最新人教版高中数学必修5教案

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数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
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本章的中 心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落
实在解三角形的应用上。通过本 章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理 、余弦定理，并能解
决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些与测量和几何计算有
关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学 生加深数学知识
的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出 问题、思考解决问题
的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余
弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角
关系的定性 的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知
两个三角形的两条对应边及其 所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出 发，提出探究性问题：
“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边 、角
的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三
角形 的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完
全确定的三角形.我们 仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两
边和它们的夹角计算出三角形的另一边和 两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加
强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内
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容做好准 备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于
数学知识的学习和巩固。 < br>本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已
知三角形的边和 角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理
内容时，让学生从已有的几何知识出 发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对
大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、 角的关系准确量化的表示呢?”，
在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及 其所夹的角,
根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角
形的另一边和两 个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学
生对于过去的知识有了新的认识， 同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成
良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把 “解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，
位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三 角函数、平面向量、直线和圆的方程
等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的 工具，某些内容
可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方
法在解决问题中 的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了
一 个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出
了一般三角形中三边平 方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，
“从余弦定理以及余弦函数的性质可知 ，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的
平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方 ，那么第三边所对的角是
钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定 理是勾
股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应 用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意
识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际 问题抽象成数学问题，不能把所学的数
学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多 ，虽然学生机械地
模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于< br>诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维
方法了解不够 。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后
把数学知识应用于实际问题。
2

62 （三）教学内容及课时安排建议
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1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
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1．要在 本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在
对于正弦定理和余弦定理的证 明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中
学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理 的证明。如对于正弦定理，可以启
发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法 和解析的方法。
在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分
析和比较。对于 一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际
中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问
题的解决实际问题的 能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果
能力，增强学生应用数学的意识和数学实 践能力。教师要注意对于学生实习作业的指
导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错 误，解决测量中出现的
一些问题。
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●教学目标
第 1 课时
课题: §1．1．1正弦定理
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握 正弦定理的内容及其
证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角
的关系，引导学 生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定
3

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理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的 运算能力；培
养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量
的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定
?
ABC的边C B及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边< br>的等式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中
正弦函数的定义，有
A
4
a
b
?s in
A
，
?sin
B
c
c
，又
sinC
?1?
c
c
,

108 则
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c

109
110
111
112
113
114
115
从而在直角三角形ABC中，
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3 ，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函
数的定义， 有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则< br>c
sin
C
?
a
sin
A
?
bsin
B
，
116 同理可得
a
sin
A
?
b
sin
B
?，
117
118
119
120
121
从而
b
sin
B
c
sin
C

(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向< br>量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
，
122 由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

123 则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB< br>)

124
125
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB

jABc os
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

5

126 ∴
csinA?asinC
，即
ac
?

sinAsinC
127 同理，过点C作
j?BC
，可得
a
bc
?

sinBsinC
128
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140
141
142
143
144
从而
sin
A
?
b
sin
B
?
c
si n
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成 立。（由学生课后自己推
导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正
数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
a
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
6

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158
159
160



解：根据三角形内角和定理，
C?180
0
?(A?B)

?180
0
?(32 .0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.

a2 0
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所 以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0
?(A? B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0< br>，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
161
162
163
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0< br>?(A?B)?180
0
?(40
0
?116
0
)? 24
0
，
7

164
165
166
167
168
169
170
171
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第4页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c< br>sin
C
?
a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?
；
sin
A
?sin
B
?sin
C
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
教后记：


第2课时
课题: §1.1.2余弦定理
8

183
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203
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及 证明余弦定理的向量方法，并会运用
余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利 用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用
余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通
过三角函数、 余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系
与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入

如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c


(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
9

204 [探索研究]
205
206
207
208
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

c< br>?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
?
a
?
a
?
b
?
b
?2a
?
b
C
a
B
22
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
????
209
210 从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab< br>cos
C
(图1．1-5)
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?< br>c
2
?2
ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的
夹角的余弦的 积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2< br>?
a
2
?
c
2
?2
ac
cosB

c
2
?
a
2
?
b
2?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度 看已知其中三个量，可以求出第四个量，
能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?
2ac
10

223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
[理解定理]
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般
三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

236
237
238
239
=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)
240
11

241
242

0
∴
A?60.

解法二：∵sin
A?sinB?
a
b
23
?sin45
0
,

22
243 又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

244
245
246
247
248
249
250
251
23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在
?
ABC中，已知
a?134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm
， 解三角形
（见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
b
2
?c
2
?a
2
cos
A?

2bc
252
253
254
255


87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?

