第n＋1项.
⑴ 1，
三、总结提升
※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.
※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
1
1
1
思考：设
f(n)
＝1＋＋＋?＋（n
?
N*
）那么
f(n?1)? f(n)
等于（ ）
23n?1
3
1
1111111
A. B.
?
C. D.
???
3n?2
3n3n?13n?13n?23n3n?13n?2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1?不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15， ，35，48.
4.数列
{(?1)}
的第4项是 .
1111
5. 写出数列
?
，，
?
，的一个通项公式 .
2?12?22?32?4

n(n?1)
2

课后作业

1. 写出数列｛
2
n
｝的前5项.
2
2
?13
2?14
2
?15
2
?1
2. （1）写出数列，，，的一个通项公式为 .
2345
（2） 已知数列
3
，
7
，
11
，
15
，
19
，? 那么3
11
是这个数列的第 项.



§2.1数列的概念与简单表示法(2)

学习目标

1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
31
~ P
34
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？
复习2：数列如何分类？
二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的表示方法

问题：观察钢管堆放示意图，寻
找每层的钢管 数
a
n
与层数n之间有
何关系？
1. 通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一个通项公式是 .
2. 图象法：
数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在
y
轴的
侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大

变化而变化的趋势
．

3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数 列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或
前n项）间的关系可以用一个公式来表示 ，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

试试：上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之间关系的一个递推公式是 .

4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的用列表法如何表示？


反思：所有数列都能有四种表示方法吗？

※ 典型例题

a
1
?1
?
?
例1

设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项.
1
a?1?(n?1).
n
?
a
n?1
?

变式：已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a< br>n
，写出前5项，并猜想通项公式
a
n
.

小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的
项.
例2 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n
?2n
， 那么
a
2007
?
（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D.
2004
2

变式：已知数列
?
a
n
?< br>满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n< br>?2n
，求
a
n
.
小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.
※ 动手试试

2
练1. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
2
?
，且
a< br>n?1
?a
n
?a
n
?a
n?1
?2an?1
?a
n?1
?0
（
n?2
），
3
求
a
3
,a
4
.

练2.（2005年湖南）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?
.A．0 B.－
3
C.
3
D.
a
n
?3
3a
n
?1
（
n?N
*
），则
a
20
?
（ ）
3

2
练3. 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
17
?66
，通项公 式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵ 88是否是数列
?
a
n
?
中的项.
三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列的表示方法；
2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展

n刀最多能将比萨饼切成几块？
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以
便出售. 他发现一刀能将饼切成 两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多
能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多 少块？n刀

呢？
解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多
只能有一个交点，所以第n刀最多与前n－1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此 第n
刀的切痕最多被前n－1刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n
刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时，饼的块数最多为
a
1，??，刀数为n时，
饼的块数最多为
a
n
，所以
a
n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
.

2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
，则数列
?
a
n
?
是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
2. 数列
?
a
n
?
中，
a
n
??2n
2
?9n?3
，则此数列最大项的值是（ ）.
1
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
8
3. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2
（n≥1），则该数列的通项
a
n
?
（ ）.
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)

n(n?1)n(n?1)
C. D.
22
1
4. 已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?
，
a
n
?(?1)
n
?2a< br>n?1
（n≥2），则
a
5
?
.
3
1
1
5. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
，
a
n?1
?1?
（n≥2） ，
a
n
2
则
a
6
?
.

课后作业

1. 数列
?
a
n
?
中，
a
1
＝0，
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并归纳出通项公式.
2. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?











2a
n
(n?N)
，写出前5项，并猜想通 项公式
a
n
.
a
n
?2

§2.2等差数列（1）


学习目标

1. 理解等 差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根
据定义判断一个数列是等差 数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，?
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5

④ 10072，10144，10216，10288，10366
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同
一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用
字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
若一等差数列?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其定 义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

??
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项< br>a
n
.
※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，??的第10项.
（2）100是不是等差数列2， 9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理
由.

