高中数学14-高中数学考四十多
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,<
br>a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C
的外接圆的半径,
1
8、由三个数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的
等差数列,则
?
称为
a
与
b
的等差中项.若
a?c
则有
a
sin?
?
b
sin?
?
c
sinC
?2R
.
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
②
sin?
?
a
2R
,
sin??
bc
2R
,
sin
C?
2R
;
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
; <
br>④
a?b?c
sin??sin??sinC
?
a
sin?<
br>?
bc
sin?
?
sinC
.
3、三角形面积公式
:
S
1
???C
?
2
bcsin??
1
2
absinC?
1
2
acsin?
.
4、余弦定理:在<
br>???C
中,有
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?
,
b
2
?a
2
?c
2
?
2accos?
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
cos??
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
2bc
,
cos??
2ac
,
cosC?
2ab
.
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边,则:①若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?
;
②若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?
;③若
a
2
?b<
br>2
?c
2
,则
C?90
?
.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增
数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
a
n?1
?a
n?0
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
an?1
?a
n
?0
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,
这个常数
称为等差数列的公差.
b?
2
,则称
b
为
a<
br>与
c
的等差中项.
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公差是
d
,则
a
n<
br>?a
1
?
?
n?1
?
d
.
20、
通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?
1
?
d
;③
d?
a
n
?a
1
n?
1
;
④
n?
a
n
?a
1
d
?1
;⑤
d?
a
n
?a
m
n?m
.
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
*
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若<
br>?
a
n
?
是
等差数列,且
2n?p?q
(<
br>n
、
p
、
q??
*
),则
2a
n<
br>?a
p
?a
q
.
22、等差数列的前
n
项
和的公式:①
S
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
n
?
n
2
;②
S
n
?na
1
?
2
d
.
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2n
?
n??
*
?
,则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇<
br>S
?
a
n
偶
a
.
n?1
②若项数
为
2n?1
?
n??
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇<
br>?S
偶
?a
S
奇
n
,
S
?
n
偶
n?1
(其中
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
).
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数
列称为等比数列,
这个常数称为等比数列的公比.
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G
2
?ab
,
则称
G
为
a
与
b的等比中项.注意:
a
与
b
的等比中项可能是
?G
<
br>26、若等比数列
?
a
n?1
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
.
27、通项公式的变形:①
a
?
?
n?1
?
n
?a
m
q
n?m
;②
a?a
;③
q
n?1
1n
q
?
a
n
n?m
a
;④
q?
a
n
.
1
a
m
28、若?
a
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p<
br>、
q??
*
n
?
是等比数列,且),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若
?
a<
br>n
?
是
等比数列,且
2n?p?q
(
n
、<
br>p
、
q??
*
),则
a
2
n
?a<
br>p
?a
q
.
1
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
an
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?<
br>a
?
1?q
n
?
a?aq
.
1
1
n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
30、
等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则
有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合.
38、在平面直角坐标
系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
??0
,
?x0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的上方.
②
若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则
点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x
??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的
区域;
?x??y?C?0
表示直线
??
S
偶
S
奇
?q
.
②
S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m
.③
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等比数列.
31
、
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c
?a?c
;③
a?b?a?c?b?c
;
④
a?b,c?0?ac
?bc
,
a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?
b
⑧
a?b?0?
n
?x??y?C?0
下方的区域.
②
若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
nn
?
n??,n?
1
?
;
?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性约束条件:
由
x
,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,y
的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设
a
、
b
是两个正数,则
a?b
?
n?
?,n?1
?
.
n
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数
的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
??0
??0
??0
二次函数
y?ax?bx?c
2
?
a?0
?
的图象
一元二次方程
ax?bx
2
有两个相等实数
没有实数根
数.
a?b
称为正数a
、
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
、b
的几何平均
2
a?b
?ab
.
2
有两个相异实数根
?c?0
?
a?0
?
的根
一元
二次
不等
式的
解集
b
?b??
根
x?x??
x?x
x
1,2
?
?
12
?
