高中数学必修5知识点大全(经典)

…
…
…
…
…
…
…
……
…

号
：



















…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

第一章 解三角形
1、三角形的性质：①
A?B?C?
?
,
?

sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC

③余弦定理：
a?b?c?2bccosA
、
b?a?c?2accosB
、
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

222222
A?B
?
CA?BC
??
?
sin? cos

22222
b
2
?c
2
?a
2< br>a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
、
cosB?
、
cosC?
（角化边）
2bc2ac2ab
④面积公式：
S
?ABC
?

②在
?ABC
中,
a?b
＞
c
,
a?b
＜
c
;
A?B
?
sinA
＞
sinB
,
111
absinC?bcsinA?acsinB

222
A?B
?
cosA?cosB
,
a?b
?
A?B

???
③若
?ABC
为锐角
?
，则
A?B
＞,
B?C
＞,
A?C＞;
3、①补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
??
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
线
学
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…
…


…


…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…


…


封
…
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…


…
…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…



222
a
2
?b
2
＞
c2
，
b
2
?c
2
＞
a
2
，< br>a
2
＋
c
2
＞
b
2

2、正弦定理与余弦定理：
①正弦定理：
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R

(
2R
为
?ABC
外接圆的直径)

a?2RsinA
、
b?2RsinB
、
c?2RsinC

（边化角）
sinA?
a
2R
、
sinB?
b
2R
、
sinC?
c
2R
（角化边）
②正弦定理确定三角形解的情况

图 形 关 系 式 解 的 个 数
①
a?bsinA

②
a?b

一 解

A

为

锐
bsinA?a?b

两 解

角


a?bsinA

无 解

A
为
a?b

一 解
钝
角

或
直
a?b

无 解
角

第
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⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
??
?
?
?
?
tan
?
?tan
?1?tan
?
tan
?

?

tan?
?ta
?
n?
?
ta
?
n?
???
?1
?
tan
?
；
?
t

an
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
t an
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

?

tan
?
?ta
?
n?
?
ta
?
n?
?
??
?1
?
tan
??
．
t

an
②二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1 ?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?< br>)
2

⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
升幂公式
1?cos
?
?2co s
2
?
,1?cos
?
?2sin
2
?
2 2

?
降幂公式
cos
2
?
?
cos2< br>?
?1
2
，
sin
2
?
?
1?co s2
?
2
．
③不常用的三角函数值

15° 75° 105° 165°
sin
?

6?26?26?26?2
4

4

4

4

cos
?

6?26?2?6?26?2
4

4

4

?
4

tan
?

2?3

2?3

?2?3

?2?3

4、常见的解题方法：（边化角或者角化边）
5、应用举例（浏览即可）

(1)、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
(2)、方向角：如 图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或

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********************************** ************************************************** ************************************************** ************************************************** ******************************
…………………………………密… …………………………封………………………………线…………………………………

正南或正西或正东）
(3)、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水
平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

b
的等差中项。
A
是
a
，
b
的 等差中项
?
A?
a?b
?
2A?a?b
?
A?a? b?A
.
2
*
③等差中项判定等差数列：任取相邻的三项
a
n?1
，
a
n
，
a
n?1
（
n?2,n ?
N
），则

a
n?1
，
a
n
，
a
n?1
成等差数列
?
2a
n
?a
n ?1
?a
n?1
（
n?2
）
?
?
a
n
?
是等差数列。
④等差数列的通项公式：
a
n
?a< br>1
?
?
n?1
?
d
，其中
a
1为首项，
d
为公差。变形为：
d?
a
n
?a
1
.
n?1

（1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角 （5）坡角与坡比
(4)、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。
(5)、铅直平行：与海平面垂直的平面。
(6)、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成 的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比
⑤通项公式的变形：
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
，其中
a
m
为第
m
项。变形为
d?
*
a
n
?a< br>m
.
n?m
⑥等差数列的性质：（1）若
n
，
m< br>，
p
，
q
?
N
，且
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
（相同数量下，项数之和相等，项之和相等）
（2）若
m?n?2p
，则< br>a
m
?a
n
?2a
p
；
（3）若
m
，
p
，
n
成等差数列，则
a
m
，
a
p
，
a
n
成等差关系；（等距等差）
h
??
i?
??
.