小结：要求出数 列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中
一项，则关键是要看是否存在一正 整数n值，使得
a
n
等于这一数.
例2 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定
是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？
< br>变式：已知数列的通项公式为
a
n
?6n?1
，问这个数列是否一定是 等差数列？若是，首项
与公差分别是什么？

小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常
数.

※ 动手试试

练1. 等差数列1，－3，－7，－11，?，求它的通项公式和第20项.

练2.在等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,a
12
?31
， 求数列的首项与公差.

三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展

1. 等差数列通项公式为
an
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数列的通项公
式，可知其为一次函数，图象上表现为直 线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立
点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为
a?d,a,a?d
. 若四个数成等差
数列，可设这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等差数列1，－1，－3，?，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列

C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ .
课后作业

1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1< br>?2
，d＝3，n＝10，求
a
n

⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21
，d＝2，求n；
⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d； 1
⑷已知d＝－，
a
7
?8
，求
a
1
.
3
2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分， 用平行木
条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.



§2.2等差数列（2）

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关系？
2. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有何关系？
※ 典型例题

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知< br>a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d
.


变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，求公差d及
a
14< br>.



小结：在等差数列
{a
n
}中，公差d可以由数列中任意两项
a
m
与
a
n
通过公式
出.
例2 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3
?a
10
?a
11
?36< br>，求
a
5
?a
8
和
a
6
?a
7
.



变式：在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4
? a
5
?34
，且
a
2
?a
5
?52
，求公差d.




小结：在等差数列中，若m+n=p+q ，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
， 可以使得计算简化.
a
m
?a
n
?d
求
m?n
※ 动手试试

练1. 在等差数列
?
a
n
?
中，a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
2
?a
5
?a
8
?33
，求
a
3
?a
6
?a
9
的值.

练2. 已知两个等差数列5，8，11，?和3，7，11，?都有100项，问它们有多少个相
同项？



三、总结提升
※ 学习小结

1. 在等 差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
a?a
n
2. 在等差数列中，公差
d?
m
.
m?n
※ 知识拓展

判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
n
?an
2
?bn
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个等差 数列中，
a
15
?33
，
a
25
?66
， 则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2.

等差数列
?a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1
，则
a
12
的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等 差数列
?
a
n
?
中，
a
3
，
a< br>10
是方程
x
2
?3x?5?0
，则
a
5< br>?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a2
??5
，
a
6
?11
，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .

课后作业

1. 若
a
1
?a
2
???a
5
?30
，
a
6
?a
7
???a
10
?80
， 求
a
11
?a
12
???a
15
.



2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.


§2.3 等差数列的前n项和(1)

学习目标

1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
42
~ P
44
，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※ 学习探究

探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+?+100=?
2. 如何求1+2+?+n=?
新知：
数列
{a
n
}
的前n项的和：
一般地，称 为数列
{a
n
}
的前n项的和，用
S
n
表示，即< br>S
n
?

反思：
① 如何求首项为
a
1
，第n项为
a
n
的等差数 列
{a
n
}
的前n项的和?
② 如何求首项为
a
1
，公差为d的等差数列
{a
n
}
的前n项的和?

试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
{a< br>n
}
的前n项和
S
n
.
⑴
a
1
??4，a
8
??18，n?8；

⑵
a
1
?14.5，d?0.7，n?15
.
小结：
n(a
1
?a
n
)
，必须具备三个条件： .
2
n(n?1)d
2. 用
S
n
?na
1
?
，必须已知三个条件： .
2

※ 典型例题

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某
市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学
建成不同标准的校园网.据 测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为
了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年
起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.
1. 用
S
n
?

例2 已知一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确
定这个等差数列的前n项和的公式吗？





变式：等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1 0
?30
，
a
20
?50
，
S
n
?242
，求n.

