高中数学必修五教案

高中数学必修五教案
2015年人教版数学必修五教案

姓 名： 沈金鹏


【篇一：人教a版高中数学必修五全册教案】

学 号： 134080303 院 、 系：数学学院 专 业: 数学和使用数学

2015年1月22日

人教a版高中数学必修五全册教案

1．1．1正弦定理

●教学目标 知识和技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，
掌握正弦定理的内容及其证明方法；

会运用正弦定理和三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程和方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形
中，边和其对角的关系，

引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，
并进行定理基本使用的实践操作。 情感态度和价值观：培养学生在
方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定
理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系和辩
证统一。 ●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本使用。 ●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程
一.课题导入

如图1．1-1，固定?abc的边cb及?b，使边ac绕着顶点c转动。
a 思考：?c的大小和它的对边ab的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边ab的长度随着其对角?c的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？c

b 二.讲授新课

[探索研究]

abc?sina，?sinb，又sinc?1?cccabc则???csinsinsinc abc

从而在直角三角形abc中，??

sinsinsin有

思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由
学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）
当?abc是锐角三角形时，设边 ab上的高是cd，根据任意角三角函
数的定义，

有cd=asinb?bsina,则同理可得从而

a

sina

?

b

sinb

，c

sinc?

?

b

sinb?

， ac b

a

sinb

sinc

sin（2）当?abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生
课后自己推导）

思考2：还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

???????

（证法二）：过点a作单位向量j?ac， 由向量的加法可得
ab?ac?cb

?????????

??????????????

则 j?ab?j?(ac?cb) ????????????????

∴j?ab?j?ac?j?cb

??????????

jabcos?900?a??0?jcbcos?900?c?

∴csina?asinc，即

ac ?

?????bcabc

同理，过点c作j?bc，可得 从而 ???

sinasinbsinc

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sina

?

b

sinb

?

c

sinc

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边和其对角的正弦成正比，且比
例系数为同一正数，

即存在正数k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； （2）

a

sina

?

b

sinb

?

c

sinc

等价于

a

sina

?

b

sinb

，

c

sinc

?

b

sinb

，

a

sina

?

c

sinc

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?

bsina

； sinb

②已知三角形的任意两边和其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如

sina?sinb。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解
三角形。 [例题分析]

例1．在?abc中，已知a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

ac?1800?(a?b)?1800?(32.00?81.80)?66.20； asinb42.9sin81.80

??80.1(cm)； 根据正弦定理， b?

sin32.00asinc42.9sin66.20

??74.1(cm). 根据正弦定理， c?

sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在?abc中，已知下列条件解三角形。

????

（1）a?45，c?30，c?10cm， （2）a?60，b?45，c?20cm

例2． 在?abc中，已知a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形
（角度精确到10， 边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsina28sin400

sinb???0.8999.因为00＜b＜1800，所以b?640，或

b?116.

⑴

当

b?640

时，

c?108?0a(?b

?)10?800?，(4?064

asinc20sin760c???30(cm).

sin400

⑵

当

b?1160

时，c?1

8?0a?(b

?)

1?8，0?(4?01

asinc20sin240c???13(cm).

sin40应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解
的情形。 课堂练习

第4页练习第2题。 思考题：在?abc中，

a

sina

?

b

sinb?

?

c

sinc?

?k(ko)，这个k和?abc有什么关系？

三.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：

a?b?c

?k?k?0?；

sinasinbsincsina?sinb?sinc或 a?ksina，b?ksinb，
c?ksinc(k?0) a

b

c

?

（2）正弦定理的使用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边
对角，求另一边的对角。 四.课后作业：p10面1、2题。

1.2解三角形使用举例 第一课时

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量 距
离的实际问题，了解常用的测量相关术语

2、激发学生学习数学的兴趣,并体会 数学的使用价值；同时培养学
生运用图形、数学符号表达题意和使用转化思想解决数学问题的能
力

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决
三角形，得到实际问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 三、教学设想 1、
复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的
三角形？ 2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到
这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古
代，天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离，是什么
神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距
离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以使用全等
三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等等不同的方法，
但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些
方法会有局限性。于是上面介绍的 问题是用以前的方法所不能解决
的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要使
用，首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出
图形，把实际问题里的

