人教版高中数学必修五知识点总结(史上最全)

等比数列

（指数型函数）
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式 以及前n项和看成是关于n
的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列
分析：因为
中，，则 .
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线， 一次函数图像是一条直线，则（n, m）,(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利< br>用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求
时，
最大值，故其对应二 次函数图像开口向下，并且对称轴为
最大。
，对任意正整数n，
递增得到：
对一切
有最大值
看成函数
恒成立，求
对于一切
恒成立，设
，所以的取值范围是：
，它的定义域是
，即当
例题：3递增数列
分析：构造一 次函数，由数列
恒成立，所以
恒成立，即
，则只需求
。
，因
,抛物线对称轴
出的最大值即可，显然
构造二次函数，
为是递增数列，即函数为递增 函数，单调增区间为
，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从 对应

图像上看，对称轴在的左侧
也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得
⑵如果数列可以看 作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依
照等比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
1
2
1
4
1
2
n
,...

⑶ 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公 差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
2. 判断 和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,
验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)
为同一常数。( 2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1< br>?a
n
?a
n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
?
a
m
?0
a
a
3. 在等差数列｛
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
1
>0,d<0时，满足
?
的项数m使
a?0
?
m?1
?a
m
?0
得
s
m
取最大值. (2)当
a1
<0,d>0时，满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值 。在解含绝对值
?
a
m?1
?0
的数列最值问题时,注意转化思想的 应用。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数
aa
?
nn?1
?
列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{a
n
}的通项为an
=
11
解：观察后发现：a
n
=
?

nn?1
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
s
n
?a
1
?a
2
?????a
n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)

223nn? 1
1
?1?
n?1

3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列 ，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列{ a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
n
，求这个数列 的前n项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
n

=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n

即
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
2
n
=
1?2?2?2< br>3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s< br>n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2? 2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
?
2(1?2
n
)
?n?2
n?1
1?2
?2
n?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
∴
s
n
?(n?1)2
n?1
?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
2

2
1
3
?2
3
???n
3
?
?
?
1
?
2
n(n?1)
?
?
?

4）
1< br>2
?2
2
?3
2
???n
2
?
1< br>n(n?1)(2n?1)
5
11
6
）
n(n?1)< br>?
n
?
1
n?1
1
n(n?2)
?
1
2
(
1
n
?
1
n?2
)

3）
，

6）

1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
31、
a? b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0 ?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
???a
n
?0(?0)(a
0
?0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；
(为了统一方 便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从 右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数
轴上表示各根的点（为什么？）； < br>④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式
是“< 0”,则找“线”在x轴下方的区间.







（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x
2
?3x2
?6x?8?0
的解集。
+

X
1
+

—X
2
X
3
+

X
n-2
X
n-1
—X
n
+

X

解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图








由图可看出不等式
x
2
?3x
2< br>?6x?8?0
的解集为：
+
+
1
?

-2
?

4
x
?
x|?2?x?1,或x?4
?

例题：求解不等式
解：略
一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax
2
+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数
y?ax
2
?bx?c

(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)

??0

??0

??0

（
a?0
）的图象
一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根
x
1
?x
2
??
b

2a


无实根

R
ax? bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)


b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??

ax< br>2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx
1
?x?x
2
?


?



?

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）
例题：求解不等式：
解：略
例题：求不等式
1
??1
< br>x
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0 ?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)

x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|x??a,或x?a
?

变型：
其中-c|ax?b|?c(c?0)型的不等式的解 集可以由
?
x|?c?ax?b?c
?
解得。
?
ax?b? c
不等式组
?
在解-cax?b? ?c
?
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax ?b?c,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
|x?2|?1

解：略
例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0

解得：
x??3和x?2

?
3 2
x

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
11
?
??(x?2)?(x?3)?10
11
?
x??

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
?
x??3
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
??
?3?x?2

??
?
?(x?2)?(x?3)?10
?
x?R
③当x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
x?2
?
x? 2
9
?
?
?
9
?
2?x?

?< br>2
?
(x?2)?(x?3)?10
?
x?
?2
11 9
??
由①②③得原不等式的解集为：
?
x|??x?
?
（ 注：是把①②③的解集并在一起）
22
??
y
函数图像法：
令
f(x)?|x?2|?|x?3|

?
?2x?1(x??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x?2)

?
2x?1(x?2)
?
?
5
f(x)
=10
?
11
o

?3

2
2
9

2
x
在直角坐标系中作出此分段函数及
f(x)?10
的图像如图
119
??
由图像可知原不等式的解集为：
?
x|??x?
?

22
??
4.一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a>0)的实根的分布常 借助二次函数图像来分析：
y
设ax
2
+bx+c=0的两根为
?
、
?
，f(x)=ax
2
+bx+c,那么：
?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?
o
?

对称轴x=
?
?

x
b

2a
y



?

?

o x

?
??0
?
b
?
②若两根 都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
??0
?
2a
?
?
f(0)?0





y
?

o x
?

③若 两根有一根小于0一根大于0，即
?
?0?
?
，则有
f(0)?0< br>



④若两根在两实数m,n之间，即
m?
?< br>?
?
?n
，
?
??0
?
b
?m???n
?
则有
?

2a
?
f(m)?0
?

o m
?
?
?
f(n)?0
y
?

n
b

2a
x
X=
?
⑤若两个根在三个实数之间， 即
m?
?
?t?
?
?n
，
y
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?




常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程
x
2
?2(m?1)x?m
2
?2m?3?0
有两个正实数根，求
m的取值范围。
o m
?

X=
?
t
?

n
x
b

2a
?
4(m ?1)
2
?4(m
2
?2m?3)?0
?
??0
?
m??1
?
??
解：由①型得
?
?
?
?< br>?0
?
?
2(m?1)?0
?
?
m??1
?
m?3

?
m
2
?2m?3?0
?
??
?
?0
?
m??1,或m?3
??
?

所以方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如：方程
x
2< br>?x?m
2
?1?0
的一根大于1，另一根小于1，求
m
的范 围。
解：因为有两个不同的根，所以由
?
55
22
?
?< br>??0
?m?
?
(?1)?4(m?1)?0
?
?
?
?
2
?
?
2
?
2
?
?1?m?1

2
f(1)?0
?
?
?
1?1?m?1?0?
?1?m?1
?
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，
所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x ??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0?
在直线
?x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下 方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
（一）由B确定：
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表 示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y? C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

?
2x?y ?5?0
?
例题：画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解：略
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设
a
、
b
是两个正数，则
平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b? 2ab
，即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的 算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何
2
a?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
43、 常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；③
2
?
a?b
?
ab?
??
?
a?0,b?0
?
；
?
2
?
a
2
?b
2
?
a?b
?
④?
??
?
a,b?R
?
．
22
??
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取 得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），
4
2
2
则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
例题：已知x?
解：∵
x?
5
1
，求函数
f(x)?4x?2?< br>的最大值。
4
4x?5
5
，∴
4x?5?0

4
由原式可以化为：

f(x)?4x?5?5?2?
1111
??(5?4x)??3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1?3?2
4x?55?4x5?4x5?4x
当
5?4x?
13
，即
(5?4x)
2
?1
?
x?1，或x?(舍去）
时取到“=”号 < br>5?4x2
也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
? 2