小结：等差数列前n项和公式就是一个关于
a
n
、a
1< br>、n或者a
1
、n、d
的方程，已知几个量，
通过解方程，得出其余的 未知量.
※ 动手试试

练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为 120°，公差为5°，那么这个多
边形的边数n为（ ）.
A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9
三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列前n项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的
三 个，列方程组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展

1. 若数列
{an
}
的前n项的和
S
n
?An
2
?Bn
（A
?0
，A、B是与n无关的常数），则数列
{a
n
}
是等差数列.
2. 已知数列
?
a
n
?
,
是公差 为d的等差数列，S
n
是其前n项和，设
k?N
?
,S
k< br>,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也成等差数列，公差为
k
2
?d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在等差数列
{a
n
}
中，
S
10
?120
，那么
a
1
?a< br>10
?
（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A．5880 B．5684 C．4877 D．4566
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列
{a< br>n
}
中，
a
1
?2
，
d??1
，则
S
8
?
.

5. 在 等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，a
5
?33
，则
S
6
?
.
课后作业

1. 数列｛
a
n
｝是等差数列，公差 为3，
a
n
＝11，前
n
和
S
n
＝14， 求
n
和
a
3
.


2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？

§2.3 等差数列的前
n
项和(2)
学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前

n项和的公式研究
S
n
的最大（小）值.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
45
~ P
46
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，求
S
5
.
复习2：等差数列{
a
n
}中，已知
a
3
?1
，
a
5
?11
，求和
S
8
.

二、新课导学
※ 学习探究

问题：如果一个数列
?
a< br>n
?
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，
那么这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是多少？

※ 典型例题

1
例1已知数 列
{a
n
}
的前n项为
S
n
?n
2
?n
，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数
2
列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

12
变式：已知数列< br>{a
n
}
的前n项为
S
n
?n
2
? n?3
，求这个数列的通项公式.
43


小结：数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系为 ?
S
1
(n?1)
a
n
=
?
，由此可 由
S
n
求
a
n
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
24
例2 已知等差数列5，4，3，....
的前n项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值.
77





变式：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3， 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值.





小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用
a
n
: 当
a
n
>0，d<0，前n项 和有最大值，可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的值 ；
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值，可由
a
n≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值
dd
（2）利用
S
n
：由
S
n
?n
2
?(a
1
? )n
，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.
22
※ 动手试试

练1. 已知
S
n
?3n
2
?2n
，求数列的通项
a
n
.

练2. 有两个等差数列2，6，10，?，190及2，8，14，?200，由这两个等差数列的公
共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.


三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.

※ 知识拓展

等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则
S
a< br>S
偶
－S
奇
＝nd
；
奇
＝
n
(n?2)
；
S
偶
a
n?1
2°若项数为奇数2n＋1，则
S
奇
－S
偶
＝a
n?1
；
S
偶
?na
n?1
；
S
奇
＝(n?1)a
n?1
；
S
偶
＝
n
.
S
奇
n?1
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A.
a
n
?n
2
B.
S
n
?2n?1

C.
S
n
?2n
2
?1
D.
S
n
?2n
2
?n

2. 等差数列{
a
n
}中，已知
S
15
?90
，那么
a
8< br>?
（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12

3. 等差数列{
a
n
}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）.
A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
1
5. 在等差数列中，公差d＝，
S
100
?145
，
2
则
a
1
?a
3
?a
5
?... ?a
99
?
.

课后作业

1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n的值.




2. 等差数列{
a
n
}，a
1
?0
，
S
9
?S
12
，该数列前 多少项的和最小？




§2.4等比数列（1）

学习目标

1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
48
~ P
51
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式
a
n
?
，
等差数列的性质有：

二、新课导学
※ 学习探究

观察：①1，2，4，8，16，?
11
1
1
②1，，，，，?
24
8
16
③1，20，
20
2
，
20
3
，
20
4< br>，?
思考以上四个数列有什么共同特征
新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等
于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用
字母 表示（q≠0），即：
a
n
= （q≠0）
a
n?1
2. 等比数列的通项公式：
a
2
?a
1
；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1 ； ? ?
∴
a
n
?a
n?1
q?a
1
?
等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项
a
n
与
a
m
的关系是：
※ 典型例题

4
1
，公比是－，求它的第1项；
9
3
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
例1 （1） 一个等比数列的第9项是






小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式
a
n
?a1
q
n?1
.

