人教版高中数学必修五教案1

第一章 解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
知识结构梳理
几何法证明
正弦定理的证明
向量法证明
已知两角和任意一边
正弦定理 正弦定理
?
正弦定理的两种应用
已知两边和其中一角的对角

解三角形
知识点1 正弦定理及其证明
1正弦定理：
2.正弦定理的证明：
（1）向量法证明
（2）平面几何法证明
3.正弦定理的变形
知识点2 正弦定理的应用
1. 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。
2.应用正弦定理要注意以下三点：
（1）
（2）
（3）
知识点3 解三角形



1

1.1.2余弦定理
知识点1 余弦定理
1. 余弦定理的概念
2. 余弦定理的推论
3. 余弦定理能解决的一些问题：
4. 理解应用余弦定理应注意以下四点：
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点2 余弦定理的的证明
证法1：
证法2：
知识点3 余弦定理的简单应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题：
（1）已知三边求三角；
（2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。
例1（山东高考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=
37.
(1) 求
cosC
；
(2) 若
CB
?
CA
=










2
5
,且a+b=9，求c.
2

1.2应用举例
知识点1 有关名词、术语
（1） 仰角和俯角：
（2） 方位角：
知识点2 解三角形应用题的一般思路
（1） 读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和 所求，准确理解应用题中的有关术语、
名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系；
（2） 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 合理选择正弦定理和余弦定理求解；
（4） 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。
1.3实习作业
实习作业的方法步骤
（1） 首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场 ），再收集测量数据，
最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量
几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，
整理信息。
（2） 实习作业中的选取问题，一般有：
○
1距离问题，如从一个可到达点到一个不 可到达
点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到
达的建 筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。









3

第二章 数列
2.1数列的概念与简单表示法
知识点1 数列的概念
1.按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。
2.关于数列的概念须理解好的以下几点：
（1）
（2）
3.数列的表示方法
4.关于定义的理解，还应注意以下几点：
（1）
（2）
（3）
知识点2 数列的通项公式
1. 数列的通项公式
2. 数列的通项公式的不唯一性
3. 对于数列通项公式的理解注意以下几点：
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点3 表示数列的基本方法
1. 基本方法
2. 对三种基本方法的理解：
（1）
（2）
（3）
3. 数列的图像
知识点4 数列的分类
1. 有穷数列和无穷数列

4

2. 按照项与项之间的大小关系，即数列的增减性，可以分为以下几类：
（1）递增数列：
（2）递减数列：
（3）摆动数列：
（4）常数列：
知识点5 数列的递推公式
递推公式的概念
如果已知数列
{a
n
}
的第一项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a< br>n?1
（或前几项）间
的关系用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公 式。递推公式也是给出数
列的一种重要形式。
2.2等差数列
知识点1 等差数列
1. 等差数列的定义
2. 定义还可以叙述为
3. 对等差数列的理解还需注意以下六点：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
知识点2 等差数列的通项公式
1.通项公式为
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
a
1
为首项 ，
d
为公差。
2.推导通项公式
方法1：
方法2：
方法3：
方法4：
3.通项公式的变形

5

4.通项公式的应用
（1）
（2）
知识点3 等差数列的图像
知识点4 等差中项
1.
2.
3.
知识点5 等差数列的性质
1.
2.
3.
4.
5.
2.3 等差数列的前
n
项和
知识点1等差数列前
n
项和公式的推导
1. 举例：
1?2?3???100??

2. 推导等差数列前
n
项和公式：
3. 对等差数列前
n
项和公式的理解，应注意以下四个问题:
(1)
(2)
（3）
（4）
知识点2 等差数列前
n
项和的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点3 利用前
n
项和公式判定等差数列


6

2.4 等比数列
知识点1 等比数列的定义
1. 等比数列的定义
2. 关于定义的注意问题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
知识点2 等比数列的通项公式
1. 等比数列通项公式：
a
n
?a
1
?q
n?1
（
q?0)
.
2. 等比数列通项公式的推导：
方法1：
方法2：
方法3：
3. 通项公式及其变式的应用：
（1）
（2）
（3）
知识点3 用函数的观点看等比数列的通项公式
知识点4 等比中项
1. 等比中项的意义
2. 对等比中项的理解必须注意以下几点：
（1）
（2）
（3）
知识点5 等比数列的性质

7

与等差数列的性质相类比，我们可以得到等比数列的如下性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.5等比数列的前
n
项和
知识点1 等比数列前
n
项和公式
1. 公式的推导
2. 应用等比数列前
n
项和公式时需注意的几个问题
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点2 等比数列前
n
项和公式的应用
知识点3 等比数列的前
n
项和的性质
a
1
?a
n
q
a
1
?a
1
q
n
a
1
?a
m
q
n?m?1
（1）上下标的“等和性”，即：
s
n
?
；
??
1?q1?q1?q
（2）若项数为
2n，则
s
偶
s
奇
=
q
；
（3）
s
m
,
s
2m
?s
m
,
s
3m
?s
2m
,
?
s
km
?s
(k?1)m< br>,
?
成等比数列，公比为
q
。
m





