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人教版高一数学必修5主要知识点整理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 19:50
tags:高中数学必修五

高中数学课本名称-高中数学学习指导必修5


人教版高一数学必修5主要知识点

第一章 解三角形
1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B);
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系:
si n(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

2 22222
4、正弦定理:在
???C
中,
a

b

c
分别为角
?

?

C
的对边,
R

???C
的外
abc
接圆的半径,则有
???2R< br>.
sin?sin?sinC
sin
5、正弦定理的变形公式:
① 化角为边:
a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2Rsin C

a
b
c

sin??

sinC?
; < br>2R
2R2R
a?b?cabc

a:b:c?sin?:sin?: sinC
;④.
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC< br>②化边为角:
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要
注意解的情况(一解、两解、三解))
7、余弦 定理:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?

b?a?c ?2accos?

222
222
c
2
?a
2< br>?b
2
?2abcosC

b
2
?c
2< br>?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
8、余弦定理的推论:
cos??

cos??

cosC?

2ab
2bc2ac(余弦定理主要解决的问题:1.已知两边和夹角,求其余的量。2.已知三边求角)
9、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角)
10、如 何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一
成边的形式或角的形式 设
a

b

c

???C
的角
?

?

C
的对边,则:
①若
a?b?c
,则
C?90
;②若
a?b?c
,则
C?90
;③若
a?b?c
,则
C?90

222
o
222
o
222
o
精选


11、三角形面积公式:
12、三角形的四心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1)
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等)
内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等)
13 、三角函数中 诱导公式及辅助角公式(和差角、倍角等) 。




第二章 数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的 数列(即:a
n+1
>a
n
).
6、递减数列:从第2项起,每一 项都不大于它的前一项的数列(即:a
n+1
n
).
精选


7、常数列:各项相等的数列(即:a
n+1
=a
n
).
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数 列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一 个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称
为等差数列,这个常数称为 等差数列的公差.符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注:看 数列是不是
等差数列有以下三种方法:

a
n
?a
n ?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
12、由三个 数
a

?

b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, 则
?
称为
a

b

等差中项.若
b?13、若等差数列
a?c
,则称
b

a

c< br>的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
??
n?1
?
d


a
n
?a1
14、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?< br>?
n?1
?
d
;③
d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
;⑤
d?

n?
n?m
d

*
15、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q

m
、< br>n

p

q??
),则
a
m
?a< br>n

?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q

n

p

q??
),则
2a
n
*
?a
p
?a
q

?a
p
?a< br>q

n
?
n?1
?
2
d
.③n
?
a
1
?a
n
?
16.等差数列的前
n
项和的公式:①
S
n
?
2
;②
S
n< br>?na
1
?
s
n
?a
1
?a
2?L?a
n

17、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为< br>2nn??
?
*
?
,则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S

a
n
?
S

?S

?nd

S
a
n?1
②若项数为
2n?1n??

?
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?a
n
,且
S

?S

?a
n

S

n
(其中
?
S

n?1
S

?na
n

S

?
?
n?1< br>?
a
n
).
精选


18、如果一个 数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称
为等比数列 ,这个常数称为等比数列的公比.符号表示:
会出现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2
?a
n?1
?a< br>n?1
(
n?2

a
n
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)


a
n
a
n?1
?q
(注:①等比数列中不
a
n

a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
lo g
x
a
n
}(
x?1
)成等比数列.
19、在< br>a

b
中间插入一个数
G
,使
a
,则
G
称为
a

b
的等比中项.若
G

b< br>成等比数列,
G
2
?ab
,则称
G

a
b
的等比中项.(注:由
G
2
?ab
不能得出
a

G

b
成等比,

a

G

b
?
G?ab

20、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则a
n
?a
1
q
n?1

21、通项公式的变 形:①
a
n
2
?a
m
q
n?m
;②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1
?
; ③
q
n?1
?
a
n
;④
a
1
q< br>n?m
a
n
?
a
m

*
22、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q

m

n

p

q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q


?< br>a
n
?
是等比数列,且
2n?p?q

n

p

q??
),则
a
n
*
2
?a
p
?a
q

?
na
1
?
q?1
?
?
23、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:①
S
n
?
?
a
1
?1?q
n
?
a?aq
.②
1n
?
?
q ?1
?
?
1?q
?
1?q
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
24、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系:< br>n
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
[注]: ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?< br>?
a
1
?d
?

d
可为零也可不为零→为等 差数列充要条件(即常
数列也是等差数列)→若
d
不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
? An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
n

