高中数学必修5全套教案

AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?A BC

=
67.5
2
?54.0
2
?2?67 .5?54.0?cos137
?

≈113.15
根据正弦定理,

BC
=
AC

sin?CABsin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

54.0sin137
?
=
113.15
≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?

答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南 偏东
75
?
的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的 速度沿着直
线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

3
9
,或x=-(舍去)
2
16
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
?
化简得32x
2
-30x-27=0 ，即x=
353
BCsin120
?
15
?
又因为sin< br>?
BAC ===
214
AB
21
?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去），

?< br>38
?
13
?
+
45?
=83
?
1 3
?

答：巡逻艇应该沿北偏东83
?
13
?
方向 去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到 两个解，但作为有关现实生活的
应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的 解
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集 中在一个三
角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，
这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

例7、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
2）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
解：（1）应用S=
S=
1
acsinB，得
2
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5?
≈90.9(cm
2
)
2
(2)根据正弦定理，

b
=
sinB
c

sinC
c =
bsinC

sinB
S =
11
bcsinA = b
2
sinCsinA

22
sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

??
sin65.8sin51.5
1
S =
?
3.16
2
?
≈4.0(cm
2
)
?
2
sin62.7
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4
≈0.7697
sinB =
1 ?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.6384
应用S=
1
acsinB，得
2

1
?41.4
?
38.7
?
0.6384≈511.4(cm
2)
2
例3、在
?
ABC中，求证：
S ≈
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1 ）
?;

22
csinC
（2）
a
2
+< br>b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcos C）
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinBsinC
显然 k
?
0，所以
a
2?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k
2< br>sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
sin
2
C
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式 ，然后
化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用
余弦定理甚至可以两者混用。

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果 组成两个数列的数相同而排列次序
不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1
项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是
这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a< br>n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，
“
1
”是这个数列的第“3”项，等等 < br>3
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关
系可 否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）
对于上面的数列 ②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
1111
项
1

2345
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n< br>?
1
来表示其对应关系
n
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式
1?(?1)
n?1
n ?1
?
|
. 可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|cos
2
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；② 检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个数列中所有各项的
一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的 通项公式，这个数列
便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系 < br>*
数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数
a
n
?f(n)
，
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4… ）有意义，那么我们可以得到一个数
列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
4
2
6810
, , , , , ……；
3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
2n
1?(?1)
n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系 可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这
个数列的通项公式。
如数列

的通项公式为

的通项公式为

；
；


的通项公式为

；
2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的
项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横
坐标为正整数，所以这些点都在

轴的右 侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可
以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 ．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
递推公式 ：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或
前n项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：
列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法：用

示第一项，用

4、列表法
．简记为

[范例讲解]
．
表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
表
a
1
?1
?
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1< br>?1
，递推公式：
a
n
?1?
1
a
n?1< br>

解：据题意可知：
a
1
?1,a
2
?1?
[补充例题]
158
112
?,a
5
?

?2,a
3
?1??
，
a
4
?1?
a3
35
a
1
a
2
3
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2

a
3
?2?2
2
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
2
a
n
?2

a
n?1
∴ < br>a
n
aa
a
?
n?1
?
n?2
?< br>??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1);
(2)
a
1
＝1,
a
2
＝
2
1212
2
22
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
3
5
2436n?1
012
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
,
a
2
＝7＝1+2
?3
,
a
3
＝19＝1+2
?3
,
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
1．等差数列：一般地，如果 一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫 做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列
是等差数列，d 为公差。
2．等差数 列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一 数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公
?
差是d，则据其定义可得：

a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
? d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3< br>?a
2
?d?a
1
?2d

a
4
? a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首 项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
a
m
?a
n