例2 已知数列{
a
n
}中，lg
a
n
?3n?5
，试用定义证明数列{
a
n
}是等比数列.






小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，a
n?1
是一个不为0的
a
n
常数就行了.
※ 动手试试

练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.
这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?


练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比
q?
（ ）. A.
335
B. C.
22
5?1
D.
2
5?1

2
三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项
a
n
与
a
m
的关系.
※ 知识拓展

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递增数列；
⑵ 当
a
1
?0
，
0?q?1
，数列
{a
n
}
是递增 数列；
⑶ 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，数列< br>{a
n
}
是递减数列；
⑷ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递减数列；
⑸ 当
q?0
时，数列
{a
n
}
是摆动数列；
⑹ 当
q?1
时，数列
{a
n
}
是常数列.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列，
a
1?12
，
a
2
?24
，则
a
3
?（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
91
2
2. 等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n＝（ ）.
3
83
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a，a（1－a），
a(1?a)
2
，?是等比数列，则实数 a的取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1
C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设
a
1，
a
2
，
a
3
，
a
4
成等比 数列，公比为2，则
2a
1
?a
2
＝ .
2a
3
?a
4
5. 在等比数列
{a
n
}
中，
2a
4
?a
6
?a
5
，则公比q＝ .

课后作业

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴
a
4
?27
，q＝－3，求
a
7
；
⑵
a
2
?18
，
a
4
?8
，求
a< br>1
和q；
⑶
a
4
?4
，
a
7< br>?6
，求
a
9
；
⑷
a
5
?a< br>1
?15,a
4
?a
2
?6
，求
a
3
.



§2.4等比数列（2）

学习目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
51
~ P
54
，找出疑惑之处）
复习1：
等比数列的通项公式
a
n
?
= .

公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如果 在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则
Gb
??G
2
?a b?G?

aG
新知1：等比中项定义
如果在a与b中间 插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b
的等比中项. 即G= （a，b同号）.

试试：数4和6的等比中项是 .
问题2： < br>1.在等比数列{
a
n
}中，
a
5
2
?a< br>3
a
7
是否成立呢？


2
2.
a
n
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你 据此能得到什么结论？


2
3.
a
n
?an?k
a
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到什么结论？


新知2：等比数列的性质
在等比数列中，若m+n=p+q，则a
m
a
n
?a
p
a
k
.

试试：在等比数列
?
a
n< br>?
，已知
a
1
?5,a
9
a
10
? 100
，那么
a
18
?
.






※ 典型例题
例1已知
{a
n
} ,{b
n
}
是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出
什么结论?证明你的结论.

a
n

b
n

a
n
?b
n

{a
n
?b
n
}
是
例
2
3?()
n

3
?5?2
n?1

4
?10?()
n?1

3
是
自选1




自选2




a
n
}也一定是等比数列吗？证明你的结论.
b
n
否等比

变式：项数相同等比数列{
a
n
}与{
b
n}，数列{



小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例2在等比数列{
a
n
}中，已知
a
4
?a
7
??512
，且
a
3
?a
8
?124
，公 比为整数，求
a
10
.

变式：在等比数列{
a
n
} 中，已知
a
7
?a
12
?5
，则
a
8?a
9
?a
10
?a
11
?
.




※ 动手试试

练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.
A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为1：
3
：3
5?15?1
C. 较小锐角的正弦为 D. 较大锐角的正弦为
22
练2. 在7和56之间插入
a
、
b
，使7、
a
、
b
、56成等比数列，若插入
c
、< br>d
，使7、
c
、
d
、56成等差数列，求
a
＋
b
＋
c
＋
d
的值.