l
??
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：

（4）若
?
a
n?
为等差数列，
S
k,
S
2k
?S
K
,S
3k
?S
2k
,?
也成等差数列（片段等差）
（5） 若
?
a
n
?
成等差数列
?
a
n
? pn?q
（公差为
p
，首项为
p?q
）；
（6）若
?
c
n
?
成等差数列，则
?
a
n
?也成等差数列；
（7）如果
?
a
n
??
b
n
?
都是等差数列，则
?
pa
n
?q
?
，< br>?
pa
n
?qb
m
?
也是等差数列。
3、等差数列的前
n
项和
?
S
?
n?1
?
①一般数列
a
n
与
s
n
的关系为
an
?
?
1
.
?
S
n
?S
n?1
?
n?2
?

①
a
n
?f(n)
，数列是定义域为N的函数
f(n)< br>，当n依次取1，2，
???
时的一列函数值
②
a
n
的求法：
1）归纳法
?
S
1
,n ?1
2）
a
n
?
?
若
S
0
?0
，则
a
n
不分段；若
S
0
?0
，则
a
n
分段
?
S
n
?S
n?1
, n?2
3）若
a
n?1
?pa
n
?q
，则可设a
n?1
?m?p(a
n
?m)
解得
m
,得等 比数列
?
a
n
?m
?

?
S
n< br>?f(a
n
)
4）若
S
n
?f(a
n
)
，先求
a
1
，再构造方程组：
?
得到关于
a< br>n?1
和
a
n
的递推关系式
S?f(a)
n?1< br>?
n?1
例如：
S
n
?2a
n
?1
先求
a
1
，再构造方程组：
?
2、等差数列
①等差数列的 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母
d
表示。定义式为
②等差数 列前
n
项和的公式：
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d

22
?
S
n
?2a
n
?1
?
（下减上）
a
n?1
?2a
n?1
?2a< br>n

?
S
n?1
?2a
n?1
?1
③等差数列前
n
项和公式的函数特征：（1）由
S
n
?na
1
?
d
n
?
n?1
?
dd
??
d ?n
2
?
?
a
1
?
?
n
，令A?
，
2
222
??
B?a
1
?
d< br>2
，则
?
a
n
?
为等差数列
?
S< br>n
?An?B
n
（
A、B
为常数，其中
d?2A，
a
1
?a?b
）. 若
2
A?0
，即
d?0
，则
S
n
是关于
n
的无常数项的二次函数。 若< br>A?0
，即
d?0
，则
S
n
?na
1
.
（2）若
?
a
n
?
为等差数列，
?
a
n
?a
n?1
?d
（
n?2
，
n?
N
*
）或
a
n?1
?a
n
?d
（
n?
N
*
）
②等差中项：由三个数
a
，A
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，
A
叫 做
a
与
?
S
n
?
也是等差数列，公差为
d

?
2
?
n
?
第
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…




…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
…
…
号
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




（3）若
S
n
?m
，
S< br>m
?n
，则
S
m?n
??
?
m?n
?
（5）若
S
m
?S
n
，则
S
m? n
?0

（4）若
?
a
??
bA
aAnn
?
是均为等差数列，前
n
项和分别是
n
与
B
n
，则有
m
?
2m?1
b

m
B
2m?1
（5）等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0
，
d?0
，则
S
n
有最大值，< br>a
1
?0
，
d?0
，则
S
n
有最小 值。
4、等比数列
①等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比等于同一常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
表示
?
q?0
?
.定义式：
a
n
a
?q
，
n?1
(
n?2
,
a
n
?0
,
q?0
).
②等比中项：如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等
比数列。
a
，
G
，
b
成等比数列
?
G
a< br>?
b
G
?G
2
?ab?G??ab
.两数同号才有等 比中项，且
有2个互为相反数。
③通项公式：
a
n?1
n
?a
1
q?
a
1
q
?q
n
其中首相为
a
1
，公比为
q
.
④等比数列的性质：
a
n?m
*
n
?a
m
q
（
n
，
m
?N
）.
5、等比数列的前
n
项和
?
na
1
?
q?
①等比数列的前
n
项和的公式：
S
?
1
?
n
?
?
?
a
1
?
1?q
n
?
?
1?q
?
a
1
?a
n
q
1?q
?
q?1
?