条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学
模型来求解

(2)例1、如图，设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
测量者在a的同侧， 在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离是
55m，?bac=51?，?acb=75?。求a、 b两点的距离(精确到

0.1m)

提问1：?abc中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：

这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距
离的问题，题目条件告诉了边ab的 对角，ac为已知边，再根据三
角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出ac的对角，使用正弦定理算出ab边。 解：根据正弦定理，得

ab=acsin?acbsin?abc

sin?abc

55sin75? = 55sin75? ≈ 65.7(m)

sin(180??51??75?)sin54?

ab =acsin?acb=55sin?acb=

sin?abc

答:a、b两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔a、b和海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔a
在观察站c的北偏东30?，灯 塔b在观察站c南偏东60?，则a、b
之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a
km

例2、如图，a、b两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量
a、b两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离
测量问题。首先需要构造三 角形，所以需要确定c、d两点。根据正
弦定理中已知三角形的任意两个内角和一边既可求出另两边的方 法，
分别求出ac和bc，再利用余弦定理可以计算出ab的距离。

【篇二：人教版高中数学必修5教案】

数学5 第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形
的工具，最后落实在解三角形的使用上 。通过本章学习，学生应当
达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角 度关系的探索，掌握正弦定理、余
弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些和测
量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图和特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学
生加深数学知识的理解和掌 握。

本章重视和内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、
思考解决 问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两
个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都 是关于三角形的边
角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知
识，就是“ 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知
两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等, 那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发， 提
出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角
关系.我们是否能得到这 个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引
入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两 条边及其
所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完
全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研
究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一 边和两个角
的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系

加强和前后各章教学内容的联系， 注意复习和使用已学内容，并为
后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，
提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角 关系，和初中学习的三角形的边和角
的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着< br>密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知
识出发，提出探究性问题“在任 意三角形中有大边对大角，小边对小
角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示< br>呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的
两条边及其所夹的角,根据 三角形全等的判定方法，这个三角形是大
小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个 问题，
也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边
和两个角的问题。”这 样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，
使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立 在已有知
识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第
一部分内容，

位 置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、
直线和圆的方程等和本章知识联系密切 的内容，这使这部分内容的
处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于
余 弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角
形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用 了向量的方法，发挥了向
量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论 以后，教科书从余弦定理和勾股定理的
比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边 平
方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关
系，如何看这两个定理之间 的关系？”，并进而指出，“从余弦定理
以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第 三
边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，

那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边
所对的角是锐角.从上可知，余弦定理 是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最 终目的是使用数学，而如今比较突出的两个问题是，学
生使用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往 不能把实际问题
抽象成数学问题，不能把所学的数学知识使用到实际问题中去，对
所学数学知识 的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见
数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时 却办法不多，
对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、
解决问题的科 学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视
从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识使 用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2使用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1．要在本章的教学中 ，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，
研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程 中，应该
因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得
到自己对于定理的证 明。如对于正弦定理，可以启发得到有使用向
量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和分 析的方
法。在使用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一
个问题也常常有多种不 同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解
决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些 常见
的测量问题甚至可以鼓励学生设计使用的程序，得到在实际中可以
直接使用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，< br>提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用
数学语言表达实习过程和实习结 果能力，增强学生使用数学的意识
和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出
现的一些问题。

课题: 1．1．1正弦定理

●教学目标

知识和技能：通过 对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理和三角形内角 和定理解
斜三角形的两类基本问题。

过程和方法：让学生从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形
中，边和其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊
到一般 归纳出正弦定理，并进行定理基本使用的实践操作。

情感态度和价值观：培养学生在方程思 想指导下处理解三角形问题
的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，
通 过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现
事物之间的普遍联系和辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本使用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1 ，固定?abc的边cb及?b，使边ac绕着顶点c思
考：?c的大小和它的对边ab的长度之间有怎 样的数量关系？ 显然，
边ab的长度随着其对角?c的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究](图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨 直角三
角形中，角和边的等式关系。如图1．1-2，在rt?abc中，设
bc=a,ac= b,ab=c, 根据锐角三角函数

abc中正弦函数的定义，有?sina，?sinb，又sic?n?1, ccc

a

abc则???csinasinbsinc

abc从而在直角三角形abc中，??sinasinbsinc

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根
据任意角三角函

ab数的定义，有cd=asinb?bsina,则，?sinsincb同理可
得，?s insinabc从而??sinasinbsinc

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从
而可以考虑用向量来研究这 个问题。

（证法二）：过点a作j?ac，

由向量的加法可得 ab?ac?cb

??????????????则j?ab?j?(ac?cb)

????????????????∴j?ab?j?ac?j?cb ????????????????