2ca
256
257
258
259


134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
12

260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。 < br>[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求
第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第8页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
教后记：




第3课时
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一
解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引 导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余
弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求 解三角形问题。
13

282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角 形问题时沟通了三角形的有关性
质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化 的可能，从
而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在
?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25
cm
，
A
?133
0< br>，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三 角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某
些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形 下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在
?
A BC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
b
sin
A
可进一步求出B；
a
300 分析：先由
sin
B
?
14

301 则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

a
sin
C

A
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
从而
c
?1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?8 0
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1< br>，
c
?
，
?
C
?40
0
，则符合题 意的b的值有_____个。
1
2
315
316
317
318
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，
求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
15

319
320
例2．在
?
ABC 中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直 角三角形
a
2
?
b
2
?
c
2
?< br>A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
3 21
322 （注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
323 解：
7
2
?5
2
?3
2
，即a
2
?
b
2
?
c
2
，
324
325
326
327
328
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C< br>?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
329 例3．在
?
ABC中，
A
?60
0
，
b
? 1
，面积为
1
2
330
a
分析：可利用三角形面积定理< br>S
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
以及正弦定理
b
sin
B
1
2
1
2
331
s in
A
??
c
sin
C
1
2
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
3
得
c
?2
，
2
332 解：由
S
?
bc
sin
A
?
333 则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
=3，即
a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A334
335 Ⅲ.课堂练习
16

336 （1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角 形的面积
S
?2203
，求角C
a
2
?
b
2
?
c
2
4
337 （2）在
?
ABC中，其三 边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?
，求角C
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
（答案：（1）
60< br>0
或
120
0
；（2）
45
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的 情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3） 在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。

349
350
351
352
353
354
355
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为 方程
5
x
2
?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。
教后记：



第4课时
17

356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
●教学目标
课题: §2.2解三角形应用举例
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些有关测量距离的
实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设 疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发 思考——探索猜想——总结规律
——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系 ，铺开例题，
设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解
决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生
发现问题并进行适 当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学< br>生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
18

377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，< br>“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就
已经估算出了 两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于
未知的距离、高度等，存在着许多 可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、
相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方 法，但由于在实际测量问题的
真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三 角形的方
法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能
解 决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究
如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问
题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者 在A的
同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=51?
，
?
ACB=
75?
。
求A、B两点的距离(精 确到0.1m)
393
394
395

启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
19

396
397
398
399
400
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，
题目条件告诉了边 AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据
两个已知角算出AC的对角，应用正 弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
AB
=
AC

sin?ACB
sin?ABC
401 AB =
ACsin?ACB

sin?ABC
402
403
=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)
404 =
55sin75?

sin54?
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北
偏东3 0
?
，灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
2
a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离
的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先
需要构造三角 形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内
角与一边既可求出另两边的方法 ，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB
20

416 的距离。
417
418
419
420
421

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦定理得
asin(
?
?
?
)
=
asin(
?
?
?
)

sin[180??(?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
??
?
)
asin
?
=
asin
?

sin[180??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
AC =
422 BC =
423
424
425
426
427
计算出AC和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸 选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60
?
，
?
ACD=30
?
，
?
CDB=45
?
，
?
BDA =60
?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
6

评注：可见， 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，
但有些过程较繁复，如何找到最优 的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合
题目条件来选择最佳的计算方式。
21
428
429
430
431

432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第13页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标 ，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形
中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第19页第1、2、3题
教后记：





第5课时
课题: §2.2解三角形应用举例
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到
22

454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
达的物体高度测量的问题
过程与方法： 本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生
在温故知新中学会正确识图、画图、 想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例
题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一 般方法。教学形式要坚持引
导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究 、探索
习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学 生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类
比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入 < br>提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞
行的飞机上测 量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测 量建
筑物高度AB的方法。
23

474
475
476
477
478
479
480

分 析：求AB长的关键是先求AE，在
?
ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离
CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、 B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测
角仪器测得A的仰角分别是
?
、
?
，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在
?
ACD中，
根据正弦定理可得
AC =
asin
?

sin(
?
?
?
)
481
482
483
AB = AE + h
= AC
sin
?
+ h
=
asin
?
sin
?
+ h
sin(
?
?
?
)
484
485
486
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54< br>?
40
?
，在塔底C处测
得A处的俯角
?
=50?
1
?
。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

24

487
488
489
490
491
492
493
494

师:根据已知条件, 大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在
?
ABD
中求CD，则关键 需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据
?
BAD=
?
求得。
解:在
?
ABC中,
?
BCA=90
?
+
?
,
?
ABC =90
?
-
?
,
?
BAC=
?
-
?
,
?
BAD =
?
.根据正
弦定理,
BC
AB
=
sin(
?
?
?
)sin(90
?
?
?
)
495
496
BCsin(90
?
?
?
)
BCcos
?
所以 AB ==
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?
?
)
497 解Rt
?
ABD中,得 BD =ABsin
?
BAD=
BCcos
?
sin
?

