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高中数学必修五知识点归纳及一些方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 19:48
tags:高中数学必修五

高中数学14-高中数学考四十多



高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,< br>a

b

c
分别为角
?

?

C
的对边,
R

???C
的外接圆的半径,
1 8、由三个数
a

?

b
组成的等差数列可以看成最简单的 等差数列,则
?
称为
a

b
的等差中项.若
a?c
则有
a
sin?
?
b
sin?
?
c
sinC
?2R

2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2RsinC


sin? ?
a
2R

sin??
bc
2R

sin C?
2R


a:b:c?sin?:sin?:sinC
; < br>④
a?b?c
sin??sin??sinC
?
a
sin?< br>?
bc
sin?
?
sinC

3、三角形面积公式 :
S
1
???C
?
2
bcsin??
1
2
absinC?
1
2
acsin?

4、余弦定理:在< br>???C
中,有
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?

b
2
?a
2
?c
2
? 2accos?

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

cos??
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
2bc

cos??
2ac

cosC?
2ab

6、设
a

b

c

???C
的角
?

?

C
的对边,则:①若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?

②若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?
;③若
a
2
?b< br>2
?c
2
,则
C?90
?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增 数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
a
n?1
?a
n?0

12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
an?1
?a
n
?0

13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15 、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如 果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,
这个常数 称为等差数列的公差.

b?
2
,则称
b

a< br>与
c
的等差中项.
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公差是
d
,则
a
n< br>?a
1
?
?
n?1
?
d

20、 通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n? 1
?
d
;③
d?
a
n
?a
1
n? 1


n?
a
n
?a
1
d
?1
;⑤
d?
a
n
?a
m
n?m

21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q

m

n

p

q??
*
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若< br>?
a
n
?

等差数列,且
2n?p?q
(< br>n

p

q??
*
),则
2a
n< br>?a
p
?a
q

22、等差数列的前
n
项 和的公式:①
S
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
n
?
n
2
;②
S
n
?na
1
?
2
d

23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2n
?
n??
*
?
,则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S

?S

?nd

S
奇< br>S
?
a
n

a

n?1
②若项数 为
2n?1
?
n??
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇< br>?S

?a
S

n

S
?
n

n?1

(其中
S

?na
n

S

?
?
n?1
?
a
n
).
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数 列称为等比数列,
这个常数称为等比数列的公比.
25、在
a

b
中间插入一个数
G
,使
a

G

b
成等比数列,则
G
称为
a

b
的等比中项.若
G
2
?ab

则称
G

a

b的等比中项.注意:
a

b
的等比中项可能是
?G
< br>26、若等比数列
?
a
n?1
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q

27、通项公式的变形:①
a
?
?
n?1
?
n
?a
m
q
n?m
;②
a?a
;③
q
n?1
1n
q
?
a
n
n?m
a
;④
q?
a
n

1
a
m
28、若?
a
m?n?p?q

m

n

p< br>、
q??
*
n
?
是等比数列,且),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若
?
a< br>n
?

等比数列,且
2n?p?q

n
、< br>p

q??
*
),则
a
2
n
?a< br>p
?a
q

1



?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
an
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?< br>a
?
1?q
n
?
a?aq

1
1 n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
30、 等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则
有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合.
38、在平面直角坐标 系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?

①若
??0

?x0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的上方.
② 若
??0

?x
0
??y
0
?C?0
,则 点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x ??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0

①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域;
?x??y?C?0
表示直线
??
S

S

?q


S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m
.③
S
n

S
2n
?S
n

S
3n
?S
2n
成等比数列.
31 、
a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c ?a?c
;③
a?b?a?c?b?c


a?b,c?0?ac ?bc

a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d


a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a? b

a?b?0?
n
?x??y?C?0
下方的区域.
② 若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
nn
?
n??,n? 1
?

?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性约束条件: 由
x

y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
y
的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设
a

b
是两个正数,则
a?b
?
n? ?,n?1
?

n
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数 的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

一元二次方程
ax?bx

2

有两个相等实数
没有实数根

数.
a?b
称为正数a

b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
b
的几何平均
2
a?b
?ab

2
有两个相异实数根
?c?0
?
a?0
?
的根
一元
二次
不等
式的
解集
b
?b??

x?x??
x?x
x
1,2
?