m?n
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得
a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
?401??5?4(n?1)
成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公 式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数， 那么这个数列是否一定
是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数 列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
an
?a
n?1
（n≥2）是不
是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项< br>a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q) ?p
为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1< br>?p?q
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差 为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一 次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列 的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求
项. < br>a
1
=3,
d
=7－3=4.∴该数列的通项公式为：解：根据题意可 知：（
n
－1）×4,即
a
n
=4
n
a
n
=3+
－1（
n
≥1,
n
∈N*）∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,
d
=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：（
n
－1）×（－2）,即：
a
n
=10+
a
n
=－2
n
+12,∴
a
20
=－2×20+12=
－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3） 100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明
理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数
n
值，使得< br>a
n
等于这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=9－2=7. ∴此 数列通项公式为：
a
n
=2+（
n
－1）×7=7
n
－5.
令7
n
－5=100,解得：
n
=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3
说明理由.
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，
2
177
∴此数列的通项公式为：
a
n
=－
n
+,
222
7777
47
令－
n
+=－20,解得
n
= 因为－n
+=－20没有正整数解，所以－20不是这
2222
7
个数列的项.


解：由题意可知：
a
1
=0,
d
=－ 3

3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
a
n
?a
1
a?a
m
③ d=
n

n?1n?m
问题：如果在
a
与
b中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A应满足什么< br>条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
反之，若
A?
a?b

2
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
由此可可得：
A??a,b,
成等差数列
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某 项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知
道这个数列中的至少一项和公差，或者知道 这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公
差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从 这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32
已知数列{
a
n
}是等差数列
∴
a
3

=2,
a
9
=32
（1）2a
5
?a
3
?a
7
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
是否成立？据此你能 得到什么结论？
（3）
2a
n
?a
n?k
?a
n ?k
(n?k?0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列 中，若m+n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
? a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

1．等差数列的前
n
项和公式1：
S< br>n
?
n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
? a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
② ①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)??
?(a
n
?a
n
)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a3
?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n? 1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件 ：
n,a
1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n? 1
，
即
a
n
=
?
?
S
1
(n?1)
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
n(a1
?a
n
)

2
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
2.等差数列的前
n
项和公式2：< br>S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2结论：一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中p、q、r为常数，
且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由
S
n
?pn
2
?qn?r
，得
S
1< br>?a
1
?p?q?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
(pn?qn?r)?[p(n? 1)?q(n?1)?r]
=
2pn?(p?q)

22

?d?a
n
?a
n?1
?[2pn?(p?q)]?[2p(n?1)? (p?q)]
=2p
对等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d
可化成式子：
2
S< br>n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d< 0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求 得n的值
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值
（2） 利用
S
n
：
由
S
n
?
d
2d
n?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的 差是27，求这个等差数列的
通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为
S
n
?pn
2
?q n?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定是等差数列，该
数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
通项 公式是
a
n
?
?
?
S
1
?a
1< br>?p?q?r,当n?1时
?
S
n
?S
n?1
?2p n?(p?q),当n?2时

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且< br>a
n?1
≤0，求得n的值。
当
a
n
<0，d>0 ，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得 n的值。
（2）由
S
n
?





d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数 配方法求得最值时n的值
22

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 公比；公比通常用字母
q
表示
（
q
≠0），即：
a
n
=
q
（
q
≠0）
a
n?1
a
n?1
?
=
q
（
n?N
,
q
≠0）
a
n
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a
n
｝成等比数列
?
2? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3? q= 1时，{a
n
}为常数。
n?1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
?a
1
?q(a
1
?q?0)

由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
； a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
q
3
；
… … … … … … …
a
n
?a
n?1
q?a
1
?q
n? 1
(a
1
?q?0)

m?1
3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q(a
1
?q?0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
n?1
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
?a
1
?q(a
1
?q?0)
,它的图象是分布在曲线
y?
a
1
x
q
q
（q>0）上的一些孤立的点。
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
当
q?0
时，等 比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是常数列。