②等比数列的前
n
项和的函数特征：当
q?1
时，
S
a
1
?
1?q
n
?
n
?
1?q
?
a
1
a
1?q
?
a
1
1?q
q
n
.记
A?
1
1?q
，
即
S
n
n
??A q?A
.（帮助判断等比数列）
③等比数列的前
n
项和的性质：
（1）当
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
，…均不为零时，数列成等差数列。公比为
qk< br>.
（2）
S?S
nm
n?mn
?qS
m
? S
m
?qS
n

（3）
a
m
a
? q
m?n
或
a
m?n
、
n
?N
*
m
?a
n
?q
（
m
）
n
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（4）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

（5）若
?
a
n
?
为等差数列，则
?
C
a
n
?
为等比数列
（6）若
?
a
n
?
为正项等比数列，则
?
log
C
a
n
?
是等差数列
（7）若
?
an
?
、
?
b
?
?
?
a
??
?
?0
?
、
?
a
n
?
、< br>?
a
k
n
?
、
?
a
n
?b
n
?
、
?
?
a
n
?
n
?
均为等比数列，则
?
?
a
n
?
?
?
?
等仍是等
n
??
b
n
?
比数列。公比分别为：
q、
1
、q、q
k
、q
q
1
q
1
q
2
、
q
.
2
（8）等比数列
?
a
?
a
1
?0
n
?
的增减性：当
?，或
?
?
q?1
?
a
1
?0
时，?
0?q?1
?
a
?
?
?
a
1
?0
?
a
1
?0
n
为递增数列；当或
?
0?q?1
?
?
q?1
时，
?
a
n
?为递增减数列。
④由递推公式求数列通向法：
（1）累加法：
a
n? 1
?a
n
?f
?
n
?
变形：
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?

（2）累乘 法：
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
变形：
a
n?1
a
?f
?
n
?

n
（3）取倒数法：
a
pa
n
n?1
?
qap
n
?
（4）构建新数列法：
a
n?1
?pa
n
?q
（其中
p
，
q
均为常数，
?
pq( p?1)?0
?
）
?
设
a
n?1
?k?p
?
a
n
?k
?
?
?
a
n
?k< br>?
为等比数列。
6、数列求和的常用方法:
①公式法:如
a
n?1
n
?2n?3,a
n
?3

②分组求和法:如a
n
2
n?1
?2n?5
，可分别求出
?
3< br>n
?
，
?
2
n?1
n
?3?
?和
?
2n?5
?
的和，然后把三部
分加起来即可。
n
③错位相减法:如
a
?
1
?
n
?
?
3n?2
?
?
?
?
2
?
?
，
23n?1n

S5
?
?
1
??
1
??
1
??
1
?
n
?
?
2
?< br>?
?7
?
?
2
?
?
?9
?
?
2
?
?
?????(3n?1)
?
?
2
?
?
?
?
3n?2
?
?
?
1
?< br>?
2
?
?


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页

******** ************************************************** ************************************************** ************************************************** ************************************************** ******
…………………………………密……………………………封………………………………线 …………………………………

1
?
1
??
1
??
1
??
1
??
1
?

S
n
?
5
??
?7
??
?9
??
?
…＋?
3n?1
?
??
?
?
3n?2
?
? ?
2
?
2
??
2
??
2
??
2< br>??
2
?
23n
234nn?1

n?1
（ 5）同向相加：
a?b
?
a?b
?
；异向可减：
?a?c? b?d
??
?a?d?b?c

c?d
?
d?c
?
1
?
1
??
1
??
1
??
1??
1
?
两式相减得：
S
n
?5
??
?2
??
?2
??
?????2
??
?
?
3n?2
?
??
2
?
2
??
2
??
2
??
2
??
2
?
111
??;a
n< br>?
④裂项相消法:如
a
n
?
n
?
n?1?
nn?1

a
n
?
，以下略。
a?b?0
?
a?b?0< br>?
ab
（6）同向可乘：
?
?ac?bd
；异项可除：
?
??