?
12
?
12
2a
2a
42、均值不等式定理: 若
a?0

b?0
,则
a?b?2ab
,即
22< br>ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

?
xx?x或x?x
?

12
?b?
xx??
??

2a
??
R

a
2
?b
2
43、 常用的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?

2
a
2
?b< br>2
?
a?b
??
a?b
?
?
?
③< br>ab?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?< br>a,b?R
?

2
?
2
??
2
?
44、极值定理:设
x

y
都为正数,则有
22
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式( 组)的解集:满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所
s
2
⑴若
x?y?s
(和为 定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若xy?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值< br>2p

2



一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两 项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
,列两个方程求解;
② 若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an?bn?c
,列三个方程 求解;
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n
?aq?b
,q为相除后的常数,列两个方程求
解;
2、由递推公式求通项公式:
①若化简 后为
a
n?1
?a
n
?d
形式,可用等差数列的通项公式代 入求解;
②若化简后为
a
n?1
?a
n
?f(n),形式,可用叠加法求解;
③若化简后为
a
n?1
?a
n
?q
形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为
a
n?1< br>?ka
n
?b
形式,则可化为
(a
n?1
?x)?k (a
n
?x)
,从而新数列
{a
n
?x}
是等比数列,用等比数列求解
{a
n
?x}
的通项公式,再反过来求原来那个 。(其中
x
是用待定系数法来
求得)
3、由求和公式求通项公式:

a
1
?S
1

a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a1
是否满足a
n
,若满足则为
a
n
,不满足用分段函数
写。
4、其他
(1)
a
n
?a
n?1?f
?
n
?
形式,
f
?
n
?
便于求和,方法:迭加;
例如:
a
n
?a
n?1
?n?1

有:
a
n
?a
n?1
?n?1

n
2
例如:
a
n
?a
n?1
?2a
n
a< br>n?1
,则
?
1
?
a
n
?a
n?1
11
?2??
,即
??
为以-2为公差的等差数列。
a< br>n
a
n?1
a
n?1
a
n
?
an
?
(3)
a
n
?qa
n?1
?m
形 式,
q?1
,方法:构造:
a
n
?x?q
?
an?1
?x
?
为等比数列;
例如:
a
n
?2 a
n?1
?2
,通过待定系数法求得:
a
n
?2?2
?
a
n?1
?2
?
,即
?
a
n
?2
?
等比,公比为2。
(4)
a
n
?qa
n? 1
?pn?r
形式:构造:
a
n
?xn?y?qa
n?1< br>?x
?
n?1
?
?y
为等比数列;
(5)
a
n
?qa
n?1
?p
n
形式,同除
p
n
,转化为上面的几种情况进行构造;
因为
a
n
?qa
n? 1
?p
n
,则
的方法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
①若
?
??
a
n
q
a
n?1
q
,若
?? 1?1
转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)
p
n
pp
n? 1
p
?
a
k
?0
?
a
1
?0,则
S
n
有最大值,当n=k时取到的最大值k满足
?

a?0
?
k?1
?
d?0
?
a
k
?0< br>?
a
1
?0
,则
S
n
有最小值,当n=k时 取到的最大值k满足
?

a?0
?
k?1
?
d?0
②若
?
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用 于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:
a
n
?
?
2 n?1
?
?3

n
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通 项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:
a
n
?
111
11
?
11
?
??
?
?
?

a
n
?
?
等;
n
?
n?1
?
nn?1< br>?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12 n?1
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和 的部分,
如:
a
n
?2?n?1
等;
四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
a?d和a?d
类型,这样可 以相加约掉,相乘为平
方差;
n
a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4
?
a
n
?an?1
?n?1
各式相加得
a
n
?a
1
?3? 4?
?
?n?1?a
1
n?4
??
n?1
???
2

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为
aq和
a< br>类型,这样可以相乘约掉。
q
(2)
a
n
?a
n? 1
?a
n
a
n?1
形式,同除以
a
n
a< br>n?1
,构造倒数为等差数列;
3

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