[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的 第9项是
41
，公比是－，求它的第1项（答案：
a
1
=2916）
93
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a
1
=
a
2
=5,
q
a
4
=
a
3
q
=40）
1． 等比中项：如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等比数列，那么称这个数
G
为
a
与
b
的等比中项. 即
G
=±
ab
（
a
,
b
同号）
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等比数列，则
Gb
??G
2
?a b?G??ab
，
aG
反之，若
G
=
ab
,则
≠0）
例题 证明：设数列
?
a
n
?
的首项是
a
1< br>，公比为
q
1
;
?
b
n
?
的首项为
b
1
，公比为
q
2
，那么
数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项与第n+1项分别为：
2
Gb
2
即
a
,
G
,
b
成等比数列。∴a
,
G
,
b
成等比数列
?
G
=
ab
（
a
·
b
?
，
aG
a
1< br>?q
1
n?1
?b
1
?q
2
n?1
与a
1
?q
1
?b
1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与 a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
nn
a
n?1
?b
n?1
a
1
b
1(q
1
q
2
)
n
?
??q
1
q
2
.

n?1
a
n
?b
n
a< br>1
b
1
(q
1
q
2
)
它是一个与n 无关的常数，所以
?
a
n
?b
n
?
是一个以q1
q
2
为公比的等比数列
拓展探究：
对于例题中的等比数列 {
a
n
}与{
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
a
n
，则
c< br>n?1
?
n?1

b
n?1
b
n
探 究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q< br>1
和q
2
，令
c
n
?
?
c
n?1
b
n?1
ab
q
a
??(
n?1
) (
n?1
)?
1
，所以，数列{
n
}也一定是等比数列。
a
n
c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
b
n
a
n?1
22
已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5
?a
3
a
7
是否成立？
a
5
?a
1
a
9
成立吗？ 为什么？
2
（2）
a
n
?a
n?1
a
n ?1
(n?1)
是否成立？你据此能得到什么结论？
2
a
n
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到 什么结论？

结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
?a
p
a
k

在等比数列中，m+n =p+q，
a
m
,a
n
,a
p
,a
k有什么关系呢？
m?1n?1
由定义得：
a
m
?a
1
q a
n
?a
1
q

a
p
?a
1
q
p?1
a
k
?a
1
?q
k?1

a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
，
a
p
?a
k
?a
1
q
p?k?2
则
a
m
a
n
?a
p
a
k

1、 等比数列的前n项和公式：
2
2
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n

由
?
?
S
n
?a
1
?a
2< br>?a
3
??a
n
?
a
n
?a
1q
n?1

2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q?
?
a
1
q?a
1
q
得
?

23n?1n
??
qS
n
?a
1
q?a
1
q?a
1< br>q?
?
a
1
q?a
1
q
?(1?q)Sn
?a
1
?a
1
q
n

a? a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴当
q ?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
a
2
a
3
??
?
?
n
?q

a
1
a< br>2
a
n?1
a
2
?a
3
?
?
?a
n
S
n
?a
1
??q
根据等比的性质，有
a
1
?a
2
?
?
?a
n?1
S< br>n
?a
n
即
S
n
?a
1
?q?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（ 结论同上）
S
n
?a
n

围绕基本概念，从等比数列 的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：

S
n< br>?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3??a
n?1
)

＝
a
1
?qSn?1
＝
a
1
?q(S
n
?a
n
)< br>
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
22
求证：
S
n
?S
2n
?S
n
(S
2n?S
3n
)

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+ 3+…+n=
n-1n
23n
1
n(n?1)

2
a
[1?(n?1)a
n
?na
n?1
]

2
(1?a)

若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a-na），Sn=
1、数列
[数列的通项公式]
a
n
?
?
?
a
1
?S
1
(n?1)
[数列的前n项和]
S
n
?a
1
?a
2
?a3
???a
n

S?S(n?2)
n?1
?
n

2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列
就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常数)，则数列?
a
n
?
是等差数列。
2．等差中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
? a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
[等差数列的前n项和] 1．
S
n
?
2.
S
n
?na
1
?
2
2
[说明]对于公式2整理后是关于n的 没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果
a
，
A
，< br>b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中 项。即：
A?
a?b
或
2A?a?b