sin(
?
?
?
)
498 将测量数据代入上式,得 27.3cos50
?
1
?
sin54
?
40
?
BD =
sin(54
?
40< br>?
?50
?
1
?
)
499
25

500
27.3cos50
?
1
?
sin 54
?
40
?
=
?
?
sin439
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在
?
ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在
?
ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例5、如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处
一山顶D在东偏南15
?
的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25
?
的方
向上, 仰角为8
?
,求此山的高度CD.
511
512
513
514
515
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在
?
BCD中

师：在
?
BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
26

516
517
解:在
?
ABC中,
?
A=15
?
,
?
C= 25
?
-15
?
=10
?
,根据正弦定理,
BCAB
= ,
sinAsinC
ABsinA
5sin15
?
BC ==
sinC
sin10
?
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
≈ 7.4524(km)
CD=BC
?
tan
?
DBC≈BC
?
tan8
?
≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第15页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦 定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给
的背景资料中进行加工、抽取 主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
1、 课本第19页练习第6、7、8题
2、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的
仰角为30
?
，测得塔基B的俯角为45
?
，则塔AB的高度为多少m？
203
(m)
3
531
532
533
534
535
答案：20+
教后记：



27

536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
●教学目标
第6课时
课题: §2.2解三角形应用举例
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的
实际问题 < br>过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本
的了解，这节课 应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针
对性地选择了既具典型性有具启发性 的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教 师通过导疑、导思让学生有
效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举 一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并
在 教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的 一
些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚
28

557
558
559
560
561
562
563
564
无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定 的航速和航向呢？今天我们接着探
讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile后到达海
岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile后达到海岛C.如果下次航
行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距 离?(角度精确到
0.1
?
,距离精确到0.01n mile)
565
566
567
568
569
学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角

?
ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB。
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
570 AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC

571
572
573
=
67.5
2
?5 4.0
2
?2?67.5?54.0?cos137
?

≈113.15
根据正弦定理,
29

574
BC
=
AC

sin?ABC
sin?CAB
575 sin
?
CAB =
BCsin?ABC

AC
576
577
578
=
54.0sin137

113.15
?
≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
579 75
?
-
?
CAB =56.0
?

580
581
582
583
答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
补充例1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m， 至
点C处测得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，测 得顶端A的仰角为4
?
，
求
?
的大小和建筑物AE的高。
584
585
586
587
588
589
590
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不
同方法板演， 然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30，
30

591 AD=DC=10
3
，
592
593

?
ADC =180
?
-4
?
，

?
103
sin2
?
=
30
。
sin(180
?
?4
?
)
594
595
因为 sin4
?
=2sin2
?
cos2
?

?
cos2
?
=
3
,得 2
?
=30
?

2
596
?

?
=15
?
，
597
?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
598
599
600
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+ h
2
=30
2

601 在 Rt
?
ADE中,x
2
+h
2
=(10
3
)
2

602 两式相减，得x=5
3
,h=15
603
?
在 Rt
?
ACE中,tan2
?
=
h
103?x
=
3

3
604
?
2
?=30
?
,
?
=15
?

605
606
607
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
?
BAC=
?
，
?
CAD=2
?
，
31

608 AC = BC =30m , AD = CD =10
3
m
x
--------- ①
30
4
103
609 在Rt
?
ACE中，sin2
?
=
610 在Rt
?
ADE中，sin4
?
=, --------- ②
611 ②
?
① 得 cos2
?
=
3
,2
?
=30
?
,
?
=1 5
?
，AE=ADsin60
?
=15
2
612 答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
613
614
615
616
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走私船，正沿
南偏东75
?
的方向以10海里小 时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时
的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向 去追？需要多少时间才追赶上该
走私船？
617
618
619
620
621
622
623

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,
AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

32

624
625
626
?
化简得 32x
2
-30x-27=0，即x=
39
,或x=-(舍去)
216
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
BCsin12 0
?
15
353
又因为sin
?
BAC ==
?
=
AB214
21
?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去）， 627
628 < br>?
38
?
13
?
+
45?
=83
?
13
?