c?d?0
?
0?d?c
?
dc
（7）乘方法则：
a?b?0
?a?b
（
n?N
，
n?1
）
（8）可开方性法则：
a?b?0?
n
1
n?1?n< br>?n?1?n
，
nn
1
?
11
?
?
?
?
?
等。
?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12n?1
?
1
a?
n
b< br>（
n?N
，
n?2
）
⑤倒序相加法.例：在1与2之间插入 n个数
a
1
,a
2,
a
3,
???,a
n
，使这n+2个数成等差数列，
a?b
?
11
（9）倒数法则：
?
??

ab?0
?
ab
2、一元二次不等式及其解法
①一元二次不等式定 义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式，称为一
元二次不 等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等
式的所有解组成 的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
②二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系
3
求：
S
n
?a
1
?a
2
?????a
n< br>，（答案：
S
n
?n
）
2
第三章 不等式
1、不等式关系与不等式
①不等式定义：用不等号（
?
、
?
、
?
、
?
、
?
）表示不等关系的式子叫不等式，记作f
?
x
?
?g
?
x
?
，
?? b
2
?4ac

ax
2
?bx?c?0
??0

??0

??0

f
?
x
?
?g
?
x?
等。用“
?
”或“
?
”连接的不等式叫严格不等式，用不“< br>?
”或“
?
”连接的不等
式叫非严格不等式。
②实数的基本性质

a?b?a?b?0
；
a?b?a?b?0
；
a?b?a?b?0
.
实数的其他性质

?
a?0
?
的图像


两个相等的实数根

没有实数根
ax
2
?bx?c?0< br>两个不相等的实数根
a?0
?
a?0
?
a?0
?；；
?a?b?0,ab?0?a?b?0,ab?0
?
?ab?0
< br>??
b?0
?
b?0
?
b?0
?
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
?
x
1
?x
2
?

?
x
1
?x
2
?

?b?
xx??
??

2a
??
③不等式的基本性质
（1）对称性：
a?b?b?a
（2）传递性：
a?b,b?c?a?c

（3）可加性：
a?b?a?c?b?c
推论1：
a?b?c?a?c?b
（移向法则）
?
a?0
?
的解集
ax
2
?bx?c?0
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx?x?x
2
?

R

a?b
?
推论2：
?
?a?c?b?d
（同向不等式的相加法则）
c?d
?
?
a?0
?
的解集
1
?

?

a?b
?
a?b
?< br>（4）可乘性：；
?ac?bc
??
?ac?bc

c?0
?
c?0
?

附：韦达定理

b c
2
在函数
ax?bx?c?0
?
a?0
?
，则< br>x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?
.

aa
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第
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页

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页

…




…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
…
…
号
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




3、二元一次不等式（组）与平面区域
①平面区域：一般地 ，在平面直角坐标系中，二元一次不等式
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C ?0
某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。不
等式Ax?By?C?0
表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。
②平面区域的判定：一 般地，当
y?kx?b
时，表示
y?kx?b
的上方区域；
当
y?kx?b
时，表示
y?kx?b
的下方区域。
4、简单的线性规划问题
线性规划有关概念：①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或 最小值问题，统称线性规划问
题。②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件 。③要求最大（小）值
所涉及的关于变量
x
，
y
的一次解析式叫做线 性目标函数。④满足线性约束条件的解（
x
，
y
）叫
做可行解，⑤由 所有可行解组成的集合叫做可行域。⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做最优解。
常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
z?Ax?By;
②“斜率”型：
z?
y
x
或
z?
y?b
x?a;

③“距离”型：
z?x
2
?y
2
或
z?x
2
?y
2
;
z?(x?a)
2
?(y?b )
2
或
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.

画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l
0
:Ax?By?0
，平移直线
l
0
（据可行域，将直线
l
0
平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
(x,y)
；第四步，将最优解
(x,y)
代入目
标函数
z?Ax?By
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：利用
z
的几何意义：< br>y??
A
B
x?
z
z
B
,
B
为直线的纵截距.
①若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所 表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最大值，使直
线的纵截距最小的角点处，z
取得最小值；
②若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By< br>所表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最小值，使直
线的纵截距最小的角点 处，
z
取得最大值.
5、基本不等式：
ab?
a?b
2