??????????0jabcos?90?a??0?jcbcos?900?c?

∴csina?asinc，即

同理，过点c作j?bc，可得

从而 a

sin?????ac ?bc ??b

sin?c

sin

类似可推出，当?abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由
学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc ??sinsinsin[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边和其对角的正 弦成正比，且比
例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc ；

abcabcbac（2）等价于，， ?????sinsinsinsinsins insinsinasin
从而知正弦定理的基本作用为：

bsina①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?；
sina②已知三角形的任意两 边和其中一边的对角可以求其他角的正
弦值，如sina?sinb。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他
的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在?abc中，已知a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

c?1800?(a?b)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根据正弦定理，

asinb42.9sin81.80

b???80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，

asinc42.9sin66.20

c???74.1(cm). sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例 2．在?abc中，已知a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形
（角度精确到10，边长 精确到1cm）。

解：根据正弦定理， bsina28sin400 sinb???0.8999. 因为00＜b
＜1800，所以b?640，或b?1160.

⑴ 当b?640时，

c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760，

asinc20sin760

c???30(cm). sin400

⑵ 当b?1160时，

c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240，

asinc20sin240

c???13(cm). sin400

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解
的情形。 Ⅲ.课堂练习

第4页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

abca?b?c（1）定理的表示形式：????k?k?0?；
sinasinbsincsina?sinb?sinc

或a?ksina，b?ksinb，c?ksinc(k?0)

（2）正弦定理的使用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]a组第1（1）、2（1）题。

教后记：

课题:

●教学目标

知识和技能：掌握余弦定理的两种表 示形式及证明余弦定理的向量
方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程和方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实
践演算掌握运用余弦定理解 决两类基本的解三角形问题

情感态度和价值观：培养学生在方程 思想指导下处理解三角形问题
的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的
关系，来理解事物之间的普遍联系和辩证统一。

●教学重点

【篇三：高中数学必修五全套教案】

[探索研究]

在初中， 我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三
角形中，角和边的等式关系。如图1．1-2， 在rt?abc中，设
bc=a,ac=b,ab=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

abc

?sina，?sinb，又sinc?1?, ccc

则

a

sina

?

b

sinb

?

c

sinc

?c?

从而在直角三角形abc中，

a

sina

b

sinb

?

c

sinc

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学
生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根
据任意角三角函数 的定义，有cd=asinb?bsina,则同理可得从而

a

sina

a

sina

?

b

sinb

，c

sinc?

?

b

sinb?

，c

b

sinb

sinc

ac b

(图1．1-3)

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sina

?

b

sinb

?

c

sinc

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边和其对角的正弦成正比，且比
例系数为同一正数，即存 在正数k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc；
（2）

a

sina

?

b

sinb

?

c

sinc

等价于

a

sina

?

b

sinb

，

c

sinc

?

b

sinb

，

a

sina

?

c

sinc

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?

bsina

； sinb

②已知三角形的任意两边和其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如sina?

a

sinb。 b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解
三角形。 [例题分析]

例1．在?abc中，已知a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，

c?180?(a?b)

?180?(32.0?81.8)

000

?66.2；

根据正弦定理，

asinb42.9sin81.8b???80.1(cm)； 0

sinasin32.0

根据正弦定理，

asinc42.9sin66.2c???74.1(cm). 0

sinasin32.0

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在?abc中，已知a?20cm，b?28cm，a?400，解 三角形
（角度精确到10，边

长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsina28sin40

sinb???0.8999.

a20

因为00＜b＜1800，所以b?640，或b?1160.