629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
答：巡逻艇应 该沿北偏东83
?
13
?
方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. < br>评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现
实生活的应用题 ，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第16页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1 ）已知量与未知量全部集中在一个
三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量 涉及两个或几个
三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第20页练习第9、10、11题
2、我舰 在敌岛A南偏西
50?
相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西
10?
的方向
以10海里小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上
敌 舰？（角度用反三角函数表示）
33

644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
教后记：





第7课时
课题: §2.2解三角形应用举例
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的
问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑， 引导学生证明，同时
总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现
了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把
握正弦定理 和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理
的特点，就能很快开阔思维，有 利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提 高
创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
34

667
668
669
670
671
672
673
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达
公式。在 < br>?
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
a
、h
b
、h
c
，那么它们如何用已知边
和角表示？
生：h
a
=bsinC=csinB
h
b
=csinA=asinC
h
c
=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S= ah,应用以上求出的高的公式如h
a
=bsinC
代入，可以推导出下面的三角形面 积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式
吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可 求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出
三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例7、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精 确到0.1cm
2
）
1
2
1
2
1
2
1
2
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
35

686 （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
687
688
689
690
691
692
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析： 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切
的关系，我们可以应用解三角 形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的
元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
1
?
14.8
?
2 3.5
?
sin148.5
?
≈90.9(cm
2
)
2
1
2
693
694
695
S=
(2)根据正弦定理，

b
=
c
sinC
sinB

696 c =
bsinC

sinB
697 S = bcsinA = b
2
1
2
1
2
sinCsinA

sinB
698 A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

??
sin65.8sin51.5
1
S =
?
3.16
2
?
≈4.0(cm
2
)
?
2
sin62.7
699
700
701
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4
702
703
704
≈0.7697
sinB =
1?cos
2
B
≈
1?0 .7697
2
≈0.6384
36

705 应用S=acsinB，得
1
?
41.4
?
38.7
?< br>0.6384≈511.4(cm
2
)
2
1
2
706
707
708
709
710
711
712
713
714
S ≈
例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经
过测量得到这个 三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多
少？（精确到0.1cm
2
）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
cosB=
2ca
127
2
?68
2
?88
2
=≈0.7532
2?127?68
715
716
717
sinB=
1?0.7532
2
?
0.6578
应用S=acsinB
1
?
68
?
127
?< br>0.6578≈2840.38(m
2
)
2
1
2
718 S ≈
719
720
答：这个区域的面积是2840.38m
2
。
例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?;
（1）
c
2
sin
2
C
721
722
723
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，
37

724
725
726
联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
sinC
sinAsinB
= k
727 显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
左边=
?
222
cksinC
728
729
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
730
731
732
733
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
c
2
?a2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
734 =a
2
+b
2
+c
2
=左边
735
736
737
738
739
740
741 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =
sinA?sinB

cosA?cosB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
38

742
743
744
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2a
?
=b
?

2bc2ca
?
c
2< br>(a
2
?b
2
)?a
4
?b
4
=< br>(a
2
?b
2
)(a
2
?b
2
)< br> 745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762 ?
a
2
?b
2
或c
2
?a
2
?b
2

?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
?
sin2A=sin2B,
?
2A=2B,
?
A=B
?
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而 第一位同学的做法有两种，请大
家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗 漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可
能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=1 80
?
，A+B=90
?

(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，
39

763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785 然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦
定理也可用余弦 定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第20页练习第12、14、15题
教后记：



第8课时(复习课)
一．教学重点
1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定
理解三角形。
2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、
余弦定理解决实际问题
3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关
三角形的问题。 < br>二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。②设计测量距离、
高度、角度等 的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实生活中灵
活运用正、余弦定理解决问题。进 行边角转化
三．教学过程
1.本章知识结构框图


用
正
弦
知两边及其中一边所对的
40

786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812



解




用




知道两边及这两边的



余
弦
三
角





2、例题讲解：
例1．在
?ABC
中，已知
B?45
?< br>，
C?60
?
，
c?1
。试求最长边的长度。
例2 ．在
?ABC
中，已知
a:b:c?3:7:2
，试判断此角形的形状并求出 最大角与最小
角的和。
例3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知< br>?ABC
为边长等于
B
a的正三角形，当目标出现于B时，测得
?CD B?45
，
?BCD?75
，试求
炮击目标的距离AB。
三、巩固练习
41
D
C
??
A

813
814
1． 在
?ABC
中，
sinA:sinB:sinC?3:2:4
试试判断此角形 的形状并求出最小角。
2．在
?ABC
中，a,b,c分别是
A
，
B
，
C
的对边，且
cosBb

?
cosC2a?c
815 （1）求角
B
的大小；（2）若< br>b?13,a?c?4
，求
a
的值。
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
3．a,b, c分别是
?ABC
的三边，若
a
2
?c
2
?b2
?3ac
，则角
B
为-------度。
4．测一塔（底不 可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰
角
40
?
， 再前进20米到B点，这时测得C的仰角为
60
?
，试求此塔的高度CD。
教后记：