①主要不等式：设a
，
b
?R
，则
a
2
?b
2
?2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”）
②基本不等式：设
a?0
，
b?0
，则
a?b
2
?ab
（当且仅当
a?b
时取“=”）
即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形：
a?b?2ab
.
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2
③应用：
2aba?ba
2
?b
2
?
a ?b
?
a
2
?b
2
a?b
?ab?
2?
2
?ab?
?
?
2
?
?
?
2
（
a
，
b
?R
）
（调几算方）
6、基本不等式的应用
（1）如果和
x?y
是定值
S
，那 么当且仅当
x?y?
S
S
2
2
时，积
xy
有最大值
4
；
（2）如果积
xy
是定值
P
，那么 当且仅当
x?y?P
时，和
x?y
有最小值
2P
.
应注意以下几点：①各项或各因式必须为整数；②各项或各因式的和（或积）必须为常数；
③各项或各因式能够取相等的值；④多次使用均值不等式时必须同时取等号。
以上三个条件简称为“一正，二定，三相等，四同时”
其他补充内容
直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x
轴正向与直线向上方向之间所成 的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与
x
轴平行
或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：直线的斜率 常用k表示，即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线
?
l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当
?
?0
?
,90
?
?
时，
k?0
； 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时 ，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
xx
(x
1< br>?x
2
)
（
P
1
?
x
1
,y
2
?
,P
2
?
x
1
,y
2< br>?
,x
1
?x
2
）
2
?
1
注意:(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存 在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、
P2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当 直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上
每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
y
?
x?x
1
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
xa
?
y
b
?1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b

⑤一般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）
注意：①各式的适用范围
②特殊的方程如：平行于
x
轴的直线：
y ?b
（
b
为常数）；

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********************************** ************************************************** ************************************************** ************************************************** ******************************
…………………………………密… …………………………封………………………………线…………………………………

平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）； （6）两直线平行与垂直当
l
1
:y?k
1
x?b
1< br>，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1< br>?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交，交点坐标即方程组
?
A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
的一组解。方程组无解
?ll
；方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
1 2
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
? 0
（8）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，则
Bx
2
,y
2
）
|AB |?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By? C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

22
A?B
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l< br>1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
A x?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为d?
C
1
?C
2
A?B
22

①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
22 2
(3)过圆上一点的切线方程：圆
(x-a)+(y-b)=r
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线方
2
程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r

4.圆与圆的位置关系：
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
a) 当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
b) 当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
c) 当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
d) 当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
e) 当
d?R?r
时，两圆内含；
f) 当
d?0
时，为同心圆。
注意：1.已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
2. 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
平面向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a，b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积（或内积）.
2.坐标表示：设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则a·b＝x
1
x
2
+y
1
y
2
.
3.垂直条件：设 a，b为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4.设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，则有
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
)
5.向量共线的坐标表示：设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则有a，b共线
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
6.中点公式：设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，P为AB中点，则对任一点O，有
OP?
1
?
x?x
2
y
1
?y
2
?
(OA?OB) ?
?
1
,
?
.

222
??
圆与方程
1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的 集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半
径。
2.圆的方程：
2
（1）标准 方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r，圆心
22
?
a,b
?
，半径为r；
点
当< br>当
M(x
0
,y
0
)
2
2
222< br>(x?a)?(y?b)?r
与圆的位置关系：
2
2
(x
0
?a)?(y
0
?b)
(x
0
?a)?(y
0?b)
22
>
r
，点在圆外
=
r
，点在圆上
2
2
22
2
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r
，点在圆内
（2）一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0

1
DE
?
，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?D
2
?E
2
?4F

?
?,?
?
?
22
?
22
2
sin(2k
?
?
?
)?sin
?
cos(2k
?
?
?
)?cos
?

tan(2k
?
?
?
)?tan
?
si n(?
?
)?cos
?
2

?
cos(?
?
)??sin
?
2
当
D?E?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆 的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3.直线与圆的位置关系：
与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
l:Ax?By?C? 0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y ?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离
22

?




为
d?
Aa?Bb?C
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；

A
2
?B
2

d?r?l与C相交


（2）过圆外一点的切线方程：
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…





…

…
…

…

…


…

…
…

…

…


…

…
…


…
：
…
…
号
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…


…


封
…
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…


…
…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




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