2
[说明] ：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前
一项与后一项的等差 中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，< br>a
m
是等差数列的第
m
项，
且
m?n
，公差 为
d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

2． 对于等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q< br>。

也就是：
a
1
?a
n
a
1
?a
n
???????????
a,a
2
,a
3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：
1
?????????
a
2
? a
n?1
*
3．若数列
?
a
n
?
是等差数 列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
，那么
S
k，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等差数列。如下图所示：
S
3k
??????????????? ??????????
a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k?a
2k?1
?
?
?a
3k

??????? ????????????????
S
k
S
2k
?S
kS
3k
?S
2k

3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（
q?0
）。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G< br>，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中
项。
Gb
2
也就 是，如果是的等比中项，那么
?
，即
G?ab
。
aG
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0)
，则数列
?< br>a
n
?
是等比数列。
a
n
2
?
a
n
?
是等比数列。 2．等比 中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
an?2
?a
n?1
，则数列
[等比数列的通项公式]
如果等比 数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是q
，则等比数列的通项为
a
n
?a
1
q
n?1
。
[等比数列的前n项和]
a
1
?a
n
qa
1
(1?q
n
)
S?(q?1)
S?
1 23当
q?1
时，
S
n
?na
1

○
n
○
n
1?q
(q?1)

○
1?q
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的 第
m
项，
且
m?n
，公比为
q
，则有
a< br>n
?a
m
q
n?m

3． 对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n?a
m
?a
u
?a
v

a
1
?a
n
???????????
a,a
2
,a
3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
? ??
。如图所示：
1
?????????
a
2
?a
n?1
也就是：
a
1
?a
n
4．若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k< br>，
S
3k
?S
2k
成
等比数列。如下图所示： S
3k
?????????????????????????
a
1?a
2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k

???????????????????????
S< br>k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k< br>
4、数列前n项和
（1）重要公式：

1?2?3??n?
n(n?1)
；
2
n(n?1)(2n?1)
；
6
1
2
?22
?3
2
??n
2
?
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n?1)]
2

2
（2）等差数列中，
S
m?n
?S
m
?S
n
?m nd

nm
（3）等比数列中，
S
m?n
?S
n< br>?qS
m
?S
m
?qS
n

（4）裂项求和：

111
??
；（
n?n!?(n?1)!?n!
）
n(n?1)nn?1

(第1课时)

课题 §3.1不等式与不等关系

【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受 在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理
解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质 ；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的
方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系 的问题。理
解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现 实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，
三角形两边之和 大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与
小、不超过或不少于等来描述 某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不
等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40kmh的路标，指示司机在前方路段 行驶时，应使汽车的速度v不超过40kmh，
写成不等式就是：
v?40

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p
应不少于 2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
?
f?2.5%

?< br>p?2.3%
?
问题1：设点A与平面
?
的距离为d,B为平面
?
上的任意一点，则
d?|AB|
。
问题2：某种杂志原以每本2.5元 的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提
高0.1元，销售量就可能相应减少2000本 。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等
式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为
(8?
x?2.5
?0.2)x
万元，那么不等关系
0.1
“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
(8?
x?2.5
?0.2)x?20

0.1

问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？


解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关
系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
?
500x?600y?4000;
?
3x?y;
?

?
x?0;
?
?
y?0.
?
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P74的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.作业
课本P75习题3.1[A组]第4、5题

(第2课时)
课题: §3.1不等式与不等关系
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与 方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的
方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
a?b?a?c?b?c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
a?b,c?0?ac?bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
a?b,c?0?ac?bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2）
(a?c)?(b?c)?a?b?0
，
∴
a?c?b?c
．
实际上，我们还有
a?b,b?c?a?c
，（证明：∵a＞b，b＞c，

∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

2、探索研究
思考，利用上 述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）
a?b,c?d?a?c?b?d
；
（2）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
（3）
a?b?0 ,n?N,n?1?a
n
?b
n
;
n
a?
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋
c．
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋
d．
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
a?b,c?0?ac?bc
?c?d,b?0?bc?bd
?
?
?ac?bd

3）反证法）假设
n
a?
n
b
，
①
②

n
则：若
a?
a?
n
n
n
b?a?b
b?a?b
n
这都与
a?b
矛盾，
∴
n
a?b
．
[范例讲解]：
例1、已知
a?b?0,c?0,
求证
cc
?
。
ab
1
?0
。 证明：以为
a ?b?0
，所以ab>0,
ab
11
11
?b?
，即
?
于是
a?
ba
abab
cc
由c<0 ，得
?

ab

3.随堂练习1
1、课本P74的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
2
(1)（
3
＋
2
） ６＋2
6
；
22
（2）（
3
－
2
） （
6
－1）；
（3）
1
1
；
5 ?2
6?5
22
(4)当
a
＞
b
＞0时，log< br>1
a
log
1
b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]
例2、比较(a
＋3)（
a
－５）与（
a
＋2）（
a
－4） 的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，< br>合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关
紧要) 。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化
为实数运算符号问题 。
解：由题意可知：
（
a
＋3）（
a
－５）－（
a
＋2）（
a
－4）
22
＝（
a
－2
a
－1５）－（
a
－2
a
－８）
＝－７＜0
∴ （
a
＋3）（
a
－５）＜（
a
＋2）（
a
－4）
随堂练习2

4、 比较大小：
2
（1）（
x< br>＋５）（
x
＋７）与（
x
＋６）

（2）
x?5x?6与2x?5x?9

22
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的 不等式，还研究了如何比
较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5. 作业
课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

(第3课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】
1．知识与技 能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一
元二次不等式的方法；培养 数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力
和逻辑思维能力；
2．过程与 方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究
一元二次不等式与相应函 数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索 的精神，勇于创新精神，同时体会事
物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P76互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模 型：
x
2
?5x?0
…………………………(1)
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
象
x?5x?0
这样，只含有一个未知 数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元
二次不等式
2
2）
探究一元二次不等式
x
2
?5x?0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
x
1
?0,x
2
?5

二次函数有两个零点 ：
x
1
?0,x
2
?5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
y?x?5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
x?5x?0
；
当0x?5x?0
；
所以，不等式
x?5x?0
的解集是
?
x|0?x?5
?
，从而解决了本节开始时提出的问题。
2
2
2
2
3）
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
ax
2
?bx?c?0,(a?0 )或ax
2
?bx?c?0,(a?0)

一般地，怎样确定一元二次不等 式
ax?bx?c
>0与
ax?bx?c
<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关 键要考虑
以下两点：
(1)抛物线
y?
ax?bx?c
与x轴的相 关位置的情况，也就是一元二次方程
ax?bx?c
=0
的根的情况
(2)抛物线
y?
ax?bx?c
的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线
y?
ax?bx?c
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一
元二次方程
ax?bx?c
=0的判别式
??b?4ac
三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来
确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0 < br>分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式
ax?bx?c
>0与
ax?bx?c
<0的
解集
一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax? bx?c?0
?
a?0
?
的解集：
22
22
22
2
2
22
22
2
设相应的一元二次方程
ax?bx ?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b?4ac
，
2则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)


??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象


一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根



无实根
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0) 的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
[范例讲解] x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b
x
1
?x
2
??

2a

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?

例2 (课本第78页)求不等式
4x?4x?1?0
的解集.
解：因为
??0, 方程4x?4x?1?0的解是x
1
?x
2
?
所以，原不等式的解集 是
?
xx?
2
2
1
.
2
?
?
1
?
?