（第9课时）
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数 列和函数之间的关系；了解数列的通
项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列 ，会根据其前几
项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合 条件的一个通项公式，培养学
生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴
趣。
●教学重点
42

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853
854
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列 的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列
次序不同，那么它们就是不同的数列 ；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第
1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是
这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a< br>n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是
1
“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
3
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关
43

855
856
857
系可否用一个公式表示？（引导学 生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通
项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有 这样的对应关系：
项
1

11
3
1
4
1

52
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860
861
862
863
864
865
866
867
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序 号可用一个公式：
a
n
?
1
来表示其对应关系
n
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项
1?(?1)
n?1
n?1
公式可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|c os
?
|
.
2
2
868
869
870
871
872
873
874
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，
这个数列便确定 了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N< br>*
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数
a
n
? f(n)
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
44

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887
888
889
890
891 反过来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4… ）有意义，那么我们可以得
到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解]课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
4
26810
, , , , , ……；
3
15356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
2n
1?(?1)
n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
892
893 (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
45

894
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
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Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容： 数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根
据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P33习题2.1A组的第1题
教后记：



（第10课时）
题: §2.1数列的概念与简单表示法
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列
的递推公式写 出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a
n
的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴
趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
46

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924
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就
叫做这个数列的通项公式。
925 如数列

的通项公式为

；
926

的通项公式为

；
927

的通项公式为

；
928
929
930
2、图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应
的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

931
932
933
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为
横坐 标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图
象中可 以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
47

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3、递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，
会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

48

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964
965
966
967
依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重
要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1 项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或 前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推
公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数
的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的
表示法：用

为
4、列表法
表示第一项，用

表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成
968
969 [范例讲解]
．简记为

．
970
a
1
?1
?
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1< br>?1
，递推公式：
a
n
?1?
49
1
a
n?1
971

972 解：据题意可知：< br>a
1
?1,a
2
?1?
112158
?,a
5
?

?2,a
3
?1??
，
a
4
?1?
a
3
35
a
1
a
2
3
9 73
974
[补充例题]
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3
，观察可得
a
n
?2
n

a
n
?2

a
n?1
975
976 法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
977
∴
a
n
aa
a
?
n?1
?
n?2
?
??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
978
979
980
981
982
983
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

Ⅲ.课堂练习
课本P31练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
984 (2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
985 (3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1)
2
;
(2)
a
1< br>＝1,
a
2
＝
1212
222
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
35
2436n?1
986
987
50

988 (3)
a
1
＝3＝1+2
?3
0
,
a
2
＝7＝1+2
?3
1
,
a
3
＝19＝1+2
?3
2
,
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
; 989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
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1004
1005
1006
1007
1008
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相 邻两项
（或
n
项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
教后记：


（第11课时）
课题: §2.2等差数列
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数 列是等差数列的限定条件，能根据定义
判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公
式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的
过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的
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1028
能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义 及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、
通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度 反映数列的特点。下面我们看这
样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起 ，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：
每相邻两项的差相等——应指明作差的顺 序是后项减前项），我们给具有这种特征的数
列一个名字——等差数列
52

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1040
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一 般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一
个常数，这个数列就叫做等差数列，这 个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”
表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N
?
，则此数
列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项 公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一数列相邻 两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公
差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a
2
?d ?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

1041
1042
1043
1044
……
由此归 纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项< br>a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

53
1045
1046
1047

1048 则：
a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

a
m
?a
n

m?n
1049 即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
1050
1051
1052
1053
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得
a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
?401??5?4(n?1)
成立解之得
n=10 0，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公 式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数， 那么这个数列是否
一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数 列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
an
?a
n?1
（n≥2）
是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项< br>a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q) ?p
为常数
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063 ∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p ?q
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差 数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一 次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
54
1064
1065

1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=p n+q (p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P39练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出
所求项. < br>解：根据题意可知：
a
1
=3,
d
=7－3=4.∴该数列的 通项公式为：
a
n
=3+（
n
－1）×4,
即
a< br>n
=4
n
－1（
n
≥1,
n
∈N*）∴a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,
d
=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：
a
n
=10+（
n
－1）×（－2 ）,即：
a
n
=－2
n
+12,∴
a
20
=－2×
20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3） 100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说
明理由.
55