?
?
d
?
?2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为 零→为等差
2
精选


的充要条件→若
d
为零 ,则是等差数列的充分条件;若
d
不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
..
附:几种常见的数列的思想方法:
1.等差数列的前
n
项和为
S
n
,在
d?0
时,有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值,有
两种方法:
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?0
,成立的
n< br>值;二是由
S
n
?
n
的值.
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
22
2.数列通 项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列
等差数列
等比数列

数列
等差数列

等比数列


我们用函数的 观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关
于n的函数,为我们解决数列 有关问题提供了非常有益的启示。
3.例题:1、等差数列
分析:因为
中,,则 .
前n项和公式 对应函数
(时为二次函数)
通项公式

对应函数
(时为一次函数)
(指数型函数)
(指数型函数)
是等差数列,所以是关于n的一次函数,
)三点共线, 一次函数图像是一条直线,则(n, m),(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如上),这
里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。
例题:2、等差数列中,,前n项和为,若,n为何值时最大?
精选



分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求
即当
最大值,故其对应二 次函数图像开口向下,并且对称轴为
时,最大。
,对任意正整数n,
递增得到:
对一切
有最大值
恒成立,求

例题:3递增数列
分析:

则只需求出

构造 一次函数,由数列
恒成立,所以
对于一切
恒成立,设
,所以
恒成立,

的取值范围是:的最大值即可,显然
构造二次函数,看成函数,它的定义域是
为递增函数,单调增区间为,因为是递增数列,即函数
,抛物线对称轴,因为函数f(x)为离散函数 ,要函数单调递增,就看动轴与
已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴在的左侧也可以(如图),因
为此时B点比A点高。于是,

,得
4.如果数列可以看作是一个等差数列 与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前< br>n
项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的
第一 个相同项,公差是两个数列公差
d
1
,d
2
的最小公倍数.
精选


6. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1 )定义法:对于n≥2的任意自然
数,验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成 立。
7. 在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问 题:(1)当
a
1
>0,d<0时,满足
?
?
a
m
?0
的项数
?
a
m?1
?0
m使得
sm
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解a?0
?
m?1
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附:数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{ a
n
}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理
aa
?
n n?1
?
数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a< br>n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列,?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
2) 1+3+5+...+(2n-1) =
n

2
2
?
1
?
3)
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?

?
2
?
4)
1
2
?2< br>2
?3
2
???n
2
?
1
n(n?1)(2 n?1)
6

;
5)
111
??
n(n?1)nn?1

11111111
?(?)
6)
?(?)(p?q)

n(n?2)2nn?2

pqq?ppq







精选


※附加:重点归纳
等差数列和等比数列(表中
m,n,p,q?N
?

类别
项目
等差数列
?
a
n
?
等比数列
?
a
n
?

定义
a
n?1
?a
n
?d

a
n?1
?q

a
n
通项公

前n项

等差
(比)
中项
a
n
?a< br>1
?
?
n?1
?
d

a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d

S
n< br>?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d

22
a
n
?a
1
q
n?1

a
n
?a
m
q
n?m

?
na
1
?
q?1
?
?

Sn
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a ?aq
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?1?q
2a
n?1
?a
n
?a
n?2

a?a
m

?
m?n
?

d?
n
n?m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q

m?n?2p?a
m
?a
n
?2a
p

a
n?1
2
?a
n
?a
n?2

q
n?m
公差
(比)
a
n
?

a
m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q

m?n?2p?a
m
?a
n
?a
p
2
< br>T
m
,
T
2m
T
3m
,,
L
成等比数列,公
T
m
T
2m
m
2
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差
性质
数列,公差为
md

S
n< br>是前
n
项和)

2
比为
q

T
n
是前
n
项积)
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等差数列,
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等比数
其公差为
kd

列,其公比为
q
k

?
ka
n
?b
?
是等差数列
d?0,Z

?
ba
?
是等比数列(
b?0

k
n< br>a
1
?0
时,
q?1,Z

0?q?1,]

a
1
?0
时,
q?1,]

0?q?1,Z< br>;
单调性
d?0,]

d?0,
常数列
q?1
为常数列;
q?0
为摆动数列
精选


2.等差数列的判定方法:(
a,b,d
为常数)
⑴.定义法:若
a
n?1
?a
n
?d

⑵.等差中项法:若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2

⑶.通项公式法:若
a
n
?an?b

⑷.前n项和法:
S
n
?an
2
?bn

3. 等比数列的判定方法:(
k

q
为非零常数)
?