2
?
2
例3 (课本第78页)解不等式
?x?2x?3?0
.
解：整理，得
x?2x?3?0
.
因为
??0,方程x?2x?3?0
无实数解，
所以不等式
x2
2
2
?2x?3?0
的解集是
?
.
从而，原不等式的解集是
?
.
3.随堂练习
课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
ax?bx?c
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式
?
，分析不等式的解的情况：
2

ⅰ.
?
>0时，求根
x
1
<
x
2
，
?
?
若A?0，则x?x
1
或?x
2
；
?
若A?0，则 x
1
?x?x
2
.

?
若A?0，则x?x
0
的一切实数；
?
ⅱ.
?
=0时，求根
x
1＝
x
2
＝
x
0
，
?
若A?0，则x?
?
；

?
若A?0，则x?x.
0
?
ⅲ.
?
<0时，方程无解，
?
③ 写出解集.
?
若A?0，则x?R；
?
若A?0，则x?
?
.

5.评价设计
课本第80页习题3.2[A]组第1题





(第4课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一 步熟练解一
元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能
力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从
不同 侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x kmh有如下的关系：
s?
11
2
x?x

20180< br>在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多
少？ （精确到0.01kmh）

解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
移项整理得：
x?9x?7110?0

显然
?0
，方程
x?9x?7110?0
有两个实数根，即
2
2
11
2
x?x?39.5

20180
x
1
??88.94,x
2
?79.94
。所以不等式的解集为< br>?
x|x??88.94,或x?79.94
?

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94kmh.
例4、一 个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x
（辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂 希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约
应该生产多少辆摩托车 ？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0

因为
?100?0
，所以方程
x?110x?3000?0
有两个实数根
2
x
1
?50,x
2
?60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩 托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在
51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以 上的收益。
3．随堂练习1
课本第80页练习2
[补充例题]
（1） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
2
例：设不等式
ax?bx ?1?0
的解集为
{x|?1?x?
1
3
}
，求
a b
?
（2） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
22
例：设< br>A?{x|x?4x?3?0},B?{x|x?2x?a?8?0}
，且
A?B
，求
a
的取值
范围.
改：设
x?2x?a?8?0
对于 一切
x?(1,3)
都成立，求
a
的范围.
2
改：若方程
x?2x?a?8?0
有两个实根
x
1
,x
2
，且
x
1
?3
，
x
2
?1
，求
a的范围.
2
随堂练习2

2
1
1、已知二次不 等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x?
1
3
或x?< br>2
}
，求关于
x
的不等式
cx
2
?bx?a ?0
的解集.
2、若关于
m
的不等式
mx?(2m?1)x?m? 1?0
的解集为空集，求
m
的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
2
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5. 作业
课本第80页的习题3.2[A]组第3、5题









(第5课时)

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】

【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题
转化
数学问题：

设用于企业贷款的资金为
x
元，用于个人贷款的资金为
y
元 。
（把文字语言
转化
符号语言）
（资金总数为25 000 000元）
?
x?y?25000000
（1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
?%)y

3
即
12x?10y?3000000

?
(12%)x+(10
（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）
?
x?0,y?0
（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
?
x?y? 25000000
?
?
12x?10y?3000000

?
x?0,y?0
?
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一
次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（ 3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序
实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解
集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（ 组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序
实数对就可以看成是平面内点的坐标 ，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是
直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使 它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本
第83页的表格，
横坐标x
点P的纵坐标
y
1

-3

-2

-1

0

1

2

3

点A的纵坐标
y
2


并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直 角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6
的左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表 示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组
成的平 面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By+
C
，
所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
B y
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+< br>C
＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把原点
作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式
x?4y?4
表示的平面区域。
解：先画直线
x?4y?4
（画成虚线）.
取原点（0，0），代入
x
+4
y
-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在
x?4 y?4
表示的平面区域内，不等式
x?4y?4
表示的区域如图：
归纳：画 二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，
当
C?0< br>时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式
4x?3y?12
所表示的平面区域。
变式2、画出不等式
x?1
所表示的平面区域。