1086
1087
分析：要想判断一数是否为某一 数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数
n
值，使得
a
n
等 于这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,
d
=9－2=7. ∴此 数列通项公式为：
a
n
=2+（
n
－1）×7=7
n
－5.
令7
n
－5=100,解得：
n
=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是， 是第几项？如果不
是，说明理由.
解：由题意可知：
a
1
=0,
d
=－3 ∴此数列的通项公式为：
a
n
=－
n
+,
令－
n
+=－20,解得
n
=
个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：
a< br>n
－
a
n?1
=d ，（n
≥2，n∈N
?
）.其次，要会推导等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1) d
，并掌握其基
本应用.最后，还要注意一重要关系式：
a
n
?a
m
?(n?m)d
和
a
n
=pn+q (p、q是常数)
的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P40习题2.2[A组]的第1题
教后记：




56
7
2
7
2
77
47
因为－
n
+=－20没有正整数解，所以－20不是这
22
7
12
7
2
7
2
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1
2
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107

1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
●教学目标
（第12课时）
课题: §2.2等差数列

知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公
式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某
些问题。
过程 与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；
通过等差数列通项公式的运 用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内
在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它前一项的差等于同一
个常数，即
a
n
－
a
n?1=d ，（n≥2，n∈N
?
），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫
做等差 数列的公差（常用字母“d”表示）
57

1129
1130
1131
2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(
a
n< br>?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
a
n
?a
1
a?a
m
③ d=
n

n?1n?m
1132 ① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
1133
1134
1135
1136
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等 差数列数列，那么A应满足
什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
?a,b,
成等差数列
2
a?b

2
1137 反之，若
A?
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
由此可可得：
A?
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必
须知道这 个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项
就知道公差），本题中，只已 知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入
手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
58
1147

1148
1149
1150
1151
1152
1153
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴
a
3

=2,
a
9
=32
[范例讲解]
课本P38的例2 解略
课本P39练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
（1）
2a
5?a
3
?a
7
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n?k? 0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q， 则，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
59

1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1．
A?
a?b
?a,A,b,
成等差数列
2
2．在等差数列中， m+n=p+q
?
a
m
?an
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P41第4、5题
教后记：




（第13课时）
课题: §2.3 等差数列的前n项和
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和
公式解决一些 简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般， 再从一般
到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导
的 过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
60

1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:
“现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+ 2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起
来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小 就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单
的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2 ）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面
我们要介绍的“倒序相加 ”法。
Ⅱ.讲授新课
n(a
1
?a
n
)

2
1206 1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
61

1207
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a< br>n?1
?a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
②
①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)?
?
?(a
n
?a
n
)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a< br>n?1
?a
3
?a
n?2
???

n(a
1
?a
n
)

2
1208
1209
1210
1211 ∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得：
S
n
?
1212
1213
1214
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前
n
项和公 式2：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件：
n,a< br>1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
1215
1216
1217
1218
1219
n(n?1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P43-44的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的 定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1
；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n?1
， 1220
1221
?
S
1
(n?1)
即
a
n=
?
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
Ⅲ.课堂练习 1222
62

1223
1224
1225
课本P45练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
n(a
1
?a
n
)

2
1226 1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅴ.课后作业
课本P46习题[A组]2、3题
教后记：





n(n?1)d

2
（第14课时）
课题: §2.3等差数列的前n项和
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式 和前
n
项和公式；了解等差数列
的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等 差数列通项公式与前

项和的
公式研究

的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用， 使学生再一次感受数学源
于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题 ，并
63

1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
n(a
1
?a
n
)

2
1253 1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
n(n?1)d

2
结论：一般地，如果一个数列
?
an
?
,
的前n项和为
S
n
?pn
2
? qn?r
，其中p、q、r为
常数，且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列 吗？如果是，它的首项与公差分别是多
少？
由
S
n
?pn
2
?qn?r
，得
S
1
?a
1
?p?q?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
(pn
2
?qn?r)?[p(n?1)
2
?q( n?1)?r]
=
2pn?(p?q)

?d?a
n
?a< br>n?1
?[2pn?(p?q)]?[2p(n?1)?(p?q)]
=2p
1261
1262
64

1263 对等差数列的前n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
S
n
?
n(n?1)d
可化成式子：
2
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
d
2
d
n?(a
1
?)n
，当d≠0，是一个常数项为零的二 次式
22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P45的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最 大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的值 1271
1272 当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值
1273 （2） 利用
S
n
：
由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24， 前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等
差数列的通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为
S
n
?pn
2
?q n?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定是等差数列，
65

1281
1282
1283
该数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
?
S
1
?a
1
?p?q?r,当n?1时
1284 通项公式是
a
n
?
?