8

第三章 不等式
3.1不等关系与不等关系
知识点1 不等式的有关概念
1.不等式的定义.
2.同向不等式和异向不等式.
3.绝对值不等式、条件不等式和矛盾不等式.
（1）
（2）
（3）
4.关于
a?b
和
a?b
的含义.
知识点2 实数比较大小的依据与方法
1.实数的两个特征.
（1）任意实数的平方不小于0，即
a?R?a?0
;
（2）任意两个实数都可以比较大小.反之，可以比较大小的两个数一定是实数.
2.实数比较大小的依据.
3.实数比较大小的方法.
两个实数大小的比较方法一般有两种：
（1）作差法：
（2）作商法:
知识点3 不等式的性质及推导
性质1：
a?b?b?a
. 性质2：
a?b,b?c?a?c
.
性质3：
a?b?a?c?b?c
.
性质4：（1）
a?b，c? 0?ac?bc
.（2）
a?b,c?0?ac?bc
.
性质5：
a?b,c?d?a?c?b?d
.
性质6：
a?b?0,c?d?ac?bd
.
性质7：
a?b?0?a?b（n?N,n?2)
.
性质8：
a? b?0?
n
a?
n
b(n?N,n?2)
.

9
nn
2

3.2一元二次不等式及其解法
知识点1 一元二次不等式及一元二次不等式的解集
(1)形如
ax
2
?bx?c?0 (?0)
或者
ax
2
?bx?c?0(?0)
（其中
a?0
）的不等式叫做一元
二次不等式.
(2)设一元二次方程
ax
2< br>?bx?c?0(a?0)
的两不等实根分别为
x
1
、
x2
（
x
1
?x
2
），则
不等式
ax ?bx?c?0
的解集为
{x|x?x
2
或x?x
1
}；
不等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x
1
? x?x
2
}
；
不等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x?x
2
或x?x
1
}
；
不等式
ax? bx?c?0
的解集为
{x|x
1
?x?x
2
}
.
知识点2 一元二次不等式与相应函数、方程的联系
(1)先求出一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根，再根据函数图像与
x
轴的相关位 置
确定一元二次不等式的解集.
(2)列表如下：
2
2
2
2
??b
2
?4ac

??0

y
x


y
??0


y
??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)

的图像
x
x
没有实数根
ax
2
?bx?c?0(a?0)

有两个不等的实根
的根
有两个相等的实根
x
1
、
x
2
且
x
1
?x
2

x
1
、
x
2
且
x
1
?x
2

{x|x??
b
}

2a
R
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或x?x
2
}

ax
2
?bx?c?0(a?0)

的解集



{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

10

知识点3 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，往往需要对参数进行讨论，比较（相应方程的）根的大小，从
而确定不 等式的解集.
例1下列不等式：
(1)
2x?3x?2?0
； (2)
?3x?6x?2
；
(3)
9x?6x?1?0
； (4)
x?4x?5?0
.







例2 解关于
x
的不等式：
x
2
?(1?a)x?a?0
. 解：方程
x
2
?(1?a)x?a?0
的解为
x
1??1
，
x
2
?a
，函数
y?x
2
? (1?a)x?a
的图像
开口向上，所以
（1） 当
a??1
时，原不等式的解集为
{x|a?x??1}
；
（2） 当
a??1
时，原不等式的解集为
?
；
（3） 当
a??1
时，原不等式的解集为
｛x|?1?x?a}
.










11
22
22

知识点4 简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式
f(x)?0
用数轴穿根法（或称根轴法，区间法）求解，其步骤是：
(1)
(2)
(3)
(4)
知识点5 分式不等式的解法
分式不等式 同解不等式
①与
f(x)
?0

g(x)
f(x)
?0

g(x)
①与
①与
f(x)
?a(a?0)

g(x)


3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
知识点1 二元一次不等式（组）表示的平面区域
1.回顾：
2.二元一次不等式及其解的定义.
3.二元一次不等式表示平面区域.
4.二元一次不等式表示平面区域需注意的问题.
（1）
（2）
（3）
知识点2 线性规划
1.线性规划问题举例.
2.约束条件、线性约束条件和目标函数、线性目标函数.
3.线性规划问题及可行解、可行域、最优解.

12

3.4基本不等式：
ab?
a?b

2
知识点1 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念
(1)定理：如果
(2)现给出这一定理的一种几何解释（如图）
22
(3)对于公式
a?b ?2ab
以及基本不等式
ab?
a?b
，要注意：
2
①
②
③
④
⑤
知识点2 利用基本不等式
ab?
a?b
求函数的最值
2
a?b
,a,b?R
?
； 1. 对于基本不等式
ab?
2
a?b
2. 利用公式
ab?
求函数最值时应注意以下三个条件：
2
（1）
a
，
b
均为正数；
（2）
a?b
与
ab
有一个为定值；
（3）等号必须取到.
以上三个条件缺一不可.另外使用
a?b?2ab(a,b? R)
也可以求某些函数的最值.

谢谢！
22

13