⑴ 当b?640时，

c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760，

asinc20sin76c???30(cm). 0

sinasin40

⑵ 当b?1160时，

c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240，

asinc20sin24c???13(cm). 0

sinasin40

[补充练习]已知?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

（2）正弦定理的使用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正
弦定理试求，发现因a、b均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。a

如图1．1-5，设cb?a，ca?b，ab?c，那么c?a?b，则 c

???????c?c?a?ba?b

?????? ?a?a?b?b?2a?b c ab ?2?2?? ?a??2a?b

2

?????????????????

?

????

从而 c2?a2?b2?2abcosc (图1．1-5) 同理可证
a2?b2?c2?2bccosa

222

b?a?c?2accosb

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中 任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
这两边和它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosa

222

b?a?c?2accosb 222

c?a?b?2abcosc

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可
以求出第四个量，能否由三边求出一角 ？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b?c?a

cosa?

2bca?c?b

cosb?

2acb?a?c

cosc?

2ba

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之 间的关系，余弦定
理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理
之间的关系 ？

（由学生总结）若?abc中，c=900，则cosc?0，这时c2?a2?b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]

例1．在?abc

中，已知a

?cb?600，求b及a ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosb

=2?2?2?cos450

=12?2?1) =8

∴b?

求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b?c?a1

, ⑵解法一：∵

cosa?

2bc22

2

2

∴a?600.

例2．在?abc中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解
三角形 解：由余弦定理的推论得：

b?c?a

cosa?

2bc

2

2

2

87.8?161.7?134.6?

2?87.8?161.7?0.5543,

222

a?5620?；

c?a?b

cosb?

2ca

222

134.6?161.7?87.8

?

2?134.6?161.7?0.8398,

b?3253?；

222

0000

c?180?(a?b)?180?(5620??3253?)

[补充练习]在?abc中，若a2?b2?c2?bc，求角a（答案：a=1200）
Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例； （2）余弦定理的使用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 [随堂练习1]

（1）在?abc中，已知a?80，b?100，?a?450，试判断此三角形
的解的情况。 （2）在?abc中，若a?1，c?

12

，?c?400，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在?abc中，a?xcm ，b?2cm，?b?450，如果利用正弦定理
解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2?x?

2．在?abc中，已知a?7，b?5，c?3，判断?abc的类型。 分析：
由余弦定理可知

a?b?c?a是直角??abc是直角三角形222

a?b?c?a是钝角??abc是钝角三角形 222

a?b?c?a是锐角?abc是锐角三角形

2

2

2

（注意：a是锐角?abc是锐角三角形）

解：?72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?abc是钝角三角形。 [随堂练
习2]

（1）在?abc中，已知sina:sinb:sinc?1:2:3，判断?abc的类型。
（2）已知?abc满足条件acosa?bcosb

，判断?abc的类型。 （答案：（1）?abc是钝角三角形；
（2）?abc是等腰或直角三角形） 2.在?abc中，a?600，b?1，面
积为

分析：可利用三角形面积定理s?

a

sina

?

2

，求

a?b?c

的值

sina?sinb?sinc

12

12

absinc?acsinb?

12

bcsina以及正弦定理

b

sinb

?

c

sinc

?

a?b?c

sina?sinb?sinc

解：由s?

12

bcsina?

2

得c?2，

则a2?b2?c2?2bccosa=3

，即a? 从而

a?b?ca

??2

sina?sinb?sincsina

Ⅲ.课堂练习

（1）在?abc中，若a?55，b?

16，且此三角形的面积s?，求角c （2）在?abc中，其三边分别为
a、b、c，且三 角形的面积s?（答案：（1）600或1200；（2）
450） Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角
形面积定理的使用。

Ⅴ.课后作业

（1）在?abc中，已知b?4，c?10，b?300，试判断此三角形的解
的情况。 （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x
的取值范围。 （3）在?abc中，a?600，a?1，b?c?2，判断?abc
的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5x2?7x?6?0的根， 求这个三角形的面积。

例1、如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n
mile后到达海岛b,然后从b出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n
mile后 达到海岛c.如果下次航行直接从a出发到达c,此船应该沿怎
样的方向航行,需要航行多少距离?(角 度精确到0.1?,距离精确到

0.01n mile)

a?b?c

4

2

2

2

，求角c

解：在?abc中，?abc=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理，