三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比中项定义；
2. 等比数列的性质.
※ 知识拓展

公比为q的等比数列
{a
n
}
具有如下基本性质：
1. 数列
{|a
n
|}
，
{a
n
2
}
，
{ca
n
}(c?0)
，
{a
nm
}(m?N< br>*
)
，
{a
n
k
}
等，也为等比数列，公比 分
a
b
n
}
，
{
n
}
也等比. 别为
|q|,q
2
,q,q
m
,q
k
. 若数列< br>{b
n
}
为等比数列，则
{a
n
?
b
n
2. 若
m?N
*
，则
a
n
?a
m< br>?q
n?m
. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3. 若
m?n?k?l
，
m,n,k,l?N
*
，则
a
m
?a
n
?a
k
?a
l
.
4. 若
{a< br>n
}
各项为正，c>0，则
{log
c
a}
n
是一个以
log
c
a
1
为首项，
log
c
q
为公差的等差数列.

若
{b
n< br>}
是以d为公差的等差数列，则
{c
b
n
}
是以c
b
1
为首项，
c
d
为公比的等比数列. 当一个
数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，
a
n
?0
，
a
2
a4
?2a
3
a
5
?a
5
2
?16，那么
a
3
?a
5
?
（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a
1
，a
2
，－1四个实数成等差数列，－9，b
1
，b
2
，b
3
，－1五个实数成等比数
列，则b
2
(a
2
－a
1
)＝（ ）.
9
A．8 B．－8 C．±8 D．
8
3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，
lo g
a
x
，
log
b
x
，
log
c
x
（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .
5. 在各项 都为正数的等比数列
?
a
n
?
中，
a
5
? a
6
?9
，
则log
3
a
1
+ log
3
a
2
+
?
+
log
3
a
10
?
.


课后作业

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，< br>a
1
?a
9
?64
，
a
3
?a7
?20
，求
a
11
的值.

2. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差d≠0，且
a
1
，
a
3
，
a
9
成等比数列，求






a
1
?a
3
?a
9
. a
2
?a
4
?a
10
§2.5等比数列的前n项和(1 )


学习目标

1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
55
~ P
56
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？

复习2：已知 等比数列中，
a
3
?3
，
a
6
?81
，求
a
9
,a
10
.
二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：

等比数列的前
n
项和

故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n
，公比为q≠0，
公式的推导方法一：
2n?2n?1
?
?
S
n
? a
1
?a
1
q?a
1
q?
?
a
1
q?a
1
q
则
?

qS?
?
?
n
?(1?q)S
n
?

当
q?1
时，
S
n
?
①

或
S
n
?
②
当q=1时，
S
n
?

公式的推导方法二：
aa
a
由等比数列的定义，
2
?3
???
n
?q
，
a
1
a
2
a
n?1
有
a
2
?a
3
?
?
? a
n
S?a
1
?
n
?q
，
a
1
?a
2
?
?
?a
n?1
S
n
?a
n
即
S
n
?a
1
?q
.
S
n
?a
n
∴
(1?q)S
n
?a1
?a
n
q
（结论同上）
公式的推导方法三：
S< br>n
?
a
1
?a
2
?a
3
??an

＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?an
)
.
∴
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
11
1
试试：求等比数列，，，…的前8项的和.

24
8



※ 典型例题

1
例1已知a
1
=27，a
9
=，q<0，求这个等比数列前5项的和.
243

变式：
a
1
?3
，
a
5
?48
. 求此等比数列的前5项和.






例2某 商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%
，那么从今年起， 大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?




※ 动手试试

39
练1. 等比数列中，
a
3
? ,S
3
?,求a
1
及q.