S?S?2pn?(p?q),当n?2时
n?1
?
n
1285
1286
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n ?1
≤0，求得n的值。
1287 当
a
n
<0，d>0，前n项 和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值。
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
（2）由
S< br>n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用 二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅴ.课后作业
课本P46习题[A组]的5、6题





（第15课时）
课题: §2.4等比数列
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例 ，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、
性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等 比关系，提高数学建模能力；体会等比
66

1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
数列与指数函数的关系。
情感态 度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实
生活，并应用于现实生活的， 数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N
?
）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列 ，我们还会遇到下面一
类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
1111
②1，，，，，…
24816③1，20，
20
2
，
20
3
，
20
4
，…
10000?1.0198
2
，
10000?1.0198
3
，
10000?1.0198
4
，
10000?1.01 98
5
，④
10000?1.0198
，……
1317
1318
1319
1320
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
67

1321
1322
1323
1324
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等 于同
一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用
字母
q
表示（
q
≠0），即：
a
n
=
q
（
q
≠0）
a
n?1
1325 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
a
n?1
=
q
（
n?N
?
,
q
≠0）
a
n
1326 ｛
a
n
｝成等比数列
?
1327 2 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

1328
1329
1330
1331
1332
“
a
n
≠0”是 数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{a
n
}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
a
n?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
； a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
q
3
；
1333
1334
1335
1336
… … … … … … …
a
n
?a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

1337 3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q
m?1
(a
1
?q?0)

68

1338
1339
1340
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
a
1
x
q
q
1341
1342
1343
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
,它的图 象是分布在曲线
y?
（q>0）上的一些孤立的点。
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
当
q?0
时，等比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q?1
时，等比数列｛
a
n
｝是常数列。
[范例讲解]
课本P50例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：
a
1
=2916） （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：
a
1
=
a
2
=5,
a
4
=
a
3
q
=40）
q
4
9
1
3
69

1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业:课本P53习题A组1、2题
教后记：


（第16课时）
课题: §2.4等比数列
●教学目标
知识与技能：灵 活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉
等比数列的有关性质，并系统了解判断 数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 < br>情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实
生活，并应用于 现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
70

1376
1377
1378
1379
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列 ：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
（
q
≠0）， 即：
a
n
=
q
（
q
≠0）
a
n?1
1380 2.等比数列的通项公式:
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
，
a< br>n
?a
m
?q
n?m
(a
m
?q?0)
a
n?1
=
q
（
n?N
?
,
q
≠0） “
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等 比
a
n
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
3．｛
a
n
｝成等比数列
?
数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果 在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
,G
，
b
成等比数列，那么称这
个数
G
为
a与
b
的等比中项. 即
G
=±
ab
（
a
,
b
同号）
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
,
G
，
b
成等比数列，则
Gb
??G
2
?a b?G??ab
，
aG
1389
1390
1391
1392
1393
反之，若
G
2
=
ab
,则
≠0）
[范例讲解]
Gb
即
a
,
G
,
b
成等比数列。∴
a
,
G
,
b
成等比数列
?
G
2
=
ab
（
a
·
b
?
，aG
课本P58例4 证明：设数列
?
a
n
?
的首项 是
a
1
，公比为
q
1
;
?
b
n< br>?
的首项为
b
1
，公比为
q
2
，
那 么数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项与第n+1项分别 为：
n?1n?1
1394
a
1
?q
1
?b< br>1
?q
2
与a
1
?q
1
?b
1?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
nn
71

a
n?1?b
n?1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
1395
?
??q
1
q
2
.

n?1
a< br>n
?b
n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
1396
1397
它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b
n
?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比数列
拓展探究：
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
n
a
，则
c
n?1
?n?1

b
n
b
n?1
1398 对于例4中的等比数 列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
1399 探究： 设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2
，令
c
n
?
1400
?c
n?1
b
n?1
ab
a
q
??(
n ?1
)(
n?1
)?
1
，所以，数列{
n
}也一定 是等比数列。
a
n
b
n
c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
a
n?1
1401
1402
课本P53的练习4
2
2
?a
3
a< br>7
是否成立？
a
5
?a
1
a
9
成立 吗？为什么？ 已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5
1403
1404
1405
1406
1407
论？
论？
2
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你据 此能得到什么结（2）
a
n
2
a
n
?a
n?ka
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到什么结
结论：2．等比数 列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
?a
p
a
k

在等比数列中，m+n=p+q，
a
m
,a
n
,a
p
,a
k
有什么关系呢？
由定义得：
a
m
?a
1
q
m?1
a
n
?a
1
q
n?1

a
p
?a
1
q
p?1
a
k
?a
1
?q
k?1

1408
1409
1410
a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
，
a
p
?a
k
?a
1
q
p?k?2
则
a
m
a
n
?a
p
a
k