?
y??3x?12
例2 用平面区域表示.不等式组
?
的解集。
x?2y
?
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因 而是各个不
等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式
y??3x?12
表示直线
y??3x?12
右下方的区域，
x?2y
表示直线
x? 2y
右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式
所表 示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式
(x?2y?1)(x?y?4）?0
表示的平面区域。
变式2、由直线
x?y?2?0
，
x?2y?1?0
和
2x?y? 1?0
围成的三角形区域（包括边
界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第86页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5. 作业
课本第93页习题3.3[A]组的第1题









(第6课时)

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
【教学目标】
1．知识与技能：巩固二元一 次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际
问题中的已知条件，找出约束条件； 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数
学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生
创新 。
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
【教学难点】
把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组
成的平面区域.（虚线表示区域不包 括边界直线）

判断方法：由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(
x
,
y
)，把它的坐标（
x
,
y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
By
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线哪一 侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，
常把原点作为此特殊点）。
随堂练习1

1、画出不等式2
x
+
y
-6＜0表示的平面区域.
?< br>x?y?5?0
?
2、画出不等式组
?
x?y?0
表示的平面 区域。
?
x?3
?
2.讲授新课
y
x+y=0
55
B(-,)
22
x-y+5=0
6
x=3
03
C(3,-3)
x
A(3,8)
【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的
数据表格（以班级为单位）：
学段
初中
高中
班级学生人数
45
40
配备教师数
2
3
硬件建设万元
26班
54班
教师年薪万元
2人
2人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，
所以有
20?x?y?30

考虑到所投资金的限制，得到
26x?54y?2?2x?2?3y?1200

即
x?2y?40

另外，开设的班数不能为负，则
x?0,y?0

把上面的四个不等式合在一起，得到：
?
20?x?y?30
?
x?2y?40
?

?< br>x?0
?
?
y?0
?
用图形表示这个限制条件，得到如图的平 面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷 酸盐18t；
生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、 硝酸盐
66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
?
4x?y?10
?
18x?15y?66
?

?
x?0
?
?
y?0
?

在直角坐标系中可表示 成如图的平面区域（阴影部分）。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1)
(x?y)(x?y?1)?0
； (2)
x?y?2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由
x?2x
， 得
x?0
，又
用
?y
代
y
，不等式仍成立，区域关 于
x
轴对称。
解：(1)
?
?
x?y?0
?x?y?0
矛盾无解，故点
(x,y)
在一带形区域内
?0?x?y?1
或
?
?
x?y?1
?
x?y?1?0
（含边界）。
?
x?y?0
(2) 由
x?2x
，得
x?0
；当
y?0
时，有
?
点
(x,y)
在一条形区域内(边界)；< br>2x?y?0
?
当
y?0
，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解



?
2x?y?3?0
?
例2、利用区域求不等式组
?
2x?3y?6 ?0
的整数解
?
3x?5y?15?0
?
分析：不等式组的实数解 集为三条直线
l
1
:2x?y?3?0
，
l
2
:2 x?3y?6?0
，
l
3
:3x?5y?15?0
所围成的三角形区 域内部(不含边界)。设
l
1
?l
2
?A
，
l1
?l
3
?B
，
l
2
?l
3
?C
，求得区域内点横坐标范围，取出
x
的所有整数值，再代回原不等式组转化为y
的一元不等式组得出相应的
y
的整数值。
解：设
l
1
:2x?y?3?0
，
l
2
:2x?3y?6?0
，l
3
:3x?5y?15?0
，
l
1
?l
2< br>?A
，
1537512
l
1
?l
3
?B，
l
2
?l
3
?C
，∴
A(,)
，< br>B(0,?3)
，
C(,?)
。于是看出区域内点的
841919