22





练2. 一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来 高度的一半再落下，当
它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）

三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和公式；

2. 等比数列的前n项和公式的推导方法；

3. “知三求二”问题，即：已知等 比数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意 的三个，列方程
组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展

1. 若
q??1
，
m?N
*
，则
S
m
,S
2m< br>?S
m
,S
3m
?S
2m
,???
构成新的 等比数列，公比为
q
m
.
a
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为
,a,aq
. 若四个同符号的数成等q
aa
比数列，可设这四个数为
3
,,aq,aq
3
.
qq
3. 证明等比数列的方法有：
a
（1）定义法：
n?1?q
；（2）中项法：
a
n?1
2
?a
n
?a
n?2
.
a
n


?
S?a
1
4. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式
?
1
表示.
?
S
n
?S
n?1
?a
n
(n?1)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 数列1，
a
，
a< br>2
，
a
3
，?，
a
n?1
，?的前n项和为 （ ）.
1?a
n
1?a
n?1
A. B.
1?a1?a
1?a
n?2
C. D. 以上都不对
1?a
2. 等比数列中，已知
a
1
?a
2
?20
，
a
3
?a
4
?40
，则
a
5< br>?a
6
?
（ ）.

A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3. 设
{an
}
是由正数组成的等比数列，公比为2，且
a
1
a
2
a
3
???a
30
?2
30
，那么
a3
a
6
a
9
???a
30
?
（ ）.
A.
2
10
B.
2
20
C. 1 D.
2
60

4. 等比数列的各项都是正数，若a
1
?81,a
5
?16
，则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n项和
S
n
?3
n
?a
，则a＝ .

课后作业

1. 等比数列中，已知
a
1
? ?1,a
4
?64,求q及S
4
.







2. 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
6
?33,a
2
?a
5< br>?32
，求
S
6
.






§2.5等比数列的前n项和(2)

学习目标

1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 会用公式解决有关等比数 列的
S
n
,a
n
,a
1
,n,q
中知道三 个数求另外两个数的一些简单问
题.
学习过程

一、课前准备

（预习教材P
57
~ P
62
，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当
q?1
时，
S
n
?
＝
当q=1时，
S
n
?

复习2：等比数列的通项公式.

a
n
?
=

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等比数列的前n项和与通项关系
问题：等比数列的前n项和
S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
?a
n
，
S
n?1
?
a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
（n≥2），
∴
S
n
?S
n?1
?
，
当n＝1时，
S
1
?
.
反思：
等比数列前n项和
S
n
与通项
a
n
的关系是什么？
※ 典型例题

例1 数列
{a
n
}
的前n项和< br>S
n
?a
n
?1
（a≠0，a≠1），试证明数列
{ a
n
}
是等比数列.




变式：已 知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
，且
S< br>n?1
?4a
n
?2
，
a
1
?1
，设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，求证：
数 列
{b
n
}
是等比数列




例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是
S
n
，
S< br>2n
，
S
3n
，求证：
S
n
，
S< br>2n
?S
n
，

S
3n
?S
2n
也成等比.






变式：在等比数列中，已知
S
n
?48,S
2n
?60
，求
S
3n
.






※ 动手试试

练1. 等比数列
{an
}
中，
S
30
?13S
10
，
S< br>10
?S
30
?140
，求
S
20
.






练2. 求数列1，1+2，1+2 +2
2
，1+2+2
2
+2
3
，?的前n项和S
n
.






三、总结提升

※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和与通项关系；
2. 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是
S
n
，
S
2n
，
S
3n
，则数列
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n?S
2n
也成为等比数列.
※ 知识拓展

1. 等差数列中 ，
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd
；
2. 等比数列中，
S
m?n
?S
n
?q
n
S
m
?S
m
?q
m
S
n
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等比数列
{a
n
}
中，
S
3
?3
，
S6
?9
，则
S
9
?
（ ）.
A. 21 B. 12 C. 18 D. 24
2. 在等比数列中，
a< br>1
?4
，q＝2，使
S
n
?4000
的最小n值是（ ）.
A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
3. 计算 机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)
2
表示
二进制的数， 将它转换成十进制的形式是
1?2
3
?1?2
2
? 0?2
1
?1?2
0
?13
，那么将二进
制数(11111 111)
2
转换成十进制的形式是（ ）.
A.
2
9
?2
B.
2
8
?1
C.
2
8
?2
D.
2
7
?1

4. 在等比数列中，若
2S
3
?a
3
?2S
2< br>?a
4
，则公比q＝ .
5. 在等比数列中，
a
1
?1
，
a
n
??512
，
S
n
??341
，
则q＝ ，n＝ .