?
a
?
为等差数列.
n
a
n?1
?q
⑴.定义法:若
a
n
⑵ .等比中项法:若
a
n?1
2
?a
n
?a
n?2< br>
?
a
n
?
为等比数列.
⑶.通项公式法:若
a
n
?kq
n

⑷.前n项和法:
S
n
?k?kq
n


?
第三章 不等式
一、不等式的主要性质:
(1)对称性:
a?b?b?a

(2)传递性:
a?b,b?c?a?c

(3)加法法则:
a?b?a?c?b?c

(4)同向不等式加法法则:
a?b,c?d?a?c?b?d

(5)乘 法法则:
a?b,c?0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc

(6)同向不等式乘法法则:
a?b?0,c?d?0?ac?bd

(7) 乘方法则:
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1)

(8)开方法则:
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N*且n ?1)

(9)倒数法则:
a?b,ab?0?
11
?
< br>ab
二、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0

a x
2
?bx?c?0(a?0)
及其解法


??0

??0

??0

精选


y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)
二次函数
y?ax
2< br>?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c


a?0
)的图象

有两相等实根


一元二次方程
有两相异实根

ax
2
?bx?c?0< br>?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a ?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b

x
1
?x
2
??
2a
无实根

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?

R

?
xx
1
?x?x
2
?


?

1.一元二次不等式先化标准形式(
a
化正)2.常用因 式分解法、求根公式法求解一
元二次不等式。
口诀:在二次项系数为正的前提下:“大于取两边,小于取中间”
三、均值不等式
1、设
a

b
是两个正数,则
几何平均数.
2、基本不等式(也称均值不等式): 若
a?0
均值不等式:如果a,b是正数,那么
a?b
称为正数
a

b
的算术平均数,
ab
称为正数
a

b

2
a?b?2ab即
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).

2
注意:使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
a
2?b
2
a?b2
??ab?
3、平均不等式:(
a、b
为正数),即(当
a
=
b
时取等)
11
22
?
ab
a
2
?b
2
4、常用的基本不等式:①
a? b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b? R
?

2
22
a
2
?b
2
?< br>a?b
??
a?b
?

ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R?

2
?
2
??
2
?
精选
22


5、极值定理:设
x

y
都为正数,则有:
s
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积< br>xy
取得最大值.⑵若
xy?p
(积为定
4
值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p

四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:
|x|
是指数轴上点x
到原点的距离;
|x
1
?x
2
|
是指数轴上
x
1
,x
2
两点
?
a a?0
?
间的距离 ; 代数意义:
|a|?
?
0 a?0

?
?a a?0
?
2、
如果a?0,则不等式:





|x|?a
|x|?a
???x?a或x??a

|x|?a
????a?x?a

|x|?a
???x?a或x??a

????a?x?a

4、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
五、其他常见不等式形式总结:
①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
?< br>f(x)g(x)?0
f(x)
f(x)
?0?
?
?0?f( x)g(x)?0

g(x)?0
g(x)
g(x)
?
②指数不等式:转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
(a?1)?f(x)?g(x)

a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f(x)?g(x)< br>
③对数不等式:转化为代数不等式
?
f(x)?0
?
lo g
a
f(x)?log
a
g(x)(a?1)?
?
g(x) ?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?

log
a
f(x)?log
a
g(x)(0?a?1)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?

④高次不等式:数轴穿线法口诀: “从右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;
小于取下边,大于取上边”
(x
2
?3x?2)(x?4)
2
例题:不等式
?0
的解为( )
x?3
A.-1<
x
≤1或
x
≥2
C.
x
=4或-3<
x
≤1或
x
≥2
六、不等式证明的常用方法:作差法、作商法
精选
B.
x
<-3或1≤
x
≤2
D.
x
=4或
x
<-3或1≤
x
≤2


七、线性规划
1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组) 的解集:满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合 .
4、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?

①若
? ?0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C? 0
的上方.
②若
??0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
5、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0

(一)由B确定:
?x??y?C?0
表①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
?x??y?C?0
表②若
??0,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测:由上面(一)(二)来确定
③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题:画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。 解:略 < br>?
2y?x?5?0
?
6、线性约束条件:由
x

y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x

y
的线性约束条
精选


件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
附加:1二元一次不等式(组)表示的平面区域
直线
l:Ax?By?C?0
(或
?0
) :直线定界,特殊点定域。
注意:
Ax?By?C?0(或?0)
不包括边界;< br>Ax?By?C?0(?0)
包括边界
2. 线性规划
我们把求线性目标 函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问
题的基本步骤是:

注意:1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得;
2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无
数个。
精选

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