?
?
y??1
?
75
4
?
横坐 标在
(0,)
内，取
x
＝1，2，3，当
x
＝1时，代入原 不等式组有
?
y?
?
19
3
?
12
?y??
?
5
?
?
12
?y??1
，得
y
＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，
5
( 2,-1)，(3,-1)。
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规 划中求最优整数解
作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用 的，
先确定区域内点的横坐标的范围，确定
x
的所有整数值，再代回原不等式组，得出
y
的一元
一次不等式组，再确定
y
的所有整数值，即先固定
x
，再用
x
制约
y
。
3.随堂练习2
1．（1）
y?x?1
； （2）．
x?y
； （3）．
x?y


?
x?y?6?0
?
x?y? 0
?
2．画出不等式组
?
表示的平面区域
y?3
?
?
?
x?5
3．课本第86页的练习4
4.课时小结
进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
5. 作业
1、课本第93页习题3.3[B]组的第1、2题
(第7课时)

课题: §3.3.2简单的线性规划
【教学目标】
1．知识与技能：使学生了解 二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束
条件、目标函数、可行解、可行域、最优解 等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能
应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学
思想，提高学 生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
1.课题导入
[复习提问]
1、二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙 两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该 厂每天最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排 是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
?
x?2 y?8
?
4x?16
?
?
?
4y?12
……… ……………………………………
?
x?0
?
?
?
y?0………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采 用哪种生产安排利
润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品
x
件 ，乙产品
y
件时，工厂获得的利润为
z
,则
z=2x+3y
.这样，上述问题就转
化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，
z
的最大值是多少？
把z=2x+3y
变形为
y??
2
z
2z
x?
， 这是斜率为
?
，在y轴上的截距为的直线。当z
3
3
33
变 化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给
z
28
x?
），这说明，截距可
3
33
2z
以由平面内的一个点的 坐标唯一确定。可以看到，直线
y??x?
与不等式组（1）的区
33
z域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转
3
定 一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（
y??

2z
x?< br>与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点
33
z
P，使 直线经过点P时截距最大。
3
化为当直线
y??
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现
y??
时，截距
2z
x?
金国直线x=4 与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）
33
z
14
的值最大，最大值为 ，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品
3
3
2件时，工厂可获 得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式 组是一组变量
x
、
y
的约束条件，这组约束条
件都是关于
x
、
y
的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关 于
x
、
y
的一次式
z
=2
x
+
y
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
、
y
的解析式，叫
线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划
问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（
x
,
y
）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
1、 变换条件，加深理解
探究：课本第88页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每 生产一件乙产品获利2万元，
有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？


3.随堂练习
1．请同学们结合课本
P
91
练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
y
?
y?x,
?
（1）求
z
=2
x
+
y
的最大值，使式中的
x
、
y
满足约束条件
?
x?y?1,

?
y??1.
?
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当
x
=0,
y
=0时，
z
=2
x
+
y=0
点（0，0）在直线
l
0
:2
x
+
y< br>=0上.
3
2
1
O
x-y=0
11
B(,)
22
x
12
-2-1
A
(2,-1)
C
(-1,-1)
-1
x+y-1=0
2x+y=0
y
作一组 与直线
l
0
平行的直线
l
:2
x
+
y< br>=
t
,
t
∈R.
x-y+1=0
917
3x+5y=0
(,)
A
88
x-5y-3=0
1
C
-1
O
x
3
-1
B
5x+3y-15=0
5

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于
l
的直线中，以经 过点
A
（2，
-1）的直线所对应的
t
最大.
所以
z
m
ax
=2×2-1=3.
?
5x?3y ?15,
?
（2）求
z
=3
x
+5
y
的最 大值和最小值，使式中的
x
、
y
满足约束条件
?
y?x?1 ,

?
x?5y?3.
?
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3
x
+5
y
=
t
在经过不等式组 所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，
-1）的直线所对应的
t
最小，以经过 点（
所以
z
m
in
=3×(-2)+５×(-1)=-11.
917
,
）的直线所对应的
t
最大.
88
z
m
ax
=3×
9
17
+5×=14
8
8
4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
5. 作业
课本第93页习题[A]组的第2题.

















(第8课时)

课题: §3.3.2简单的线性规划
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；