72
2
2

1411
1412
1413
1414
Ⅲ.课堂练习
课本P53的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

a
n
}也是等比数列
b
n
1415 2、若
?
a
n
?
,
?
b
n
?是项数相同的等比数列，则
?
a
n
?b
n
?
、 {
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
Ⅴ.课后作业
课本P53习题2.4A组的3、5题
教后记：



（第17课时）
课题: §2.5等比数列的前n项和
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n
项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与 灵活应用，总结数列的求和方法，并
能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，
激发学习数学 的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
73

1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析 问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，
它的首项是1，公比是2 ，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求
这个等比数列的前64项的和。下面我们先 来推导等比数列的前n项和公式。
1、等比数列的前n项和公式：
a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
1444
1445 当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n?a
1
?a
2
?a
3
??a
n

1446
1447
1448
1449
74

1450
?
S
n
?a
1
?a2
?a
3
??a
n
由
?

n?1?
a
n
?a
1
q
2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q?
?
a
1
q?a
1
q
得
?

23n?1n
?
?
qS
n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q?
?
a
1
q?a
1
q
1451
1452
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n

1453
a
1
( 1?q
n
)
a?a
n
q
∴当
q?1
时，< br>S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
1454
1455
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
a
a
2
a
3
??
?
?
n
?q

a
1
a
2
a
n?1
a
2< br>?a
3
?
?
?a
n
S?a
1
?n
?q

a
1
?a
2
?
?
? a
n?1
S
n
?a
n
1456
有等比数列的定义，
1457 根据等比的性质，有
1458
S
n
?a
1
?q
?
(1?q)S
n
?a
1?a
n
q
（结论同上） 即
S
n
?a
n
1459
1460
1461
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：

S
n
?a
1
?a
2
?a
3??a
n
＝
a
1
?q(a
1
?a
2< br>?a
3
??a
n?1
)

＝
a1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
? a
n
)
1462
1463
1464
?
(1 ?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
[解决问题]
75

1465 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
1466 由
a
1
?1,q?2,n?64
可得
1467
S
a
1
(1?q
n
)
1?(1?2
64
)
1?q
1?2
=
2
64
n
?
=
?1
。
1468
2
64
?1
这个数很大，超过了
1.84 ?10
19
。国王不能实现他的诺言。
1469 [例题讲解]
1470 课本P56-57的例1、例2 例3解略
1471 Ⅲ.课堂练习
1472 课本P58的练习1、2、3
1473 Ⅳ.课时小结
1474 等比数列求和公式：当q=1时，
S
n
?na
1
当
q?1
时，
1475
a
1
(1?q
n
S
)
n
?
1?q

1476 Ⅴ.课后作业
1477 课本P61习题A组的第1、2题
1478 教后记：
1479
1480
1481 （第18课时）
1482 课题: §2.5等比数列的前n项和
76
S
a
1
?a
n
q
n
?
1?q
或

1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
●教学目标
知识与技能：会用等 比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的
S
n
,a
n
, a
1
,n,q
中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等
价转化的思想 .
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养
他们实事 求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
a
1< br>(1?q
n
)
a?a
n
q
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
1498
1499 当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
77
1500
1501

1502
1503
1504
1505
1506
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， < br>2
求证：
S
2
n
?S
2n
?S
n< br>(S
2n
?S
3n
)

2、设a为常数，求数列a， 2a
2
，3a
3
，…，na
n
，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
1
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
n(n?1)

2
1507 若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+ a
n-1
-na
n
），Sn=
a
[1?(n?1)a
n
?na
n?1
]

2
(1?a)
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
Ⅲ.课堂练习
课本P61习题A组的第4、5题
Ⅳ.课时小结

Ⅴ.课后作业
课本P61习题A组的第6题
教后记：


（第19—20课时）
课 题：数列复习小结
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
78

1521 2．了解数列的通项公式
a
n
与前n项和公式
S
n
的关系。
3．能通过前n项和公式
S
n
求出数列的通项公式
a
n。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结
合的思想．
79

1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
2 ．等差、等比数列中，
a
1
、
a
n
、n、d
(q
)、
S
n
“知三求二”，体现了方程(组)的思
想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前
n
项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体
现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，
累加法，等 价转化等．
四、知识精要：

1、数列
?
a?S(n?1)
1546 [数列的通项公式]
a
n
?
?
11
[数列的前n项和]
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n

S?S(n?2)
n?1
?
n

2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a< br>n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常 数)，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
2．等差中项：对 于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?an
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等 差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
80
1547
1548
1549
1550
1551
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1553
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1555
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