12
2a
2a
42、均值不等式定理:
若
a?0
,
b?0
,则
a?b?2ab
,即
22<
br>ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
?
xx?x或x?x
?
12
?b?
xx??
??
2a
??
R
a
2
?b
2
43、
常用的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?
;
2
a
2
?b<
br>2
?
a?b
??
a?b
?
?
?
③<
br>ab?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?<
br>a,b?R
?
.
2
?
2
??
2
?
44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有
22
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(
组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所
s
2
⑴若
x?y?s
(和为
定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若xy?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值<
br>2p
.
2
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两
项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
,列两个方程求解;
②
若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an?bn?c
,列三个方程
求解;
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n
?aq?b
,q为相除后的常数,列两个方程求
解;
2、由递推公式求通项公式:
①若化简
后为
a
n?1
?a
n
?d
形式,可用等差数列的通项公式代
入求解;
②若化简后为
a
n?1
?a
n
?f(n),形式,可用叠加法求解;
③若化简后为
a
n?1
?a
n
?q
形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为
a
n?1<
br>?ka
n
?b
形式,则可化为
(a
n?1
?x)?k
(a
n
?x)
,从而新数列
{a
n
?x}
是等比数列,用等比数列求解
{a
n
?x}
的通项公式,再反过来求原来那个
。(其中
x
是用待定系数法来
求得)
3、由求和公式求通项公式:
①
a
1
?S
1
②
a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a1
是否满足a
n
,若满足则为
a
n
,不满足用分段函数
写。
4、其他
(1)
a
n
?a
n?1?f
?
n
?
形式,
f
?
n
?
便于求和,方法:迭加;
例如:
a
n
?a
n?1
?n?1
有:
a
n
?a
n?1
?n?1
n
2
例如:
a
n
?a
n?1
?2a
n
a<
br>n?1
,则
?
1
?
a
n
?a
n?1
11
?2??
,即
??
为以-2为公差的等差数列。
a<
br>n
a
n?1
a
n?1
a
n
?
an
?
(3)
a
n
?qa
n?1
?m
形
式,
q?1
,方法:构造:
a
n
?x?q
?
an?1
?x
?
为等比数列;
例如:
a
n
?2
a
n?1
?2
,通过待定系数法求得:
a
n
?2?2
?
a
n?1
?2
?
,即
?
a
n
?2
?
等比,公比为2。
(4)
a
n
?qa
n?
1
?pn?r
形式:构造:
a
n
?xn?y?qa
n?1<
br>?x
?
n?1
?
?y
为等比数列;
(5)
a
n
?qa
n?1
?p
n
形式,同除
p
n
,转化为上面的几种情况进行构造;
因为
a
n
?qa
n?
1
?p
n
,则
的方法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
①若
?
??
a
n
q
a
n?1
q
,若
??
1?1
转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)
p
n
pp
n?
1
p
?
a
k
?0
?
a
1
?0,则
S
n
有最大值,当n=k时取到的最大值k满足
?
a?0
?
k?1
?
d?0
?
a
k
?0<
br>?
a
1
?0
,则
S
n
有最小值,当n=k时
取到的最大值k满足
?
a?0
?
k?1
?
d?0
②若
?
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用
于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:
a
n
?
?
2
n?1
?
?3
;
n
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通
项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:
a
n
?
111
11
?
11
?
??
?
?
?
,
a
n
?
?
等;
n
?
n?1
?
nn?1<
br>?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12
n?1
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和
的部分,
如:
a
n
?2?n?1
等;
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
a?d和a?d
类型,这样可
以相加约掉,相乘为平
方差;
n
a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4
?
a
n
?an?1
?n?1
各式相加得
a
n
?a
1
?3?
4?
?
?n?1?a
1
n?4
??
n?1
???
2
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为
aq和
a<
br>类型,这样可以相乘约掉。
q
(2)
a
n
?a
n?
1
?a
n
a
n?1
形式,同除以
a
n
a<
br>n?1
,构造倒数为等差数列;
3
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