课后作业

1. 等比数列的前n项和
s
n
?
2
?1
，求通项
a
n
.





n

2. 设a为常数，求数列a，2a
2
，3a< br>3
，?，na
n
，?的前n项和；






第二章 数列（复习）

学习目标

1.
系统掌握数列的有关概念和公式；
2. 了解数列的通项公式
a
n
与前n项和公式
S
n
的关系；
3. 能通过前n项和公式
S
n
求出数列的通项公式
a
n
.
学习过程

一、课前准备
（复习教材
P
28
～
P
69
，找出疑惑之处）
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
二、新课导学
※ 学习探究

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的
思想．
2．等差、等比数列中，a
1
、
a
n
、
n
、
d(q)、
S
n
“知三求二”，体现了方程(组)的思想、
整体思想，有时用到换元法．
3． 求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现
了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加

法，等价转化等．
5. 数列求和主要：
（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；
111
??
（5）裂项相消，如.
n(n?1)nn?1


※ 典型例题

例1在数列
?
a
n
?< br>中，
a
1
＝1，
n
≥2时，
a
n
、
S
n
、
S
n
－
（1）求
a
2,a
3
,a
4
； （2）求数列
?
a
n
?
的通项公式.









例2已知等差数列{a< br>n
}的首项a
1
＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b
n
}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式；
cccc
（2）设数列{c
n
}对任意正整数n，均有
1
?
2
?
3
????
n
?a
n?1
，
b1
b
2
b
3
b
n
求c
1
＋c
2
＋c
3
＋?＋c
2004
的值．





1
成等比数列.
2

※ 动手试试

练1. 等差数列
?
a
n
?
的首项为
a,
公差为
d
；等差数列
?
b
n
?
的首项为
b ,
公差为
e
. 如果
c
n
?a
n
?bn
(n?1)
，且
c
1
?4,c
2
?8. 求数列
?
c
n
?
的通项公式.







练2. 如图，作边长为
a
的 正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作
新三角形的内切圆.如此下去，求前
n
个内切圆的面积和.




练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞
出去，各自找回了5 个伙伴，??，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜
蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.
A. 55986 B. 46656 C. 216 D. 36
三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列的有关概念和公式；

2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.
※ 知识拓展

数列前n项和重要公式：
n(n?1)(2n?1)
；
1
2?2
2
?3
2
??n
2
?
6
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n?1)]
2
2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 集合
M?mm?2n?1,n?N
*
,m?60
的元素个数是（ ）.
??
A. 59 B. 31 C. 30 D. 29
2. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是
（ ）.
A．648 B．832 C．1168 D．1944
3. 设数列
?
a
n
?
是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首
项是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
24
4. 已知等差数列
5,4,3,...
的前
n
项和为
S
n
，则使得
S
n
最大的序号< br>n
的值为 .
77
5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是
课后作业

1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第
n
行最右边的数是
n
2
， 那么第20行最左边的数是
几?第20行所有数的和是多少?
1
2 3 4
5 6 7 8 9

§3.1 不等关系与不等式（1）

学习目标

1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.

学习过程

一、课前准备
复习1：写出一个以前所学的不等关系_________



复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400 元
______________________



二、新课导学
※ 学习探究

探究1：
文字语言
大于
小于

数学符号


文字语言
至多
至少
数学符号

大于等于
小于等于


不少于
不多于






探究2：限速40 kmh的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过
40kmh，写成不等式就是__ _____________




某品牌酸奶的质量检查规定 ，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不
少于2.3%，写成不等式组就是___ ______________




※ 典型例题

例1 设点A与平面的距离为d，B为平面< br>?
上的任意一点，则其中不等关系有
______________








例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提
高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不
等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的 要求，
600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？